Модель земли показывающая ее форму и поверхность. Понятие о форме и размерах Земли

Страница 2 из 50

1.2. Общие сведения о форме и размерах Земли

Физическая поверхность Земли имеет сложную форму, суша занимает 29%, моря и океаны – 71% всей поверхности. Чтобы изобразить земную поверхность на плане, надо знать фигуру Земли. Это позволит выбрать такой метод проектирования изображения земной поверхности, которая бы позволила спроектировать неправильную форму Земли в виде математической модели.

Прежде всего, дадим понятие «уровенной поверхности». Уровенная поверхность (рис.1.1) – поверхность, перпендикулярная в каждой точке к направлению силы тяжести (отвесной линии).

Уровенных поверхностей можно провести сколько угодно, т.к. Земля неоднородна и состоит из слоев, плотность которых различна. За фигуру Земли принимается уровенная поверхность, совпадающая с поверхностью океанов и морей при спокойном состоянии водных масс и мысленно продолженная под материками. Такая уровенная поверхность называется геоидом .

Рис. 1.1. Понятие уровенной поверхности

1.3. Математические модели поверхности Земли, применяемые в геодезии

1. Если бы Земля была бы однородной, неподвижной и подвержена только действию внутренних сил тяготения, она имела бы форму шара (рис.1.2).

Рис. 1.3. Эллипсоид вращения

3. На самом деле, из-за неравномерного распределения масс внутри Земли, эллипсоидальная фигура Земли сдеформирована и имеет форму геоида (рис.1.4). Наибольшие отступления геоида от эллипсоида не превышают 100 – 150 м.

Т.о. специальными инструментами с физической поверхности Земли геодезические измерения проектируют на геоид, фигура которого не изучена. Фигуру геоида заменяют правильной математической фигурой, к которой можно применять математические законы. Размеры земного эллипсоида составляют:

большая полуось а = 6378245 м,

малая полуось b = 6356863 м,

полярное сжатие a = 1: 298,3.

Рис. 1.4. Геоид

4. Для того, чтобы земной эллипсоид ближе подходил к геоиду, его располагают в теле Земли, ориентируя определенным образом. Такой эллипсоид с определенными параметрами и определенным образом ориентированный в теле Земли, называется референц-эллипсоидом (рис.1.5).

Рис. 1.6. Квазигеоид

ФОРМА ЗЕМЛИ И ЕЕ МОДЕЛИ

РАЗДЕЛ 1

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ НАВИГАЦИИ

Глава 1

ОРИЕНТИРОВАНИЕ НА МОРСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ

ФОРМА ЗЕМЛИ И ЕЕ МОДЕЛИ

Навигация (от лат. navigation – мореплавание) – это математическая наука о способах определения оптимального пути судна на водной поверхности Земли и о способах прокладки этого пути на морской навигационной карте (от лат. optimus – наилучший).

Морская навигационная карта (сокращенно МНК) – это плоское изображение выпуклой поверхности морей и океанов с прилегающими участками суши в виде береговой полосы.

Перенос выпуклой поверхности Земли на плоскость производится путем математических вычислений.

Прокладка пути судна производится путем решения геометрических задач на водной поверхности Земли и на карте.

Математические вычисления по переносу выпуклой поверхности Земли на карту и решение геометрических задач по прокладке пути судна на водной поверхности Земли и на карте возможны только в том случае, если планета Земля является геометрическим телом.

Геометрическое тело

В качестве примера можно привести геометрическую фигуру шар , который имеет наиболее простую форму, т.к. все точки поверхности шара одинаково удалены от его центра. Поэтому форму и размер шара определяет один параметр – радиус шара (от греч. parametron – отмеривающий).

К размерам шара относится площадь поверхности шара (F ш) и объем шара (V ш), которые вычисляются с помощью известных формул:

В математике площадь объемной фигуры называют поверхностью. Например, площадь шара – это поверхность шара.

Планета Земля, созданная 4.7 миллиардов лет назад из газово-пылевого космического вещества, имеет очень сложную форму, которая не поддается математическому описанию. Поэтому возникает необходимость аппроксимации (замены) планеты Земля геометрическим телом, которое называется геометрической (математической) моделью Земли.

Аппроксимацию планеты Земля (от лат. approximo – приближаюсь) производят путем последовательного приближения внешнего контура Земли к форме геометрического тела:

сначала создают физическую модель Земли, которой является фигура планеты Земля, более простой формы. Поэтому эта модель получила название геоид, что в переводе с греческого языка – вид Земли (от греч. слов ge – Земля и iodos – вид);

на базе геоида создают геометрическую модель Земли – эллипсоид, форма и размеры которого наиболее близки форме и размерам геоида. Поэтому этот эллипсоид называется земным эллипсоидом или референц-эллипсоидом (от лат. referens – сообщающий – часть сложного слова, которая определяет, что референц-эллипсоид является носителем информации о форме и размерах Земли);

на базе земного эллипсоида создают геометрическую модель Земли – шар, размеры которого наиболее близки размерам земного эллипсоида. Поэтому этот шар называется земным шаром .

