Найти общее решение слу. Решение систем линейных уравнений
Инструкция
Метод подстановки или последовательного исключения.Подстановку используют в системе с небольшим количеством неизвестных. Это простейший метод решения для несложных . Сначала из первого уравнения выражаем одно неизвестное через другие, подставляем это выражение во второе уравнение. Выражаем из преображенного второго уравнения второе неизвестное, подставляем полученное в третье уравнение и т.д. до тех пор, пока не вычислим последнее неизвестное. Затем подставляем его значение в предыдущее уравнение и узнаем предпоследнее неизвестное и т.д. Рассмотрим с неизвестными.x + y - 3 = 0
2x - y - 3 = 0
Выразим из первого уравнения x: x = 3 - y. Подставим во второе уравнение: 2(3 - y) - y - 3 = 0
6 - 2y - y - 3 = 0
3 - 3y = 0
y = 1
Подставляем в первое уравнение системы
(или в выражение для x, что одно и то же): x + 1 - 3 = 0. Получим, что x = 2.
Метод почленного вычитания (или сложения).Этот метод часто сократить решения системы
и упростить вычисления. Состоит он в том, чтобы проанализировав при неизвестных таким образом сложить (или вычесть) уравнения системы
, чтобы исключить часть неизвестных из уравнения. Рассмотрим пример, возьмем ту же систему, что и в первом методе.
x + y - 3 = 0
2x - y - 3 = 0
Легко видеть, что при y стоят одинаковые по модулю коэффициенты, но с знаком, поэтому если мы сложим два уравнения почленно, то yдастся исключить y. Выполним сложение: x + 2x + y - y - 3 - 3 = 0 или 3x - 6 = 0. Таким образом, x = 2. Подставив это значение в любое уравнение, найдем y.
Можно, наоборот, исключить x. Коэффициенты при x одинаковы по знаку, поэтому будем вычитать одно уравнение из другого. Но в первом уравнении коэффициент при x - 1, а во втором - 2, поэтому просто не удастся исключить x. Умножим первое уравнение на 2, получим такую систему:
2x + 2y - 6 = 0
2x - y - 3 = 0
Теперь почленно вычтем из первого уравнения второе: 2x - 2x + 2y - (-y) - 6 - (-3) = 0 или, приведя подобные, 3y - 3 = 0. Таким образом y = 1. Подставив в любое уравнение, найдем x.
Видео по теме
Совет 2: Как доказать совместимость системы линейных уравнений
Одно из заданий высшей математики – доказательство совместимости системы линейных уравнений. Доказательство необходимо проводить по теореме Кронкера-Капелли, согласно которой система совместна, если ранг ее основной матрицы равен рангу расширенной матрицы.
Инструкция
Запишите основную матрицу системы. Для этого приведите уравнения в стандартный вид (то есть выставьте все коэффициенты в одном и том же порядке, если какого либо из них нет – запишите, просто с числовым коэффициентом «0»). Выпишите все коэффициенты в виде таблицы, заключите ее в скобки (свободные члены, перенесенные в правую часть, не учитывайте).
Точно также запишите расширенную матрицу системы, только в этом случае поставьте справа вертикальную черту и запишите столбик свободных членов.
Посчитайте ранг основной матрицы, это наибольший ненулевой минор. Минор первого порядка – это любая цифра матрицы, очевидно, что она не равна нулю. Чтобы посчитать минор второго порядка, возьмите любые две строки и любые два столбца (у вас получится из четырех цифр). Посчитайте определитель, умножьте верхнее левое число на нижнее правое, вычтите из полученного числа произведение нижнего левого и верхнего правого. У вас получился минор второго порядка.
Сложнее посчитать минор третьего порядка. Для этого возьмите любые три строки и три столбца, у вас получится таблица из девяти чисел. Посчитайте определитель по формуле: ∆=а11а22а33+а12а23а31+а21а32а13-а31а22а13-а12а21а33-а11а23а32 (первая цифра коэффициента – номер строки, вторая цифра – номер столбца). Вы получили минор третьего порядка.
Точно так же найдите ранг расширенной матрицы. Обратите внимание, если количество уравнений в вашей системе совпадает с рангом (например, три уравнения, и ранг равен 3), рассчитывать ранг расширенной матрицы нет смысла – очевидно, что он также будет равен этому числу. В таком случае можно смело вывод о том, что система линейных уравнений совместна.
Видео по теме
Заданный вопрос полностью покрывает основную цель целого курса «Линейная алгебра». Поэтому ответ можно дать только в сжатом виде, без подробных выкладок и пояснений. В целом же линейные уравнения интересны тем, что решать их возможно чисто алгоритмическими методами.
Инструкция
Система т линейных алгебраических уравнений с n неизвестными имеет вид (см. рис. 1).
В ней аij – коэффициенты системы, хj – неизвестные, bi – свободные члены (i=1, 2, ... , т; j=1, 2, ... , п). Практический смысл такая система имеет в том случае, когда число ее уравнений не превышает число неизвестных, то есть при m≤n. Дело в том, что в противном случае «лишние» уравнения должны являться линейной комбинацией остальных. Это , что они их просто повторяют. Если нет, то и решение не существует (система не совместна).
Компактно такую систему можно записывать в матричной форме АХ=B. Здесь А – коэффициентов системы, Х – матрица- столбец неизвестных, B – матрица-столбец свободных членов (см. рис 2). Если m=n, т.е. есть количество неизвестных и число уравнений одинаково, то матрица А квадратная. Потому для нее определено понятие определителя матрицы ∆=|A|. При |A|≠0 существует обратная матрица A⁻¹. Ее базируется на равенстве АA⁻¹= A⁻¹A=E (E – единичная матрица). Формула для вычисления также присутствует на рисунке 2. Следует лишь добавить, что элементы Aij Ã, называемые алгебраическими дополнениями элементов aij матрицы А вычисляются следующим образом. Возьмите определитель |A|и вычеркните из него строку и столбец, на котором находится элемент aij. Оставшиеся коэффициенты запишите в виде определителя, который умножьте на (-1), если i+j не четно. Соответствующее число равно Aij. Алгебраические дополнения записываются по столбцам присоединенной матрицы.
Найдите решение системы матричным способом. Для этого обе части системы AX=B умножьте на A⁻¹ слева. Получите (A⁻¹A)X=A⁻¹B, EX=A⁻¹B или X=A⁻¹B. Все подробности проиллюстрированы на рис. 3. На этом же рисунке приведена
Разберем два вида решения систем уравнения:
1. Решение системы методом подстановки.
2. Решение системы методом почленного сложения (вычитания) уравнений системы.
Для того чтобы решить систему уравнений методом подстановки
нужно следовать простому алгоритму:
1. Выражаем. Из любого уравнения выражаем одну переменную.
2. Подставляем. Подставляем в другое уравнение вместо выраженной переменной, полученное значение.
3. Решаем полученное уравнение с одной переменной. Находим решение системы.
Чтобы решить систему методом почленного сложения (вычитания)
нужно:
1.Выбрать переменную у которой будем делать одинаковые коэффициенты.
2.Складываем или вычитаем уравнения, в итоге получаем уравнение с одной переменной.
3. Решаем полученное линейное уравнение . Находим решение системы.
Решением системы являются точки пересечения графиков функции.
Рассмотрим подробно на примерах решение систем.
Пример №1:
Решим методом подстановки
Решение системы уравнений методом подстановки2x+5y=1 (1 уравнение)
x-10y=3 (2 уравнение)
1. Выражаем
Видно что во втором уравнении имеется переменная x с коэффициентом 1,отсюда получается что легче всего выразить переменную x из второго уравнения.
x=3+10y
2.После того как выразили подставляем в первое уравнение 3+10y вместо переменной x.
2(3+10y)+5y=1
3.Решаем полученное уравнение с одной переменной.
2(3+10y)+5y=1 (раскрываем скобки)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2
Решением системы уравнения является точки пересечений графиков, следовательно нам нужно найти x и у, потому что точка пересечения состоит их x и y.Найдем x, в первом пункте где мы выражали туда подставляем y.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1
Точки принято записывать на первом месте пишем переменную x, а на втором переменную y.
Ответ: (1; -0,2)
Пример №2:
Решим методом почленного сложения (вычитания).
Решение системы уравнений методом сложения3x-2y=1 (1 уравнение)
2x-3y=-10 (2 уравнение)
1.Выбираем переменную, допустим, выбираем x. В первом уравнении у переменной x коэффициент 3, во втором 2. Нужно сделать коэффициенты одинаковыми, для этого мы имеем право домножить уравнения или поделить на любое число. Первое уравнение домножаем на 2, а второе на 3 и получим общий коэффициент 6.
3x-2y=1 |*2
6x-4y=2
2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30
2.Из первого уравнения вычтем второе, чтобы избавиться от переменной x.Решаем линейное уравнение.
__6x-4y=2
5y=32 | :5
y=6,4
3.Находим x. Подставляем в любое из уравнений найденный y, допустим в первое уравнение.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6
Точкой пересечения будет x=4,6; y=6,4
Ответ: (4,6; 6,4)
Хочешь готовиться к экзаменам бесплатно? Репетитор онлайн бесплатно . Без шуток.
- Системы m
линейных уравнений с n
неизвестными.
Решение системы линейных уравнений — это такое множество чисел {x 1 , x 2 , …, x n }, при подстановке которых в каждое из уравнений системы получается верное равенство.
где a ij , i = 1, …, m; j = 1, …, n — коэффициенты системы;
b i , i = 1, …, m — свободные члены;
x j , j = 1, …, n — неизвестные.
Вышеприведенная система может быть записана в матричном виде: A · X = B ,
где (A |B ) — основная матрица системы;
A — расширенная матрица системы;
X — столбец неизвестных;
B — столбец свободных членов.
Если матрица B не является нуль-матрицей ∅, то данная система линейных уравнений называется неоднородной.
Если матрица B = ∅, то данная система линейных уравнений называется однородной. Однородная система всегда имеет нулевое (тривиальное) решение: x 1 = x 2 = …, x n = 0 .
Совместная система линейных уравнений — это имеющая решение система линейных уравнений.
Несовместная система линейных уравнений — это не имеющая решение система линейных уравнений.
Определённая система линейных уравнений — это имеющая единственное решение система линейных уравнений.
Неопределённая система линейных уравнений — это имеющая бесконечное множество решений система линейных уравнений. - Системы n линейных уравнений с n неизвестными
Если число неизвестных равно числу уравнений, то матрица – квадратная. Определитель матрицы называется главным определителем системы линейных уравнений и обозначается символом Δ.
Метод Крамера для решения систем n линейных уравнений с n неизвестными.
Правило Крамера.
Если главный определитель системы линейных уравнений не равен нулю, то система совместна и определена, причем единственное решение вычисляется по формулам Крамера:
где Δ i — определители, получаемые из главного определителя системы Δ заменой i -го столбца на столбец свободных членов. . - Системы m линейных уравнений с n неизвестными
Теорема Кронекера−Капелли .
Для того чтобы данная система линейных уравнений была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был равен рангу расширенной матрицы системы, rang(Α) = rang(Α|B) .
Если rang(Α) ≠ rang(Α|B) , то система заведомо не имеет решений.
Eсли rang(Α) = rang(Α|B) , то возможны два случая:
1) rang(Α) = n (числу неизвестных) − решение единственно и может быть получено по формулам Крамера;
2) rang(Α) < n − решений бесконечно много. - Метод Гаусса
для решения систем линейных уравнений
Составим расширенную матрицу (A |B ) данной системы из коэффициентов при неизвестных и правых частей.
Метод Гаусса или метод исключения неизвестных состоит в приведении расширенной матрицы (A |B ) с помощью элементарных преобразований над ее строками к диагональному виду (к верхнему треугольному виду). Возвращаясь к системе уравнений, определяют все неизвестные.
К элементарным преобразованиям над строками относятся следующие:
1) перемена местами двух строк;
2) умножение строки на число, отличное от 0;
3) прибавление к строке другой строки, умноженной на произвольное число;
4) выбрасывание нулевой строки.
Расширенной матрице, приведенной к диагональному виду, соответствует линейная система, эквивалентная данной, решение которой не вызывает затруднений. . - Система однородных линейных уравнений.
Однородная система имеет вид:
ей соответствует матричное уравнение A · X = 0 .
1) Однородная система всегда совместна, так как r(A) = r(A|B) , всегда существует нулевое решение (0, 0, …, 0).
2) Для того чтобы однородная система имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы r = r(A) < n , что равносильно Δ = 0.
3) Если r < n , то заведомо Δ = 0, тогда возникают свободные неизвестные c 1 , c 2 , …, c n-r , система имеет нетривиальные решения, причем их бесконечно много.
4) Общее решение X при r < n может быть записано в матричном виде следующим образом:
X = c 1 · X 1 + c 2 · X 2 + … + c n-r · X n-r ,
где решения X 1 , X 2 , …, X n-r образуют фундаментальную систему решений.
5) Фундаментальная система решений может быть получена из общего решения однородной системы:
,
если последовательно полагать значения параметров равными (1, 0, …, 0), (0, 1, …, 0), …, (0, 0, …,1).
Разложение общего решения по фундаментальной системе решений — это запись общего решения в виде линейной комбинации решений, принадлежащих к фундаментальной системе.
Теорема . Для того, чтобы система линейных однородных уравнений имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы Δ ≠ 0.
Итак, если определитель Δ ≠ 0, то система имеет единственное решение.
Если же Δ ≠ 0, то система линейных однородных уравнений имеет бесконечное множество решений.
Теорема . Для того чтобы однородная система имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы r(A) < n .
Доказательство :
1) r не может быть больше n (ранг матрицы не превышает числа столбцов или строк);
2) r < n , т.к. если r = n , то главный определитель системы Δ ≠ 0, и, по формулам Крамера, существует единственное тривиальное решение x 1 = x 2 = … = x n = 0 , что противоречит условию. Значит, r(A) < n .
Следствие . Для того чтобы однородная система n линейных уравнений с n неизвестными имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы Δ = 0.
Уравнение имеет решение: если хотя бы один из коэффициентов при неизвестных отличен от нуля. В этом случае любой -мерный вектор называется решением уравнения, если при подстановке его координат уравнение обращается в тождество.
Общая характеристика разрешенной системы уравнений
Пример 20.1Дать характеристику системе уравнений .
Решение :
1. Входит ли в состав противоречивое уравнение? (Если коэффициенты, в этом случае уравнение имеет вид: и называется противоречивым .)
- Если система содержит противоречивое, то такая система несовместна и не имеет решения
2. Найти все разрешенные переменные . (Неизвестная называется разрешенной для системы уравнений, если она входит в одно из уравнений системы с коэффициентом +1, а в остальные уравнения не входит (т.е. входит с коэффициентом, равным нулю).
3. Является ли система уравнений разрешенной? (Система уравнений называется разрешенной , если каждое уравнение системы содержит разрешенную неизвестную, среди которых нет совпадающих)
В общем случае разрешенная система уравнений имеет вид:Разрешенные неизвестные, взятые по одному из каждого уравнения системы, образуют полный набор разрешенных неизвестных системы. (в нашем примере это )
Разрешенные неизвестные, входящие в полный набор, называют также базисными (), а не входящие в набор — свободными ().
На данном этапе главное понять что такое разрешенная неизвестная (входящая в базис и свободная).
Общее Частное Базисное решения
Общим решением разрешенной системы уравнений называется совокупность выражений разрешенных неизвестных через свободные члены и свободные неизвестные:
Частным решением называется решение, получающиеся из общего при конкретных значениях свободных переменных и неизвестных.
Базисным решением называется частное решение, получающееся из общего при нулевых значениях свободных переменных.
- Базисное решение (вектор) называется вырожденным , если число его координат, отличных от нуля, меньше числа разрешенных неизвестных.
- Базисное решение называется невырожденным , если число его координат, отличных от нуля, равно числу разрешенных неизвестных системы, входящих в полный набор.
Пример 1. Найти общее, базисное и какое-либо частное решение системы уравнений:Теорема (1)
Разрешенная система уравнений всегда совместна (потому что она имеет хотя бы одно решение); причем если система не имеет свободных неизвестных, (то есть в системе уравнений все разрешенные входят в базис) то она определена (имеет единственное решение); если же имеется хотя бы одна свободная переменная, то система не определена (имеет бесконечное множество решений).
Решение :
1. Проверяем является ли система разрешенной?
- Система является разрешенной (т.к. каждое из уравнений содержит в себе разрешенную неизвестную)
2. Включаем в набор разрешенные неизвестные — по одному из каждого уравнения .
3. Записываем общее решение в зависимости от того какие разрешенные неизвестные мы включили в набор .
4. Находим частное решение . Для этого приравниваем свободные переменные, которые мы не включили в набор приравнять к произвольным числам.
Ответ: частное решение (один из вариантов)
5. Находим базисное решение . Для этого приравниваем свободные переменные, которые мы не включили в набор к нулю.
Элементарные преобразования линейных уравнений
Системы линейных уравнений приводятся к равносильным разрешенным системам с помощью элементарных преобразований.
Теорема (2)
Если какое-либо уравнение системы умножить на некоторое отличное от нуля число , а остальные уравнения оставить без изменения, то . (то есть если умножить левую и правую часть уравнения на одно и то же число то получится уравнение, равносильное данному)
Теорема (3)
Если к какому-либо уравнению системы прибавить другое , а все остальные уравнения оставить без изменения, то получится система, равносильная данной . (то есть если сложить два уравнения (сложив их левые и правые части) то получится уравнение равносильное данным)
Следствие из Теорем (2 и 3)
Если к какому-либо уравнению прибавить другое, умноженное на некоторое число , а все остальные уравнения оставить без изменения, то получится система, равносильная данной .
Формулы пересчета коэффициентов системы
Если у нас есть система уравнений и мы хотим преобразовать ее в разрешенную систему уравнений в этом нам поможет метод Жордана-Гаусса.
Преобразование Жордана с разрешающим элементом позволяет получить для системы уравнений разрешенную неизвестную в уравнении с номером . (пример 2).
Преобразование Жордана состоит из элементарных преобразований двух типов:Допустим мы хотим сделать неизвестную в нижнем уравнении разрешенной неизвестной. Для этого мы должны разделить на , так чтобы сумма .
Пример 2 Пересчитаем коэффициенты системыПри делении уравнения с номером на , его коэффициенты пересчитываются по формулам:
Чтобы исключить из уравнения с номером , нужно уравнение с номером умножить на и прибавить к этому уравнению.
Теорема (4) О сокращении числа уравнений системы.
Если система уравнений содержит тривиальное уравнение, то его можно исключить из системы, при этом получится система равносильная исходной.
Теорема (5) О несовместимости системы уравнений.
Если система уравнений содержит противоречивое уравнение, то она несовместна.
Алгоритм метода Жордана-Гаусса
Алгоритм решения систем уравнений методом Жордана-Гаусса состоит из ряда однотипных шагов, на каждом из которых производятся действия в следующем порядке:
- Проверяется, не является ли система несовместной. Если система содержит противоречивое уравнение, то она несовместна.
- Проверяется возможность сокращения числа уравнений. Если в системе содержится тривиальное уравнение, его вычеркивают.
- Если система уравнений является разрешенной, то записывают общее решение системы и если необходимо — частные решения.
- Если система не является разрешенной, то в уравнении, не содержащем разрешенной неизвестной, выбирают разрешающий элемент и производят преобразование Жордана с этим элементом.
- Далее заново переходят к пункту 1
Найти : два общих и два соответствующих базисных решения
Решение :
Вычисления приведены в нижеследующей таблице:
Справа от таблицы изображены действия над уравнениями. Стрелками показано к какому уравнению прибавляется уравнение с разрешающим элементом, умноженное на подходящий множитель.
В первых трех строках таблицы помещены коэффициенты при неизвестных и правые части исходной системы. Результаты первого преобразования Жордана с разрешающим элементом равным единице приведены в строках 4, 5, 6. Результаты второго преобразования Жордана с разрешающим элементом равным (-1) приведены в строках 7, 8, 9. Так как третье уравнение является тривиальным, то его можно не учитывать.
где x * - один из решений неоднородной системы (2) (например (4)), (E−A + A) образует ядро (нуль пространство) матрицы A .
Сделаем скелетное разложение матрицы (E−A + A) :
E−A + A=Q·S
где Q n×n−r - матрица rank(Q)=n−r , S n−r×n -матрица rank(S)=n−r .
Тогда (13) можно записать в следующем виде:
x=x*+Q·k, ∀ k∈ R n-r .
где k=Sz .
Итак, процедура нахождения общего решения системы линейных уравнений с помощью псевдообратной матрицы можно представить в следующем виде:
- Вычисляем псевдообратную матрицу A + .
- Вычисляем частное решение неоднородной системы линейных уравнений (2): x *=A + b .
- Проверяем совместность системы. Для этого вычисляем AA + b . Если AA + b ≠b , то система несовместна. В противном случае продолжаем процедуру.
- Высисляем E−A + A.
- Делаем скелетное разложение E−A + A=Q·S.
- Строим решение
x=x*+Q·k, ∀ k∈ R n-r .
Решение системы линейных уравнений онлайн
Онлайн калькулятор позволяет найти обшее решение системы линейных уравнений с подробными объяснениями.