Оценка статистической значимости регрессии кратко. Оценка значимости уравнения регрессии и его параметров

Оценка значимости уравнения множественной регрессии

Построение эмпирического уравнения регрессии является начальным этапом эконометрического анализа. Первое же построенное по выборке уравнение регрессии очень редко является удовлетворительным по тем или иным характеристикам. Поэтому следующей важнейшей задачей эконометрического анализа является проверка качества уравнения регрессии. В эконометрике принята устоявшаяся схема такой проверки.

Итак, проверка статистического качества оцененного уравнения регрессии проводится по следующим направлениям:

· проверка значимости уравнения регрессии;

· проверка статистической значимости коэффициентов уравнения регрессии;

· проверка свойств данных, выполнимость которых предполагалась при оценивании уравнения (проверка выполнимости предпосылок МНК).

Проверка значимости уравнения множественной регрессии, так же как и парной регрессии, осуществляется с помощью критерия Фишера. В данном случае (в отличие от парной регрессии) выдвигается нулевая гипотеза Н 0 о том, что все коэффициенты регрессии равны нулю (b 1 =0, b 2 =0, … , b m =0). Критерий Фишера определяется по следующей формуле:

где D факт - факторная дисперсия, объясненная регрессией, на одну степень свободы; D ост - остаточная дисперсия на одну степень свободы; R 2 - коэффициент множественной детерминации; т х в уравнении регрессии (в парной линейной регрессии т = 1); п - число наблюдений.

Полученное значение F-критерия сравнивается с табличным при определенном уровне значимости. Если его фактическое значение больше табличного, тогда гипотеза Но о незначимости уравнения регрессии отвергается, и принимается альтернативная гипотеза о его статистической значимости.

С помощью критерия Фишера можно оценить значимость не только уравнения регрессии в целом, но и значимость дополнительного включения в модель каждого фактора. Такая оценка необходима для того, чтобы не загружать модель факторами, не оказывающими существенного влияния на результат. Кроме того, поскольку модель состоит из несколько факторов, то они могут вводиться в нее в различной последовательности, а так как между факторами существует корреляция, значимость включения в модель одного и того же фактора может различаться в зависимости от последовательности введения в нее факторов.

Для оценки значимости включения дополнительного фактора в модель рассчитывается частный критерий Фишера F xi . Он построен на сравнении прироста факторной дисперсии, обусловленного включением в модель дополнительного фактора, с остаточной дисперсией на одну степень свободы по регрессии в целом. Следовательно, формула расчета частного F-критерия для фактора будет иметь следующий вид:

где R 2 yx 1 x 2… xi … xp - коэффициент множественной детерминации для модели с полным набором п факторов; R 2 yx 1 x 2… x i -1 x i +1… xp - коэффициент множественной детерминации для модели, не включающей фактор x i ; п - число наблюдений; т - число параметров при факторах x в уравнении регрессии.

Фактическое значение частного критерия Фишера сравнивается с табличным при уровне значимости 0,05 или 0,1 и соответствующих числах степеней свободы. Если фактическое значение F xi превышает F табл , то дополнительное включение фактора x i в модель статистически оправдано, и коэффициент «чистой» регрессии b i при факторе x i статистически значим. Если же F xi меньше F табл , то дополнительное включение в модель фактора существенно не увеличивает долю объясненной вариации результата у, и, следовательно, его включение в модель не имеет смысла, коэффициент регрессии при данном факторе в этом случае статистически незначим.

С помощью частного критерия Фишера можно проверить значимость всех коэффициентов регрессии в предположении, что каждый соответствующий фактор x i вводится в уравнение множественной регрессии последним, а все остальные факторы были уже включены в модель раньше.

Оценка значимости коэффициентов «чистой» регрессии b i по критерию Стьюдента t может быть проведена и без расчета частных F -критериев. В этом случае, как и при парной регрессии, для каждого фактора применяется формула

t bi = b i / m bi ,

где b i - коэффициент «чистой» регрессии при факторе x i ; m bi - стандартная ошибка коэффициента регрессии b i .

Регрессионный анализ — это статистический метод исследования, позволяющий показать зависимость того или иного параметра от одной либо нескольких независимых переменных. В докомпьютерную эру его применение было достаточно затруднительно, особенно если речь шла о больших объемах данных. Сегодня, узнав как построить регрессию в Excel, можно решать сложные статистические задачи буквально за пару минут. Ниже представлены конкретные примеры из области экономики.

Виды регрессии

Само это понятие было введено в математику в 1886 году. Регрессия бывает:

• линейной;
• параболической;
• степенной;
• экспоненциальной;
• гиперболической;
• показательной;
• логарифмической.

Пример 1

Рассмотрим задачу определения зависимости количества уволившихся членов коллектива от средней зарплаты на 6 промышленных предприятиях.

Задача. На шести предприятиях проанализировали среднемесячную заработную плату и количество сотрудников, которые уволились по собственному желанию. В табличной форме имеем:

Для задачи определения зависимости количества уволившихся работников от средней зарплаты на 6 предприятиях модель регрессии имеет вид уравнения Y = а 0 + а 1 x 1 +…+а k x k , где х i — влияющие переменные, a i — коэффициенты регрессии, a k — число факторов.

Для данной задачи Y — это показатель уволившихся сотрудников, а влияющий фактор — зарплата, которую обозначаем X.

Использование возможностей табличного процессора «Эксель»

Анализу регрессии в Excel должно предшествовать применение к имеющимся табличным данным встроенных функций. Однако для этих целей лучше воспользоваться очень полезной надстройкой «Пакет анализа». Для его активации нужно:

• с вкладки «Файл» перейти в раздел «Параметры»;
• в открывшемся окне выбрать строку «Надстройки»;
• щелкнуть по кнопке «Перейти», расположенной внизу, справа от строки «Управление»;
• поставить галочку рядом с названием «Пакет анализа» и подтвердить свои действия, нажав «Ок».

Если все сделано правильно, в правой части вкладки «Данные», расположенном над рабочим листом «Эксель», появится нужная кнопка.

в Excel

Теперь, когда под рукой есть все необходимые виртуальные инструменты для осуществления эконометрических расчетов, можем приступить к решению нашей задачи. Для этого:

• щелкаем по кнопке «Анализ данных»;
• в открывшемся окне нажимаем на кнопку «Регрессия»;
• в появившуюся вкладку вводим диапазон значений для Y (количество уволившихся работников) и для X (их зарплаты);
• подтверждаем свои действия нажатием кнопки «Ok».

В результате программа автоматически заполнит новый лист табличного процессора данными анализа регрессии. Обратите внимание! В Excel есть возможность самостоятельно задать место, которое вы предпочитаете для этой цели. Например, это может быть тот же лист, где находятся значения Y и X, или даже новая книга, специально предназначенная для хранения подобных данных.

Анализ результатов регрессии для R-квадрата

В Excel данные полученные в ходе обработки данных рассматриваемого примера имеют вид:

Прежде всего, следует обратить внимание на значение R-квадрата. Он представляет собой коэффициент детерминации. В данном примере R-квадрат = 0,755 (75,5%), т. е. расчетные параметры модели объясняют зависимость между рассматриваемыми параметрами на 75,5 %. Чем выше значение коэффициента детерминации, тем выбранная модель считается более применимой для конкретной задачи. Считается, что она корректно описывает реальную ситуацию при значении R-квадрата выше 0,8. Если R-квадрата<0,5, то такой анализа регрессии в Excel нельзя считать резонным.

Анализ коэффициентов

Число 64,1428 показывает, каким будет значение Y, если все переменные xi в рассматриваемой нами модели обнулятся. Иными словами можно утверждать, что на значение анализируемого параметра оказывают влияние и другие факторы, не описанные в конкретной модели.

Следующий коэффициент -0,16285, расположенный в ячейке B18, показывает весомость влияния переменной Х на Y. Это значит, что среднемесячная зарплата сотрудников в пределах рассматриваемой модели влияет на число уволившихся с весом -0,16285, т. е. степень ее влияния совсем небольшая. Знак «-» указывает на то, что коэффициент имеет отрицательное значение. Это очевидно, так как всем известно, что чем больше зарплата на предприятии, тем меньше людей выражают желание расторгнуть трудовой договор или увольняется.

Множественная регрессия

Под таким термином понимается уравнение связи с несколькими независимыми переменными вида:

y=f(x 1 +x 2 +…x m) + ε, где y — это результативный признак (зависимая переменная), а x 1 , x 2 , …x m — это признаки-факторы (независимые переменные).

Оценка параметров

Для множественной регрессии (МР) ее осуществляют, используя метод наименьших квадратов (МНК). Для линейных уравнений вида Y = a + b 1 x 1 +…+b m x m + ε строим систему нормальных уравнений (см. ниже)

Чтобы понять принцип метода, рассмотрим двухфакторный случай. Тогда имеем ситуацию, описываемую формулой

Отсюда получаем:

где σ — это дисперсия соответствующего признака, отраженного в индексе.

МНК применим к уравнению МР в стандартизируемом масштабе. В таком случае получаем уравнение:

в котором t y , t x 1, … t xm — стандартизируемые переменные, для которых средние значения равны 0; β i — стандартизированные коэффициенты регрессии, а среднеквадратическое отклонение — 1.

Обратите внимание, что все β i в данном случае заданы, как нормируемые и централизируемые, поэтому их сравнение между собой считается корректным и допустимым. Кроме того, принято осуществлять отсев факторов, отбрасывая те из них, у которых наименьшие значения βi.

Задача с использованием уравнения линейной регрессии

Предположим, имеется таблица динамики цены конкретного товара N в течение последних 8 месяцев. Необходимо принять решение о целесообразности приобретения его партии по цене 1850 руб./т.

Для решения этой задачи в табличном процессоре «Эксель» требуется задействовать уже известный по представленному выше примеру инструмент «Анализ данных». Далее выбирают раздел «Регрессия» и задают параметры. Нужно помнить, что в поле «Входной интервал Y» должен вводиться диапазон значений для зависимой переменной (в данном случае цены на товар в конкретные месяцы года), а в «Входной интервал X» — для независимой (номер месяца). Подтверждаем действия нажатием «Ok». На новом листе (если так было указано) получаем данные для регрессии.

Строим по ним линейное уравнение вида y=ax+b, где в качестве параметров a и b выступают коэффициенты строки с наименованием номера месяца и коэффициенты и строки «Y-пересечение» из листа с результатами регрессионного анализа. Таким образом, линейное уравнение регрессии (УР) для задачи 3 записывается в виде:

Цена на товар N = 11,714* номер месяца + 1727,54.

или в алгебраических обозначениях

y = 11,714 x + 1727,54

Анализ результатов

Чтобы решить, адекватно ли полученное уравнения линейной регрессии, используются коэффициенты множественной корреляции (КМК) и детерминации, а также критерий Фишера и критерий Стьюдента. В таблице «Эксель» с результатами регрессии они выступают под названиями множественный R, R-квадрат, F-статистика и t-статистика соответственно.

КМК R дает возможность оценить тесноту вероятностной связи между независимой и зависимой переменными. Ее высокое значение свидетельствует о достаточно сильной связи между переменными «Номер месяца» и «Цена товара N в рублях за 1 тонну». Однако, характер этой связи остается неизвестным.

Квадрат коэффициента детерминации R 2 (RI) представляет собой числовую характеристику доли общего разброса и показывает, разброс какой части экспериментальных данных, т.е. значений зависимой переменной соответствует уравнению линейной регрессии. В рассматриваемой задаче эта величина равна 84,8%, т. е. статистические данные с высокой степенью точности описываются полученным УР.

F-статистика, называемая также критерием Фишера, используется для оценки значимости линейной зависимости, опровергая или подтверждая гипотезу о ее существовании.

(критерий Стьюдента) помогает оценивать значимость коэффициента при неизвестной либо свободного члена линейной зависимости. Если значение t-критерия > t кр, то гипотеза о незначимости свободного члена линейного уравнения отвергается.

В рассматриваемой задаче для свободного члена посредством инструментов «Эксель» было получено, что t=169,20903, а p=2,89Е-12, т. е. имеем нулевую вероятность того, что будет отвергнута верная гипотеза о незначимости свободного члена. Для коэффициента при неизвестной t=5,79405, а p=0,001158. Иными словами вероятность того, что будет отвергнута верная гипотеза о незначимости коэффициента при неизвестной, равна 0,12%.

Таким образом, можно утверждать, что полученное уравнение линейной регрессии адекватно.

Задача о целесообразности покупки пакета акций

Множественная регрессия в Excel выполняется с использованием все того же инструмента «Анализ данных». Рассмотрим конкретную прикладную задачу.

Руководство компания «NNN» должно принять решение о целесообразности покупки 20 % пакета акций АО «MMM». Стоимость пакета (СП) составляет 70 млн американских долларов. Специалистами «NNN» собраны данные об аналогичных сделках. Было принято решение оценивать стоимость пакета акций по таким параметрам, выраженным в миллионах американских долларов, как:

• кредиторская задолженность (VK);
• объем годового оборота (VO);
• дебиторская задолженность (VD);
• стоимость основных фондов (СОФ).

Кроме того, используется параметр задолженность предприятия по зарплате (V3 П) в тысячах американских долларов.

Решение средствами табличного процессора Excel

Прежде всего, необходимо составить таблицу исходных данных. Она имеет следующий вид:

• вызывают окно «Анализ данных»;
• выбирают раздел «Регрессия»;
• в окошко «Входной интервал Y» вводят диапазон значений зависимых переменных из столбца G;
• щелкают по иконке с красной стрелкой справа от окна «Входной интервал X» и выделяют на листе диапазон всех значений из столбцов B,C, D, F.

Отмечают пункт «Новый рабочий лист» и нажимают «Ok».

Получают анализ регрессии для данной задачи.

Изучение результатов и выводы

«Собираем» из округленных данных, представленных выше на листе табличного процессора Excel, уравнение регрессии:

СП = 0,103*СОФ + 0,541*VO - 0,031*VK +0,405*VD +0,691*VZP - 265,844.

В более привычном математическом виде его можно записать, как:

y = 0,103*x1 + 0,541*x2 - 0,031*x3 +0,405*x4 +0,691*x5 - 265,844

Данные для АО «MMM» представлены в таблице:

Подставив их в уравнение регрессии, получают цифру в 64,72 млн американских долларов. Это значит, что акции АО «MMM» не стоит приобретать, так как их стоимость в 70 млн американских долларов достаточно завышена.

Как видим, использование табличного процессора «Эксель» и уравнения регрессии позволило принять обоснованное решение относительно целесообразности вполне конкретной сделки.

Теперь вы знаете, что такое регрессия. Примеры в Excel, рассмотренные выше, помогут вам в решение практических задач из области эконометрики.

После того, как найдено уравнение линейной регрессии, проводится оценка значимости как уравнения в целом, так и отдельных его параметров.

Проверить значимость уравнения регрессии - значит установить, соответствует ли математическая модель, выражающая зависимость между переменными, экспериментальным данным и достаточно ли включённых в уравнение объясняющих переменных (одной или нескольких) для описания зависимой переменной.

Проверка значимости производится на основе дисперсионного анализа.

Согласно идее дисперсионного анализа, общая сумма квадратов отклонений (СКО) y от среднего значения раскладывается на две части - объясненную и необъясненную:

или, соответственно:

Здесь возможны два крайних случая: когда общая СКО в точности равна остаточной и когда общая СКО равна факторной.

В первом случае фактор х не оказывает влияния на результат, вся дисперсия y обусловлена воздействием прочих факторов, линия регрессии параллельна оси Ох и уравнение должно иметь вид.

Во втором случае прочие факторы не влияют на результат, y связан с x функционально, и остаточная СКО равна нулю.

