Средние показатели поведенческого профиля индивидуума Усредненные показатели всегда скрывают различия.Предыдущие графики показывают среднее поведение команд продавцов и средний уровень поведенческих ожиданий и ценностей группы клиентов. На рис. 14.5 стиль продаж

Решение. Для построения интервального ряда из дискретного используется формула Стерджесса, с помощью которой определяется оптимальное количество интервалов (n ):
n = 1 +3,322 lg N,
где N – число величин в дискретном ряде.
В нашей задаче n = 1 + 3,322lg 25 = 1 + 3,322*1,398 = 5,64. Так как число интервалов не может быть дробным, то округлим его до ближайшего целого числа, т.е. до 6.
После определения оптимального количества интервалов определяем размах интервала по формуле:
h = H / n,
где H – размах вариации.
H = Хмах –Х min ,
X м a x и Xmin - максимальное и минимальное значения в совокупности.
В нашей задаче h = (29 – 19)/6 = 1,67.
Интервальная группировка данных приведена в первом столбце таблицы 1, которая содержит также алгоритм и промежуточные расчеты.
Таблица 1 . Вспомогательные расчеты для решения задачи

На основе этой группировки строится график распределения возраста студентов:


Рис. График распределения возраста студентов.
Мода – это наиболее часто повторяющееся значение признака. Для интервального ряда с равными интервалами величина моды определяется по формуле (13):
,
где ХMo – нижнее значение модального интервала; f Mo – число наблюдений или объем взвешивающего признака (вес признака) в модальном интервале; f Mo-1 – то же для интервала, предшествующего модальному; f Mo+1 – то же для интервала, следующего за модальным; h – величина интервала изменения признака в группах.
В нашей задаче чаще всего повторяется (12 раз) первый интервал возраста (до 20,67), значит, это и есть модальный интервал. Используя формулу (13), определяем точное значение модального возраста:
Мо = 19 + 1,667*(12-0)/(2*12-4-0) = 20 (лет).
Медиана – это такое значение признака, которое приходится на середину ранжированного ряда. Таким образом, в ранжированном ряду распределения одна половина ряда имеет значения признака больше медианы, другая – меньше медианы. Для интервального ряда с равными интервалами величина медианы определяется так:
,
где XMe – нижняя граница медианного интервала; h – его величина (размах); – сумма наблюдений (или объема взвешивающего признака), накопленная до начала медианного интервала; f Me – число наблюдений или объем взвешивающего признака в медианном интервале.
В нашей задаче второй интервал возраста (от 20,67 до 22,33) является медианным, так как на него приходится середина ряда распределения возраста.

Определяем точное значение медианного возраста:
Ме = 20,67 + 1,667*(12,5-12)/4 = 20,878 (года).
Средняя величина – это обобщающий показатель совокупности, характеризующий уровень изучаемого явления или процесса. Средние величины могут быть простыми и взвешенными. Простая средняя рассчитывается при наличии двух и более статистических величин, расположенных в произвольном (несгруппированном) порядке, по общей формуле (15). Взвешенная средняя величина рассчитывается по сгруппированным статистическим величинам с использованием общей формулы (16).
=

= .
При этом обозначено: Xi – значения отдельных статистических величин или середин группировочных интервалов; m - показатель степени, от значения которого зависят виды средних величин.
Таблица 2. Виды степенных средних и их применение

