Биография евклида. Древнегреческий математик Евклид: биография ученого, открытия и интересные факты

Особенно плодотворно развивались отрасли знаний естественного направления: физика, астрономия, землеведение, тесно связанные с математикой и геометрией. К числу самых прославленных эллинистических геометров и математиков относился знаменитый Евклид.

Биография Евклида известна очень плохо. В молодости он, возможно, обучался в афинской Академии, которая была не только философской, но и математической и астрономической школой (к Академии примыкал Евдокс Книдский). Затем Евклид жил в Александрии при Птолемеях I и II. Так что биография Евклида проходила преимущественно в первой половине III в. до н. э. Живший много веков позднее неоплатоник Прокл рассказывает, что когда Птолемей I спросил Евклида, заглянув в его главный труд, нет ли более короткой дороги к геометрии, то Евклид якобы гордо ответил царю, что науке нет царского пути.

Евклиду принадлежат такие фундаментальные исследования, как «Оптика» и «Диоптрика». В своей оптике Евклид исходил из пифагорейской теории, согласно которой лучи света – прямые линии, простирающиеся от глаза к воспринимаемому предмету.

«Начала» Евклида

Главный труд Евклида – «Начала» (или «Элементы», в оригинале «Стойхейа»). «Начала» Евклида состоят из 13 книг. Позднее к ним были прибавлены еще две книги.

Первые шесть книг «Начал» посвящены геометрии на плоскости – планиметрии. В философско-теоретическом отношении, в плане философии математики особенно интересна первая книга, которая начинается с определений, постулатов и аксиом, учение о которых было заложено Аристотелем.

Евклид определяет точку как то, что не имеет частей. Линия – длина без ширины. Концы линии – точки. Прямая линия равно расположена по отношению к точкам на ней. Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину. Концы поверхности – линии. Плоская поверхность есть та, которая равно расположена по отношению к прямым на ней. И так далее. Таковы определения Евклида.

Статуя Евклида в музее Оксфордского университета

Далее следуют постулаты, т. е. то, что допускается. Допустим, что от всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию, что ограниченную прямую можно непрерывно продолжить по прямой, что из любой точки, принятой за центр, можно всяким раствором циркуля описать круг, что все прямые углы равны между собой и что если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то, будучи продолженными, эти две прямые рано или поздно встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.

Аксиомы Евклида говорят о том, что величины, равные третьей величине, равны между собой, что если к равным прибавить равные, то и целые будут равными, и т. д.

Далее, в первой же книге «Начал» Евклида, рассматриваются треугольники, параллельные линии, параллелограммы. Вторая книга «Начал» содержит геометрическую алгебру: числа и отношения чисел выражаются в пространственных величинах и в их пространственных же отношениях. Третья книга «Начал» исследует геометрию круга и окружности, четвертая – многоугольники. Пятая книга дает теорию пропорций как для соизмеримых, так и для несоизмеримых величин. В книге VI Евклид прилагает эти теории к планиметрии. Книги VII – X содержат теорию чисел, причем X книга трактует иррациональные линии. XI, XII и XIII книги «Начал» посвящены стереометрии, при этом в XII книге применяется метод исчерпания.

В строгом смысле слова Евклида нельзя считать «отцом геометрии». Свои «Начала» были у Гиппократа Хиосского в V в. до н. э. В IV в. до н. э. «Начала» были у Леона, и у Феудия Магнесийского. Метод исчерпания применял Евдокс Книдский, возможный учитель Евклида по Академии. Проблемой иррациональности занимались пифагореец Гиппас Метапонтский, Феодор Киренский, Теэтет Афинский... Однако Евклид – не простой передатчик сделанного до него математиками. В «Началах» Евклида мы видим завершение математики как стройной науки, исходящей из определений, постулатов и аксиом и построенной дедуктивно. Математика Евклида – вершина древнегреческой дедуктивной науки. Она резко отличается от ближневосточной математики с ее практической приблизительной рецептурностью. Не случайно «Начала» Евклида по их логической стройности, ясности, изяществу и законченности сравнивают с афинским Парфеноном .

Правда, существовала легенда, что сам Евклид – не единственный автор дошедших до нас «Начал», что он сам дал лишь догматическое изложение материала, без доказательств, что доказательства были добавлены вышеупомянутым Теоном Александрийским. Теон Александрийский действительно занимался проблематикой «Начал». Но не он один. Этим же занимались и Прокл, и Симплиций. «Начала» Евклида были частично переведены на латинский язык Цензорином и Боэцием. Но эти их переводы затерялись. На Западе вплоть до конца XII в. находились в обращении тезисы Евклида без доказательств.

Что касается Ближнего Востока, то там Евклид был известен в переводах с греческого на сирийский, а с сирийского – на арабский. Первым арабским философом, который заинтересовался Евклидом, был, по-видимому, аль-Кинди (IX в.). Его интерес ограничивался евклидовой «Оптикой». Однако затем последовала масса переводов и комментариев на «Начала». Эти арабские тексты были переведены в XIII в. на латинский язык. Первый латинский перевод с греческого оригинала был делан в Европе в 1493 г. и отпечатан в 1505 г. в Венеции. Но до 1572 г., когда Федерико Коммандино в своем латинском переводе исправил эту ошибку, Евклида-математика путали с Евклидом Мегариком.

Постулаты Евклида

Из постулатов Евклида видно, что Евклид представлял пространство как пустое, безграничное, изотропное и трехмерное. Бесконечность и безграничность пространства предполагается такими постулатами Евклида, как тезисы о том, что от всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию, что ограниченную прямую можно непрерывно продолжить по прямой, что из всякого центра и всяким раствором циркуля может быть описан круг.

Особенно знаменит пятый постулат Евклида, который буквально звучит так (выше мы дали пересказ): «Если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные неограниченно эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых». Позднее Прокл выразил этот постулат так: «Если прямая пересекает одну из двух параллельных линий, то она пересечет также и вторую параллельную». Более привычная для нас формула: «Через данную точку можно провести лишь одну параллельную к данной прямой» – принадлежит Джону Плейферу.

