Квантовая теория информации. Квантовая информация

«Кванты» здесь и сейчас (часть 3)

• Научно-популярное ,

В предыдущих статьях я кратко рассказал о предпосылках в развитии и , которые привели к появлению квантовой информации и квантовым вычислениям как таковым. Сегодня же хотел рассмотреть подобным образом ещё одно направление, внесшее существенный вклад: теорию информации .

Теория информации.

Квантовая теория информации.

Сетевая квантовая теория информации.

Заключение.

Рассмотрим вектор состояния кубита

и определим, сколько информации содержится в таком состоянии.

Примем интуитивную форму определения классической информации в векторе состояния. Отнесем к классической ту часть информации, которую мы имеем в классической форме, т.е. при измерении в базисе - , что означает: классическая информация может нести в таком состоянии максимум 1 бит.

Величины характеризуются тремя аналоговыми компонентами, которые можно отнести к квантовой части информации. Эти компоненты представляют собой.

Но для того что бы определить необходимо провести бесконечное множество измерений ансамбля частиц находящихся в состоянии, и определить вероятности по итогам испытаний, где:

А для определения разности фаз необходимы измерения интерференционного типа. Полное определение вектора состояния принято называть квантовой томографией.

Аналоговый характер квантовой информации принципиально важен, так как это означает. Что она образует континуум и два состояния в таком континууме могут быть преобразованы друг в друга. Так же отсюда следует, что процессы вычислений квантовой информации протекают в пространстве аналоговых переменных амплитуды при базисных состояниях.

Реализация квантового алгоритма

правление компьютером с n-кубитами реализуется преобразованием:

где и - векторы с компонентами. Очевидно что уже для n=3 вычисление даже на самом производительном компьютере станет проблемой. Еще сложнее физическая реализация

Выход из этой ситуации можно найти. Если рассмотреть возможность разложения матрицы в произведение матриц второго и четвертого порядка:

Матрица второго порядка преобразует вектор в состояние одного кубита следующим образом:

Таким образом, имеем, что каждая матрица из(1.1) описывает операцию на отдельном кубите. Матрица преобразует векторы пар кубитов:

Следовательно, числа сомножителя второго и четвертого порядков в разложении (1.1) определяют число однокубитовых и двухкубитовых операций, необходимых для реализации алгоритма. Чтобы алгоритм был эффективным, необходимо, чтобы полное число операций было полиномиальным от числа задействованных кубитов в компьютере. Если число операций возрастает экспоненциально, то такой алгоритм считается неэффективным

Универсальные наборы элементарных операций

Исходя из данных предыдущих параграфов, имеем, что однокубитовые операции описывают вращение одного кубита

Двухкубитовые операции происходят несколько иначе. Они предполагают связь двух кубитов, своего рода управление одного кубита (контролируемого) другим (контролирующим). Такая связь требует наличия физического взаимодействия между кубитами, либо включаемого на время, либо существующего постоянно.

Среди двухкубитовых операций выделяют операцию «контролируемого НЕ» (Controlled NOT - CNOT). Пусть контролирующий кубит первый, а контролируемый - второй. Тогда операция CNOT характеризуется таблицей входных и выходных состояний:

Таблица 1

Из таблицы видно, что второй кубит инвертируется:

Рис. 1

В результате этой операции состояние может оказаться запутанным, если первый находится в состоянии. Диаграммный символ операции представлен на рисунке 2.1 (горизонтальные линии - оси времени, вертикальная линия - взаимодействие кубитов).

То с помощью таблицы операций легко вычислить

Обобщением контролируемой операции, является операция C-U, где U - любая однокубитовая операция. Эта операция выполняется над вторым кубитом, но только тогда, когда контролирующий кубит находится в состоянии. Так же эта операция может быть операцией изменения фазы:

Тогда операция взаимодействия двух кубитов примет вид:

Однокубитовые операции и двухкубитовая CNOT составляют универсальный набор операций для квантовых компьютеров, позволяющие описать любое преобразование вектора состояния компьютера. С точки зрения практической реализации наличие континуума операций крайне неудобно. Максимальной простотой исполнения обладает некоторый дискретный набор операций. В качестве такого предлагают использовать набор однокубитовых операций: преобразование Адамара, фазового вентиля

Фазового вентиля, и двухкубитового вентиля CNOT.

Физическая реализация квантовой операции всегда сопровождается некоторой погрешностью исполнения е. В связи с этим теория квантовой информации строится, как теория аппроксимаций.

