Как найти внутренние углы многоугольника.

ПОКАЗАТЕЛИ ВАРИАЦИИ

Методические указания к решению задач

По теме «Показатели вариации»

Для измерения степени варьирования (колеблемости) признака служит вариация, показателями которой являются: размах вариации, среднее линейное отклонение, среднее квадратическое отклонение, средний квадрат отклонений (дисперсия), коэффициент вариации.

Размах вариации

Размах вариации (R ) характеризует пределы вариации (изменения) индивидуальных значений (или вариантов) признака (x ) в статистической совокупности

где - наибольшее и наименьшее значение признака.

Среднее линейное отклонение

Среднее линейное отклонение вычисляется по формулам средней арифметической:

Простой (невзвешенной)

,

где - i -е значение признака x ;

Средняя величина признака x ;

Статистический вес i -го значения признака;

n - число членов совокупности;

Взвешенной

Среднее квадратическое отклонение

Среднее квадратическое отклонение рассчитывается по формулам:

Невзвешенной

Взвешенной

Дисперсия количественного признака

Дисперсия количественного признака определяется по формулам средней арифметической:

Невзвешенной

Взвешенной

Дисперсия может быть рассчитана следующим образом:

где - средний квадрат значений признака;

Квадрат средней величины признака.

Свойства дисперсии количественного признака

1. При уменьшении или увеличении весов (частот) варьирующего признака в K раз дисперсия не изменяется

2. При уменьшении или увеличении каждого значения признака на одну и ту же постоянную величину А дисперсия не изменяется

где - среднее значение признака (x - A ).

3. При уменьшении или увеличении каждого значения признака в одинаковое число K раз дисперсия уменьшается или увеличивается в K 2 раз, а среднее квадратическое отклонение - в K раз

где - среднее значение признака xK .

4. Дисперсия признака относительно произвольной величины A всегда больше дисперсии относительно средней арифметической на квадрат разности между средней и произвольной величиной

Доказательство:

Дисперсия относительно средней величины

Вычисление дисперсии способом моментов

Метод упрощенного расчета дисперсии осуществляется по формуле

и называется способом моментов.

Показатели m 1 , m 2 представляют собой моменты первого и второго порядка и рассчитываются следующим образом

Доказательство:

Дисперсии количественного признака в совокупности,

Разделенной на группы

Для анализа связей количественных признаков в статистической совокупности, разделенной на группы, рассчитываются следующие дисперсии: групповая, межгрупповая, внутригрупповая и общая.

Групповая дисперсия (частная) характеризует вариацию признака в группе, обусловленную действием на него всех прочих факторов, кроме признака, положенного в основание группировки (группировочного признака):

где - i -е значение признака в j -й группе;

Частная (групповая) средняя величина признака в j -й группе;

Статистический вес i -го значения признака в j -й группе;

Число различных значений признака в j -й группе.

Межгрупповая дисперсия измеряет степень колеблемости (вариацию) признака во всей статистической совокупности за счет фактора, положенного в основание группировки (группировочного признака):

где - среднее значение признака в совокупности (общая средняя);

Вес j -й группы, представляющий собой численность единиц в j -й

J - количество групп в статистической совокупности.

Внутригрупповая дисперсия (средняя групповых дисперсий) измеряет степень колеблемости признака во всей совокупности в целом за счет действия на него всех прочих факторов (признаков), кроме группировочного признака:

Общая дисперсия измеряет степень колеблемости признака, за счет влияния всех действующих на него факторов:

Общая дисперсия признака в статистической совокупности, разделенной на группы, может быть определена по основной формуле дисперсии

Межгрупповая и общая дисперсии применяются для определения показателей тесноты связи показателей в совокупности, разделенной на группы.

Дисперсия качественного альтернативного признака

Для определения дисперсии альтернативного признака допустим, что общее число единиц совокупности равно n . Число единиц, обладающих изучаемым признаком - f , тогда число единиц, не обладающих изучаемым признаком, равно (n - f ) . Ряд распределения качественного (альтернативного) признака имеет следующий вид

Средняя арифметическая такого ряда равна:

то есть равна относительной частоте (частости) появления изучаемого признака, которую можно обозначить через p , тогда

Доля единиц, обладающих изучаемым признаком равна p , доля единиц, не обладающих изучаемым признаком, равна q , тогда p + q = 1.

p + q = 1

Среднее значение альтернативного признака

Дисперсия альтернативного признака:

Максимальное значение дисперсии альтернативного признака 0,25

Правило сложения дисперсий

Выделяют дисперсии:

2) групповую

3) межгрупповую

4) среднюю из групповых

Величина общей дисперсии характеризует вариацию признака под воздействием всех факторов, вызывающих эту вариацию:

где - среднее значение изучаемого признака для i – й группы

– общая средняя для всей совокупности

Номер группы

– количество единиц в i – й группе

Средняя из групповых (или остаточная) дисперсия характеризует случайную вариацию, т. е. ту часть вариации, которая вызвана действием других неучтённых факторов, и не зависящую от фактора, положенного в основании группировки:

где - групповая дисперсия

Общая дисперсия равна сумме межгрупповой и средней из групповых дисперсий:

Эмпирический коэффициент детерминации:

Эмпирический коэффициент детерминации показывает долю межгрупповой дисперсии в общей дисперсии (насколько общая вариация изучаемого признака обусловлена вариацией группировочного (факторного) признака), т.е. показывает, насколько вариация признака в совокупности обусловлена фактором группировки.

Эмпирическое корреляционное отношение:

Эмпирическое корреляционное отношение характеризует степень влияния группировочного признака на результативный показатель и оценивает тесноту связи между изучаемым и группировочным признаками. Эмпирическое корреляционное отношение изменяется в пределах от 0 до 1. Чем ближе η к 1, тем степень влияния больше, чем ближе к 0, тем слабее.

Стоимость 1 кв.м общей площади (у.е.) на рынке жилья по десяти 17-м домам улучшенной планировки составляла:

Таблица 14

При этом известно, что первые пять домов были построены вблизи делового центра, а остальные - на значительном расстоянии от него.

Для расчета общей дисперсии вычислим среднюю стоимость 1 кв.м. общей площади:

Общую дисперсию определим по формуле :

Вычислим среднюю стоимость 1 кв.м. и дисперсию по этому показателю для каждой группы домов, отличающихся месторасположением относительно центра города:

а) для домов, построенных вблизи центра:

б) для домов, построенных далеко от центра:

Вариация стоимости 1 кв.м. общей площади, вызванная изменением местоположения домов, определяется величиной межгрупповой дисперсии :

Вариация стоимости 1 кв.м. общей площади, обусловленная изменением остальных не учитываемых нами показателей, измеряется величиной внутригрупповой дисперсии

Дисперсия альтернативного признака

Частный случай атрибутивного (неколичественного) признака - признак альтернативный. Когда единицы совокупности либо имеют данный изучаемый признак, либо не имеют его. Примером таких признаков является: наличие бракованной продукции, ученая степень у преподавателей вуза, работа по полученной специальности, превышение среднедушевых денежных доходов их общероссийского уровня, наличие детей в семье и т.д.

В случае наличия альтернативного признака единице совокупности присваивается значение «1». В случае отсутствия - «0».

Весами в расчетах служат:

Доля единиц обладающих данным признаком;

Доля единиц, не обладающих данным признаком

Тогда средняя величина альтернативного признака равна:

дисперсия примет вид:

Дисперсия альтернативного признака изменяется в пределах от 0 до 0,25. Максимального значения 0,25 достигает при 0,5

Пример 4.11. При выборочном опросе 300 жителей Курска 60 из них высказались положительно по поводу хранения личных денежных сбережений в коммерческих банках города

Определить средний уровень, дисперсию и среднее квадратическое отклонение признака

Практическое применение вариации альтернативного признака в основном состоит в построении доверительных интервалов при проведении выборочного наблюдения.

Изучение формы распределения признака. Основные характеристики закономерностей распределения

Непременным условием успешности построений, исчислений и выводов на основе вариационных рядов является однородность обобщаемых в них совокупностей, устанавливаемая на базе глубокого теоретического анализа.

Четко выраженный порядок изменения частот в соответствии с изменением величины признака называют закономерностью распределения.

Знание типа закономерности распределения, (а следовательно, и формы кривой) необходимо прежде всего:

1. Для выяснения типичности условий получения первичного статистического материала. Так, появление многовершинной или существенно асимметричной кривой говорит о разнотипном составе совокупности и о необходимости перегруппировки данных с целью выявления более однородных групп.

2. Для обеспечения правильности выполнения практических расчетов и прогнозов. Так, применение формулы Г. Стерджесса для расчета оптимального числа групп интервального ряда, правила «трех сигм», коэффициента вариации Vу в качестве индикатора однородности совокупности, метода наименьших квадратов при моделировании корреляционной связи явлений, методов дисперсионного анализа и других правомочно лишь в условиях нормального и близких к нему распределений.

Закономерности вариационных рядов, выражающие в типе распределения их частот, наглядно выступают на графиках - гистограмме и полигоне распределения частот. Их рассмотрение показывает, что в гистограмме наблюдается большая скачкообразность распределения, а в полигоне обнаруживается постепенность перехода от одной группы к другой. Ломаная линия полигона частично сглаживает скачкообразность гистограммы, является более обобщенным приемом анализа распределения.

При увеличении строк интервального вариационного ряда и соответственном уменьшении величины его интервалов число сторон полигона распределения будет расти и ломаной линии будет присуща тенденция превратиться в пределе в некую кривую. Такая кривая называется кривой распределения . В ней происходит наибольшее освобождение данных от влияния случайных факторов. Она выявляет и показывает в максимально обобщенном виде характер вариации, закономерность распределения частот внутри однокачественной совокупности явлений.

Кривые распределения могут быть разных типов. В практике социально-экономических исследований широко применяется кривая нормального распределения. Она представляет собой одновершинную симметричную колоколообразную фигуру, правая и левая ветви которой равномерно и симметрично убывают, асимптотически приближаясь к оси абсцисс.

Отличительной особенностью этой кривой является совпадение в ней средней арифметической, моды и медианы. Если всю площадь между кривой и осью абсцисс принять за 100%, то в пределах заключено 68,3% частот, в пределах - 95,4%, в пределах 99,7% («правило трех сигм»).

Хотя нормальное, или симметричное, распределение соответствует природе ряда явлений, однако для общественных явлений оно нехарактерно, так как в нем отражаются различия, вызванные внешними воздействиями, присущие не развивающейся, а лишь колеблющейся совокупности единиц. Для социальных явлений характерно развитие, динамизм. Поэтому ряды и кривые распределения частот общественных явлений, как правило, асимметричны, в них частоты возрастают до максимума и убывают от него неравномерно. Именно наличие асимметрии, или скошенности, в рядах однородных совокупностей служит косвенным указанием на то, что исследуемый процесс проходит активную стадию развития.

Асимметричные ряды и соответствующие кривые имеют различные формы распределений, исследованные математической статистикой. Такими формами являются распределение Пуассона, распределение Максвелла, распределение Пирсона и др. Здесь асимметричность рассматривается в целом как единый тип распределения. При этом различают правостороннюю и левостороннюю асимметрии (скошенность).

Если длинная ветвь кривой расположена правее вершины, то асимметрия называется правосторонней, если эта ветвь расположена левее вершины - левосторонней. При правосторонней асимметрии при левосторонней. Поэтому разность между ними, отнесенную к, называют коэффициентом К. Пирсона и используют в качестве коэффициента асимметрии:

При правосторонней асимметрии этот коэффициент положителен, при левосторонней - отрицателен. Если = 0, вариационный ряд симметричен. Чем больше абсолютная величина коэффициента, тем больше степень скошенности.

Наиболее точным показателем асимметрии распределения является коэффициент асимметрии, вычисляемый по формуле

где n - число единиц совокупности. Как и в случае коэффициента Пирсона, при > 0 имеет место правосторонняя асимметрия, при < 0 левосторонняя. В симметричных распределениях = 0.

Чем больше величина ||, тем более асимметрично распределение. Установлена следующая оценочная шкала асимметричности:

|| - асимметрия незначительная;

0,25 < || - асимметрия заметная (умеренная);

|| > 0,5 - асимметрия существенная.

Поскольку коэффициенты и являются относительными безразмерными величинами, они часто применяются для сравнительного анализа асимметричности различных рядов распределения.

Характер асимметрии иногда указывает на направление развития. При исследовании вариации признаков, в отношении которых имеется заинтересованность в их увеличении (выполнение норм, выпуск продукции и т.д.), правосторонняя асимметрия свидетельствует о прогрессивности развития, о том, что оно идет в сторону увеличения показателя, а левосторонняя асимметрия указывает на наличие большого числа отстающих участков.

При исследовании вариации признаков, в отношении которых имеется заинтересованность в их уменьшении (себестоимость, трудоемкость, расход сырья на единицу продукции и т.п.), правосторонняя асимметрия свидетельствует о недостатках в развитии изучаемого процесса, левосторонняя - о прогрессивности его развития, о том, что последнее идет в сторону уменьшения показателя. В распределении работников по стажу (см. пример 4.9 = 5,75) наблюдается правосторонняя асимметрия, так как коэффициент асимметрии положителен: (5,955-5,75):2,47=0,095. Такая асимметрия для данного ряда прогрессивна, она свидетельствует о развитии ряда в сторону увеличения исследуемого показателя.

Форму распределения можно ориентировочно определить непосредственно рассмотрением эмпирических данных ряда, особенно если они изображены гистограммой и полигоном. Чтобы убедиться в правильности ориентировочного определения формы распределения, эмпирические данные ряда исследуются на их близость к теоретическому распределению, устанавливаемому с помощью построения соответствующей кривой распределения. Однако во многих случаях ни теория, ни непосредственное рассмотрение эмпирических данных не дают ответов на вопрос о форме распределения. Тогда обычно ведется исследование на близость эмпирических данных к нормальному распределению, так как распределения с небольшой или умеренной асимметричностью в большинстве случаев по своему типу относятся к нормальным.

Для объективного суждения о степени соответствия эмпирического распределения нормальному в статистике используется ряд критериев, называемых критериями согласия или соответствия.

К ним относятся критерии Пирсона, Романовского, Ястремского, Колмогорова, основанные на использовании различных теоретических представлений.

Например, наиболее используемый критерий согласия Пирсона («хи-квадрат») определяется по формуле:

где - эмпирические частоты (частости)

Теоретические частоты (частости)

Для оценки близости эмпирического распределения к теоретическому определяется вероятность достижения этим критерием данной величины. Если эта вероятность превышает 0,05, то отклонения фактических частот от теоретических считаются случайными, несущественными. Если же, то отклонения считаются существенными, а эмпирическое распределение - принципиально отличным от теоретического.

Для характеристики степени отклонения симметричного распределения от нормального рассчитывается показатель эксцесса. Он приближенно может быть определен с помощью коэффициента Линдберга.

где - доля (в%) количества вариант, лежащих в интервале равном половине среднего квадратического отклонения (в ту и другую сторону от величины средней) в общем количестве вариант данного ряда;

38,29 - доля (в %) количества вариант, лежащих в интервале, равном половине среднего квадратического отклонения (в ту и другую сторону от величины средней) в общем количестве вариант ряда нормального распределения

Эксцесс может быть положительным, отрицательным и равным нулю.

У высоковершинных кривых показатель эксцесса имеет положительный знак, у низковершинных кривых - отрицательный знак. Для кривой нормального распределения его величина равна нулю.

Для более точной характеристики степени отклонения симметричного распределения от нормального рассчитывается показатель островершинности (показатель эксцесса) (Ek) по формуле:

Он, как и коэффициент Линдберга, может быть положительным, отрицательным и равным нулю. Показатель эксцесса, как и показатель асимметрии, - число отвлеченное. Предельным значением отрицательного эксцесса является значение Ek= -2; величина же положительного эксцесса является величиной бесконечной.

Определение показателей асимметрии и эксцесса имеет не только описательное значение, часто их величины дают определенные указания для дальнейшего исследования изучаемых явлений. Так, например, появление значительного отрицательного эксцесса может указывать на качественную неоднородность исследуемой совокупности.

Современные компьютерные технологии открывают широкие возможности для выполнения громоздких вычислительных операций по анализу вариационных рядов. Если материал теоретически осмыслен и выдвинута разумная гипотеза о форме распределения (последнее, кстати, ЭВМ тоже в состоянии проверить), вычислительные устройства могут быстро исчислить различные обобщающие показатели и критерии, построить графики и т.д. Это тем более возможно, так как показатели вариации сравнительно несложны и хорошо формализованы.

6. Дисперсия альтернативного признака

Частный случай атрибутивного (неколичественного) признака – признак альтернативный. Когда единицы совокупности либо имеют данный изучаемый признак, либо не имеют его. Примером таких признаков является: наличие бракованной продукции, ученая степень у преподавателей вуза, работа по полученной специальности, превышение среднедушевых денежных доходов их общероссийского уровня, наличие детей в семье и т.д.

В случае наличия альтернативного признака единице совокупности присваивается значение «1». В случае отсутствия – «0».

Весами в расчетах служат:

Доля единиц обладающих данным признаком;

Доля единиц, не обладающих данным признаком

Тогда средняя величина альтернативного признака равна:

дисперсия примет вид:

Дисперсия альтернативного признака изменяется в пределах от 0 до 0,25. Максимального значения 0,25 достигает при 0,5

Пример 4.11. При выборочном опросе 300 жителей Курска 60 из них высказались положительно по поводу хранения личных денежных сбережений в коммерческих банках города

Определить средний уровень, дисперсию и среднее квадратическое отклонение признака

Практическое применение вариации альтернативного признака в основном состоит в построении доверительных интервалов при проведении выборочного наблюдения.

7. Изучение формы распределения признака. Основные характеристики закономерностей распределения

Непременным условием успешности построений, исчислений и выводов на основе вариационных рядов является однородность обобщаемых в них совокупностей, устанавливаемая на базе глубокого теоретического анализа.

Четко выраженный порядок изменения частот в соответствии с изменением величины признака называют закономерностью распределения.

Знание типа закономерности распределения, (а следовательно, и формы кривой) необходимо прежде всего:

1. Для выяснения типичности условий получения первичного статистического материала. Так, появление многовершинной или существенно асимметричной кривой говорит о разнотипном составе совокупности и о необходимости перегруппировки данных с целью выявления более однородных групп.

2. Для обеспечения правильности выполнения практических расчетов и прогнозов. Так, применение формулы Г. Стерджесса для расчета оптимального числа групп интервального ряда, правила «трех сигм», коэффициента вариации Vσ в качестве индикатора однородности совокупности, метода наименьших квадратов при моделировании корреляционной связи явлений, методов дисперсионного анализа и других правомочно лишь в условиях нормального и близких к нему распределений.

Закономерности вариационных рядов, выражающие в типе распределения их частот, наглядно выступают на графиках – гистограмме и полигоне распределения частот. Их рассмотрение показывает, что в гистограмме наблюдается большая скачкообразность распределения, а в полигоне обнаруживается постепенность перехода от одной группы к другой. Ломаная линия полигона частично сглаживает скачкообразность гистограммы, является более обобщенным приемом анализа распределения.

При увеличении строк интервального вариационного ряда и соответственном уменьшении величины его интервалов число сторон полигона распределения будет расти и ломаной линии будет присуща тенденция превратиться в пределе в некую кривую. Такая кривая называется кривой распределения. В ней происходит наибольшее освобождение данных от влияния случайных факторов. Она выявляет и показывает в максимально обобщенном виде характер вариации, закономерность распределения частот внутри однокачественной совокупности явлений.

Кривые распределения могут быть разных типов. В практике социально-экономических исследований широко применяется кривая нормального распределения. Она представляет собой одновершинную симметричную колоколообразную фигуру, правая и левая ветви которой равномерно и симметрично убывают, асимптотически приближаясь к оси абсцисс.

Отличительной особенностью этой кривой является совпадение в ней средней арифметической, моды и медианы. Если всю площадь между кривой и осью абсцисс принять за 100%, то в пределах заключено 68,3% частот, в пределах - 95,4%, в пределах 99,7% («правило трех сигм»).

Хотя нормальное, или симметричное, распределение соответствует природе ряда явлений, однако для общественных явлений оно нехарактерно, так как в нем отражаются различия, вызванные внешними воздействиями, присущие не развивающейся, а лишь колеблющейся совокупности единиц. Для социальных явлений характерно развитие, динамизм. Поэтому ряды и кривые распределения частот общественных явлений, как правило, асимметричны, в них частоты возрастают до максимума и убывают от него неравномерно. Именно наличие асимметрии, или скошенности, в рядах однородных совокупностей служит косвенным указанием на то, что исследуемый процесс проходит активную стадию развития.

Асимметричные ряды и соответствующие кривые имеют различные формы распределений, исследованные математической статистикой. Такими формами являются распределение Пуассона, распределение Максвелла, распределение Пирсона и др. Здесь асимметричность рассматривается в целом как единый тип распределения. При этом различают правостороннюю и левостороннюю асимметрии (скошенность).

Если длинная ветвь кривой расположена правее вершины, то асимметрия называется правосторонней, если эта ветвь расположена левее вершины – левосторонней. При правосторонней асимметрии при левосторонней . Поэтому разность между ними, отнесенную к , называют коэффициентом К. Пирсона и используют в качестве коэффициента асимметрии:

. (20)

При правосторонней асимметрии этот коэффициент положителен, при левосторонней – отрицателен. Если = 0, вариационный ряд симметричен. Чем больше абсолютная величина коэффициента, тем больше степень скошенности.

Наиболее точным показателем асимметрии распределения является коэффициент асимметрии , вычисляемый по формуле

(21)

где n – число единиц совокупности. Как и в случае коэффициента Пирсона, при > 0 имеет место правосторонняя асимметрия, при < 0 левосторонняя. В симметричных распределениях = 0.

Чем больше величина ||, тем более асимметрично распределение. Установлена следующая оценочная шкала асимметричности:

|| - асимметрия незначительная;

0,25 < || - асимметрия заметная (умеренная);

|| > 0,5 - асимметрия существенная.

Поскольку коэффициенты и являются относительными безразмерными величинами, они часто применяются для сравнительного анализа асимметричности различных рядов распределения.

Характер асимметрии иногда указывает на направление развития. При исследовании вариации признаков, в отношении которых имеется заинтересованность в их увеличении (выполнение норм, выпуск продукции и т.д.), правосторонняя асимметрия свидетельствует о прогрессивности развития, о том, что оно идет в сторону увеличения показателя, а левосторонняя асимметрия указывает на наличие большого числа отстающих участков.

При исследовании вариации признаков, в отношении которых имеется заинтересованность в их уменьшении (себестоимость, трудоемкость, расход сырья на единицу продукции и т.п.), правосторонняя асимметрия свидетельствует о недостатках в развитии изучаемого процесса, левосторонняя – о прогрессивности его развития, о том, что последнее идет в сторону уменьшения показателя. В распределении работников по стажу (см. пример 4.9 = 5,75 ) наблюдается правосторонняя асимметрия, так как коэффициент асимметрии положителен: (5,955-5,75):2,47=0,095. Такая асимметрия для данного ряда прогрессивна, она свидетельствует о развитии ряда в сторону увеличения исследуемого показателя.

Форму распределения можно ориентировочно определить непосредственно рассмотрением эмпирических данных ряда, особенно если они изображены гистограммой и полигоном. Чтобы убедиться в правильности ориентировочного определения формы распределения, эмпирические данные ряда исследуются на их близость к теоретическому распределению, устанавливаемому с помощью построения соответствующей кривой распределения. Однако во многих случаях ни теория, ни непосредственное рассмотрение эмпирических данных не дают ответов на вопрос о форме распределения. Тогда обычно ведется исследование на близость эмпирических данных к нормальному распределению, так как распределения с небольшой или умеренной асимметричностью в большинстве случаев по своему типу относятся к нормальным.

Для объективного суждения о степени соответствия эмпирического распределения нормальному в статистике используется ряд критериев, называемых критериями согласия или соответствия.

К ним относятся критерии Пирсона, Романовского, Ястремского, Колмогорова, основанные на использовании различных теоретических представлений.

Например, наиболее используемый критерий согласия Пирсона («хи-квадрат») определяется по формуле:

, (22)

где - эмпирические частоты (частости)

Теоретические частоты (частости)

Для оценки близости эмпирического распределения к теоретическому определяется вероятность достижения этим критерием данной величины. Если эта вероятность превышает 0,05, то отклонения фактических частот от теоретических считаются случайными, несущественными. Если же , то отклонения считаются существенными, а эмпирическое распределение – принципиально отличным от теоретического.

Для характеристики степени отклонения симметричного распределения от нормального рассчитывается показатель эксцесса. Он приближенно может быть определен с помощью коэффициента Линдберга.

, (23)

где - доля (в%) количества вариант, лежащих в интервале равном половине среднего квадратического отклонения (в ту и другую сторону от величины средней) в общем количестве вариант данного ряда;

38,29 – доля (в %) количества вариант, лежащих в интервале, равном половине среднего квадратического отклонения (в ту и другую сторону от величины средней) в общем количестве вариант ряда нормального распределения

Эксцесс может быть положительным, отрицательным и равным нулю.

У высоковершинных кривых показатель эксцесса имеет положительный знак, у низковершинных кривых – отрицательный знак. Для кривой нормального распределения его величина равна нулю.

Для более точной характеристики степени отклонения симметричного распределения от нормального рассчитывается показатель островершинности (показатель эксцесса) (Ek) по формуле:

(24)

Он, как и коэффициент Линдберга, может быть положительным, отрицательным и равным нулю. Показатель эксцесса, как и показатель асимметрии, - число отвлеченное. Предельным значением отрицательного эксцесса является значение Ek= -2; величина же положительного эксцесса является величиной бесконечной.

Определение показателей асимметрии и эксцесса имеет не только описательное значение, часто их величины дают определенные указания для дальнейшего исследования изучаемых явлений. Так, например, появление значительного отрицательного эксцесса может указывать на качественную неоднородность исследуемой совокупности.

Современные компьютерные технологии открывают широкие возможности для выполнения громоздких вычислительных операций по анализу вариационных рядов. Если материал теоретически осмыслен и выдвинута разумная гипотеза о форме распределения (последнее, кстати, ЭВМ тоже в состоянии проверить), вычислительные устройства могут быстро исчислить различные обобщающие показатели и критерии, построить графики и т.д. Это тем более возможно, так как показатели вариации сравнительно несложны и хорошо формализованы.

Список использованной литературы

1. Виноградова Н.М., Евдокимова В.Т., Хитарова Е.М. и др. Общая теория статистики: Учебное пособие /Под ред. И.Г. Венецкого/ – М.: Статистика, 1968г- 380с

2. Гусаров Виктор Максимович. Статистика: Учеб. пособие для студентов вузов обучающихся по экономическим специальностям/ В.М. Гусаров, Е.И. Кузнецова.- 2-е изд., перераб. и доп. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007.- 479с

3. Гусаров, Виктор Максимович. Обшая теория статистики: Учеб. пособие для студентов вузов обучающихся по экономическим специальностям/ В.М. Гусаров, С.М. Проява.- 2-е изд., перераб. и доп. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2008.- 207с

4. Ильишев Анатолий Михайлович. Общая теория статистики: учебник для студентов вузов, обучающихся по специальностям экономики и управления / А.М. Ильишев, - М.: ЮНИТИ- ДАНА, 2008. – 535с

5. Ряузов Н.Н. Общая теория статистики: Учебник для студ. экон. спец. вузов – 4-е изд. перераб. и доп. – М.: Финансы и статистика, 1984.- 343с

6. Салин В.Н., Чурилова Э.Ю. Курс теории статистики для подготовки специалистов финансово-экономического профиля: Учебник. – М.: Финансы и статистика, 2006- 480с

7. Статистические методы анализа факторов повышения эффективности общественного производства. Учебное пособие. Под ред. Ряузова Н.Н. Акиншиной М.К.- М. ВЗФЭИ. 1980-88с

8. Статистика: Учеб. пособие / А.В. Багат, М.М. Конкина, В.М. Симчера и др.; Под ред. В.М. Симчеры. – М.: Финансы и статистика, 2005.- 368с

9. Статистика. Компьютерные лабораторные работы: Методические указания к лабораторной работе №1 « Автоматизированный априорный анализ статистической совокупности в среде MS Excel». / Г.П. Кожевникова, А.В. Голикова, А.М. Каманина, А.М. Бобров. Под ред. проф. Г.П. Кожевниковой- М.: Вузовский учебник, 2005.-72с.

10. Теория статистики: Учебник / Под ред. проф. Р.А. Шмойловой – 3-е изд., перераб. – М.: Финансы и статистика, 1999.- 560с.

ения – отчетность и специально организованное наблюдение. Отчетность – это такая форма наблюдения, при которой предприятия, организации представляют в статистические и вышестоящие органы постоянные сведения, характеризующие их деятельность. Отчетность предоставляется по заранее определенной программе в строго определенные сроки и содержит важнейшие показатели, необходимые в процессе ежедневной...

С каждым годом увеличивается, за счет внедрения новых технологий, научного подхода к делу с помощью Иркутской Сельскохозяйственной Академии. 3. Экономико-статистический анализ себестоимости яиц 3.1. Статистическое наблюдение Статистическое наблюдение представляет собой планомерное, научно организованное и, как правило, систематическое собирание данных о явлениях и процессах общественной...