В нашей задаче, применяя формулу (18) и подставляя вместо середины интервалов возраста ХИ , определяем средний возраст студентов: = 549,163/25 = 21,967 (года). Теперь осталось определить типичность или нетипичность найденной средней величины. Это осуществляется с помощью расчета показателей вариации. Чем ближе они к нулю, тем типичнее найденная средняя величина для изучаемой статистической совокупности. При этом критериальным значением коэффициента вариации служит 1/3.
Коэффициенты вариации рассчитываются как отношение среднего отклонения к средней величине. Поскольку среднее отклонение может определяться линейным и квадратическим способами, то соответствующими могут быть и коэффициенты вариации.
Среднее линейное отклонение определяется по формулам:
–простое; – взвешенное.
Среднее квадратическое отклонение определяется как корень квадратный из дисперсии, то есть по формуле (31):
= .
Дисперсия определяется по формулам:
–простая; –взвешенная.
В нашей задаче, применяя формулу (30), определим ее числитель и внесем в расчетную таблицу. В итоге получим среднее линейное отклонение: Л = 54,937/25 = 2,198 (года). Разделив это значение на средний возраст, получим линейный коэффициент вариации : = 2,198/21,967 = 0,100. По значению этого коэффициента для рассмотренной группы студентов делаем вывод о типичности среднего возраста, т.к. расчетное значение коэффициента вариации не превышает критериального (0,100 < 0,333).
Применяя формулу (33), получим в итоге дисперсию: Д = 164,018/25 = 6,561. Извлечем из этого числа корень и получим в результате среднее квадратическое отклонение: = = 2,561 (года).Разделив это значение на средний возраст, получим квадратический коэффициент вариации : = 2,561/21,967 = 0,117. По значению этого коэффициента для рассмотренной группы студентов можно сделать вывод о типичности среднего возраста, т.к. расчетное значение коэффициента вариации не превышает критериального (0,117 < 0,333).
В качестве показателей асимметрии используются: коэффициент асимметрии – нормированный момент третьего порядка (34) и коэффициент асимметрии Пирсона (35):
, .
Если значение коэффициента асимметрии положительно, то в ряду преобладают варианты, которые больше средней (правосторонняя скошенность), если отрицательно – левосторонняя скошенность. Если коэффициент асимметрии равен 0, то вариационный ряд симметричен.
В нашей задаче ==383,636/25 = 15,345; =2,5613= 16,797; =15,345/16,797 = 0,914 > 0, значит, распределение студентов по росту с правосторонней асимметрией. Это подтверждает и значение коэффициента асимметрии Пирсона: As = (21,967-20)/2,561 = 0,768.

1. Сущность и значение средних величин

2. Виды средних величин

2.1. Степенные средние

2.2. Структурные средние

3. Понятие и показатели вариации

Средняя величина – обобщающий показатель, характеризующий типичный уровень варьирующего (изменяющегося) признака в конкретных условиях места и времени.

Средняя величина всегда именованная, она имеет ту же размерность, что и признак у отдельных единиц совокупности.

Отличительной особенностью средних величин является то, что в них сглаживаются индивидуальные различия признака у отдельных единиц совокупности, в результате чего появляется возможность охарактеризовать общие черты и свойства массовых экономических явлений. Вместе с тем средние показатели иногда приводят к необъективным выводам при проведении экономико-статистического анализа, так как они игнорируют те различия в количественных признаках отдельных единиц совокупности, которые реально существуют и могут представлять самостоятельный интерес.

Принципы применения средних величин:

1. Для расчета средних величин должны быть использованы массовые данные. В средней величине, рассчитанной на основе данных о большом числе единиц (массовых данных)колебания в величине признака, вызванные случайными причинами сглаживаются и проявляется типичный размер признака для всей совокупности.

2. Средние величины рассчитываются по однородным совокупностям. Для получения однородной совокупности необходима группировка данных, поэтому расчет средней величины должен сочетаться с методом группировки. Если исследуемое явление не является однородным, то его разбивают на группы, содержащие только однородные элементы. Для такого явления рассчитываются сначала средние по группам, которые называются групповые средние, они выражают наиболее типичную величину явления в каждой группе. Затем рассчитывается для всех групп общая средняя величина, характеризующая явление в целом. Она определяется как среднее значение из групповых средних, взвешенных по числу элементов совокупности, включенных в каждую группу.

На практике безусловное выполнение данного условия повлекло бы за собой ограничение возможностей статистического анализа общественных процессов, поэтому часто средние величины рассчитываются по неоднородным явлениям (например, средняя ЗП по Брянской области)

3. Общие средние величины должны подкрепляться групповыми средними, характеризующими части совокупности. Это обусловлено тем, что за средними показателями скрываются особенности различных частей изучаемой совокупности (например, средняя ЗП в каждом районе Брянской области).

4. Определение максимального и минимального значения признака в изучаемой совокупности. В случае больших отклонений между крайними значениями и средним необходимо проверить принадлежность экстремумов к исследуемой совокупности. Если сильная изменчивость признака вызвана случайными кратковременными факторами, то, возможно, крайние значения не характерны для совокупности, следовательно, их необходимо исключить из анализа, так как они оказывают влияние на размер средней величины (например, многие данные по Москве существенно отличаются от общероссийских).

Средние величины делятся на два класса: степенные средние и структурные средние

Степенные средние в зависимости от представления исходных данных рассчитываются в двух формах: простой и взвешенной. Простая средняя рассчитывается по не сгруппированным данным, а взвешаная средняя рассчитывается по сгруппированным данным, представленным в виде интервальных или дискретных рядов распределения.

Виды степенных средних.

Формулы расчета степенных средних величин смори в раздатке.

Средняя арифметическая простая применяется, когда количество вариантов по конкретному признаку встречается по одному или одинаковому числу раз.

Пример 1 . Имеются след данные о ЗП рабочих участка за сентябрь. Вычислить среднюю ЗП рабочих участка за сентябрь.

Решение: что требуется усреднить, то и признак – Х; f=1 (частота) для каждого значения признака, так как ничего не повторяется. Каждое значение признака (ЗП) встречается только один раз, поэтому применим формулу средней арифметической простой: x ср =(11700+11208+…+10870)/10=11366,5 руб.

Средняя арифметическая взвешаная применяется при условии повторения признака неодинаковое число раз.

Пример 2. Имеется распределение рабочих участка по величине ЗП за сентябрь.

Решение: Х – заработная плата; число рабочих – частота признака – f. Так как имеются повторяющиеся с разной частотой значения признака, применим формулу средней арифметической взвешенной: x ср =(10250*2+10750*6+11125*15+11575*7)/(2+6+15+7)=11097 руб.

Расчет средних величин по результатам группировки.

Часто исходные данные для анализа бывают представлены в сгруппированном виде – когда для каждого значения осредняемого Х сообщается частота его повторения. В этих случаях средняя величина рассчитывается по обычным формулам средних взвешенных (пример 2). Сложности возникают, когда в сгруппированных данных указывается не конкретное значение признака Х по каждой группе, а лишь интервал его изменения (пример 3). В данном случае правильный расчет общей средней величины возможен, если от интервалов перейти к их серединам. Таким образом, расчет средней арифметической делают по формуле: =(∑ i *f i)/∑f i , i =x min +((x max -x min)/2), где x max – верхняя граница, x min – нижняя граница. При этом величины открытых интервалов (первого и последнего) условно приравниваются к величинам интервалов, примыкающих к ним (второго и предпоследнего).

Расчет среднего значения по данным группировки требует особого внимания при выборе взвевающего показателя (частоты). Часто величины f i – частоты повторения признака х – в исходных данных либо отсутствуют, либо не совсем очевидны.

Пример 3 : имеются след данные:

Определить среднюю себестоимость изделия.

Решение: себестоимость единицы – Х, частота повторений – если с определением серединного интервала сложностей не возникает i =x min +((x max -x min)/2); 1 =110+ =112,5; 2 =115+ =117,5; 3 =122,5; 4 =127,5, то при выборе взвешивающего показателя типичной ошибкой является выбор признака «Число предприятий»; умножения себестоимости одного изделия на число предприятий экономического смысла не имеет, тогда как умножение себестоимости одного изделия на объем продукции дает реальную экономическую величину–общую сумму затрат. Таким образом, в качестве взвешивающего показателя следует взять объем продукции (четвертый столбец – f).

Тогда средняя себестоимость изделия будет равна: = . = =123,15 руб.

Средняя гармоническая – величина, обратная средней арифметической. Средняя гармоническая простая рассчитывается, если имеются похожие объекты различные по какому либо признаку.

Пример 4: два автомобиля работают на одной марке бензина. Первый автомобиль имеет удельный расход 0,05 л/км, второй 0,08 л/км. Определить средний удельный расход бензина по двум автомобилям.