Ошибка определяется как при выполнении операций:

Где - матрица идеального преобразования, - матрица реального преобразования, - пространство векторов стояния системы. Погрешности последовательности операций суммируются в смысле неравенства:

Убедимся в универсальности дискретного набора операций покажем возможность выполнения с их помощью любого однокубитового вращения с заданной погрешностью е.

Введем переменные.

Операторы имеют вид:

Очевидно, что

На сфере блоха значения a и b одного кубита будет иметь вид

Покажем, что с точностью до постоянной

Покажем, что с точностью до постоянной

Последовательное преобразование HTH и T будут представлять собой вращение сферы блоха на угол вокруг оси Ox, и вокруг оси Oz:

Два таких вращения эквивалентны одному вращению на угол, который можно определить из равенства, вокруг вектора.

Таким образом, получается, что именно фазы являются самыми удобными для использования.

Теперь докажем, что именно с погрешностью

Для углов покажем, что

Так же нам известно, что возможно такое вращение вокруг вектора

Отсюда и следует, что

Произвольное преобразование можно представить тремя вращениями вокруг трех осей n,m,n, каждое которых можно аппроксимировать, на угол.

Согласно теореме Соловей-Китаева, чтобы достичь погрешности необходимо совершить операций.

Кроме однокубитовых операций, двухкубитовая операция CNOT включает в себя процесс свободной эволюции двух кубитов под воздействием гамельтониана и их взаимодействия. В процессе этой эволюции один кубит управляет другим, при этом используется энергия их взаимодействия.

Отметим, что произвольное унитарное преобразование требует операций из универсального набора, другими словами число операций экспоненциально велико. По этому, эффективные алгоритмы могут быть только полиномиальными.

Квантовая механика Принцип неопределённости Введение... Математическая формулировка … Википедия

Квантовая механика Принцип неопределённости Введение... Математическая формулировка... Основа … Википедия

Квантовая криптография метод защиты коммуникаций, основанный на принципах квантовой физики. В отличие от традиционной криптографии, которая использует математические методы, чтобы обеспечить секретность информации, квантовая криптография… … Википедия

Квантовая механика … Википедия

В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете … Википедия

Квантовая телепортация передача квантового состояния на расстояние при помощи разъединённой в пространстве сцепленной(запутанной) пары и классического канала связи, при которой состояние разрушается в точке отправления при проведении… … Википедия

Раздел статистической оптики, изучающий микроструктуру световых полей и оптич. явления, в к рых видна квант. природа света. Представление о квант. структуре излучения введено нем. физиком М. Планком в 1900. Статистич. структуру интерференц. поля… … Физическая энциклопедия

Связать? … Википедия

Общая теория относительности Математическая формулировка ОТО Космология Фундаментальные идеи Специальная теория относительности … Википедия

Изучает состояния микрочастиц и их систем (элементарных частиц, атомных ядер, атомов, молекул, кристаллов), изменение этих состояний во времени, а также связь величин, характеризующих состояния микрочастиц, с эксперим. макроскопич. величинами. К … Химическая энциклопедия

Книги

• Квантовые вычисления и квантовая информация , Нильсен М.. Книга известных американских специалистов дает подробное и всестороннее введение в новую область исследований: изучение роли физических законов (и, особенно, законов квантовой механики) при…
• Квантовая информация и квантовые вычисления. Том 2 , Дж. Прескилл. Книга Дж. Прескилла представляет собой наиболее полное современное введение в новую, бурно развивающуюся область науки - теорию квантовой информации и квантовых вычислений. Вопросы,…

КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ИНФОРМАЦИИ, раздел математики, в котором изучаются общие закономерности передачи, хранения и преобразования информации в системах, подчиняющихся законам квантовой механики. Квантовая теория информации использует математические модели для исследования потенциальных возможностей таких систем, а также разрабатывает принципы их рационального и помехоустойчивого построения. Квантовая теория информации приводит к новому пониманию фундаментальных закономерностей квантовой теории, её оснований и соотношений с реальностью, а также стимулирует развитие экспериментальной физики.

Квантовая теория информации сформировалась как самостоятельная дисциплина в 1990-е годы, однако её зарождение относится к 1950-м годам и связано с появлением основ классической теории информации и помехоустойчивой связи в трудах В. А. Котельникова и К. Шеннона. На начальном этапе (1950-80-е годы) основным вопросом квантовой теории информации было выяснение фундаментальных ограничений на возможности передачи и обработки информации, обусловленных квантово-механической природой её носителя. Развитие информационных технологий в направлении микроминиатюризации, использование достижений квантовой оптики и квантовой электроники, супрамолекулярной химии, исследующей кибернетические свойства молекулярных соединений, приводят к выводу о том, что в обозримой перспективе эти ограничения станут основным препятствием для дальнейшего развития существующих технологий и принципов обработки информации. С другой стороны, появление в 1980-90-е годы идей построения квантового компьютера, квантовой криптографии и новых коммуникационных протоколов позволяет говорить не только об ограничениях, но и о новых возможностях, заключённых в использовании специфически квантовых ресурсов, так называемого квантового параллелизма, сцепленности (перепутанности) квантовых состояний и дополнительности между измерением и возмущением.

В квантовой теории информации носителем информации является состояние квантовой системы Н, которое представляет собой информационный ресурс, поскольку оно имеет статистическую неопределённость. Математическим описанием чистого состояния является оператор проектирования (проектор) Р ψ на вектор ψ из гильбертова пространства системы Н. Рассматриваются также смешанные состояния, представляющие собой статистический ансамбль чистых состояний Рψ i с вероятностями p i . Такое состояние описывается оператором плотности ρ = ∑ i p i Ρ ψ , который характеризуется следующими свойствами: ρ - положительный оператор; ρ имеет единичный след. Т.о., собственные числа λ j оператора плотности образуют распределение вероятностей. Энтропия этого распределения

называемая энтропией фон Неймана, подобно энтропии Шеннона классического источника сообщений, является мерой неопределённости, то есть информационного содержания состояния, описываемого оператором р.

При передаче классического (не квантового) сообщения по квантовому каналу связи оно записывается в квантовом состоянии посредством задания значений параметров прибора, формирующего состояние. Однако вся полнота информационного содержания квантового состояния не может быть сведена к классическому сообщению, и поэтому для информации, содержащейся в квантовом состоянии, используется специальный термин «квантовая информация». Это связано с тем, что оно содержит в себе статистику всевозможных, в том числе и взаимоисключающих (так называемых дополнительных), измерений над системой. Наиболее ярким отличием квантовой информации от классической является невозможность копирования, линейность уравнений квантовой эволюции приводит к невозможности «квантового ксерокса», то есть физического устройства, позволяющего копировать произвольную квантовую информацию.

Подобно тому, как количество классической информации может быть измерено минимальным числом двоичных символов (битов), необходимым для кодирования (сжатия) сообщения, количество квантовой информации может быть определено как минимальное число элементарных квантовых систем с двумя уровнями (q-битов, кубитов), необходимое для хранения или передачи данного ансамбля квантовых состояний при оптимальном кодировании. Для асимптотически безошибочного кодирования квантового сообщения длины n, в котором состояния Рψ i появляются с вероятностями p i , необходимое число q-битов асимптотически (при n →∞) равно nН(ρ). Это означает, что размерность квантовой системы, в которой осуществляется оптимальное сжатие квантовой информации, содержащейся в состоянии ρ, асимптотически равна 2 nH(ρ) , что даёт информационную интерпретацию энтропии фон Неймана.

В основе феномена сцепленности квантовых состояний лежат необычные (для классических систем) свойства составных квантовых систем, которые описываются тензорным (а не декартовым, как в классической механике) произведением ⊗ подсистем. Пространство составной системы AB, наряду с векторами вида ψ А ⊗ψ В, содержит и всевозможные их линейные комбинации ∑ j ψ j A ⊗ψ j B . Cocтoяния составной системы, задаваемые векторами-произведениями, называются несцепленными, а не сводящиеся к таковым - сцепленными. Сцепленность представляет собой чисто квантовое свойство, отчасти родственное классической коррелированности, однако к ней не сводящееся (говорят о корреляциях Эйнштейна - Подольского - Розена). Именно наличие сцепленных состояний противоречит гипотезе о возможности классического статистического описания квантовых систем, удовлетворяющих так называемому физическому требованию локальности. Количественная теория сцепленности представляет собой своеобразную комбинаторную геометрию тензорных произведений гильбертовых пространств.

Двойственным образом в составных квантовых системах существуют сцепленные и несцепленные наблюдаемые (измерения). Если квантовые системы А и В находятся в несцепленном состоянии, то максимальные шенноновские количества информации Ι Α , Ι В, Ι АВ о состояниях систем А, В и составной системы AB удовлетворяют в общем случае соотношению I АВ > I A + I В. Этот неклассический феномен строгой супераддитивности информации играет важную роль в теории пропускной способности квантового канала связи.

Понятие канала связи и его пропускной способности, дающей предельную скорость безошибочной передачи, играет центральную роль в информации теории. Математический подход придаёт этим понятиям универсальную значимость: например, память компьютера (классического или квантового) может рассматриваться как канал из прошлого в будущее, тогда пропускная способность даёт количественное выражение для предельной ёмкости памяти при исправлении ошибок. Важность рассмотрения квантовых каналов связи обусловливается тем, что всякий физический канал, в конечном счете, является квантовым и такой подход позволяет учесть фундаментальные квантово-механические закономерности. Существенно, что в квантовом случае понятие пропускной способности разветвляется, порождая целый спектр информационных характеристик канала, зависящих от вида передаваемой информации (квантовой или классической), а также от дополнительных ресурсов, используемых при передаче.

В квантовой теории информации квантовый канал связи задаётся отображением Ф, переводящим состояния на входе в состояния на выходе, ρ → Ф[ρ], которое даёт сжатое статистическое описание результата взаимодействия системы на входе с её окружением (шумом). Классическая пропускная способность С(Ф) определяется как максимальная скорость передачи классических сообщений через канал Ф ⊗ n с n блоками с асимптотически (при n →∞) исчезающей ошибкой и равна максимальному количеству информации Шеннона, которое может быть получено применением произвольных кодирований классических сообщений в состояния на входе и квантовых измерений - декодирований на выходе канала. Для величины С(Ф) получено явное выражение через энтропийные характеристики канала, составляющее содержание теоремы кодирования Холево - Шумахера - Вестморленда.

Классическая пропускная способность канала Ф может быть увеличена путём использования сцепленности между входом и выходом канала, при этом одна только сцепленность не позволяет передавать информацию, сцепленность играет роль «катализатора», выявляющего скрытые информационные ресурсы квантовой системы. Если Ф - идеальный канал, т. е. канал без шума, то выигрыш в пропускной способности, доставляемый так называемым сверхплотным кодированием, двукратен. Чем более канал отличается от идеального, тем выигрыш больше и асимптотически (для каналов с очень большими шумами) может быть сколь угодно большим. Соответствующая максимальная скорость передачи С еа (Ф) носит название классической пропускной способности с использованием сцепленного состояния; для неё также имеется явная формула, полученная американскими учёными Ч. Беннеттом, П. Шором, Дж. Смолином и А. Таплиялом.

Само преобразование квантового состояния ρ → Ф[ρ] можно рассматривать как передачу квантовой информации. Теория предсказывает возможность нетривиального способа передачи, при котором состояния физически не пересылаются, а передаётся лишь некоторая классическая информация (так называемая квантовая телепортация). При этом необходимым дополнительным ресурсом вновь является сцепленность между входом и выходом канала связи. Свести передачу произвольного квантового состояния только к передаче классической информации, не используя дополнительного квантового ресурса, невозможно: поскольку классическая информация копируема, это означало бы возможность копирования и квантовой информации.

В связи с разработкой квантовых кодов, исправляющих ошибки, возник вопрос об асимптотически (при n→∞) безошибочной передаче квантовой информации каналом Ф ⊗ n . При этом квантовая пропускная способность Q(Ф) определяется как максимальная скорость передачи квантовой информации. Изучение квантовой пропускной способности основано на аналогии между квантовым каналом и классическим каналом с перехватом, причём в квантовом случае роль перехватчика информации играет окружение рассматриваемой системы. Оказалось, что величина Q(Ф) связана с криптографическими характеристиками канала, такими как пропускная способность для секретной передачи классической информации С р (Ф) и скорость распределения случайного ключа. Пропускные способности канала Ф связаны соотношениями Q(Φ) ≤ С р (Ф) ≤ С(Ф) ≤ С еа (Ф).

Большой раздел квантовой теории информации связан с исследованиями систем с непрерывными переменными, основанных на принципах квантовой оптики. Для них получен ряд результатов, касающихся пропускных способностей, сцепленности состояний и других информационных характеристик. Многие эксперименты по квантовой обработке информации, включая сверхплотное кодирование и телепортацию фотонных состояний, а также квантовые криптографические протоколы, реализованы именно в таких системах. Смотри также Квантовая связь.

Лит.: Bennett С. Н., Shor Р. W. Quantum information theory // Transactions on Information Theory. 1998. Vol. 44. № 6; Валиев К. А., Кокин А. А. Квантовые компьютеры: надежды и реальность. М., 2001; Физика квантовой информации / Под редакцией Д. Боумейстера и др. М., 2002; Холево А. С. Введение в квантовую теорию информации. М., 2002; он же. Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории. 2-е изд. М., 2003; Нильсен М. А., Чуанг И. Квантовые вычисления и квантовая информация. М., 2006; Hayashi М. Quantum information: an introduction. В.; N. Y., 2006.