Математическая теорема. История великой теоремы ферма

Теорема - высказывание, правильность которого установлена при помощи рассуждения, доказательства. Примером теоремы может служить утверждение о том, что сумма величин углов произвольного треугольника равна 180° Проверить это можно было бы опытным путем: начертить треугольник, измерить транспортиром величины его углов и, сложив их, убедиться, что сумма равна 180° (во всяком случае, в пределах той точности измерения, которую допускает транспортир).

Такую проверку можно было бы повторить несколько раз для различных треугольников. Однако справедливость этого утверждения устанавливается в курсе геометрии не опытной проверкой, а при помощи доказательства, которое убеждает нас в том, что это утверждение справедливо для любого треугольника. Таким образом, утверждение о сумме углов треугольника является теоремой.

В формулировках теорем, как правило, встречаются слова «если. то...», «из... сле- дус:- ..» и т.д. В этих случаях для сокращения записи используют знак.=> Возьмем в качестве примера теорему о том, что точка М, одинаково удаленная от двух точек А и В, принадлежит оси симметрии этих точек (1). Ее можно подробнее сформулировать так: (для любых точек А, В, М) (MA - MB) => (М принадлежит оси симметрии точек А и В).

Аналогичным образом могут быть записаны и другие геометрические теоремы: сначала идет разъяснительная часть теоремы (описывающая, какие точки или фигуры рассматриваются в теореме), а затем два утверждения, соединенные знаком =>. Первое из этих утверждений, стоящее после разъяснительной части и перед знаком => .называется условием теоремы, второе, стоящее после знака => .называется заключением теоремы.

Меняя местами условие и заключение и оставляя без изменения разъяснительную часть, мы получаем новую теорему, которая называется обратной первоначальной. Например, для рассмотренной выше теоремы обратной будет следующая: (для любых точек А, В, М) (точка М принадлежит оси симметрии точек А и В)=>(МА - МВ). Короче: если точка М принадлежит оси симметрии точек А и В, то точка М одинаково удалена от точек А и В. В данном случае и исходная теорема, и обратная ей теорема справедливы.

Однако из того, что некоторая теорема верна, не всегда следует, что обратная ей теорема также верна.

Большую роль в математике играют так называемые теоремы существования, в которых утверждается лишь существование какого-либо числа, фигуры и т.п., но не указывается, как это число (или фигура) могут быть найдены. Например: всякое уравнение х" + -t-atx"-1+а2хв~2 + ...I с действительными коэффициентами имеет при нечетном п хотя бы один действительный корень, т, е. существует число x0eR, являющееся корнем этого уравнения.

Некоторым видам теорем дают особые названия, например лемма, следствие. Они имеют дополнительный оттенок. Леммой обычно называют вспомогательную теорему, саму по себе мало интересную, но нужную для дальнейшего. Следствием называют утверждение, которое может быть легко выведено из чего-то ранее доказанного.

Иногда теоремой называют то, что правильнее было бы называть гипотезой. Например, «великая теорема Ферма» , утверждающая, что уравнение х* + у" = z* не имеет целых положительных решений при п > 2, пока не доказана.

Наряду с аксиомами и определениями теоремы являются основными типами математических предложений. Важные факты каждой математической науки (геометрии, алгебры, теории функций, теории вероятностей и т.д.) формулируются в виде теорем.

Однако овладение математикой не сводится к тому, чтобы изучить аксиомы, определения и основные теоремы . Математическое образование включает также умение ориентироваться в богатстве фактов математической теории, владение основными методами решения задач, понимание лежащих в основе математики идей, умение применять математические знания при решении практических задач.

Не менее важны пространственное представление, навыки графического «видения», умение находить примеры, иллюстрирующие то или иное математическое понятие, и т.д. Таким образом, теоремы составляют только формальный «остов» математической теории, и знакомство с теоремами представляет собой лишь начало глубокого овладения математикой.