Не раз делались попытки доказать пятый постулат Евклида (Птолемей, Насир аль-Дин, Ламберт, Лежандр). Наконец, Карл Гаусс высказал в 1816 г. гипотезу, что этот постулат может быть заменен другим. Эта догадка была реализована в параллельных исследованиях независимо друг от друга Н. И. Лобачевским (1792–1856) и Яношем Больяем (1802–1866). Однако оба эти исследователя (и русский, и венгерский) не получили признания других математиков, особенно тех, кто стоял на позициях кантовского априоризма в понимании пространства, который допускал только одно пространство – евклидово. Только Бернхард Риман (1826–1866) своей теорией многообразий (1854) доказал возможность существования многих видов неевклидовой геометрии. Сам Б. Риман заменил пятый постулат Евклида на постулат, согласно которому вообще нет параллельных линий, а внутренние углы треугольника больше двух прямых. Феликс Клейн (1849–1925) показал соотношение неевклидовых и евклидовой геометрий. Евклидова геометрия относится к поверхностям с нулевой кривизной, геометрия Лобачевского – к поверхностям с положительной кривизной, а геометрия Римана – к поверхности с отрицательной кривизной.

«_____» _________________2016г.

Руководитель:

«_____» __________________2016г.

Волгоград, 2016

Введение…………………………………………3

1. Евклид и его начало………………………...4

2. Евклида Алгоритм…………………………..7

Заключение………………………………………20

Список литературы…………………………….21

ВВЕДЕНИЕ

О знаменитом древнегреческом математике Евклиде нам известно достоверно лишь то, что жил он в IV-III веках до н.э. и провел большую часть жизни в Александрии. Совсем немного сведений дают о нём авторы, такие как Архимед, Прокл и Папп Александрийский. Обширную и детализированную биографию Евклида написали также арабские авторы. Одна из арабских рукописей XII века утверждает, что Евклид, известный как «Геометр», был сыном некоего Наукрата, родился в Тире и проживал в Сирии. Но в исторической науке эта биография учёного считается полностью вымышленной. Напротив, упоминание о Евклиде Проклом считается достоверным. В своих «Комментариях к первой книге «Начал» Евклида» он указывает, что учёный жил во времена Птолемея I Сотера, аргументируя это тем, что «Архимед … упоминает об Евклиде и, в частности, рассказывает, что Птолемей спросил его, есть ли более короткий путь изучения геометрии, нежели «Начала»; а тот ответил, что нет царского пути к геометрии». Все выше названные, кроме арабских авторов, упоминают о Евклиде только как об авторе знаменитого сочинения «Начала» - его главного труда, написанного примерно в 300 году до н.э. Известно также, что Евклид был первым математиком Александрийской школы и работал при знаменитой Александрийской библиотеке.

Евклид и его начало

В течение двух тысяч лет геометрию узнавали либо из “Начал” Евклида, либо из учебников, написанных на основе этой книги. Лишь профессиональные математики обращались к трудам других великих греческих геометров: Архимеда, Аполлония и геометров более позднего времени. Классическую геометрию стали называть евклидовой в отличие от появившихся в XIX в “неевклидовой геометрий”.

Об этом поразительном человеке история сохранила настолько мало сведений, что не редко высказываются сомнения в самом его существовании. Что же дошло до нас? Каталог греческих геометров Прокла Диадоха Византийского, жившего в V в н.э., - первый серьёзный источник сведений о греческой геометрии. Из каталога следует, что Евклид был современником царя Птолемея I,который царствовал с 306-283г.до н.э.

Евклид должен быть старше Архимеда, который ссылался на “Начало”. До наших времён дошли сведения, что он преподавал в Александрии, столица Птолемея I, начинавший превращаться в один из центров научной жизни. Евклид был последователем древнегреческого философа Платона, и преподавал он, вероятно, четыре науки, которые, по мнению Платона, должны предшествовать занятиям философией: арифметику, геометрию, теорию гармонии, астрономию. Кроме “Начал” до нас дошли книги Евклида, посвящённые гармонии и астрономии.

Что касается места Евклида в науке, то оно определяется не столько собственными его научными исследованиями, сколько педагогическими заслугами. Евклиду приписывается несколько теорем и новых доказательств, но их значение не может быть сравнимо с достижениями великих греческих геометров: Фалеса и Пифагора(VI век до н. э.), Евдокса и Теэтета (IV век до н.э.). Величайшая заслуга Евклида в том, что он подвёл итог построению геометрии и придал изложению столь совершенную форму, что на 2000 лет “Начала” стали энциклопедией геометрии.

Евклид с величайшим искусством расположил материал по 13 книгам так, чтобы трудности не возникали преждевременно. Позже греческие математики включили в “Начало” ещё две книги-XIV- и XV-ю, написанные другими авторами.

Первая книга Евклида начинается с 23”определений”, среди них такие: точка есть то, что не имеет частей; линяя есть длина без ширины; линия ограничена точками; прямая есть линия, одинакова расположенная относительно всех своих точек; наконец, две прямые, лежащие в одной плоскости, называются параллельными, если они, сколь угодно продолжены, не встречаются. Это скорее наглядные представления об основных объектах и слово “определение” в современном понимании не точно передаёт смысл греческого слова “хорой”, которым пользовался Евклид.

В книге I рассматриваются основные свойства треугольников, прямоугольников, параллелограммов, сравниваются их площади. Здесь появляется теорема о сумме углов треугольника. Затем следует пять геометрических постулатов: через две точки можно провести одну прямую; каждая прямая может быть сколь угодно продолжена; данным радиусом из данной точки можно провести окружность; все прямые углы равны; если две прямые проведены к третьей под углами, составляющими в сумме меньше двух прямых, то они встречаются с той же стороны от этой прямой. Все эти постулаты, кроме одного, вошли в современные курсы основной геометрии. За постулатами приводятся общие предположения, или аксиомы,- 8 общематематических утверждений о равенствах и неравенствах. Книга заканчивается теоремой Пифагора.

В книге II излагается геометрическая алгебра, с помощью геометрических чертежей даются решения задач, сводящихся к квадратным уравнениям. Алгебраической символики тогда не существовало.

В книге III рассматриваются свойства круга, свойства касательных и хорд, в книге IV-правильные многоугольники, появляются основы учения о подобии. В книгах VII-IX изложены начала теорий чисел, а основанной на алгоритме нахождения наибольшего общего делителя, приводится алгоритм Евклида, сюда входит теория делимости и теорема о бесконечности множества простых чисел.

Последние книги посвящены стереометрии. В книге XI излагаются начала стереометрии, в XII с помощью метода исчерпания определяются отношения площадей двух кругов и отношение объёмов пирамиды и призмы, конуса и цилиндра. Вершина стереометрии у Евклида – теория правильных многогранников. В “Начало” не попало одно из величайших достижений греческих геометров – теория конических сечений. О них Евклид написал отдельную книгу “Начала конических сечений”, не дошедшую до нас, но её цитировал в своих сочинениях Архимед.

“Начало” Евклида не дошли до нас в подлиннике. Двенадцать столетий отделяют от Евклида самые старые известные списки, семь столетий – сколь- нибудь подробные сведения о “Началах”. В средневековую эпоху интерес к математике был утрачен, некоторые книги “Начал” пропали и потом с трудом восстанавливались по латинским и арабским переводам. А к тому времени тексты обросли “улучшениями” позднейших комментаторов.

В период возрождения европейской математике (XVIв.) “Начала” изучали и воссоздавали заново. Логическое построение “Начала”, аксиоматика Евклида воспринимались математиками как безупречное вплоть до XIX в., когда начался период критического отношения к достигнутому, который закончился новой аксиоматикой евклидовой геометрии – аксиоматикой Д. Гильберта. Изложение геометрии в “Началах” считалось образцом, которому стремились следовать учёные и за пределами математики.

Евклида Алгоритм

Алгоритм Евклида – это способ нахождения наибольшего общего делителя двух целых чисел, а также наибольшей общей меры двух соизмеримых отрезков.

Чтобы найти наибольший общий делитель двух целых положительных чисел, нужно сначала большее число разделить на меньшее, затем второе число разделить на остаток от первого деления, потом первый остаток - на второй и т.д. Последний ненулёвой положительный остаток в этом процессе и будет наибольшим общим делителем данных чисел.

Обозначив исходные числа через а и б , положительные остатки, получающиеся в результате делений, через r 1 ,r2 …, rn , а неполные частные через q1 , q2, можно записать алгоритм Евклида в виде цепочки равенств:

. . . . . . . . . .

Приведём пример. Пусть а=777, b=629. Тогда 777=629*1+148, 629=148*4+37, 148=37*4.

Последний ненулевой остаток 37 есть наибольший общий делитель чисел 777 и 629.

Для нахождения наибольшей общей меры двух отрезков поступают аналогично. Операцию деления с остатком заменяют его геометрическим аналогом: меньше отрезок откладывают на большим столько раз, сколько возможно: оставшуюся часть большего отрезка (принимаемую за остаток отделения) откладывают на меньшем отрезке и т.д.если отрезки a и b соизмеримы, то последний не нулевой остаток даст наибольшую общую меру этих отрезков. В случае несоизмеримых отрезков получаемая последовательность не нулевых остатков будет бесконечной.

Рассмотрим пример. Возьмём в качестве исходных отрезков сторону AB и AC равнобедренного треугольника ABC, у которого A=C = 72°, B= 36°. В качестве первого остатка мы получим отрезок AD (CD-биссектриса угла C), и, как легко видеть, последовательность и нулевых остатков будет бесконечной. Значит, отрезки AB и AC не соизмеримы.

Алгоритм Евклида известен издавна. Ему уже более 2000 лет. Этот алгоритм сформулирован в “Началах” Евклида, где из него выводятся свойства простых чисел, наименьшего общего кратного и т.д. Как способ нахождения наибольшей общей меры двух отрезков алгоритм Евклида (иногда называемый методом попеременного вычитания) был известен ещё пифагорейцам. К середине XVI в. алгоритм Евклида был распространён на многочлены, от одного переменного в дальнейшем удалось определить алгоритм Евклида и для некоторых других алгебраических объектах.

Алгоритм Евклида имеет много применений. Равенства, определяющие его, дают возможность представить наибольший делитель d чисел a и b в виде d=ax+by (x;y- целые числа), а это позволяет находить решение Диофантовых уравнений 1-й степени с двумя неизвестными. Алгоритм Евклида является средством для представления рационального числа в виде цепной дроби. Он часто используется в программах для электронных вычислительных машин.

Начала Эвклида

Евклид (330-275 гг. до н. э.) – ученик школы Платона, при царе Птолемее I преподавал математику в Александрии – столице Древнего Египта. Из работ, написанных Евклидом, главным произведением являются «Начала».

Эта книга намного превосходила более поздние труды математиков, она сыграла огромную роль в истории математики. Достаточно сказать, что она была переведена на все языки мира и выдержала около 500 изданий. До середины XIX века все математики учились по «Началам» Евклида.

«Начала» Евклида состоят из 13 книг:

I – VI посвящены планиметрии;

VII – IX – арифметике;

Х – несоизмеримым величинам;

XI–XIII – стереометрии (XIII посвящена правильным многогранникам).

Но не все из того, что уже было известно, изложено в «Началах», например, теория конических сечений в «Началах» не была представлена.

Каждой из 13 книг «Начал» предпосылаются основные предложения, необходимые для вывода всех предложений рассматриваемой книги. Эти предложения делятся на 3 категории: определения, аксиомы и постулаты.

Первая книга «Начал» начинается с 23-х определений. Приведём список некоторых определений «Начал»:

1. Точка есть то, что не имеет частей.

2. Линия есть длина без ширины.

3. Границы линии суть точки.

Параллельные суть прямые, которые, находясь в одной плоскости и будучи продолжены в обе стороны неограниченно, ни с той ни с другой стороны между собой не встречаются.

За определениями следуют постулаты и аксиомы, т. е. предложения, принимаемые без доказательства. Полный список аксиом и постулатов данный Евклидом не сохранился. Известно 5 постулатов и 10 аксиом.

Постулаты:

Требуется,

1. Чтобы из каждой точки ко всякой другой точке можно было провести прямую линию.

2. И чтобы каждую ограниченную прямую можно было продолжать неограниченно.

3. И чтобы из каждой точки, как из центра, можно было произвольным радиусом описать окружность.

4. И чтобы все прямые углы были равны друг другу.

V постулат:

5. И чтобы всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними внутренние односторонние углы, сумма которых меньше 2-х прямых, эти прямые пересекались с той стороны, с которой эта сумма меньше 2-х прямых.

1. Равные порознь третьему равны между собой.

2. И если к равным прибавим равные, то получим равные.

6. И половины равных равны между собой.

8. И целое больше части.

9. И две прямые не могут заключить пространства.

С современной точки зрения, одно из слабых мест «Начал» Евклида – это определения. Он дает определения таких понятий как точка, плоскость, прямая, т. е. стремится дать определение всем геометрическим понятиям, а это невозможно. Многие его определения крайне туманны, например:

1. «Прямая есть линия, которая одинаково расположена относительно всех своих точек».

2. «Плоскость есть поверхность, которая одинаково расположена по отношению ко всем прямым, на ней лежащим».

Евклид в «Началах» разделил постулаты и аксиомы. Но трудно провести между ними строгую грань. С современной точки зрения все они могут называться аксиомами. Другой важный недостаток «Начал» – неполнота системы аксиом: нет аксиомы непрерывности, аксиом движения и порядка, связанных с терминами «между» и «вне».

Огромное историческое значение «Начал» Евклида в том, что они являются первым крупным научным документом по геометрии, в котором сделана попытка логического построения геометрии на основе аксиом. Чтобы закончить характеристику «Начал» Евклида необходимо остановиться на особо важном вопросе – о V постулате Евклида и попытках его доказательства.

Начала Евклида

(«Нача́ла» Евкли́да) научное произведение, написанное Евклидом в 3 в. до н. э., содержащее основы античной математики: элементарной геометрии, теории чисел, алгебры, общей теории отношений и метода определения площадей и объёмов, включавшего элементы теории пределов. Евклид подвёл в этом сочинении итог трехсотлетнему развитию греческой математики и создал прочный фундамент для дальнейших математических исследований. «Н.» Е. не являются, однако, энциклопедией математических знаний своей эпохи. Так, в «Н.» Е. не излагается теория конических сечений, которая была тогда достаточно развита, отсутствуют здесь и вычислительные методы.

«Н.» Е. построены по дедуктивной системе: сначала приводятся определения, постулаты и аксиомы, затем формулировки теорем и их доказательства. Вслед за определением основных геометрических понятий и объектов (например, точки, прямой) Евклид доказывает существование остальных объектов геометрии (например, равностороннего треугольника) путём их построения, которое выполняется на основании пяти постулатов. В постулатах утверждается возможность выполнения некоторых элементарных построений, например «что от всякой точки до всякой точки (можно) провести прямую линию» (1 постулат); «И что от всякого центра и всяким раствором (может быть) описан круг» (III постулат). Особое место среди постулатов занимает V постулат (аксиома о параллельных): «И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные эти прямые неограниченно встретятся с той стороной, где углы меньше двух прямых». Относительная сложность формулировки привела к стремлению многих математиков (на протяжении почти 2 тыс. лет) вывести его как теорему из др. основных положений геометрии. Попытки доказать V постулат продолжались вплоть до работ Н. И. Лобачевского, построившего первую систему неевклидовой геометрии, в которой этот постулат не выполняется. За постулатами в «Н.» Е. приводятся аксиомы - предложения о свойствах отношений равенства и неравенства между величинами. Например: «Равные одному и тому же равны и между собой» (1-я аксиома); «И целое больше части» (8-я аксиома).

С современной точки зрения система аксиом и постулатов «Н.» Е. недостаточна для дедуктивного построения геометрии. Так, здесь нет ни аксиом движения, ни аксиом конгруэнтности (за исключением одной). Отсутствуют также аксиомы расположения и непрерывности. Фактически же Евклид использует при доказательствах и движение и непрерывность. Логические недостатки построения «Н.» Е. полностью выяснились лишь в конце 19 в. после работ Д. Гильберта. До этого на протяжении более 2 тыс. лет «Н.» Е. служили образцом научной строгости; по этой книге в полном либо в сокращённом и переработанном виде изучали геометрию.

«Н.» Е. состоят из тринадцати книг (отделов, или частей). В книге I рассматриваются основные свойства треугольников, прямоугольников, параллелограммов и производится сравнение их площадей. Заканчивается книга Пифагора теоремой. В книге II излагается так называемая геометрическая алгебра, т. е. строится геометрический аппарат для решения задач, сводящихся к квадратным уравнениям (алгебраическая символика в «Н.» Е. отсутствует). В книге III рассматриваются свойства круга, его касательных и хорд (эти проблемы были исследованы Гиппократом Хиосским во 2-й половине 5 в. до н. э.), в книге IV - правильные многоугольники. В книге V даётся общая теория отношений величин, созданная Евдоксом Книдским; её можно рассматривать как прообраз теории действительных чисел, разработанной только во 2-й половине 19 в. Общая теория отношений является основой учения о подобии (книга VI) и метода исчерпывания (книга VII), также восходящих к Евдоксу. В книгах VII-IX изложены начала теории чисел, основанные на алгоритме нахождения наибольшего общего делителя. В эти книги входит теория делимости, включая теоремы об однозначности разложения целого числа на простые множители и о бесконечности числа простых чисел; здесь излагается также учение об отношении целых чисел, эквивалентное, по существу, теории рациональных (положительных) чисел. В книге Х даётся классификация квадратичных и биквадратичных иррациональностей и обосновываются некоторые правила их преобразования. Результаты книги Х применяются в книге XIII для нахождения длин рёбер правильных многогранников. Значительная часть книг Х и XIII (вероятно и VII) принадлежит Теэтету (начало 4 в. до н. э.). В книге XI излагаются основы стереометрии. В книге XII определяются с помощью метода исчерпывания отношение площадей двух кругов и отношение объёмов пирамиды и призмы, конуса и цилиндра. Эти теоремы впервые доказаны Евдоксом. Наконец, в книге XIII определяется отношение объёмов двух шаров, строятся пять правильных многогранников и доказывается, что иных правильных тел не существует. Последующими греческими математиками к «Н.» Е. были присоединены книги XIV и XV, не принадлежавшие Евклиду. Они нередко и теперь издаются совместно с основным текстом «Н.» Е.

«Н.» Е. получили широкую известность уже в древности. Архимед, Аполлоний Пергский и др. учёные опирались на них при своих исследованиях в области математики и механики. До нашего времени античный текст «Н.» Е. не дошёл (древнейшая из сохранившихся копий относится ко 2-й половине 9 в.). В конце 8 в. - начале 9 в. появляются переводы «Н.» Е. на арабский язык. Первый перевод на латинский язык был сделан с арабского Ателхардом Батским в 1-й четверти 12 в. Старинные списки отличаются существенными разночтениями; подлинный текст «Н.» Е. точно не восстановлен. Первое печатное издание «Н.» Е. в переводе Дж. Кампано на латинский язык появилось в Венеции в 1482 с чертежами на полях книги (перевод был выполнен около 1250-1260; Кампано использовал как арабские источники, так и перевод Ателхарда Батского). Наилучшим в настоящее время считается издание И. Гейберга («Euclidis Elementa», v. 1-5, Lipsiae, 1883-88), в котором приводится как греч. текст, так и его лат. перевод. На русском языке «Н.» Е. издавались многократно начиная с 18 в. Лучшее издание - «Начала Евклида», пер. с греч. и комментарии Д. Д. Мордухай-Болтовского, т. 1-3, 1948-50.

Трудно переоценить значение книги Евклида «Начала». В качестве учебника при школьном преподавании математики (особенно геометрии) эту книгу использовали вплоть до XX в. Идеи, высказанные в «Началах», на протяжении более чем двух тысячелетий оказывали стимулирующее воздействие на новые математические исследования. Классическая механика, лежащая в основе естествознания XVII–XIX вв., описывает мир как находящийся в абсолютном пространстве, устроенном по законам геометрии Евклида. Осуществленная в «Началах» попытка логического выведения целостной теории из ограниченного числа первоначальных положений вызвала многочисленные подражания: в их числе – основополагающая для классической механики книга И. Ньютона «Математические начала натуральной философии», а также философский трактат Б. Спинозы «Этика, излагаемая геометрическим методом».

«Начала» подводят итог предшествующему развитию греческой математики, объединяя в себе теории, содержавшиеся в не дошедших до нас трактатах Гиппократа Хиосского, Теэтета, Евдокса и др. Последующие математики ссылались на положения «Начал» как на нечто окончательно установленное. В то же время некоторые теории, разработанные ранее, в эту книгу не вошли: по-видимому, автор стремился дать в ней именно «начала», «элементы», на основе которых могут быть развиты все разделы современной ему математики. Хотя основное место в греческой математике, и в «Началах» в том числе, занимает геометрия, эта книга также содержит много важных сведений из греческой арифметики.

Греческое название книги – «Стойхейя» – исходно обозначало алфавит, а также элементы, в частности, те, из которых состоит мироздание; греки насчитывали четыре элемента – землю, воду, огонь и воздух (рус. «стихия» также происходит от греч. «стойхейя»). Философ-неоплатоник V в. н. э. Прокл в комментариях к «Началам» утверждает, что структура книги отображает устройство космоса: она начинается с самых простых понятий – точки и прямой – чтобы в конце концов придти к учению о правильных многогранниках, которые, согласно философии Платона, лежат в основе структуры мира (четыре элемента имеют формы четырех из пяти правильных многогранников, а весь мир в целом – форму пятого, додекаэдра).

Если математические тексты Древнего Востока представляют собой лишь сборники предписаний для решения тех или иных задач, то греческая математика очень рано пришла к осознанию важности доказательств, обоснований одних положений с помощью других, уже установленных ранее. Появился идеал научной системы, в которой, во-первых, используемые термины имели бы четкие определения, а во-вторых, совокупность утверждений логически строго выводилась бы из немногих первоначальных аксиом. Этот идеал со всей ясностью сформулирован в логических трактатах Аристотеля. Первые попытки аксиоматического изложения математики были осуществлены еще до Евклида, но именно его «Начала», по-видимому, стали наиболее совершенным произведением такого рода в античности, полностью затмившим достижения предшественников.

«Начала» состоят из тринадцати книг. Каждая книга начинается с определений используемых терминов; кроме того, в начале первой книги сформулированы аксиомы и постулаты. Далее идут «предложения», доказываемые на основе определений входящих в них терминов, а также на основе аксиом, постулатов и доказанных ранее предложений. Значительную часть предложений составляют задачи на построение циркулем и линейкой. В этих случаях приводятся способ построения и доказательство того, что построенная фигура удовлетворяет условию задачи.

В I книге приводятся аксиомы и постулаты, а затем излагаются основные свойства треугольников, параллелограммов, трапеций. Венчает книгу теорема Пифагора.
Во II книге излагаются основы геометрической алгебры.

III книга посвящена свойствам круга, его касательных и хорд.
В IV книге строятся правильные треугольник, четырехугольник, пятиугольник, десятиугольник. Изящное построение правильного пятнадцатиугольника, которым заканчивается книга, возможно, принадлежит самому Евклиду.
Книга V содержит общую теорию отношений величин.
В VI книге Евклид излагает учение о подобии и применяет его к решению геометрических задач, эквивалентных квадратным уравнениям.
Книги VII–IX посвящены арифметике – теории целых чисел и их отношений (т. е., фактически, рациональных чисел). Здесь рассматриваются свойства операций с такими числами и проблемы делимости, вводится алгоритм Евклида для поиска наибольшего общего делителя двух чисел, доказывается, что простых чисел бесконечно много.
Книга X, считающаяся одной из самых сложных, излагает классификацию квадратичных иррациональностей.
Книги XI–XIII посвящены стереометрии. Книга XI содержит основные факты о прямых и плоскостях в трехмерном пространстве, а также об объемах параллелепипедов и призм.
В книге XII с помощью довольно тонкой техники (т. н. метода исчерпывания) доказывается, что площади кругов пропорциональны квадратам их диаметров, а объемы шаров – кубам их диаметров.
В книге XIII излагается учение о правильных многогранниках.
Впоследствии к тексту Евклида начали присоединять еще книги XIV–XV, также посвященные правильным многогранникам. Книгу XIV написал математик Гипсикл (II в. до н. э.), книга XV составлена в школе Исидора Милетского (VI в. н. э.).

Определения

Аристотель справедливо отмечал, что нельзя определить все термины: определяя одни термины на основе других, мы в конце концов придем к первичным, неопределяемым терминам. В современных аксиоматических изложениях геометрии в качестве неопределяемых терминов обычно рассматриваются точка, прямая, плоскость и некоторые другие. Евклид, однако, стремился определить и эти термины тоже, например:

• точка – это то, что не имеет частей;
• линия – это длина без ширины;
• прямая – это линия, которая равно расположена по отношению к точкам на ней;
• поверхность – это то, что имеет только длину и ширину;
• плоская поверхность есть та, которая равно расположена по отношению к прямым на ней;
• граница есть то, что является оконечностью чего-либо.

Историки математики расходятся в мнениях, что именно имел в виду Евклид, давая эти определения. В любом случае такие определения имеют целью скорее описание определяемых объектов, которое должно отсылать к интуитивно ясному образу точки, прямой и т. д. Ввиду их расплывчатости такие определения не используются в доказательствах.

Определения, используемые в доказательствах – это, например, такие:

• полукруг – это фигура, содержащаяся между диаметром и отсекаемой им частью окружности;
• равносторонний треугольник – треугольник, имеющий три равные стороны;
• параллельные суть прямые, которые находятся в одной плоскости и, будучи продолжены в обе стороны неограниченно, ни с той, ни с другой стороны между собой не встречаются;
• говорят, что прямая касается круга, если она встречает круг, но при продолжении не пересекает круга.

В идеальном случае все термины, встречающиеся в определениях, должны быть определены ранее либо принадлежать к узкому кругу неопределяемых терминов. В действительности Евклид определяет такие термины, как «круг», «окружность», «диаметр», «прямой угол», «треугольник», но не определяет понятий «содержащаяся между», «отсекаемая», «встречается», «пересекает» и т. д. Значения всех этих слов, по-видимому, должны быть ясны интуитивно, из обычного словоупотребления.

Многие современные математики, в частности, последователи так называемой школы формалистов (Д. Гильберт и др.), считают, что математическая теория должна строиться без каких-либо интуитивных образов. Любое математическое предложение должно логически выводиться из определений входящих в него понятий и из свойств неопределяемых объектов, каковые свойства в явной форме задаются аксиомами. Таким образом, «неопределяемые объекты» определяются всей совокупностью аксиом, и никакие другие «интуитивно ясные» свойства этих объектов не должны использоваться. При этом конкретные зрительные представления о «точке» как о чем-то очень маленьком, о «прямой» как о чем-то узком и длинном и т. д. не являются обязательным для построения геометрии. Например, под точкой могла бы пониматься пара чисел (x , y ), а под прямой – совокупность таких пар, удовлетворяющих уравнению ax + by + c = 0 . Широко известна фраза Гильберта: «Следует добиться того, чтобы с равным успехом можно было говорить не о точках, прямых и плоскостях, а о столах, стульях и пивных кружках».

Предлагаем вам познакомиться с таким великим математиком, как Евклид. Биография, краткое содержание основного его труда и некоторые интересные факты об этом ученом представлены в нашей статье. Евклид (годы жизни - 365-300 до н. э.) - математик, относящийся к эллинской эпохе. Он работал в Александрии при Птолемее I Сотере. Существует две основных версии того, где он родился. Согласно первой - в Афинах, согласно второй - в Тире (Сирия).

Биография Евклида: интересные факты

О жизни этого не так много. Имеется сообщение, принадлежащее Паппу Александрийскому. Этот человек был математиком, жившим во 2-й половине 3 века нашей эры. Он отметил, что интересующий нас ученый был любезен и мягок со всеми теми, кто хоть как-то мог способствовать развитию тех или иных математических наук.

Существует также легенда, которую сообщил Архимед. Ее главный герой - Евклид. Краткая биография для детей обычно включает эту легенду, так как она весьма любопытна и способна вызвать интерес к этому математику у юных читателей. В ней говорится о том, что царь Птолемей захотел изучить геометрию. Однако выяснилось, что сделать это непросто. Тогда царь призвал ученого Евклида и спросил у него, есть ли какой-либо легкий путь к постижению этой науки. Но Евклид ответил, что царской дороги к геометрии нет. Так это выражение, ставшее крылатым, дошло до нас в виде легенды.

В начале 3 века до н. э. основал Александрийский музей и Евклид. Краткая биография и его открытия связаны с двумя этими заведениями, которые одновременно являлись и учебными центрами.

Евклид - ученик Платона

Этот ученый прошел через Академию, основанную Платоном (портрет его представлен ниже). Он усвоил главную философскую идею этого мыслителя, которая заключалась в том, что существует самостоятельный мир идей. Можно с уверенностью сказать, что Евклид, биография которого скупа подробностями, был платоником в философии. Такая установка укрепляла ученого в понимании того, что все то, что создано и изложено им в его "Началах", имеет вечное существование.

Интересующий нас мыслитель родился на 205 лет позже Пифагора, на 63 года - Платона, на 33 - Евдокса, на 19 - Аристотеля. Он познакомился с их философскими и математическими трудами либо самостоятельно, либо через посредников.

Связь "Начал" Евклида с трудами других ученых

Прокл Диадох, философ-неоплатоник (годы жизни - 412-485), автор комментариев к "Началам", высказал мысль о том, что в этом сочинении отражены космология Платона и "Пифагорейская доктрина…". В своем труде Евклид изложил теорию золотого сечения (книги 2-я, 6-я и 13-я) и (книга 13-я). Являясь приверженцем платонизма, ученый понимал, что его "Начала" вносят вклад в космологию Платона и в представления, развитые его предшественниками, о числовой гармонии, которой характеризуется мироздание.

Не один Прокл Диадох ценил платоновы тела и (годы жизни - 1571-1630) также интересовался ими. Этот немецкий астроном отметил, что в геометрии есть 2 сокровища - это золотое сечение (деление отрезка в среднем и крайнем отношении) и теорема Пифагора. Ценность последнего из них он сравнил с золотом, а первого - с драгоценным камнем. Иоганн Кеплер использовал платоновы тела в создании своей космологической гипотезы.

Значение "Начал"

Книга "Начала" - это основное сочинение, которое создал Евклид. Биография этого ученого, конечно, отмечена и другими работами, о которых мы расскажем в конце статьи. Следует заметить, что труды с названием "Начала", в которых изложены все важнейшие факты теоретической арифметики и геометрии, составлялись и его предшественниками. Один из них - Гиппократ Хиосский, математик, живший в 5 веке до н. э. Февдий (2-я половина 4 века до н. э.) и Леонт (4 век до н. э.) также написали книги с таким названием. Однако с появлением евклидовых "Начал" все эти труды оказались вытесненными из обихода. Книга Евклида была базовым учебным пособием по геометрии на протяжении более 2 тысяч лет. Ученый, создавая свой труд, использовал многие достижения его предшественников. Евклид обработал имеющуюся информацию и свел материал воедино.

В своей книге автор подвел итог развитию математики в Древней Греции и создал прочный фундамент для дальнейших открытий. В этом и состоит значение главного труда Евклида для мировой философии, математики и всей науки в целом. Неверно было бы полагать, что оно заключается в укреплении мистики Платона и Пифагора в их псевдомироздании.

Многие ученые оценили "Начала" Евклида, в том числе и Альберт Эйнштейн. Он отметил, что это удивительное произведение, давшее разуму человека уверенность в себе, необходимую для дальнейшей деятельности. Эйнштейн сказал, что тот человек, который не восхищался в молодости этим творением, не рожден для теоретических изысканий.

Аксиоматический метод

Следует отдельно отметить значение труда интересующего нас ученого в блестящей демонстрации в его "Началах". Этот метод в современной математике является самым серьезным из тех, которые используются для обоснования теорий. В механике он также находит широкое применение. Великий ученый Ньютон построил "Начала натуральной философии" по образцу труда, который создал Евклид.

Основные положения "Начал"

В книге "Начала" систематически изложена евклидова геометрия. Ее система координат опирается на такие понятия, как плоскость, прямая, точка, движение. Отношения, которые используются в ней, следующие: "точка расположена на прямой, лежащей на плоскости" и "точка расположена между двумя другими точками".

Систему положений евклидовой геометрии, представленную в современном изложении, разбивают обычно на 5 групп аксиом: движения, порядка, непрерывности, сочетания и параллельности Евклида.

В тринадцати книгах "Начал" ученый представил и арифметику, стереометрию, планиметрию, отношения по Евдоксу. Следует отметить, что изложение в этом труде строго дедуктивно. Определениями начинается каждая книга Евклида, а в первой из них за ними следуют аксиомы и постулаты. Далее идут предложения, делящиеся на задачи (где необходимо что-либо построить) и теоремы (где нужно что-либо доказать).

Недостаток математики Евклида

Основной недостаток заключается в том, что аксиоматика этого ученого лишена полноты. Отсутствуют аксиомы движения, непрерывности и порядка. Поэтому ученому нередко приходилось доверять глазу, прибегать к интуиции. Книги 14-я и 15-я - это более поздние добавления к труду, автор которого - Евклид. Биография его имеется лишь очень краткая, поэтому нельзя точно сказать, были ли первые 13 книг созданы одним человеком или же являются плодом коллективного труда школы, которой руководил ученый.

Дальнейшее развитие науки

Появление евклидовой геометрии связано с возникновением наглядных представлений о мире, окружающем нас (лучи света, натянутые нити как иллюстрация прямых линий и т. п.). Далее они углублялись, благодаря чему возникло более абстрактное понимание такой науки, как геометрия. Н. И. Лобачевский (годы жизни - 1792-1856) - российский математик, сделавший важное открытие. Он отметил, что существует геометрия, которая отличается от евклидовой. Это изменило представления ученых о пространстве. Оказалось, что они отнюдь не априорны. Другими словами, геометрия, изложенная в "Началах" Евклида, не может считаться единственной описывающей свойства пространства, окружающего нас. Развитие естествознания (в первую очередь астрономии и физики) показало, что она описывает его структуру только с определенной точностью. Кроме того, ее нельзя применять для всего пространства в целом. Евклидова геометрия - это первое приближение к пониманию и описанию его структуры.

К слову сказать, судьба Лобачевского оказалась трагической. Он не был принят в научном мире за свои смелые мысли. Однако и борьба этого ученого не была напрасной. Торжество идей Лобачевского обеспечил Гаусс, переписка которого была опубликована в 1860 годы. В числе писем были и восторженные отзывы ученого о геометрии Лобачевского.

Другие труды Евклида

Очень большой интерес и в наше время представляет биография Евклида как ученого. В математике он сделал важные открытия. Это подтверждается тем, что с 1482 года книга "Начала" выдержала уже более пятисот изданий на различных языках мира. Однако биография математика Евклида отмечена созданием не только этой книги. Ему принадлежит ряд трудов по оптике, астрономии, логике, музыке. Один из них - книга "Данные", в которой описаны те условия, которые дают возможность считать "данным" тот или иной математический максимальный образ. Другой труд Евклида - книга по оптике, в которой содержатся сведения о перспективе. Интересующий нас ученый написал сочинение и по катоптрике (он изложил в этом труде теорию искажений, возникающих в зеркалах). Известна и книга Евклида под названием "Деление фигур". Работа по математике "О к сожалению, не сохранилась.

Итак, вы познакомились с таким великим ученым, как Евклид. Краткая биография его, надеемся, оказалась вам полезной.

(«Нача́ла» Евкли́да)

научное произведение, написанное Евклидом в 3 в. до н. э., содержащее основы античной математики: элементарной геометрии, теории чисел, алгебры, общей теории отношений и метода определения площадей и объёмов, включавшего элементы теории пределов. Евклид подвёл в этом сочинении итог трехсотлетнему развитию греческой математики и создал прочный фундамент для дальнейших математических исследований. «Н.» Е. не являются, однако, энциклопедией математических знаний своей эпохи. Так, в «Н.» Е. не излагается теория конических сечений, которая была тогда достаточно развита, отсутствуют здесь и вычислительные методы.

«Н.» Е. построены по дедуктивной системе: сначала приводятся определения, постулаты и аксиомы, затем формулировки теорем и их доказательства (см. Дедукция). Вслед за определением основных геометрических понятий и объектов (например, точки, прямой) Евклид доказывает существование остальных объектов геометрии (например, равностороннего треугольника) путём их построения, которое выполняется на основании пяти постулатов. В постулатах утверждается возможность выполнения некоторых элементарных построений, например «что от всякой точки до всякой точки (можно) провести прямую линию» (1 постулат); «И что от всякого центра и всяким раствором (может быть) описан круг» (III постулат). Особое место среди постулатов занимает V постулат (аксиома о параллельных): «И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные эти прямые неограниченно встретятся с той стороной, где углы меньше двух прямых». Относительная сложность формулировки привела к стремлению многих математиков (на протяжении почти 2 тыс. лет) вывести его как теорему из др. основных положений геометрии. Попытки доказать V постулат продолжались вплоть до работ Н. И. Лобачевского (См. Лобачевский), построившего первую систему неевклидовой геометрии, в которой этот постулат не выполняется (см. Лобачевского геометрия). За постулатами в «Н.» Е. приводятся аксиомы - предложения о свойствах отношений равенства и неравенства между величинами. Например: «Равные одному и тому же равны и между собой» (1-я аксиома); «И целое больше части» (8-я аксиома).

С современной точки зрения система аксиом и постулатов «Н.» Е. недостаточна для дедуктивного построения геометрии. Так, здесь нет ни аксиом движения, ни аксиом конгруэнтности (за исключением одной). Отсутствуют также аксиомы расположения и непрерывности. Фактически же Евклид использует при доказательствах и движение и непрерывность. Логические недостатки построения «Н.» Е. полностью выяснились лишь в конце 19 в. после работ Д. Гильберта (см. Евклидова геометрия). До этого на протяжении более 2 тыс. лет «Н.» Е. служили образцом научной строгости; по этой книге в полном либо в сокращённом и переработанном виде изучали геометрию.

«Н.» Е. состоят из тринадцати книг (отделов, или частей). В книге I рассматриваются основные свойства треугольников, прямоугольников, параллелограммов и производится сравнение их площадей. Заканчивается книга Пифагора теоремой (См. Пифагора теорема). В книге II излагается так называемая геометрическая алгебра, т. е. строится геометрический аппарат для решения задач, сводящихся к квадратным уравнениям (алгебраическая символика в «Н.» Е. отсутствует). В книге III рассматриваются свойства круга, его касательных и хорд (эти проблемы были исследованы Гиппократом Хиосским (См. Гиппократ Хиосский) во 2-й половине 5 в. до н. э.), в книге IV - правильные многоугольники. В книге V даётся общая теория отношений величин, созданная Евдоксом Книдским (См. Евдокс Книдский); её можно рассматривать как прообраз теории действительных чисел, разработанной только во 2-й половине 19 в. Общая теория отношений является основой учения о подобии (книга VI) и метода исчерпывания (книга VII), также восходящих к Евдоксу. В книгах VII-IX изложены начала теории чисел, основанные на алгоритме нахождения наибольшего общего делителя (Евклида алгоритме). В эти книги входит теория делимости, включая теоремы об однозначности разложения целого числа на простые множители и о бесконечности числа простых чисел; здесь излагается также учение об отношении целых чисел, эквивалентное, по существу, теории рациональных (положительных) чисел. В книге Х даётся классификация квадратичных и биквадратичных иррациональностей и обосновываются некоторые правила их преобразования. Результаты книги Х применяются в книге XIII для нахождения длин рёбер правильных многогранников. Значительная часть книг Х и XIII (вероятно и VII) принадлежит Теэтету (начало 4 в. до н. э.). В книге XI излагаются основы стереометрии. В книге XII определяются с помощью метода исчерпывания отношение площадей двух кругов и отношение объёмов пирамиды и призмы, конуса и цилиндра. Эти теоремы впервые доказаны Евдоксом. Наконец, в книге XIII определяется отношение объёмов двух шаров, строятся пять правильных многогранников и доказывается, что иных правильных тел не существует. Последующими греческими математиками к «Н.» Е. были присоединены книги XIV и XV, не принадлежавшие Евклиду. Они нередко и теперь издаются совместно с основным текстом «Н.» Е.

«Н.» Е. получили широкую известность уже в древности. Архимед, Аполлоний Пергский и др. учёные опирались на них при своих исследованиях в области математики и механики. До нашего времени античный текст «Н.» Е. не дошёл (древнейшая из сохранившихся копий относится ко 2-й половине 9 в.). В конце 8 в. - начале 9 в. появляются переводы «Н.» Е. на арабский язык. Первый перевод на латинский язык был сделан с арабского Ателхардом Батским в 1-й четверти 12 в. Старинные списки отличаются существенными разночтениями; подлинный текст «Н.» Е. точно не восстановлен. Первое печатное издание «Н.» Е. в переводе Дж. Кампано на латинский язык появилось в Венеции в 1482 с чертежами на полях книги (перевод был выполнен около 1250-1260; Кампано использовал как арабские источники, так и перевод Ателхарда Батского). Наилучшим в настоящее время считается издание И. Гейберга («Euclidis Elementa», v. 1-5, Lipsiae, 1883-88), в котором приводится как греч. текст, так и его лат. перевод. На русском языке «Н.» Е. издавались многократно начиная с 18 в. Лучшее издание - «Начала Евклида», пер. с греч. и комментарии Д. Д. Мордухай-Болтовского, т. 1-3, 1948-50.

Лит.: История математики с древнейших времён до начала нового времени, т. 1, М., 1970.

И. Г. Башмакова, А. И. Маркушевич.

• - способ нахождения наибольшего общего делителя двух целых чисел, двух многочленов или общей меры двух отрезков. Описан в геометрич. форме в "Началах" Евклида...

  Математическая энциклопедия

• - о простых числах: множество простых чисел является бесконечным. Более точную количественную информацию о множестве простых чисел в натуральном ряде содержит Чебышева теорема о простых числах и асимптотич...

  Математическая энциклопедия

• - сочинение по элементарной математике древнегреческого ученого Евклида, самое распространенное издание в мире, охватывающее элементарную геометрию, теорию чисел, алгебру, теорию измерения геометрических величин,...

  Начала современного Естествознания

• - в христ. представл. один из девяти чинов ангельских. Упомин. в Новом завете. По классификации Псевдо-Дионисия Ареопагита - седьмой чин, составляющий вместе с архангелами и ангелами третью триаду...

  Древний мир. Энциклопедический словарь

• - способ нахождения наибольшего общего делителя двух целых чисел, двух многочленов или общей меры двух отрезков...
• - научное произведение, написанное Евклидом в 3 в. до н. э., содержащее основы античной математики: элементарной геометрии, теории чисел, алгебры, общей теории отношений и метода определения площадей и...

  Большая Советская энциклопедия

• - способ нахождения наибольшего общего делителя двух целых чисел, двух многочленов или общей меры двух отрезков. Описан в геометрической форме Евклидом...
• - "НАЧАЛА" ЕВКЛИДА, научное произведение, написанное Евклидом в 3 в. до н. э., в котором подведен итог 300-летнему развитию греческой математики и создан фундамент для дальнейших математических исследований...

  Большой энциклопедический словарь

• - для нача́ла нареч. обстоят. времени разг. 1. Сначала, вначале. 2. На первое время...

  Толковый словарь Ефремовой

• - нача́ла мн. 1. Основные положения, принципы чего-либо. 2...

  Толковый словарь Ефремовой

• - ...

  Орфографический словарь-справочник

• - Разг. Для почина; на первое время. он строго организовал труд, создал бригады. И он пообещал «присмотреть» ей что-нибудь для начала...

  Фразеологический словарь русского литературного языка

• - Без начала, без конца, а не Бог...

  В.И. Даль. Пословицы русского народа

• - раньше всего, попервоначалу, в первую очередь, первым делом, прежде всего, в первую голову, первым долгом, наперво, прежде, первоначально, первое дело, на первых порах, сперва, спервоначалу, спервоначала, перво-наперво,...

  Словарь синонимов

• - нареч, кол-во синонимов: 1 на раззавод...

  Словарь синонимов

• - снова, снова-здорово, заново, сызнова, опять двадцать пять, с яиц леды, наново, от...

  Словарь синонимов

"Начала Евклида" в книгах

Приложение 2. Доказательство Евклида иррациональности числа √2

Приложение 2. Доказательство Евклида иррациональности числа?2 Цель Евклида состояла в доказательстве того, что число?2 не представимо в виде дроби. Поскольку Евклид использовал доказательство от противного, первый шаг состоял в предположении, что верно противоположное

Приложение 5. Доказательство Евклида существования бесконечного числа пифагоровых троек

Приложение 5. Доказательство Евклида существования бесконечного числа пифагоровых троек Пифагоровой тройкой называется такой набор из трех целых чисел, что сумма квадратов двух из них равна квадрату третьего числа. Евклид сумел доказать, что существует бесконечно

5-й постулат Евклида