Лекция по математике на тему "предмет стереометрии". Объем и площадь боковой и полной поверхностей конуса

Предмет и аксиомы стереометрии. СТЕРЕОМЕТРИЯ – это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве. Слово «стереометрия» происходит от греческих слов «стерео» - объёмный, пространственный и «метро» - измерять. Первый дошедший до нас учебник – руководство по математике под названием «Начала», созданное древнегреческим ученым Евклидом в III в. до н. э. В течение длительного времени геометрию изучали по этой книге.

Условные изображения и обозначения прямых, точек и плоскостей Точка А принадлежит плоскости Точка В не принадлежит плоскости Прямая с не лежит в плоскости Прямая k лежит в плоскости Прямая m пересекает плоскость в точке А Плоскости и пересекаются по прямой а

Что такое аксиома? АКСИОМА – это высказывание, истинность которого принимается без доказательства (аксиома - греческое слово, означающее «бесспорное положение»). Аксиомы были сформулированы Евклидом (III в. До н. э.) в его знаменитом сочинении «Начала».

Вспомним известные вам аксиом планиметрии: Каждой прямой принадлежат по крайней мере две точки. Из трех точек прямой одна и только одна лежит между двумя другими. Через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной. Если две фигуры совмещаются наложением, то говорят, что они равны.

А1: Через любые три точки, не лежащие на одной прямой проходит плоскость, и притом только одна. ВОПРОСЫ: -всегда ли три точки лежат в одной плоскости? -всегда ли четыре точки лежат в одной плоскости? -всегда ли через три точки проходит плоскость, и притом только одна? -сколько плоскостей можно провести через две точки?

А2: Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки этой прямой лежат в плоскости. ВОПРОСЫ: верно ли утверждение: -если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости? -если три точки окружности лежат в в этой плоскости? -если прямая пересекает две стороны треугольника, то она лежит в плоскости данного треугольника?

А3: Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей ВОПРОСЫ: могут ли две плоскости иметь: -только одну общую точку? -только две общие точки? -только одну общую прямую? -могут ли две пересекающиеся плоскости иметь общую точку, не принадлежащую линии пересечения этих плоскостей?

Рассмотрим куб ABCDА1B1C1D1 г) назовите прямые, по которым пересекаются плоскости ABC и DD 1 C 1, BB 1 C 1 и AA 1 B 1, AA 1 D 1 и A 1 B 1 C 1 ; а) назовите точки, которые лежат в плоскости DCC 1, ABC, ADD 1 ; б) назовите плоскости, которым принадлежат точки М, К, P 1, R, S, N; в) назовите плоскости, в которых расположены прямые KP, С 1 D 1, RP, MK ; ВОПРОСЫ:

Рассмотрим куб ABCDА1B1C1D1 д) назовите прямые, по которым пересекаются плоскости ABC и KPN, RPK и DСС 1, BDC 1 ; е) назовите точки пересечения прямых DS и CC 1, AD и PC, MR и AD, KP и AD, DC1 и RP1; ж) назовите общие точки плоскостей CDD 1 и BCC 1, ABC и АА1D1, BDC и ABB1.BDС1 и RSP; ВОПРОСЫ:

АКСИОМЫ СТЕРЕОМЕТРИИ

Стереометрия – это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве.

Слово «стереометрия» происходит от греческих слов «стереос» – объемный, пространственный и «метрео» – измерять.

Представление о геометрических телах, изучаемых в стереометрии, дают окружающие нас предметы. В отличие от реальных предметов геометрические тела являются воображаемыми объектами. Изучая свойства геометрических тел, мы получаем представление о геометрических свойствах реальных предметов и можем использовать эти свойства в практической деятельности. Геометрия, в частности стереометрия, широко используется в строительном деле, архитектуре, машиностроении, геодезии, во многих других областях науки и техники.

Схема построения геометрии

Перечисляются основные неопределяемые понятия.

Формулируются свойства основных понятий - аксиомы.

Определяются другие геометрические понятия.

Формулируются и доказываются свойства геометрических понятий - теоремы.

АКСИОМЫ СТЕРЕОМЕТРИИ. СЛЕДСТВИЯ ИЗ АКСИОМ

Основные понятия стереометрии: точка, прямая, плоскость, расстояние.

Определение : Аксиомой называется предложение, не требующее доказательства.

Основные свойства точек, прямых и плоскостей, касающиеся их взаимного расположения, выражены в аксиомах. Вся система аксиом стереометрии состоит из ряда аксиом, известных нам по курсу планиметрии, и аксиом о взаимном расположении точек, прямых и плоскостей в пространстве.

АКСИОМЫ СТЕРЕОМЕТРИИ

I. Аксиомы принадлежности

I 1 . Существуют хотя бы одна прямая и хотя бы одна плоскость. Каждая прямая и каждая плоскость есть не совпадающее с пространством непустое множество точек.

Обозначение :

А, В, С, D – точки;

а, b, с – прямые;

a , b , g – плоскости;

А Î а – точка А принадлежит прямой а, прямая а проходит через точку А;

Е Ï а – точка Е не принадлежит прямой а;

С Î a – точка С принадлежит плоскости a , плоскость a проходит через точку С;

Е Ï a – точка Е не принадлежит плоскости a .

Вывод : Существуют точки, принадлежащие прямой и не принадлежащие прямой, существуют точки, принадлежащие плоскости и не принадлежащие плоскости.

I 2 . Через две различные точки проходит одна и только одна прямая.

Обозначение :

а Ì a – плоскость a проходит через прямую а;

b Ë a – плоскость a не проходит через прямую b.

I 4 . Через три точки, не принадлежащие одной прямой, проходит одна и только одна плоскость.

Обозначение : a = АВС

Вывод : Плоскости, имеющие три различные общие точки, совпадают.

I 5 . Если две различные плоскости имеют общую точку, то их пересечением является прямая.

Обозначение : М Î a , М Î b , a ¹ b , a ìüb = l.

II. Аксиомы расстояния

II 1 . Для любых двух точек А и В имеется неотрицательная величина, называемая расстоянием от А до В . Расстояние АВ равно нулю тогда и только тогда, когда точки А и В совпадают.

Обозначение : АВ ³ 0.

II 2 . Расстояние от А до В равно расстоянию от В до А .

Обозначение : АВ = ВА.

II 3 . Для любых трех точек А , В , С расстояние от А до С не больше суммы расстояний от А до В и от В до С .

Обозначение : АС £ АВ + ВС.

III. Аксиомы порядка

III 1 . Любая точка О прямой р разбивает множество всех отличных от точки О точек прямой р на два непустых множества так, что для любых двух точек А и В , принадлежащим разным множествам, точка О лежит между точками А и В ; если точки А и В принадлежат одному и тому же множеству, то одна из них лежит между другой и точкой О .

Иван Сеченов,

выдающийся физиолог, психолог

и мыслитель-материалист

1829-1905

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СТЕРЕОМЕТРИИ

План лекции

1 Структура курса геометрии

2 Определения и обозначения

1 Структура курса геометрии

Стереометрия - это раздел геометрии, в котором изучаются фигуры в пространстве. Она является второй составляющей геометрии и строится так же, как и планиметрия.

Основные понятия

Аксиомы

Определяемые понятия

Теоремы, задачи

СТЕРЕОМЕТРИЯ

В стереометрии свойства геометрических фигур устанавливаются с помощью доказательства теорем (из греч. - рассматриваю), которые основываются на аксиомах (из греч. - считаю достойным, настаиваю, требую) - математических предложениях, принимаемых без доказательства

2 Определения и обозначения

Некоторые понятия геометрии являются основными . Основные фигуры планиметрии - точка и прямая - автоматически становятся основными фигурами стереометрии. Как и в планиметрии, точки обозначают прописными буквами латинского алфавита - , ..., прямые - строчными буквами латинского алфавита - , ...

В пространстве рассматривается еще одна основная фигура - плоскость . Ее можно представить как идеально гладкую поверхность доски, которая продлена во все стороны до бесконечности. Плоскости обозначают строчными буквами греческого алфавита, ... и изображают по-разному. На рисунке показаны примеры изображения плоскостей на листе бумаги.

Плоскость понимают также как множество точек.

Если - точка плоскости, то говорят, что точка лежит в плоскости, а плоскость проходит через точку . Записывают: . Запись означает, что точка не лежит в плоскости.

Если каждая точка прямой принадлежит плоскости, то говорят, что прямая лежит в плоскости, а плоскость проходит через прямую. Записывают: . Запись означает, что прямая не лежит в плоскости

Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, говорят, что они пересекаются в точке. Записывают: . На рисунке невидимую часть прямой (за плоскостью) изображают штриховой линией.

3 Основные свойства плоскости

Основные свойства точек, прямых и плоскостей, касающиеся их взаимного расположения, выражены в аксиомах.

Система аксиом стереометрии состоит из двух групп. Первая из них включает все аксиомы планиметрии. Они выполняются в каждой плоскости пространства. Эти аксиомы вам известны из курса планиметрии. Здесь рассмотрим группу аксиом, выражающую основные свойства плоскостей в пространстве.

1 Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну

2 Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

3 Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости.

Благодаря первому свойству плоскость можно обозначать тремя ее точками. Если плоскость определена тремя точками, которые не лежат на одной прямой, например, то в таком случае плоскость обозначают - . Читается: «плоскость ».

Утверждение, истинность которого доказана и которое используют для доказательства других утверждений, называют теоремой . Простейшими теоремами являются следствия из аксиом стереометрии.

Теорема 1 Через прямую и точку, не принадлежащую ей, можно провести плоскость и притом только одну

Доказательство . Данная точка и две точки прямой составляют три точки, не лежащие на одной прямой. По аксиоме 1 через них проходит единственная плоскость. По аксиоме 3 данная прямая лежит в этой плоскости.

Теорема 2 Через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость и притом только одну.

Доказательство . На каждой из прямых можно взять по одной необщей точке. Вместе с точкой пересечения прямых они образуют три точки, не лежащие на одной прямой. По аксиоме 1 через них проходит единственная плоскость. По аксиоме 3 обе прямые лежат в этой плоскости.

Теорема 3 Через две параллельные прямые можно провести плоскость и притом только одну.

Доказательство . По теореме 1 через одну из параллельных прямых и произвольную точку другой прямой можно провести плоскость, и притом только одну.

Если учесть вышеизложенное, то можно сделать вывод, что плоскость однозначно определяют:

1) три точки, не лежащие на одной прямой;

3) две пересекающиеся прямые;

4) две параллельные прямые.

4 Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве

Взаимное расположение прямых в пространстве можно свести к следующим случаям.

1 Прямые пересекаются , тогда они лежат в одной плоскости.

2 Прямые параллельны - тогда они лежат в одной плоскости

3 Прямые не пересекаются и не параллельны - такие прямые называются скрещивающимися .

4 Прямые совпадают, если они имеют по крайней мере две общие точки

Возможны следующие варианты взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве :

1) Прямая и плоскость имеют по крайней мере две общие точки. Тогда прямая лежит в плоскости , то есть прямая и плоскость имеют множество общих точек;

2) Прямая и плоскость имеют одну общую точку . Возможность такого размещения прямых и плоскостей обеспечивается тем, что вне плоскости являются точки пространства. Произвольная точка плоскости и точка вне плоскости определяют прямую, которая имеет с плоскостью одну общую точку, то есть пересекает ее.

3) Прямая и плоскость не имеют общих точек, то есть не пересекаются . Прямая и плоскость, которые не имеют общих точек, называются параллельными

Для трех случаев взаимного размещения прямой и плоскости будем употреблять соответствующие обозначения: .

Плоскости в пространстве могут принимать следующие положения друг относительно друга:

1 Две плоскости пересекаются по прямой - в этом случае они не имеют других общих точек вне этой прямой

2 Плоскости совпадают

3 Если две разные плоскости не имеют общих точек, то они называются параллельными .

Контрольные вопросы

1 Какой раздел геометрии называется стереометрией?

2 Какие предложения называются аксиомами? Теоремами?

3 Сформулируйте аксиомы плоскости и следствия из них.

4 Назовите возможные варианты взаимного расположения прямых в пространстве.

5 Перечислите возможные варианты взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве.

6 Приведите возможные варианты взаимного расположения плоскостей в пространстве.

Задачи, задания, вопросы

№1 Укажите количество точек, которые принадлежат плоскости.

№2 На рисунке изображено две прямых и, пересекающиеся в точке и определяющие плоскость. Укажите, какое количество прямых, проходящих через точку, лежит на плоскости.

№3 Выберите для двух различных плоскостей и одинаковые по смыслу утверждения.

1) Плоскости и пересекаются;

2) плоскости и имеют лишь одну общую точку;

3) плоскости и имеют общую точку;

4) плоскости и имеют не больше двух общих точек;

5) плоскости и имеют общую прямую.

№4 Две различные плоскости имеют общую точку. Определите, сколько прямых, проходящих через точку, являются общими для плоскостей и.

№5 Плоскости пересекаются. Определите количество общих прямых, которые они могут иметь.

№6 Точки, лежат в каждой из двух различных плоскостей. Докажите, что эти точки лежат на одной прямой.

№7 Выберите четыре утверждения, которые определяют единственность плоскости.

1) Любые две точки пространства;

2) любая прямая пространства и точка на ней;

3) любая прямая пространства и точка вне нее;

4) любые три прямых пространства;

5) любые три точки пространства;

6) любые две параллельные прямые;

7) любые две прямые;

8) любые две пересекающиеся прямые.

№8 Точки, лежат в каждой из двух различных плоскостей. Докажите, что эти точки лежат на одной прямой.

№9 Дано две плоскости, которые пересекаются по прямой, и прямую, которая лежит в одной из этих плоскостей и пересекает другу. Докажите, что прямые и пересекаются.

№10 Точка не лежит в плоскости. Подберите скрещивающиеся прямые к прямым, .

№11 Точка находится вне плоскости треугольника. На серединах отрезков, и обозначено точки, и соответственно. Назовите пары параллельных прямых.

№12 Через концы отрезка и его середину проведены параллельные прямые, которые пересекают некоторую плоскость в точках. Найдите длину отрезка, если м, м и отрезок не пересекает плоскость.

№13 Выберите правильное утверждение.

1) Через точку пространства, которая не лежит на прямой, можно провести множество прямых, которые параллельные данной;

2) две прямые, параллельные третьей, пересекаются в одной точке;

3) если две точки прямой принадлежат плоскости, то прямая пересекает плоскость;

4) через прямую и точку вне прямой можно провести две различные плоскости;

5) через точку пространства, не лежащую на плоскости, можно провести множество прямых, которые будут пересекать эту плоскость.

№14 Плоскости и - параллельные. Через точку, которая не принадлежит ни одной из них, проведена плоскость. Укажите три правильных утверждения.

1) - единственная возможная плоскость, параллельная плоскости;

2) - единственная возможная плоскость, пересекающая плоскость;

3) - единственная возможная плоскость, параллельная плоскости;

4) - единственная возможная плоскость, пересекающая плоскость;

5) - единственная возможная плоскость, параллельная и плоскости, и плоскости.

№15 Известно, что сторона прямоугольника параллельна некоторой плоскости, а сторона - не параллельна этой плоскости. Определите взаимное расположение плоскостей и.

№16 На рисунке изображен прямоугольный параллелепипед. Укажите взаимное размещение плоскостей:

Литература

Математика: учебник для ссузов / Н. В. Богомолов, П. И. Самойленко. - 7-е изд., стереотип. - М.: Дрофа, 2010., стр. 320-323

Геометрия. 10-11 классы: учебник для учащихся общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. - 18-е изд., - М.: Просвещение, 2009, стр. 3-8.

Математика: підручник для 10 кл. загальноосвітніх навчальних закладів: рівень стандарту / О.М. Афанасьєва, Я.С. Бродський, О.Л. Павлов, А.К. Сліпенко. – Тернопіль: Навчальна книга – Богдан, 2010, стор. 127-133, 135-137

Лекции по математике Страница 5

Стереометрия – раздел геометрии, в котором изучаются свойства пространственных фигур, то есть фигур, не принадлежащих одной плоскости. В стереометрии рассматриваются различные случаи взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве, такие пространственные фигуры, как призма, пирамида, тела вращения, правильные многогранники и др. При изучении стереометрии обобщаются некоторые планиметрические понятия: вектор, геометрическое преобразование, прямоугольная система координат и др. Важными вопросами в стереометрии являются вопросы измерения площадей и объёмов рассматриваемых пространственных фигур.

Большинство пространственных фигур представляют собой абстракцию различных предметов. Изучение стереометрии включает не только усвоение некоторых фактов и понятий, но владение математическими методами, которые применяются для обоснования этих фактов. Обратим внимание на структуру стереометрии, как учебного курса. Стереометрия строится следующим образом:

• перечисляются исходные понятия, которые принимаются без определения;
• приводится список аксиом;
• при помощи исходных понятий даются определения другим геометрическим понятиям;
• на основании аксиом и определений доказываются теоремы.

Исходными понятиями стереометрии являются следующих три понятия: «точка», «расстояние между точками», «плоскость». С их помощью определяются и другие понятия стереометрии. Определить понятие (дать ему определение) – это значит указать его существенные, характерные особенности, указать признаки. Некоторые из этих признаков являются признаками сходства и устанавливают связь данного понятия с другими, уже известными понятиями; иные – признаки различия, указывающие на особенные свойства данных понятий.

Исходным геометрическим понятием непосредственно определение не даётся. Их нельзя свести и каким-либо другим понятиям в принятой системе изложения. Но это не значит, что они остаются совершенно неопределёнными. Они обозначаются косвенно, через перечисление некоторых признаков и свойств в аксиомах. С помощью аксиом логическим путём выводятся другие свойства геометрических понятий. Утверждения такого рода называются теоремами, а рассуждения, в ходе которых они устанавливаются – доказательствами.

Приведём некоторые обозначения, применяемые в стереометрии:

α, β, γ, … – обозначения плоскостейα, β, γ…;

А, В, С,… – точки;

а, b, с,… – прямые;

А = В, а = b, α = β – точки А и В совпадают, прямые а и b совпадают, плоскости α и β совпадают;

А ≠ В, а ≠ b, α ≠ β – точки А и В не совпадают, прямые а и b не совпадают, плоскости α и β не совпадают;

А Є а, А Є α – точка А принадлежит прямой а, точка А принадлежит плоскости α;

А Ȼ а, А Ȼ α – точка А не принадлежит прямой а, точка А не принадлежит плоскости α.

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Лекция по теме «Предмет стереометрии»

Геометрия – это наука, которая изучает свойства геометрических фигур.

Школьный курс геометрии подразделяется на два раздела: планиметрию и стереометрию.

Планиметрия – раздел геометрии, который изучает свойства геометрических фигур на плоскости.

Планиметрию мы изучали в 7-9 классах.

В этом году мы начинаем изучать второй раздел геометрии - стереометрию

Стереометрия – это раздел геометрии, в котором изучаются свойства геометрических фигур в пространстве.

Слово "стереометрия" происходит от греческих слов "стереос" объемный, пространственный и "метрио" измерять.

В стереометрии рассматриваются математические модели тех материальных объектов, с которыми имеют дело архитекторы, конструкторы, строители и другие специалисты.

Кроме того, школьный курс стереометрии служит основой для черчения и начертательной геометрии – важнейших дисциплин любого технического вуза.

Основные фигуры стереометрии

Итак, стереометрия изучает свойства геометрических фигур в пространстве.

Геометрических фигур в пространстве.

называют телами.

В стереометрии мы будем изучать свойства геометрических тел, вычислять их площади и объемы.

При изучении пространственных фигур используются их изображение на чертеже.

Изображением пространственной фигуры служит ее проекция на ту или иную плоскость. Одна и та же фигура допускает различные изображения.

Обычно выбирают то из них, которое наиболее удобно для исследования ее свойств.

На экране вы видите многогранники – куб, параллелепипед и пирамида, тела вращения – шар, конус и цилиндр.

При изображении пространственных фигур невидимые части этих фигур изображены штриховыми линиями.

С чего начинается стереометрия?

Также как планиметрия.

Планиметрию мы начинали изучать с основных понятий, фигур и аксиом.

Основные понятия стереометрии

Во-первых, это точка и прямая, как в планиметрии. И еще добавляется плоскость.

Итак, основными понятиями стереометрии являются: тоска, прямая, плоскость. Они принимаются без определений.

Новым для нас понятием является плоскость.

Плоскость, как и прямая в планиметрии, бесконечна. Она простирается во все стороны на неограниченное расстояние.

Геометрическими моделями части плоскости являются, например, поверхность стола, доски и т. д.

Изображают плоскости в виде параллелограмма, либо в виде произвольной области.

Обозначение, которые мы будем применять.

Точки. Как и ранее, точки будем обозначать прописными латинскими буквами A , B , C ….

На экране изображены 4 точки. Они обозначены буквами A , B , C и D

Прямые. Прямые обозначают строчными латинскими буквами a , b , c …, или двумя прописными латинскими буквами AB , CD , …

Во втором случае используются обозначения

двух точек, через которые прямая проходит.

На экране вы видите прямую a . На ней лежат точки M и N .

Прямая a может быть также обозначена как MN .

Плоскости. Плоскости обычно обозначают строчными греческими буквами (альфа, бета, гамма, дельта, …)

Плоскости также можно называть по трем точкам, через которые плоскости проходят.

Например, на экране плоскость синего цвета обозначена как α, она же может называться ABC .

Плоскость бежевого цвета обозначена β, она же может быть обозначена как KLN или KLM . Берутся любые три точки, через которые плоскость проходит.

Так же, как и в планиметрии, в стереометрии мы будем применять для точек знак: (принадлежит плоскости), а для прямых знак: (лежит в плоскости).

Перечеркнутые знаки означают отрицание – не принадлежит плоскости, не лежит в плоскости.

На рисунке вы видите, что две точки A и B принадлежат плоскости α (плоскость проходит через эти точки), а точки M, N, K не принадлежат этой плоскости (плоскость не проходит через эти точки).

Коротко это записывается так:

Точка А принадлежит плоскости α, точка B принадлежит плоскости α.

Точка M N не принадлежит плоскости α, точка K не принадлежит плоскости α.

На этом уроке мы познакомились с новым разделом геометрии – стереометрией.

Узнали, что основными понятиями стереометрии являются точка, прямая, плоскость. Вспомнили, как изображаются точки и прямые. Узнали как изображается и обозначается плоскость.

Переходим к решению задач.

Задача 1.

Дано:

Точки A , B , C и D не лежащие в одной плоскости.

Указать плоскости, которым принадлежит:

а) прямая AB ;

б) точка F ;

в) точка C .

Решение.

а) Прямая AB лежит в двух плоскостях: ABC и ABD ;

б) Точка F принадлежит плоскостям: ABC и BCD ;

в) Точка C принадлежит трем плоскостям: ABC , BCD , ACD .