Какую гипотезу не проверяет дисперсионный анализ. Однородность дисперсии и ковариаций

Дисперсионный анализ (от латинского Dispersio – рассеивание / на английском Analysis Of Variance - ANOVA) применяется для исследования влияния одной или нескольких качественных переменных (факторов) на одну зависимую количественную переменную (отклик).

В основе дисперсионного анализа лежит предположение о том, что одни переменные могут рассматриваться как причины (факторы, независимые переменные): , а другие как следствия (зависимые переменные). Независимые переменные называют иногда регулируемыми факторами именно потому, что в эксперименте исследователь имеет возможность варьировать ими и анализировать получающийся результат.

Основной целью дисперсионного анализа (ANOVA) является исследование значимости различия между средними с помощью сравнения (анализа) дисперсий. Разделение общей дисперсии на несколько источников, позволяет сравнить дисперсию, вызванную различием между группами, с дисперсией, вызванной внутригрупповой изменчивостью. При истинности нулевой гипотезы (о равенстве средних в нескольких группах наблюдений, выбранных из генеральной совокупности), оценка дисперсии, связанной с внутригрупповой изменчивостью, должна быть близкой к оценке межгрупповой дисперсии. Если вы просто сравниваете средние в двух выборках , дисперсионный анализ даст тот же результат, что и обычный t-критерий для независимых выборок (если сравниваются две независимые группы объектов или наблюдений) или t-критерий для зависимых выборок (если сравниваются две переменные на одном и том же множестве объектов или наблюдений).

Сущность дисперсионного анализа заключается в расчленении общей дисперсии изучаемого признака на отдельные компо­ненты, обусловленные влиянием конкретных факторов, и проверке гипотез о значимости влияния этих факторов на исследуемый признак. Сравнивая компоненты дисперсии друг с другом посредством F-критерия Фишера , можно определить, какая доля общей вариативности результативного признака обусловлена действием регулируемых факторов.

Исходным материалом для дисперсионного анализа служат данные исследования трех и более выборок : , которые могут быть как равными, так и неравными по численности, как связными, так и несвязными. По количеству выявляемых регулируемых факторов дисперсионный анализ может быть однофакторным (при этом изучается влияние одного фактора на результаты эксперимента), двухфакторным (при изучении влияния двух факторов) и многофакторным (позволяет оценить не только влияние каждого из факторов в отдельности, но и их взаимодействие).

Дисперсионный анализ относится к группе параметрических методов и поэтому его следует применять только тогда, когда доказано, что распределение является нормальным .

Дисперсионный анализ используют, если зависимая переменная измеряется в шкале отношений, интервалов или порядка, а влияющие переменные имеют нечисловую природу (шкала наименований).

Примеры задач

В задачах, которые решаются дисперсионным анализом, присутствует отклик числовой природы, на который воздействует несколько переменных, имеющих номинальную природу. Например, несколько видов рационов откорма скота или два способа их содержания и т.п.

Пример 1: В течение недели в трех разных местах работало несколько аптечных киосков. В дальнейшем мы можем оставить только один. Необходимо определить, существует ли статистически значимое отличие между объемами реализации препаратов в киосках. Если да, мы выберем киоск с наибольшим среднесуточным объемом реализации. Если же разница объема реализации окажется статистически незначимой, то основанием для выбора киоска должны быть другие показатели.

Пример 2: Cравнение контрастов групповых средних. Семь политических пристрастий упорядочены от крайне либеральные до крайне консервативные, и линейный контраст используется для проверки того, есть ли отличная от нуля тенденция к возрастанию средних значений по группам - т. е. есть ли значимое линейное увеличение среднего возраста при рассмотрении групп, упорядоченных в направлении от либеральных до консервативных.

Пример 3: Двухфакторный дисперсионный анализ. На количество продаж товара, помимо размеров магазина, часто влияет расположение полок с товаром. Данный пример содержит показатели недельных продаж, характеризуемые четырьмя типами расположения полок и тремя размерами магазинов. Результаты анализа показывают, что оба фактора - расположение полок с товаром и размер магазина -влияют на количество продаж, однако их взаимодействие значимым не является.

Пример 4: Одномерный ANOVA: Рандомизированный полноблочный план с двумя обработками. Исследуется влияние на припек хлеба всех возможных комбинаций трех жиров и трех рыхлителей теста. Четыре образца муки, взятые из четырех разных источников, служили в качестве блоковых факторов.Необходимо выявить значимость взаимодействия жир-рыхлитель. После этого определить различные возможности выбора контрастов, позволяющих выяснить, какие именно комбинации уровней факторов различаются.

Пример 5: Модель иерархического (гнездового) плана с смешанными эффектами. Изучается влияние четырех случайно выбранных головок, вмонтированных в станок, на деформацию производимых стеклянных держателей катодов. (Головки вмонтированы в станок, так что одна и та же головка не может использоваться на разных станках). Эффект головки обрабатывается как случайный фактор. Статистики ANOVA показывают, что между станками нет значимых различий, но есть признаки того, что головки могут различаться. Различие между всеми станками не значимо, но для двух из них различие между типами головок значимо.

Пример 6: Одномерный анализ повторных измерений с использованием плана расщепленных делянок. Этот эксперимент проводился для определения влияния индивидуального рейтинга тревожности на сдачу экзамена в четырех последовательных попытках. Данные организованы так, чтобы их можно было рассматривать как группы подмножеств всего множества данных ("всей делянки"). Эффект тревожности оказался незначимым, а эффект попытки - значим.

Перечень методов

• Модели факторного эксперимента. Примеры: факторы, влияющие на успешность решения математических задач ; факторы, влияющие на объёмы продаж .

Данные состоят из нескольких рядов наблюдений (обработок), которые рассматриваются как реализации независимых между собой выборок. Исходная гипотеза говорит об отсутствии различия в обработках, т.е. предполагается, что все наблюдения можно считать одной выборкой из общей совокупности:

• Однофакторная параметрическая модель : метод Шеффе .
• Однофакторная непараметрическая модель [Лагутин М.Б., 237]: критерий Краскела-Уоллиса [Холлендер М., Вульф Д.А., 131], критерий Джонкхиера [Лагутин М.Б., 245].

• Общий случай модели с постоянными факторами, теорема Кокрена [Афифи А., Эйзен С., 234].

Данные представляют собой двухкратные повторные наблюдения:

• Двухфакторная непараметрическая модель : критерий Фридмана [Лапач, 203], критерий Пейджа [Лагутин М.Б., 263]. Примеры: сравнение эффективности методов производства, агротехнических приёмов.
• Двухфакторная непараметрическая модель для неполных данных

История

Откуда произошло название дисперсионный анализ ? Может показаться странным, что процедура сравнения средних называется дисперсионным анализом. В действительности, это связано с тем, что при исследовании статистической значимости различия между средними двух (или нескольких) групп, мы на самом деле сравниваем (анализируем) выборочные дисперсии. Фундаментальная концепция дисперсионного анализа предложена Фишером в 1920 году. Возможно, более естественным был бы термин анализ суммы квадратов или анализ вариации, но в силу традиции употребляется термин дисперсионный анализ. Первоначально дисперсионный анализ был разработан для обработки данных, полученных в ходе специально поставленных экспериментов, и считался единственным методом, корректно исследующим причинные связи. Метод применялся для оценки экспериментов в растениеводстве. В дальнейшем выяснилась общенаучная значимость дисперсионного анализа для экспериментов в психологии, педагогике, медицине и др.

Литература

1. Шеффе Г. Дисперсионный анализ. - М., 1980.
2. Аренс Х. Лёйтер Ю. Многомерный дисперсионный анализ.
3. Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. - М.: Физматлит, 2006.
4. Лапач С. Н. , Чубенко А. В., Бабич П. Н. Статистика в науке и бизнесе. - Киев: Морион, 2002.
5. Лагутин М. Б. Наглядная математическая статистика. В двух томах. - М.: П-центр, 2003.
6. Афифи А., Эйзен С. Статистический анализ: Подход с использованием ЭВМ.
7. Холлендер М., Вульф Д.А. Непараметрические методы статистики.

Ссылки

• Дисперсионный анализ - Электронный учебник StatSoft.

В практической деятельности врачей при проведении медико-биологических, социологических и экспериментальных исследований возникает необходимость установить влияние факторов на результаты изучения состояния здоровья населения, при оценке профессиональной деятельности, эффективности нововведений.

Существует ряд статистических методов, позволяющих определить силу, направление, закономерности влияния факторов на результат в генеральной или выборочной совокупностях (расчет критерия I, корреляционный анализ, регрессия, Χ 2 - (критерий согласия Пирсона и др.). Дисперсионный анализ был разработан и предложен английским ученым, математиком и генетиком Рональдом Фишером в 20-х годах XX века.

Дисперсионный анализ чаще используют в научно-практических исследованиях общественного здоровья и здравоохранения для изучения влияния одного или нескольких факторов на результативный признак. Он основан на принципе "отражения разнообразий значений факторного(ых) на разнообразии значений результативного признака" и устанавливает силу влияния фактора(ов) в выборочных совокупностях.

Сущность метода дисперсионного анализа заключается в измерении отдельных дисперсий (общая, факториальная, остаточная), и дальнейшем определении силы (доли) влияния изучаемых факторов (оценки роли каждого из факторов, либо их совместного влияния) на результативный(е) признак(и).

Дисперсионный анализ - это статистический метод оценки связи между факторными и результативным признаками в различных группах, отобранный случайным образом, основанный на определении различий (разнообразия) значений признаков. В основе дисперсионного анализа лежит анализ отклонений всех единиц исследуемой совокупности от среднего арифметического. В качестве меры отклонений берется дисперсия (В)- средний квадрат отклонений. Отклонения, вызываемые воздействием факторного признака (фактора) сравниваются с величиной отклонений, вызываемых случайными обстоятельствами. Если отклонения, вызываемые факторным признаком, более существенны, чем случайные отклонения, то считается, что фактор оказывает существенное влияние на результативный признак.

Для того, чтобы вычислить дисперсию значения отклонений каждой варианты (каждого зарегистрированного числового значения признака) от среднего арифметического возводят в квадрат. Тем самым избавляются от отрицательных знаков. Затем эти отклонения (разности) суммируют и делят на число наблюдений, т.е. усредняют отклонения. Таким образом, получают значения дисперсий.

Важным методическим значением для применения дисперсионного анализа является правильное формирование выборки. В зависимости от поставленной цели и задач выборочные группы могут формироваться случайным образом независимо друг от друга (контрольная и экспериментальная группы для изучения некоторого показателя, например, влияние высокого артериального давления на развитие инсульта). Такие выборки называются независимыми.

Нередко результаты воздействия факторов исследуются у одной и той же выборочной группы (например, у одних и тех же пациентов) до и после воздействия (лечение, профилактика, реабилитационные мероприятия), такие выборки называются зависимыми.

Дисперсионный анализ, в котором проверяется влияние одного фактора, называется однофакторным (одномерный анализ). При изучении влияния более чем одного фактора используют многофакторный дисперсионный анализ (многомерный анализ).

Факторные признаки - это те признаки, которые влияют на изучаемое явление.
Результативные признаки - это те признаки, которые изменяются под влиянием факторных признаков.

Для проведения дисперсионного анализа могут использоваться как качественные (пол, профессия), так и количественные признаки (число инъекций, больных в палате, число койко-дней).

Методы дисперсионного анализа:

1. Метод по Фишеру (Fisher) - критерий F (значения F см. в приложении N 1);
   Метод применяется в однофакторном дисперсионном анализе, когда совокупная дисперсия всех наблюдаемых значений раскладывается на дисперсию внутри отдельных групп и дисперсию между группами.
2. Метод "общей линейной модели".
   В его основе лежит корреляционный или регрессионный анализ, применяемый в многофакторном анализе.

Обычно в медико-биологических исследованиях используются только однофакторные, максимум двухфакторные дисперсионные комплексы. Многофакторные комплексы можно исследовать, последовательно анализируя одно- или двухфакторные комплексы, выделяемые из всей наблюдаемой совокупности.

Условия применения дисперсионного анализа:

1. Задачей исследования является определение силы влияния одного (до 3) факторов на результат или определение силы совместного влияния различных факторов (пол и возраст, физическая активность и питание и т.д.).
2. Изучаемые факторы должны быть независимые (несвязанные) между собой. Например, нельзя изучать совместное влияние стажа работы и возраста, роста и веса детей и т.д. на заболеваемость населения.
3. Подбор групп для исследования проводится рандомизированно (случайный отбор). Организация дисперсионного комплекса с выполнением принципа случайности отбора вариантов называется рандомизацией (перев. с англ. - random), т.е. выбранные наугад.
4. Можно применять как количественные, так и качественные (атрибутивные) признаки.

При проведении однофакторного дисперсионного анализа рекомендуется (необходимое условие применения):

1. Нормальность распределения анализируемых групп или соответствие выборочных групп генеральным совокупностям с нормальным распределением.
2. Независимость (не связанность) распределения наблюдений в группах.
3. Наличие частоты (повторность) наблюдений.

Нормальность распределения определяется кривой Гаусса (Де Мавура), которую можно описать функцией у = f(х), так как она относится к числу законов распределения, используемых для приближенного описания явлений, которые носят случайный, вероятностный характер. Предмет медико-биологических исследований - явления вероятностного характера, нормальное распределение в таких исследованиях встречается весьма часто.

Принцип применения метода дисперсионного анализа

Сначала формулируется нулевая гипотеза, то есть предполагается, что исследуемые факторы не оказывают никакого влияния на значения результативного признака и полученные различия случайны.

Затем определяем, какова вероятность получить наблюдаемые (или более сильные) различия при условии справедливости нулевой гипотезы.

Если эта вероятность мала*, то мы отвергаем нулевую гипотезу и заключаем, что результаты исследования статистически значимы. Это еще не означает, что доказано действие именно изучаемых факторов (это вопрос, прежде всего, планирования исследования), но все же маловероятно, что результат обусловлен случайностью.
__________________________________
* Максимальную приемлемую вероятность отвергнуть верную нулевую гипотезу называют уровнем значимости и обозначают α = 0,05.

При выполнении всех условий применения дисперсионного анализа, разложение общей дисперсии математически выглядит следующим образом:

D oбщ. = D факт + D ост. ,

D oбщ. - общая дисперсия наблюдаемых значений (вариант), характеризуется разбросом вариант от общего среднего. Измеряет вариацию признака во всей совокупности под влиянием всех факторов, обусловивших эту вариацию. Общее разнообразие складывается из межгруппового и внутригруппового;

D факт - факторная (межгрупповая) дисперсия, характеризуется различием средних в каждой группе и зависит от влияния исследуемого фактора, по которому дифференцируется каждая группа. Например, в группах различных по этиологическому фактору клинического течения пневмонии средний уровень проведенного койко-дня неодинаков - наблюдается межгрупповое разнообразие.

D ост. - остаточная (внутригрупповая) дисперсия, которая характеризует рассеяние вариант внутри групп. Отражает случайную вариацию, т.е. часть вариации, происходящую под влиянием неуточненных факторов и не зависящую от признака - фактора, положенного в основание группировки. Вариация изучаемого признака зависит от силы влияния каких-то неучтенных случайных факторов, как от организованных (заданных исследователем), так и от случайных (неизвестных) факторов.

Поэтому общая вариация (дисперсия) слагается из вариации, вызванной организованными (заданными) факторами, называемыми факториальной вариацией и неорганизованными факторами, т.е. остаточной вариацией (случайной, неизвестной).

Классический дисперсионный анализ проводится по следующим этапам:

1. Построение дисперсионного комплекса.
2. Вычисление средних квадратов отклонений.
3. Вычисление дисперсии.
4. Сравнение факторной и остаточной дисперсий.
5. Оценка результатов с помощью теоретических значений распределения Фишера-Снедекора (приложение N 1).

АЛГОРИТМ ПРОВЕДЕНИЯ ДИСПЕРСИОННОГО АНАЛИЗА ПО УПРОЩЕННОМУ ВАРИАНТУ

Алгоритм проведения дисперсионного анализа по упрощенному способу позволяет получить те же результаты, но расчеты выполняются значительно проще:

I этап. Построение дисперсионного комплекса

Построение дисперсионного комплекса означает построение таблицы, в которой были бы четко разграничены факторы, результативный признак и подбор наблюдений (больных) в каждую группу.

Однофакторный комплекс состоит из нескольких градаций одного фактора (А). Градации - это выборки из разных генеральных совокупностей (А1, А2, АЗ).

Двухфакторный комплекс - состоит из нескольких градаций двух факторов в комбинации между собой. Этиологические факторы заболеваемостью пневмонией те же (А1, А2, АЗ) в сочетании с разными формами клинического течения пневмонии (Н1 - острое, Н2 - хроническое).

II этап. Вычисление общей средней (М обш)

Вычисление суммы вариант по каждой градации факторов: Σ Vj = V 1 + V 2 + V 3

Вычисление общей суммы вариант (Σ V общ) по всем градациям факторного признака: Σ V общ = Σ Vj 1 + Σ Vj 2 + Σ Vj 3

Вычисление средней групповой (М гр.) факторного признака: М гр. = Σ Vj / N,
где N - сумма числа наблюдений по всем градациям факторного I признака (Σn по группам).

III этап. Расчет дисперсий:

При соблюдении всех условий применения дисперсионного анализа математическая формула выглядит следующим образом:

D oбщ. = D факт + D ост.

D oбщ. - общая дисперсия, характеризуется разбросом вариант (наблюдаемых значений) от общего среднего;
D факт. - факторная (межгрупповая) дисперсия, характеризует разброс групповых средних от общего среднего;
D ост. - остаточная (внутригрупповая) дисперсия, характеризует рассеяние вариант внутри групп.

1. Вычисление факториальной дисперсии (D факт.): D факт. = Σ h - H
2. Вычисление h проводится по формуле: h = (Σ Vj) / N
3. Вычисление Н проводится по формуле: H = (Σ V) 2 / N
4. Вычисление остаточной дисперсии: D ост. = (Σ V) 2 - Σ h
5. Вычисление общей дисперсии: D oбщ. = (Σ V) 2 - Σ H

IV этап. Расчет основного показателя силы влияния изучаемого фактора Показатель силы влияния (η 2) факторного признака на результат определяется долей факториальной дисперсии (D факт.) в общей дисперсии (D oбщ.), η 2 (эта) - показывает какую долю занимает влияние изучаемого фактора среди всех других факторов и определяется по формуле:

V этап. Определение достоверности результатов исследования методом Фишера проводят по формуле:

Сравнение критерия Фишера (F) со стандартным (табличным) F проводят по графам таблицы с учетом степеней свободы:

v 1 = n - 1
v 2 = N - 1

По горизонтали определяют v 1 по вертикали - v 2 , на их пересечении определяют табличное значение F, где верхнее табличное значение р ≥ 0,05, а нижнее соответствует р > 0,01, и сравнивают с вычисленным критерием F. Если значение вычисленного критерия F равно или больше табличного, то результаты достоверны и Н 0 не отвергается.

Условие задачи:

На предприятии Н. повысился уровень травматизма в связи с чем врач провел исследование отдельных факторов, среди которых изучался стаж работы работающих в цехах. Выборки сделаны на предприятии Н. из 4 цехов с близкими условиями и характером труда. Уровни травматизма рассчитаны на 100 работающих за прошлый год.

При исследовании фактора рабочего стажа получены следующие данные:

На основании данных проведённого исследования была выдвинута нулевая гипотеза (Н 0) о влиянии стажа работы на уровень травматизма работников предприятия А.

Задание
Подтвердите или опровергните нулевую гипотезу методом одно-факторного дисперсионного анализа:

1. определите силу влияния;
2. оцените достоверность влияния фактор.

Этапы применения дисперсионного анализа
для определения влияния фактора (стажа работы) на результат (уровень травматизма)

Вывод. В выборочном комплексе выявлено, что сила влияния стажа работы на уровень травматизма составляет 80% в общем числе других факторов. Для всех цехов завода можно с вероятностью 99,7% (13,3 > 8,7) утверждать, что стаж работы влияет на уровень травматизма.

Таким образом, нулевая гипотеза (Н 0) не отвергается и влияние стажа работы на уровень травматизма в цехах завода А считается доказанным.

Значение F (критерий Фишера) стандартного при р ≥ 0,05 (верхнее значение) при р ≥ 0,01 (нижнее значение)

1. Власов В.В. Эпидемиология. - М.: ГЭОТАР-МЕД, 2004. 464 с.
2. Архипова ГЛ., Лаврова И.Г., Трошина И.М. Некоторые современные методы статистического анализа в медицине. - М.: Метроснаб, 1971. - 75 с.
3. Зайцев В.М., Лифляндский В.Г., Маринкин В.И. Прикладная медицинская статистика. - СПб.: ООО "Издательство ФОЛИАНТ", 2003. - 432 с.
4. Платонов А.Е. Статистический анализ в медицине и биологии: задачи, терминология, логика, компьютерные методы. - М.: Издательство РАМН, 2000. - 52 с.
5. Плохинский Н.А. Биометрия. - Издательство Сибирского отделения АН СССР Новосибирск. - 1961. - 364 с.

Рассмотренные выше приемы проверки статистических гипотез о существенности различий между двумя средними на практике имеют ограниченное применение. Это связано с тем, что для выявления действия всех возможных условий и факторов на результативный признак полевые и лабораторные опыты, как правило, проводят с использованием не двух, а большего числа выборок (1220 и более).

Часто исследователи сравнивают средние нескольких выборок, объединенных в единый комплекс. Например, изучая влияние различных видов и доз удобрений на урожайность сельскохозяйственных культур опыты повторяют в разных вариантах. В этих случаях попарные сравнения становятся громоздкими, а статистический анализ всего комплекса требует применения особого метода. Такой метод, разработанный в математической статистике, получил название дисперсионного анализа. Впервые его применил английский статистик Р. Фишер при обработке результатов агрономических опытов (1938 г.).

Дисперсионный анализ - это метод статистической оценки надежности проявления зависимости результативного признака от одного или нескольких факторов. С помощью метода дисперсионного анализа проводится проверка статистических гипотез относительно средних в нескольких генеральных совокупностях, имеющих нормальное распределение.

Дисперсионный анализ является одним из основных методов статистической оценки результатов эксперимента. Все более широкое применение получает он и в анализе экономической информации. Дисперсионный анализ дает возможность установить, насколько выборочные показатели связи результативного и факторных признаков достаточны для распространения полученных по выборке данных на генеральную совокупность. Достоинством этого метода является то, что он дает достаточно надежные выводы по выборкам небольшого численности.

Исследуя вариацию результативного признака под влиянием одного или нескольких факторов с помощью дисперсионного анализа можно получить помимо общих оценок существенности зависимостей, также и оценку различий в величине средних, которые формируются при различных уровнях факторов, и существенности взаимодействия факторов. Дисперсионный анализ применяется для изучения зависимостей как количественных, так и качественных признаков, а также при их сочетании.

Суть этого метода заключается в статистическом изучении вероятности влияния одного или нескольких факторов, а также их взаимодействия на результативный признак. Согласно этого с помощью дисперсионного анализа решаются три основных задачи: 1) общая оценка существенности различий между групповыми средними; 2) оценка вероятности взаимодействия факторов; 3) оценка существенности различий между парами средних. Чаще всего такие задачи приходится решать исследователям при проведении полевых и зоотехнических опытов, когда изучается влияние нескольких факторов на результативный признак.

Принципиальная схема дисперсионного анализа включает установление основных источников варьирование результативного признака и определение объемов вариации (сумм квадратов отклонений) по источникам ее образования; определение числа степеней свободы, соответствующих компонентам общей вариации; вычисления дисперсий как отношение соответствующих объемов вариации к их числу степеней свободы; анализ соотношения между дисперсиями; оценка достоверности разницы между средними и формулирование выводов.

Указанная схема сохраняется как при простых моделях дисперсионного анализа, когда данные группируются по одному признаку, так и при сложных моделях, когда данные группируются по двумя и большим числом признаков. Однако с увеличением числа групповых признаков усложняется процесс разложение общей вариации по источникам ее образования.

Согласно принципиальной схемы дисперсионный анализ можно представить в виде пяти последовательно выполняемых этапов:

1) определение и разложения вариации;

2) определение числа степеней свободы вариации;

3) вычисление дисперсий и их соотношений;

4) анализ дисперсий и их соотношений;

5) оценка достоверности разницы между средними и формулировка выводов по проверке нулевой гипотезы.

Наиболее трудоемкой частью дисперсионного анализа является первый этап - определение и разложения вариации по источникам ее образования. Порядок разложения общего объема вариации подробно рассматривался в главе 5.

В основе решения задач дисперсионного анализа лежит закон разложения (добавление) вариации, согласно которого общая вариация (колебания) результативного признака делится на две: вариацию, обусловленную действием исследуемого фактора (факторов), и вариацию, вызванную действием случайных причин, то есть

Предположим, что исследуемая совокупность поделена по факторным признаком на несколько групп, каждая из которых характеризуется своей средней величине результативного признака. При этом вариацию этих величин можно объяснить двумя видами причин: такими, которые действуют на результативный признак систематически и поддаются регулировке в ходе проводимого эксперимента и регулировке не поддаются. Очевидно, что межгрупповая (факторная или систематическая) вариация зависит преимущественно от действия исследуемого фактора, а внутригрупповая (остаточная или случайная) - от действия случайных факторов.

Чтобы оценить достоверность различий между групповыми средними, необходимо определить межгрупповую и внутригрупповое вариации. Если межгрупповая (факторная) вариация значительно превышает внутригрупповое (остаточную) вариацию, то фактор влиял на результативный признак, существенно изменяя значения групповых средних величин. Но возникает вопрос, каково соотношение между міжгруповою и внутрішньогруповою вариациями можно рассматривать как достаточное для вывода о достоверности (существенности) различий между групповыми средними.

Для оценки существенности различий между средними и формулировка выводов по проверке нулевой гипотезы (Н0:х1 = х2 =... = хп) в дисперсионном анализе используется своеобразный норматив - Г-критерий, закон распределения которого установил Р.фишер. Этот критерий представляет собой отношение двух дисперсий: факторного, порождаемой действием изучаемого фактора, и остаточной, обусловленной действием случайных причин:

Дисперсионное отношение Г= £>и : £*2 американским статистиком Снедекором предложено обозначать буквой Г в честь изобретателя дисперсионного анализа Р.Фішера.

Дисперсии °2 іо2 являются оценками дисперсии генеральной совокупности. Если выборки с дисперсиями °2 °2 сделаны из одной и той же генеральной совокупности, где вариация величин имела случайный характер, то расхождение в величинах °2 °2 также случайна.

Если в эксперименте проверяют влияние нескольких факторов (А, В, С и т.д.) на результативный признак одновременно, то дисперсия, обусловленная действием каждого из них, должна быть сравнима с °е.гР , то есть

Если значение факторной дисперсии значительно больше остаточной, то фактор существенно влиял на результативный признак и наоборот.

В многофакторных экспериментах кроме вариации, обусловленной действием каждого фактора, практически всегда есть вариация, обусловленная взаимодействием факторов ($ав: ^лс ^вс $лііс). Суть взаимодействия заключается в том, что эффект одного фактора существенно меняется на разных уровнях второго (например, эффективность качества Почвы при разных дозах удобрений).

Взаимодействие факторов также должна быть оценена путем сравнения соответствующих дисперсий 3 ^в.гр:

При исчислении фактического значения Б-критерия в числителе берется большая из дисперсий, поэтому Б > 1. Очевидно, что чем больше критерий Бы, тем значительнее различия между дисперсиями. Если Б = 1, то вопрос об оценке существенности различий дисперсий снимается.

Для определения пределов случайных колебаний отношение дисперсий Г. Фишер разработал специальные таблицы Б-распределения (прил. 4 и 5). Критерий Бы функционально связанный с вероятностью и зависит от числа степеней свободы вариации к1 и к2 двух сравниваемых дисперсий. Обычно используются две таблицы, позволяющие делать выводы о предельно высокое значение критерия для уровней значимости 0,05 и 0,01. Уровень значимости 0,05 (или 5%) означает, что только в 5 случаях из 100 критерий Б может принимать значение, равное указанному в таблице или выше его. Снижение уровня значимости с 0,05 до 0,01 приводит к увеличению значения критерия Бы между двумя дисперсиями в силу действия только случайных причин.

Значение критерия также зависит непосредственно от числа степеней свободы двух сравниваемых дисперсий. Если число степеней свободы стремится к бесконечности (к-ме), то отношение Бы для двух дисперсий стремится к единице.

Табличное значение критерия Б показывает возможную случайную величину отношения двух дисперсий при заданном уровне значимости и соответствующем числе степеней свободы для каждой из сравниваемых дисперсий. В указанных таблицах приводится величина Б для выборок, сделанных из одной и той же генеральной совокупности, где причины изменения величин только случайные.

Значение Г находят по таблицам (прил. 4 и 5) на пересечении соответствующего столбца (число степеней свободы для большей дисперсии - к1) и строки (число степеней свободы для меньшей дисперсии - к2). Так, если большей дисперсии (числитель Г) к1 = 4, а меньшей (знаменатель Г) к2 = 9, то Га при уровне значимости а = 0,05 составит 3,63 (прил. 4). Итак, в результате действия случайных причин, поскольку малочисленные выборки, дисперсия одной выборки может при 5%-ном уровне значимости превышать дисперсию для второй выборки в 3,63 раза. При снижении уровня значимости с 0,05 до 0,01 табличное значение критерия Г, как отмечалось выше, будет увеличиваться. Так, при тех же степенях свободы к1 = 4 и к2 = 9 и а = 0,01 табличное значение критерия Г составит 6,99 (прил. 5).

Рассмотрим порядок определения числа степеней свободы в дисперсионном анализе. Число степеней свободы, что соответствует общей сумме квадратов отклонений, раскладывается на соответствующие компоненты аналогично разложению сумм квадратов отклонений (^общ = №^гр + ]¥вхр) , то есть общее число степеней свободы (к") раскладывается на число степеней свободы для межгрупповой (к1) и внутригрупповой (к2) вариаций.

Так, если выборочная совокупность, состоящая из N наблюдений, деленная на т групп (число вариантов опыта) и п подгрупп (количество повторностей), то число степеней свободы к соответственно составит:

а) для общей суммы квадратов отклонений (й7заг)

б) для межгрупповой суммы квадратов отклонений ^м.гР)

в) для внутригрупповой суммы квадратов отклонений в в.гР)

Согласно правилу сложения вариации:

Например, если в опыте было сформировано четыре варианта опыта (т = 4) в пяти повторностях каждый (п = 5), и общее количество наблюдений N = = т o п = 4 * 5 = 20, то число степеней свободы соответственно равно:

Зная суммы квадратов отклонений число степеней свободы, можно определить несмещенные (скорректированные) оценки для трех дисперсий:

Нулевую гипотезу Н0 по критерию Б проверяют так же, как и по и-критерию Стьюдента. Чтобы принять решение по проверки Н0, необходимо рассчитать фактическое значение критерия и сравнить его с табличным значением Ба для принятого уровня значимости а и числа степеней свободы к1 и к2 для двух дисперсий.

Если Бфакг > Ба, то в соответствии с принятым уровнем значимости можно сделать вывод, что различия выборочных дисперсий определяются не только случайными факторами; они существенные. Нулевую гипотезу в этом случае отклоняют и есть основание утверждать, что фактор существенно влияет на результативный признак. Если же < Ба, то нулевую гипотезу принимают и есть основание утверждать, что различия между сравниваемыми дисперсиями находятся в границах возможных случайных колебаний: действие фактора на результативный признак не является существенным.

Применение той или иной модели дисперсионного анализа зависит как от количества изучаемых факторов, так и от способа формирования выборок.

в Зависимости от количества факторов, определяющих вариацию результативного признака, выборки могут быть сформированы по одним, двумя и большим числом факторов. Согласно этому дисперсионный анализ делится на однофакторный и многофакторный. Иначе его еще называют однофакторним и многофакторным дисперсионным комплексом.

Схема разложение общей вариации зависит от формирования групп. Оно может быть случайным (наблюдение одной группы не связаны с наблюдениями второй группы) и неслучайным (наблюдение двух выборок связаны между собой общностью условий эксперимента). Соответственно получают независимые и зависимые выборки. Независимые выборки могут быть сформированы как с ровной, так и неровной численностью. Формирование зависимых выборок предполагает их равную численность.

Если группы сформированы в невипадковому порядке, то общий объем вариации результативного признака включает в себя наряду с факторным (міжгруповою) и остаточной вариацией вариацию повторностей, то есть

На практике в большинстве случаев приходится рассматривать зависимые выборки, когда условия для групп и подгрупп выравниваются. Так, в полевом опыте весь участок разбивают на блоки, с максимально вирівняннями условиями. При этом каждый вариант опыта получает равные возможности быть представленным во всех блоках, чем достигается выравнивание условий для всех проверяемых вариантов, опыта. Такой метод построения опыта получил название метода рендомізованих блоков. Аналогично проводятся и опыты с животными.

При обработке методом дисперсионного анализа социально-экономических данных необходимо иметь в виду, что в силу багаточисельності факторов и их взаимосвязи трудно даже при самом тщательном выравнивании условий установить степень объективного влияния каждого отдельного фактора на результативный признак. Поэтому уровень остаточной вариации определяется не только случайными причинами, но и существенными факторами, которые не были учтены при построении модели дисперсионного анализа. В результате этого остаточная, дисперсия как база сравнения иногда становится неадекватным своему назначению, она явно завышается по величине и не может выступать как критерий существенности влияния факторов. В связи с этим при построении моделей дисперсионного анализа становится актуальной проблема отбора важнейших факторов и выравнивания условий для проявления действия каждого из них. Кроме того. применение дисперсионного анализа предполагает нормальный или близкий к нормальному распределение исследуемых статистических совокупностей. Если это условие не выдерживается, то оценки, полученные в дисперсионном анализе, окажутся преувеличенными.

ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ

в математической статистике - статистический метод, предназначенный для выявления влияния отдельных факторов на результат эксперимента, а также для последующего планирования аналогичных экспериментов. Первоначально Д. а. был предложен Р. Фишером для обработки результатов агрономич. опытов по выявлению условий, при к-рых испытываемый сорт сельскохозяйственной культуры дает максимальный урожай. Современные приложения Д. а. охватывают широкий задач экономики, социологии, биологии и техники и трактуются обычно в терминах статистич. теории выявления систематич. различий между результатами непосредственных измерений, выполненных при тех пли иных меняющихся условиях.

Если значения неизвестных постоянных a 1 , ... , a I могут быть измерены с помощью различных методов или измерительных средств М 1 ,. .., M J , и в каждом случае систематич. ошибка b ij может, вообще говоря, зависеть как от выбранного метода Mj, так и от неизвестного измеряемого значения а i , то результаты таких измерений представляют собой суммы вида

где К- количество независимых измерений неизвестной величины а i методом M j , a у ijk - случайная ошибка k-го измерения величины а i методом M j (предполагается, что все y ijk - независимые одинаково распределенные случайные величины, имеющие нулевое математич. ожидание: Е у ijk =0). Такая линейная наз. двухфакторной схемой Д. а.; первый - истинное значение измеряемой величины, второй - метод измерения, причем в данном случае для каждой возможной комбинации значений первого и второго факторов осуществляется одинаковое количество Кнезависимых измерений (это допущение для целей Д. а. не является существенным и введено здесь лишь ради простоты изложения).

Примером подобной ситуации могут служить спортивные соревнования I спортсменов, мастерство к-рых оценивается J судьями, причем каждый участник соревнований выступает Краз (имеет К"попыток"). В этом случае а i - истинное значение показателя мастерства спортсмена с номером i, b ij - систематич. ошибка, вносимая в оценку мастерства i -го спортсмена судьей с номером j, x ijk - оценка, выставленная j -м судьей г-му спортсмену после выполнений последним k-й попытки, а y ijk - соответствующая случайная . Подобная типична для так наз. субъективной экспертизы качества нескольких объектов, осуществляемой группой независимых экспертов. Другой пример - статистич. исследование урожайности сельскохозяйственной культуры в зависимости от одного из J сортов почвы и J методов ее обработки, причем для каждого сорта г почвы и каждого метода обработки с номером J осуществляется kнезависимых экспериментов (в этом примере b ij - истинное значение урожайности для г-го сорта почвы при j-м способе обработки, x ijk - соответствующая экспериментально наблюдаемая урожайность в k-м опыте, а y ijk - ее случайная ошибка, возникающая из-за тех или иных случайных причин; что же касается величин а i , то в агрономич. опытах их разумно считать равными нулю).

Положим c ij =a i +b ij , и пусть с i *, с *j и с ** - результаты осреднений с ij по соответствующим индексам, т. е.

Пусть, кроме того, a=c ** , b i = с i* - с ** , g j = с *j -с ** и d ij = с ij - с i* - с *j +c ** . Идея Д. а. основана на очевидном тождестве

Если символом (c ij )обозначить размерности IJ , получаемый из матрицы ||с ij || порядка IXJ с помощью какого-либо заранее фиксированного способа упорядочивания ее элементов, то (1) можно записать в виде равенства где все векторы имеют IJ , причем a ij =a, b ij =b i , g ij =g j . Так как четыре вектора в правой части (2) ортогональны, то a ij =a - наилучшее приближение функции c ij от аргументов i и j постоянной величиной [в смысле минимальности суммы квадратов отклонений ]. В том же смысле a ij +b ij =a+b i - наилучшее c ij функцией, зависящей лишь от i, a ij +g ij =a+g j - наилучшее приближение c ij функцией, зависящей лишь от j, a a ij +b ij +g ij =a+b i +g j - наилучшее приближение c ij суммой функций, из к-рых одна (напр., a+b i ) зависит лишь от г, а другая - лишь от j. Этот факт, установленный Р. Фишером (см. ) в 1918, позднее послужил основой теории квадратичных приближений функций.

В примере, связанном со спортивными соревнованиями, d ij выражает "взаимодействие" г-го спортсмена и j-го судьи (положительное значение б/у означает "подсуживание", т. с. систематич. завышение /-м судьей оценки мастерства i-го спортсмена, а отрицательное значение б/у означает "засуживание", т. е. систематич. снижение оценки). Равенство всех б/у нулю - необходимое требование, к-рое надлежит предъявлять к работе группы экспертов. В случае же агрономич. опытов такое равенство рассматривается как гипотеза, подлежащая проверке по результатам экспериментов, поскольку основная цель здесь - отыскание таких значений i и j, при к-рых функция (1) достигает максимального значения. Если эта гипотеза верна, то

и значит, выявление наилучших "почвы" и "обработки" может быть осуществлено раздельно, что приводит к существенному сокращению числа экспериментов (напр., можно при каком-либо одном способе обработки испытать все Iсортов "почвы" и определить наилучший сорт, а затем на этом сорте опробовать все J способов "обработки" и найти наилучший способ; общее количество экспериментов с повторениями будет равно (I+J) К). Если же гипотеза {все d ij =0} неверна, то для определения max c ij необходим описанный выше "полный план", требующий при Кповторениях IJК экспериментов.

В ситуации спортивных соревнований функция g ij =g j может трактоваться как систематич. ошибка, допускаемая j-м судьей по отношению ко всем спортсменам. В конечном счете g j - характеристика "строгости" или "либеральности" j-го судьи. В идеале хотелось бы, чтобы все g j были нулевыми, но в реальных условиях приходится мириться с наличием ненулевых значений g j и учитывать это обстоятельство при подведении итогов экспертизы (напр., за основу сравнения мастерства спортсменов можно принять не последовательности истинных значений a+b 1 +g j , ..., a+b I +g j , a лишь результаты упорядочиваний этих чисел по их величине, поскольку при всех j=1, . . . , J такие упорядочивания будут одинаковыми). Наконец, сумма двух оставшихся функций a ij +b ij =a+b i зависит лишь от iи поэтому может быть использована для характеризации мастерства г-го спортсмена. Однако здесь нужно помнить, что Поэтому упорядочивание всех спортсменов по значениям a+b i (или по a+ + b i +g j при каждом фиксированном j) может не совпадать с упорядочиванием по значениям a i . При практической обработке экспертных оценок этим обстоятельством приходится пренебрегать, так как Упомянутый полный план экспериментов не позволяет оценивать отдельно a i и b i* . Таким образом, a+b i =a i + b i* характеризует не только мастерство i -го спортсмена, но и в той или иной мере экспертов к этому мастерству. Поэтому, напр., результаты субъективных экспертных оценок, осуществленных в разное время (в частности, на нескольких Олимпийских играх), едва ли можно считать сопоставимыми. В случае же агрономич. опытов подобные трудности не возникают, поскольку все a i =0 и значит, a+b i =b i* .

Истинные значения функций a, b i , g i и d ij неизвестны и выражаются в терминах неизвестных функций c ij . Поэтому первый этап Д. а. заключается в отыскании статистич. оценок для c ij по результатам наблюдений x ijk .Несмещенная и имеющая минимальную дисперсию для c ij выражается формулой

Так как a, b i , g j и d ij - линейные функции от элементов матрицы ||c ij ||, то несмещенные линейные оценки для этих функций, имеющие минимальную дисперсию, получаются в результате замены аргументов c ij соответствующими оценками, c ij , т. е. причем случайные векторы и определенные так же, как введенные выше (a ij ), (b ij ), (g ij ). и (d ij ), обладают свойством ортогональности, и значит, они представляют собой некоррелированные случайные векторы (иными словами, любые две компоненты, принадлежащие разным векторам, имеют нулевой корреляции). Кроме того, любая вида

некоррелирована с любой из компонент этих четырех векторов. Рассмотрим пять совокупностей случайных величин {x ijk }, {x ijk -x ij* }, Так как

то дисперсии эмпирич. распределений, соответствующих указанным совокупностям, выражаются формулами

Эти эмпирич. дисперсии представляют собой суммы квадратов случайных величин, любые две из к-рых некоррелированы, если только они принадлежат разным суммам; при этом относительно всех y ijk справедливо тождество

объясняющее происхождение термина "Д. а."" Пусть и пусть

в таком случае

где s 2 - дисперсия случайных ошибок y ijk .

На основе этих формул и строится второй этап Д. а., посвященный выявлению влияния первого и второго факторов на результаты эксперимента (в агрономич. опытах первый фактор - сорт "почвы", второй - способ "обработки"). Напр., если требуется проверить гипотезу отсутствия "взаимодействия" факторов, к-рая выражается равенствомто разумно вычислить дисперсионное отношение s 2 3 /s 2 0 = F 3 . Если это отношение значимо отличается от единицы, то проверяемая гипотеза отвергается. Точно так же для проверки гипотезы полезно отношение s 2 2 /s 2 0 = F 2 , к-рое надлежит также сравнить с единицей; если при этом известно, чтото вместо F 2 целесообразно сравнить с единицей отношение

Аналогичным образом можно построить статистику, позволяющую дать заключение о справедливости или ложности гипотезы

Точный смысл понятия значимого отличия указанных отношений от единицы может быть определен лишь с учетом закона распределения случайных ошибок y ijk . В Д. а. наиболее обстоятельно изучена ситуация, в к-рой все y ijk распределены нормально. В этом случае - независимые случайные векторы, а - независимые случайные величины, причем

отношения подчиняются нецентральным распределениям хи-квадрат с f m степенями свободы и параметрами нецентральности l т, m =0, 1, 2, 3, где

Если параметр нецентральности равен нулю, то нецентральное хи-квадрат совпадает с обычным распределением хи-квадрат. Поэтому в случае справедливости гипотезы l 3 =0 отношение подчиняется F-распре делению (распределению дисперсионного отношения) с параметрами f 3 и f 0 . Пусть х- такое число, для к-рого события {F 3 >x} равна заданному значению е, называемому уровнем значимости (таблицы функции х= х (e; f 3 , f 0) имеются в большинстве пособий по математич. статистике). Критерием для проверки гипотезы l 3 =0 служит правило, согласно к-рому эта гипотеза отвергается, если наблюдаемое значение F 3 превышает х;в противном случае гипотеза считается не противоречащей результатам наблюдений. Аналогичным образом конструируются критерии, основанные на статистиках F 2 и F* 2 .

Дальнейшие этапы Д. а. существенно зависят не только от реального содержания конкретной задачи, но также и от результатов статистич. проверки гипотез на втором этапе. Напр., в условиях агрономич. опытов справедливость гипотезы l 3 =0, как указано выше, позволяет более экономно спланировать аналогичные дальнейшие эксперименты (если помимо гипотезы l 3 =0 справедлива также и гипотеза l 2 =0, то это означает, что урожайность зависит лишь от сорта "почвы", и поэтому в дальнейших опытах можно воспользоваться схемой однофакторного Д. а.); если же гипотеза l 3 =0 отвергается, то разумно проверить, нет ли в данной задаче неучтенного третьего фактора? Если сорта "почвы" и способы ее "обработки" варьировались не в одном и том же месте, а в различных географич. зонах, то таким фактором могут быть климатич. или географич. условия, и "обработка" наблюдений потребует применения трехфакторного Д. а.

В случае экспертных оценок статистически подтвержденная справедливость гипотезы l 3 = 0 дает основание для упорядочивания сравниваемых объектов (напр., спортсменов) по значениям величин i=l, . .. , I.

Если же гипотеза l 3 =0 отвергается (в задаче о спортивных соревнованиях это означает статистич. обнаружение "взаимодействия" нек-рых спортсменов и судей), то естественно попытаться перевычнслить все результаты заново, предварительно исключив из рассмотрения x ijk с такими парами индексов (i, j ), для к-рых абсолютные значения статистич. оценок d ij превышают нек-рый заранее установленный допустимый уровень. Это означает, что из матрицы ||x ij* || вычеркиваются нек-рые элементы, и значит, план Д. а. становится неполным.

Модели современного Д. а. охватывают широкий круг реальных экспериментальных схем (напр., схемы неполных планов, со случайно или неслучайно отобранными элементами x ij* ). Соответствующие этим схемам статистич. выводы во многих случаях находятся в стадии разработки. В частности, еще (к 1978) далеки от окончательного решения те задачи, в к-рых результаты наблюдений x ijk =c ij +y ijk не являются одинаково распределенными случайными величинами; еще более трудная задача возникает в случае зависимости величин x ijk . Неизвестно проблемы выбора факторов (даже в линейном случае). Суть этой проблемы заключается в следующем: пусть с=с ( и, v )- и пусть u=u (z, w )и u=u (z, w )- какие-либо линейные функции от переменных г и w. Фиксируя значения z 1 , . .., z I и w 1 , . . ., w J , можно при каждом заданном выборе линейных функций ии u. определить c ij формулой и построить Д. а. этих величин по результатам соответствующих наблюдений x ijk . Проблема заключается в отыскании таких линейных функций u и u, к-рым соответствует минимальное значение суммы квадратов

где (предполагается, что функция с( и, v )неизвестна). В терминах Д. а. эта проблема сводится к статистич. отысканию таких факторов z=z (u, v )и w-w (u, v ), к-рым соответствует "наименьшее взаимодействие".

Лит. : Fisher R. A., Statistical methods for research workers, Edinburgh, 1925; Шеффе Г., Дисперсионный анализ, пер. с англ., М., 1963; Xальд А., Математическая с техническими приложениями, пер. с англ., М., 1956; Снедекор Д ж. У., Статистические методы в применении к исследованиям в сельском хозяйстве и биологии, пер. с англ., М., 1961.

Л. Н. Большее.

Математическая энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . И. М. Виноградов . 1977-1985 .

Смотреть что такое "ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ" в других словарях:

Метод в математической статистике, направленный на поиск зависимостей в экспериментальных данных путём исследования значимости различий в средних значениях. В литературе также встречается обозначение ANOVA (от англ. ANalysis Of… … Википедия

- (analysis of variance) Статистический метод, основанный на разложении общей дисперсии (variance) какой либо характеристики населения на составные части, коррелирующие с другими характеристиками, и остаточную вариацию (residual variation). В… … Экономический словарь

Один из методов математической статистики, применяемый для анализа результатов наблюдений, зависящих от различных, одновременно действующих факторов, к рые не поддаются, как правило, количеств. описанию. Рассмотрим простейшую из задач Д. а. Пусть … Физическая энциклопедия

Дисперсионный анализ - раздел математической статистики, посвященный методам выявления влияния отдельных факторов на результат эксперимента (физического, производственного, экономического эксперимента). Д.а. возник как средство обработки результатов… … Экономико-математический словарь

дисперсионный анализ - — дисперсионный анализ Раздел математической статистики, посвященный методам выявления влияния отдельных факторов на результат эксперимента (физического, производственного,… … Справочник технического переводчика

5.1. Что такое дисперсионный анализ?

Дисперсионный анализ разработан в 20-х годах XX века английским математиком и генетиком Рональдом Фишером. По данным опроса среди ученых, где выяснялось, кто сильнее всего повлиял на биологию XX века, первенство получил именно сэр Фишер (за свои заслуги он был награжден рыцарским званием - одним из высших отличий в Великобритании); в этом отношении Фишер сравним с Чарльзом Дарвином, оказавшим наибольшее влияние на биологию XIX века.

Дисперсионный анализ (Analis of variance) является сейчас отдельной отраслью статистики. Он основан на открытом Фишером факте, что меру изменчивости изучаемой величины можно разложить на части, соответствующие влияющим на эту величину факторам и случайным отклонениям.

Чтобы понять суть дисперсионного анализа, мы выполним однотипные расчеты дважды: «вручную» (с калькулятором) и с помощью программы Statistica. Для упрощения нашей задачи мы будем работать не с результатами действительного описания разнообразия зеленых лягушек, а с вымышленным примером, который касается сравнения женщин и мужчин у людей. Рассмотрим разнообразие роста 12 взрослых человек: 7 женщин и 5 мужчин.

Таблица 5.1.1. Пример для однофакторного дисперсионного анализа: данные о поле и росте 12 людей

Проведем однофакторный дисперсионный анализ: сравним, статистически значимо или нет отличаются ли мужчины и женщины в охарактеризованной группе по росту.

5.2. Тест на нормальность распределения

Дальнейшие рассуждения основываются на том, что распределение в рассматриваемой выборке нормальное или близкое к нормальному. Если распределение далеко от нормального, дисперсия (варианса) не является адекватной мерой его его изменчивости. Впрочем, дисперсионный анализ относительно устойчив к отклонениям распределения от нормальности.

Тест этих данных на нормальность можно провести двумя разными способами. Первый: Statistics / Basic Statistics/Tables / Descriptive statistics / Вкладка Normality. Во вкладке Normality можно выбрать используемые тесты нормальности распределения. При нажатии на кнопку Frequency tables появится частотная таблица, а кнопки Histograms - гистограмма. На таблице и гистограмме будут приведены результаты различных тестов.

Второй способ связан с использованием соответствующих возможнойтсей при построении гистограмм. В диалоге построения гистограмм (Grafs / Histograms...) следует выбрать вкладку Advanced. В ее нижней части есть блок Statistics. Отметим на ней Shapiro-Wilk test и Kolmogorov-Smirnov test, как это показано на рисунке.

Рис. 5.2.1. Статистические тесты на нормальность распределения в диалоге построения гистограмм

Как видно по гистограмме, распределение роста в нашей выборке отличается от нормального (в середине - «провал»).

Рис. 5.2.2. Гистограмма, построенная с параметрами, указанными на предыдущем рисунке

Третья строка в заголовке графика указывает параметры нормального распределения, к которому оказалось ближе всего наблюдаемое распределение. Генеральное среднее составляет 173, генеральное стандартное отклонение - 10,4. Внизу во врезке на графике указаны результаты тестов на нормальность. D - это критерий Колмогорова-Смирнова, а SW-W - Шапиро-Вилка. Как видно, для всех использованных тестов отличия распределения по росту от нормального распределения оказались статистически незначимыми (p во всех случаях больше, чем 0,05).

Итак, формально говоря, тесты на соответствие распределения нормальному не «запретили» нам использовать параметрический метод, основанный на предположении о нормальном распределении. Как уже сказано, дисперсионный анализ относительно устойчив к отклонениям от нормальности, поэтому мы им все-таки воспользуемся.

5.3. Однофакторный дисперсионный анализ: вычисления «вручную»

Для характеристики изменчивости роста людей в приведенном примере вычислим сумму квадратов отклонений (в английском обозначается как SS , Sum of Squares или ) отдельных значений от среднего: . Среднее значение для роста в приведенном примере составляет 173 сантиметра. Исходя из этого,

SS = (186–173) 2 + (169–173) 2 + (166–173) 2 + (188–173) 2 + (172–173) 2 + (179–173) 2 + (165–173) 2 + (174–173) 2 + (163–173) 2 + (162–173) 2 + (162–173) 2 + (190–173) 2 ;

SS = 132 + 42 + 72 + 152 + 12 + 62 + 82 + 12 + 102 + 112 + 112 + 172;

SS = 169 + 16 + 49 + 225 + 1 + 36 + 64 + 1 + 100 + 121 + 121 + 289 = 1192.

Полученная величина (1192) - мера изменчивости всей совокупности данных. Однако они состоят из двух групп, для каждой из которых можно выделить свою среднюю. В приведенных данных средний рост женщин - 168 см, а мужчин - 180 см.

Вычислим сумму квадратов отклонений для женщин:

SS f = (169–168) 2 + (166–168) 2 + (172–168) 2 + (179–168) 2 + (163–168) 2 + (162–168) 2 ;

SS f = 12 + 22 + 42 + 112 + 32 + 52 + 62 = 1 + 4 + 16 + 121 + 9 + 25 + 36 = 212.

Также вычислим сумму квадратов отклонений для мужчин:

SS m = (186–180) 2 + (188–180) 2 + (174–180) 2 + (162–180) 2 + (190–180) 2 ;

SS m = 62 + 82 + 62 + 182 + 102 = 36 + 64 + 36 + 324 + 100 = 560.

От чего зависит исследуемая величина в соответствии с логикой дисперсионного анализа?

Две вычисленные величины, SS f и SS m , характеризуют внутригрупповую вариансу, которую в дисперсионном анализе принято называть «ошибкой». Происхождение этого названия связано со следующей логикой.

От чего зависит рост человека в рассматриваемом примере? Прежде всего, от среднего роста людей вообще, вне зависимости от их пола. Во вторую очередь - от пола. Если люди одного пола (мужского) выше, чем другого (женского), это можно представить в виде сложения с «общечеловеческой» средней какой-то величины, эффекта пола. Наконец, люди одного пола отличаются по росту в силу индивидуальных отличий. В рамках модели, описывающей рост как сумму общечеловеческой средней и поправки на пол, индивидуальные отличия необъяснимы, и их можно рассматривать как «ошибку».

Итак, в соответствии с логикой дисперсионного анализа, исследуемая величина определяется следующим образом: , где x ij - i-тое значение изучаемой величины при j-том значении изучаемого фактора; - генеральное среднее; F j - влияние j-того значения изучаемого фактора; - «ошибка», вклад индивидуальности объекта, к которому относится величина x ij .

Межгрупповая сумма квадратов

Итак, SS ошибки = SS f + SS m = 212 + 560 = 772. Этой величиной мы описали внутригрупповую изменчивость (при выделении групп по полу). Но есть и вторая часть изменчивости - межгрупповая, которую мы назовем SS эффекта (поскольку речь идет об эффекте разделения совокупности рассматриваемых объектов на женщин и мужчин).

Среднее каждой группы отличается от общей средней. Вычисляя вклад этого отличия в общую меру изменчивости, мы должны умножить отличие групповой и общей средней на число объектов в каждой группе.

SS эффекта = = 7×(168–173) 2 + 5×(180–173) 2 = 7×52 + 5×72 = 7×25 + 5×49 = 175 + 245 = 420.

Здесь проявился открытый Фишером принцип постоянства суммы квадратов: SS = SS эффекта + SS ошибки , т.е. для данного примера, 1192 = 440 + 722.

Средние квадраты

Сравнивая в нашем примере межгрупповую и внутригрупповую суммы квадратов, мы можем увидеть, что первая связана с варьированием двух групп, а вторая - 12 величин в 2 группах. Количество степеней свободы (df ) для какого-то параметра может быть определено как разность количества объектов в группе и количества зависимостей (уравнений), которое связывает эти величины.

В нашем примере df эффекта = 2–1 = 1, а df ошибки = 12–2 = 10.

Мы можем разделить суммы квадратов на число их степеней свободы, получив средние квадраты (MS , Means of Squares). Сделав это, мы можем установить, что MS - ни что иное, как вариансы («дисперсии», результат деления суммы квадратов на число степеней свободы). После этого открытия мы можем понять структуру таблицы дисперсионного анализа. Для нашего примера она будет иметь следующий вид.

МS эффекта и МS ошибки являются оценками межгрупповой и внутригрупповой вариансы, и, значит, их можно сравнить по критерию F (критерию Снедекора, названному в честь Фишера), предназначенному для сравнения варианс. Этот критерий представляет собой просто частное от деления большей вариансы на меньшую. В нашем случае это 420 / 77,2 = 5,440.

Определение статистической значимости критерия Фишера по таблицам

Если бы мы определяли статистическую значимость эффекта вручную, по таблицам, нам было бы необходимо сравнить полученное значение критерия F с критическим, соответствующим определенному уровню статистической значимости при заданных степенях свободы.

Рис. 5.3.1. Фрагмент таблицы с критическими значениями критерия F

Как можно убедиться, для уровня статистической значимости p=0,05 критическое значение критерия F составляет 4,96. Это означает, что в нашем примере действие изучавшегося пола зарегистрировано с уровнем статистической значимости 0,05.

Полученный результат можно интерпретировать так. Вероятность нулевой гипотезы, согласно которой средний рост женщин и мужчин одинаков, а зарегистрированная разница в их росте связана со случайностью при формировании выборок, составляет менее 5%. Это означает, что мы должны выбрать альтернативную гипотезу, заключающуюся в том, что средний рост женщин и мужчин отличается.

5.4. Однофакторный дисперсионный анализ (ANOVA) в пакете Statistica

В тех случаях, когда расчеты производятся не вручную, а с помощью соответствующих программ (например, пакета Statistica) величина p определяется автоматически. Можно убедиться, что она несколько выше критического значения.

Чтобы проанализировать обсуждаемый пример с помощью простейшего варианта дисперсионного анализа, нужно запустить для файла с соответствующими данными процедуру Statistics / ANOVA и выбрать в окне Type of analysis вариант One-way ANOVA (однофакторный дисперсионный анализ), а в окне Specification method - вариант Quick specs dialog.

Рис. 5.4.1. Диалог General ANOVA/MANOVA (Дисперсионный анализ)

В открывшемся окне быстрого диалога в поле Variables нужно указать те столбцы, которые содержат данные, изменчивость которых мы изучаем (Dependent variable list; в нашем случае - столбец Growth), а также столбец, содержащие значения, разбивающие изучаемую величину на группы (Catigorical predictor (factor); в нашем случае - столбец Sex). В данном варианте анализа, в отличие от многофакторного анализа, может рассматриваться только один фактор.

Рис. 5.4.2. Диалог One-Way ANOVA (Однофакторный дисперсионный анализ)

В окне Factor codes следует указать те значения рассматриваемого фактора, которые нужно обрабатывать в ходе данного анализа. Все имеющиеся значения можно посмотреть с помощью кнопки Zoom; если, как в нашем примере, нужно рассматривать все значения фактора (а для пола в нашем примере их всего два), можно нажать кнопку All. Когда заданы обрабатываемые столбцы и коды фактора, можно нажать кнопку OK и перейти в окно быстрого анализа результатов: ANOVA Results 1, во вкладку Quick.

Рис. 5.4.3. Вкладка Quick окна результатов дисперсионного анализа

Кнопка All effects/Graphs позволяет увидеть, как соотносятся средние двух групп. Над графиком указывается число степеней свободы, а также значения F и p для рассматриваемого фактора.

Рис. 5.4.4. Графическое отображение результатов дисперсионного анализа

Кнопка All effects позволяет получить таблицу дисперсионного анализа, аналогичную описанной выше (с некоторыми существенными отличиями).

Рис. 5.4.5. Таблица с результатами дисперсионного анализа (сравните с аналогичной табличей, полученной "вручную")

В нижней строке таблицы указана сумма квадратов, количество степеней свободы и средние квадраты для ошибки (внутригрупповой изменчивости). На строку выше - аналогичные показатели для исследуемого фактора (в данном случае - признака Sex), a также критерий F (отношение средних квадратов эффекта к средним квадратам ошибки), и уровень его статистической значимости. То, что действие рассматриваемого фактора оказалось статистически значимым, показывает выделение красным цветом.

А в первой строке приведены данные по показателю «Intercept». Эта строка таблицы представляет загадку для пользователей, приобщающихся к пакету Statistica в его 6-й или более поздней версии. Величина Intercept (пересечение, перехват), вероятно, связана с разложением суммы квадратов всех значений данных (т.е. 1862 + 1692 … = 360340). Указанное для нее значение критерия F получено путем деления MS Intercept /MS Error = 353220 / 77,2 = 4575,389 и, естественно, дает очень низкое значение p . Интересно, что в Statistica-5 эта величина вообще не вычислялась, а руководства по использованию более поздних версий пакета никак не комментируют ее введение. Вероятно, лучшее, что может сделать биолог, работающий с пакетом Statistica-6 и последующих версий, это попросту игнорировать строку Intercept в таблице дисперсионного анализа.

5.5. ANOVA и критерии Стьюдента и Фишера: что лучше?

Как вы могли заметить, те данные, которые мы сравнивали с помощью однофакторного дисперсионного анализа, мы могли исследовать и с помощью критериев Стьюдента и Фишера. Сравним эти два метода. Для этого вычислим разницу в росте мужчин и женщин с использованием этих критериев. Для этого нам придется пройти по пути Statistics / Basic Statistics / t-test, independent, by groups. Естественно, Dependent variables - это переменная Growth, а Grouping variable - переменная Sex.

Рис. 5.5.1. Сравнение данных, обработанных с помощью ANOVA, по критериям Стьюдента и Фишера

Как можно убедиться, результат тот же самый, что и при использовании ANOVA. p = 0,041874 в обоих случаях, как показанном на рис. 5.4.5, так и показанном на рис. 5.5.2 (убедитесь в этом сами!).

Рис. 5.5.2. Результаты анализа (подробная расшифровка таблицы результатов - в пункте, посвященном критерию Стьюдента)

Важно подчеркнуть, что хотя критерий F с математической точки зрения в рассматриваемом анализе по критериям Стьюдента и Фишера тот же самый, что в ANOVA (и выражает отношение варианс), смысл его в результатах анализа, представляемых итоговой таблицей, совсем иной. При сравнении по критериям Стьюдента и Фишера сравнение средних значений выборок проводится по критерию Стьюдента, и сравнение их изменчивости проводится по критерию Фишера. В результатах анализа выводится не сама варианса, а ее квадратный корень - стандартное отклонение.

В дисперсионном анализе, напротив, критерий Фишера используется для сравнения средних разных выборок (как мы обсудили, это осуществляется с помощью разделения суммы квадратов на части и сравнения средней суммы квадратов, соответствующей меж- и внутригрупповой изменчивости).

Впрочем, приведенное отличие касается скорее представления результатов статистического исследования, чем его сути. Как указывает, например, Гланц (1999, с. 99), сравнение групп по критерию Стьюдента можно рассматривать как частный случай дисперсионного анализа для двух выборок.

Итак, сравнение выборок по критериям Стьюдента и Фишера имеет одно важное преимущество перед дисперсионным анализом: в нем можно сравнить выборки с точки зрения их изменчивости. Но преимущества дисперсионного анализа все равно весомее. К их числу, например, относится возможность одновременного сравнения нескольких выборок.