Аппроксимация функции пример. Аппроксимация опытных данных

Пусть y является функцией аргумента х. Это означает, что любому значению х из области определения поставлено в соответствие значение x. На практике иногда невозможно записать зависимость y(x) в явном виде. Вместе с тем, нередко эта зависимость задается в табличном виде. Это означает, что дискретному множеству значений {xi) поставлено в соответствие множество значений {yi), 0 < i < m. Эти значения — либо результаты расчета, либо набор экспериментальных данных.

В часто требуется найти некоторую аналитическую функцию, которая приближенно описывает заданную табличную зависимость. Кроме того, иногда требуется определить значения функции в других точках, отличных от узловых. Этой цели служит задача о приближении (аппроксимации ). В этом случае находят некоторую функцию f(х), такую, чтобы отклонения ее от заданной табличной функции было наименьшим. Функция f(х) называется аппроксимирующей.

Вид аппроксимирующей функции

существенным образом зависит от исходной табличной функции. В разных случаях функцию f(х) выбирают в виде экспоненциальной, логарифмической, степенной, синусоидальной и т.д. В каждом конкретном случае подбирают соответствующие параметры таким образом, чтобы достичь максимальной близости аппроксимирующей и табличной функций. Чаще всего, однако, функцию представляют в виде полинома по степеням х. Запишем общий вид полинома n-й степени:

Коэффициенты aj подбираются таким образом, чтобы достичь наименьшего отклонения полинома от заданной функции.

Таким образом, аппроксимация — замена одной функции другой, близкой к первой и достаточно просто вычисляемой.

Зачем нужна аппроксимация функций В окружающем нас мире все взаимосвя-зано, поэтому одной из наиболее часто встре-чающихся задач является поиск зависимости между различными величинами, что позволяет по значению одной величины определить значение другой. Математической моделью такой зависимости является понятие функции y = f (x).

При расчетах, связанных с обработкой полученных экспериментальных данных, вычислением f (x), разработкой вычислительных методов, встречаются следующие две ситуации: 1. Как установить вид функции y = f (x), если она неизвестна, а известны только некоторые ее значения (полученные из экспериментальных измерений, или из сложных расчетов). 2. Как упростить вычисление известной функции f (x) или ее характеристик, если f (x) имеет слишком сложный вид?

Ответы на эти вопросы дает теория аппроксимации функций, основная задача которой – нахождение функции (x), близкой (аппроксимирующей) к исходной f (x). ыбирают Функцию (x) чтобы такой, она была максимально удобной для расчетов. Основной подход к решению этой задачи заключается в том, что (x) выбирается зависящей от нескольких свободных параметров, значения которых подбираются из некоторого условия близости функций f (x) и (x).

Обоснование способа нахождения вида функциональной зависимости и выбора параметров составляет задачу теории аппроксимации функций. В зависимости от способа выбора параметров получены разные методы аппроксимации. Наиболее распространенными являются: интерполяция и среднеквадратичное приближение, частным случаем которого является метод наименьших квадратов.

Наиболее простой является линейная аппроксимация, при которой выбирают функцию линейно зависящую от параметров ci (i = 1, 2, …, n) в виде многочлена: , (1) {φk (x) } – линейно независимые функции, в качестве которых выбирают элементарные функции (тригонометрические, экспоненты, логарифмические или их комбинации).

Интерполяция это один из способов аппроксимации функций. Суть ее в следующем. Для x на интервале , где функции f и должны быть близки, выбирают систему точек (узлов) x 1

В случае линейной аппроксимации (1) система для нахождения коэффициентов сi линейна и имеет следующий вид: (2) При интерполяции для расчетов наиболее удобны обычные алгебраические многочлены.

Интерполяционным многочленом называют алгебраический многочлен степени (n – 1), совпадающий с аппроксимируемой функцией в выбранных n точках (узлах). Общий вид алгебраического многочлена: (3)

Матрица системы (2) в этом случае имеет вид. (4) Ее определитель отличен от нуля, если точки xi разные. Поэтому задача (2) обязательно имеет решение.

При h 0 порядок погрешности интерполяции алгебраическим многочленом равен количеству выбранных узлов n. Величина может быть сделана малой как за счет увеличения n, так и уменьшения h. В практических расчетах обычно используют многочлены невысокого порядка (n 6), в связи с тем, что с ростом n возрастает погрешность вычисления самого многочлена из-за погрешностей округления.

