Студентам и школьникам - книги, математика, векторный анализ, дифференциальная геометрия. Векторный и тензорный анализ

Федеральное агентство по образованию

ГОУ ВПО ½Сыктывкарский государственный университет\

Ю.Н. БЕЛЯЕВ

ВВЕДЕНИЕ В ВЕКТОРНЫЙ

Учебное пособие

Сыктывкар 2008

ÓÄÊ 514.742.4(075) ÁÁÊ 22.14

Печатается по постановлению редакционно-издательско- го совета Сыктывкарского госуниверситета

Ðå ö å í ç å í ò û:

кафедра математического анализа Коми государственного педагогического института,

Г.В. Уфимцев канд. физ.-матем. наук, доцент, Сыктывкарский лесной институт

Беляев Ю.Н.

Á 43 Введение в векторный анализ: Учебное пособие. Сыктывкар: Èç-âî СыктГУ, 2008. 215 с.: ил.

ISBN 978-5-87237-601-1

Данное пособие содержит основные сведения из алгебры векторов.

Правила дифференцирования вектор-функции по скалярному аргументу демонстрируются на примерах из механики, в частности из кинематики материальной точки и абсолютно тв¼рдого тела.

Основные функции точки градиент скалярного поля, расхождение и вихрь векторного поля даны в инвариантной по отношению к выбору системы координат форме. Интегральное представление вихря и расхождения векторного поля используются для доказательства теорем Остроградского и Стокса. Даны подборка формул для градиента, дивергенции, ротора и оператора Лапласа в некоторых ортогональных системах координат, а также задачи для самостоятельной работы студентов с примерами решения типовых задач, используемых для контроля усвоения материала.

Книга предназначена для студентов физических специальностей.

c Беляев Ю.Н., 2008

c Сыктывкарский госуниверситет, 2008

ISBN 978-5-87237-601-1

1.5. Умножение вектора на число. . . . . . . . . . . . . 10

1.6. Сложение векторов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.7. Основные свойства векторов. . . . . . . . . . . . . . 11

1.8. Правило многоугольника. . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.9. Разность векторов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Ÿ 2. Примеры векторов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1. Радиус-вектор точки. . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2. Перемещение, скорость и ускорение. . . . . . . . . 22

2.3. Понятие силы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Ÿ 3. Линейное пространство. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.1. Примеры линейных пространств. . . . . . . . . . . 29

3.2. Размерность и базис линейного пространства. . . . 34

4.1. Векторный базис. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.2. Свойства координат вектора. . . . . . . . . . . . . . 39

4.3. Размерность векторного множества. . . . . . . . . . 40

Задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Ÿ 5. Проекции вектора. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.1. Проекция вектора на плоскость. . . . . . . . . . . . 43

5.2. Проекция вектора на ось. . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.3. Свойства проекции вектора на ось. . . . . . . . . . 45

Ÿ 6. Приложение к тригонометрии. . . . . . . . . . . . . . . 46

6.1. Проекции единичного вектора. . . . . . . . . . . . . 46

6.2. Тригонометрическая форма записи проекции. . . . 46

6.3. Основное тригонометрическое тождество. . . . . . 47

6.4. Формулы приведения. . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

6.5. Теорема синусов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

7.1. Координаты вектора в ортонормированном базисе. 50

7.2. Длина вектора. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

7.3. Направляющие косинусы. . . . . . . . . . . . . . . . 52

7.4. Угол между направлениями. . . . . . . . . . . . . . 52

7.5. Радиус-вектор в декартовой системе координат. . 53

7.6. Определение векторной суммы методом проекций. 55

Задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Ÿ 8. Скалярное произведение векторов. . . . . . . . . . . . . 59

8.1. Cвойства скалярного произведения. . . . . . . . . . 60

8.2. Евклидовое пространство. . . . . . . . . . . . . . . 61

8.3. Теорема косинусов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

8.4. Скалярное произведение в ортонормированном базисе. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Ÿ 9. Векторное произведение векторов. . . . . . . . . . . . . 68

9.1. Свойства векторного произведения. . . . . . . . . . 69

9.2. Векторное произведение в ортонормированном базисе. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

9.3. Выражение векторного произведения через

1.1. Геометрический смысл производной. . . . . . . . . 79

1.2. Основные свойства производных. . . . . . . . . . . 82

Ÿ 2. Интеграл от вектора. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

Ÿ 3. Оси естественного тр¼хгранника. . . . . . . . . . . . . . 91

3.1. Формулы Френе. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

3.2. Скорость и ускорение в осях натурального триэдра. 96

3.3. Вычисление кривизны пространственной кривой. . 99

3.4. Кручение пространственной кривой. . . . . . . . . 103 Задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

Ÿ 4. Криволинейные ортогональные системы координат. . . 104

4.1. Базисные векторы и коэффициенты Ламе. . . . . . 107

4.2. Скорость и ускорение материальной точки в криволинейной ортогональной системе координат. 108

Задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

Ÿ 5. Сложение движений. Приложение к кинематике. . . . . 112

5.1. Перемещение системы отсч¼та. Угловая скорость. 113

5.2. Скорости точек тв¼рдого тела. . . . . . . . . . . . . 116

5.3. Ускорения тв¼рдого тела. . . . . . . . . . . . . . . . 118

5.4. Абсолютная скорость движения материальной точки. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

5.5. Сложение ускорений. . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 Задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

Ÿ 1. Скалярное поле. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

1.1. Поверхность уровня скалярного поля. . . . . . . . 133

1.2. Дифференцируемое скалярное поле. . . . . . . . . 134

1.3. Производная по направлению. . . . . . . . . . . . . 135

1.4. Геометрический смысл градиента. . . . . . . . . . . 136

1.5. Градиент суммы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

1.6. Градиент сложной функции. . . . . . . . . . . . . . 141

1.7. Градиент в ортогональной системе координат. . . . 143 Задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

Ÿ 2. Векторное поле. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

2.1. Уравнение векторной линии. . . . . . . . . . . . . . 148

2.2. Криволинейный интеграл от векторного поля. . . . 151

2.3. Вычисление криволинейного интеграла. . . . . . . 153

2.4. Вихрь векторного поля. . . . . . . . . . . . . . . . . 156

3.1. Поток скорости. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

3.2. Поток векторного поля. . . . . . . . . . . . . . . . . 166

3.3. Нормаль к поверхности. . . . . . . . . . . . . . . . . 167

3.4. Вычисление потока. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

3.5. Поток через замкнутую поверхность. . . . . . . . . 170 Задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

Ÿ 4. Расхождение векторного поля. . . . . . . . . . . . . . . 171

4.1. Расхождение в ортогональной системе координат. 172

4.2. Соленоидальное векторное поле. Векторный потенциал. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

4.3. Лапласово векторное поле. . . . . . . . . . . . . . . 175 Задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

Ÿ 5. Символические обозначения основных дифферен-

циальных операций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

5.1. Символический вектор набла. . . . . . . . . . . . . 177

5.2. Оператор Лапласа, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

5.3. Производная вектора по другому вектору. . . . . 179

5.4. Дифференциальные операции от произведений функций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

5.5. Дифференциальные операции второго порядка. . 183 Задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

Ÿ 6. Некоторые ортогональные системы координат. . . . . . 184

6.1. Система цилиндрических координат. . . . . . . . . 185

6.2. Сферическая система координат. . . . . . . . . . . 186

6.3. Система параболических цилиндрических координат. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

6.4. Система параболоидальных координат. . . . . . . . 188

6.5. Система эллиптических цилиндрических координат. 189

6.6. Система вытянутых эллипсоидальных координат. 190 Задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

Ÿ 7. Теорема Стокса. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 Задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

Ÿ 8. Теорема Остроградского и связанные с ней формулы. 195

8.1. Теорема Остроградского. . . . . . . . . . . . . . . . 195

8.2. Формула для градиента. . . . . . . . . . . . . . . . 201

8.3. Формула для вихря. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

8.4. Формулы Грина. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 Задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

Библиографический список. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 Ответы и решения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ АЛГЕБРЫ ВЕКТОРОВ

Ÿ 1. Геометрическое понятие вектора

1.1. Введение. Одно из основных геометрических понятий вектор, возникло как математическая абстракция объектов, характеризующихся величиной и направлением, в трудах нескольких ученых почти одновременно в середине XIX века. Первое векторное исчисление на плоскости развил в 1835 году итальянский ученый Беллавитис (Guito Bellavitis, 1835-1880). Примерно в это же время получили известность работы Аргана (Jean Robert Argand, 1768-1822) и Весселя (Caspar Wessel, 17451818) о геометрической интерпретации комплексных чисел. Окончательное оформление векторной алгебры было выполнено в работах Германа Грассмана (Hermann Grassmann, 18091877), Уильяма Гамильтона (William Rowen Hamilton, 18051865) и Дж.У. Гиббса (Josiah Willard Gibbs, 1839-1903).

Понятие вектора играет важнейшую роль в современной математике и е¼ приложениях, например в механике, теории относительности, электродинамике, квантовой физике и других разделах естествознания.

1.2. Скаляры и векторы. Величины называются скалярными (скалярами), если они после выбора единицы измерения полностью характеризуются одним числом. Примерами скаляров являются время t, объем V , масса m, температура T , работа силы A, электрический заряд q и др.

Два скаляра одной и той же размерности равны, если при измерении их одной и той же единицей меры получаются оди-

наковые числа.

Такие величины, как скорость ~v, ускорение ~a, сила F , на-

пряженность электрического поля E , требующие для своего за-

дания не только указания числового значения, но и направления в пространстве, называются векторными величинами, или

векторами.

Термины скаляр (1843) и вектор (1845) были придуманы Гамильтоном, который образовал их соответственно от латинских слов scale шкала и vector несущий.

Простейшим скаляром является отвлеченное число, а простейшим вектором прямолинейный отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление от начальной точ- ки отрезка к его конечной точке.

1.3. Изображение и обозначения векторных вели- чин. Существует несколько различных форм обозначения векторных величин. Одна из старейших черточка над буквой. Именно так обозначал направленный отрезок Арган. Максвелл (James Clerk Maxwell, 1831-1879) обозначал векторы готическими буквами, Гамильтон и Гиббс греческими буквами. Обозначение векторов жирными буквами было предложено Хэвисайдом (Oliver Heaviside, 1850-1925).

В данной работе геометрические векторы обозначаются бук-

вами со стрелкой вверху: ~a, b, ~c и т.п. Иногда мы будем обо-

значать вектор, начальная точка которого есть A, а конечная

B, символом AB. На рисунках векторы изображаются в виде прямолинейных отрезков, имеющих не только определенную длину, но и определенное направление, указываемое стрелкой на конце отрезка.

Длина вектора, которая иначе называется модулем вектора, обозначается той же буквой, что и вектор, но без стрелки. Иногда для обозначения модуля вектора берется обозначение самого вектора, помещенного в прямые скобки. Например, p = jp~j модуль вектора p~.

Нуль-вектор вектор 0, длина которого равна нулю, может иметь любое направление в пространстве.

Угол между векторами p~ и q~ это наименьший угол, на который нужно повернуть один вектор, чтобы он совпал по направлению с другим (рис.1). Будем обозначать этот угол сим-

волом (p;~ q~).

1.4. Равенство векторов. Когда мы сравниваем векторные физические величины, то подразумевается, что они имеют одинаковую физическую размерность.

Различают три разных типа векторов. Каждый из них объединяет совокупность векторов с одинаковыми свойствами.

Свободные векторы определяются направлением линии действия и модулем. Такие векторы равны, если они равны по мо-

дулю f = g и одинаково направлены, т.е. (f; ~g) = 0: Иными

словами, мы не различаем двух свободных векторов f и ~g, имеющих разные точки приложения и получающиеся один из другого параллельным переносом.

Равенство двух векторов f и ~g символически записывается следующим образом:

Связанный вектор. Для определения связанного вектора AB требуется указать его линию действия (на рис. 2a это линия xx0 ), направление на этой линии (от x к x0 ), его начало (A) и длину вектора. Связанные векторы это векторы, для эквивалентности которых необходимо их равенство по длине, одинаковое направление и общее начало. Примером такого вектора может служить сила, приложенная к некоторой точке упругого

Скользящий вектор. Определение остается таким же, как и в предыдущем случае, если исключить требование о закреплении начала вектора. Оно может находиться в любой точке оси xx0 . Скользящими называют такие векторы, которые счита-

ются эквивалентными, если они равны по модулю, одинаково

направлены и лежат на одной прямой (например, AB = A B на (рис. 2b)). Примерами таких векторов являются силы, рас-

сматриваемые в статической механике.

Поскольку направлние нулевого вектора не определено, все нулевые векторы считаются равными.

Все нижеследующие правила, в частности умножение вектора на скалярные величины и правило сложения векторов, будут даны применительно к свободным векторам. Распространение этих определений на связанные и скользящие векторы не представляет труда.

1.5. Умножение вектора на число. При умножении вектора ~a на действительное число получается вектор ~c, такой, что его модуль равен j ja, и направленный в ту же сторону, что и вектор ~a при > 0, и в противоположную сторону, если < 0. Умножение любого вектора ~a на нуль дает нулевой вектор. Таким образом,

Векторы ~c и ~a, связанные равенством (1.1), параллельны друг другу или лежат на одной прямой. Такие векторы называют коллинеарными 1 .

На рис. 3 в качестве примера показаны вектор ~a и полу- чающиеся из него в результате умножения на числа 2 и 0:5 векторы 2~a и 0:5~a.

В соответствии с данным определением умножения вектора на число любой вектор ~a можно представить в виде произведения

1 Термин образован от латинскихco вместе èlinearis линейный и означает буквально ½солинейность\ . Гамильтон в своем векторном исчис-

лении ввел название termino-collinear для векторов, которые имеют общее начало и концы которых лежат на одной прямой. Это название упростил Гиббс, благодаря которому термин ½коллинеарность\ вошел в векторную

Наконец-то у меня добрались руки до обширной и долгожданной темы аналитической геометрии . Сначала немного о данном разделе высшей математики…. Наверняка вам сейчас вспомнился курс школьной геометрии с многочисленными теоремами, их доказательствами, чертежами и т.д. Что скрывать, нелюбимый и часто малопонятный предмет для значительной доли учеников. Аналитическая геометрия, как ни странно, может показаться более интересной и доступной. Что означает прилагательное «аналитическая»? На ум сразу приходят два штампованных математических оборота: «графический метод решения» и «аналитический метод решения». Графический метод , понятно, связан с построением графиков, чертежей. Аналитический же метод предполагает решение задач преимущественно посредством алгебраических действий. В этой связи алгоритм решений практически всех задач аналитической геометрии прост и прозрачен, зачастую достаточно аккуратно применить нужные формулы – и ответ готов! Нет, конечно, совсем без чертежей тут не обойдется, к тому же для лучшего понимания материала я постараюсь приводить их сверх необходимости.

Открываемый курс уроков по геометрии не претендует на теоретическую полноту, он ориентирован на решение практических задач. Я включу в свои лекции только то, что с моей точки зрения, является важным в практическом плане. Если вам необходима более полная справка по какому-либо подразделу, рекомендую следующую вполне доступную литературу:

1) Вещь, с которой, без шуток, знакомо несколько поколений: Школьный учебник по геометрии , авторы – Л.С. Атанасян и Компания . Сия вешалка школьной раздевалки уже выдержала 20-ть (!) переизданий, что, конечно, не является пределом.

2) Геометрия в 2 томах . Авторы Л.С. Атанасян, Базылев В.Т . Это литература для высшей школы, вам потребуется первый том . Из моего поля зрения могут выпадать редко встречающиеся задачи, и учебное пособие окажет неоценимую помощь.

Обе книги можно бесплатно закачать в Интернете. Кроме того, можете использовать мой архив с готовыми решениями, который можно найти на странице Скачать примеры по высшей математике .

Из инструментальных средств предлагаю опять же собственную разработку – программный комплекс по аналитической геометрии, который значительно упростит жизнь и сэкономит массу времени.

Предполагается, что читатель знаком с базовыми геометрическими понятиями и фигурами: точка, прямая, плоскость, треугольник, параллелограмм, параллелепипед, куб и т.д. Желательно помнить некоторые теоремы, хотя бы теорему Пифагора, привет второгодникам)

А сейчас мы последовательно рассмотрим: понятие вектора, действия с векторами, координаты вектора. Далее рекомендую прочитать важнейшую статью Скалярное произведение векторов , а также и Векторное и смешанное произведение векторов . Не лишней будет и локальная задача – Деление отрезка в данном отношении . На основе вышеуказанной информации можно освоить уравнение прямой на плоскости с простейшими примерами решений , что позволит научиться решать задачи по геометрии . Также полезны следующие статьи: Уравнение плоскости в пространстве , Уравнения прямой в пространстве , Основные задачи на прямую и плоскость , другие разделы аналитической геометрии. Естественно, попутно будут рассматривать типовые задания.

Понятие вектора. Свободный вектор

Сначала повторим школьное определение вектора. Вектором называется направленный отрезок, для которого указано его начало и конец:

В данном случае началом отрезка является точка , концом отрезка – точка . Сам вектор обозначен через . Направление имеет существенное значение, если переставить стрелку в другой конец отрезка, то получится вектор , и это уже совершенно другой вектор . Понятие вектора удобно отождествлять с движением физического тела: согласитесь, зайти в двери института или выйти из дверей института – это совершенно разные вещи.

Отдельные точки плоскости, пространства удобно считать так называемым нулевым вектором . У такого вектора конец и начало совпадают.

!!! Примечание: Здесь и далее можете считать, что векторы лежат в одной плоскости или можете считать, что они расположены в пространстве – суть излагаемого материала справедлива и для плоскости и для пространства.

Обозначения: Многие сразу обратили внимание на палочку без стрелочки в обозначении и сказали, там же вверху еще стрелку ставят! Верно, можно записать со стрелкой: , но допустима и запись , которую я буду использовать в дальнейшем . Почему? Видимо, такая привычка сложилась из практических соображений, слишком разнокалиберными и мохнатыми получались мои стрелки в школе и ВУЗе. В учебной литературе иногда вообще не заморачиваются клинописью, а выделяют буквы жирным шрифтом: , подразумевая тем самым, что это вектор.

То была стилистика, а сейчас о способах записи векторов:

1) Векторы можно записать двумя большими латинскими буквами:
и так далее. При этом первая буква обязательно обозначает точку-начало вектора, а вторая буква – точку-конец вектора.

2) Векторы также записывают маленькими латинскими буквами:
В частности, наш вектор можно для краткости переобозначить маленькой латинской буквой .

Длиной или модулем ненулевого вектора называется длина отрезка . Длина нулевого вектора равна нулю. Логично.

Длина вектора обозначается знаком модуля: ,

Как находить длину вектора мы узнаем (или повторим, для кого как) чуть позже.

То были элементарные сведения о векторе, знакомые всем школьникам. В аналитической же геометрии рассматривается так называемый свободный вектор .

Если совсем просто – вектор можно отложить от любой точки :

Такие векторы мы привыкли называть равными (определение равных векторов будет дано ниже), но чисто с математической точки зрения это ОДИН И ТОТ ЖЕ ВЕКТОР или свободный вектор . Почему свободный? Потому что в ходе решения задач вы можете «пристроить» тот или иной вектор в ЛЮБУЮ, нужную вам точку плоскости или пространства. Это очень крутое свойство! Представьте вектор произвольной длины и направления – его можно «клонировать» бесконечное количество раз и в любой точке пространства, по сути, он существует ВЕЗДЕ. Есть такая студенческая присказка: Каждому лектору в ж**у по вектору. Ведь не просто остроумная рифма, всё математически корректно – вектор можно пристроить и туда. Но не спешите радоваться, чаще страдают сами студенты =)

Итак, свободный вектор – это множество одинаковых направленных отрезков. Школьное определение вектора, данное в начале параграфа: «Вектором называется направленный отрезок…», подразумевает конкретный направленный отрезок, взятый из данного множества, который привязан к определённой точке плоскости или пространства.

Следует отметить, что с точки зрения физики понятие свободного вектора в общем случае некорректно, и точка приложения вектора имеет значение. Действительно, прямой удар одинаковой силы по носу или по лбу хватит развивать мой дурацкий пример влёчет разные последствия. Впрочем, несвободные векторы встречаются и в курсе вышмата (не ходите туда:)).

Действия с векторами. Коллинеарность векторов

В школьном курсе геометрии рассматривается ряд действий и правил с векторами: сложение по правилу треугольника, сложение по правилу параллелограмма, правило разности векторов, умножения вектора на число, скалярное произведение векторов и др. Для затравки повторим два правила, которые особенно актуальны для решения задач аналитической геометрии.

Правило сложения векторов по правилу треугольников

Рассмотрим два произвольных ненулевых вектора и :

Требуется найти сумму данных векторов. В силу того, что все векторы считаются свободными, отложим вектор от конца вектора :

Суммой векторов и является вектор . Для лучшего понимания правила в него целесообразно вложить физический смысл: пусть некоторое тело совершило путь по вектору , а затем по вектору . Тогда сумма векторов представляет собой вектор результирующего пути с началом в точке отправления и концом в точке прибытия. Аналогичное правило формулируется для суммы любого количества векторов. Как говорится, тело может пройти свой путь сильно поддатым по зигзагу, а может и на автопилоте – по результирующему вектору суммы.

Кстати, если вектор отложить от начала вектора , то получится эквивалентное правило параллелограмма сложения векторов.

Сначала о коллинеарности векторов. Два вектора называются коллинеарными , если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Грубо говоря, речь идёт о параллельных векторах. Но применительно к ним всегда используют прилагательное «коллинеарные».

Представьте два коллинеарных вектора. Если стрелки данных векторов направлены в одинаковом направлении, то такие векторы называются сонаправленными . Если стрелки смотрят в разные стороны, то векторы будут противоположно направлены .

Обозначения: коллинеарность векторов записывают привычным значком параллельности: , при этом возможна детализация: (векторы сонаправлены) или (векторы направлены противоположно).

Произведением ненулевого вектора на число является такой вектор , длина которого равна , причём векторы и сонаправлены при и противоположно направлены при .

Правило умножения вектора на число легче понять с помощью рисунка:

Разбираемся более детально:

1) Направление. Если множитель отрицательный, то вектор меняет направление на противоположное.

2) Длина. Если множитель заключен в пределах или , то длина вектора уменьшается . Так, длина вектора в два раза меньше длины вектора . Если множитель по модулю больше единицы, то длина вектора увеличивается в раз.

3) Обратите внимание, что все векторы коллинеарны , при этом один вектор выражен через другой, например, . Обратное тоже справедливо : если один вектор можно выразить через другой, то такие векторы обязательно коллинеарны. Таким образом: если мы умножаем вектор на число, то получится коллинеарный (по отношению к исходному) вектор .

4) Векторы сонаправлены. Векторы и также сонаправлены. Любой вектор первой группы противоположно направлен по отношению к любому вектору второй группы.

Какие векторы являются равными?

Два вектора равны, если они сонаправлены и имеют одинаковую длину . Заметьте, что сонаправленность подразумевает коллинеарность векторов. Определение будет неточным (избыточным), если сказать: «Два вектора равны, если они коллинеарны, сонаправлены и имеют одинаковую длину».

С точки зрения понятия свободного вектора, равные векторы – это один и тот же вектор, о чём уже шла речь в предыдущем параграфе.

Координаты вектора на плоскости и в пространстве

Первым пунктом рассмотрим векторы на плоскости. Изобразим декартову прямоугольную систему координат и от начала координат отложим единичные векторы и :

Векторы и ортогональны . Ортогональны = Перпендикулярны. Рекомендую потихоньку привыкать к терминам: вместо параллельности и перпендикулярности используем соответственно слова коллинеарность и ортогональность .

Обозначение: ортогональность векторов записывают привычным значком перпендикулярности, например: .

Рассматриваемые векторы называют координатными векторами или ортами . Данные векторы образуют базис на плоскости. Что такое базис, думаю, интуитивно многим понятно, более подробную информацию можно найти в статье Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов .Простыми словами, базис и начало координат задают всю систему – это своеобразный фундамент, на котором кипит полная и насыщенная геометрическая жизнь.

Иногда построенный базис называют ортонормированным базисом плоскости: «орто» – потому что координатные векторы ортогональны, прилагательное «нормированный» означает единичный, т.е. длины векторов базиса равны единице.

Обозначение: базис обычно записывают в круглых скобках, внутри которых в строгой последовательности перечисляются базисные векторы, например: . Координатные векторы нельзя переставлять местами.

Любой вектор плоскости единственным образом выражается в виде:
, где – числа , которые называются координатами вектора в данном базисе. А само выражение называется разложением вектора по базису .

Ужин подан:

Начнем с первой буквы алфавита: . По чертежу хорошо видно, что при разложении вектора по базису используются только что рассмотренные:
1) правило умножения вектора на число: и ;
2) сложение векторов по правилу треугольника: .

А теперь мысленно отложите вектор от любой другой точки плоскости. Совершенно очевидно, что его разложение будет «неотступно следовать за ним». Вот она, свобода вектора – вектор «всё носит при себе». Это свойство, разумеется, справедливо для любого вектора. Забавно, что сами базисные (свободные) векторы не обязательно откладывать от начала координат, один можно нарисовать, например, слева внизу, а другой – справа вверху, и от этого ничего не изменится! Правда, делать так не нужно, поскольку преподаватель тоже проявит оригинальность и нарисует вам «зачтено» в неожиданном месте.

Векторы , иллюстрируют в точности правило умножения вектора на число, вектор сонаправлен с базисным вектором , вектор направлен противоположно по отношению к базисному вектору . У данных векторов одна из координат равна нулю, дотошно можно записать так:


А базисные векторы, к слову, так: (по сути, они выражаются сами через себя).

И, наконец: , . Кстати, что такое вычитание векторов, и почему я не рассказал о правиле вычитания? Где-то в линейной алгебре, уже не помню где, я отмечал, что вычитание – это частный случай сложения. Так, разложения векторов «дэ» и «е» преспокойно записываются в виде суммы: , . Переставьте слагаемые местами и проследите по чертежу, как чётко в этих ситуациях работает старое доброе сложение векторов по правилу треугольника.

Рассмотренное разложение вида иногда называют разложением вектора в системе орт (т.е. в системе единичных векторов). Но это не единственный способ записи вектора, распространён следующий вариант:

Или со знаком равенства:

Сами базисные векторы записываются так: и

То есть, в круглых скобках указываются координаты вектора. В практических задачах используются все три варианта записи.

Сомневался, говорить ли, но всё-таки скажу: координаты векторов переставлять нельзя . Строго на первом месте записываем координату, которая соответствует единичному вектору , строго на втором месте записываем координату, которая соответствует единичному вектору . Действительно, и – это ведь два разных вектора.

С координатами на плоскости разобрались. Теперь рассмотрим векторы в трехмерном пространстве, здесь практически всё так же! Только добавится ещё одна координата. Трехмерные чертежи выполнять тяжко, поэтому ограничусь одним вектором, который для простоты отложу от начала координат:

Любой вектор трехмерного пространства можно единственным способом разложить по ортонормированному базису :
, где – координаты вектора (числа) в данном базисе.

Пример с картинки: . Давайте посмотрим, как здесь работают правила действий с векторами. Во-первых, умножение вектора на число: (красная стрелка), (зеленая стрелка) и (малиновая стрелка). Во-вторых, перед вами пример сложения нескольких, в данном случае трёх, векторов: . Вектор суммы начинается в исходной точке отправления (начало вектора ) и утыкается в итоговую точку прибытия (конец вектора ).

Все векторы трехмерного пространства, естественно, тоже свободны, попробуйте мысленно отложить вектор от любой другой точки, и вы поймёте, что его разложение «останется при нём».

Аналогично плоскому случаю, помимо записи широко используются версии со скобками: либо .

Если в разложении отсутствует один (или два) координатных вектора, то вместо них ставятся нули. Примеры:
вектор (дотошно ) – запишем ;
вектор (дотошно ) – запишем ;
вектор (дотошно ) – запишем .

Базисные векторы записываются следующим образом:

Вот, пожалуй, и все минимальные теоретические знания, необходимые для решения задач аналитической геометрии. Возможно многовато терминов и определений, поэтому чайникам рекомендую перечитать и осмыслить данную информацию ещё раз. Да и любому читателю будет полезно время от времени обращаться к базовому уроку для лучшего усвоения материала. Коллинеарность, ортогональность, ортонормированный базис, разложение вектора – эти и другие понятия будут часто использоваться в дальнейшем. Отмечу, что материалов сайта недостаточно для сдачи теоретического зачета, коллоквиума по геометрии, так как все теоремы (к тому же без доказательств) я аккуратно шифрую – в ущерб научному стилю изложения, но плюсом к вашему пониманию предмета. Для получения обстоятельной теоретической справки прошу следовать на поклон к профессору Атанасяну.

А мы переходим к практической части:

Простейшие задачи аналитической геометрии.
Действия с векторами в координатах

Задания, которые будут рассмотрены, крайне желательно научиться решать на полном автомате, а формулы запомнить наизусть , даже специально не запоминать, сами запомнятся =) Это весьма важно, поскольку на простейших элементарных примерах базируются другие задачи аналитической геометрии, и будет досадно тратить дополнительное время на поедание пешек. Не нужно застёгивать верхние пуговицы на рубашке, многие вещи знакомы вам со школы.

Изложение материала пойдет параллельным курсом – и для плоскости, и для пространства. По той причине, что все формулы… сами увидите.

Как найти вектор по двум точкам?

Если даны две точки плоскости и , то вектор имеет следующие координаты:

Если даны две точки пространства и , то вектор имеет следующие координаты:

То есть, из координат конца вектора нужно вычесть соответствующие координаты начала вектора .

Задание: Для тех же точек запишите формулы нахождения координат вектора . Формулы в конце урока.

Пример 1

Даны две точки плоскости и . Найти координаты вектора

Решение: по соответствующей формуле:

Как вариант, можно было использовать следующую запись:

Эстеты решат и так:

Лично я привык к первой версии записи.

Ответ:

По условию не требовалось строить чертежа (что характерно для задач аналитической геометрии), но в целях пояснения некоторых моментов чайникам, не поленюсь:

Обязательно нужно понимать различие между координатами точек и координатами векторов :

Координаты точек – это обычные координаты в прямоугольной системе координат. Откладывать точки на координатной плоскости, думаю, все умеют ещё с 5-6 класса. Каждая точка обладает строгим местом на плоскости, и перемещать их куда-либо нельзя.

Координаты же вектора – это его разложение по базису , в данном случае . Любой вектор является свободным, поэтому при необходимости мы легко можем отложить его от какой-нибудь другой точки плоскости. Интересно, что для векторов можно вообще не строить оси, прямоугольную систему координат, нужен лишь базис, в данном случае ортонормированный базис плоскости .

Записи координат точек и координат векторов вроде бы схожи: , а смысл координат абсолютно разный , и вам следует хорошо понимать эту разницу. Данное отличие, разумеется, справедливо и для пространства.

Дамы и господа, набиваем руку:

Пример 2

а) Даны точки и . Найти векторы и .
б) Даны точки и . Найти векторы и .
в) Даны точки и . Найти векторы и .
г) Даны точки . Найти векторы .

Пожалуй, достаточно. Это примеры для самостоятельного решения, постарайтесь ими не пренебрегать, окупится;-). Чертежи делать не нужно. Решения и ответы в конце урока.

Что важно при решении задач аналитической геометрии? Важно быть ПРЕДЕЛЬНО ВНИМАТЕЛЬНЫМ, чтобы не допустить мастерскую ошибку «два плюс два равно нулю». Сразу извиняюсь, если где ошибся =)

Как найти длину отрезка?

Длина, как уже отмечалось, обозначается знаком модуля.

Если даны две точки плоскости и , то длину отрезка можно вычислить по формуле

Если даны две точки пространства и , то длину отрезка можно вычислить по формуле

Примечание: Формулы останутся корректными, если переставить местами соответствующие координаты: и , но более стандартен первый вариант

Пример 3

Решение: по соответствующей формуле:

Ответ:

Для наглядности выполню чертёж

Отрезок – это не вектор , и перемещать его куда-либо, конечно, нельзя. Кроме того, если вы выполните чертеж в масштабе: 1 ед. = 1 см (две тетрадные клетки), то полученный ответ можно проверить обычной линейкой, непосредственно измерив длину отрезка.

Да, решение короткое, но в нём есть ещё пара важных моментов, которые хотелось бы пояснить:

Во-первых, в ответе ставим размерность: «единицы». В условии не сказано, ЧТО это, миллиметры, сантиметры, метры или километры. Поэтому математически грамотным решением будет общая формулировка: «единицы» – сокращенно «ед.».

Во-вторых, повторим школьный материал, который полезен не только для рассмотренной задачи:

Обратите внимание на важный технический приём – вынесение множителя из-под корня . В результате вычислений у нас получился результат и хороший математический стиль предполагает вынесение множителя из-под корня (если это возможно). Подробнее процесс выглядит так: . Конечно, оставить ответ в виде не будет ошибкой – но недочетом-то уж точно и весомым аргументом для придирки со стороны преподавателя.

Вот другие распространенные случаи:

Нередко под корнем получается достаточно большое число, например . Как быть в таких случаях? На калькуляторе проверяем, делится ли число на 4: . Да, разделилось нацело, таким образом: . А может быть, число ещё раз удастся разделить на 4? . Таким образом: . У числа последняя цифра нечетная, поэтому разделить в третий раз на 4 явно не удастся. Пробуем поделить на девять: . В результате:
Готово.

Вывод: если под корнем получается неизвлекаемое нацело число, то пытаемся вынести множитель из-под корня – на калькуляторе проверяем, делится ли число на: 4, 9, 16, 25, 36, 49 и т.д.

В ходе решения различных задач корни встречаются часто, всегда пытайтесь извлекать множители из-под корня во избежание более низкой оценки да ненужных заморочек с доработкой ваших решений по замечанию преподавателя.

Давайте заодно повторим возведение корней в квадрат и другие степени:

Правила действий со степенями в общем виде можно найти в школьном учебнике по алгебре, но, думаю, из приведённых примеров всё или почти всё уже ясно.

Задание для самостоятельного решения с отрезком в пространстве:

Пример 4

Даны точки и . Найти длину отрезка .

Решение и ответ в конце урока.

Как найти длину вектора?

Если дан вектор плоскости , то его длина вычисляется по формуле .

Если дан вектор пространства , то его длина вычисляется по формуле .

Это было очень давно, когда я учился классе в десятом. Среди довольно скудного в научном плане фонда районной библиотеки мне попалась книга - Угаров В. А. «Специальная теория относительности». Эта тема интересовала меня в то время, но информации школьных учебников и справочников было явно недостаточно.

Однако, книгу эту я читать не смог, по той причине, что большинство уравнений представлялись там в виде тензорных соотношений. Позже, в университете, программа подготовки по моей специальности не предусматривала изучение тензорного исчисления, хотя малопонятный термин «тензор» всплывал довольно часто в некоторых специальных курсах. Например, было жутко непонятно, почему матрица, содержащая моменты инерции твердого тела гордо именуется тензором инерции.

Погружение в специальную литературу не приносило просветления. Технарю достаточно тяжело переварить строгий абстрактный язык чистой математики. Тем не менее, от случая к случаю я возвращался к этому вопросу, и вот спустя почти шестнадцать лет наступило просветление, о чем и будет рассказано под катом. Возможно, мои рассуждения покажутся примитивными и упрощенными, но понимание любой сложной вещи принято разворачивать от процесса оперирования простыми понятиями, поэтому начнем.

1. Вектор на плоскости. Контравариантные, ковариантные координаты и связь между ними

Рассмотрим вектор, и без потери общности наших рассуждений, рассмотрим вектор заданный на плоскости. Как известно из курса ещё школьной геометрии, любой вектор можно задать на плоскости с помощью двух неколлинеарных векторов

Здесь - коэффициенты разложения, (под верхним индексом следует понимать именно номер компоненты, а не возвдение в степень), называемые контрвариантные координаты вектора . Геометрически это можно изобразить так, как показано на рисунке ниже. Векторы называют базисными, угол между ними, при условии , может быть произвольным, произвольна так же ненулевая длина базисных векторов. Указанный базис задает косоугольную систему координат на плоскости, с осями .

Исходя из чертежа длины отрезков и равны

Однако, это не единственный способ определить вектор в данной системе координат. Его можно так же задать ортогональными проекциями на оси . Нетрудно видеть, что эти проекции равны

Где и - ковариантные координаты вектора .

Сравниваем (3), (5) и (4), (6)

Набор контравариантных и ковариантных компонент, по сути, задают в выбранном базисе один и тот же вектор. При использовании контравариантных координат этот вектор задается матрицей-столбцом

2. Скалярное произведение векторов

3. Правило Эйнштейна

4. Анализ на простых примерах

Ещё пример, дабы не загроможнать который, будем работать в двух измерениях. Пусть система координат подобна той, что изображена на рисунке из параграфа 1, и в ней задан вектор своими контравариантными rоординатами. Тогда

Что получается? Работая в разных системах координат, мы использовали одну единственную формулу (20) для вычисления скалярного произведения. И её вид совершенно не зависит ни от базиса, ни от числе измерений пространства, в котором мы работаем. Базисом определяются лишь конкретные значения компонент матрицы .

Так вот, уравнение (20) выражает скалярное произведение двух векторов в тензорной, то есть независимой от выбранного базиса форме .

Матрица задает так называемый метрический тензор . Её вид
определяет каким образом в выбранных координатах вычисляется расстояние между двумя точками.

Но почему мы называем эту матрицу тензором? Следует понимать, что математическая форма, в данном случае квадратная матрица, содержащая набор компонент, это ещё не тензор. Понятие тензора несколько шире, и прежде чем мы скажем, что такое тензор, мы рассмотрим ещё один вопрос.

5. Преобразование метрического тензора при смене базиса

В последнем выражении

Теперь, используя правило Эйнштейна, перепишем (22) и (23) в тензорной форме

Теперь рассмотрим конкретный пример, на плоскости, чтобы не писать излишне громоздких выкладок

Пусть вектор задан в двух нормированных базисах: прямоугольном
и косоугольном . Преобразование из косоугольной системы координат в прямоугольную выражается матрицей

То есть

Заключение и выводы

Что мы увидели в предыдущем параграфе? Если свойства пространства, в котором заданы векторы известны, то для нас не составляет труда выполнить, строго формальным образом, действия над векторами, используя соотношения, вид которых от формы пространства независим. Причем соотношения (20), (24) и (25) дают нам и алгоритм вычисления и способ преобразования компонент выражений, используемых алгоритмом. В этом - мощь и сила тензорного подхода.

Многие физические теории, например ОТО, оперируют искривленным пространством-временем, и там другой подход просто неприемлем. В искривленном пространстве-времени метрический тензор задан локально, в каждой его точке, и если попытаться обойтись без тензоров, у нас ничего не выйдет - мы получим громоздкие и неповоротливые уравнения, если получим их вообще.

В прикладных областях науки тензорная запись выражений применима там, где требуется получать уравнения, независимые от используемой системы координат.

Но это ещё не всё. Мы не поговорили о свойствах метрического тензора, не рассмотрели векторное произведение и тензор Леви-Чевиты. Не поговорили о ранге тензоров и операциях с ними, не разобрались до конца с правилами индексации компонент тензоров и о многом другом. Об этом будет написано несколько позднее, а пока - спасибо всем моим читателям за внимание. Добавить метки

Наименование дисциплины: Векторный и тензорный анализ

Направление подготовки: 011200 Физика

Профиль подготовки:

Квалификация (степень) выпускника: бакалавр

Форма обучения: очная

1.Целями освоения дисциплины «Векторный и тензорный анализ» являются:

дать базовые знания по векторному и тензорному анализу, необходимые для освоения последующих курсов; обучить студентов наиболее важным математическим методам физики, а также проиллюстрировать использование этих методов на примерах конкретных физических задач; закрепить и развить знания, умения и приемы, полученные при изучении математических курсов, на которые опирается данный курс; подготовить исходный уровень знаний и навыков, необходимых для дальнейшего обучения студентов.

2.Дисциплина «Векторный и тензорный анализ» относится к базовой части цикла Б2. (математический и естественно- научный цикл) .

Данный курс является промежуточным между традиционными курсами математики и теоретической физики. Для освоения курса необходимы умение вычислять производные функций одной и нескольких переменных, а также неопределенных и определенных интегралов (курс «Математического анализа»), владеть матричным аппаратом (курс «Линейная алгебра»), использовать геометрические методы (курс «Аналитическая геометрия»), и знание основ классической механики (курс «Механика»). Математический аппарат, излагаемый в рамках курса «Векторный и тензорный анализ», необходим для успешного освоения теоретических курсов физики: теоретическая механика, электродинамика, квантовая механика и статистическая физика.

3.В результате освоения дисциплины обучающийся должен:

определения градиента скалярного поля, дивергенции и ротора векторного поля;

дифференциальные операторы Набла и Лапласа в декартовой системе координат;

определения символ Кронекера и тензор Леви-Чевита, их основные свойства.

работать с векторами в декартовой и криволинейных ортогональных (сферической и цилиндрической) системах координат;

вычислять градиент скалярного поля, дивергенцию и ротор векторного поля;

выполнять простейшие операции над тензорами произвольного ранга;

применять теоремы Остроградского–Гаусса и Стокса при вычислениях интегралов по поверхности и по объему.

навыками вычислений геометрических характеристик линии в пространстве;

дифференцированием векторных функций одной переменной;

алгеброй тензоров;

преобразованием тензорных функций при вращении;

умением вычислять градиент скалярного поля, дивергенцию и ротор векторного поля в сферической и цилиндрической системах координат.

4.Общая трудоемкость дисциплины составляет 2 зачетные единицы, 72 часа.

6. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины

а) основная литература:

1.Нарынская Е.Н., Поваров А.В. Векторное и тензорное исчисление: учебное пособие. - Ярославль: ЯрГУ, 2005. - 96 с.

2.Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. - С.-Петербург: Лань, 2003. - 832 с.

3.Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Векторный анализ. Задачи и примеры с подробными решениями. - М.: Едиториал УРСС, 2002. - 144 с.

4.Акивис М.А., Гольдберг В.В. Тензорное исчисление. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 304 с.

5.Письменный Д.Т. Лекции по высшей математике. Часть 2. - М.: Аирф ПРЕСС, 2004.

б) дополнительная литература:

1.Тамм И.Е. Основы теории электричества. Приложение. - М.: Наука, 1989.

2.Шилов Г.Е. Лекции по векторному анализу. - М.: Наука, 1954.

3.Победря Б.Е. Лекции по тензорному анализу. - М.: Изд-во МГУ, 1986.

4.Поздняк Э.Г., Шикин Е.В. Дифференциальная геометрия: первое знакомство. - М.: Изд-во МГУ, 1990.

5.Коренев Г.В. Тензорное исчисление. - М.: Изд-во МФТИ, 1996.

6.Горшков А.Г., Рабинкий Л.Н., Тарлаковский Д.В. Основы тензорного анализа и механики сплошной среды: Учебник для вузов. - М.: Наука, 2000. - 214 с.

7.Григорьев А.И. и др. Тензорная алгебра в примерах и задачах: Учебное пособие. - Ярославль: ЯрГУ, 1999. - 50 с.

8.Борисенко А.И., Тарапов И.Е. Векторный анализ и начала тензорного исчисления. - М.: Высшая школа, 1966. - 252 с.

9.Борисенко А.И. Механика сплошной среды: В 3 ч. Ч.1: Векторный анализ и начала тензорного исчисления / Борисенко А.И., Тарапов И.Е. -Харьков: Золотые страницы, 2003. - 320 с.

Транскрипт

1 теоретической физики «Утверждаю» Декан физического факультета Ф. В. Титов 2012 г. Рабочая программа дисциплины Векторный и тензорный анализ для специальности Физика, ЕН.Ф.3.4 Курс: 1 Семестр: 2 Лекции: 16 час. Практические занятия: 18 час. Самостоятельная работа: 36 час. Всего: 70 час. Составитель: к.ф.-м.н., доц. КТФ КемГУ Кравченко Н.Г. Экзамен: 2 семестр Кемерово 2013

3 1. Пояснительная записка Рабочая программа составлена на основании типовой программы курса «Векторный и тензорный анализ» для специальности «Физика», направления «Физика», утвержденной УМС по физике УМО классических университетов (Москва, 2001г.) и полностью соответствует требованиям Государственного образовательного стандарта специальности «Физика» (направления «Физика»), утвержденного в 2000г. Актуальность и значимость курса. Элементы векторного и тензорного анализа широко применяется во всех разделах физики. Курс направлен на формирование представлений и навыков работы с математическими объектами тензорного характера, которые составляют основу инвариантного математического аппарата, широко используемого как в общей (электричество и магнетизм), так и в теоретической физике (теоретическая механика, электродинамика, основы механики сплошных сред, квантовая механика и т.д.). Данный курс является также основой для большинства курсов специальной подготовки. Цель и задачи изучения курса. Систематизировать полученные ранее знания из математического анализа и аналитической геометрии (понятия скаляра, вектора, переход от одной системы координат к другой, интегральные теоремы Гаусса-Остроградского и Стокса, понятие потока вектора и циркуляции векторного поля и т.д.); получить новые знания (понятие тензора, работа с индексами; умение работать в криволинейных координатах; дифференциальные операторы rot, dv и grad; обобщенные интегральные теоремы и т.д.); уметь применять индексные формы записи к решению прикладных задач (решение простейших задач электродинамики, теоретической механики и механики сплошных сред). Место дисциплины в профессиональной подготовке специалистов. Дисциплина входит в профессиональный цикл общих математических и естественнонаучных дисциплин (ЕН.Ф.3.4). Данная дисциплина логически и содержательно связана с такими дисциплинами и модулями ООП, как: «Аналитическая геометрия», «Линейная алгебра», «Математический анализ» и необходимо при изучении курса общей физики «Электричество и магнетизм», всех курсов теоретической физики. Структура учебной дисциплины. Данный курс состоит из двух частей: «Векторный анализ» и «Тензорный анализ». К вопросам, составляющим основное содержание курса, относятся: скалярные и векторные поля, теоремы Грина, Остроградского-Гаусса, Стокса, дифференциальные операторы градиент, дивергенция, ротор, оператор Лапласа, основные операции векторного анализа в криволинейных координатах, потенциальные и соленоидальные поля, полилинейные функции векторного

4 аргумента, преобразование координат тензора при изменении базиса линейного пространства. Особенности изучения дисциплины. Данный курс является частью большого раздела математики «Векторный и тензорный анализ», но рассчитан на студентов-физиков и на его изучение выделяется небольшое число часов. Поэтому из этого огромного раздела математики выбран тот материал, который необходим при изучении теоретических курсов физики. Исходя из уровня подготовки студентов, обучающихся на физическом факультете КемГУ, традиций преподавания данного курса в университете отсутствует раздел «Элементы теории групп». Это связано с выделением данного раздела в самостоятельные курсы «Теория групп» и «Теория симметрии». В то же время сделана попытка обратить внимание студентов на физическое содержание тензорного исчисления. Форма организации занятий по курсу. Организация занятий традиционная, по курсу «Векторный и тензорный анализ» в течение одного семестра читаются лекции и ведутся практические занятия. Однако занятия ведутся через неделю, что требует о студентов определенных усилий для успешной организации практических занятий и усвоения материала студентами. Взаимосвязь аудиторной и самостоятельной работы студентов. Аудиторные занятия, лекции и практика, предполагают самостоятельную работу студентов по данному курсу. На лекциях предлагается для самостоятельного изучения дополнительные темы, самостоятельное проведение некоторых вычислений. На практических занятиях даются домашние задания для самостоятельного решения задач и упражнений. Требования к уровню усвоения содержания курса. Свободно оперировать такими математическими понятиями как тензор, вектор и скаляр; ротор и дивергенция векторного поля, градиент скалярного поля. Владеть навыками работы в разных системах координат. Уметь применять знания тензорного и векторного анализа к физическим задачам. Объем и сроки изучения курса. Курс «Векторный и тензорный анализ» читается на первом курсе (2 семестр): лекции 1час в неделю (16 часов), практические занятия 1 час в неделю (18 часов), самостоятельная работа студентов (36 часов). Виды контроля знаний и их отчетности. Усвоение материала, излагаемого на лекциях, контролируется проведением пяти минутных «лекционных диктантов» по основным понятиям предыдущих лекций. Усвоение каждой пройденной темы на практическом занятии контролируется проведением пяти - семи минутной контрольной работы. В течение семестра проводится восемь контрольных работ и семь лекционных диктантов. Темы, выносимые на самостоятельное изучение, предполагают написание рефератов.

5 Критерии оценки знаний студентов по курсу. Для получения допуска к экзамену по курсу «Векторный и тензорный анализ» требуется посещение аудиторных занятий и выполнение контрольных заданий по практическому и теоретическому курсу. Система оценивания работы студентов бальная, до экзамена допускаются студенты, набравшие не менее 25% от максимально возможного балла. Оценка «хорошо» ставится при решении двух задач экзаменационного билета. Задача считается решенной, если дано ее полное, правильное, поэтапное решение с устным объяснением. Для получения оценки «отлично», кроме решения задачи, необходимо полно и с пониманием ответить на два теоретических вопроса билета. Экзамен проводится устно. 2. Тематический план. Объем часов Название и содержание разделов, тем, модулей Общий Аудиторная работа Лекции Практически е Лабораторн Самостоятельная работа Формы контроля Элементы векторной алгебры Лекционны й диктант, проверочна я работа 2 Тензорная алгебра Лекционны й диктант, проверочна я работа 3 Векторный анализ - основные определения 4 Интегральные теоремы векторного анализа, дифференциальные характеристики векторных полей Лекционны й диктант, проверочна я работа Лекционны й диктант, проверочна

6 я работа 5 Основные операции векторного дифференцирования 6 Формулы Грина и основная теорема векторного анализа Лекционны й диктант, проверочна я работа Лекционны й диктант 7 Криволинейные системы координат Реферат 8 Элементы теории групп Реферат Итого: Содержание дисциплины. Теоретический курс. Элементы векторной алгебры. Скаляры. Векторы - определение, правило сложения. Противоположный вектор. Нуль вектор. Проекция вектора на ось. Линейная зависимость векторов. Условие линейной независимости трех векторов. Разложение векторов. Векторный базис. Декартов базис. Скалярное, векторное, смешанное, двойное векторное произведение векторов - определение, вычисление в декартовой системе координат. Преобразование ортов двух ортогональных базисов. Ортогональные преобразования. Ортогональные матрицы. Тензорная алгебра. Общее определение тензора. Закон преобразования при ортогональных преобразованиях систем координат. Ковариантность тензорных уравнений. Примеры. Алгебра тензоров: сложение, умножение, свертка тензоров. Симметричные и антисимметричные тензоры. -символ Кронекера. Признак тензорности величины. Собственные и несобственные ортогональные преобразования. Псевдотензоры. Псевдотензор Леви-Чивиты. Векторный анализ - основные определения. Вектор-функция скалярного аргумента. Производная вектор-функции скалярного аргумента. Тензорное поле. Дифференцирование тензорного поля по координате. Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент. Векторное поле. Векторные линии. Уравнение векторных линий. Интегральные теоремы векторного анализа, дифференциальные характеристики векторных. Поток векторного поля. Теорема Остроградского-

7 Гаусса для векторных полей. Дивергенция векторного поля. Циркуляция векторного поля. Теорема Стокса для векторных полей. Ротор векторного поля. Основные операции векторного дифференцирования. Оператор Гамильтона (). Запись основных операций векторного дифференцирования в векторном виде с оператором и в декартовой системе координат. Запись основных операций векторного дифференцирования в тензорном виде. Векторные дифференциальные операции второго порядка. Оператор Лапласа. Формулы Грина и основная теорема векторного анализа. Следствия из интегральных теорем: 1-я и 2-я формулы Грина. Основная теорема векторного анализа - построение потенциального и соленоидального векторных полей. Криволинейные системы координат. Определение. Коэффициенты Ламэ. Локальный базис. Цилиндрическая, сферическая системы координат. Градиент, дивергенция, ротор, оператор Лапласа в криволинейных системах координат. Элементы теории групп. Абстрактные группы. Аксиомы теории групп. Подгруппа, сопряженные совокупности. Классы. Изоморфизм и гомоморфизм групп. Прямое произведение групп. Таблицы умножения групп. Практические занятия 1. Векторная алгебра (векторы, скаляры, основные операции с векторами: скалярное, векторное, смешанное произведение векторов). 2. Тензорная алгебра. -символ Кронекера, правило суммирования Эйнштейна, дифференцирование функций многих переменных с использованием индексных обозначений (j, x,) x 3. Тензорная алгебра. Тензоры: определение, закон преобразования (задачи на закон преобразования, инвариантные тензоры на примере -символа). Дополнительно: дифференцирование (занятие 2). 4. Тензорная алгебра. Псевдотензор Леви-Чивиты, четная и нечетная перестановки, запись векторных выражений в тензорном виде. 5. Векторный анализ. Градиент: определение (декартовая система координат). 1 Рассмотрение основных примеров: r, (a, r), (, a) r в декартовой системе r Бескоординатное дифференцирование ((r) r,) r 6. Векторный анализ. Дивергенция векторного поля: определение (декартовая система координат), физический смысл на примерах. Основные задачи dv r 3,

8 dv[ a, r] 0, векторные линии. Бескоординатное «векторное» дифференцирование с использование свойств дивергенции: (dv(A B) dva dvb, dv A dva (, A),) 7. Векторный анализ. Ротор векторного поля: определение (декартовая система), физический смысл на примерах. Основные задачи: rotr 0, rot[ a, r] 2a. Примеры на бескоординатное «векторное» дифференцирование с использованием свойств ротора (rot(A B) rota rotb, rot A rota [, A],). 8. Решение задач на векторное дифференцирование 1 9. Криволинейные системы координат. Рассмотрение основных примеров (r, r dvr r, dv, rotr) в цилиндрической и сферической системах координат. n r 4. Список основной учебной литературы 1. Гордиенко А.Б., Золотарев М.Л., Кравченко Н.Г. Основы векторного и тензорного анализа: учебное пособие. Томск: из-во ТГПУ, с. 2. Журавлев Ю.Н., Кравченко Н.Г. Введение в теорию симметрии: учебнометодическое пособие / ГОУ ВПО «Кемеровский государственный университет». Кемерово: Кузбассвузиздат, с. 3. Келлер И. Э. Тензорное исчисление. / Санкт-Петербург: Лань, 2012, 176 с. (доступ с 4. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: Учебник. В 3-х тт. Том 3. 9-е изд. / Санкт-Петербург: Лань, 2009, 656 с. (доступ с Дополнительная литература. 1. Гордиенко А.Б., Золотарев М.Л., Полыгалов Ю.И. Основы векторного и тензорного анализа. Ч.I. Векторная алгебра. Методические указания для самостоятельной работы студентов. Кемерово, КемГУ, Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Физматлит, 2003, т.3, 723 с. 3. Полыгалов Ю.И. Методические указания по курсу Основы векторного и тензорного анализа. Кемерово. Изд-во КемГУ, 1988, 82 с. 4. Гордиенко А.Б., Золотарев М.Л., Полыгалов Ю.И. Основы векторного и тензорного анализа. Ч.2. Основы векторного анализа. Методические указания для самостоятельной работы студентов. Кемерово, КемГУ, Формы текущего, промежуточного и рубежного контроля. А) Вопросы к экзамену 1. Скаляры. Векторы- определение, правило сложения. Противоположный вектор. Нуль вектор. Проекция на ось.

9 2. Линейная зависимость векторов. Условие линейной независимости трех векторов. Разложение векторов. Векторный базис. Декартовый базис. 3. Скалярное, векторное, смешанное, двойное векторное произведение векторов- определение, вычисление в декартовой системе координат. 4. Преобразование ортов двух ортогональных базисов. Ортогональные преобразования. Ортогональные матрицы. 5. Общее определение тензора. Закон преобразования при ортогональных преобразованиях систем координат. 6. Ковариантность тензорных уравнений. Примеры. 7. Алгебра тензоров: сложение и умножение тензоров. 8. Алгебра тензоров: свертка тензоров. 9. Симметричные и антисимметричные тензоры. -символ Кронекера (определение, закон преобразования, ранг). 10.Признак тензорности величины. 11.Собственные и несобственные ортогональные преобразования. Псевдотензоры. 12.Псевдотензор Леви-Чивиты. Запись векторного произведения в тензорном виде. 13.Вектор-функция скалярного аргумента. Производная. 14.Тензорное поле. Дифференцирование тензорного поля по координате. 15.Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент. 16.Векторное поле. Векторные линии. Уравнение векторных линий. 17.Поток векторного поля. 18.Теорема Остроградского-Гаусса для векторных полей (формулировка). Дивергенция векторного поля. 19.Циркуляция векторного поля. Теорема Стокса для векторных полей. Ротор векторного поля. 20.Запись основных операций векторного дифференцирования в векторном виде с оператором и в декартовой системе координат. 21.Запись основных операций векторной алгебры и вектоного дифференцирования в тензорном виде: A, B, A B, A, B, C, dva, rota. 22.Векторные дифференциальные операции второго порядка. 23.Следствия из интегральных теорем: первая формула Грина. 24.Следствия из интегральных теорем: вторая формула Грина. 25.Основная теорема векторного анализа. Построение соленоидального векторного поля. 26.Основная теорема векторного анализа. Построение потенциального векторного поля. 27.Криволинейные координаты. 28.Градиент скалярного поля в ортогональных криволинейных системах координат. 29.Дивергенция векторного поля в ортогональных криволинейных системах координат.

10 30.Ротор векторного поля в ортогональных криволинейных системах координат. 31.Оператор Лапласа в ортогональных криволинейных системах координат. 32.Аксиомы теории групп. 33.Подгруппа, сопряженные совокупности. Индекс подгруппы. 34.Классы. 35.Прямое произведение групп. Примерный список задач, выносимых на экзамен 1. Операции с векторами. 1.1 Вычислить [ A, B ] и A, B) для векторов: A 5 6 j 3 и A 1 1j A 5 4 j 3 и A 3 j Вычислить (C,[ A, B]) для векторов: (1) A 11 6 j 2, B 10 7 и C A j 2, B 10 7 и C 3 2 j 1.3 Показать прямым вычислением, что [ A,[ B, C]] [[ A, B], C] : (1) A 11 6 j 2, B 10 7 и C A j 2, B 10 7 и C 3 2 j 1.4 Показать прямым вычислением, что [ A,[ B, C]] B(A, C) C(A, B) : (1) A 11 6 j 2, B 10 7 и C 2 3 j A j, B 10 7 и C 2 j 1.5 Вычислить объем пирамиды ABCD, вершины которой имеют координаты: (2) A(1,-1,0), B(2,3,1), C(-1,1,1), D(4,3,-5) A(2,0,3), B(1,1,1), C(4,6,6), D(-1,2,3) 2. Просуммировать выражение с -символом: 2.1 Al m mj n 2.2 A B l lm l n mp 2.4 l lj j 2.4 Cm ml 2.27 j m jm m n jn n 2.28 n m nm mm m nn n mn 3. Записать закон преобразования и указать ранг величины: 3.1 TlmBmC 3.2 A B 3.3 A B 3.4 B nl

11 Al lm 3.6 B x x x 2 A x x m A x x m 2 Bm x x l 2 T x x l 3.8 B l 4. Продифференцировать: 2 x x 4.1 Cxx, T x x x j, j, j x x x j 4.2 xx x 4.6 A sn x x, 4.19 C x m tg (xm) 4.20 x m A m exp x 5. Вычислить, используя какой-либо из способов представление в декартовой системе координат, в тензорной или векторной форме: 5.1 rot[ r,[ a, r]] 5.2 (a, r) 5.3 dv[ a, r] (a, r) 5.5 grad 3 r 5.4 rot[ a, r] [ a, r] 5.6 rot 3 r 5.7 dv ar 5.8 rot ar 5.9 dv r ln 2 (a, r) 5.10 grad r ln 2 (a, r) ln(a, r) 5.12 (b,)[ a, r] 5.13 (r,)[ r, rb] 5.14 dv r ln r в) Примеры вопросов к лекционным «диктантам» 1. Дать определение -символа Кронекера 2. дать определение тензора n-го ранга 3. записать правило сложения тензоров 4. записать правило умножения тензоров 5. дать определение псевдотензора 6. дать определение псевдотензора Леви Чивиты. 7. указать, как меняется ранг тензора при его дифференцировании по скалярному аргументу 8. указать, как меняется ранг тензора при его дифференцировании по координатам радиус-вектора m

12 9. записать оператор в декартовой системе координат 10. дать определение потока векторного поля 11.физический смысл дивергенции 12.сформулировать теорему Стокса для векторных полей 13.физический смысл ротора 14.вычислить dv grad 15.вычислить dv rota 16.вычислить rot grad a, b, c 17.записать в тензорном виде г) Примерные темы рефератов. 1. Системы криволинейных координат. 2. Тороидальная система координат. Лапласиан скалярной функции. 3. Трёхмерные параболические координаты. Лапласиан скалярной функции. 4. Эллипсоидальные координаты. Лапласиан скалярной функции. 5. Параболоидальные координаты. Лапласиан скалярной функции. 6. Бицилиндрические координаты. Лапласиан скалярной функции. 7. Биполярные координаты. Лапласиан скалярной функции. 8. Параболические координаты. Лапласиан скалярной функции. 9. Конические координаты. Лапласиан скалярной функции. 10. Координаты эллиптического цилиндра. Лапласиан скалярной функции. 11. Координаты параболического цилиндра. Лапласиан скалярной функции. 12. Тороидальная система координат. Градиент скалярной функции. 13. Трёхмерные параболические координаты. Градиент скалярной функции. 14. Эллипсоидальные координаты. Градиент скалярной функции. 15. Параболоидальные координаты. Градиент скалярной функции. 16. Бицилиндрические координаты. Градиент скалярной функции. 17. Биполярные координаты. Градиент скалярной функции. 18. Параболические координаты. Градиент скалярной функции. 19. Конические координаты. Градиент скалярной функции. 20. Координаты эллиптического цилиндра. Лапласиан скалярной функции. 21. Координаты параболического цилиндра. Лапласиан скалярной функции. 22. Группа перестановок. 23. Группа Матье. 24. Преобразования пространства. 25. Точечные группы симметрии. 26. Приводимые и неприводимые представления 27. Умножение операций симметрии 28. Генераторы точечных групп.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Кемеровский государственный университет» Кафедра

I. Аннотация. Рабочая программа составлена на основании государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по курсу "Векторный и тензорный анализ" и учебного плана по специальности

Аннотация рабочей программы дисциплины (модуля) «Векторный и Тензорный анализ» по направлению 14.03.02 Ядерные физика и технологии (профиль Радиационная безопасность человека и окружающей среды) 1. Цели

Белорусский государственный университет ого факультета БГУ -;r.:~ат~~нi- В.М.Анищик ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО И ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА Учебная программа для специальности: 1-31 04 01 «Физика (по направлениям))) Факультет

2 СОСТАВИТЕЛИ: Н.Г. Абрашина-Жадаева - заведующая кафедрой высшей математики и математической физики Белорусского государственного университета, доктор физико-математических наук Российской Федерации,

1 Аннотация рабочей программы дисциплины Векторный и тензорный анализ (наименование дисциплины) Направление подготовки 03.03.02 физика Профиль подготовки «Фундаментальная физика», «Физика атомного ядра

Методические материалы рабочей программы дисциплины «Векторный и тензорный анализ» Направление подготовки (специальность) 14.03.02 «Ядерные физика и технологии» Направленность (профиль) образовательной

Рабочая программа дисциплины "Векторный и тензорный анализ" предназначена для студентов 2 курса 3 семестр по специальности: 010801.65 - РАДИОФИЗИКА И ЭЛЕКТРОНИКА

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московской области «Международный университет природы, общества и человека «Дубна» (университет «Дубна») Факультет естественных

Аннотация рабочей программы дисциплины Код дисциплины в учебном плане Название дисциплины Код и направление подготовки Профиль (и) подготовки 1. Цели и задачи дисциплины Б.Б.1.4 Векторный и тензорный анализ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Кемеровский государственный университет» Кафедра

1. Цели и задачи дисциплины: Цель: развитие логического мышления студентов, формирование общенаучных компетенций и навыков самостоятельного получения математических знаний, обучение основным математическим

8. ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). Общие сведения 1. Кафедра 2. Направление подготовки 3. Дисциплина (модуль) Информатики, вычислительной

1. Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине (модулю), соотнесенных с планируемыми результатами освоения образовательной программы Коды компетенций ОПК-2 Планируемые результаты освоения образовательной

3. Элементы тензорного анализа 3.1. Ковариантная производная Зададимся вопросом, как определить производные от вектора. Можно ли считать, что для вектора w w g справедливо: w w g? (3.1) Оказывается, что,

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Кемеровский государственный университет» Кафедра

МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Иркутский государственный университет» (ФГБОУ ВПО «ИГУ») Физический факультет

10201.65 Геофизические методы поисков и разведки месторождеий полезных 10202.65 Геофизические методы исследования скважин очная 1 2 1. Цели и задачи дисциплины: Целью преподавания теории поля для студентов

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Кемеровский государственный университет» Физический

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Кемеровский государственный университет» Кафедра

Направление: «Строительство» Вопросы и задачи к экзамену семестр. Матрицы: определение, виды. Действия с матрицами: транспонирование, сложение, умножение на число, умножение матриц. 2. Элементарные преобразования

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Кемеровский государственный университет» Кафедра

Федеральное агентство по рыболовству Камчатский государственный технический университет Факультет информационных технологий кафедра высшей математики "УТВЕРЖДАЮ" Декан ФЭУ Рычка И.А. " " 007г. РАБОЧАЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН Западно-Казахстанский государственный университет им.м.утемисова РАБОЧАЯ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА UT4305 Теория поля 050109 - Математика 2 кредита Уральск

Лекция 1 Глава V. Дифференциальное исчисление функций многих переменных (продолжение) 6. Теорема об обратной функции Замечание разрешимости системы линейных уравнений Ax = y, m = n, m > n, m < n. Теорема

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Кемеровский государственный университет» Новокузнецкий

3.2 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПРЕПОДАВАТЕЛЯМ К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ Семестр I Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. Практическое занятие 1 1. Цель: Рассмотреть задачи на вычисление определителей второго

Авторы: кандидат физико-математических наук, профессор А.А. Гусак; кандидат физико-математических наук, доцент Г.М. Гусак; доцент Е.А. Бричикова Научный редактор доктор физико-математических наук, профессор

Тензоры Тензоры объединяют целый ряд понятий, находящих применение в физике и математике, в частности, в аналитической геометрии Частными случаями тензоров являются векторы, линейные операторы, квадратичные

Содержание Используемые обозначения... 12 1. Числовые множества и операции с числами... 14 1.1. Числовые множества...............................14 1.2. Числовые промежутки...16 1.3. Признаки делимости...17

Трехмерная ортогональная группа 2 1 Рассмотрим весьма важный пример пространства R В заданной системе координат его точки отождествляются с их радиусами- векторами X, компоненты которых мы будем располагать

2 1. Цели и задачи дисциплины Математика является федеральной составляющей образовательного стандарта. Она является базовой дисциплиной, на которой основано изучение всех фундаментальных и технических

СЕМИНАРЫ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ 1 1 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ОПЕ- РАТОРЫ Аннотация Обсуждаются криволинейные системы координат. Вводятся касательные и единичные вектора

Предисловие Глава I. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ 1. Матрицы 1.1. Основные понятия 1.2. Действия над матрицами 2. Определители 2.1. Основные понятия 2.2. Свойства определителей 3. Невырожденные матрицы 3.1.

Билет 1. 1. Криволинейные координаты в R 3. Базис. Кобазис (взаимный базис). 2. Закон сохранения полной энергии ρ de dt + div q = P D, P D = 1 2 привести к дивергентному виду i,j p ji (v i x j + v j x

2 1. Цели и задачи дисциплины Дисциплина «Кратные интегралы и ряды» призвана расширить имеющиеся у студентов знания в области математического анализа. Эти знания необходимы как при проведении теоретических

Министерство образования Республики Беларусь Учебно-методическое объединение высших учебных заведений Республики Беларусь по педагогическому образованию МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Типовая учебная программа

1. Цели и задачи дисциплины Линейная алгебра часть алгебры, изучающая векторы, векторные или линейные пространства, линейные отображения и системы линейных уравнений. Векторные пространства встречаются

Программа дисциплины «Линейная алгебра» составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО к структуре и результатам освоения основных образовательных программ специалитета по профессиональному циклу по

Дисциплина: Математика Направление: педагогическое образование Квалификация (степень): бакалавр Объем трудоемкости 8 кредитов (288 часов, из них: 144 часа аудиторной нагрузки, 144 часа самостоятельной

«Управление в технических системах» семестр Очная форма обучения Бакалавры I курс, семестр Направление «Управление в технических системах» Дисциплина - «Математика» Содержание Содержание Балльно - рейтинговая

2 3 1.ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА В связи с возросшей ролью математики в современной науке и технике будущие экологи, инженеры нуждаются в серьезной математической подготовке. Изучение математики развивает логическое

Аннотация дисциплины «Аналитическая геометрия и линейная алгебра» Объем трудоемкости: 3 зачетных единицы (108 ч, из которых 73 ч- аудиторных занятий: 36 ч лекций, 36 ч практических занятий, 8 ч самостоятельной

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). 1. Кафедра Общие сведения 2. Направление подготовки 3. Дисциплина (модуль) 4. Количество этапов формирования

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное учреждение высшего профессионального образования "Казанский (Приволжский) федеральный университет" Институт

Содержание 1. Пояснительная записка... 3 2. Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине 4 3. Место дисциплины в структуре ООП.. 5 4. Объем дисциплины в зачетных единицах и академических часах

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие... 15 Глава I. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ 1. Матрицы... 16 1.1. Основные понятия... 16 1.2. Действия над матрицами... 17 2. Определители... 20 2.1. Основные понятия... 20 2.2. Свойства

ЛА Свиркина кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики, директор Центра дополнительных образовательных программ, Санкт-Петербургский государственный университет Методика преподавания

1 Аннотация рабочей программы дисциплины Математический практикум (наименование дисциплины) Направление подготовки 03.03.02 физика Профиль подготовки «Фундаментальная физика», «Физика атомного ядра и частиц»

АННОТАЦИЯ программы дисциплины Алгебра и аналитическая геометрия направления 01.03.02 Прикладная математика и информатика. 1. Цели освоения дисциплины Целями освоения дисциплины Алгебра и аналитическая

Место дисциплины в структуре образовательной программы Дисциплина «Алгебра и аналитическая геометрия» является дисциплиной модуля «Математика» Б1.Б.6 базовой части ОПОП по направлению подготовки 02.03.03

ПРИЛОЖЕНИЕ НЕКОТОРЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФОРМУЛЫ 1 ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА Вектором называется направленный прямолинейный отрезок Длину отрезка в установленном масштабе называют модулем вектора Векторы считаются

1. Целью изучения дисциплины является: подготовка высокопрофессионального специалиста владеющего математическими знаниями, умениями и навыками применять математику как инструмент логического анализа, численных

Þ.Ï. Ñàìàðèí, Ã.À. Ñàõàáèåâà, Â.À. Ñàõàáèåâ ÂÛÑØÀß ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ ДЛЯ ВУЗОВ Äîïóùåíî Ìèíèñòåðñòâîì îáðàçîâàíèÿ Ðîññèéñêîé Ôåäåðàöèè â êà åñòâå ó åáíîãî ïîñîáèÿ äëÿ ñòóäåíòîâ âûñøèõ ó åáíûõ çàâåäåíèé, îáó àþùèõñÿ

4. Субстанциональные производные по времени (Substantal tm dats) для тензора напряжений Субстанциональная или индивидуальная производная для скалярной или векторной функции, зависящей только от координат

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Механико-математический факультет

Билет 1 1. Определение векторной функции одной и многих переменных. 2. Инвариантное определение дивергенции векторного поля. Вычислить поверхностный интеграл 1-го рода: I = (x 2 + y 2) ds, где S граница

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего образования «Мурманский арктический государственный университет» в г. Апатиты РАБОЧАЯ

МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» (ФГБОУ ВПО «ВГУ») УТВЕРЖДАЮ Заведующий

Учреждение образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины» УТВЕРЖДАЮ Проректор по учебной работе УО «ГГУ им. Ф. Скорины» И.В. Семченко Регистрационный УД- /р. ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Министерство образования и науки РФ Федеральное государственное бюджетное общеобразовательное учреждение высшего профессионального образования «Кемеровский государственный университет» Кафедра дифференциальных

СОДЕРЖАНИЕ Предисловие........................................................... 5 1. Элементы линейной алгебры............................................ 6 ИДЗ 1. Определители..............................................

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН Западно-Казахстанский государственный университет им.м.утемисова РАБОЧАЯ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА Актуальные вопросы математического анализа 6М060100 Математика

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Кемеровский государственный университет» Математический

7. Ковариантная формулировка уравнений Максвелла и динамические уравнения для потенциалов. Динамические (дифференциальные) уравнения для потенциалов электромагнитного поля. Подставим определение потенциалов

Аннотация рабочей программы дисциплины «Алгебра и геометрия» направления подготовки 01.03.02. «Прикладная математика и информатика» по профилю «Математическое и информационное обеспечение экономической