Циркуляция векторного поля. Ротор вектора Теорема Стокса Ротор (вихрь) векторного поля Инвариантное определение ротора поля Физический смысл ротора поля Правила вычисления ротора
Важнейшими характеристиками векторного поля являются ротор и дивергенция. В этом параграфе мы рассмотрим математическое описание этих характеристик векторных поле и методы их вычисления с помощью дифференциальных операций. При этом мы будем использовать только декартову систему координат. Более полное определение дивергенции и ротора и их физический смысл рассмотрим в следующей главе. Вычисление этих величин в криволинейных системах координат рассмотрим позже.
Рассмотрим векторное поле, заданное в трехмерном пространстве.
Определение 1. Дивергенцией векторного поля называется число, которое определяется выражением
При этом предполагается, что соответствующие частные производные существуют в рассматриваемой точке. Дивергенцию векторного поля, так же, как и градиент, можно записать, используя оператор набла
Здесь дивергенция представлена как скалярное произведение векторов и F . Отметим без доказательства, что дивергенция описывает плотность источников, создающих поле.
Пример 1. Вычислить дивергенцию векторного поля в точке.
Определение 2. Ротором векторного поля называется вектор, который определяется выражением
Отметим, что в представленной сумме индексы в соседних слагаемых изменяются согласно правилу круговой перестановки с учетом правила.
Ротор векторного поля можно записать с помощью оператора набла
Ротор характеризует тенденцию к вращению или завихрению векторного поля, поэтому иногда его называют вихрем и обозначают curlF .
Пример 1. Вычислить ротор векторного поля в точке.
Иногда возникает необходимость вычисления градиента векторного поля. В этом случае вычисляется градиент от каждой компоненты векторного поля. В результате получается тензор второго ранга, которым и определяется градиент вектора. Этот тензор можно описать матрицей
Для описания таких объектов удобно использовать тензорные обозначения
полагая. Использование тензорных методов упрощает математические операции над такими объектами. Детальное изложение аппарата тензорного исчисления дается в курсе «Основы тензорного анализа», который читается параллельно курсу «Дополнительные главы высшей математики».
Пример 1. Вычислить градиент векторного поля.
Решение. Для вычислений используем тензорные обозначения. Имеем
Здесь символ Кронекера, - единичная матрица.
Пример 2. Вычислить градиент скалярного поля и сравнить выражения и.
Некоторые свойства оператора набла
Ранее мы ввели оператор векторного дифференцирования
С помощью этого оператора мы записали основные дифференциальные операции в тензорных полях:
Оператор является обобщением оператора дифференцирования и обладает соответствующими свойствами производной:
1) производная суммы равна сумме производных
2) постоянный множитель можно выносить за знак оператора
В переводе на язык векторных функций эти свойства имеют вид:
Выводятся эти формулы так же, как и соответствующие формулы для производных функции одной переменной.
Использование оператора Гамильтона позволяет упростить многие операции, связанные с дифференцированием в тензорных полях. Однако следует иметь в виду, что этот оператор векторный и с ним надо обращаться аккуратно. Рассмотрим некоторые применения этого оператора. При этом соответствующие формулы записываются как с помощью оператора Гамильтона, так и в обычных обозначениях.
Пусть поле - дифференцируемое поле (то есть проекции вектора поля на оси координат являются дифференцируемыми функциями).
Определение.
Вихрем векторного поля
(обозначаетсяrot
)
называется вектор, проекция которого
на произвольный вектор
определяется как предел отношения
циркуляции поля
по некоторому контуру (L
),
содержащему точкуM
,
и лежащему в плоскости, перпендикулярной
вектору
,
к площади области, ограниченной этим
контуром, при условии, что этот контур
стягивается в точкуM
,
а площадь области (S
)
стремится к нулю:
.
(1.13)
В трехмерном
пространстве
через декартовы прямоугольные координаты
вектора
выражается следующим образом:
или в удобной для запоминания символической форме
.
(1.15)
Теорема Стокса.
Пусть координаты вектора+
непрерывны и имеют непрерывные частные
производные. Тогда циркуляция векторного
поля
по замкнутому контуру (L
)
равна потоку вихрей поля через произвольную
поверхность (S
),
натянутую на этот контур:
.
(1.16)
Предполагается, что ориентация контура (L ) и поверхности (S ) согласованы: при положительном обходе контура нормаль направлена от “ног к голове”.
Свойства ротора: 1) ; 2) .
Определение.
Векторное поле
называется безвихревым в данной области
(V
), если.
Пример 1.
Найти
ротор поля вектора напряженности
магнитного поля
.
Решение.Вектор
в координатной форме:
.
Вычислим ротор по формуле (1.15):
Поле напряженности
- безвихревое поле.
Пример 2.
Вычислить циркуляцию вектора
по контуру
1)непосредственно, 2)по теореме Стокса.
Р
ешение. 1)Контур (L
)
– окружность радиуса
,
лежащая в плоскостиz
=3 (см. рис.5). Выберем ориентацию на ней,
как указано на рисунке. Параметрические
уравнения линии
,
так что
,.
Для циркуляции вектора
имеем:.
2)Для вычисления циркуляции по теореме
Стокса выберем какую-нибудь поверхность
(S
), натянутую на контур
(L
).Естественно в
качестве (S
) взять
круг, имеющий линию (L
)
своей границей. Согласно выбранной
ориентации контура нормаль
к кругу необходимо взять равной
.
Вычислим ротор:
.
По теореме Стокса
.
Задачи для самостоятельного решения
Найти векторные линии плоских векторных полей:
1.
;2.
;3.
;4.
;
5.
.
Найти векторные линии:
6.
;
7.
,
где
;
8.
;
9.
,
;
10.
;
11.
;
12.
;
13.
,
где
-
постоянные векторы.
Найти векторные линии, проходящие через заданную точку:
14.
,
;15.
,
.
Вычислить поток векторного поля, используя поверхностный интеграл первого рода:
16.
,
(S
): верхняя сторона
треугольника, ограниченного плоскостями
,
.
17.
,
(S
): внешняя сторона
параболоида
,
ограниченного плоскостью
;
18.
,
:
боковая поверхность кругового цилиндра
,
ограниченного плоскостями
;
19.
,
(S
): внешняя сторона
части параболоида
,
расположенной в первом октанте;
20.
,
(S
): полная поверхность
конуса
,
ограниченного плоскостью
;
21.
,
(S
): замкнутая поверхность,
ограниченная параболоидом
и плоскостьюz
= 0;
22.
,
(S
): полная поверхность
пирамиды, ограниченной плоскостями
,
,
,
;
23.
,
(S
): сфера
.
Вычислить поток, используя метод проектирования на все три координатные плоскости.
24.
,
(S
): верхняя сторона
круга, вырезанного конусом
на плоскости
25.
,
(S
): верхняя сторона
треугольника, полученного пересечением
плоскостис координатными плоскостями;
26.
,
(S
): часть плоскости
,
ограниченная окружностью
,
в направлении орта
.
Определить поток поля, используя формулу Гаусса-Остроградского:
27.
,
(S
): произвольная
кусочно гладкая замкнутая поверхность;
28.
,
(S
): поверхность куба
,
,
;
29.
,
(S
): сфера
;
30.
,
(S
): часть параболоида
,
отсекаемая плоскостью
;
в отрицательную сторону осиOx
;
31.
,
(S
): поверхность тела
,
,
,
;
32.
,
(S
): поверхность тела
,
;
33. , (S ):;
Найти линейный интеграл вектора на плоскости:
36.
верхняя половина эллипса
от точкиA
(a
,0),
до точкиB
(-a
,0);
37.
а) отрезок прямойOB
;
б) дуга параболы
;
в) дуга параболы
;
г) ломанаяOAB
, гдеA
(1,0); д) ломанаяOCB
,
гдеC
(0,1);
39. от точки (-1, 1) до точки (2, 2).
Вычислить линейный интеграл:
41.
,
отрезок прямой от точки (1,1,1) до точки
(4,4,4);
44. отрезок прямой от точки (0,0,0) до точки (1,1,1).
45.
Дана
напряженность
силового поля. Найти работу поля при
перемещении массыm
вдоль одного витка винтовой линии
,
из точки
в точкуB
(t
=2);
46.
Силовое поле
образовано силой, равной по величине
расстоянию от начала координат до точки
ее приложения и направленной к началу
координат. Найти работу поля по перемещению
единицы массы вдоль дуги параболы
от точки с абсциссой
до точки с абсциссой
.
В задачах 47- 51 найти циркуляцию поля:
47. в отрицательном направлении;
48.
замкнутая
линия, образованная отрезками осей
координатOx
иOy
и другой астроиды
,
,
лежащей в первом квадранте;
51.
линия пересечения параболоида
с координатными плоскостями (в первом
октанте);
52.
Твердое тело
вращается с постоянной угловой скоростью
вокруг осиOz
. Вычислить
циркуляцию поля линейных скоростей
вдоль окружности радиусаR
,
центр которой лежит на оси вращения,
если плоскость окружности перпендикулярна
оси вращения (циркуляция рассматривается
в направлении вращения).
53.
Найти работу
поля
при перемещении точки единичной массы
вдоль замкнутой линии, состоящей из
трех прямолинейных отрезков, лежащих
в координатных плоскостях, отсекающих
на осях координат отрезки, равные
единице.
Найти дивергенцию нижеследующих полей:
54.
.
При какой функции
будет?
55.
;56.
- линейная скорость точек вращающейся
жидкости
- угловая скорость);
57.
напряженность магнитного поля,J
,
– постоянные;
58.
; 59.
;
60.
Вычислить
в точке (1,-1,1).
Найти поток векторного поля через указанные замкнутые поверхности: 1) непосредственно, 2) по теореме Гаусса-Остроградского в векторной формулировке:
64.
;
В задачах 73 и 74 вычислить ротор указанных векторных полей:
73.
74.
75.
Показать,
что если координаты вектора
имеют непрерывные частные производные
второго порядка, то
.
76.
Показать,
что если
и
-
постоянные векторы, то
.
77.
Показать,
что
.
78.
Показать,
что
.
79.
Показать,
что векторное поле
является безвихревым.
80.
Показать,
что ротор поля линейных скоростей
точек вращающегося твердого тела есть
постоянный вектор, направленный
параллельно оси вращения, модуль которого
равен удвоенной угловой скорости
вращения:
.
81.
Какова должна
быть функция
,
чтобы ротор векторного полясовпадал с вектором
?
Найти циркуляцию поля по указанным контурам 1)непосредственно, 2)по теореме Стокса в векторной формулировке:
84.
по контуру, образованному пересечением
плоскости
с координатными плоскостями;
15.2. Частные случаи векторных полей. Операции второго порядка
15.2.1. Потенциальное векторное поле
Определение.
Векторное поле
называется потенциальным полем, если
существует некоторая скалярная функция
,
градиент которой образует это поле:
.
(2.1)
Функция u
называется потенциалом векторного поля
.
Теорема. Для того, чтобы поле было потенциальным, необходимо и достаточно, чтобы оно было безвихревым:
.
(2.2)
Формула (2.2) есть
критерий потенциальности векторного
поля
.
Свойства потенциальных полей.
1) в области непрерывности потенциала поля u линейный интеграл не зависит от пути интегрирования и равняется приращению потенциала
2)
циркуляция (1.9) вектора
по любому замкнутому контуру, целиком
лежащему в области непрерывности поля,
равна нулю:
.
(2.4)
3)
потенциал
находится по формуле (2.3):
,
(2.5)
где
(AM
)
– произвольная кривая, стягивающая
точки A
и M
.
Если путь (AM
)
взять в виде ломаной, состоящей из
отрезков, параллельных осям координат
(количество таких ломаных равно шести),
то для нахождения потенциала может быть
применена одна из формул, выражающая
потенциал
через определенные интегралы
;
):
Пример. Проверить, что поле вектора является потенциальным и найти его потенциал.
Решение. Составим для данного поля критерий потенциальности (2.2):
Поле потенциально. Найдем потенциал
по формуле (2.6): за начальную точку удобно
взять точкуA
(0,0,0):
.
Понятие дивергенции как локального свойства векторного поля было введено при рассмотрении потока векторного поля на замкнутой поверхности. Аналогично можно ввести соответствующую характеристику при рассмотрении циркуляции векторного поля.
Рассмотрим некоторую точку M и векторное поле a . Выберем некоторое направление, характеризуемое единичным вектором n и плоскость, перпендикулярную к вектору n и проходящую через точку M . Окружим точку M контуром L , лежащим в заданной плоскости. Вычислим циркуляцию векторного поля по этому контуру и возьмем отношение этой циркуляции к площади S , ограниченной контуром L :
Найдем теперь предел этого отношения при S ®0, при условии, что контур L стягивается в точку M , не выходя из плоскости. Этот предел называется ротором векторного поля a в точке M :
. (7.6)
Замечание 3. Ротор есть характеристика "вращательной составляющей" векторного поля, поэтому его обозначают как rot. Однако иногда вместо слова ротор используют термин "вихрь " и обозначают символом curl .
Выведем теперь формулу для ротора в декартовой системе координат. Пусть n
совпадает с направлением оси Oz
, а контуром L
является прямоугольник со сторонами Dx
и Dy
, при этом контур обходится против часовой стрелки (см. рис. 7.3). Тогда получим
.
Для первого слагаемого получаем
(отрезки DA и BC можно не учитывать, поскольку здесь x=const и dx =0). Далее
.
Аналогично получаем для второго слагаемого
.
В результате, находим
.
Аналогично вычисляем проекции на другие оси координат:
, 
.
В векторной форме это можно следующим образом:
Эту формулу можно записать более компактно в символической форме:
. (7.8)
Формула (7.7) получается из (7.8) путем разложения определителя по первой строке.
Пример 7.4. Вычислить ротор векторного поля a =x 2 y 3 i +j +zk в точке M(1;1;1).
Решение. Записываем
Таким образом,
.
Пример 7.5. Найти ротор поля скоростей вращающего тела v =–wyi +wxj .
Решение. Поскольку v x =–wy , v y =wx , v z =0, то
.
Итак, ротор скоростей твердого тела в любой его точке равен удвоенной угловой скорости. Найденный механический смысл ротора имеет более широкое значение. Например, колесо с лопастями в потоке жидкости будет иметь максимальную скорость вращения, если ось вращения будет направлена вдоль rota , при этом скорость вращения будет равна .
Пусть в некоторой области G задано непрерывное векторное поле а) к и замкнутый ориентированный контур L. Определение 1. Циркуляцией вектора а по замкнутому контуру L называется криволинейный интеграл 2-го рода от оектора а по контуру L Здесь dr - вектор, длина которого равна дифференциалу дуги L, а направление совпадаете направлением касательной к L, оп- Рис. 31 ределяемымориентацией контура (рис. 31); символ f означает, что интеграл берется по зам1«угому контуру L. ь Пример 1. вычислить циркуляцию векторного поля вдоль эллипса L: По определению циркуляции имеем Параметрические уравнения данного эллипса имеют вид: , и, значит, . Подставляя эти выражения в формулу (2), найдем Циркуляция векторного поля. Ротор вектора Теорема Стокса Ротор (вихрь) векторного поля Инвариантное определение ротора поля Физический смысл ротора поля Правила вычисления ротора 8.1. Ротор (вихрь) векторного поля Рассмотрим поле вектора Р, Q, R которого непрерывны и имеют непрерывные частные производные первого порядка по всем своим аргументам. Огределенив 2. Ротором вектора »(М) называется вектор, обозначаемый символом rot а и определяемый равенством или, в символической, удобной для запоминания форме, Этот определитель раскрывают по элементам первой строки, при этом операции умножения элементов второй строки на элементы третьей строки понимаются как операции дифференцирования, например, Определение 3. Если в некоторой области G имеем rot а = 0, то поле вектора а в области G называете я безвихревым. Пример 2. Найти ротор вектора 4 Согласно формуле (3) имеем Так как rot а - вектор, то мы можем рассматривать векторное поле - поле ротора вектора а. Предполагая, что координаты вектора а имеют непрерывные частные производные второго порядка, вычислим дивергенцию вектора rot а. Получим Таким образом, поле вектора rot а соленоида л ьно. Теорема 7 (Стокса). Циркуляция вектора а вдоль ориентированного замкнутого контура L равна потоку ротора этого вектора через любую поверхность Е, натянутую на контур L, При этом предполагается, что координаты вектора а имеют непрерывные частные производные в некоторой области G пространства, содержащей поверхность Е, и что ориентация орта нормали п° к поверхности ЕС G согласована с ориентацией контура L так, что из конца нормши обход контура в заданном направлении виден совершающимся против часовой стрелки. Учитывая, что, и пользуясь определением ротора (3), перепишем формулу (4) в следующем виде: Рассмотрим сначала случай, когда гладкая поверхность Е и ее контур L однозначно проектируются на область D плоскости хОу и ее границу - контур А соответственно (рис. 32). Ориентация контура L порождает определенную ориентацию контура А. Для определенности будем считать, что контур L ориентирован так, что поверхность Е остается слева, так что веетор нормали п к поверхности Е составдя етсосью Oz острый угол 7 (cos 7 >0). Пусть - уравнение поверхности Е и функция ф(х}у) непрерывна и имеет непрерывные частные производные gf и ^ в замкнутой области D. Рассмотрим интеграл Линия L лежит на поверхности Е. Поэтому, пользуясь уравнением этой поверхности, мы можем заменить г под знаком интеграла на ^(ж, у). Координаты перемсннойточки кривой А равны координатам соответствующей точки на кривой L, а потому интегрирование по L можно заменить интегрированием по А, Применим к интегралу, стоящему справа, формулу Грина. Имеем Перейдем теперь от интеграла по области D к интегралу по поверхности Е. Так как dS = cos 7 da, то из формулы (8) получим, что Вектор нормали п° к поверхности Е определяется выражением к. Отсюда видно, что. Поэтому равенсгво (9) можно переписать так: Считая Е гладкой поверхностью, однозначно проектирующейся на все три координатные плоскости, аналогично убеждаемся в справедливости формул Циркуляция векторного поля. Ротор вектора Теорема Стокса Ротор (вихрь) векторного поля Инвариантное определение ротора поля Физический смысл ротора поля Правила вычисления ротора Складывая равенства почленно, получим формулу Стокса (5), или, короче, Замечание 1. Мы показали, что поле вектора rote - соленоидальное, и потому поток вектора rota не зависит от вида поверхности Е, натянутой на контур L. Замечание 2. Формула (4) выведена в предположении, что поверхность £ однозначно проектируется на все три координатные плоскости. Бели это условие не выполнено, то разбиваем £ на частя так, чтобы каждая часть указанному условию удовлетворяла, а затем пользуемся аддитивностью интегралов. Пример 3. Вычислить циркуляцию вектора по линии 1) пользуясь определением; 2) по теореме Стокса. 4 1) Зададим линию L параметрически: Тогда 2) Найдем rota: Натянем на контур L кусок плосхости Тогда. Инвариантное определение ротора поля Из теоремы Стокса можно получить инвариантное определение ротора поля, не связанное с выбором системы координат. Теорема 8. Проекция ротора а на любое направление не зависит от выбора системы координат и равна поверхностной плотности циркуляции вектора а по контуру площадки, перпендикулярной этому направлению, Здесь (Е) - плоская площадка, перпендикулярная вектору л; 5 - площадь этой площадки; L - контур площадки, ориентированный так, чтобы обход контура был виден из конца вектора п против хода часовой стрелки; (Е) М означает, что площадка (Е) стягивается к точке М, в которой рассматривается вектор rot а, причем вектор нормали п к этой площадке остается все время одним и тем же (рис. 33). 4 Применим сначала к циркуляции (a,dr) вектора а теорему Стокса, а затем к полученному двойному интегралу - теорему о среднем значении: откуда (скалярное произведение берется в некоторой средней точке Мф площадки (Е)). Пристягивании площадки (Е) кточке М средняяточка Л/ср тоже стремится кточ-ке М и, в силу предполагаемой непрерывности частных производных от координат вектора а (а значит, и непрерывности rot а), мы получаем Поскольку проекция вектора rot а на произвольное направление не зависитотвы-бора системы координат,то и сам вектор rota инвариантен относительно этого выбора. Отсюда получаем следующее инвариантное определение ротора поля: ротор поля есть вектор, длина которого равна наибольшей поверхностной плотности циркуляции в данной точке, направленный перпендикулярно той площадке, на которой эта наибольшая плотность циркуляции достигается; при этом ориентация вектора rota согласуется с ориентацией контура, при которой циркуляция положительна, по правилу правого винта. 8.3. Физический смысл ротора поля Пустьтвердое тело вращается вокруг неподвижной оси I с угловой скоростью и. Не нарушая общности, можно считать, что ось I совпадает с осью Oz (рис. 34). Пусть М(г) - изучаемая точка тела, где Вектор угловой скорости в нашем случае равен из = wk, вычислим вектор v линейной скорости точки М, Отсюда Циркуляция векторного поля. Ротор вектора Теорема Стокса Ротор (вихрь) векторного поля Инвариантное определение ротора поля Физический смысл ротора поля Правила вычисления ротора Итак, вихрь поля скоростей вращающегося твердого тела одинаков во всех точках поля, параллелен оси вращения и равен удвоенной угловой скорости вращения. 8.4. Правила вычисления ротора 1. Ротор постоянного вектора с равен нулевому вектору, 2. Ротор обладает свойством линейности постоянные числа. 3. Ротор произведения скалярной функции и{М) на векторную а(М) вычисляется по формуле