Принцип создания геоида основан на «сглаживании» физической поверхности планеты Земля с целью получения фигуры более простой формы.

Физическая поверхность Земли (от греч. physika – природа) – это наружная оболочка планеты Земля, которая состоит из двух сфер (рисунок 1.1):

1. Гидросфера (от греч. hydor – вода) – это наружная водная оболочка Мирового океана (8-11), которая окружает материки и острова (1-7) и занимает около 71% земной поверхности.

2. Литосфера (от греч. lithos – камень) – это твердая часть поверхности Земли, которая состоит из материковой и океанической земной коры и верхней мантии (мантия Земли – это оболочка, расположенная между земной корой и ядром Земли).

«Сглаживание» физической поверхности планеты Земля производят путем удаления с этой поверхности той части литосферы, которая возвышается над уровнем Мирового океана в виде материков и островов.

Таким образом, геоид – это фигура планеты Земля, ограниченная гидросферой, над которой не возвышается литосфера Земли. На рисунке 1.1 «б» фигура геоида показана в разрезе с помощью двойной овальной кривой.

Однако сглаженная поверхность геоида тем не менее имеет сложную форму. Поэтому геоид не является геометрической фигурой. Наиболее близкой по форме к геоиду является геометрическая фигура эллипсоид, поверхность которого имеет наибольшее совмещение с поверхностью геоида (рисунок 1.2).

Эллипсоид – это геометрическая объемная фигура, которая образована вращением плоской фигуры под названием эллипс.

Эллипс – это овальная кривая, которая образована сжатием окружности, в результате чего эллипс имеет вытянутую большую ось ЕQ и укороченную малую ось Р 1 Р 2 (рисунок 1.3).

Форму и размер эллипса определяют следующие параметры (рисунок 1.3):

длина большой полуоси эллипса «a »;

длина малой полуоси эллипса «b »;

коэффициент сжатия эллипса и сжатие эллипса ;

эксцентриситет эллипса ε;

отстояние фокусов эллипса F 1 и F 2 от центра этого эллипса, которое обозначено буквой «с ».

Эксцентриситет эллипса (ε) – это число, равное отношению расстояния между фокусами эллипса к длине большой оси эллипса. Поскольку расстояние между фокусами равно 2с , а длина большой оси равна 2а , то .

Фокусы эллипса – это точки F 1 и F 2 на большой оси эллипса, сумма расстояний от которых до любой точки эллипса равна длине большей оси этого эллипса:

где - расстояние любой точки эллипса до фокусов, которые называются фокальными радиусами точки эллипса.

Эллипсоид, образуемый вращением эллипса вокруг большой оси EQ, называется вытянутым эллипсоидом .

Эллипсоид, образуемый вращением эллипса вокруг малой оси Р 1 Р 2 , называется сжатым эллипсоидом или сфероидом .

В качестве математической модели Земли применяют сжатый эллипсоид и поэтому земной эллипсоид имеет еще один синонимичный термин – земной сфероид (от греч. synonymos – одноименный).

Земной эллипсоид (земной сфероид или референц-эллипсоид) имеет следующие параметры, которые определяют его форму и размеры:

Длина большой полуоси эллипсоида «a »;

Длина малой полуоси эллипсоида «b »;

Полярное сжатие эллипсоида ;

Величина первого эксцентриситета эллипсоида , которая равна величине эксцентриситета эллипса, вращением которого получен данный эллипсоид.

Принцип создания земного эллипсоида основан на вычислении таких значений параметров a , b , и е , при которых эллипсоид приобретает форму и размеры, близкие форме и размерам геоида. Основным признаком близости земного эллипсоида и геоида по форме и размерам является наибольшее совпадение поверхностей этих фигур (рисунок 1.2).

Форма и размеры земного эллипсоида наиболее близки форме и размерам геоида при соблюдении следующих условий (рисунок 1.2):

1. Объем земного эллипсоида должен быть равен объему геоида.

2. Малая ось земного эллипсоида должна совпадать с осью вращения Земли.

3. Плоскость экватора земного эллипсоида должна совпадать с плоскостью экватора геоида.

4. Алгебраическая сумма квадратов геодезической высоты всех точек геоида должна быть наименьшей.

– это плоскость сечения, которая проходит через центр этого эллипсоида под углом 90º к оси вращения Земли.

Если совместить 2 фигуры – геоид и земной эллипсоид, то поверхность геоида на каком-либо участке может совпадать с поверхностью земного эллипсоида, либо возвышаться над поверхностью земного эллипсоида, либо находиться ниже. На рисунке 1.2 поверхности обеих фигур совмещены в точке А, а точка В геоида находится над поверхностью земного эллипсоида и точка С расположена ниже поверхности земного эллипсоида.

Геодезическая высота точки геоида (h) – это высота какой-либо точки поверхности геоида относительно поверхности земного эллипсоида, которая может иметь следующие значения (рисунок 1.2):

Нулевая геодезическая высота точки А (h A =0) – когда точка А является точкой соприкосновения геоида и земного эллипсоида;

Положительная геодезическая высота точки В (+h B) – когда точка В находится над поверхностью земного эллипсоида;

Отрицательная геодезическая высота точки С (-h C) – когда точка С находится под поверхностью земного эллипсоида.

Чтобы обеспечить наибольшее совпадение поверхностей геоида и земного эллипсоида – алгебраическая сумма геодезических высот всех точек геоида, возведенных в квадрат, должна быть наименьшей, т.е. стремиться к нулю:

Таким образом, земной эллипсоид (земной сфероид, референц-эллипсоид) – это геометрическая объемная фигура эллипсоид, форма и размеры которой наиболее близки к форме и размерам геоида. Поэтому земной эллипсоид является геометрической (математической) моделью Земли, которую применяют в качестве математической основы для решения следующих задач:

1. Математическое построение морской навигационной карты (МНК).

2. Определение местоположения судна на водной поверхности Земли.

3. Определение направления движения судна и пройденного судном расстояния и для решения других навигационных задач.

Начиная с 1830 года, было создано множество земных эллипсоидов, параметры которых вычисляли какие астрономы и геодезисты, как Эри (Англия), Бессель (Германия), Кларк (Англия), Хейфорд (США), Красовский (СССР) и многие другие (таблица 1.1).

Таблица 1.1

Анализ таблицы 1.1 показывает, что земные эллипсоиды разных авторов имеют разную форму и размеры, т.к. значения параметров этих эллипсоидов отличаются на величину до одного километра. Это объясняется тем, что каждый земной эллипсоид имеет свою точку привязки к геоиду, которая является исходной точкой для вычисления параметров этого эллипсоида.

Точкой взаимной привязки геоида и земного эллипсоида является точка соприкосновения поверхностей этих фигур, в окрестностях которой поверхности земного эллипсоида и геоида совпадают наиболее точно. Поэтому каждая страна использует для создания карт тот земной эллипсоид, который имеет наилучшее приближение к поверхности геоида на территории этой страны.

Таким образом, эллипсоид, который применяют в качестве математической основы при составлении карт территории какой-либо страны принято называть национальным геодезической системой (National Geodetic System NGS). Так, например, до 1946 года национальной геодезической системой России и Украины был земной эллипсоид Бесселя. В 1942 году под руководством профессора Московского научно-исследовательского института геодезии Красовского Феодосия Николаевича был создан земной эллипсоид, поверхность которого имеет лучшее приближение к геоиду на территории России и Украины, нежели поверхность эллипсоида Бесселя, т.к. точкой взаимной привязки эллипсоида Красовского и геоида является центр круглого зала Пулковской астрономической обсерватории вблизи Санкт-Петербурга (Геодезия – от греч. слов ge – Земля и daio – разделяю: наука о форме и размерах Земли. Астрономия – от греч. слов astron – звезда и nomos – закон. Обсерватория – от лат. observatio – наблюдение). Поэтому в настоящее время в России и в Украине для составления морских навигационных карт используют национальную геодезическую систему «Пулково-42», которая является эллипсоидом Красовского.

Расчет параметров орбиты навигационных спутников Земли (от лат. orbita – колея, путь) производят на базе Всемирных геодезических систем, к которым относятся следующие земные эллипсоиды:

Всемирная геодезическая система 1984 года (Word Geodetic System of 1984 year WGS-84) – земной эллипсоид, который является математической основой для расчета параметров орбиты искусственных спутников Земли американской спутниковой радионавигационной системы (СРНС) «НАВСТАР» - Navigation Satellite providing Time And Rane – навигационная спутниковая система, обеспечивающая измерение времени и местоположения, более известная под названием – GPS – Global Positioning System – глобальная система позицирования.

Параметры Земли 1990 года – ПЗ-90 (Parameter of Earth of 1990 year – PE-90) или Советская геодезическая система 1990 года (Soviet Geodetic Systemof 1990 year – SGS-90) – земной эллипсоид, который является математической основой для расчета параметров орбиты искусственных спутников Земли российской спутниковой радионавигационной системы (СРНС) «ГЛОНАСС» (Глобальная Навигационная Спутниковая Система).

Если сравнить длину большой и малой полуосей любого земного эллипсоида в таблице 1.1, то малая полуось (b ) окажется короче большой полуоси (а) в среднем на 21 км, что составляет 0,3% длины большой полуоси. Для наглядности можно изобразить земной эллипсоид в уменьшенном виде так, чтобы его большая полуось равнялась одному метру (а = 1 м), то малая полуось будет короче на 3 миллиметра (b = 0,997 м). При такой незначительной разнице большой и малой осей – земной эллипсоид по форме очень близок шару. Поэтому для решения практических задач навигации, которые не требуют повышенной точности, вполне допустимо применять более простую по форме геометрическую (математическую) модель Земли – шар, размеры которого наиболее близки размерам земного эллипсоида.