Однако на практике в правой части присутствуют оба слагаемых. Пригодность линии регрессии для прогноза зависит от того, какая часть общей вариации y приходится на объясненную вариацию. Если объясненная СКО будет больше остаточной СКО, то уравнение регрессии статистически значимо и фактор х оказывает существенное воздействие на результат y. Это равносильно тому, что коэффициент детерминации будет приближаться к единице.

Число степеней свободы (df-degrees of freedom) - это число независимо варьируемых значений признака.

Для общей СКО требуется (n-1) независимых отклонений,

Факторная СКО имеет одну степень свободы, и

Таким образом, можем записать:

Из этого баланса определяем, что = n-2.

Разделив каждую СКО на свое число степеней свободы, получим средний квадрат отклонений, или дисперсию на одну степень свободы: - общая дисперсия, - факторная, - остаточная.

Анализ статистической значимости коэффициентов линейной регрессии

Хотя теоретические значения коэффициентов уравнения линейной зависимости предполагаются постоянными величинами, оценки а и b этих коэффициентов, получаемые в ходе построения уравнения по данным случайной выборки, являются случайными величинами. Если ошибки регрессии имеют нормальное распределение, то оценки коэффициентов также распределены нормально и могут характеризоваться своими средними значениями и дисперсией. Поэтому анализ коэффициентов начинается с расчёта этих характеристик.

Дисперсии коэффициентов рассчитываются по формулам:

Дисперсия коэффициента регрессии:

где - остаточная дисперсия на одну степень свободы.

Дисперсия параметра:

Отсюда стандартная ошибка коэффициента регрессии определяется по формуле:

Стандартная ошибка параметра определяется по формуле:

Они служат для проверки нулевых гипотез о том, что истинное значение коэффициента регрессии b или свободного члена a равно нулю: .

Альтернативная гипотеза имеет вид: .

t - статистики имеют t - распределение Стьюдента с степенями свободы. По таблицам распределения Стьюдента при определённом уровне значимости б и степенях свободы находят критическое значение.

Если, то нулевая гипотеза должна быть отклонена, коэффициенты считаются статистически значимыми.

Если, то нулевая гипотеза не может быть отклонена. (В случае, если коэффициент b статистически незначим, уравнение должно иметь вид, и это означает, что связь между признаками отсутствует. В случае, если коэффициент а статистически незначим, рекомендуется оценить новое уравнение в виде).

Интервальные оценки коэффициентов линейного уравнения регрессии:

Доверительный интервал для а: .

Доверительный интервал для b:

Это означает, что с заданной надёжностью (где - уровень значимости) истинные значения а, b находятся в указанных интервалах.

Коэффициент регрессии имеет четкую экономическую интерпретацию, поэтому доверительные границы интервала не должны содержать противоречивых результатов, например, Они не должны включать нуль.

Анализ статистической значимости уравнения в целом.

Распределение Фишера в регрессионном анализе

Оценка значимости уравнения регрессии в целом дается с помощью F- критерия Фишера. При этом выдвигается нулевая гипотеза о том, что все коэффициенты регрессии, за исключением свободного члена а, равны нулю и, следовательно, фактор х не оказывает влияния на результат y (или).

Величина F - критерия связана с коэффициентом детерминации. В случае множественной регрессии:

где m - число независимых переменных.

В случае парной регрессии формула F - статистики принимает вид:

При нахождении табличного значения F- критерия задается уровень значимости (обычно 0,05 или 0,01) и две степени свободы: - в случае множественной регрессии, - для парной регрессии.

Если, то отклоняется и делается вывод о существенности статистической связи между y и x.

Если, то вероятность уравнение регрессии считается статистически незначимым, не отклоняется.

Замечание. В парной линейной регрессии. Кроме того, поэтому. Таким образом, проверка гипотез о значимости коэффициентов регрессии и корреляции равносильна проверке гипотезы о существенности линейного уравнения регрессии.

Распределение Фишера может быть использовано не только для проверки гипотезы об одновременном равенстве нулю всех коэффициентов линейной регрессии, но и гипотезы о равенстве нулю части этих коэффициентов. Это важно при развитии линейной регрессионной модели, так как позволяет оценить обоснованность исключения отдельных переменных или их групп из числа объясняющих переменных, или же, наоборот, включения их в это число.

Пусть, например, вначале была оценена множественная линейная регрессия по п наблюдениям с т объясняющими переменными, и коэффициент детерминации равен, затем последние k переменных исключены из числа объясняющих, и по тем же данным оценено уравнение, для которого коэффициент детерминации равен (, т.к. каждая дополнительная переменная объясняет часть, пусть небольшую, вариации зависимой переменной).

Для того, чтобы проверить гипотезу об одновременном равенстве нулю всех коэффициентов при исключённых переменных, рассчитывается величина

имеющая распределение Фишера с степенями свободы.

По таблицам распределения Фишера, при заданном уровне значимости, находят. И если, то нулевая гипотеза отвергается. В таком случае исключать все k переменных из уравнения некорректно.

Аналогичные рассуждения могут быть проведены и по поводу обоснованности включения в уравнение регрессии одной или нескольких k новых объясняющих переменных.

В этом случае рассчитывается F - статистика

имеющая распределение. И если она превышает критический уровень, то включение новых переменных объясняет существенную часть необъяснённой ранее дисперсии зависимой переменной (т.е. включение новых объясняющих переменных оправдано).

Замечания. 1. Включать новые переменные целесообразно по одной.

2. Для расчёта F - статистики при рассмотрении вопроса о включении объясняющих переменных в уравнение желательно рассматривать коэффициент детерминации с поправкой на число степеней свободы.

F - статистика Фишера используется также для проверки гипотезы о совпадении уравнений регрессии для отдельных групп наблюдений.

Пусть имеются 2 выборки, содержащие, соответственно, наблюдений. Для каждой из этих выборок оценено уравнение регрессии вида. Пусть СКО от линии регрессии (т.е.) равны для них, соответственно, .

Проверяется нулевая гипотеза: о том, что все соответствующие коэффициенты этих уравнений равны друг другу, т.е. уравнение регрессии для этих выборок одно и то же.

Пусть оценено уравнение регрессии того же вида сразу для всех наблюдений, и СКО.

Тогда рассчитывается F - статистика по формуле:

Она имеет распределение Фишера с степенями свободы. F - статистика будет близкой к нулю, если уравнение для обеих выборок одинаково, т.к. в этом случае. Т.е. если, то нулевая гипотеза принимается.

Если же, то нулевая гипотеза отвергается, и единое уравнение регрессии построить нельзя.

Оценка значимости параметров уравнения регрессии

Оценка значимости параметров уравнения линейной регрессии производится с помощью критерия Стьюдента:

если t расч. > t кр, то принимается основная гипотеза (H o ), свидетельствующая о статистической значимости параметров регрессии;

если t расч. < t кр, то принимается альтернативная гипотеза (H 1 ), свидетельствующая о статистической незначимости параметров регрессии.

где m a , m b – стандартные ошибки параметров a и b:

(2.19)

(2.20)

Критическое (табличное) значение критерия находится с помощью статистических таблиц распределения Стьюдента (приложение Б) или по таблицам Excel (раздел мастера функций «Статистические»):

t кр = СТЬЮДРАСПОБР(α=1-P; k=n-2 ), (2.21)

где k=n-2 также представляет собой число степенейсвободы.

Оценка статистической значимости может быть применена и к линейному коэффициенту корреляции

где m r – стандартная ошибка определения значений коэффициента корреляции r yx

(2.23)

Ниже представлены варианты заданий для практических и лабораторных работ по тематике второго раздела.

Вопросы для самопроверки по 2 разделу

1. Укажите основные составляющие эконометрической модели и их сущность.

2. Основное содержание этапов эконометрического исследования.

3. Сущность подходов по определению параметров линейной регрессии.

4. Сущность и особенность применения метода наименьших квадратов при определении параметров уравнения регрессии.

5. Какие показатели используются для оценки тесноты взаимосвязи исследуемых факторов?

6. Сущность линейного коэффициента корреляции.

7. Сущность коэффициента детерминации.

8. Сущность и основные особенности процедур оценки адекватности (статистической значимости) регрессионных моделей.

9. Оценка адекватности линейных регрессионных моделей по коэффициенту аппроксимации.

10. Сущность подхода оценки адекватности регрессионных моделей по критерию Фишера. Определение эмпирических и критических значений критерия.

11. Сущность понятия «дисперсионный анализ» применительно к эконометрическим исследованиям.

12. Сущность и основные особенности процедуры оценки значимости параметров линейного уравнения регрессии.

13. Особенности применения распределения Стьюдента при оценке значимости параметров линейного уравнения регрессии.

14. В чем состоит задача прогноза единичных значений исследуемого социально-экономического явления?

1. Построить поле корреляции и сформулировать предположение о форме уравнения взаимосвязи исследуемых факторов;

2. Записать основные уравнения метода наименьших квадратов, произвести необходимые преобразования, составить таблицу для промежуточных расчетов и определить параметры линейного уравнения регрессии;

3. Осуществить проверку правильности проведенных вычислений с помощью стандартных процедур и функций электронных таблиц Excel.

4. Провести анализ результатов, сформулировать выводы и рекомендации.

1. Расчет значения линейного коэффициента корреляции;

2. Построение таблицы дисперсионного анализа;

3. Оценка коэффициента детерминации;

4. Осуществить проверку правильности проведенных вычислений с помощью стандартных процедур и функций электронных таблиц Excel.

5. Провести анализ результатов, сформулировать выводы и рекомендации.

4. Провести общую оценку адекватности выбранного уравнения регрессии;

1. Оценка адекватности уравнения по значениям коэффициента аппроксимации;

2. Оценка адекватности уравнения по значениям коэффициента детерминации;

3. Оценка адекватности уравнения по критерию Фишера;

4. Провести общую оценку адекватности параметров уравнения регрессии;

5. Осуществить проверку правильности проведенных вычислений с помощью стандартных процедур и функций электронных таблиц Excel.

6. Провести анализ результатов, сформулировать выводы и рекомендации.

1. Использование стандартных процедур мастера функций электронных таблиц Excel (из разделов «Математические» и «Статистические»);

2. Подготовка данных и особенности применения функции «ЛИНЕЙН»;

3. Подготовка данных и особенности применения функции «ПРЕДСКАЗ».

1. Использование стандартных процедур пакета анализа данных электронных таблиц Excel;

2. Подготовка данных и особенности применения процедуры «РЕГРЕССИЯ»;

3. Интерпретация и обобщение данных таблицы регрессионного анализа;

4. Интерпретация и обобщение данных таблицы дисперсионного анализа;

5. Интерпретация и обобщение данных таблицы оценки значимости параметров уравнения регрессии;

При выполнении лабораторной работы по данным одного из вариантов необходимо выполнить следующие частные задания:

1. Осуществить выбор формы уравнения взаимосвязи исследуемых факторов;

2. Определить параметры уравнения регрессии;

3. Провести оценку тесноты взаимосвязи исследуемых факторов;

4. Провести оценку адекватности выбранного уравнения регрессии;

5. Провести оценку статистической значимости параметров уравнения регрессии.

6. Осуществить проверку правильности проведенных вычислений с помощью стандартных процедур и функций электронных таблиц Excel.

7. Провести анализ результатов, сформулировать выводы и рекомендации.

Задания для практических и лабораторных работ по теме «Парная линейная регрессия и корреляция в эконометрических исследованиях».

Оценка статистической значимости параметров и уравнения в целом – это обязательная процедура, которая позволяет сделать ввод о возможности использования построенного уравнения связи для принятия управленческих решений и прогнозирования.

Оценка статистической значимости уравнения регрессии осуществляется с использованием F-критерия Фишера, который представляет собой отношение факторной и остаточных дисперсий, рассчитанных на одну степень свободы.

Факторная дисперсия – объясненная часть вариации признака-результата, то есть обусловленная вариацией тех факторов, которые включены в анализ (в уравнение):

где k – число факторов в уравнении регрессии (число степеней свободы факторной дисперсии); - среднее значение зависимой переменной; - теоретическое (рассчитанное по уравнению регрессии) значение зависимой переменной у i – й единицы совокупности.

Остаточная дисперсия – необъясненная часть вариации признака-результата, то есть обусловленная вариацией прочих факторов, не включенных в анализ.

= , (71)

где - фактическое значение зависимой переменной у i – й единицы совокупности; n-k-1 – число степеней свободы остаточной дисперсии; n – объем совокупности.

Сумма факторной и остаточной дисперсий, как отмечалось выше, есть общая дисперсия признака-результата.

F-критерия Фишера рассчитывается по следующей формуле:

F-критерий Фишера – величина, отражающая соотношение объясненной и необъясненной дисперсий, позволяет ответить на вопрос: объясняют ли включенные в анализ факторы статистическую значимую часть вариации признака-результата. F-критерий Фишера табулирован (входом в таблицу является число степеней свободы факторной и остаточной дисперсий). Если , то уравнение регрессии признается статистически значимым и, соответственно, статистически значим коэффициент детерминации. В противном случае, уравнение – статистически не значимо, т.е. не объясняет существенной части вариации признака-результата.

Оценка статистической значимости параметров уравнения осуществляется на основе t-статистики, которая рассчитывается как отношение модуля параметров уравнения регрессии к их стандартным ошибкам ():

, где ; (73)

, где . (74)

В любой статистической программе расчет параметров всегда сопровождается расчетом значений их стандартных (среднеквадратических) ошибок и t-статистики. Параметр признаются статистически значимым, если фактическое значение t-статистики больше табличного.

Оценка параметров на основе t-статистики, по существу, является проверкой нулевой гипотезы о равенстве генеральных параметров нулю (H 0: =0; H 0: =0;), то есть о не значимости параметров уравнения регрессии. Уровень значимости принятия нулевых гипотез = 1-0,95=0,05 (0,95 – уровень вероятности, как правило, устанавливаемый в экономических расчетах). Если расчетный уровень значимости меньше 0,05 , то нулевая гипотеза отвергается и принимается альтернативная - о статистической значимости параметра.

Проводя оценку статистической значимости уравнения регрессии и его параметров, мы можем получить различное сочетание результатов.

· Уравнение по F-критерию статистически значимо и все параметры уравнения по t-статистике тоже статистически значимы. Данное уравнение может быть использовано как для принятия управленческих решений (на какие факторы следует воздействовать, чтобы получить желаемый результат), так и для прогнозирования поведения признака-результата при тех или иных значениях факторов.

· По F-критерию уравнение статистически значимо, но незначимы отдельные параметры уравнения. Уравнение может быть использовано для принятия управленческих решений (касающихся тех факторов, по которым получено подтверждение статистической значимости их влияния), но уравнение не может быть использовано для прогнозирования.

· Уравнение по F-критерию статистически незначимо. Уравнение не может быть использовано. Следует продолжить поиск значимых признаков-факторов или аналитической формы связи аргументов и отклика.

Если подтверждена статистическая значимость уравнения и его параметров, то может быть реализован, так называемый, точечный прогноз, т.е. рассчитывается вероятное значение признака-результата (y) при тех или иных значениях факторов (x). Совершенно очевидно, что прогнозное значение зависимой переменной не будет совпадать с фактическим ее значением. Это связано, прежде всего, с самой сутью корреляционной зависимости. Одновременно на результат воздействует множество факторов, из которых только часть может быть учтена в уравнении связи. Кроме того, может быть неверно выбрана форма связи результата и факторов (тип уравнения регрессии). Между фактическими значениями признака-результата и его теоретическими (прогнозными) значениями всегда существует различие (). Графически эта ситуация выражается в том, что не все точки поля корреляции лежат на линии регрессии. Лишь при функциональной связи линия регрессии пройдет через все точки поля корреляции. Разность между фактическими и теоретическими значениями результативного признака называют отклонениями или ошибками, или остатками. На основе этих величин и рассчитывается остаточная дисперсия, являющаяся оценкой среднеквадратической ошибки уравнения регрессии. Величина стандартной ошибки используется для расчета доверительных интервалов прогнозного значения признака-результата (Y).