Мы уже убедились в том, что если числовая последовательность имеет предел, то элементы этой последовательности приближаются к нему максимально плотно. Даже на очень маленькой дистанции всегда можно найти два элемента, чья дистанция будет еще меньше. Это называется фундаментальной последовательностью, или последовательностью Коши. Можем ли мы утверждать, что данная последовательность имеет предел? Если она формируется на

Если мы возьмем квадрат со стороной, равной единице, то легко сможем просчитать его диагональ с помощью теоремы Пифагора: $d^2=1^2+1^2=2$, то есть значение диагонали будет равно $\sqrt 2$. Теперь у нас есть два числа, 1 и $\sqrt 2$, представленные двумя отрезками. Однако у нас не получится установить соотношение между ними, как мы делали это раньше. Невозможно

Определить, где находится точка Р - внутри или снаружи некой фигуры - иногда очень просто, как например для фигуры, изображенной на рисунке: Однако для более сложных фигур, как, например, для той, что представлена ниже, сделать это сложнее. Для этого придется нарисовать линию карандашом. Однако при поиске ответов на подобные вопросы мы можем использовать один простой,

Ее обычно формулируют так: всякое натуральное число, отличное от 1, единственным образом представляется в виде произведения простых чисел или так: всякое натуральное число единственным образом представляется в виде произведения степеней разных простых чисел последнее разложение часто называют каноническим, хотя и не всегда, требуя при этом, чтобы простые множители входили в это разложение в порядке возрастания.

Эта теорема чрезвычайно полезна для решения задач на остатки степеней, и хотя она является вполне серьезной теоремой из теории чисел и не входит в школьный курс, ее доказательство может быть проведено на нормальном школьном уровне. Оно может быть проведено различными способами, и одно из самых простых доказательств опирается на формулу бинома, или бинома Ньютона, которая

Нередко в методической литературе можно встретить понимание косвенного доказательства как доказательства от противного. На самом деле это очень узкое толкование этого понятия. Метод доказательства от противного является одним из наиболее известных косвенных методов доказательства, но далеко не единственным. Другие косвенные методы доказательства хотя и часто применяются на интуитивном уровне, но это применение редко осознается, и

Часто учителя, используя скалярное произведение векторов, чуть ли не моментально доказывают теорему Пифагора и теорему косинусов. Это, конечно, заманчиво. Однако требуется комментарий. В традиционном изложении дистрибутивность скалярного произведения векторов доказывается позже теоремы Пифагора, ибо последняя применяется в этом доказательстве, хотя бы и косвенно. При этом возможны варианты этого доказательства. В школьных учебниках геометрии, как и

Часто, беседуя со старшеклассниками об исследовательских работах по математике, слышу следующее: "Что можно нового открыть в математике?" А действительно: может быть все великие открытия сделаны, а теоремы доказаны?

8 августа 1900 года на международном математическом конгрессе в Париже математик Дэвид Гилберт (David Hilbert) изложил список проблем, которые, как он полагал, предстояло решить в ХХ веке. В списке было 23 пункта. Двадцать один из них на данный момент решены. Последней решенной проблемой из списка Гилберта была знаменитая теорема Ферма, с которой ученые не могли справиться в течение 358 лет. В 1994 году свое решение предложил британец Эндрю Уайлз. Оно и оказалось верным.

По примеру Гилберта в конце прошлого века многие математики пытались сформулировать подобные стратегические задачи на ХХI век. Один из таких списков приобрел широкую известность благодаря бостонскому миллиардеру Лэндону Клэю (Landon T. Clay). В 1998 году на его средства в Кембридже (Массачусетс, США) был основан Математический институт Клэя (Clay Mathematics Institute) и установлены премии за решение ряда важнейших проблем современной математики. 24 мая 2000 года эксперты института выбрали семь проблем - по числу миллионов долларов, выделенных на премии. Список получил название Millennium Prize Problems:

1. Проблема Кука (сформулирована в 1971 году)

Допустим, что вы, находясь в большой компании, хотите убедиться, что там же находится ваш знакомый. Если вам скажут, что он сидит в углу, то достаточно будет доли секунды, чтобы, бросив взгляд, убедиться в истинности информации. В отсутствие этой информации вы будете вынуждены обойти всю комнату, рассматривая гостей. Это говорит о том, что решение какой-либо задачи часто занимает больше времени, чем проверка правильности решения.