Многочлены можно записать по-разному: P 1(x) = 1 – 2 x + x 2 = (x – 1)2. В зависимости от решаемых задач применяют различные виды представления многочлена и способы интерполяции. Наиболее часто используют интерполяционные многочлены Лагранжа и Ньютона. Их особенность в том, что не надо находить параметры сi , т. к. эти многочлены записаны через значения таблицы (узлы) { (xi, yi), i = 1, …, n }.

Параметрами этой функции являются: xt – текущая точка, в которой находится неизвестное значение функции по известным узлам; x и y – узлы, т. е. массивы известных значений (рекомендуется передавать по адресу); m – количество узлов (размер массивов x и y); Понятно, что циклы должны быть организованы от 0 и до значения, меньшего указанного, например первый цикл: for (i = 0; i

Src="https://present5.com/presentation/91940964_324663347/image-18.jpg" alt="Линейная и квадратичная интерполяция При интерполяции по заданной таблице (узлам) из m > 3"> Линейная и квадратичная интерполяция При интерполяции по заданной таблице (узлам) из m > 3 точек применяют квадратичную для n = 3 или линейную для n = 2 интерполяцию. В этом случае для приближенного вычисления значения функции f в точке x находят в таблице ближайший к этой точке i-й узел, строят интерполяционный многочлен Ньютона первой или второй степени по следующим формулам.

(1) где xi– 1 ≤ x. Т ≤ xi. За приближенное значение функции f (x. T) принимают N 1(x. T) – линейная интерполяция.

(2) где xi– 1 ≤ x. Т ≤ xi+1. За приближенное значение функции f (xt) принимают N 2(xt) – квадратичная интерполяция.

Параметрами функций в рассмотренных схемах линейной и квадратичной интерполяций являются значения, аналогичные рассмотренным в схеме функции расчета многочлена Ньютона. Результат линейной интерполяции yt = N 1(xt) (приближенное значение функции в точке xt) рассчитывается по формуле (1) и возвращается в точку вызова функции, а результат квадратичной интерполяции yt = N 2(xt) – по формуле (2).

Интерполяционный многочлен Лагранжа (8) Многочлены выбраны так, что во всех узлах, кроме k-го, они равны нулю, а в k-м узле – единице: Из выражения (8) видно, что Ln– 1(xi) = yi.

Параметрами функции являются значения, аналогичные рассмотренным ранее схемам. Рассчитанный согласно формуле (8) результат yt возвращается в точку вызова функции. Текст функции, реализующий предложенный алгоритм, может иметь следующий вид:

double Metod (double xt, double *x, int m) { int i, k; double e, yt = 0; for (k = 0; k

В данном случае массив табличных значений функции y не используется, т. к. функция f (x) реализована в виде функции пользователя: double fun (double x) { return «Вид функции f (x)» ; } Вместо блока yt = yt + e yk в схеме алгоритма используем вычисление yt += e * fun (x[k]);

Общий алгоритм аппроксимации функции В заданиях вид функции f (x) известен для того, чтобы можно было найти нужное количество узлов (значений таблицы) на отрезке и сравнить полученные результаты. Пусть на отрезке задана таблица из m известных узлов. Необходимо аппроксимировать f (x) в n точках, n ≥ m, т. е. найти по небольшому количеству известных значений m нужное количество n неизвестных значений функции.

Как и предыдущие, этот урок с аналогичным текстом лучше смотреть не листе Excel (см. Уроки аппроксимации.xls, Лист1)

Аппроксимация в Excel проще всего реализуется с помощью программы построения трендов. Для выяснения особенностей аппроксимации возьмем какой-либо конкретный пример. Например, энтальпию насыщенного пара по книге С.Л.Ривкина и А.А.Александрова "Теплофизические свойства воды и водяного пара", М., "Энергия", 1980г. В колонке P поместим значения давления в кгс/см2, в колонке i" - энтальпию пара на линии насыщения в ккал/кг и построим график с помощью опции или кнопки "Мастер диаграмм".

Щелкнем правой кнопкой по линии на рисунке, затем левой кнопкой по опции "Добавить линию тренда" и смотрим - какие услуги предлагаются нам этой опцией в части реализации аппроксимации в Excel.

Нам предлагается на выбор пять типов аппроксимации: линейная, степенная, логарифмическая, экспоненциальная и полиноминальная. Чем они хороши и чем могут нам помочь? - Нажимаем кнопку F1, затем щелкаем по опции "Мастер ответов" и в появившееся окошко вводим нужное нам слово "аппроксимация", после чего щелкаем по кнопке "Найти". Выбираем в появившемся списке раздел "Формулы для построения линий тренда".

Получаем следующую информацию в несколько измененной нами

редакции:

Линейная:

где b - угол наклона и a - координата пересечения оси абсцисс (свободный член).

Степенная:

Используется для аппроксимации данных по методу наименьших квадратов в соответствии с уравнением:

где c и b - константы.

Логарифмическая:

Используется для аппроксимации данных по методу наименьших квадратов в соответствии с уравнением:

где a и b - константы.

Экспоненциальная:

Используется для аппроксимации данных по методу наименьших квадратов в соответствии с уравнением:

где b и k - константы.

Полиноминальная:

Используется для аппроксимации данных по методу наименьших квадратов в соответствии с уравнением:

y=a+b1*x+b2*x^2+b3*x^3+...b6*x^6

где a, b1, b2, b3,... b6 - константы.

Снова щелкаем по линии рисунка, затем по опции "Добавить линию тренда", далее по опции "Параметры" и ставим флажки в окошках слева от записей: "показывать уравнение на диаграмме" и "поместить на диаг- рамму величину достоверности аппроксимации R^2, после чего щелкаем по кнопке OK. Пробуем все варианты аппроксимации по порядку.

Линейная аппроксимация дает нам R^2=0.9291 - это низкая достоверность и плохой результат.

Для перехода к степенной аппроксимации щелкаем правой кнопкой по линии тренда, затем левой кнопкой - по опции "Формат линии тренда", далее по опциям "Тип" и "Степенная". На этот раз получили R^2=0.999.

Запишем уравнение линии тренда в виде, пригодном для расчетов на листе Excel:

y=634.16*x^0.012

В результате имеем:

Максимальная погрешность аппроксимации получилась на уровне 0.23 ккал/кг. Для аппроксимации экспериментальных данных такой результат был бы чудесным, но для аппроксимации справочной таблицы это не слишком хороший результат. Поэтому попробуем проверить другие варианты аппроксимации в Excel посредством программы построения трендов.

Логарифмическая аппроксимация дает нам R^2=0.9907 - несколько хуже, чем по степенному варианту. Экспоненнта в том варианте, который предлагает программа построения трендов, вообще не подошла - R^2=0.927.

Полиноминальная аппроксимация со степенью 2 (это y=a+b1*x+b2*x^2) обеспечила R^2=0.9896. При степени 3 получили R^2=0.999, но с явным искажением аппроксимируемой кривой, в особенности при P>0.07 кгс/см2. Наконец, пятая степень нам дает R^2=1 - это, как утверждается, максимально тесная связь между исходными данными и их аппроксимацией.

Перепишем уравнение полинома в пригодном для расчетов на листе Excel виде:

y=1E+07*x^5-4E+06*x^4+469613*x^3-27728*x^2+1020.8*x+592.44

и сравним результат аппроксимации с исходной таблицей:

Оказалось, что R^2=1 в данном случае лишь блестящая ложь. Реально, самый лучший результат полиноминальной аппроксимации дал самый простой полином вида y=a+b1*x+b2*x^2. Но его результат хуже, чем в варианте степенной аппроксимации y=634.16*x^0.012, где максимальная погрешность аппроксимации находилась на уровне 0.23 ккал/кг. Это все, что мы можем выжать из программы построения трендов. Посмотрим, что мы можем выжать из функции Линейн. Для нее попробуем вариант степенной аппроксимации.

Примечание. Обнаруженный дефект связан с работой программы построения трендов, но не с методом МНК.

"Что такое аппроксимация?" – один из нередко задаваемых в сети интернет вопросов. Жаждущие получить ответ, обычно хотят его иметь в форме: точной, всеобъемлющей и короткой. О содержательности ответа как-то забывают.

Если спросить: "Что такое музыка?", то я, как дилетант, скажу, что музыка – это то, что приятно слушать. А профессионал возможно будет поставлен в тупик таким "простым" вопросом. Однако, ближе к теме.

Аппроксимация – это приближение. Приближение чего-то к чему-то с той или иной точностью. Более пространно: аппроксимация, как процесс, – это построение объекта, с той или иной точностью воспроизводящего те или иные свойства исходного, т.е. аппроксимируемого, объекта. Причем, построение объекта в том или ином отношении более удобного, чем исходный объект.

