Вычислить поверхностные интегралы первого рода. Поверхностные интегралы
Если при определении длины кривой она задавалась как предел вписанной в данную кривую ломаной при стремлении к нулю длины наибольшего ее отрезка, то попытка распространить это определение на площадь криволинейной поверхности может привести к противоречию (пример Шварца: можно рассмотреть последовательность вписанных в цилиндр многогранников, у которых наибольшее расстояние между точками какой-либо грани стремится к нулю, а площадь стремится к бесконечности). Поэтому определим площадь поверхности иным способом. Рассмотрим незамкнутую поверхность S, ограниченную контуром L, и разобьем ее какими-либо кривыми на части S1, S2,…, Sn. Выберем в каждой части точку Mi и спроектируем эту часть на касательную плоскость к поверхности, проходящую через эту точку. Получим в проек-ции плоскую фигуру с площадью Ti. Назовем ρ наибольшее расстояние между двумя точками любой части поверхности S.
Определение 12.1. Назовем площадью S поверхности предел суммы площадей Ti при
Поверхностный интеграл первого рода.
Рассмотрим некоторую поверхность S, ограниченную контуром L, и разобьем ее на части S1, S2,…, Sп (при этом площадь каждой части тоже обозначим Sп). Пусть в каждой точке этой поверхности задано значение функции f(x, y, z). Выберем в каждой части Si точку Mi (xi, yi, zi) и составим интегральную сумму
. (12.2)
Определение 12.2. Если существует конечный предел при интегральной суммы (12.2), не зависящий от способа разбиения поверхности на части и выбора точек Mi, то он называется поверхностным интегралом первого рода от функ-ции f(M) = f(x, y, z) по поверхности S и обозначается
Замечание. Поверхностный интеграл 1-го рода обладает обычными свойствами интегралов (линейность, суммирование интегралов от данной функции по отдельным частям рассматриваемой поверхности и т.д.).
Геометрический и физический смысл поверхностного интеграла 1-го рода.
Если подынтегральная функция f(M) ≡ 1, то из определения 12.2 следует, что равен площади рассматриваемой поверхности S.
Вычисление поверхностного интеграла 1-го рода.
Ограничимся случаем, когда поверхность S задается явным образом, то есть уравне-нием вида z = φ(x, y). При этом из определения площади поверхности следует, что
Si = , где Δσi - площадь проекции Si на плоскость Оху, а γi - угол между осью Oz и нормалью к поверхности S в точке Mi. Известно, что
,
где (xi, yi, zi) - координаты точки Mi. Cледовательно,
Подставляя это выражение в формулу (12.2), получим, что
,
где суммирование справа проводится по области Ω плоскости Оху, являющейся проекцией на эту плоскость поверхности S (рис.1).
При этом в правой части получена интегральная сумма для функции двух переменных по плоской области, которая в пределе при дает двойной интеграл Таким образом, получена формула, позволяющая свести вычисление поверхностного интеграла 1-го рода к вычислению двойного интеграла.
На случаи, когда интегрирование происходит не по отрезку кривой, а по ограниченной поверхности. Как и криволинейные интегралы, поверхностные интегралы бывают первого рода и второго рода.
Поверхностный интеграл первого рода записывается в виде
где f (M ) = f (x,y,z ) – функция трёх переменных, а поверхность σ - область интегрирования этой функции. Если f (x,y,z ) равна единице, то поверхностный интеграл равен площади поверхности.
Представьте себе довольно большой подсолнух с очень-очень маленькими семечками. Тогда по сумме поверхностей очень-очень маленьких семечек, расположенных на поверхности подсолнуха, можно вычислить поверхность подсолнуха - таким может быть упрощённое толкование поверхностного интеграла. Почему так?
Давайте перейдём к более формальному определению поверхностного интеграла. Поверхность σ разбита на n частей с площадями Δσ 1 , Δσ 2 , ..., Δσ n . Если выбрать на каждой частичной поверхности (семечке) произвольную точку M i с координатами (ζ i , η i , ς i ,) , то можно составить сумму
Эта сумма называется интегральной суммой для функции f (M ) по поверхности σ . Теперь будем максимально увеличивать число таких маленьких частей, а наибольший диаметр Δσ i - наоборот, уменьшать. Если интегральная сумма при стремлении наибольшего из диаметров частей к нулю (то есть, как мы уже отмечали, все части очень маленькие) имеет предел, то этот предел и называется поверхностным интегралом первого рода от функции f (M ) по поверхности σ .
Вычисление поверхностного интеграла первого рода
Пусть поверхность σ задана уравнением z = z (x , y ) , её проекцией на плоскость xOy является область D xy , при этом функция z = z (x , y ) и её частные производные и непрерывны в области D xy .
Пример 1.
где σ - часть плоскости в первом октанте.
Решение. Чертёж:
Из уравнения плоскости получаем выражение "зет": .
Тогда частные производные: , и
.
Поверхность σ является изображённым на чертеже треугольником ABC , а его проекцией на плоскость xOy - треугольником AOB , который ограничен прямыми x = 0 , y = 0 и 3x + y = 6 . От поверхностного интеграла перейдём к двойному интегралу и решим его:
.
Понятие поверхностного интеграла второго рода
Прежде чем перейти к определению поверхностного интеграла второго рода, требуется познакомиться с понятиями стороны поверхностей и ориентированных поверхностей.
Пусть в пространстве дана гладкая поверхность σ . На этой поверхности выберем произвольную точку M и проведём через неё вектор нормали к поверхности. Через точку M проведём также на поверхности σ произвольный контур, не имеющий общих точек с границей поверхности σ . Точку M вместе с вектором нормали будем перемещать по контуру так, чтобы вектор нормали постоянно был перпендикулярен поверхности σ . По возвращении точки M в начальное положение возможны два случая: направление вектора нормали сохранится или же поменяется на противоположное.
Если направление вектора нормали не поменяется, то поверхность σ называется двусторонней. Если же при обходе контура направление вектора нормали поменяется на противоположное, то поверхность называется односторонней. Двусторонние поверхности называются ориентированными поверхностями, односторонние - неориентированными поверхностями.
Пример односторонней поверхности - лист Мёбиуса (на рисунке выше), который можно сделать из полоски бумаги, одна сторона которой повёрнута на 180 градусов, и затем концы склеены. И вот что здесь важно: для односторонней поверхности понятие поверхностного интеграла второго рода не вводится .
Так что будем рассматривать только двусторонние поверхности. Примеры двусторонних поверхностей - плоскости, сфера, эллипсоил, параболоид.
Положительную сторону двустороней поверхности определяет направление вектора нормали. Противоположная сторона поверхности называется отрицательной. Положительной стороной поверхности называется её верхняя сторона. Если единичные векторы нормали составляют острые углы с осью Oz , то выбрана верхняя сторона поверхности z = z (x , y ) , если углы тупые, то нижняя сторона поверхности.
Как и в случае поверхностного интеграла первого рода, поверхность можно разбить на n частей. При формулировке понятия поверхностного интеграла первого рода в интегральной сумме присутствовали площади каждой из частей, на которые умножаются значения функции f (M i ) . В случае поверхностного интеграла второго рода берутся площади не самих частей, а площади их проекций на координатные плоскости . А функцию трёх переменных для отличия от интеграла первого рода обозначим R (x ,y ,z ) . Тогда интегральная сумма запишется так:
,
где Δs i - площади упомянутых проекций частей стороны поверхности на координатную ось (пока будем считать, что на ось xOy ).
При таких соглашениях и обозначениях определение поверхностного интеграла второго рода аналогично определению интеграла первого рода. А именно: поверхностным интегралом второго рода называется предел данной интегральной суммы при стремлении к нулю наибольшего из диаметров частей рассматриваемой поверхности.
Записывается он так:
.
В данном случае функция R (x ,y ,z ) интегрируема по переменным x и y , так как части поверхности проецировались на плоскость xOy .
Аналогично можно записать и два других поверхностных интеграла второго рода:
(функция P (x ,y ,z ) интегрируема по переменным y и z yOz ),
(функция Q (x ,y ,z ) интегрируема по переменным z и x , так как части поверхности проецируются на плоскость zOx ).
Сумма этих интегралов
называется общим поверхностным интегралом второго рода и обозначается
Вычисление поверхностного интеграла второго рода
Поверхностный интеграл второго рода вычисляется путём разложения общего поверхностного интеграла второго рода на сумму поверхностных интегралов (см. окончание предыдущего параграфа) и сведением каждого из них к двойному интегралу.
Рассмотрим подробно вычисление интеграла
.
Пусть поверхность σ задана уравнением z = z (x , y ) . Положительную сторону поверхности обозначим , отрицателную , а проекцию на плоскость xOy - D xy .
Таким образом, получаем формулу для вычисления поверхностного интеграла второго рода:
Если выбрана отрицательная сторона поверхности, то знак интеграла меняется:
Аналогично вычисляются два других отдельных интеграла - слагаемых общего:
Пример 2.
,
где σ - верхняя сторона части плоскости , отсечённая плоскостями y = 0 и y = 4 и находящаяся в первом октанте.
Решение. Чертёж - на рисунке сверху. По определению получаем сумму трёх двойных интегралов:
Второй интеграл равен нулю, так как плоскость σ параллельна оси Oy . Поэтому найдём первый и третий интегралы:
Остаётся лишь сложить все отдельные интегралы и получить общий поверхностный интеграл второго рода:
.
Если требуется вычислить поверхностный интеграл второго рода по замкнутой поверхности, можно перейти к тройному интегралу , используя формулу Остроградского. Тогда, если функции P (x,y,z ) , Q (x,y,z ) и R (x,y,z ) и их частные производные , , - непрерывные функции в области W , которую ограничивает замкнутая поверхность σ , то при интегрировании по внешней стороне поверхности в силе равенство
Пример 3. Вычислить поверхностный интеграл второго рода
,
где σ - внешняя сторона поверхности конуса, образованного поверхностью и плоскостью z = 2 .
Решение. Данная поверхность является поверхностью конуса с радиусом R = 2 и высотой h = 2 . Это замкнутая поверхность, поэтому можно использовать формулу Остроградского. Так как P = 3x , Q = 4y , R = −z , то частные производные , , .
Переходим к тройному интегралу, который и решаем:
Больше примеров на вычисление поверхностных интегралов
Пример 4. Вычислить поверхностный интеграл первого рода
где σ - боковая поверхность конуса при .
Решение. Так как частные производные , , то
Сводим данный поверхностный интеграл к двойному:
Проекцией поверхности на плоскость xOy является круг с центром в начале координат и радиусом R = 2 , поэтому при вычислении двойного интеграла перейдём к полярной системе координат. Для этого сделаем замену переменных:
Получаем следующий интеграл, который окончательно и решаем:
Пример 5. Вычислить поверхностный интеграл второго рода
,
где σ - верхняя часть треугольника, образованного пересечением плоскости с координатными плоскостями.
Решение. Данный поверхностный интеграл разделим на сумму двух интегралов
, где
.
Чтобы вычислить интеграл I 1 σ на плоскость yOz . Проекцией является треугольник OCB , который на плоскости yOz ограничивают прямые или , y = 0 и z = 0 . Из уравнения плоскости выводится . Поэтому можем вычислить интеграл I 1 :
Чтобы вычислить интеграл I 2 , построим проекцию поверхности σ на плоскость zOx . Проекцией является треугольник AOC , который ограничивают прямые или , x = 0 и z = 0 . Вычисляем:
Складываем два полученных интеграла и окончательно получаем данный поверхностный интеграл:
.
Пример 6. Вычислить поверхностный интеграл второго рода
,
где σ - внешняя поверхность пирамиды, образованной плоскостью и координатными плоскостями.
Пример 3.3. Вычислить работу векторного поля
a = 2x 2 yi – xy 2 j
от начала координат O до точки A(1;1), если движение происходит вдоль: а) отрезка прямой ; б) дуги параболы ; в) ломаной OBA, где B(1;0) (см. рис. 3.1).
Решение . а) Уравнение прямой OA имеет вид y=x . Пусть x=t , тогда уравнение прямой в параметрическом виде примет вид:
x=t, y=t,
причем при движении от A до B параметр t будет меняться от 0 до 1. Тогда совершенная работа будет равна
б) Пусть x=t 2 , y=t , тогда
x=t 2 , y=t, 0£t £1.
.
в) Уравнение прямой (OB) имеет вид y =0 (0£x £1); уравнение прямой (BA) имеет вид x =1 (0£y £1). Тогда
, .
В результате, получаем,
.
Замечание . Если в случае двухмерных полей уравнение линии описывается уравнением y =y (x ), а переменная x изменяется от a до b , то криволинейный интеграл 2-го будет вычисляться по формуле:
. (3.9)
Предыдущий пример можно было бы решить и при помощи этой формулы, не вводя параметр t .
Пример 3.4. Вычислить интеграл
,
где L – дуга параболы y=x 2 +1 от точки A(0;1) до точки B(2;5).
Решение . Сделаем чертеж (см. рис.3.2). Из уравнения параболы получаем y"=2x . Поскольку на дуге параболы AB переменная x изменяется от 0 до 2, то криволинейный интеграл, в соответствии с формулой (3.9), примет вид
4. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
4.1. Поверхностные интегралы первого рода
Поверхностный интеграл 1-го рода является обобщением двойного интеграла и вводится аналогичным образом. Рассмотрим некоторую поверхность S , гладкую или кусочно-гладкую, и предположим, что функция f(x,y,z ) определена и ограничена на этой поверхности. Разобьем эту поверхность на n произвольных частей. Площадь каждого участка обозначим через Ds i . На каждом участке выберем какую-либо точку с координатами (x i ,y i ,z i ) и вычислим значение функции в каждой такой точке. После этого составим интегральную сумму:
.
Если существует предел интегральных сумм при n ®¥ (при этом max Ds i ®0), т.е. такой предел не зависит ни от способа разбиения, ни от выбора средних точек, то такой предел называется поверхностным интегралом первого рода :
. (4.1)
Если функция f(x,y,z ) непрерывна на поверхности S , то предел (4.1) существует.
Если подынтегральная функция f(x,y,z )º1, то поверхностный интеграл 1-го рода равен площади поверхности S :
. (4.2)
Допустим, что введена декартова система координат, и любая прямая, параллельная оси Oz, может пересекать поверхность S лишь в одной точке. Тогда уравнение поверхности S можно записать в виде
z = z (x,y )
и она однозначно проецируется на плоскость xOy . В результате поверхностный интеграл 1-го рода можно выразить через двойной интеграл
. (4.3)
Пример 4.1. Вычислить интеграл
,
где S – часть конической поверхности z 2 =x 2 +y 2 , 0£z £1.
Решение. Имеем
Тогда искомый интеграл преобразуется в двойной интеграл
где S xy – круг x 2 +y 2 £1. Поэтому
.
4.2. Поверхностные интегралы второго рода
Пусть в некоторой области задано векторное поле
a = a x i + a y j + a z k
и какая-либо двухсторонняя поверхность S . Разобьем поверхность каким-либо способом на элементарные площадки DS i . На каждой площадке выберем произвольную точку P i и составим интегральную сумму:
, (4.4)
где n (P i ) – вектор нормали к заданной поверхности в точке P i . Если существует предел такой суммы при DS i ®0, то этот предел называется поверхностным интегралом 2-го рода (или потоком векторного поля a через поверхность S ) и обозначается символом
или ,
где ds =n ds .
Поскольку единичный вектор нормали имеет своими координатами направляющиеся косинусы n ={cosa, cosb, cosg}. то
Таким образом, вычисление поверхностных интегралов 2-го рода можно свести к вычислению поверхностных интегралов 1-го рода. Однако, что в отличие от поверхностных интегралов 1-го рода интегралы 2-го рода зависят от выбора стороны поверхности. Переход к другой стороне поверхности меняет направление нормали к поверхности, а соответственно и знак интеграла .
Рассмотрим интеграл
.
Пусть уравнение поверхности имеет вид z =j(x,y ) и положительной стороной этой поверхности будем считать ту, нормаль которой образует с осью Oz острый угол. Тогда
cosgds = dxdy.
Поэтому рассматриваемый интеграл можно записать в виде
.
Заменяя z на j(x,y ), придем к двойному интегралу
,
где S xy – проекция поверхности S на плоскость xOy .
Рассмотрим интегралы от функций, заданных на поверхностях, так называемые поверхностные интегралы.Теория поверхностных интегралов во многом аналогична теории криволинейных интегралов. Различают поверхностные интегралы первого и
второго рода.
4.1. Поверхностные интегралы первого типа. Пусть функция f (x , y , z )
определена на кусочно-гладкой поверхностиS , ограниченной кусочногладким контуром (рис. 4.1). Разобьем
соответственно ∆ s 1 , ∆ s 2 ..., ∆ s n . Взяв в пределах каждой частиS i , i = 1, n произвольную точкуM i (x i , y i , z i ) , вычислим значение функции в ней и составим следующую сумму:
σ n= ∑ f (x i, y i, z i) ∆ s i | |||||
i= 1 | для функции f (x , y , z ) по |
||||
которая называется интегральной | |||||
поверхности S . | |||||
Конечный предел I этой | при стремлении | ||||
наибольшего λ из диаметров всех частичных поверхностейS i | |||||
1, n |
если он существует и не зависит ни от способа разбиения поверхности на частичные, ни от выбора точек, то он называется поверхностным интегралом первого типа (по площади поверхности) от функции
f (x , y , z ) по поверхностиS и обозначается символом | ∫∫ f(x, y, z) ds. |
|
Значит, по определению | ||
= ∫∫ f(x, y, z) ds. | ||
I = lim ∑ f(xi , yi , zi ) ∆ si | ||
λ → 0i = 1 |
Поверхностный интеграл первого типа представляет собой обобщение двойного интеграла, поэтому условия существования двойного интеграла и его свойства легко переносятся на поверхностный интеграл первого типа.
Вычисление поверхностных интегралов первого типа сводится к вычислению двойных интегралов: исходя из уравнения поверхности S ,
подынтегральное выраражение преобразуется к двум переменным, областью изменения которых будет проекция поверхности S на соответствующую этим переменным координатную плоскость.
Пусть поверхность S задана уравнениемz = z (x , y ) иz (x , y ) непрерывна вместе со своими частными производнымиz ′ x , z ′ y в замкнутой областиS xy , являющейся проекцией поверхностиS на координатную плоскостьxOy , тогда
∫∫ f(x, y, z) ds= ∫∫ f(x, y, z(x, y)) 1 + (z′ x ) 2 + (z′ y ) dxdy. | ||
S xy |
Эта формула выражает поверхностный интеграл первого типа через двойной интеграл по проекции поверхности S на координатную плоскостьxOy .
Аналогично вычисляются поверхностные интегралы первого типа по поверхности S через двойные интегралы по ее проекциям на
координатные плоскости xOz иyOz соответственно: | |||
∫∫ f (x ,y ,z )ds = ∫∫ f (x ,y (x ,z ),z ) | 1+ (y ′ x )2 + (y ′ z )dxdz , | ||
S xz | |||
∫∫ f (x, y,z)ds= ∫∫ f (x(y,z), y,z) | 1 + (x′ y )2 + (x′ z )dydz. | ||
S yz |
С помощью поверхностных интегралов первого типа можно вычислить площадь поверхности, а также массу, статические моменты, моменты инерции и координаты центра масс для материальных поверхностей с известной поверхностной плотностью распределения масс.
Пример 4.1. Вычислить
∫∫ 1 + 4 x 2 + 4 y 2 ds , гдеS - часть парабо-
лоида вращения z = 1 − x 2 − y 2 , отсеченного плоскостьюz = 0 .
Решение. Спроектируем поверхность
S на плоскостьxOy .
Проекция S xy - есть круг, ограниченный окружностьюx 2 + y 2 = 1 (рис.
4.2). Заданный поверхностный интеграл будем вычислять по формуле (4.2), для чего найдем z ′ x = − 2 x , z ′ y = − 2 y . Тогда, совершая в двойном
интеграле | к полярным | координатам, | S xy есть круг, |
||||||||
1 +4 x 2 +4 y 2 ds =∫∫ | 1+ 4x 2 + 4y 2 | 1 + 4 x2 + 4 y2 dxdy= |
|||||||||
S xy | |||||||||||
= ∫∫ (1 +4 x 2 +4 y 2 ) dxdy = | |||||||||||
S xy | |||||||||||
= ∫ d ϕ ∫ (1 +4 ρ 2 ) ρ d ρ =∫ | + ρ 4 ) | d ϕ= | ∫d ϕ . |
||||||||
4.2. Двусторонние поверхности. Поверхность S называется
двусторонней , если обход по любому замкнутому контуру, лежащему на поверхностиS и не пересекающему ее границ, при возвращении в исходную точку не меняет направление нормали к поверхности. В противном случае поверхность называется односторонней. Примеры двусторонних поверхностей: плоскость, сфера и любая поверхность, заданная уравнениемz = z (x , y ) , гдеz = z (x , y ) ,z ′ x (x , y ) ,z ′ y (x , y ) - непрерывны в некоторой областиG . Примером односторонней поверхности является лист Мёбиуса.
4.3. Поверхностный интеграл второго типа. Пусть S - гладкая поверхность, заданная уравнением z = z (x , y ) и функция f (x , y , z )
определена в точках поверхности S.
Выберем одну из сторон поверхности, то есть одно из двух возможных направлений нормали в точках поверхности (этим мы сориентировали поверхность). Если нормали составляют острые углы с
осью Oz , то будем говорить о верхней стороне поверхности(о положительном направлении нормали), а если нормали составляют – тупые углыс осью Oz , то говорим о нижней стороне поверхности (об отрицательном направлении нормали).
Разобьем поверхность S произвольным образом наn частейS 1 , S 2 ..., S n , и через(S xy ) i обозначим проекцию i -ой части поверхности
на плоскость xOy . В пределах каждой частичной поверхностиS i , i = 1, n выберем произвольную точкуM i (x i , y i , z i ) , вычислим значение функции
в ней и составим сумму
σ n= ∑ f (x i, y i, z i) ∆ s i, i = 1
где ∆ s i - площадь(S xy ) i , взятая со знаком плюс, если выбрана верхняя сторона поверхностиS и со знаком минус, если выбрана нижняя сторона
поверхности S . Эта суммаσ n называетсяинтегральной суммой для функцииf (x , y , z ) .
Конечный предел I интегральной суммы, при стремлении к нулю наибольшегоλ из всех диаметров проекций(S xy ) i , если он существует и
не зависит ни от способа разбиения поверхности S , ни от выбора точек
M i (x i , y i , z i ) , то этот предел называетсяповерхностным интегралом второго типа от функции f (x , y , z ) по выбранной стороне поверхности по переменным x и y и обозначается∫∫ f (x , y , z ) dxdy . Таким образом, по
определению
поверхности S по переменнымx иy .
Аналогично можно определить поверхностные интегралы второго типа по выбранной стороне поверхности S по переменнымy иz , по переменнымx иz :
∫∫ f(x, y, z) dydz, | ∫∫ f(x, y, z) dxdz. |
Пусть P (x , y , z ), Q (x , y , z ), R (x , y , z ) функции, интегрируемые по
поверхности S по переменнымy иz ,x иz , x иy соответственно. Сумма интегралов
∫∫ P(x, y, z) dydz, | ∫∫ Q(x, y, z) dxdz, | ∫∫ R(x, y, z) dxdy | |
называется общим интегралом второго типаи обозначается | |||
∫∫ P(x, y, z) dydz+ Q(x, y, z) dxdz+ R(x, y, z) dxdy. | |||
Так как поверхность S считаем двусторонней и интеграл распространяется на определенную ее сторону, топри изменении стороны поверхности интегрирования поверхностный интеграл второго типа меняет знак на противоположный – в этом его отличие от поверхностного интеграла первого типа.
Вычисление поверхностных интегралов второго типа сводится к вычислению двойных интегралов.
Пусть ориентированная (выберем верхнюю сторону) гладкая поверхность S задана уравнениемz = z (x , y ) , гдеz (x , y ) непрерывна в
замкнутой области S xy - проекции поверхностиS на плоскостьxOy ; функцияf (x , y , z ) непрерывна наS . Тогда справедлива формула
∫∫ f(x, y, z) dxdy= ∫∫ f(x, y, z(x, y)) dxdy, | ||||
S xy | ||||
выражающая поверхностный интеграл второго типа по переменным x и | ||||
через двойной. Если выбрать нижнюю сторону поверхности S , то перед |
||||
интегралом в правой части появится знак минус. | ||||
Аналогично справедливы формулы | ||||
∫∫ f(x, y, z) dydz= ∫∫ f(x(y, z), y, z) dydz, | ||||
S yz | ||||
∫∫ f(x, y, z) dxdz= ∫∫ f(x, y(x, z), z) dxdz, | ||||
S xz | ||||
где поверхность S | соответственно уравнениями | x = x(y, z) | ||
y = y(x, z) а Syz | и S xz - | проекции поверхности S соответствено |
плоскости yOz иxOz .
Для вычисления интеграла общего вида (4.6) используются формулы (4.7)–(4.9), если поверхностьS однозначно проектируется на все
координатные плоскости. В более сложных случаях поверхность S разбивают на части, обладающие указанными свойствами, а общий интеграл представляют в виде интегралов по этим частям.
Пример 4.2.Вычислить
∫∫ (y 2 + z 2 ) dxdy , гдеS верхняя сторона
поверхности z = | 1 − x 2 | Отсекаемая плос- |
||||||||
костями y = 0, y = 1. | ||||||||||
Решение. Уравнениемx 2 + z 2 = 1 - |
||||||||||
задается круговой цилиндр с образующей, |
||||||||||
параллельной оси Oy , а плоскостиy = 0 и |
||||||||||
y = 1 | параллельны | координатной |
||||||||
плоскости xOz (рис. | Проекцией |
|||||||||
поверхности S на плоскостьxOy является |
||||||||||
прямоугольник S xy , определяемый неравенствами− 1 ≤ x ≤ 1, | 0 ≤ y ≤ 1. |
|||||||||
Тогда по формуле (4.7) имеем | ||||||||||
∫∫ (y2 + z2 ) dxdy= ∫∫ (y2 + (1 − x2 )) dxdy= ∫ dx∫ (y2 − x2 + 1) dy= |
||||||||||
S xy | −1 | |||||||||
+ (1− x 2 )y ) | ||||||||||
= ∫ dx ( | ||||||||||
−1 | ||||||||||
− x2 ) dx | ||||||||||||||||||||||||||||||
= ∫ ( | ||||||||||||||||||||||||||||||
−1 | −1 | |||||||||||||||||||||||||||||
Пример 4.3. Вычислить | ||||||||||||||||||||||||||||||
∫∫ xdydz+ ydxdz+ zdxdy, где S– верхняя | ||||||||||||||||||||||||||||||
сторона части плоскости x + z − 1 = 0 | ||||||||||||||||||||||||||||||
отсеченная плоскостями y = 0, y = 4 и | ||||||||||||||||||||||||||||||
расположенная в первом октанте (рис. 4.4). | ||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. Проекция поверхностиS на | ||||||||||||||||||||||||||||||
плоскость xOy есть прямоугольникS xy , | ||||||||||||||||||||||||||||||
определяемый неравенствами 0 ≤ x ≤ 1, | ||||||||||||||||||||||||||||||
0 ≤ y ≤ 4 . Проекция поверхностиS на | ||||||||||||||||||||||||||||||
плоскость yOz есть прямоугольник | S yz , определяемый неравенствами |
|||||||||||||||||||||||||||||
0 ≤ z ≤ 1 ,0 ≤ y ≤ 4 . Так как плоскостьS перпендикулярна плоскости |
||||||||||||||||||||||||||||||
xOz , то∫∫ ydxdz = 0. Тогда по формулам (4.7) и (4.9) имеем |
||||||||||||||||||||||||||||||
∫∫ xdydz+ ydxdz+ zdxdy= ∫∫ (1 − z) dydz+ |
||||||||||||||||||||||||||||||
S yz | ||||||||||||||||||||||||||||||
+ ∫∫ (1 − x) dxdy= ∫ dy∫ (1 − z) dz+ ∫ dy∫ (1 − x) dx= |
||||||||||||||||||||||||||||||
S xy | ||||||||||||||||||||||||||||||
− z ) | (1− x ) | |||||||||||||||||||||||||||||
2 ∫ | dy = 4. |
|||||||||||||||||||||||||||||
= ∫ dy − | + ∫ dy − | |||||||||||||||||||||||||||||
4.4. Формула Остроградского. Формула Остроградского устанавливает связь между поверхностным интегралом по замкнутой поверхности и тройным интегралом по пространственной области, ограниченной этой поверхностью .
Пусть V - правильная замкнутая область, ограниченная поверхностьюS , и пусть функцииP (x , y , z ), Q (x , y , z ), R (x , y , z )
непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка в данной области. Тогда имеет место следующая формула:
∫∫∫( | ∂P | ∂Q | ∂ R ) dxdydz= ∫∫ Pdydz+ Qdxdz+ Rdxdy, (4.10) |
|||
∂x | ∂y | ∂z | ||||
называемая формулой Остроградского1 .
С помощью формулы Остроградского удобно вычислять поверхностные интегралы по замкнутым поверхностям.
Пример 4.4. С помощью формулы Остроградского вычислить
∫∫ xdydz+ ydxdz+ zdxdy, | где S | ||||||||||||||||||||||||||
сторона пирамиды, | ограниченной | плоскостями | |||||||||||||||||||||||||
x + y+ z= 1, | x = 0,y = 0, | z = 0 (рис. 4.5). | |||||||||||||||||||||||||
Согласно | |||||||||||||||||||||||||||
Остроградского: | |||||||||||||||||||||||||||
P (x ,y ,z )= x ,Q (x ,y ,z )= y ,R (x ,y ,z )= z . | |||||||||||||||||||||||||||
Тогда: ∂ P + | ∂ Q + | ∂R | = 1+ 1+ 1= 3,и находим | ||||||||||||||||||||||||
∂x | ∂y | ∂z | |||||||||||||||||||||||||
1− x | 1 −x −y | ||||||||||||||||||||||||||
∫∫ xdydz+ ydxdz+ zdxdy= 3 ∫∫∫ dxdydz= 3 ∫ dx∫ dy | ∫ dz= | ||||||||||||||||||||||||||
1− x | 1 −x −y | 1− x | |||||||||||||||||||||||||
= 3 ∫ dx∫ dy∫ dz= 3 ∫ dx∫ (1 − x− y) dy= | |||||||||||||||||||||||||||
y2 | 1− x | ||||||||||||||||||||||||||
3 ∫ dx(y− xy− | |||||||||||||||||||||||||||
−2 x +1 | 3 (x − 1) | ||||||||||||||||||||||||||
= 3 ∫ (1 −x −x +x 2 − | ) dx= | ∫ (x− 1) 2 dx= | |||||||||||||||||||||||||
Замечание 4.1. Связь между поверхностными интегралами первого и второго типов аналогична связи криволинейных интегралов:
∫∫ f(x, y, z) dxdy= ∫∫ f(x, y, z) cos α ds,
∫∫ f(x, y, z) dydz= ∫∫ f(x, y, z) cos β ds,
∫∫ f(x, y, z) dxdz= ∫∫ f(x, y, z) cos γ ds,
где cos α ,cos β ,cos γ - направляющие косинусы нормали, отвечающей
выбранной стороне поверхности. ,y ) | непрерывные в области S xy – проекции поверхностиS |
||||||||||||||||||||||
на плоскость xOy ;L | – контур, | ограничивающий | поверхность | S; l– |
|||||||||||||||||||
проекция пространственной линии L на плоскость | xOy , | являющаяся |
|||||||||||||||||||||
конуром, ограничивающим область D . Выберем верхнюю сторону |
|||||||||||||||||||||||
поверхности S . Если функцииP (x , y , z ), Q (x , y , z ), R (x , y , z ) | непрерывны |
||||||||||||||||||||||
вместе со своими частными производными первого порядка на |
|||||||||||||||||||||||
поверхности S , то имеет место следующая формула: | |||||||||||||||||||||||
∫ Pdx+ Qdy+ Rdz= | |||||||||||||||||||||||
= ∫∫ | (∂ Q | ∂ P ) dxdy+ ( | ∂R | ∂ Q ) dydz+ (∂ P | ∂ R ) dxdz | ||||||||||||||||||
∂x | ∂y | ∂y | ∂z | ∂z | ∂x | ||||||||||||||||||
(L – обходится в положительном направлении), | называемая формулой |
||||||||||||||||||||||
Если в качестве поверхности S взять областьD на плоскостиxOy |
|||||||||||||||||||||||
(z = 0 ), то из (4.11) получится формула Грина | ∂Q | ∂ P ) dxdy. | |||||||||||||||||||||
∫ P(x, y) dx+ Q(x, y) dy= ∫∫ ( | |||||||||||||||||||||||
∂x | ∂y | ||||||||||||||||||||||
Таким образом, формула Грина есть частный случай формулы Стокса. |
|||||||||||||||||||||||
Заметим, что поверхностный интеграл второго типа в формуле |
|||||||||||||||||||||||
Стокса (4.11) может быть заменен поверхностным интегралом первого |
|||||||||||||||||||||||
типа. Тогда эта формула примет вид | |||||||||||||||||||||||
∫ Pdx+ Qdy+ Rdz= | |||||||||||||||||||||||
∂Q | ∂P | ∂R | ∂Q | ∂P | ∂R | ||||||||||||||||||
= ∫∫ | ) cosα + ( | ) cos β + ( | ) cosγ | ||||||||||||||||||||
∂x | ∂y | ∂y | ∂z | ∂z | ∂x | ds , | |||||||||||||||||
где cosα , cosβ , cosγ , | означают | направляющие | косинусы | ||||||||||||||||||||
отвечающей выбранной стороне поверхности. | |||||||||||||||||||||||
помощью формулы | вычислить |
||||||||||||||||||||||
∫ x2 y3 dx+ dy+ zdz, | окружность, | заданная уравнениями |
|||||||||||||||||||||
x2 + y2 + 1, z= 0 . | Поверхностью S служит верхняя сторона полусферы |
||||||||||||||||||||||
x 2+ y 2+ z 2= 1, | z > 0 (L обходится в положительном направлении). |