Стивен Кук сформулировал проблему: может ли проверка правильности решения задачи быть более длительной, чем само получение решения, независимо от алгоритма проверки. Эта проблема также является одной из нерешенных задач из области логики и информатики. Ее решение могло бы революционным образом изменить основы криптографии, используемой при передаче и хранении данных.

2. Гипотеза Римана (сформулирована в 1859 году)

Некоторые целые числа не могут быть выражены как произведение двух меньших целых чисел, например 2, 3, 5, 7 и так далее. Такие числа называются простыми и играют важную роль в чистой математике и ее приложениях. Распределение простых чисел среди ряда всех натуральных чисел не подчиняется никакой закономерности. Однако немецкий математик Риман высказал предположение, касающееся свойств последовательности простых чисел. Если гипотеза Римана будет доказана, то это приведет к революционному изменению наших знаний в области шифрования и к невиданному прорыву в области безопасности Интернета.

3. Гипотеза Берча и Свиннертон-Дайера (сформулирована в 1960 году)

Связана с описанием множества решений некоторых алгебраических уравнений от нескольких переменных с целыми коэффициентами. Примером подобного уравнения является выражение x2 + y2 = z2. Эвклид дал полное описание решений этого уравнения, но для более сложных уравнений поиск решений становится чрезвычайно трудным.

4. Гипотеза Ходжа (сформулирована в 1941 году)

В ХХ веке математики открыли мощный метод исследования формы сложных объектов. Основная идея заключается в том, чтобы использовать вместо самого объекта простые "кирпичики", которые склеиваются между собой и образуют его подобие. Гипотеза Ходжа связана с некоторыми предположениями относительно свойств таких "кирпичиков" и объектов.

5. Уравнения Навье - Стокса (сформулированы в 1822 году)

Если плыть в лодке по озеру, то возникнут волны, а если лететь в самолете, в воздухе возникнут турбулентные потоки. Предполагается, что эти и другие явления описываются уравнениями, известными как уравнения Навье - Стокса. Решения этих уравнений неизвестны, и при этом даже неизвестно, как их решать. Необходимо показать, что решение существует и является достаточно гладкой функцией. Решение этой проблемы позволит существенно изменить способы проведения гидро- и аэродинамических расчетов.

6. Проблема Пуанкаре (сформулирована в 1904 году)

Если натянуть резиновую ленту на яблоко, то можно, медленно перемещая ленту без отрыва от поверхности, сжать ее до точки. С другой стороны, если ту же самую резиновую ленту соответствующим образом натянуть вокруг бублика, то никаким способом невозможно сжать ленту в точку, не разрывая ленту или не ломая бублик. Говорят, что поверхность яблока односвязна, а поверхность бублика - нет. Доказать, что односвязна только сфера, оказалось настолько трудно, что математики ищут правильный ответ до сих пор.

7. Уравнения Янга - Миллса (сформулированы в 1954 году)

Уравнения квантовой физики описывают мир элементарных частиц. Физики Янг и Миллс, обнаружив связь между геометрией и физикой элементарных частиц, написали свои уравнения. Тем самым они нашли путь к объединению теорий электромагнитного, слабого и сильного взаимодействий. Из уравнений Янга - Миллса следовало существование частиц, которые действительно наблюдались в лабораториях во всем мире, поэтому теория Янга - Миллса принята большинством физиков несмотря на то, что в рамках этой теории до сих пор не удается предсказывать массы элементарных частиц.