У аппроксимации может быть множество направлений и приложений. Я могу кратко рассказать о той аппроксимации, которой занимался десятки лет. Более всего, это относилось к процессам топливоиспользования на ТЭС. Десятки, а порой и сотни, разных графиков и таблиц, характеризующих работу энергетического оборудования, приходилось переводить в форму аппроксимирующих уравнений или формул. То есть, одни математические объекты – графики и таблицы – воспроизводились другими математическими объектами – аппроксимирующими формулами. После чего формулы заводились на ЭВМ или персональный компьютер, и по ним можно было получить все нужные выходные данные, не водя пальцем по исходным графикам или делая какие-то грубые оценки по таблицам.

Кроме этого, мне, как программисту (или алгоритмисту), приходилось создавать довольно сложные программы – модели, описывающие технологический процесс. Порой эти программы были весьма неудобны для обычного пользователя. Но полученные расчетным путем данные вполне удавалось воспроизвести достаточно точной и простой в обращении аппроксимирующей формулой.

Вы можете в Excel построить график и щелкнуть по нему правой кнопкой мыши. Появится запрос: Вставить линию тренда. Там же можно будет разместить на графике и уравнение тренда. Это и будет примером аппроксимирующей формулы. На нашем сайте вы также можете найти десятки примеров аппроксимации.

Но чтобы получить более или менее содержательное представление, скажем, о пилке дров, надо сначала обрести хотя бы какие-то навыки владения пилой. Тоже самое и с аппроксимацией.

P.S. Решил посмотреть как интерпретируется слово "аппроксимация" в сети интернет. Более других мне понравилась интерпретация в Большом Энциклопедическом Словаре (БЭС):

"АППРОКСИМАЦИЯ (от лат. approximo - приближаюсь), замена одних математических объектов (напр., чисел или функций) другими, более простыми и в том или ином смысле близкими к исходным (напр., кривых линий близкими к ним ломаными)".

Только "замена" – это, в моем понимании, нечто вторичное. А первичное – "приближение". Я, например, порой строил десятки аппроксимирующих формул, добиваясь наилучшего приближения к исходной таблице данных. А собственно "замена" в основном касалась замены одной аппроксимирующей формулы на другую, более удачную. Впрочем, пользователь уже мог использовать мою аппроксимирующую формулы "взамен" исходной таблицы.

В Большой Советской Энциклопедии (БСЭ) находим более развернутое определение:

"Аппроксимация (от лат. approximo - приближаюсь), замена одних математических объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным. Аппроксимация позволяет исследовать числовые характеристики и качественные свойства объекта, сводя задачу к изучению более простых или более удобных объектов (например, таких, характеристики которых легко вычисляются или свойства которых уже известны). В теории чисел изучаются диофантовы приближения, в частности приближения иррациональных чисел рациональными. В геометрии и топологии рассматриваются аппроксимации кривых, поверхностей, пространств и отображений. Некоторые разделы математики целиком посвящены аппроксимации; например, приближение и интерполирование функций, численные методы анализа. Роль аппроксимации в математике непрерывно возрастает. В настоящее время аппроксимация может рассматриваться как одно из основных понятий математики". С. Б. Стечкин.

Осталось только поинтересоваться что означают "диофантовы приближения" и прочие специальные термины и все станет окончательно понятно.

В Википедии (свободной энциклопедии) очень короткое определение:

"Аппроксимация, или приближение - научный метод, состоящий в замене одних объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным, но более простыми".

Позволю себе заметить, что "приближение" – это не есть "замена" или это "замена" в каком-то очень узком и специальном смысле, например в смысле "использование вместо".

В словаре бизнес-терминов находим весьма расплывчатое, на мой взгляд, определение:

"Аппроксимация – приближенное решение сложной функции с помощью более простых, что резко ускоряет и упрощает решение задач. В экономике целью аппроксимации часто является укрупнение характеристик моделируемых экономических объектов".

В философской энциклопедии:

"АППРОКСИМАЦИЯ (от лат. approximare - приближаться) - метод сознательного упрощения "слишком точного" теоретического знания с целью привести его в соответствие с потребностями и возможностями практики. Например, использование числа "пи" с точностью до пятого знака после запятой достаточно для решения поставленной практической задачи. Аппроксимация первоначально использовалась в математике и затем распространилась на все науки. Аппроксимация противоположна идеализации". Г. Д. Левин.