Таким образом, земной шар

Принцип создания земного шара основан на вычислении такого радиуса шара, при котором размеры этого шара будут наиболее близки размерам земного эллипсоида. В зависимости от способа вычисления радиуса шара – созданы следующие модификации земного шара:

1. Земной шар, объем которого равен объему земного эллипсоида.

В этом случае радиус шара определяют из равенства объемов земного шара и земного эллипсоида:

2. Земной шар, поверхность которого наиболее близка поверхности земного эллипсоида. В этом случае радиус земного шара определяют из равенства площадей земного шара и земного эллипсоида:

3. Земной шар, радиус которого равен длине большой полуоси земного эллипсоида: R ЗШ = а .

ВЫВОДЫ

1. Навигация – это математическая наука о способах определения оптимального пути судна на водной поверхности Земли и о способах прокладки этого пути на морской навигационной карте.

2. Морская навигационная карта (МНК) – это плоское изображение выпуклой поверхности морей и океанов с прилегающими участками суши.

3. Перенос выпуклой поверхности Земли на плоскость карты, прокладка пути судна на водной поверхности Земли и на карте производятся путем математических вычислений, основой для которых является планета Земля в виде геометрического (математического) тела.

4. Геометрическое (математическое) тело – это объемная фигура простой формы, которая поддается математическому описанию, когда форму и размеры этого тела можно выразить с помощью простых математических формул.

5. Поскольку планета Земля имеет сложную форму, которая не поддается математическому описанию - возникает необходимость аппроксимации (замены) нашей планеты геометрическим (математическим) телом.

6. Аппроксимацию планеты Земля производят в следующей последовательности:

6.1 На базе планеты Земля создают физическую модель Земли – геоид.

6.2 На базе геоида создают геометрическую (математическую) модель Земли – земной эллипсоид.

6.3 На базе земного эллипсоида создают геометрическую (математическую) модель Земли – земной шар.

7. Геоид – это фигура планеты Земля, ограниченная гидросферой, над которой не возвышается литосфера Земли. При этом:

7.1 Гидросфера Земли – это наружная водная оболочка Мирового океана, которая окружает материки и острова и занимает около 71% земной поверхности.

7.2 Литосфера Земли – это твердая часть поверхности планеты Земля, которая состоит из земной коры и верхней мантии Земли.

8. Геоид не является геометрическим телом, т.к. сглаженная поверхность планеты Земля без материков и островов имеет сложную форму.

9. Земной эллипсоид или земной сфероид или референц-эллипсоид – это геометрическая фигура эллипсоид (сфероид), форма и размеры которой наиболее близки к форме и размерам геоида. При этом:

9.1 Эллипсоид – это объемная фигура, поверхность которой образована вращением эллипса вокруг большой или малой оси:

9.1.1 Эллипсоид, образуемый вращением эллипса вокруг большой оси, называется вытянутым эллипсоидом .

9.1.2 Эллипсоид, образуемый вращением эллипса вокруг малой оси, называется сжатым эллипсоидом .

9.2 Эллипс – это плоская овальная кривая, которая образована путем сжатия окружности.

9.3 Окружность – это замкнутая плоская кривая, все точки которой одинаково удалены от ее центра.

9.4 Сфероид – это сжатый эллипсоид.

9.5 Плоская кривая – это кривая, лежащая в плоскости.

10. Форму и размеры земного эллипсоида определяют следующие параметры:

10.1 Длина большой полуоси эллипсоида «a »;

10.2 Длина малой полуоси эллипсоида «b »;

10.3 Степень полярного сжатия эллипсоида ;

10.4 Величина первого эксцентриситета эллипсоида . При этом:

10.4.1 Первый эксцентриситет эллипсоида – это эксцентриситет эллипса, вращением которого образован этот эллипсоид.

10.4.2 Эксцентриситет эллипса – это число, равное отношению расстояния между фокусами эллипса к длине большой оси эллипса.

10.4.3 Фокусы эллипса – это 2 точки на большой оси эллипса, сумма расстояний от которых до любой точки эллипса равна длине большей оси этого эллипса.

11. Земной эллипсоид должен соответствовать следующим условиям:

11.1 Объем земного эллипсоида должен быть равен объему геоида.

11.2 Малая ось земного эллипсоида должна совпадать с осью вращения Земли.

11.3 Плоскость экватора земного эллипсоида должна совпадать с плоскостью земного экватора геоида.

11.4 Алгебраическая сумма квадратов геодезической высоты всех точек геоида должна быть наименьшей.

12. Плоскость экватора земного эллипсоида – это плоскость сечения, которая проходит через центр этого эллипсоида под углом 90º к малой оси.

13. Плоскость экватора геоида – это плоскость сечения, которая проходит через центр геоида под углом 90º к оси вращения Земли.