Многие люди путаются в непонятных математических символах и строгих математических правилах, всегда избегая решения тех проблем, в которых встречаются не только буквы, но и цифры. Безусловно, математика бывает очень сложной, но те результаты, которые можно с помощью нее получить, могут быть достаточно неожиданны, красивы и просто поразительны.

Проблема четырех красок

Проблема четырех красок – это математическая задача, которая была сформулирована в 1852 году Фрэнсисом Гутри, который в то время пытался раскрасить карту графств Англии (тогда интернета еще не было, так что делать было особо нечего). Он обнаружил кое-что интересное – нужно было всего 4 цвета, чтобы любые две области, имеющие общую границу, были раскрашены в разные цвета. Гутри заинтересовался, работает ли это правило для любой другой карты, и этот вопрос стал математической задачей, которую многие годы не могли решить.

Только в 1976 году эта задача была решена Кеннетом Аппелем и Вольфгангом Хакеном. Для доказательства был применен компьютер, и оно оказалось достаточно сложным. Но было доказано, что абсолютно любую карту (например, политическую карту мира) можно раскрасить, используя только 4 цвета так, чтобы ни одно государство не соприкасалось с другим, раскрашенным в такой же цвет.

Теорема Брауэра о неподвижной точки

Это теорема из такого раздела математики как топология, была доказана Лёйтзеном Брауэром. Ее чисто математическое выражение является достаточно абстрактным, но ее можно неожиданным способом применить к разным реальным событиям. Допустим, что у нас есть какая-нибудь картина (к примеру Мона Лиза), и мы можем сделать ее копию. Потом мы можем делать с этой копией что захотим – увеличивать, уменьшать, вращать, сминать, все что угодно. Терема Брауэра о неподвижной точке гласит, что если эту деформированную копию положить на оригинал, то всегда найдется хотя бы одна точка на копии, которая будет находиться ровно над этой же самой точкой изображения на оригинале. Это может быть кусочек уха, рта или глаза Моны, но обязательно такая точка найдется.

Теорема работает и в трехмерном пространстве. Представьте, что у нас есть стакан воды, в который мы положили ложку и размешивали воду столько, сколько захотим. По теореме Брауэра, всегда будет хотя бы одна молекула воды, которая в итоге окажется ровно на том же самом месте, что и до размешивания.

Парадокс Рассела

На рубеже 20-го века многие ученые были увлечены новым разделом математики – теорией множеств. В принципе, множество – это совокупность каких-либо объектов. В те времена, считалось, что любой набор объектов можно считать множеством – множество всех фруктов, множество всех президентов США, и все это считалось верным. Стоит добавить, что одно множество может включать в себя другие множества. В 1901 году известный математик Бертран Рассел сделал нашумевшее открытие, когда понял, что такой способ мышления ошибочен – на самом деле не все совокупности объектов можно назвать множеством.

Решив разобраться в этом вопросе, Рассел описал множество всех множеств, которые не содержат себя в качестве своих элементов. Множество всех фруктов не содержит в себе само себя, так что его можно включить во множество Рассела, как и огромное количество других множеств. Но что насчет самого множества Рассела? Оно не содержит в себе само себя, так что его тоже надо включить в это множество. Погодите ка… теперь оно содержит себя в самом себе, так что нам нужно его исключить. Но теперь его нужно включить в себя снова, так как на этот момент, оно не содержит себя в самом себе. Ну и так далее. Этот логический парадокс привел к пересмотру теории множеств, одному из самых важных направлений в современной математике.

Великая теорема Ферма

Помните со школы теорему Пифагора? Она гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (x2 + y2 = z2). Самая известная теорема Пьера Ферма говорит о том, что это же выражение не имеет натуральных решений x, y и z, если в степенях находится любое натуральное число больше двух.