В научной диалектике есть положение: "Истина всегда конкретна". Так и с аппроксимацией – нет аппроксимации "вообще". Ее содержательная часть – в конкретных приложениях и в конкретных областях. Я, например, занимался аппроксимацией графиков и табличных данных посредством подбора подходящих для этого формул с использованием метода наименьших квадратов, встроенного в электронные таблицы Quattro Pro и Excel. А способов подбора – десятки, и это уже не только наука, но и искусство. Ваш, Протасов Н.Г.

P.P.S. Вот еще информация, дополняющая в достаточно простой и понятной форме тему аппроксимации. Эта информация находится по адресу http://univer-nn.ru/ , а здесь я привожу ее в несколько сокращенном виде:

Задача аппроксимации (задача о приближении)

Пусть y = f(x) является функцией аргумента х. Нередко эта зависимость задается в табличном виде. В контрольных по математике на аппроксимацию также часто требуется найти некоторую аналитическую функцию, которая приближенно описывает заданную табличную зависимость. Кроме того, требуется определить значения функции в других точках, отличных от заданных табличных значений. Этой цели служит задача о приближении (аппроксимации). В этом случае находят некоторую функцию f(х), такую, чтобы отклонения ее от заданной табличной функции было наименьшим. Функция f(х) называется аппроксимирующей.

Вид аппроксимирующей функции существенным образом зависит от исходной табличной функции. В разных случаях функцию f(х) выбирают в виде экспоненциальной, логарифмической, степенной, синусоидальной и т.д. В каждом конкретном случае выбирают таким образом, чтобы достичь максимальной близости аппроксимирующей и табличной функций. Чаще всего, однако, функцию представляют в виде полинома по степеням х:

f(x) = ao + a1x + a2x2 + ... + anxn

Коэффициенты aj подбираются таким образом, чтобы достичь наименьшего отклонения полинома от заданной функции.

Таким образом, аппроксимация – замена одной функции другой, близкой к первой и достаточно просто вычисляемой".

Лично я редко пользуюсь полиномами в их классическом виде, как и другими стандартными представлениями, указанными в статье. Однако это уже нюансы технологии построения аппроксимирующих формул.

Еще раз – с пожеланиями успехов!

Аппроксимация опытных данных – это метод, основанный на замене экспериментально полученных данных аналитической функцией наиболее близко проходящей или совпадающей в узловых точках с исходными значениями (данными полученными в ходе опыта или эксперимента). В настоящее время существует два способа определения аналитической функции:

С помощью построения интерполяционного многочлена n-степени, который проходит непосредственно через все точки заданного массива данных. В данном случае аппроксимирующая функция представляется в виде: интерполяционного многочлена в форме Лагранжа или интерполяционного многочлена в форме Ньютона.

С помощью построения аппроксимирующего многочлена n-степени, который проходит в ближайшей близости от точек из заданного массива данных. Таким образом, аппроксимирующая функция сглаживает все случайные помехи (или погрешности), которые могут возникать при выполнении эксперимента: измеряемые значения в ходе опыта зависят от случайных факторов, которые колеблются по своим собственным случайным законам (погрешности измерений или приборов, неточность или ошибки опыта). В данном случае аппроксимирующая функция определяется по методу наименьших квадратов.

Метод наименьших квадратов (в англоязычной литературе Ordinary Least Squares, OLS) - математический метод, основанный на определении аппроксимирующей функции, которая строится в ближайшей близости от точек из заданного массива экспериментальных данных. Близость исходной и аппроксимирующей функции F(x) определяется числовой мерой, а именно: сумма квадратов отклонений экспериментальных данных от аппроксимирующей кривой F(x) должна быть наименьшей.

Аппроксимирующая кривая, построенная по методу наименьших квадратов

Метод наименьших квадратов используется:

Для решения переопределенных систем уравнений, когда количество уравнений превышает количество неизвестных;

Для поиска решения в случае обычных (не переопределенных) нелинейных систем уравнений;

Для аппроксимации точечных значений некоторой аппроксимирующей функцией.

Аппроксимирующая функция по методу наименьших квадратов определяется из условия минимума суммы квадратов отклонений расчетной аппроксимирующей функции от заданного массива экспериментальных данных. Данный критерий метода наименьших квадратов записывается в виде следующего выражения:

Значения расчетной аппроксимирующей функции в узловых точках ,

Заданный массив экспериментальных данных в узловых точках .

Квадратичный критерий обладает рядом "хороших" свойств, таких, как дифференцируемость, обеспечение единственного решения задачи аппроксимации при полиномиальных аппроксимирующих функциях.

В зависимости от условий задачи аппроксимирующая функция представляет собой многочлен степени m

Степень аппроксимирующей функции не зависит от числа узловых точек, но ее размерность должна быть всегда меньше размерности (количества точек) заданного массива экспериментальных данных.

∙ В случае если степень аппроксимирующей функции m=1, то мы аппроксимируем табличную функцию прямой линией (линейная регрессия).

∙ В случае если степень аппроксимирующей функции m=2, то мы аппроксимируем табличную функцию квадратичной параболой (квадратичная аппроксимация).

∙ В случае если степень аппроксимирующей функции m=3, то мы аппроксимируем табличную функцию кубической параболой (кубическая аппроксимация).

В общем случае, когда требуется построить аппроксимирующий многочлен степени m для заданных табличных значений, условие минимума суммы квадратов отклонений по всем узловым точкам переписывается в следующем виде:

- неизвестные коэффициенты аппроксимирующего многочлена степени m;

Количество заданных табличных значений.

Необходимым условием существования минимума функции является равенству нулю ее частных производных по неизвестным переменным . В результате получим следующую систему уравнений:

Преобразуем полученную линейную систему уравнений: раскроем скобки и перенесем свободные слагаемые в правую часть выражения. В результате полученная система линейных алгебраических выражений будет записываться в следующем виде:

Данная система линейных алгебраических выражений может быть переписана в матричном виде:

В результате была получена система линейных уравнений размерностью m+1, которая состоит из m+1 неизвестных. Данная система может быть решена с помощью любого метода решения линейных алгебраических уравнений (например, методом Гаусса). В результате решения будут найдены неизвестные параметры аппроксимирующей функции, обеспечивающие минимальную сумму квадратов отклонений аппроксимирующей функции от исходных данных, т.е. наилучшее возможное квадратичное приближение. Следует помнить, что при изменении даже одного значения исходных данных все коэффициенты изменят свои значения, так как они полностью определяются исходными данными.

Аппроксимация исходных данных линейной зависимостью

(линейная регрессия)

В качестве примера, рассмотрим методику определения аппроксимирующей функции, которая задана в виде линейной зависимости. В соответствии с методом наименьших квадратов условие минимума суммы квадратов отклонений записывается в следующем виде:

Координаты узловых точек таблицы;

Неизвестные коэффициенты аппроксимирующей функции, которая задана в виде линейной зависимости.

Необходимым условием существования минимума функции является равенству нулю ее частных производных по неизвестным переменным. В результате получаем следующую систему уравнений:

Преобразуем полученную линейную систему уравнений.

Решаем полученную систему линейных уравнений. Коэффициенты аппроксимирующей функции в аналитическом виде определяются следующим образом (метод Крамера):

Данные коэффициенты обеспечивают построение линейной аппроксимирующей функции в соответствии с критерием минимизации суммы квадратов аппроксимирующей функции от заданных табличных значений (экспериментальные данные).

Алгоритм реализации метода наименьших квадратов

1. Начальные данные:

Задан массив экспериментальных данных с количеством измерений N

Задана степень аппроксимирующего многочлена (m)

2. Алгоритм вычисления:

2.1. Определяются коэффициенты для построения системы уравнений размерностью

Коэффициенты системы уравнений (левая часть уравнения)

- индекс номера столбца квадратной матрицы системы уравнений

Свободные члены системы линейных уравнений (правая часть уравнения)

- индекс номера строки квадратной матрицы системы уравнений

2.2. Формирование системы линейных уравнений размерностью .

2.3. Решение системы линейных уравнений с целью определения неизвестных коэффициентов аппроксимирующего многочлена степени m.

2.4.Определение суммы квадратов отклонений аппроксимирующего многочлена от исходных значений по всем узловым точкам

Найденное значение суммы квадратов отклонений является минимально-возможным.

Аппроксимация с помощью других функций

Следует отметить, что при аппроксимации исходных данных в соответствии с методом наименьших квадратов в качестве аппроксимирующей функции иногда используют логарифмическую функцию, экспоненциальную функцию и степенную функцию.

Логарифмическая аппроксимация

Рассмотрим случай, когда аппроксимирующая функция задана логарифмической функцией вида: