Операционные исчисления с особой правой частью. Операционное исчисление
Во многих задачах математического анализа рассматриваются ситуации, в которых каждая точка одного пространства ставится в соответствие некоторой точке другого (или того же) пространства. Пространства могут быть абстрактными, в которых «точки» в действительности являются функциями. Соответствие между двумя точками устанавливается с помощью преобразования или оператора. В задачу теории операторов входит подробное описание и классификация различных видов преобразований и их свойств, а также разработка символических методов, позволяющих минимизировать и упростить вычисления. Обычно теорию операторов применяют к пространствам, в которых допускается сложение или умножение точек, т.е. линейным пространствам, группам, кольцам, полям и т.д.
Проблемы и приложения.
Пусть D и R – действительные линейные или векторные пространства, необязательно различные. Их элементами являются векторы, поэтому сумма двух элементов и произведение элемента на скаляр определены и удовлетворяют обычным условиям, предъявляемым к векторам. Существование конечных базисов в D и R необязательно. Пусть r , вектор из R , соответствует вектору d из D . Обозначим это соответствие T (d ) = r или Td = r . Тогда T называется оператором с областью определения D и областью значений R . Оператор T является дистрибутивным, если
где λ и λ" – любые действительные числа, а d и d" – любые элементы из D . Если D и R – топологические векторные пространства, в которых λd и d + d" – непрерывные операции, то дистрибутивный непрерывный оператор называется линейным оператором. Если Q содержит D и R , то T 2 (d ) определяется как T (T (d )) и аналогичным образом определяется T n (d ), если все эти операции имеют смысл.
Операционное исчисление позволяет осуществить абстрактные постановки задач и обобщить такие разделы математического анализа, как теория дифференциальных и интегральных уравнений. Мощным стимулом для развития теории операторов стали современные проблемы квантовой теории. Наиболее полные результаты получены для дистрибутивных операторов в т.н. гильбертовом пространстве. Интерес к этой области во многом связан с представлением таких операторов интегральными преобразованиями.
Двумя важными дистрибутивными операторами являются операторы дифференцирования p и интегрирования p –1 . Элементами линейных пространств D и R в этом случае будут функции переменной x . Имеем
где m и n – неотрицательные целые числа. Так как интегрирование приводит к появлению произвольной постоянной, p –1 p необязательно является тождественной операцией p 0 . Формальные правила комбинирования таких операторов восходят к Дж.Булю (1815–1864); например,
В исчислении Хевисайда, разработанном О.Хевисайдом (1850–1925), пространство D ограничено областью определения функций f (x ), тождественно равных нулю при отрицательных x . Главную роль играет функция 1(x ), равная 0 при отрицательных x и 1 при неотрицательных x . Приведем некоторые «правила» исчисления Хевисайда:
Если n ! заменить гамма-функцией Г(n + 1), то первое из правил останется в силе и при нецелых n (определение гамма-функции см . ФУНКЦИЯ).
Основным результатом операционного исчисления принято считать теорему о композиции, или свертке, согласно которой, если F 1 (p )1(x ) = f 1 (x ) и F 2 (p )1(x ) = f 2 (x ), то
Применяя теорему о свертке к p a при a ≠ 0, –1, –2,..., можно определить интегрирование или дифференцирование дробного порядка. Например, рассмотрим выражение
где функция y (x ) и ее первые n – 1 производных обращаются в нуль при x = 0. Пусть y (x ) = Y (p )1(x ), g (x ) = G (p )1(x ). Примем
Предположим, что f (x ) = F (p ) –1 1(x ). Тогда
Стандартные правила включают в себя различные алгоритмы, связанные с разложениями на элементарные дроби рациональных функций асимптотических рядов и т.д. На практике y (x ) = Y (p )1(x ) часто записывают в виде y (x ) ~ Y (p ) или .
К тем же общим результатам приводит и теория функций замкнутого цикла В.Вольтерры (1860–1940). Близкие теории были построены для других операторов, например для x (d /dx ) и для более общих ситуаций с несколькими операциями, Вольтеррой, Пинкерле и др. Для прикладных математиков основное преимущество операционного исчисления Хевисайда заключается в сведении трансцендентных задач с независимой переменной x к алгебраическим задачам для функций, зависящих от p . Чаще всего метод Хевисайда применяется при решении дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, разностных уравнений и интегральных уравнений с ядром K (x , t ) = K (x – t ). В общем случае при распространении методов операционного исчисления на более сложные уравнения теряется характер «чистой алгебраизации».
Строгое обоснование соотношения F (p )1(x ) = f (x ) было дано с помощью интегральных преобразований Лапласа или Фурье, или абстрактно, в терминах операторов в некоторых линейных топологических пространствах, таких, как гильбертово пространство. Такой подход позволил установить условия применимости эвристических правил.
Лекция 2.
Применение операционного исчисления к решению линейных дифференциальных уравнений и систем уравнений с постоянными коэффициентами
Пусть требуется найти частное решение линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами
удовлетворяющее начальным условиям
где
- заданные числа.
Будем
считать, что искомая функция
вместе с ее производными до– го порядка и функция
являются оригиналами.
Обозначим:
и
.
Пользуясь свойством дифференцирования
оригинала и свойством линейности,
перейдем в дифференциальном уравнении
от оригиналов к изображениям:
Полученное
алгебраическое уравнение, линейное
относительно изображения, называют
операторным
(или уравнением в изображениях). По
найденному из него изображению
,
можно найти оригинал
,
используя таблицу и свойства преобразования
Лапласа.
Пример 1. Операционным методом решить задачу Коши
,
,
.
Решение.
Пусть
.
Тогда
,
По таблице оригиналов и изображений
.
Подставляя эти выражения в дифференциальное уравнение, получаем операторное уравнение:
.
Разрешим
его относительно
,
получим
.
Найдем оригинал для каждого слагаемого в правой части полученного равенства.
.
Дробь
нужно представить в виде суммы простейших
дробей.
Рациональная
дробь
называется правильной, если степень
многочлена
меньше степенимногочлена
,т.е.
.
Если дробь неправильная, то можно
разделить числитель на знаменатель и
выделить многочлен и правильную дробь.
Простейшими дробями называются
правильные рациональные дроби вида
;
;
.
Условие
означает,
что многочлен
имеет комплексные корни.
Любую правильную рациональную дробь можно представить в виде суммы простейших дробей .
Если знаменатель представлен в виде разложения
где и- кратности соответствующих вещественных и комплексных корней, то разложение правильной рациональной дроби на простейшие будет иметь вид
(5)
Коэффициенты
разложения
находят методом частных значений или
методом неопределенных коэффициентов.
Дробь
представим в виде суммы простейших
дробей
.
Умножив
обе части последнего равенства на
,
получим
Чтобы
найти неопределенный коэффициент
,
подставим в это уравнение
.
Тогда
,
или
.
Приравнивая коэффициенты при ,ив обеих частях тождества, получим систему линейных уравнений
,
из
которой можно найти остальные
неопределенные коэффициенты
и.
Из первого уравнения этой системы
,
из второго уравнения
.
Следовательно,
Таким образом,
.
Пример 2. Операционным методом решить систему дифференциальных уравнений с заданными начальными условиями
,
,
.
Пусть
.Тогда
.
Так
как
,
то система операторных уравнений примет
вид
.
Получили
систему линейных алгебраических
уравнений относительно изображений
и
:
.
Найдем
решение системы по формулам Крамера.
Вычислим определитель системы
и вспомогательные определители
,
.
Тогда
,
.
Частные
решения
и
являются оригиналами для вычисленных
изображений. Чтобы найти
,
разложим дробь
на сумму простейших:
.
Из этого следует, что
В
последнем равенстве положим
.
Тогда
,
или
.
При
:
,
значит
.
При
:
,
откуда
.
Следовательно,
Таким
образом,
.
Решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и нулевыми начальными условиями с помощью интегралов Дюамеля
Если
-
решение уравнения
при нулевых начальных условиях
,
,
…,
,
(7)
то решением уравнения
при тех же начальных условиях является функция
Доказательство.
Уравнению (6) при нулевых начальных условиях (7) соответствует операторное уравнение
, (10)
где
,- характеристический многочлен уравнения
(6).
Уравнению (8) при нулевых начальных условиях (7) соответствует операторное уравнение
(11)
где
,
а
.
Из (10) и (11) найдем
Воспользуемся результатами для изображения по Лапласу интегралов Дюамеля
(13)
Положим
в формуле (13)
,
и учтем, что
.
Тогда получим решение дифференциального
уравнения (8) при нулевых начальных
условиях в виде
Формула (14) позволяет находить решение линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами при нулевых начальных условиях, не находя изображения правой части этого уравнения.
Типовой расчет
1. По данному графику оригинала найти изображение:
Решение.
Найдем аналитическое выражение для
функции, график которой представлен на
рисунке. Прежде всего запишем уравнение
прямой, проходящей через точки
и
,
и уравнение прямой, проходящей через
точки
и
.
Как известно, уравнение прямой, проходящей
через точки с координатами
и
имеет вид
.
В данном случае независимая переменная,
поэтому уравнение прямой примет вид
.
Подставляя в это уравнение координаты
точек А и В получим после упрощения
уравнение в виде
,
подставляя в уравнение координаты точек
В и С, получим после упрощения уравнение
в виде
.
Тогда функция
имеет вид
(15)
Эту функцию можно записать с помощью функции Хевисайда
(16)
Построим
график функции
и убедимся, что он совпадает с исходным
заданным графиком
Нужно
преобразовать функцию
к такому виду, чтобы аргументы отдельных
слагаемых, за исключением постоянных,
совпадали с аргументами функций
Хевисайда, содержащихся в этих слагаемых.
Здесь нужно подвергнуть преобразованию
только последнее слагаемое.
Изображение этой функции построим с помощью таблицы, используя теорему запаздывания
(19)
Решим
теперь эту задачу с помощью Mathcad.
Функция Хевисайда в этом пакете
обозначается греческой буквой
,
комплексный аргумент изображения
обозначается буквой(т.е.
).
Полученный результат совпадает с (17).
2. Найти оригинал по заданному изображению:
Решение.
Для решения этой задачи необходимо
представить дробь
в
виде суммы простейших дробей.
Разложение
дроби
на
простейшие имеет вид
, (20)
поскольку
многочлен
имеет
два комплексно сопряженных корня, так
как
.
Приведем сумму дробей в правой части
(20) к общему знаменателю, который совпадает
со знаменателем дроби в левой части
(20). Тогда получим равенство числителей
Для
определения коэффициентов разложения
в (20), воспользуемся вначале методом
частных значений. Положим в (21)
,
тогда получим
.
Для
того, чтобы определить коэффициенты
и
,
используем метод неопределенных
коэффициентов: приравняем коэффициенты
при одинаковых степеняхив левой и правой частях равенства (21).
.
Отсюда найдем
,
.
Следовательно,
.
Выделим
полный квадрат в знаменателе
:
(22).
Теперь с помощью таблицы по заданному изображению можно восстановить
оригинал
Для
изображения
с учетом теоремы запаздывания получим
из таблицы оригинал
Следовательно,
Приведем решение данной задачи с помощью Mathcad. Для каждого из слагаемых изображения получим оригиналы
Отсюда для исходного изображения оригинал имеет вид
Этот результат совпадает с (23).
3.
Найти решение дифференциального
уравнения
,
удовлетворяющее начальным условиямy(0)
= y"(0)
= 0.
Для
решения данной задачи используем
интеграл Дюамеля. Найдем вначале решение
дифференциального уравнения
.
Соответствующее операторное уравнение
для изображения
имеет вид
или
.
Отсюда найдем
.
Представим полученную дробь в виде
суммы простейших дробей
.
Найдем коэффициенты
.
Для этого приведем дроби в правой части
к общему знаменателю и получим равенство
числителей
Для
нахождения коэффициентов вначале
воспользуемся методом частных значений.
Положим
.
Тогда получим
.
Положим
.
Тогда получим
.
Для определения значенияприравняем коэффициенты при степенислева и справа в (24):
.
Следовательно,
.
Следовательно, изображение имеет вид
.
По таблице найдем соответствующий
оригинал
..
Отсюда
. (25)
В
соответствии с формулой (13) решение
исходного дифференциального уравнения
представляет собой интеграл
, (26)
- (27)
правая часть исходного уравнения. Отметим, что в (26) использовано свойство симметрии свертки двух функций.
Подставляя (25) и (27) в (26), получим
Следовательно,
. (28)
Приведем решение данной задачи с помощью Mathcad
Обозначим
через
(напомним, что вMathcad
комплексная переменная
обозначается через)
Найдем
оригинал
,
затем положим
и найдем производную поот функции
Вычислим
,
где
- правая часть исходного уравнения.
Правую часть можно упростить
В результате дальнейшего упрощения получимЭтот результат совпадает с выражением (28), полученным ранее.
Учитывая,
что свертка двух функций не зависит от
порядка их следования, можно также
провести расчет
по формуле (26) в виде
В результате получилось довольно громоздкое выражение. Приведем подобные члены в этом выражении и упростим результат
Этот результат также приводится к виду (28)
4. Операционным методом решить задачу Коши:
(29)
(30)
Решение. Учитывая, что,,
,
получим операторное уравнение в виде
Отсюда изображение
(31)
Многочлен
имеет корни
,
,
поэтомуи выражение для
после упрощения суммы первой и последней
дробей преобразуется к виду
(32)
Для
того чтобы получить оригинал
для изображения
,
нужно дроби, входящие в (32), разложить
на простейшие. Найдем это разложение
с помощьюMathcad
Как решить дифференциальное уравнение
методом операционного исчисления?
На данном уроке будет подробно разобрана типовая и широко распространенная задача комплексного анализа – нахождение частного решения ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами методом операционного исчисления . Снова и снова избавляю вас от предубеждения, что материал немыслимо сложный и недоступный. Забавно, но для освоения примеров можно вообще не уметь дифференцировать, интегрировать и даже не знать, что такое комплексные числа . Потребуется навык применения метода неопределённых коэффициентов , который детально разобран в статье Интегрирование дробно-рациональных функций . Фактически краеугольным камнем задания являются обычные алгебраические действия, и я уверен, что материал доступен даже для школьника.
Сначала сжатые теоретические сведения о рассматриваемом разделе математического анализа. Основная суть операционного исчисления
состоит в следующем: функция действительной
переменной с помощью так называемого преобразования Лапласа
отображается в функцию комплексной
переменной
:
Терминология и обозначения:
функция называется оригиналом
;
функция называется изображением
;
заглавной буквой обозначается преобразование Лапласа
.
Говоря простым языком, действительную функцию (оригинал) по определённым правилам нужно превратить в комплексную функцию (изображение). Стрелочка обозначает именно это превращение. А сами «определенные правила» и являются преобразованием Лапласа , которое мы рассмотрим лишь формально, чего для решения задач будет вполне достаточно.
Осуществимо и обратное преобразование Лапласа, когда изображение превращается в оригинал:
Зачем всё это нужно? В ряде задач высшей математики бывает очень выгодно перейти от оригиналов к изображениям , поскольку в этом случае решение задания значительно упрощается (шутка). И как раз одну из таких задач мы и рассмотрим. Если вы дожили до операционного исчисления, то формулировка должна быть вам хорошо знакома:
Найти частное решение неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами при заданных начальных условиях .
Примечание: иногда дифференциальное уравнение может быть и однородным: , для него в вышеизложенной формулировке также применим метод операционного исчисления. Однако в практических примерах однородное ДУ 2-го порядка встречается крайне редко, и далее речь пойдёт о неоднородных уравнениях.
И сейчас будет разобран третий способ – решение ДУ с помощью операционного исчисления. Ещё раз подчеркиваю то обстоятельство, что речь идёт о нахождении частного решения , кроме того, начальные условия строго имеют вид («иксы» равны нулям).
К слову, об «иксах». Уравнение можно переписать в следующем виде:
, где «икс» – независимая переменная, а «игрек» – функция. Я не случайно об этом говорю, поскольку в рассматриваемой задаче чаще всего используются другие буквы:
То есть роль независимой переменной играет переменная «тэ» (вместо «икса»), а роль функции играет переменная «икс» (вместо «игрека»)
Понимаю, неудобно конечно, но лучше придерживаться обозначений, которые встречаются в большинстве задачников и методичек.
Итак, наша задача с другими буквами записывается следующим образом:
Найти частное решение неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами при заданных начальных условиях .
Смысл задания нисколько не изменился, изменились только буквы.
Как решить данную задачу методом операционного исчисления?
Прежде всего, потребуется таблица оригиналов и изображений . Это ключевой инструмент решения, и без неё не обойтись. Поэтому, по возможности, постарайтесь распечатать указанный справочный материал. Сразу же поясню, что обозначает буква «пэ»: комплексную переменную (вместо привычного «зет»). Хотя для решения задач этот факт не имеет особого значения, «пэ» так «пэ».
С помощью таблицы оригиналы и необходимо превратить в некоторые изображения. Далее следует ряд типовых действий, и используется обратное преобразование Лапласа (тоже есть в таблице). Таким образом, будет найдено искомое частное решение.
Все задачи, что приятно, решаются по достаточно жесткому алгоритму.
Пример 1
, ,
Решение: На первом шаге перейдем от оригиналов к соответствующим изображениям. Используем левую сторону .
Сначала разбираемся с левой частью исходного уравнения. Для преобразования Лапласа справедливы правила линейности , поэтому все константы игнорируем и по отдельности работаем с функцией и её производными.
По табличной формуле №1 превращаем функцию:
По формуле №2 , учитывая начальное условие , превращаем производную:
По формуле №3 , учитывая начальные условия , превращаем вторую производную:
Не путаемся в знаках!
Признаюсь, правильнее говорить не «формулы», а «преобразования», но для простоты время от времени буду называть начинку таблицы формулами.
Теперь разбираемся с правой частью, в которой находится многочлен . В силу того же правила линейности преобразования Лапласа, с каждым слагаемым работаем отдельно.
Смотрим на первое слагаемое: – это независимая переменная «тэ», умноженная на константу. Константу игнорируем и, используя пункт №4 таблицы, выполняем преобразование:
Смотрим на второе слагаемое: –5. Когда константа находится одна-одинёшенька, то пропускать её уже нельзя. С одиночной константой поступают так: для наглядности её можно представить в виде произведения: , а к единице применить преобразование:
Таким образом, для всех элементов (оригиналов) дифференциального уравнения с помощью таблицы найдены соответствующие изображения:
Подставим найденные изображения в исходное уравнение :
Дальнейшая задача состоит в том, чтобы выразить операторное решение через всё остальное, а именно – через одну дробь. При этом целесообразно придерживаться следующего порядка действий:
Для начала раскрываем скобки в левой части:
Приводим подобные слагаемые в левой части (если они есть). В данном случае складываем числа –2 и –3. Чайникам настоятельно рекомендую не пропускать данный этап:
Слева оставляем слагаемые, в которых присутствует , остальные слагаемые переносим направо со сменой знака:
В левой части выносим за скобки операторное решение , в правой части приводим выражение к общему знаменателю:
Многочлен слева следует разложить на множители (если это возможно). Решаем квадратное уравнение:
Таким образом:
Сбрасываем в знаменатель правой части:
Цель достигнута – операторное решение выражено через одну дробь.
Действие второе. Используя метод неопределенных коэффициентов
, операторное решение уравнения следует разложить в сумму элементарных дробей:
Приравняем коэффициенты при соответствующих степенях и решим систему:
Если возникли затруднения с , пожалуйста, наверстайте упущенное в статьях Интегрирование дробно-рациональной функции и Как решить систему уравнений? Это очень важно, поскольку разложение на дроби, по существу, самая важная часть задачи.
Итак, коэффициенты найдены: , и операторное решение предстаёт перед нами в разобранном виде:
Обратите внимание, что константы записаны не в числителях дробей. Такая форма записи выгоднее, чем . А выгоднее, потому что финальное действие пройдёт без путаницы и ошибок:
Заключительный этап задачи состоит в том, чтобы с помощью обратного преобразования Лапласа перейти от изображений к соответствующим оригиналам. Используем правый столбец таблицы оригиналов и изображений .
Возможно, не всем понятно преобразование . Здесь использована формула пункта №5 таблицы: . Если подробнее: . Собственно, для похожих случаев формулу можно модифицировать: . Да и все табличные формулы пункта №5 очень легко переписать аналогичным образом.
После обратного перехода искомое частное решение ДУ получается на блюдечке с голубой каёмочкой:
Было:
Стало:
Ответ: частное решение:
При наличии времени всегда желательно выполнять проверку. Проверка выполняется по стандартной схеме, которая уже рассматривалась на уроке Неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка . Повторим:
Проверим выполнение начального условия :
– выполнено.
Найдём первую производную:
Проверим выполнение второго начального условия :
– выполнено.
Найдём вторую производную:
Подставим , и в левую часть исходного уравнения :
Получена правая часть исходного уравнения.
Вывод: задание выполнено правильно.
Небольшой пример для самостоятельного решения:
Пример 2
С помощью операционного исчисления найти частное решение дифференциального уравнения при заданных начальных условиях.
Примерный образец чистового оформления задания в конце урока.
Наиболее частный гость в дифференциальных уравнениях, как многие давно заметили, экспоненты, поэтому рассмотрим несколько примеров с ними, родными:
Пример 3
, ,
Решение: С помощью таблицы преобразований Лапласа (левая часть таблицы) перейдем от оригиналов к соответствующим изображениям.
Сначала рассмотрим левую часть уравнения. Там отсутствует первая производная. Ну и что из того? Отлично. Работы поменьше. Учитывая начальные условия , по табличным формулам №№1,3 находим изображения:
Теперь смотрим на правую часть: – произведение двух функций. Для того чтобы воспользоваться свойствами линейности
преобразования Лапласа, нужно раскрыть скобки: . Так как константы находятся в произведениях, то на них забиваем, и, используя группу №5 табличных формул, находим изображения:
Подставим найденные изображения в исходное уравнение:
Напоминаю, что дальнейшая задача состоит в том, чтобы выразить операторное решение через единственную дробь.
В левой части оставляем слагаемые, в которых присутствует , остальные слагаемые переносим в правую часть. Заодно в правой части начинаем потихоньку приводить дроби к общему знаменателю:
Слева выносим за скобки, справа приводим выражение к общему знаменателю:
В левой части получен неразложимый на множители многочлен . Если многочлен не раскладывается на множители, то его, бедолагу, сразу нужно сбросить на дно правой части, забетонировав ноги в тазике. А в числителе раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:
Наступил самый кропотливый этап: методом неопределенных коэффициентов
разложим операторное решение уравнения в сумму элементарных дробей:
Таким образом:
Обратите внимание, как разложена дробь: , скоро поясню, почему именно так.
Финиш: перейдем от изображений к соответствующим оригиналам, используем правый столбец таблицы:
В двух нижних преобразованиях использованы формулы №№6,7 таблицы, и дробь предварительно раскладывалась как раз для «подгонки» под табличные преобразования.
В результате, частное решение:
Ответ: искомое частное решение:
Похожий пример для самостоятельного решения:
Пример 4
Найти частное решение дифференциального уравнения методом операционного исчисления.
Краткое решение и ответ в конце урока.
В Примере 4 одно из начальных условий равно нулю. Это, безусловно, упрощает решение, и самый идеальный вариант, когда оба начальных условия нулевые: . В этом случае производные преобразуются в изображения без хвостов:
Как уже отмечалось, наиболее сложным техническим моментом задачи является разложение дроби методом неопределенных коэффициентов , и в моём распоряжении есть достаточно трудоёмкие примеры. Тем не менее, монстрами запугивать никого не буду, рассмотрим ещё пару типовых разновидностей уравнения:
Пример 5
Методом операционного исчисления найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям.
, ,
Решение:
С помощью таблицы преобразований Лапласа перейдем от оригиналов к соответствующим изображениям. Учитывая начальные условия :
С правой частью тоже никаких проблем:
(Напоминаю, что константы-множители игнорируются)
Подставим полученные изображения в исходное уравнение и выполняем стандартные действия, которые, я надеюсь, вы уже хорошо отработали:
Константу в знаменателе выносим за пределы дроби, главное, потом про неё не забыть:
Думал, выносить ли ещё дополнительно двойку из числителя, однако, прикинув, пришел к выводу, что данный шаг практически не упростит дальнейшего решения.
Особенностью задания является полученная дробь. Кажется, что её разложение будет долгим и трудным, но впечатление обманчиво. Естественно, бывают сложные вещи, но в любом случае – вперёд, без страха и сомнений:
То, что некоторые коэффициенты получились дробными, смущать не должно, такая ситуация не редкость. Лишь бы техника вычислений не подвела. К тому же, всегда есть возможность выполнить проверку ответа.
В результате, операторное решение:
Перейдем от изображений к соответствующим оригиналам:
Таким образом, частное решение:
Мы будем изучать операционное исчисление как один из методов решения линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и систем таких уравнений. Каких-либо решающих преимуществ этот метод перед другими не имеет; в то же время его простота сделала его основным инструментом при решении задачи Коши в целом ряде прикладных наук (механике, радиотехнике, электротехнике и т.д.).
Идея операционного исчисления состоит в следующем. Пространство функций, удовлетворяющих некоторым достаточно общим условиям (пространство функций-оригиналов) взаимно однозначно отображается в другое пространство функций (пространство функций-изображений) так, что операциям дифференцирования и интегрирования в пространстве функций-оригиналов соответствуют более простые операции (конкретно - операции умножения и деления) в пространстве функций-изображений. В результате дифференциальное уравнение в пространстве функций-оригиналов преобразуется в линейное алгебраическое уравнение в пространстве функций-изображений, решение которого находится без проблем. Последнее действие - восстановление решения уравнения по его изображению.
Таким образом, мы должны изучить следующие вопросы:
20.1. Определение функции-оригинала и её изображения по Лапласу.
20.1.1. Определение. Будем называть функцией-оригиналом действительнозначную или комплекснозначную функцию f (t ) действительной переменной t , удовлетворяющую условиям:
1.f (t ) = 0 при t < 0;
2. Существуют такие
постоянные M
> 0 и
,
что
;
3. На любом отрезке
функция удовлетворяет условиям Дирихле
(т.е. непрерывна или имеет конечное число
устранимых разрывов и разрывов первого
рода; монотонна или имеет конечное число
экстремумов).
Смысл этих условий такой.
1. Так как одно из
основных приложений операционного
исчисления - решение задач с начальными
условиями (задач Коши), то поведение
функций до начального момента
несущественно;
2. Параметр во втором условии принято называть показателем роста функции f (t ). Само второе условие означает, что скорость роста функции-оригинала не может быть больше экспоненциальной. В совокупности с третьим условием это обеспечивает существование и определенные полезные свойства функции-изображения и не является обременительным.
Приведём примеры функций-оригиналов. Для всех этих функций первое и третье свойства выполняются очевидно, поэтому будем проверять только второе свойство.
Для
функции
получаем:
при
,
поэтому
.
3.
f
(t
)
= sin t
.
и т.д.
Примеры функций, не являющихся оригиналами:
20.1.2. Определение. Изображением по Лапласу функции-оригинала f (t ) (или преобразованием Лапласа функции f (t )) называется функция комплексной переменной p , определяемая равенством
.
Интеграл
в правой части этого определения сходится
абсолютно в любой точкеp
,
удовлетворяющей неравенству
,
где
- произвольной число, такое, что
.
Действительно,
(так как )
= ,
а интеграл
сходится. Таким образом, мы доказали,
что изображение F
(p
)
определено в любой точке p
,
такой что
,
т.е. в полуплоскости справа от прямой
.
Как следствие, показатель скорости
роста оригинала число
часто называют абсциссой сходимости.
Заметим, что мы
доказали также, что
:
так как ,
то
.
Кроме того, в оценке
мы мажорировали модуль подынтегральной
функции функцией, не зависящей от p
,
интеграл от которой сходится. Как и в
теории степенных рядов, этого достаточно,
чтобы сходимость интеграла была
равномерной по переменной p
,
поэтому функцию F
(p
)
можно дифференцировать и интегрировать
по этой переменной.
ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ - совокупность методов прикладного математического анализа, позволяющих экономными и непосредственно ведущими к цели средствами получать решения линейных дифференциальных уравнений, а также разностных и некоторых типов интегральных уравнений. В связи с этим методы операционного исчисления находят самое широкое применение в механике, электротехнике, автоматике и в других самых разнообразных отраслях науки и техники. В основе операционного исчисления лежит идея функционального преобразования: некоторой функции вещественного переменного t, определенной при положительных значениях аргумента, называемой начальной функцией или оригиналом, с помощью линейного интегрального преобразования ставится в соответствие функция другого переменного р, называемая изображением. Подобное преобразование «оригинал - изображение» можно осуществить так, чтобы операциям дифференцирования и интегрирования начальных функций соответствовали алгебраические операции в области изображений. Это дает возможность находить с помощью простейших алгебраических действий изображения решений исходных дифференциальных уравнений, затем разыскивать соответствующую начальную функцию, т. е. решение осуществляется с помощью некоторых простых правил и «каталога» наиболее часто встречающихся изображений. В более сложных задачах приходится прибегать к обратному функциональному преобразованию: изображение - оригинал. Первые сочинения, посвященные операционному исчислению, появились в середине прошлого века. Русским математиком М. Е. Ващенко-Захарченко в монографии «Символическое исчисление и приложение его к интегрированию линейных дифференциальных уравнений», вышедшей в Киеве в 1862 г., были поставлены и частично разрешены основные задачи того метода, который в дальнейшем получил название операционного. Систематическое применение операционного исчисления к решению физических и технических задач началось с появления в 1892 г. работ английского ученого О. Хевисайда. Сущность операционного исчисления можно проиллюстрировать на примере с наиболее часто встречающимся в прикладных задачах классом начальных кусочно-непрерывных функций f(t) вещественной переменной t, определенных при tt<0. Из класса кусочно-непрерывных начальных функций выделяется и в дальнейшем рассматривается подкласс функций, характеризуемых определенным порядком роста при весьма больших значениях аргумента t, а именно: |f(t)| < Ме s o t , где М и s o - независимые от t числа. Если р=s+iσ - некоторое комплексное число, то при указанных ограничениях, накладываемых на функцию f(t), интеграл
существует и представляет регулярную в полуплоскости Rе р>s o
функцию от р, называемую лапласовым интегралом функции f (t).
Функцию F (p), введенную по закону:
называют изображением начальной функции или оригинала f(t). Ряд свойств изображения (**), например изображения производной f’ (t):
и изображения интеграла
делают очевидным тот факт, что преобразование (*) переводит операции дифференцирования и интегрирования в операции умножения и деления на комплексное переменное р. Пользуясь основными свойствами изображения, составляются изображения некоторых простейших функций - «каталог» изображений. «Каталог» изображений простейших функций и теоремы разложения Хевисайда, дающие возможность отыскать начальную функцию, когда изображение F (р) является полиномом или отношением двух полиномов, позволяют простейшим способом найти решение большой группы обыкновенных линейных дифференциальных и разностных уравнений с постоянными коэффициентами. Но многочисленные задачи приводят к изображениям, не сводящимся к имеющимся в «каталоге». Существует общее средство построения начальной функции по ее изображению - так называемая формула обращения Римана-Меллина.