14. Геодезическая высота точки (h) – это высота какой-либо точки поверхности геоида относительно поверхности земного эллипсоида, которая может иметь следующие значения:

14.1 Нулевая геодезическая высота точки (h=0), когда эта точка является точкой соприкосновения поверхностей геоида и земного эллипсоида.

14.2 Положительная геодезическая высота точки (+h), когда эта точка находится над поверхностью земного эллипсоида.

14.3 Отрицательная геодезическая высота точки (-h), когда эта точка находится под поверхностью земного эллипсоида.

15. Земной шар – это шар, размеры которого наиболее близки размерам земного эллипсоида.

16. Принцип создания земного шара основан на вычислении такого радиуса шара, при котором размеры этого шара будут наиболее близки размерам земного эллипсоида. В зависимости от способа вычисления радиуса шара – созданы следующие модификации земного шара:

16.1 Земной шар, объем которого равен объему земного эллипсоида:

16.2 Земной шар, поверхность которого равна поверхности земного эллипсоида:

16.3 Земной шар, радиус которого равен длине большой полуоси земного эллипсоида: R ЗШ = а .

17. Земной эллипсоид является математической основой для создания морских навигационных карт (МНК) и для решения навигационных математических задач.

18. Земной шар является математической основой для решения практических навигационных задач в том случае, если это решение не требует повышенной точности.

При построении математических моделей используют не материальные предметы, такие как дерево, пластмасса и т. п., а идеализированные, математические объекты: фигуры, параметры, произведение, равно, формула и т.п. Вообще часть плоскости может быть математической моделью многих реальных объектов. Так, древние евреи представляли Землю в виде равнины, поскольку жили в такой местности. И это представление правильно отражало действительность, конечно, приближённо и на малых площадях. Естественно, что в глубокой древности не могло быть достаточно правильных представлений о форме всей земной поверхности.

География многим обязана древним грекам – эллинам. Их представления о форме Земли описаны в поэмах Гомера «Одиссее» и «Илиаде», из которых следует, что они считали Землю слегка выпуклой поверхностью, т.е. говоря современным научным языком, моделировали её шаровым или сферическим сегментом большого радиуса, когда ещё и не имели правильных представлений о форме земли в целом. Однако уже последователи знаменитого греческого учёного Пифагора – математика и философа – пошли дальше: они считали, что Земля имеет форму шара и, пытались, конечно, приближённо, определить его диаметр. Первое измерение диаметра земного шара, послужившее основанием математической географии, произвёл Эратосфен – древнегреческий математик и астроном , .

Знания о форме Земли и её размерах уточнялись, особенно после того, когда в 17 веке был найден метод надёжного измерения больших расстояний на ней, получивший название «триангуляция» (от латинского слова «триангулюм» - треугольник). Этот способ характерен тем, что встречающиеся на пути препятствия- холмы, леса, болота и т. п., не мешают довольно точному измерению расстояний .

Конечно, Земля не может иметь форму шара, хотя бы потому, что она вращается вокруг своей оси. На это указывал ещё великий Ньютон: в результате вращения земной шар оказался раздутым у экватора, а у полюсов сплющенным и таким образом приобрёл форму мандарина. Однако у сторонников Ньютона были и оппоненты, которые утверждали, что Земля не сплюснута, как мандарин, а наоборот вытянута подобно лимону. Научный спор между сторонниками двух противоположных утверждений длился около 50 лет. С помощью достаточно точных измерений, основанных на методе триангуляции, было установлено, что Земля имеет форму мандарина, точнее является сфероидом. Размеры земного шара, полученные таким способом, следующие: длина экваториального диаметра составляет км, а длина полярного диаметра – км. Эти величины показывают, что экваториальный диаметр примерно на 43 км длиннее полярного. Если изобразить отклонение формы Земли от шара на глобусе с экваториальным диаметром точно 1 м, то его полярная ось должна быть короче всего на 3,4 мм! Действительно, если м – полярная ось глобуса, то , откуда и (м), т.е. на глобусе экваториальный диаметр отличается от полярной оси всего на 3,4 мм. Это настолько малая величина, что на глаз её невозможно обнаружить.

Таким образом, форма Земли очень мало отличается от шара! Однако можно подумать, что горные вершины должны сильно искажать форму Земли. Но и это не так. Даже высочайшая гора Земного шара – Эверест (Джомолунгма), высотой почти км, в масштабах указанного выше глобуса изобразится в виде прилипшей к нему песчинки диаметром около мм. Действительно, если обозначить через у м высоту изображения Эвереста на указанном глобусе, то , т.е. (м) или 0,7 мм. Итак, шар является математической моделью Земли, с хорошим приближением, отражающим её форму. Это обстоятельство даёт возможность использовать для различных расчетов закономерности сферической тригонометрии – математической дисциплины, изучающей зависимости между сторонами и углами сферических треугольников, образующихся при пересечении трех больших кругов сферы.

Конечно, на отдельных участках поверхности земли, моделируемых частями плоскости, с успехом могут применяться и законы обычной (плоской) тригонометрии.

В этой связи рассмотрим задачу о движении малого диаметра ядра, начальная скорость которого направлена под углом к поверхности Земли. Требуется установить траекторию движения центра ядра и определить расстояние на поверхности Земли от точки вылета до точки падения. Для решения этой задачи построим математическую модель, основанную на следующих допущениях (аксиомах):

1) на интересующем нас участке поверхность Земли заменяется горизонтальной плоскостью;

2) ускорение свободного падения постоянно;

3) сопротивлением воздуха при движении ядра пренебрегаем;

4) ядро считаем материальной точкой.

Теперь введём систему координат. Её начало совместим с центром покоящегося ядра, ось направим горизонтально в сторону движения центра ядра, ось – вертикально вверх. Тогда, как известно из физики, характер движения ядра описывается системой уравнений

представляющей математическую модель рассматриваемой задачи. Исходя из этой модели, легко получить ответы на поставленные вопросы. Заметим, что при

приходим к модели, рассмотренной в § 3.

Задача. Какой поперечник должен иметь глобус, чтобы на нём мог быть изображён Эверест высотой около 1 мм в масштабе глобуса? .

Обозначим диаметр глобуса через у м, тогда, для определения неизвестного получим уравнение: , т.е (м).

(Заметим, что ответ: «Примерно 4,5 м», приведённый на с. 93 указанной книги, неверный).

Итак, даже самая высокая гора Земли – Эверест (Джомолунгма), достигающая км в масштабах указанного выше глобуса с поперечником 1,4 м, изобразится в виде прилипшей к нему песчинки диаметром около 1 мм.

В геодезии для обозначения формы земной поверхности используют термин – фигура Земли. Знания фигуры Земли необходимы для определения объектов на земной поверхности и точного их отображения в виде планов и фактов. Физическая поверхность Земли: 70.8%-подводная, 29.2%-надводная.Рельеф, как и надводный так и подводный, примерно одинаков и состоит из гор, вулканов, каньонов, впадин.Физическая поверхность Земли представляет собой по форме напоминает «груши» с несколькими вмятинами. На космических снимках земной поверхности - показана в виде сферы. Т.к. подводная часть покрыта морями и океанами, поэтому из-за волнений океанов через любую точку на поверхности можно провести N-ное количество уровенных поверхностей. В 1873г была предложена уровенная поверхность, которая совпадает с уровнем морей и океанов в спокойной состоянии – основная уровенная поверхность. На уровенной поверхности имеется т.А, на которую действуют 2 силы. 1) Гравитационная сила притяжения, которая направлена к центру масс Земли. 2) Центробежная сила вращения Земли, которая перпендикулярна оси вращения Земли. Равнодействующая 2ух этих сил – сила тяжести, в которой каждая точка отвесна. Если через т.А провести выпуклую, замкнутую, уровенную поверхность, то через т.А можно будет провести N-ное количество урвоенных поверхностей. Такая математическая модель – уровенная (горизонтальная), т.к. отвесная линия имеет прямой угол с т.А. Такая модель имеет условие неопределенности, на ней можно решать только частные задачи. 1873г немецкий астролог Листингом Иоганн предложил математическую модель «геойдом» (землеподобным). Геойд – выпуклая, замкнутая, уровенная поверхность, которая совпадает с поверхностью морей и океанов в свободном состоянии и мысленном продолжении под материками, при этом сила тяжести в любой точке отвесна. Очень сложная математическая модель. Для решения 1ого геойда используется 300 сферических коэффициентов. Для последнего – 60000. Если для решения взять первые 2- 3 коэффициента, то получим сферу (шар) . Уровенная поверхность, которого будет отличаться от поверхностого уровня геойда на 22км. Если добавить еще несколько, то получим вращающееся колесо. А ошибка составит 100-150км. Эллипсоидное вращение – образованная вращением эллипса вокруг своей оси. Для составления топографических карт и планов в основном применяется референц-эллипсоидное вращение. Данный эллипсоид ориентирован, так чтобы его поверхность совпадала с геойдом на территории страны или соседних стран. США-Эллипсоид Кларка(1866). Франция – Эллипсоид Бесселя, который применялся в России до 1946г. С 1946г. в России применяется референц-эллипсои с параметрами: большая полуось 6378245м и сжатием α= 298.3 . Малая полуось «б» вычисляется (b=a(1+α)). Для технических и картографических расчетов используется радиус шара . Радиус Земли 6378.11км.

4.Системы координат: географические, прямоугольные, полярные. Высота. Когда высота называется отметкой?