Решение: = .

Средняя гармоническая взвешенная рассчитывается в случае, если по условию дано произведение признака на частоту (x*f).

Пример 5 : определить среднюю продолжительность рабочего дня на предприятии по данным таблицы.

Решение: признак – средняя фактическая продолжительность, третий столбец – x*f. = .

Средняя геометрическая: применяется в основном простая для определения среднего коэффициента роста.

Решение: для 2009 КР не будет (не с чем сравнивать); для 2010: 400/370=1,081; для 2011: 420/400=1,05. Условные обозначения: x – третий столбец. =

Средняя квадратическая применяется для расчета среднего квадратического отклонения, являющегося показателем вариации признаков, а также в технике и, например, при сооружении трубопроводов.

Пример 7: подача жидкого топлива для технологического процесса осуществляется в цехе тремя трубопроводами с диаметром 2, 5 и 6 см. При капитальном ремонте здания цеха эти трубопроводы будут заменены на три новых, одинакового диаметра при сохранении их общей пропускной способности. Определить средний диаметр трубы (диаметр новой трубы).

Решение: определяющий показатель пропускной способности труб – их радиус. = . Д=2 ч=4,66 см.

Резюме: значения степенных средних, рассчитанных на основе одних и тех же индивидуальных значений признака при разных показателях степени, не одинаковы. Чем выше степень средней, тем больше величина самой средней – правило мажорантности средних.

Мода – числовое значение признака, которое наиболее часто встречается в ряду распределения. Может определяться по несгруппированным данным, а также для дискретного и интервального ряда распределения.

Расчет моды по несгруппированным данным

Пример 8: известно, что семь сотрудников отдела кадров имеет след стаж работы, лет: 5, 2, 4, 3, 4, 2, 2.

Решение: ранжируем исходные данные: 2,2,2,3,4,4,5. Так как чаще всего встречается стаж работы два года, он является модальным.

Расчет моды по дискретному ряду распределения:

Особенности применения моды для дискретного ряда:

1. Если все значения вариационного ряда имеют одинаковую частоту, то этот вариационный ряд не имеет моды

2. Если два соседних варианта имеют одинаковую наибольшую частоту, то мода рассчитывается как среднее арифметическое из этих вариантов

3. Если два не соседних варианта имеют одинаковую наибольшую частоту, то вариационный ряд называется бимодальным

4. Если таких вариантов более двух, то ряд полимодальный

Пример 9: имеется ряд распределения рабочих по выработке деталей:

Определить моду.

Решение: вводим условные обозначения: выработка – признак, частота – число рабочих. Поскольку наибольшее число рабочих (5 человек) имеют выработку 20 деталей, мода равна 20.

Расчет моды по интервальному ряду распределения

Для интервальных рядов распределения мода рассчитывается по формуле: , где i – величина модального интервала, fм – частота модального интервала, fм-1 – частота интервала предшествующего модальному, fм+1 – частота интервала след за модальным.

Пример 10: имеются предприятия региона, распределенные на группы по стоимости основных производственных фондов. Определить моду.

Решение: признак – группы ОПФ, число предприятий – частота повторений признака. Модальный интервал 18-20, так как для него характерно наибольшая частота (10 предприятий). млн. руб.. Вывод: предприятие, имеющее величину ОПФ в размере 18,8 млн. руб., представляют собой наибольшую группу в общем объеме рассматриваемых предприятий.

На практике мода иногда используется вместо средней арифметической или вместе с ней, например, при определении наиболее ходовых размеров одежды и обуви, что учитывается при планировании их производства.

Медиана – это величина признака, которое делит упорядоченную последовательность его значений на две равные по численности части. Рассчитывается по несгруппированным данным, а также для дискретного и интервального ряда.

Расчет медианы по несгруппированным данным

В начале для определения медианы необходимо провести ранжирование (упорядочение). Если ряд состоит из нечетного количества вариантов, место медианы определяется по формуле: , где n – количество единиц совокупности. Для четного ряда медиана рассчитывается как средняя арифметическая простая из двух значений, находящихся в середине ряда.

Пример 11: по условию примера 8 найти медиану.

Решение: проведем ранжирование исходных данных: 2 2 2 3 4 4 5. Ряд нечетный, потому что семь элементов, поэтому место медианы. Медианный стаж 3 года, то есть половина работников имеют стаж менее трех лет, другая половина – более трех лет.

Расчет медианы по дискретному и интервальному ряду распределения:

Алгоритм нахождения медианы для дискретного ряда (медианного интервала для интервального ряда):

1. Определяем общую сумму и полусумму частот

2. Для каждого значения признака (интервала) определяем сумму накопленных частот

3. Медианным будет то значение признака (тот интервал), для которого сумма накопленных частот впервые будет равна или превысит их полусумму.

Для интервального ряда медиана рассчитывается по формуле . где Sм-1 – сумма частот накопленная до начала медианного интервала, fм – частота медианного интервала.

Пример 12: по данным примера 9 найти медиану.

Решение:

1. Определяем сумму частот – 15.полусумма – 7,5

2. Смотри в таблице (третий столбец)

3. Медианой является то значение признака, для которого сумма накопленных частот впервые будет равно или превысит полусумму (11>7,5)

Вывод: таким образом, медиана равна 20 деталей (первый столбец), то есть половина рабочих имеют выработку более 20 деталей, другая половина менее 20 деталей.

Пример 13: по данным примера 10 найти медиану.

Решение:

1. Определяем сумму частот – 25, полусумма – 12,5

2. Смотри третий столбец примера 10

3. Медиана находится в том интервале, в котором сумма накопленных частот впервые будет равна или превысит полусумму (18>12,5)

Таким образом, медианный интервал 18-20. Применим формулу: млн. руб.

Медиана всегда лежит в медианном интервале!

Вывод: половина предприятий имеют стоимость ОПФ менее 18,9 млн. руб., остальные – более 18,9 млн. руб.

Медиана используется при распределении семей по величине дохода, при проектировании оптимального положения остановок общественного транспорта, складских помещений и т.д.

Мода и медиана имеют преимущество перед средней арифметической для ряда распределения с открытыми интервалами.

Для исследования колеблемости средней величины в статистике возникает необходимость изучения признаков вариации ее измерения.

Вариация – это несовпадение уровней одного и того же признака у разных объектов, принадлежащих одной совокупности (например, вариация оценок по дисциплине ЭПП в группе 11-ПИ).

Вариацией называется изменчивость только тех явлений, на которые воздействуют внешние факторы и причины. Тогда, как о явлениях, изменяющихся в силу своей внутренней природы, нельзя говорить. Что они подвержены вариации (например, рост отдельного человека, меняющийся в течение жизни. Изучение изменчивости роста, который. Допустим, к году составляет 0,8 метра, а к 20 годам 1,79 метра, путем расчета среднего роста будет некорректным, так как в начале жизни рост был небольшой в силу естественных причин).

Не следует путать с вариацией изменения размера признака по одной и той же единице совокупности, наблюдаемой в разные моменты или периоды времени. Такое изменение называется изменение во времени или динамикой явления и исследуется с помощью специальных методов.

Задачи исследования вариации в статистике

1. Выявление изменчивости размеров явления дает возможность оценить степень зависимости изучаемого явления от других факторов в свою очередь подверженных изменчивости, то есть оценить степень устойчивости явления к внешним воздействиям

2. Вариация предполагает оценку однородности изучаемого явления, то есть меру типичности, рассчитанной для этого явления статистической величины (прежде всего средней)

3. Вариация и методы ее исследования имеют важнейшее значение в изучении явлений, протекающих в обществе. Одной из главных проблем исследования общественных явлений и процессов является высокий уровень их изменчивости, так как участниками общественных процессов выступают люди, обладающие различными системами ценностей и интересов

Вариация измеряется при помощи абсолютных показателей (размах вариации, среднее линейное отклонение, среднее квадратическое отклонение и дисперсия) и относительных показателей (коэффициент вариации).

Размах вариации определяется как разница между максимальным и минимальным значением признака: R=Xmax-Xmin.

Пример 14 . Определить средний размер страховых выплатах за год по договорам страхования от несчастных случаев. Проанализировать вариацию данных.

Х=(5*11+6*17+7*23+8*30+9*18)/99=7,3 тыс. руб

R=9-5=4 тыс. руб.

Среднее линейное отклонение точнее характеризует колеблемость и представляет собой среднюю арифметическую из абсолютных значений отклонений отдельных вариантов от их средней арифметической. Рассчитывается как простое (для дискретных рядов), так и взвешенное (для интервальных).

где Xi - значение варианта;

X - среднее значение признака;

Fi – частота повторения призака;

n - число вариантов.

d= (I(5-7,3)*11+(6-7,3)*17+(7-7,3)*23+(8-7,3)*30+(9-7,3)*18I)/99=1,07 тыс. руб.

Дисперсия – среднее квадратическое отклонение в квадрате.

Среднее квадратическое отклонение – показывает, на сколько в среднем отклоняются конкретные варианты от их среднего значения.

Т.о. страховые выплаты отклонялись от их среднего размера в среднем на 1,25 тыс. руб.

Коэффициент вариации – наиболее часто применяемый показатель колеблемости относительно среднего значения, характеризующий однородность совокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33%.

V=1,25/7,3*100%=17,1% (совокупность по рассматриваемому признаку можно считать однородной).

Рисуем этот столбец сами, расчет тоже производим сами

П - произведение

Мода всегда лежит в модальном интервале

По данным выборочного обследования произведена группировка вкладчиков по размеру вклада в Сбербанке города:

Определите:

1) размах вариации;

2) средний размер вклада;

3) среднее линейное отклонение;

4) дисперсию;

5) среднее квадратическое отклонение;

6) коэффициент вариации вкладов.

Решение:

Данный ряд распределения содержит открытые интервалы. В таких рядах условно принимается величина интервала первой группы равна величине интервала последующей, а величина интервала последней группы равна величине интервала предыдущей.

Величина интервала второй группы равна 200, следовательно, и величина первой группы также равна 200. Величина интервала предпоследней группы равна 200, значит и последний интервал будет иметь величину, равную 200.

1) Определим размах вариации как разность между наибольшим и наименьшим значением признака:

Размах вариации размера вклада равен 1000 рублей.

2) Средний размер вклада определим по формуле средней арифметической взвешенной.

Предварительно определим дискретную величину признака в каждом интервале. Для этого по формуле средней арифметической простой найдём середины интервалов.

Среднее значение первого интервала будет равно:

второго - 500 и т. д.

Занесём результаты вычислений в таблицу:

Средний размер вклада в Сбербанке города будет равен 780 рублей:

3) Среднее линейное отклонение есть средняя арифметическая из абсолютных отклонений отдельных значений признака от общей средней:

Порядок расчёта среднего линейонго отклонения в интервальном ряду распределения следующий:

1. Вычисляется средняя арифметическая взвешенная, как показано в п. 2).

2. Определяются абсолютные отклонения вариант от средней:

3. Полученные отклонения умножаются на частоты:

4. Находится сумма взвешенных отклонений без учёта знака:

5. Сумма взвешенных отклонений делится на сумму частот:

Удобно пользоваться таблицей расчётных данных:

Среднее линейное отклонение размера вклада клиентов Сбербанка составляет 203,2 рубля.

4) Дисперсия - это средняя арифметическая квадратов отклонений каждого значения признака от средней арифметической.

Расчёт дисперсии в интервальных рядах распределения производится по формуле:

Порядок расчёта дисперсии в этом случае следующий:

1. Определяют среднюю арифметическую взвешенную, как показано в п. 2).

2. Находят отклонения вариант от средней:

3. Возводят в квадрат отклонения каждой варианты от средней:

4. Умножают квадраты отклонений на веса (частоты):

5. Суммируют полученные произведения:

6. Полученная сумма делится на сумму весов (частот):

Расчёты оформим в таблицу: