Методы теории нечетких множеств и нечеткой логики. Большая энциклопедия нефти и газа

Основы теории нечетких множеств и нечеткой логики были заложены в конце 1960-х годов в работах известного американского математика Лотфи Заде. Его труд "Fuzzy Sets", опубликованная в 1965 в журнале "Information and Control", стала толчком к развитию новой математической теории. Он дал название и новой отрасли науки - "fuzzy sets" (fuzzy - нечеткий, размытый, мягкий). Основной причиной появления новой теории стали нечеткие и приближенные рассуждения, которые использовались для описания человеком процессов, систем, объектов. Математическая теория нечетких множеств (fuzzy sets) и нечеткая логика (fuzzy logic) являются обобщениями классической теории множеств и классической формальной логики.

Прежде чем нечеткий подход к моделированию сложных систем получил признание во всем мире, прошло не одно десятилетие. Что же предложил Л. Заде? Во-первых, он расширил классическое канторовське понятие множества, допустив, что характеристическая функция (функция принадлежности элемента множеству) может принимать любые значения в интервале [ 0 , 1 ], а не только значения 0 или 1. Такие множества он назвал нечеткими [ 21]. Л. Заде определил также ряд операций с нечеткими множествами и предложил обобщение методов логического вывода.

Введя впоследствии понятие лингвистической переменной и предположив, что ее значениями (термами) является нечеткие множества, Л. Заде создал аппарат для описания процессов интеллектуальной деятельности, включая нечеткость и неопределенность выражений (например, высокий, средний, незначительный риски).

Задачей нечетких множеств является определение принадлежности некоторого объекта или элемента в заданной множества. Пусть Е - некоторое множество, а А - подмножество Е , то есть А Ì Е. Тот факт, что элемент х множества Е принадлежит и множеству А в теории множеств обозначают так: x Ì А. Чтобы выразить эту принадлежность, можно воспользоваться и другим понятием - характеристической функцией μA (x ), значение которой указывают, является (да или нет) х элементом А:

Согласно теории нечетких множеств, характеристическая функция принадлежности может принимать любое значение в интервале , а не только два - 0 и 1. В соответствии с этим, элемент х i множества Е может не принадлежать А (μ Α (х ) = 0), быть элементом А небольшой степени (значение μA (x ) близко к нулю), быть элементом А в значительной степени (μA (x ) близко к 1) или быть элементом А (μA (x ) = 1). Итак, понятие принадлежности обобщается. Нечеткую под множество А универсального множества Е обозначают А н и определяют упорядоченными парами [ 22 ]:

Характеристическая функция принадлежности (или просто функция принадлежности) μA (x ) принимает значения в некоторой упорядоченной множестве М (например, М = ). Эта функция принадлежности указывает степень (или уровень) принадлежности элемента х до подмножества А. Множество М называют множеством надежности. Если М = {0, 1}, то нечеткое подмножество А можно рассматривать как обычную или четкую множество.

Для нечетких множеств, как и для обычных, определены основные логические операции.

Равенство. Две нечеткие множества А и В называют равными, если для всех x Î Е имеет место равенство их характеристических функций: μA (x ) = μB (x ). Обозначения: А = В.

Доминирование. Считают, что нечеткое множество А принадлежит нечеткому множеству В, если для всех X Î Е справедливо соотношение: μA (x ) £ μB (x ) обозначают: А Ì В. Иногда используют термин "доминирование", то есть когда А Ì В, говорят, что В доминирует над А.

Дополнение. Пусть М = , А и В - нечеткие множества, заданные на Е. А и В дополняют друг друга, если ∀x является Εμ /, (х) = 1 - μB (χ). Обозначения: А = А

Пересечение двух нечетких множеств (нечеткое "и"), обозначающие A ∩ В - наибольшее нечеткое подмножество, которая находится одновременно в А и В. Определяют так:

Объединение двух нечетких множеств (нечеткое "ИЛИ"), обозначающие А ∪ В - наименьшее нечеткое подмножество, которая включает как А , так и В, с функцией принадлежности

Разница двух нечетких множеств А - В = А ∩ В с функцией принадлежности

Пусть М = и А - нечеткое множество с элементами х с универсального множества Е и множеством значений функций принадлежности М. Величину называют высотой нечеткого множества А. Нечеткое множество А является нормальной , если ее высота равна 1, то есть верхняя граница ее функции принадлежности равна 1 (). По нечеткое множество называют субнормальной.

Нечеткое множество является пустой , если . Непустое Субнормальная множество можно нормализовать по формуле

Наглядное представление операций над нечеткими множествами. Рассмотрим прямоугольную систему координат, на оси ординат которой отложены значения μA (x ), на оси абсцисс - в произвольном порядке размещены элементы Е. Если множество Е по своей природе упорядочена, то этот порядок желательно сохранить в размещении элементов на оси абсцисс. Такое представление наглядно простые операции над нечеткими множествами.

Пусть А - нечеткий интервал между 5 и 8, а В - нечеткое число, близкое к 4 (рис. 4.4, а , б) .

Нечеткое множество между 5 и 8 I (AND) около 4 (темная линия) иллюстрирует рис. 4.4, в , нечеткое множество между 5 и 8 ИЛИ (OR) около 4 - рис. 4.4, г (темная линия).

Рис. 4.4. Примеры нечетких множеств (а , б), их пересечения (в) и объединения (г )

Для описания нечетких множеств вводят понятие нечеткой и лингвистической переменных. Нечеткую переменную описывает набор <β, X, A>, где β - название переменной, X - универсальное множество (область определения β), A - нечеткое множество на X , описывающее ограничения на значения нечеткой переменной β.

Значениями лингвистической переменной могут быть нечеткие переменные, то есть лингвистическая переменная находится на высоком уровне, чем нечеткая переменная. Каждая лингвистическая переменная состоит из: названия; множества своих значений, также называется базовой ТЕРМ множеством Т. Элементы базовой терм-множества являются названиями нечетких переменных универсального множества Х синтаксического правила G , по которому генерируются новые термы с применением слов естественного или формального языка; семантического правила Р, которое каждому значению лингвистической переменной ставит в соответствие нечеткая подмножество множества X.

Лингвистическую переменную описывает набор <β, Τ , X , G , M >, где

β - наименование лингвистической переменной;

Т - множество ее значений (терм-множество), которые являются названиями нечетких переменных, областью определения каждой из которых есть множество X; множество Т называют базовой терм-множеством лингвистической переменной;

G - синтаксическая процедура, позволяющая оперировать элементами терм-множества T , в частности генерировать новые термы (значения);

М - семантическая процедура, позволяющая превратить каждое новое значение лингвистической переменной, образованной процедурой G , на нечеткую переменную, то есть сформировать соответствующую нечеткое множество.

Глава 1. Нечисловые статистические данные

1.5. Нечеткие множества – частный случай нечисловых данных

Уже много раз упоминались нечеткие множества как практически важный вид объектов нечисловой природы. Что же это такое? Познакомимся с основами теории нечетких множеств.

Нечеткие множества. Пусть A - некоторое множество. Подмножество B множества A характеризуется своей характеристической функцией

Что такое нечеткое множество? Обычно говорят, что нечеткое подмножество C множества A характеризуется своей функцией принадлежности . Значение функции принадлежности в точке х показывает степень принадлежности этой точки нечеткому множеству. Нечеткое множество описывает неопределенность, соответствующую точке х – она одновременно и входит, и не входит в нечеткое множество С . За вхождение - шансов, за второе, т.е. за то, что точка не входит в множество, (1-) шансов.

Если функция принадлежности имеет вид (1) при некотором B , то C есть обычное (четкое) подмножество A . Таким образом, теория нечетких множество является более общей или хотя бы не менее общей математической дисциплиной, чем обычная теория множеств, поскольку обычные множества – частный случай нечетких. Соответственно можно ожидать, что теория нечеткости как целое обобщает классическую математику. Однако позже мы увидим, что теория нечеткости в определенном смысле сводится к теории случайных множеств и тем самым является частью классической математики. Другими словами, по степени общности обычная математика и нечеткая математика эквивалентны. Однако для практического применения, например, в теории принятия решений описание и анализ неопределенностей с помощью теории нечетких множеств весьма плодотворны.

Обычное подмножество можно было бы отождествить с его характеристической функцией. Этого математики не делают, поскольку для задания функции (в ныне принятом подходе) необходимо сначала задать множество. Нечеткое же подмножество с формальной точки зрения можно отождествить с его функцией принадлежности. Однако термин "нечеткое подмножество" предпочтительнее при построении математических моделей реальных явлений.

Теория нечеткости является обобщением интервальной математики. Действительно, функция принадлежности

задает интервальную неопределенность – про рассматриваемую величину известно лишь, что она лежит в заданном интервале [a ,b ]. Тем самым описание неопределенностей с помощью нечетких множеств является более общим, чем с помощью интервалов.

Начало современной теории нечеткости положено работой 1965 г. американского ученого азербайджанского происхождения Л.А.Заде. К настоящему времени по этой теории опубликованы тысячи книг и статей, издается несколько международных журналов, выполнено достаточно много как теоретических, так и прикладных работ. Первая книга российского автора по теории нечеткости вышла в 1980 г. .

Л.А. Заде рассматривал теорию нечетких множеств как аппарат анализа и моделирования гуманистических систем, т.е. систем, в которых участвует человек. Его подход опирается на предпосылку о том, что элементами мышления человека являются не числа, а элементы некоторых нечетких множеств или классов объектов, для которых переход от "принадлежности" к "непринадлежности" не скачкообразен, а непрерывен. В настоящее время методы теории нечеткости используются почти во всех прикладных областях, в том числе при управлении предприятиями, качеством продукции и технологическими процессами, при описании предпочтений потребителей и оптимизации процессов варки стали.

Л.А. Заде использовал термин "fuzzy set" (нечеткое множество). На русский язык термин "fuzzy" переводили как нечеткий, размытый, расплывчатый, и даже как пушистый и туманный.

Аппарат теории нечеткости громоздок. В качестве примера дадим определения теоретико-множественных операций над нечеткими множествами. Пусть C и D - два нечетких подмножества A с функциями принадлежности и соответственно. Пересечением , произведением CD , объединением , отрицанием , суммой C + D называются нечеткие подмножества A с функциями принадлежности

соответственно.

Как уже отмечалось, теория нечетких множеств в определенном смысле сводится к теории вероятностей, а именно, к теории случайных множеств. Соответствующий цикл теорем приведен в следующем разделе. Однако при решении прикладных задач вероятностно-статистические методы и методы теории нечеткости обычно рассматриваются как различные.

Для знакомства со спецификой нечетких множеств изучим некоторые их свойства.

В дальнейшем считаем, что все рассматриваемые нечеткие множества являются подмножествами одного и того же множества Y .

Законы де Моргана для нечетких множеств. Как известно, законами же Моргана называются следующие тождества алгебры множеств

Теорема 1. Для нечетких множеств справедливы тождества

(4)

Доказательство теоремы 1 состоит в непосредственной проверке справедливости соотношений (3) и (4) путем вычисления значений функций принадлежности участвующих в этих соотношениях нечетких множеств на основе определений, данных выше.

Тождества (3) и (4) назовем законами де Моргана для нечетких множеств . В отличие от классического случая соотношений (2), они состоят из четырех тождеств, одна пара которых относится к операциям объединения и пересечения, а вторая - к операциям произведения и суммы. Как и соотношение (2) в алгебре множеств, законы де Моргана в алгебре нечетких множеств позволяют преобразовывать выражения и формулы, в состав которых входят операции отрицания.

Дистрибутивный закон для нечетких множеств. Некоторые свойства операций над множествами не выполнены для нечетких множеств. Так, , за исключением случая, когда А - "четкое" множество (т.е. функция принадлежности принимает только значения 0 и 1).

Верен ли дистрибутивный закон для нечетких множеств? В литературе иногда расплывчато утверждается, что "не всегда". Внесем полную ясность.

Теорема 2. Для любых нечетких множеств А, В и С

В то же время равенство

справедливо тогда и только тогда, когда при всех

Доказательство . Фиксируем произвольный элемент . Для сокращения записи обозначим . Для доказательства тождества (5) необходимо показать, что

Рассмотрим различные упорядочения трех чисел a, b, c. Пусть сначала . Тогда левая часть соотношения (7) есть , а правая , т.е. равенство (7) справедливо.

Пусть . Тогда в соотношении (7) слева стоит , а справа , т.е. соотношение (7) опять является равенством.

Если , то в соотношении (7) слева стоит , а справа , т.е. обе части снова совпадают.

Три остальные упорядочения чисел a, b, c разбирать нет необходимости, поскольку в соотношение (6) числа b и c входят симметрично. Тождество (5) доказано.

Второе утверждение теоремы 2 вытекает из того, что в соответствии с определениями операций над нечеткими множествами

Эти два выражения совпадают тогда и только тогда, когда, когда , что и требовалось доказать.

Определение 1. Носителем нечеткого множества А называется совокупность всех точек , для которых .

Следствие теоремы 2. Если носители нечетких множеств В и С совпадают с У, то равенство (6) имеет место тогда и только тогда, когда А - "четкое" (т.е. обычное, классическое, не нечеткое) множество.

Доказательство. По условию при всех . Тогда из теоремы 2 следует, что , т.е. =1 или = 0, что и означает, что А - четкое множество.

Пример описания неопределенности с помощью нечеткого множества. Понятие «богатый» часто используется при обсуждении социально-экономических проблем, в том числе и в связи с подготовкой и принятием решений. Однако очевидно, что разные лица вкладывают в это понятие различное содержание. Сотрудники Института высоких статистических технологий и эконометрики провели в 2004 г. небольшое пилотное (т.е пробное) социологическое исследование представления различных слоёв населения о понятии "богатый человек".

Мини-анкета опроса выглядела так:

1. При каком месячном доходе (в тыс. руб. на одного человека) Вы считали бы себя богатым человеком?

2. Оценив свой сегодняшний доход, к какой из категорий Вы себя относите:

а) богатые;

б) достаток выше среднего;

в) достаток ниже среднего;

г) бедные;

д) за чертой бедности?

(В дальнейшем вместо полного наименования категорий будем оперировать буквами, например "в" - категория, "б" - категория и т.д.)

3. Ваша профессия, специальность.

Всего было опрошено 74 человека, из них 40 - научные работники и преподаватели, 34 человека - не занятых в сфере науки и образования, в том числе 5 рабочих и 5 пенсионеров. Из всех опрошенных только один (!) считает себя богатым. Несколько типичных ответов научных работников и преподавателей приведено в табл.1, а аналогичные сведения для работников коммерческой сферы – в табл.2.

Таблица 1.

Типичные ответы научных работников и преподавателей

Таблица 2

Типичные ответы работников коммерческой сферы.

Разброс ответов на первый вопрос – от 6 до 600 тыс. руб. в месяц на человека. Результаты опроса показывают, что критерий богатства у финансовых работников в целом несколько выше, чем у научных работников и преподавателей (см. гистограммы на рис.1 и рис.2 ниже).

Опрос показал, что выявить какое-нибудь конкретное значение суммы, которая необходима "для полного счастья", пусть даже с небольшим разбросом, нельзя, что вполне естественно. Как видно из таблиц 1 и 2, денежный эквивалент богатства колеблется от 6 до 600 тысяч рублей в месяц. Подтвердилось мнение, что работники сферы образования в подавляющем большинстве причисляют свой достаток к категории "в" и ниже (81% опрошенных), в том числе к категории "д" отнесли свой достаток 57%.

Со служащими коммерческих структур и бюджетных организаций иная картина: "г" - категория 1 человек (4%), "д" - категория 4 человека (17%), "б" - категория - 46% и 1 человек "а" - категория.

Пенсионеры, что не вызывает удивления, отнесли свой доход к категории "д" (4 человека), и лишь один человек указал "г" - категорию. Рабочие же ответили так: 4 человека - "в", и один человек - "б".

Для представления общей картины в табл.3 приведены данные об ответах работников других профессий.

Таблица 3.

Типичные ответы работников различных профессий.

Прослеживается интересное явление: чем выше планка богатства для человека, тем к более низкой категории относительно этой планки он себя относит.

Для сводки данных естественно использовать гистограммы. Для этого необходимо сгруппировать ответы. Использовались 7 классов (интервалов):

1 – до 30 тысяч рублей в месяц на человека (включительно);

2 – от 30 до 60 тысяч;

3- от 60 до 90 тысяч;

4 – от 90 до 120 тысяч;

5 – от 120 до 150 тысяч;

6 – от 150 до 180 тысяч;

7 – более 180 тысяч.

(Во всех интервалах левая граница исключена, а правая, наоборот – включена.)

Сводная информация представлена на рис.1 (для научных работников и преподавателей) и рис.2 (для всех остальных, т.е. для лиц, не занятых в сфере науки и образования - служащих иных бюджетных организаций, коммерческих структур, рабочих, пенсионеров).

Рис.1. Гистограмма ответов на вопрос 1 для научных работников и преподавателей (40 человек).

Рис.2. Гистограмма ответов на вопрос 1 для лиц, не занятых в сфере науки и образования (34 человека).

Для двух выделенных групп, а также для некоторых подгрупп второй группы рассчитаны сводные средние характеристики – выборочные средние арифметические, медианы, моды. При этом медиана группы - количество млн. руб., названное центральным по порядковому номеру опрашиваемым в возрастающем ряду ответов на вопрос 1, а мода группы - интервал, на котором столбик гистограммы - самый высокий, т.е. в него "попало" максимальное количество опрашиваемых. Результаты приведены в табл. 4.

Таблица 4.

Сводные средние характеристики ответов на вопрос 1

для различных групп (в тыс. руб. в мес. на чел.).

Построим нечеткое множество, описывающее понятие «богатый человек» в соответствии с представлениями опрошенных. Для этого составим табл.5 на основе рис.1 и рис.2 с учетом размаха ответов на первый вопрос.

Таблица 5.

Число ответов, попавших в интервалы

Пятая строка табл.5 задает функцию принадлежности нечеткого множества, выражающего понятие "богатый человек" в терминах его ежемесячного дохода. Это нечеткое множество является подмножеством множества из 9 интервалов, заданных в строке 2 табл.5. Или множества из 9 условных номеров {0, 1, 2, …, 8}. Эмпирическая функция распределения, построенная по выборке из ответов 74 опрошенных на первый вопрос мини-анкеты, описывает понятие "богатый человек" как нечеткое подмножество положительной полуоси.

О разработке методики ценообразования на основе теории нечетких множеств. Для оценки значений показателей, не имеющих количественной оценки, можно использовать методы нечетких множеств. Например, в диссертации П.В. Битюкова нечеткие множества применялись при моделировании задач ценообразования на электронные обучающие курсы, используемые при дистанционном обучении. Им было проведено исследование значений фактора «Уровень качества курса» с использованием нечетких множеств. В ходе практического использования предложенной П.В. Битюковым методики ценообразования значения ряда других факторов могут также определяться с использованием теории нечетких множеств. Например, ее можно использовать для определения прогноза рейтинга специальности в вузе с помощью экспертов, а также значений других факторов, относящихся к группе «Особенности курса». Опишем подход П.В. Битюкова как пример практического использования теории нечетким множеств.

Значение оценки, присваиваемой каждому интервалу для фактора «Уровень качества курса», определяется на универсальной шкале , где необходимо разместить значения лингвистической переменной «Уровень качества курса»: НИЗКИЙ, СРЕДНИЙ, ВЫСОКИЙ. Степень принадлежности некоторого значения вычисляется как отношение числа ответов, в которых оно встречалось в определенном интервале шкалы, к максимальному (для этого значения) числу ответов по всем интервалам.

Был проведен опрос экспертов о степени влияния уровня качества электронных курсов на их потребительную ценность. Каждому эксперту в процессе опроса предлагалось оценить с позиции потребителя ценность того или иного класса курсов в зависимости от уровня качества. Эксперты давали свою оценку для каждого класса курсов по 10-ти балльной шкале (где 1 - min, 10 - max). Для перехода к универсальной шкале , все значения 10-ти балльной шкалы оценки ценности были разделены на максимальную оценку, т.е. на 10.

Используя свойства функции принадлежности, необходимо предварительно обработать данные с тем, чтобы уменьшить искажения, вносимые опросом. Естественными свойствами функций принадлежности являются наличие одного максимума и гладкие, затухающие до нуля фронты. Для обработки статистических данных можно воспользоваться так называемой матрицей подсказок. Предварительно удаляются явно ошибочные элементы. Критерием удаления служит наличие нескольких нулей в строке вокруг этого элемента.

Элементы матрицы подсказок вычисляются по формуле: ,

где - элемент таблицы с результатами анкетирования, сгруппированными по интервалам. Матрица подсказок представляет собой строку, в которой выбирается максимальный элемент: , и далее все ее элементы преобразуются по формуле:

На рис.3 сплошными линиями показаны функции принадлежности значений лингвистической переменной «Уровень качества курса» после обработки таблицы, содержащей результаты опроса. Как видно из графика, функции принадлежности удовлетворяют описанным выше свойствам. Для сравнения пунктирной линией показана функция принадлежности лингвистической переменной для значения НИЗКИЙ без обработки данных.

Рис. 3 . График функций принадлежности значений лингвистической переменной «Уровень качества курса»

Пояснение причин и обсуждение - на странице Википедия:К объединению/15 августа 2012 .
Обсуждение длится одну неделю (или дольше, если оно идёт медленно).
Дата начала обсуждения - 2012-08-15.
Если обсуждение не требуется (очевидный случай), используйте другие шаблоны.
Не удаляйте шаблон до подведения итога обсуждения.

Переход от принадлежности элементов заданному множеству - к непринадлежности их этому множеству происходит или может происходить постепенно, не резко.

Математический аппарат

Нечёткое множество характеризуется функцией принадлежности, отображающей некоторое множество (носитель нечёткого множества) в отрезок . Значение функции принадлежности показывает степень принадлежности соответствующего элемента носителя рассматриваемому нечёткому множеству. Это значение меняется от 0 (полная непринадлежность) до 1 (полная принадлежность).

История

Понятие «нечёткое множество» введено Л. А. Заде в 1965 г. . Исходный термин - fuzzy set. Другие варианты перевода на русский язык - расплывчатое, размытое, туманное, пушистое множество.

Теория нечётких множеств в определённом смысле сводится к теории случайных множеств и тем самым к теории вероятностей .

Применение

Теория нечётких множеств применяется в теории и практике управления системами, в экономике и финансах для решения задач в условиях неопределённости ключевых показателей. Ряд стиральных машин и фотоаппаратов сегодня оборудованы нечёткими контроллерами.

В социологии

В социологии классификация и типология может проводиться по выбранным критериям, или по эмпирически обнаруженным основаниям. Это позволяет выделить теоретические и эмпирические типологии.

В психологии

Литература

• Zadeh L.A. Fuzzy sets. Information and Control, 1965, vol.8, N 3, pp. 338-353.

• Батыршин И. З., Недосекин А. А., Стецко А. А., Тарасов В. Б., Язенин А. В., Ярушкина Н. Г. Теория и практика нечётких гибридных систем. Под ред. Н. Г. Ярушкиной. М.: Физматлит, 2007. ISBN 978-5-9221-0786-0

• Заде Л. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений. М.: Мир, 1976. - 166c.

• Круглов В. В., Дли М. И., Голунов Р. Ю. Нечёткая логика и искусственные нейронные сети. Учеб. пособие. М.: Издательство Физико-математической литературы, 2001. - 224 c. ISBN 5-94052-027-8

• Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств. М.: Радио и связь, 1982. - 432 с.

• Нечёткие множества и теория возможностей: Последние достижения. Под редакцией Р. Р. Ягера. - М.: Радио и связь, 1986.

• Орлов А. И. Задачи оптимизации и нечёткие переменные . М.: Знание, 1980. - 64 с.

См. также

• Типологизация
• Нечёткие множества в финансовом менеджменте

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Теория нечётких множеств" в других словарях:

- (англ. fuzzy logic) и теория нечётких множеств раздел математики, являющийся обобщением классической логики и теории множеств. Понятие нечёткой логики было впервые введено профессором Лютфи Заде в 1965 году. В его статье понятие множества… … Википедия

Эту страницу предлагается объединить с Теория нечётких множеств … Википедия

В ходе управления финансами очень часто возникает задача борьбы с неопределенностью, сопровождающей финансовые решения. Неопределенность эта двоякая: а) текущее состояние финансовой системы не может быть распознано с необходимой точностью; б)… … Википедия

Нечёткое (или размытое, расплывчатое, туманное, пушистое) множество понятие, введённое Лотфи Заде в 1965 г. в статье «Fuzzy Sets» (нечёткие множества) в журнале Information and Control . Л. Заде расширил классическое канторовское понятие… … Википедия

Нечёткое (или размытое, расплывчатое, туманное, пушистое) множество понятие, введённое Лотфи Заде в 1965 г. в статье «Fuzzy Sets» (нечёткие множества) в журнале Information and Control . Л. Заде расширил классическое канторовское понятие… … Википедия

Нечёткое (или размытое, расплывчатое, туманное, пушистое) множество понятие, введённое Лотфи Заде в 1965 г. в статье «Fuzzy Sets» (нечёткие множества) в журнале Information and Control . Л. Заде расширил классическое канторовское понятие… … Википедия

Нечёткое (или размытое, расплывчатое, туманное, пушистое) множество понятие, введённое Лотфи Заде в 1965 г. в статье «Fuzzy Sets» (нечёткие множества) в журнале Information and Control . Л. Заде расширил классическое канторовское понятие… … Википедия

Нечёткая логика и теория нечётких множеств раздел математики, являющийся обобщением классической логики и теории множеств. Понятие нечеткой логики было впервые введено профессором Лотфи Заде в 1965 г. Содержание 1 Направления исследований… … Википедия

Пусть Е - множество, счетное или нет, их: - элемент Е. Тогда нечеткое подмножество А множества Е определяется как множество упорядоченных пар {(х, ц~А(х))}, Ух є Е, где ц-А(х) - характеристическая функция принадлежности, принимающая свои значения во вполне упорядоченном множестве М, указывающая степень принадлежности элемента х подмножеству А. Множество М называется множеством принадлежностей.
Применение теории нечетких множеств в экономике проиллюстрируем на примере вычисления перспективного ассортимента оптового предприятия в одном товарном профиле при фиксированной торговой зоне. Под перспективным ассортиментом в данном случае понимается набор товаров, которые заведомо будут иметь спрос среди потребителей - в данном случае розничных торговых предприятий, входящих в район эффективной коммерческой деятельности оптовой организации. Нахождение перспективного ассортимента гарантирует оптовой организации формирование ассортиментного ядра, которое будет реализовано на рынке с минимальным риском, а также помогает отразить общие тенденции того потребительского рынка, на котором организация оптовой торговли осуществляет свою коммерческую деятельность.
Успешное решение задачи нахождения перспективного ассортимента позволяет принять решение о заключении сделки при анализе поступающего коммерческого предложения.
Дано:
X = \хг х2,..., хп} - множество товаров, имеющихся на складе оптового торгового предприятия или выдвигаемых в качестве коммерческих предложений.
У = {уг у2,..., ур} - множество признаков товаров.
Z = {zr z2,., zm} - множество рассматриваемых розничных торговых предприятий - потребителей оптовой организации.
Требуется определить перспективный ассортимент организации оптовой торговли, т.е. набор х; для удовлетворения предполагаемых запросов из Z.
Модель строится при следующих допущениях:

1. на рынке действуют поставщик и потребители - соответственно оптовая и розничные торговые организации;
2. коммерческие запросы от розничных торговых организаций zt, z2,..., zm рассматриваются и по возможности удовлетворяются независимо от времени их поступления.
3. сделки между оптовой и розничными торговыми организациями имеют различный порядок, который определяется весовой функцией розничных организаций с помощью экс
   пертной оценки по итогам предыдущей коммерческой деятельности;
4. товары хр х2,...,хп характеризуютсяр признаками;
5. степени принадлежности признаков уг у2,...,ур товарам варьируются между отдельными товарами хр х2,..., хп;
6. один товар предпочитается другому всякий раз, когда его признаки v. по степени важности более близки к оценке потребителя z. (розничного предприятия).

1. %r(xi’ У і)^r(xpУ2) ^r(xi" Ур)

Z, ... Z
2 п
Из матриц R и S получаем матрицу Т:
элементы которой определяются функцией принадлежности
? ІR(X, У) -ф(У,Z,)
Рл/Хgt; zi) =¦
, для всех хе X, ye Y, zi Z.
Сумма 2, фв(х, у) равна степени нечеткого подмножества,
У
указывающей число важнейших признаков у, которое присуще товару д: с точки зрения предприятия розничной торговли. Далее строится матрица:
^A,(xl’zl) Л 1*А7(Х1- z2gt; - Iі Л /*/¦ zm-l) Л Мл (xl’zm)\
‘ * m-і т
I
\!lAt(xn‘Zl)^ltA7(xn-z2) - ,(xn-zm-l) Л ЦА (хп- zm)\
" 1 * т-1 т "
где конъюнкция Л означает операцию попарного минимума. Порог разделения / ассортимента ограничивается условием /lt;шіп шах шіп (и.(х, г.), и,(х, z.J).
i.j X ЯІ ‘ Aj 3
После того как порог I выбран, можно для любого z определить уровневое множество:
М\ = {х\ц,(х)gt; тіптахтіп(ц (х, г),ц (х, z))},
I 1 Л,j х I 1 Л] J
YxeMr
Пусть oj(z) - весовая функция, задающая для каждого розничного торгового предприятия его вес по итогам предыдущей коммерческой деятельности.

Ассортимент предприятия оптовой торговли описывается объединением уровневых множеств:
м = U 0)(z)Mr
І
Вычисление перспективного ассортимента помогает оптовому торговому предприятию определить:
как оптимизировать товарный ассортимент (какие товары обязательно следует иметь на складе при сохранении сложившейся структуры потребителей);
как изменить ассортиментную концепцию при заданном изменении зоны обслуживания, т.е. какие стратегические действия предпринять в случае выхода из числа обслуживаемых потребителей отдельных розничных организаций;
как оптимизировать зону обслуживания (в нашем случае это район эффективной коммерческой деятельности) при исключении из ассортимента тех товаров, признаки которых не удовлетворяют оптовую организацию, или включении тех товаров, признаки которых устраивают ее).
В качестве иллюстрации к данной задаче рассмотрим упрощенный числовой пример.
Пусть оптовая организация имеет на складе 6 потребительских товаров {х„ х2,..., х6} и осуществляет поставки трем потребителям - Zj (крупный универмаг), z2 (небольшой магазин) и z3 (палатка).
В качестве рассматриваемых признаков товаров возьмем следующие:
yt - «цена», у3-«внешний вид»
у2-«качество», у4-«сезонность»,
у5-«ступень жизненного цикла товара».
Пусть: X х Y -gt; и ф5: Y х Z -gt; [О, 1] задаются следующими матрицами:

Характеристики товаров, стоящие в матрице R, указывают, например, что товар х, - дорогой, высококачественный, внешне неброский, соответствует сезону, но несколько устарел технически (или, наоборот, только поступает на рынок и еще неизвестен покупателям).
Характеристики магазинов, стоящие в матрице 5, указывают, например, что второй потребитель - магазин z2 - стеснен в складских помещениях и поэтому предпочитает торговать товарами, соответствующими данному сезону, что следует из значения функции ф$(у4, zJ.
Вычисляем матрицу Т:

{ X, х2, х3, х4, х}, х6,} ,
{Хг х3, ху х6),
{х4,х6,},
Таким образом, широкие возможности крупного универмага zt позволяют ему торговать всем спектром продукции, предлагаемой оптом, магазин z2 в силу недостатка складских помещений, избегает приобретать товары, реализация которых потребует длительного срока, а палатка z3 берет только броские и относительно недорогие товары. Большой спрос на товар х6 не случаен, это действительно товар с блестящими характеристиками: он имеет невысокую цену при среднем качестве, великолепно выглядит, соответствует сезону и достаточно известен розничному покупателю.
Воспользовавшись значениями весовой функции, получаем значения ассортимента:
М = {50хр 30х2, 50х3, 45х4, 50х}, 105х6}
Результатами этой задачи легко воспользоваться при принятии решения о заключении сделки (при анализе поступающего коммерческого предложения).
Для этого следует, определив функцию принадлежности цредлагаемого товара хп +, провести счет согласно приведенному алгоритму, и определить, в какой степени этот товар принадлежит множеству товаров перспективного ассортимента, а если принадлежит, то не вытеснит ли он каких-либо товаров из набора хг,..., хп, уже находящихся на складе предприятия оптовой торговли.
На основании этой оценки лицо, ответственное за заключение сделки, может принять положительное, выжидательное или отрицательное решение.

Здравствуйте, граждане и гражданочки. По велению левой пятки решил начать цикл научно-популярных статей, где буду объяснять азы искусственного интеллекта. Поэтому в дальнейшем буду примерять на себя роль приезжего лектора, рассказывающего о том, как космические корабли бороздят просторы Большого театра.

Выдавать на гора одну статью в день не смогу, поэтому не буду ничего обещать, дабы не стеснять себя данными обязательствами. Единственное: не стану мучить окружающих обилием математики, постараюсь изложить все как можно более доступно, но без профанации. Начну же цикл с аппарата нечеткой логики, где объясню, в чем же интеллектуальность оного.

Для начала краткий экскурс в теорию множеств. Множество – это совокупность нескольких объектов, обладающих определенным свойством. Например, множество всех людей, находящихся на нашей планете. Множество автомобилей марки «Ауди» с цветовыми координатами RGB (255, 165, 0). Множество всех самцов какаду, сидящих на ветке на одной лапе ровно в 15 часов 39 минут по Гринвичу. Суть четких множеств заключается в абсолютной их категоричности. То есть, для того, чтобы определить, принадлежит ли объект какому-то множеству, нужно ответить на вопрос, обладает ли он свойством, определяющим это множество. Да/Нет. Ни больше, ни меньше. Единица больше нуля? Да. Значит, она принадлежит к множеству положительных чисел.

Перейдем ближе к телу, к теории нечетких множеств. Создана она была американским ученым азербайджанского происхождения Лотфи Заде, для того, чтобы адаптировать теорию множеств к способу человеческого мышления. Ведь как человечишко мыслит? Если, будучи на пляже, спросить купающегося: «Скажи, мил человек, какую температуру имеет вода по шкале Фаренгейта, с точностью до десятых долей градуса?», - он посмотрит на вас, как на душевно больного. А если задать вопрос: «Как водичка сегодня?», он сообщит: «Холодная/горячая/теплая», или буркнет «мокрая», если сегодня не в духе. Весь цимес в том, что «холодная вода» - это достаточно размытая формулировка. Один будет в блаженстве нежиться там, откуда второй сбежит на берег греться через две минуты. Так уж устроен человек, субъективизм и отсутствие четких границ – это про нас.

Некоторые уже смогли сообразить, почему именно нечеткие множества. Крайне трудно определить, сколько людей обладает свойством «высокий». Для меня, двухметрового красавца, косой сажени в плечах, высокий – это как минимум не ниже уровня моего уха. А коротышка полутора метров будет смотреть на человека ростом 170 см задрав голову – для него высокий рост начинается гораздо раньше. Это что касается субъективизма.

Вторая сложность заключается в размытости границ. Возможно ли точно задать то количество сантиметров, которое отделит человека среднего роста от низкого? 170 с половиной? 172 и три четверти? Разделение очень и очень условно. Итак, мы вплотную подошли к отличию нечетких множеств от четких.

Барабанная дробь, мхатовская пауза… Итак, нечеткие множества отличаются от четких тем, что объекты, принадлежащие нечетким множествам, могут обладать определяющим их свойством в разной степени. Условились считать эту степень принадлежности лежащей в интервале от нуля до единицы, но если кому-то удобнее, то он может умножить на 100, и будут вам проценты.

Допустим, пьете вы обжигающий кофе, чашка дымится. С уверенностью 0,99 (99 процентов – первый и последний раз делаю работу за вас) можно утверждать, что кофе обладает свойством «горячий». Если же он (кофе, в смысле) имеет температуру 50 градусов по Цельсию, то степень обладания свойством «горячий» будет гораздо ниже, скажем, 0,76 (теперь считайте сами). В то же время, есть объекты, которые принадлежат множеству «горячий» с нулевой или единичной степенью. Например, полузамерзший кофе сможет назвать горячим лишь помешанный, либо не знающий русского языка, а кипящий – это горячий сто пудов. Примеров можно привести нескончаемое количество, благо, что практически любая человеческая категория, которая используется в повседневной жизни, является нечеткой. Полагаясь на ваше богатое воображение, оставляю задачу нахождения других примеров для самостоятельного решения.

Почему же создание подобной теории было так важно, почему на нее обратили столь пристальное внимание? Ответ прост: тут скрыто золотое дно. Колоссальная широта применения. Допустим, вы инженер, и перед вами стоит задача спроектировать микроволновку. До какой температуры человек будет разогревать еду? До 40,2°С? Хрен там. До горячей, что есть нечеткое множество. А задача микроволновки – придать хавчику такую температуру, которая с единичной степенью достоверности принадлежала бы к множеству «горячо».

Дальше начинается самое веселое, прогульщики уроков математики могут с воем разбегаться в стороны. А? Что? Я обещал обойтись без этого? Как говорил старина Арни в известном фильме – «Я солгал». Степень принадлежности как правило обозначается греческой буквой «мю» - μ. Чтобы не скучать, введем понятие лингвистической переменной – это такая переменная, которая может принимать значение в виде слов человеческого языка. То есть, лингвистическая переменная «рост» может принимать значения: «высокий», «средний», «низкий». Значения лингвистической переменной будем называть терм-множествами, обращаю внимание – они являются нечеткими. И, наконец, существует понятие универсального множества – обычное, четкое множество, содержащее все значения, которые может принимать обычная переменная. Обычная переменная «рост человека» может принимать значения от нуля до «сколько там рекорд Гиннеса, я не помню».

Задача функции принадлежности (ФП) – определить, с какой степенью обычная переменная принадлежит значению лингвистической переменной. Раз уж я начал педалировать тему роста, разовью: ФП определяет, с какой степенью человек ростом 184 см принадлежит терм-множеству «средний». Итак, подобьем бабки. У нас имеется лингвистическая переменная. У нас есть несколько ее значений, каждое из которых является нечетким множеством. Наконец, у нас есть универсальное множество – множество числовых значений обычной переменной. Перед нами стоит следующая цель: определить для каждого из нечетких множеств свою функцию принадлежности, т.е. для каждого из элементов универсального множества задать степень принадлежности соответствующему нечеткому множеству. Тогда мы сможем ткнуть на конкретное значение переменной и посмотреть, с какой степень оно принадлежит к какому-либо нечеткому множеству. Все, гроза прошла, можно утереть пот и ненадолго расслабиться. Дальше пойдут веселые картинки, после чего ненадолго продолжим развлекаться. На картинках я проиллюстрирую смысл функции принадлежности, покажу, каких видов бывают эти звери, с чем их едят, и объясню, как этих зверей строить. Вернемся к полюбившейся вам теме роста человека. Возьмем для примера множество «средний» ипостроим график функции принадлежности.

Теперь можно, вооружившись остро заточенным карандашом, выбрать любое значение «икс» и посмотреть, с какой степенью этот икс удовлетворяет условию среднего роста. То, что метр восемьдесят – это железно. Метр семьдесят два – со степенью 0,5. Рост метр пятьдесят средним ну никак не является, поэтому степень принадлежности равна нулю. И так далее. Отметим, что приведенная функция называется треугольной. В это поверить трудно, и тем не менее.

Но мы взяли готовую функцию, которую нам кто-то (кто-то!) любезно предоставил. Как же самим построить аналогичную функцию? Есть два способа: простой и с заморочками. По понятным причинам опишу лишь простой. Для начала, нужно собрать группу экспертов. Ну, то есть, тех бездельников, которые считают, что во всем разбираются и знают, как на самом деле устроен мир. Дать каждому эксперту по карандашу и блокноту. Потом перечислить значения переменной и попросить поставить «1» (палочку, крестик – опционально) напротив этого значения, если эксперт считает, что значение переменной принадлежит нечеткому множеству. Ноль – в противном случае. После чего для каждого значения переменной просуммировать нули и единицы и взять среднее - то бишь, разделить получившуюся сумму на количество бездельников. Получившееся значение будет лежать в интервале от нуля до единицы (оба значеия - включительно). Некоторые могли догадаться, что мы получили значение функции принадлежности для конкретного значения переменной. Получив величины ФП для всех значений переменной икс, можно строить график. Или не строить, если лень.