Как писал сам Ферма: «…невозможно разложить куб на два куба, биквадрат на два биквадрата и вообще никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем. Я нашел этому поистине чудесное доказательство, но поля книги слишком узки для него». Проблема в том, что Ферма написал это в 1637 году, а недоказанной она оставалась еще долгие годы. И только в 1995 году (спустя 358 лет) теорема была доказана Эндрю Уайлсом.

Теорема о конце света

Скорее всего, большинство читателей этой статьи являются человеческими существами. Нас, людей, это отрезвит – математика может быть использована для определения того, когда наш вид полностью вымрет. Используя вероятности, но тем не менее.
Это теорема (которая существует уже примерно 30 лет и была открыта и переоткрыта уже несколько раз) говорит о том, что время человечества уже на исходе. Одно из доказательств (которые принадлежит астрофизику Ричарду Готту) на удивление простое: если рассматривать все время существования человеческого вида как процесс жизни отдельного организма, то можно определить на каком этапе жизни наш вид находится.

Исходя из предположения, что живущие сейчас люди находятся в случайном месте всей хронологии человеческой истории, мы можем утверждать с 95% уверенностью, что мы находимся среди последних 95% когда-либо родившихся людей. Кроме того, Готт пытается дать интервал 95% уверенности между минимальным и максимальным временем выживания. Поскольку он даёт шансы в 2,5% на недооценку минимального времени, то только 2,5% остаётся на переоценку максимального. Согласно Готту, человечество вымрет в интервале от 5100 лет до 7,8 миллионов лет от текущего времени. Итак, человечество, тебе пора писать завещание.

ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АЛГЕБРЫ Теорема, заключающаяся в том, что всякий многочлен степени n (n>0): f(z) = a0zn + a1zn-1 + … + an , где a0 / 0, над полем комплексных чисел имеет по крайней мере один корень z1, так что f(z1)=0. Из О.Т.А. и из теоремы Безу вытекает, что многочлен f(z) имеет в поле комплексных чисел ровно n корней (с учётом их кратностей). Действительно, согласно теореме Безу f(z) делится на z – z1 (без остатка), т.е. f(z) = f1(z)(z – z1), а отсюда многочлен f1(z) (n – 1)- й степени по О.Т.А. также имеет корень z2 и т.д. В конечном счёте мы придём к заключению, что f(z) имеет ровно n корней: f(z) = a0(z – z1)(z – z2) (z – zn). О.Т.А. называется так потому, что основное содержание алгебры в XVII-XVIII вв. сводилось к решению уравнений.

О.Т.А. была доказана впервые в XVII в. французским математиком Жираром, строгое же доказательство было дано в 1799 г. немецким математиком Гауссом. ТЕОРЕМА БЕЗУ Теорема об остатке от деления произвольного многочлена на линейный двучлен.Она формулируется следующим образом: остаток от деления произвольного многочлена f(x) на двучлен x – a равен f(a). Т.Б. названа по имени впервые сформулировавшего и доказавшего её французского математика XVIII в. Безу. Из Т.Б. вытекают следующие следствия: 1) если многочлен f(x) делится (без остатка) на x – a, то число a является корнем f(x); 2) если число a является корнем многочлена f(x), то f(x) делится (без остатка) на двучлен x – a; 3) если многочлен f(x) имеет по крайней мере один корень, то этот многочлен имеет ровно столько корней, какова степень этого многочлена (при этом учитывается кратность корней). ТЕОРЕМА ЧЕВЫ Если прямые, соединяющие вершины треугольника АВС с точкой О, лежащей в плоскости треугольника, пересекают противоположные стороны (или их продолжения) соответственно в точках A’ B’ C’, то справедливо равенство: (*) При этом отношение отрезков рассматривается как положительное, если эти отрезки имеют одинаковое направление, и отрицательное – в противном случае.

Т.Ч. можно записать и в такой форме: (ABC’)*(BCA’)*(CAB’) = 1, где (АВС’) – простое отношение трёх точек A, B и C’. Справедлива и обратная теорема: если точки C’, A’, B’ расположены соответственно на сторонах AB, BC и СА треугольника или их продолжениях так, что выполняется равенство (*), то прямые АА’, BB’ и CC’, пересекаются в одной точке или параллельны (пересекаются в несобственной точке). Прямые AA’, BB’ и СС’, пересекающиеся в одной точке и проходящие через вершины треугольника, называются прямыми Чевы или чевианами.

Т.Ч. носит проективный характер. Т.Ч. метрически двойственна теореме Менелая.

Т.Ч. названа по имени итальянского геометра Джованни Чева, доказавшего её (1678). ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ 1. Т.К. плоской тригонометрии – утверждение о том, что во всяком треугольнике квадрат любой его стороны равен сумме квадратов двух других его сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними: c2 = a2 + b2 – 2abcosC , где a, b, c – длины сторон треугольника, а C – угол, заключённый между сторонами a и b. Т.К. часто используется при решении задач элементарной геометрии и тригонометрии 2. Т.К. для стороны сферического треугольника: косинус одной стороны сферического треугольника равняется произведению косинусов двух других его сторон плюс произведение синусов тех же сторон на косинус угла между ними: cosa = cosb*cosc + sinb*sinc*cosA 3. Т.К. для угла сферического треугольника: косинус угла сферического треугольника равен произведению косинусов двух других углов, взятому с противоположным знаком, плюс произведение синусов двух других углов на косинус стороны, противолежащей первому углу: cosA =-cosBcosC + sinBsinCcosa. ТЕОРЕМА ЭЙЛЕРА 1. Т.Э. в теории сравнений утверждает, что если (a, m)=1, то, где f(m) – функция Эйлера (количество целых положительных чисел взаимнопростых с m, не превосходящих m). 2. Т.Э. о многогранниках утверждает, что для всякого многогранника нулевого рода справедлива формула: В + Г – Р = 2, где В – число вершин, Г – число граней, Р – число рёбер многогранника.

Однако впервые такую зависимость подметил ещё Декарт.

Поэтому Т.Э. о многогранниках исторически правильнее называть теоремой Декарта-Эйлера.

Число В + Г – Р называется эйлеровой характеристикой многогранника.

Т.Э. применяется и для замкнутых графов. ТЕОРЕМА ФАЛЕСА Одна из теорем элементарной геометрии о пропорциональных отрезках.Т.Ф. утверждает, что если на одной из сторон угла от его вершины последовательно отложить равные между собой отрезки и через концы этих отрезков провести параллельные прямые, пересекающие вторую сторону угла, то на второй стороне угла отложатся также равные между собой отрезки.

Частный случай Т.Ф. выражает некоторые свойства средней линии треугольника. ВЕЛИКАЯ ТЕОРЕМА ФЕРМА Утверждение П. Ферма о том, что уравнение xn + yn = zn (где n – целое число большее двух) не имеет решений в целых положительных числах.Несмотря на утверждение П. Ферма о том, что ему удалось найти удивительное доказательство В.Ф.Т которое он не приводит из-за недостатка места (это замечание написано было П. Ферма на полях книги Диофанта), до недавнего времени (середина 90-х) В.Т.Ф. в общем виде доказана не была. МАЛАЯ ТЕОРЕМА ФЕРМА Частный случай теоремы Эйлера, когда модуль m=p – простое число.

М.Т.Ф. формулируется так: если p простое число, то ap=a(mod p). В том случае, когда a не делится на p, из М.Т.Ф. следует: ap-1=1(mod p). М.Т.Ф. была открыта французским учёным Пьером Ферма. НЕРАВЕНСТВО ГЁЛЬДЕРА Для конечных сумм имеет вид: , или в интегральной форме: , где p > 1 и. Н.Г. часто применяется в математическом анализе.

Н.Г. является обобщением неравенства Коши в алгебраической форме и неравенства Буняковского в интегральной форме, в которые Н.Г. обращается при p = 2. ФОРМУЛА КАРДАНО Формула, выражающая корни кубического уравнения: x3+px+q=0 (*) через его коэффициенты. К виду (*) приводится всякое кубическое уравнение.Ф.К. записывается так: . Выбирая произвольно значение первого кубического радикала, следует выбрать то значение второго радикала (из трёх возможных), которое в произведении с выбранным значением первого радикала даёт (-p/3). Таким образом получают все три корня уравнения (*). До сих пор не ясно, кому принадлежит Ф.К.: Дж. Кардано, Н. Тарталье или С. Ферро. Ф.К. относится к XVI в. НЕРАВЕНСТВО КОШИ Неравенство, имеющее место для конечных сумм; очень важное и наиболее употребительное в различных областях математики и математической физики неравенство.

Впервые было установлено Коши в 1821 г. Интегральный аналог Н.К.: , установлен русским математиком В.Я. Буняковским. ТЕОРЕМА МЕНЕЛАЯ Если прямая пересекает стороны треугольника АВС или их продолжения в точках C’, A’ и B’ , то справедливо соотношение: (*) Отношение отрезков берётся положительным, если прямая пересекает сторону треугольника, и отрицательным, если прямая пересекает продолжение стороны.

Справедливо и обратное выражение: если выполняется равенство (*), где A, B, C – вершины треугольника, а A’, B’, C’ лежат на одной прямой.

Т. М. можно сформулировать в виде критерия расположения трёх точек A’, B’ и C’ на одной прямой: для того, чтобы 3 точки A’, B’ и C’ лежали на одной прямой, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось соотношение (*), где A, B, C – вершины треугольника, а A’, B’, C’ принадлежат соответственно прямым BC, AC и AB. Т. М. была доказана древнегреческим учёным Менелаем (I в.) для сферического треугольника и, по-видимому, была известна Евклиду (III в. до н.э.). Т. М. является частным случаем более общей теоремы Карно. НЕРАВЕНСТВО МИНКОВСКОГО Неравенство для p-х степеней чисел, имеющее вид: , где целое p>1, а ak и bk – неотрицательные числа.

Н.М. является обобщением известного «неравенства треугольника», утверждающего, что длина одной стороны треугольника не больше суммы длин двух других его сторон; для n-мерного пространства расстояние между точками x=(x1, x2, …, xn) и y=(y1, y2, …, yn) определяется числом Н.М. было установлено немецким математиком Г. Минковским в 1896 г. ФОРМУЛЫ МОЛЬВЕЙДЕ Формулы плоской тригонометрии, выражающие следующую зависимость между сторонами (их длинами) и углами треугольника: ; , где a, b, c – стороны, а A, B, C – углы треугольника.

Ф.М. названы по имени немецкого математика К. Мольвейде, использовавшего их, хотя эти формулы были известны и другим математикам.БИНОМ НЬЮТОНА Название формулы, выражающей целую неотрицательную степень двучлена a+b в виде суммы степеней его слагаемых.

Б.Н. имеет вид: , где Cnk – биноминальные коэффициенты, равные числу сочетаний из n элементов по k, т.е. или. Если биноминальные коэффициенты для различных n=0, 1, 2, …, записать в последовательно идущие строки, то придём к треугольнику Паскаля. В случае произвольного действительного числа (а не только целого неотрицательного) Б.Н. обобщается в биноминальный ряд, а в случае увеличения числа слагаемых с двух на большее число – в полиномиальную теорему.ПОЛИНОМИАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА Обобщение формулы бинома Ньютона на случай возведения в целую неотрицательную степень n суммы k слагаемых (k>2): , где суммирование в правой части распространено на всевозможные наборы целых неотрицательных чисел a1, a2, …, ak, дающих в сумме n. Коэффициенты A(n)a1, a2, … ,ak носят название полиномиальных и выражаются следующим образом: При k=2 полиномиальные коэффициенты становятся биноминальными коэффициентами.

ТЕОРЕМА ПОЛЬКЕ Формулируется так: три отрезка произвольной длины, лежащие в одной плоскости и исходящие из общей точки под произвольными углами друг к другу, могут быть приняты за параллельную проекцию пространственного ортогонального репера i, j, k (|i| = |j| =|k|). Теорема была сформулирована немецким геометром К. Польке (1860) без доказательства, а затем была обобщена немецким математиком Г. Шварцем, который дал её элементарное доказательство.

Теорему Польке-Шварца можно формулировать так: любой невырожденный четырёхугольник с его диагоналями можно рассматривать как параллельную проекцию тетраэдра, подобного любому данному.

Т.П. имеет большое практическое значение (любой четырёхугольник с его диагоналями можно принять, например, за изображение правильного тетраэдра) и является одной из основных теорем аксонометрии.ТЕОРЕМА ПТОЛЕМЕЯ Теорема элементарной геометрии, устанавливающая зависимость между сторонами и диагоналями четырёхугольника, вписанного в окружность: во всяком выпуклом четырёхугольнике, вписанном в окружность, произведение диагоналей равно сумме произведений его противоположных сторон, т.е. имеет место равенство: AC*BD = AB*CD + BC*AD Т.П. названа по имени древнегреческого учёного Клавдия Птолемея, доказавшего эту теорему.

Т.П. используется при решении задач по элементарной геометрии, при доказательстве частного случая теоремы сложения синусов.ФОРМУЛА СИМПСОНА Формула для вычисления объёмов тел с двумя параллельными основаниями: , где Qн – площадь нижнего основания, Qв – площадь верхнего основания, Qс – площадь среднего сечения тела. Под средним сечением тела здесь понимается фигура, полученная от пересечения тела плоскостью, параллельной плоскостям оснований и находящейся на равном расстоянии от этих плоскостей.

Через h обозначена высота тела. Из Ф.С как частный случай, получаются многие известные формулы объёмов тел, изучаемых в школе (усечённой пирамиды, цилиндра, шара и др.). ТЕОРЕМА СИНУСОВ Теорема плоской тригонометрии, устанавливающая зависимость между сторонами a, b, c произвольного треугольника и синусами противолежащих этим сторонам углов: , где R – радиус описанной около треугольника окружности.

Для сферической тригонометрии Т.С. аналитически выражается так: . ТЕОРЕМА СТЮАРТА Заключается в следующем: если A, B, C – три вершины треугольника, а D – любая точка на стороне BC, то имеет место соотношение: AD2*BC = AB2*CD + AC2*BD – BC*BD*CD , Т.С. названа по имени доказавшего её английского математика М. Стюарта и опубликовавшего её в труде «Некоторые общие теоремы» (1746, Эдинбург). Теорему сообщил Стюарту его учитель Р. Симсон, который опубликовал эту теорему лишь в 1749 г. Т.С. применяется для нахождения медиан и биссектрисс треугольников.

ТЕОРЕМА ТАНГЕНСОВ (ФОРМУЛА РЕГИОМОНТАНА) Формула плоской тригонометрии, устанавливающая зависимость между длинами двух сторон треугольника и тангенсами полусуммы и полуразности противолежащих им углов.Т.Т. имеет вид: , где a, b – стороны треугольника, A, B – соответственно противолежащие этим сторонам углы. Т.Т. также называют формулой Региомонтана по имени немецкого астронома и математика Иоганна Мюллера (по-латински Regiomontanus), установившего эту формулу. И. Мюллера называли «Кёнигсбержец»: по-немецки König – король, Berg – гора, а по-латински «король» и «гора» в родительном падеже – regis и montis.

Отсюда «Региомонтан» - латинизированная фамилия И. Мюллера. «Толковый словарь математических терминов», О.В. Мантуров ФОРМУЛЫ И ТЕОРЕМЫ НА VADIMSOFT-BEST. NAROD.RU.

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным для Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях: