Материальная точка движется прямолинейно по закону на. Физический смысл производной

Физический смысл производной. В состав ЕГЭ по математике входит группа задач для решения которых необходимо знание и понимание физического смысла производной. В частности, есть задачи, где дан закон движения определённой точки (объекта), выраженный уравнением и требуется найти его скорость в определённый момент времени движения, либо время, через которое объект приобретёт определённую заданную скорость. Задачи очень простые, решаются они в одно действие. Итак:

Пусть задан закон движения материальной точки x (t) вдоль координатной оси, где x координата движущейся точки, t – время.

Скорость в определённый момент времени – это производная координаты по времени. В этом и состоит механический смысл производной.

Аналогично, ускорение – это производная скорости по времени:

Таким образом, физический смысл производной это скорость. Это может быть скорость движения, скорость изменения какого-либо процесса (например роста бактерий), скорость совершения работы (и так далее, прикладных задач множество).

Кроме того, необходимо знать таблицу производных (знать её нужно также, как таблицу умножения) и правила дифференцирования. Если конкретно, то для решения оговоренных задач необходимо знание первых шести производных (см. таблицу):

Рассмотрим задачи:

x (t) = t 2 – 7t – 20

где x t - время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 5 c.

Физический смысл производной это скорость (скорость движения, скорость изменения процесса, скорость работы и т.д.)

Найдем закон изменения скорости: v (t) = x′(t) = 2t – 7 м/с.

При t = 5 имеем:

Ответ: 3

Решить самостоятельно:

Материальная точка движется прямолинейно по закону x (t) = 6t 2 – 48t + 17, где x - расстояние от точки отсчета в метрах, t - время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 9 c.

Материальная точка движется прямолинейно по закону x (t) = 0,5t 3 – 3t 2 + 2t, где x t - время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 6 с.

Материальная точка движется прямолинейно по закону

x (t) = –t 4 + 6t 3 + 5t + 23

где x - расстояние от точки отсчета в метрах, t - время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 3 с.

Материальная точка движется прямолинейно по закону

x (t) = (1/6) t 2 + 5t + 28

где x - расстояние от точки отсчета в метрах, t - время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 6 м/с?

Найдем закон изменения скорости:

Для того, чтобы найти, в какой момент времени t скорость была равна 3 м/с, необходимо решить уравнение:

Ответ: 3

Решите самостоятельно:

Материальная точка движется прямолинейно по закону x (t) = t 2 – 13t + 23, где x - расстояние от точки отсчета в метрах, t - время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 3 м/с?

Материальная точка движется прямолинейно по закону

x (t) = (1/3) t 3 – 3t 2 – 5t + 3

где x - расстояние от точки отсчета в метрах, t - время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 2 м/с?

Отмечу, что ориентироваться только на такой тип задач на ЕГЭ не стоит. Могут совершенно неожиданно ввести задачи обратные представленным. Когда дан закон изменения скорости и будет стоять вопрос о нахождении закона движения.

Подсказка: в этом случае необходимо найти интеграл от функции скорости (это так же задачи в одно действие). Если потребуется найти пройденное расстояние за определённый момент времени, то необходимо подставить время в полученное уравнение и вычислить расстояние. Впрочем, мы такие задачи тоже будем разбирать, не пропустите! Успехов вам!

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

− Учитель Думбадзе В. А.
из школы 162 Кировского района Петербурга.

Наша группа ВКонтакте
Мобильные приложения:

(где x t - время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени t = 9 с.

При t = 9 c имеем:

Почему мы не учитываем число 17 из первоначального уравнения?

найдите производную исходной функции.

в производной нет числа 17

Зачем находить производную?

Скорость — это производная координаты по времени.

В задаче просят найти скорость

x - расстояние от точки отсчета в метрах, t - время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость в (м/с) в момент времени t = 6 с.

Найдем закон изменения скорости:

(6)=3/2*36-6*6+2=54-38=16, а не 20

вспомните про порядок действий

А с каких пор сложение предпочтительнее вычитания?

Умножение приоритетней сложения и вычитания. Вспомните детский школьный пример: 2 + 2 · 2. Напомню, что здесь получается не 8, как считают некоторые, а 6.

Вы, не поняли ответа гостя.

1,5*36 — 6*6 + 2 = 54 — 36 + 2 = 18 + 2 = 20.

Так-что всё верно, посчитайте сами.

2) умножение/деление (зависит от порядка в уравнении, что первое стоит — то и решается первым делом);

3) сложение/вычитание (аналогично зависит от порядка в примере).

Умножение = делению, сложение = вычитанию =>

Не 54 — (36+2), а 54-36+2 = 54+2-36 = 20

Во-первых, для вас — Сергей Батькович. Во-вторых, вы сами поняли, что и кому сказать хотели? Я вас не понял.

Материальная точка движется прямолинейно по закону (где x - расстояние от точки отсчета в метрах, t - время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость в (м/с) в момент времени с.

Найдем закон изменения скорости: м/с. При имеем:

Урок по теме: «Правила дифференцирования», 11-й класс

Разделы: Математика

Тип урока : обобщение и систематизация знаний.

Цели урока:

образовательные:
- обобщить, систематизировать материал темы по нахождению производной;
- закрепить правила дифференцирования;
- раскрыть для учащихся политехническое, прикладное значение темы;
развивающие:
- осуществить контроль усвоения знаний и умений;
- развить и совершенствовать умения применять знания в измененной ситуации;
- развить культуру речи и умение делать выводы и обобщать;
воспитательные:
- развить познавательный процесс;
- воспитать у учащихся аккуратность при оформлении, целеустремленность.

Оборудование:

кодоскоп, экран;
карточки;
компьютеры;
таблица;
дифференцированные задания в виде мультимедиа презентации.

I. Проверка домашнего задания.

1. Заслушать сообщения учащихся по примерам применения производных.

2. Рассмотреть примеры применения производной в физике, химии, технике и других отраслях, предложенные учащимися.

II. Актуализация знаний.

Учитель:

Дать определение производной функции.
Какая операция называется дифференцированием?
Какие правила дифференцирования используются при вычислении производной? (К доске приглашаются желающие учащиеся) .
- производная суммы;
- производная произведения;
- производная, содержащая постоянный множитель;
- производная частного;
- производная сложной функции;
Приведите примеры прикладных задач, приводящих к понятию производной.

Ряд частных задач из различных областей наук.

Задача № 1. Тело движется по прямой согласно закону х(t). Запишите формулу для нахождения скорости и ускорения тела в момент времени t.

Задача № 2. Радиус круга R изменяется по закону R = 4 + 2t 2 . Определите, с какой скоростью изменится его площадь в момент t = 2 с. Радиус круга измеряется в сантиметрах. Ответ: 603 см 2 /с.

Задача № 3. Материальная точка массой 5 кг движется прямолинейно по закону

S(t) = 2t + , где S — путь в метрах, t – время в секундах. Найдите силу, действующую на точку в момент t = 4 с .

Ответ: Н.

Задача № 4. Маховик, задерживаемый тормозом, поворачивается за t с на угол 3t — 0,1t 2 (рад). Найдите:

а) угловую скорость вращения маховика в момент t = 7 с;
б) в какой момент времени маховик остановится.

Ответ: а) 2,86 ; б) 150 с.

Примерами применения производной также могут служить задачи на нахождение: удельной теплоемкости вещества данного тела, линейной плотности и кинетической энергии тела и т.д.

III. Выполнение дифференцированных заданий.

Желающие выполнять задания уровня “А”, садятся за компьютер и выполняют тест с программированным ответом. (Приложение . )

1. Найдите значение производной функции в точке х 0 = 3.

2. Найдите значение производной функции у = хе х в точке х 0 = 1.

1) 2е;
2) е;
3) 1 + е;
4) 2 + е.

3. Решите уравнение f / (x) = 0 , если f (x) = (3x 2 + 1)(3x 2 – 1).

1) ;
2) 2;
3) ;
4) 0.

4. Вычислите f / (1), если f (x) = (x 2 + 1)(x 3 – x).

5. Найдите значение производной функции f(t) = (t4 – 3)(t2 + 2) в точке t0 = 1.

6. Точка движется прямолинейно по закону: S(t) = t 3 – 3t 2 . Выбери формулу, которая задаёт скорость движения этой точки в момент времени t.

1) t 2 – 2t;
2) 3t 2 – 3t;
3) 3t 2 – 6t;
4) t 3 + 6t.

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Применение производной в физике, технике, биологии, жизни

Презентация к уроку

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Тип урока: интегрированный.

Цель урока: изучить некоторые аспекты применения производной в различных областях физики, химии, биологии.

Задачи: расширение кругозора и познавательной деятельности учащихся, развитие логического мышления и умения применять свои знания.

Техническое обеспечение: интерактивная доска; компьютер и диск.

I. Организационный момент

II. Постановка цели урока

– Урок хотелось бы провести под девизом Крылова Алексея Николаевича советского математика и кораблестроителя: «Теория без практики мертва или бесполезна, практика без теории невозможна или пагубна».

– Повторим основные понятия и ответим на вопросы:

– Скажите основное определение производной?
– Что вы знаете о производной (свойства, теоремы)?
– Знаете ли вы какие-нибудь примеры задач с применением производной в физике, математике и биологии?

Рассмотрение основного определения производной и его обоснование (ответ на первый вопрос):

Производная – одно из фундаментальных понятий математики. Умение решать задачи с применением производной требует хорошего знания теоретического материала, умения проводить исследование различных ситуаций.

Поэтому сегодня на уроке мы закрепим и систематизируем полученные знания, рассмотрим и оценим работу каждой группы и на примере некоторых задач покажем, как при помощи производной решать другие задачи и нестандартные задачи с применением производной.

III. Объяснение нового материала

1. Мгновенная мощность есть производная работы по времени:

W = lim ΔA/Δt ΔA – изменение работы.

2. Если тело вращается вокруг оси, то угол поворота есть функция времени t
Тогда угловая скорость равна:

W = lim Δφ/Δt = φ׳(t) Δt → 0

3. Сила тока есть производная Ι = lim Δg/Δt = g′, где g – положительный электрический заряд переносимый через сечение проводника за время Δt.

4. Пусть ΔQ – количество теплоты, необходимое для изменения температуры за Δt времени, тогда lim ΔQ/Δt = Q′ = C – удельная теплоёмкость.

5. Задача о скорости течения химической реакции

m(t) – m(t0) – количество вещества, вступающее в реакцию от времени t0 до t

V= lim Δm/Δt = m Δt → 0

6. Пусть m – масса радиоактивного вещества. Скорость радиоактивного распада: V = lim Δm/Δt = m׳(t) Δt→0

В дифференцированной форме закон радиоактивного распада имеет вид: dN/dt = – λN, где N – число ядер не распавшихся время t.

Интегрируя это выражение, получаем: dN/N = – λdt ∫dN/N = – λ∫dt lnN = – λt + c, c = const при t = 0 число радиоактивных ядер N = N0 , отсюда имеем: ln N0 = const, следовательно

n N = – λt + ln N0.

Потенциируя это выражение получаем:

– закон радиоактивного распада, где N0 – число ядер в момент времени t0 = 0, N – число ядер, не распавшихся за время t.

7. Согласно уравнению теплообмена Ньютона скорость потока теплоты dQ/dt прямо пропорциональна площади окна S и разности температур ΔT между внутренним и внешним стёклами и обратно пропорциональна его толщине d:

dQ/dt =A S/d ΔT

8. Явлением Диффузии называется процесс установления равновесного распределения

Внутри фаз концентрации. Диффузия идёт в сторону, выравнивая концентрации.

m = D Δc/Δx c – концентрация
m = D c׳x x – координата, D – коэффициент диффузии

9. Было известно, что электрическое поле возбуждает либо электрические заряды, либо магнитное поле, которое имеет единственный источник – электрический ток. Джеймс Кларк Максвелл ввёл одну поправку в открытые до него законы электромагнетизма: магнитное поле возникает также и при изменении электрического поля. Маленькая на первый взгляд поправка имела грандиозные последствия: появилась пусть пока и на кончике пера, совершенно новый физический объект – электромагнитная волна. Максвелл виртуозно владел, в отличии от Фарадея, которому казалось возможным её существование, вывел уравнение для электрического поля:

∂E/∂x = M∂B/Mo ∂t Mo = const t

Изменение электрического поля вызывает появление магнитного поля в любой точке пространства, другими словами, скорость изменения электрического поля определяет величину магнитного поля. Под большим электрическим током – большее магнитное поле.

IV. Закрепление изученного

– Мы с вами изучали производную и её свойства. Хотелось бы прочитать философское высказывание Гильберта: «У каждого человека есть определённый кругозор. Когда этот кругозор сужается до бесконечного малого, то он обращается в точку. Тогда человек и говорит что это и есть его точка зрения.»
Давайте попробуем измерить точку зрения на применении производной!

Сюжет «Листик» (применение производной в биологии, физике, жизни)

Рассмотрим падение как неравномерное движение зависящее от времени.

Итак: S = S(t) V = S′(t) = x′(t), a = V′(t) = S″(t)

(Теоретический опрос: механический смысл производной).

1. Решение задач

Решите самостоятельно задачи.

2. F = ma F = mV′ F = mS″

Запишем II закон Портона, и учитывая механический смысл производной перепишем его в виде: F = mV′ F = mS″

Сюжет «Волки, Суслики»

Вернёмся к уравнениям: Рассмотрим дифференциальные уравнения показательного роста и убывания: F = ma F = mV’ F = mS»
Решение многих задач физики, технической биологии и социальных наук сводятся к задаче нахождения функций f"(x) = kf(x), удовлетворяющих дифференциальному уравнению, где k = const .

Формула Человека

Человек во столько раз больше атома, во сколько раз он меньше звезды:

Отсюда следует, что
Это и есть формула, определяющая место человека во вселенной. В соответствии с ней размеры человека представляют среднее пропорциональное звезды и атома.

Закончить урок хотелось бы словами Лобачевского: «Нет ни одной области математики, как бы абстрактна она ни была, которая когда-нибудь не окажется применимой к явлениям действительного мира».

V . Решение номеров из сборника:

Самостоятельное решение задач на доске, коллективный разбор решений задач:

№ 1 Найти скорость движения материальной точки в конце 3-й секунды, если движение точки задано уравнением s = t^2 –11t + 30.

№ 2 Точка движется прямолинейно по закону s = 6t – t^2. В какой момент ее скорость окажется равной нулю?

№ 3 Два тела движутся прямолинейно: одно по закону s = t^3 – t^2 – 27t, другое - по закону s = t^2 + 1. Определить момент, когда скорости этих тел окажутся равными.

№ 4 Для машины, движущейся со скоростью 30 м/с, тормозной путь определяется формулой s(t) =30t-16t^2, где s(t) – путь в метрах, t – время торможения в секундах. В течении какого времени осуществляется торможение до полной остановки машины? Какое расстояние пройдет машина с начала торможения до полной ее остановки?

№5 Тело массой 8 кг движется прямолинейно по закону s = 2t^2+ 3t – 1. Найти кинетическую энергию тела (mv^2/2) через 3 секунды после начала движения.

Решение : Найдем скорость движения тела в любой момент времени:
V = ds / dt = 4t + 3
Вычислим скорость тела в момент времени t = 3:
V t=3 = 4 * 3 + 3=15 (м/с).
Определим кинетическую энергию тела в момент времени t = 3:
mv2/2 = 8 – 15^2 /2 = 900 (Дж).

№6 Найти кинетическую энергию тела через 4 с после начала движения, если его масса равна 25 кг, а закон движения имеет вид s = Зt^2- 1.

№7 Тело, масса которого 30 кг, движется прямолинейно по закону s = 4t^2 + t. Доказать, что движение тела происходит под действием постоянной силы.
Решение : Имеем s’ = 8t + 1, s» = 8. Следовательно, a(t) = 8 (м/с^2), т. е. при данном законе движения тело движется с постоянным ускорением 8 м/с^2. Далее, так как масса тела постоянна (30 кг), то по второму закону Ньютона действующая на него сила F = ma = 30 * 8 = 240 (H) – также постоянная величина.

№8 Тело массой 3 кг движется прямолинейно по закону s(t) = t^3 – 3t^2 + 2. Найти силу, действующую на тело в момент времени t = 4с.

№9 Материальная точка движется по закону s = 2t^3 – 6t^2 + 4t. Найти ее ускорение в конце 3-й секунды.

VI . Применение производной в математике:

Производная в математике показывает числовое выражение степени изменений величины, находящейся в одной и тоже точке, под влиянием различных условий.

Формула производной встречается нам ещё в 15 веке. Великий итальянский математик Тартальи, рассматривая и развивая вопрос – на сколько зависит дальность полёта снаряда от наклона орудия – применяет её в своих трудах.

Формула производной часто встречается в работах известных математиков 17 века. Её применяют Ньютон и Лейбниц.

Посвящает целый трактат о роли производной в математике известный учёный Галилео Галилей. Затем производная и различные изложения с её применением стали встречаться в работах Декарта, французского математика Роберваля и англичанина Грегори. Большой вклад по изучению производной внесли такие умы, как Лопиталь, Бернулли, Лангранж и др.

1. Построить график и исследовать функцию:

Решение данной задачи:

Минутка релаксации

VII . Применение производной в физике:

При изучении тех или иных процессов и явлений часто возникает задача определения скорости этих процессов. Её решение приводит к понятию производной, являющемуся основным понятием дифференциального исчисления.

Метод дифференциального исчисления был создан в XVII и XVIII вв. С возникновением этого метода связаны имена двух великих математиков – И. Ньютона и Г.В. Лейбница.

Ньютон пришёл к открытию дифференциального исчисления при решении задач о скорости движения материальной точки в данный момент времени (мгновенной скорости).

В физике производная применяется в основном для вычисления наибольших или наименьших значений каких-либо величин.

№1 Потенциальная энергия U поля частицы, в котором находится другая, точно такая же частица имеет вид: U = a/r 2 – b/r , где a и b - положительные постоянные, r - расстояние между частицами. Найти: а) значение r0 соответствующее равновесному положению частицы; б) выяснить устойчиво ли это положение; в) Fmax значение силы притяжения; г) изобразить примерные графики зависимости U(r) и F(r) .

Решение данной задачи: Для определения r0 соответствующего равновесному положению частицы исследуем f = U(r) на экстремум.

Используя связь между потенциальной энергией поля

U и F , тогда F = – dU/dr , получим F = – dU/dr = – (2a/r3+ b/r2) = 0; при этом r = r0 ; 2a/r3 = b/r2 => r0 = 2a/b ; Устойчивое или неустойчивое равновесие определим по знаку второй производной:
d2U/dr02= dF/dr0 = – 6a/r02 + 2b/r03 = – 6a/(2a/b)4 + 2b/(2a/b)3 = (– b4/8a3) 2 = FM / (M + µt) 2

Рассмотрим случай, когда песок высыпается из наполненной платформы.
Изменение импульса за малый промежуток времени:
Δp = (M – µ(t + Δt))(u+ Δu) + Δµtu – (M – µt)u = F Δt
Слагаемое Δµtu есть импульс количества песка, которое высыпалось из платформы за время Δt. Тогда:
Δp = M Δu – µt Δu – Δµt Δu = F Δt
Разделим на Δt и перейдем к пределу Δt → 0
(M – µt)du/dt = F
Или a1= du/dt= F/(M – µt)

Ответ: a = FM / (M + µt) 2 , a1= F/(M – µt)

VIII. Самостоятельная работа:

Найти производные функций:

Прямая у = 2х является касательной к функции: у = х 3 + 5х 2 + 9х + 3. Найдите абсциссу точки касания.

IX . Подведение итогов урока:

– Каким вопросам был посвящен урок?
– Чему научились на уроке?
– Какие теоретические факты обобщались на уроке?
– Какие рассмотренные задачи оказались наиболее сложными? Почему?

Список литературы:

Амелькин В.В., Садовский А.П. Математические модели и дифференциальные уравнения. – Минск: Высшая школа, 1982. – 272с.
Амелькин В.В. Дифференциальные уравнения в приложениях. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1987. – 160с.
Еругин Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. – Минск: Наука и техника, 1979. – 744с
.Журнал «Потенциал» Ноябрь 2007 №11
«Алгебра и начала анализа» 11 класс С.М. Никольский, М.К. Потапов и др.
«Алгебра и математический анализ» Н.Я. Виленкин и др.
«Математика» В.Т. Лисичкин, И.Л. Соловейчик, 1991 год

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Физический смысл производной. Задачи!

Аналогично, ускорение – это производная скорости по времени:

x (t) = t 2 – 7t – 20

где x - расстояние от точки отсчета в метрах, t - время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 5 c.

Найдем закон изменения скорости: v (t) = x′(t) = 2t – 7 м/с.

Материальная точка движется прямолинейно по закону x (t) = 0,5t 3 – 3t 2 + 2t, где x - расстояние от точки отсчета в метрах, t - время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 6 с.

Материальная точка движется прямолинейно по закону

x (t) = –t 4 + 6t 3 + 5t + 23

Материальная точка движется прямолинейно по закону

x (t) = (1/6) t 2 + 5t + 28

Найдем закон изменения скорости:

Для того, чтобы найти, в какой момент времени t скорость была равна 3 м/с, необходимо решить уравнение:

Материальная точка движется прямолинейно по закону

x (t) = (1/3) t 3 – 3t 2 – 5t + 3

matematikalegko.ru

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс (С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин) 2009

Страница № 094.

Учебник:

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

Как следует из рассмотренных в начале данного пункта задач, справедливы следующие утверждения:

1. Если при прямолинейном движении путь s, пройденный точкой, есть функция от времени t, т. е. s = f(t), то скорость точки есть производная от пути по времени, т. е. v(t) =

Этот факт выражает механический смысл производной.

2. Если в точке х 0 к графику функции у = f (jc) проведена касательная, то число f"(xо) есть тангенс угла а между этой касательной и положительным направлением оси Ох, т. е. /"(х 0) =

Tga. Этот угол называют углом наклона касательной.

Данный факт выражает геометрический смысл производной.

ПРИМЕР 3. Найдем тангенс угла наклона касательной к графику функции у = 0,5jc 2 — 2х + 4 в точке с абсциссой х = 0.

Найдем производную функции f(x) = 0,5jc 2 — 2х + 4 в любой точке х, используя равенство (2):

0,5 2 х - 2 = jc - 2.

Вычислим значение этой производной в точке х = 0:

Следовательно, tga = -2. График х функции у = /(jc) и касательная к ее графику в точке с абсциссой jc = 0 изображены на рисунке 95.

4.1 Пусть точка движется прямолинейно по закону s = t 2 . Найдите:

а) приращение времени Д£ на промежутке времени от t x = 1 до £ 2 - 2;

б) приращение пути As на промежутке времени от t x = 1 до t 2 = 2;

в) среднюю скорость на промежутке времени от t x = 1 до t 2 = 2.

4.2 В задании 4.1 найдите:

б) среднюю скорость на промежутке времени от t до t + At;

в) мгновенную скорость в момент времени t;

г) мгновенную скорость в момент времени t = 1.

4.3 Пусть точка движется прямолинейно по закону:

1) s = 3t + 5; 2) s = t 2 — бt.

а) приращение пути As на промежутке времени от t до t + At;

Учебник: Алгебра и начала математического анализа. 11 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни / [С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин]. - 8-е изд. - М.: Просвещение, 2009. - 464 с.: ил.

Точка движется прямолинейно по закону S = t 4 +2t (S - в метрах, t - в секундах). Найти ее среднее ускорение в промежутке между моментами t 1 = 5 с, t 2 = 7 с , а также ее истинное ускорение в момент t 3 = 6 с.

Решение.

1. Находим скорость движения точки как производную от пути S по времени t, т.е.

2. Подставляя вместо t его значения t 1 = 5 с и t 2 = 7 с, находим скорости:

V 1 = 4 5 3 + 2 = 502 м/с; V 2 = 4 7 3 + 2=1374 м/с.

3. Определяем приращение скорости ΔV за время Δt = 7 - 5 =2 с:

ΔV = V 2 - V 1 = 1374 - 502 = 872 м/с.

4. Таким образом, среднее ускорение точки будет равно

5. Для определения истинного значения ускорения точки берем производную скорости по времени:

6. Подставляя вместо t значение t 3 = 6 с, получим ускорение в этот момент времени

a ср =12-6 3 =432 м/с 2 .

Криволинейное движение. При криволинейном движении скорость точки изменяется по величине и направлению.

Представим себе точку М, которая за время Δt, двигаясь по какой-то криволинейной траектории, переместилась в положение М 1 (рис. 6).

Вектор приращения (изменения) скорости ΔV будет

Для нахождения вектора ΔV перенесем вектор V 1 , в точку М и построим треугольник скоростей. Определим вектор среднего ускорения:

Вектор а ср параллелен вектору ΔV , так как от деления вектора на скалярную величину направление вектора не изменяется. Вектор истинного ускорения есть предел, к которому стремится отношение вектора скорости к соответствующему промежутку времени Δt, стремящемуся к нулю, т.е.

Такой предел называют векторной производной.

Таким образом, истинное ускорение точки при криволинейном движении равно векторной производной по скорости.

Из рис. 6 видно, что вектор ускорения при криволинейном движении всегда направлен в сторону вогнутости траектории.

Для удобства расчетов ускорение раскладывают на две составляющие к траектории движения: по касательной, называемое касательным (тангенциальным) ускорением а , и по нормали, называемое нор-мальным ускорением а n (рис. 7).

В этом случае полное ускорение будет равно

Касательное ускорение совпадает по направлению со скоростью точки или противоположно ей. Оно характеризует изменение величины скорости и соответственно определяется по формуле

Нормальное ускорение перпендикулярно к направлению скорости точки, а численное значение его определяется по формуле

где r - радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке.

Так как касательное и нормальные ускорения взаимно перпендикулярны, поэтому величина полного ускорения определяется по формуле

а направление его

Если , то векторы касательного ускорения и скорости направлены в одну сторону и движение будет ускоренным.

Если , то вектор касательного ускорения направлен в сторону, противоположную вектору скорости, и движение будет замедленным.

Вектор нормального ускорения всегда направлен к центру кривизны, поэтому оно называется центростремительным.