Для определения положения точки на земной поверхности применяется географическая система координат (угловая система т.к. результат измерений показывается в градусах) . Координатными осями в географической системе координат является начальный меридиан и экватор. Впервые начальный меридиан был узаконен в 15 веке и проходил через остров Фетро. До1884г каждая страна имела свой начальный меридиан. В России проходил через Пулково, во Англии через Гринвич. С 1884г для всех стран установили единый начальный меридиан, который называется Гринвичский (или нулевой меридиан) 0 0 . Меридиан точки – дуга большого круга, проходящего через северный и южный дуга малого круга проходящего через точку и параллельно экватору. Для определения географических координат применялись значения широты и долготы. Широта – угол образованный отвесной линией совпадающей с радиусом Земли проходящую через т.Б и плоскостью экватора. Широта отсчитывается от экватора к северному полюсу от 0 0 до 90 0 и к южному от 0 0 до 90 0 и называется серенной или южной высотой. Долгота – двугранный угол образованный плоскостью начального меридиана и плоскостью меридиана проходящего через т.С. Долгота отсчитывается от начального меридиана к востоку от 0 – 180 и называется восточной долготою, а также к западному от 0 – 180 и называется западным меридианом. Прямоугольная система координат(линейная) строится и определяется на плоскости. Координатные оси состоят из 2ух взаимно перпендикулярных прямых. Вертикальная ось – X. Горизонтальная ось – Y. Точка пересечения – начало координат. В геодезии в основном применяется левая часть системы координат. Каждая ось имеет свой знак. Для ориентирования имеется градусная система. Полярная система координат (линейноугловая). Система плоских координат образованных прямыми лучами, который называется полярной осью. т.О – полюс. Измеряемое расстояния до определяемого. т.А – радиус вектора (полярное расстояние). По OX изменяется горизонтально. Данная система координат используется при топографической съемки местности, а также при составлении топографических планов. Выше перечисленные координаты являются плановыми координатами. Для создания топографического плана или карты необходима координат, которая называется – высота. Высота(H) – расстояние по отвесной линии от уровенной поверхности заданной Государственной геодезической сетью, которая является исходной(нулевой) до точки на земной поверхности.1)Ортометрическая высота – расстояние по отвесной линии от уровенной поверхности геоида, до точки на земной поверхности (абсолютная). 2)Геодезическая высота – расстояние по нормали от уровенной поверхности референц -эллипсоид а до точки на земной поверхности. 3)Нормальная система высот –расстояние по отвесной линии от уровенной поверхности квазигеоида до точки на земной поверхности. В России все высоты показаны в нормальной системе высот. Квазигеоид(почти геоид)- выпуклая, замкнутая поверхность, уровенные поверхности которого совпадают с поверхностью геоида в морях и океанах, и отличаются от неё на суше и в равнинных районах на 1- 2 см, а в горных на 2 см. 4) Условная высота – расстояние по отвесной линии по заданной уровенной поверхности до определяемой точки. Разность высот между точками на местности – превышение (h). Высота и превышение имеют свой знак (+/-). В России применяется Балтийская система высот, то есть уровенная поверхность Балтийского моря совпадает с уровенной поверхностью геоида. Отсчет ведется 0ого штриха кронштадтского футшток а. Если высота показана числом, то такая высота – отметка.

Рис. 1.2. Шар

2. Под действием центробежной силы, вызванной вращением вокруг оси с постоянной скоростью, Земля приобрела форму сфероида или эллипсоида вращения (рис.1.3).

Рис. 1.3. Эллипсоид вращения

большая полуось а = 6378245 м,

малая полуось b = 6356863 м,

полярное сжатие a = 1: 298,3.

Рис. 1.4. Геоид

Все темы данного раздела:

ИнженернАЯ геодезиЯ
Учебное пособие Челябинск Издательство ЮУрГУ УДК 528.48 (076.5) + 528,4 (075.8) М636 Одобрено учеб

Краткая историческая справка о развитии Геодезии
Возникновение геодезии относится к глубокой древности. Известно, что в государствах Ближнего Востока за несколько тысячелетий до н.э. была создана сложная ирригационная система. За 2150 лет до н.э.

Предмет и задачи геодезии
Геодезия – наука об измерениях на земной поверхности, проводимых для определения формы и размеров Земли, изображения земной поверхности в виде планов, карт и профилей, для решения инженерных и наро

Система географических (астрономических) координат
j l а Э

Система геодезических координат
В L А Э

Прямая и обратная геодезические задачи. Их применение в геодезическом производстве
х1 х2 у1

Масштабы
Масштаб – отношение длины линии на плане к соответствующей проекции этой линии на местности. а) Численный масштаб– число, правильная дробь, в числителе –

Основы математической обработки геодезических измерений
Геодезические измерения определяют относительное положение точек земной поверхности. Различают следующие виды измерений: 1) линейные – получают наклонные и горизонтальные расстоян

Геодезические планы, карты
План– чертеж, представляющий собой уменьшенное и подобное изображение ее проекции на горизонтальную плоскость (рис. 5.1, а). На плане длины линий, углы, площади контуров

Условные знаки на планах, картах, геодезических и строительных чертежах
Для обозначения на планах и картах различных предметов местности применяют специально разработанные условные знаки. Условные знаки делятся на: а) контурные (масшт

Номенклатура топографических планов и карт
Номенклатура – система разграфки и обозначений топографических планов и карт. В основу номенклатуры карт на территории Российской Федерации положена международная разграфка листов карты м

Основные формы рельефа
а) Гора, холм (рис. 5.16) – куполообразная или коническая возвышенность земной поверхности Вершина

Горизонтали
Горизонталь - замкнутая кривая линия, все точки которой имеют одну и ту же высоту над начальной уровенной поверхностью Свойства горизонталей: - точки, лежащие на одной и то

Уклон линии. Графики заложений
Уклон i линии – отношение превышения h к заложению линии d (рис. 5.22). Уклон – мера крутизны ската. Например, h = 1 м, d = 20 м. i = 1/20 = 0,05. Уклоны выражаются в процентах i

Задачи, решаемые по карте
Склонение на 2005 г. восточное 6°12¢. Среднее сближение меридианов западное 2°

Методы, схемы, точность и плотность пунктов при создании сети
- триангуляция (рис. 6.1) применяется в открытой местности: Рис. 6.1. Триангуляция - полигонометрия (рис. 6.2) применяется в закрытой местности:

Схемы, методы, точность и плотность пунктов при создании сети
Схемысоздания сети: Рис. 6.7. Схема нивелирования I – IV классов: Линии нивелирования I класса Линии нивелирования II

Измерение линий лентой
- провешивание линий Рис. 7.1. Измерение линии лентой Измеренное расстояние вычисляется по формуле, (7.1) где Д – расстояние между точками,

Измерения расстояния нитяным дальномером
d f d¢

Дальномерные определения расстояний
- b2 Д2

Принцип измерения горизонтальных и вертикальных углов
Угловые измерения необходимы при развитии триангуляционных сетей, прокладывании полигонометрических, теодолитных и высотных ходов, выполнении топографических съемок и решении многих геодезически

Основные части теодолита
Основными частями теодолита являются: лимб или горизонтальный круг, алидада, зрительная труба, цилиндрический уровень, подставки, вертикальный круг, подъемные винты. Лимб (рис.8.3)

Изучение устройства теодолита типа Т30
При изучении устройства теодолита следует обратить внимание на работу наводящих винтов: они должны занимать среднее положение, чтобы была возможность перемещения подвижных частей теодолита вправо

Измерение горизонтальных и вертикальных углов
Работа по измерению углов на станции выполняется в следующем порядке: Индекс алидады в)

Порядок работы на станции
- При КЛ, при закрепленном лимбе, поворачивают алидаду, пока по ГК будет отсчет 0°0¢; - при закрепленной алидаде пово

Порядок работы на станции
- При КЛ, при закрепленном лимбе, поворачивают алидаду, пока отсчет по ГК будет 0° 0¢; - при закрепленной алидаде поворачивают лимб, пока центр сетки будет наведен н

Камеральные работы при обработке результатов измерений
а) Обработка журналов. Составление схемы теодолитных ходов Камеральные работы начинают с проверки полевых журналов. Затем на бумаге по средним значениям углов и длинам линий составляют схе

Топографические съемки
Съемка местности – совокупность угловых и линейных измерений, выполняемых на земной поверхности для создания плана, карты или профиля. Съемки делятся на: - наземные (теодолитная,

Нивелирование. Назначение. Методы нивелирования
Нивелирование– процесс геодезических измерений для определения превышения точек одной над другой и высот точек над уровнем моря. Назначение – для определ

Устройство, поверки и юстировка нивелира
а) Устройство нивелиров Линия визирования у нивелира приводится в горизонтальное положение двумя способами: 1) с помощью элевационного винта и цилиндрического уровня при тр

Элементы закруглений. Разбивка главных точек круговой кривой
В местах поворота трассы производят разбивку закруглений. Рис. 9.15. Разбивка главных точек круговой кривой: R- радиус кривой; НК – начало кривой; СК –

Детальная разбивка кривых
Х1 У1 У2

Нивелирование трассы
пк0 пк1 пк2

Камеральные работы при трассировании линейных сооружений
1. Проверка полевого журнала: вычисление превышений, средних превышений. Вычисляют сумму превышений по ходу между исходными реперами Σhизм. Теоретическую сумму вычис

Основные элементы разбивочных работ
Разбивочными работами называются геодезические построения, имеющие целью определение на местности положения сооружения и его частей в плане и по высоте в соответствии с проектом. Разбивоч

Строительной площадки
Для выноса на местность строительной площадки и основных осей здания (рис. 10.7) прокладывают теодолитный ход с расчетом, что с точек хода будут вынесены площадка и оси здания. Точки хода закрепляю

Передача отметок на дно котлована и на этаж
а) Передача отметки на этаж а b

Библиографический список
Основной 1. Федоров, В.И. Инженерная геодезия / В.И. Федоров, П.И. Шилов.– М.: Недра, 1982. 2. Курс инженерной геодезии / Под ред. В.Е. Новака – М.: Недра, 1989. 3. Митин