Взаимное расположение прямых на плоскости. Угол между двумя прямыми

Если две прямые l 1 и l 2 лежат на плоскости, то возможны три различных случая их взаимного расположения: 1)пересекаются (т.е. имеют одну общую точку); 2) параллельны и не совпадают; 3) совпадают.

Выясним, как узнать, какой из этих случаев имеет место, если эти прямые заданы своими уравнениями в общем виде:

Если прямые l 1 и l 2 пересекаются в некоторой точке М(х,у), то координаты этой точки должны удовлетворять обоим уравнениям системы (12).

Следовательно, чтобы найти координаты точки пересечения прямых l 1 и l 2 , надо решить систему уравнений (12):
1) если система (12) имеет единственное решение, то прямые l 1 и l 2 пересекаются;
2) если система (12) не имеет решения, то прямые l 1 и l 2 параллельны;
3) если система (12) имеет множество решений, то прямые l 1 и l 2 совпадают.

Условием совпадения двух прямых является пропорциональность соответствующих коэффициентов их уравнений.

Пример 10. Пересекаются ли прямые 3х+4у-1=0 и 2х+3у-1=0 ?

Решение: Решим систему уравнений: система имеет единственное решение, следовательно прямые пересекаются. Точка пересечения прямых имеет координаты (-1;1).

Пример 11. Параллельны, ли прямые 2х-у+2=0 и 4х-2у-1=0?

Решение: Решим систему уравнений
Эта система не имеет решений, следовательно прямые параллельны.

Пример 12. Совпадают ли прямые х+у+1=0 и 3х+3у+3=0?

Решение: Совпадают, так как коэффициенты пропорциональны.

Пример 13. Составить уравнение прямой линии, проходящей через точку пересечения прямых х+у-1=0, х-у+2=0 и через точку (2,1).

Решение: Находим координаты точки пересечения двух данных прямых линий. Для этого решаем данные уравнения совместно. Складывая, находим: 2х+1=0, откуда
Вычитая из первого уравнения второе, получаем: 2у-3=0, откуда . Далее, остается составить уравнение прямой линии по двум точками () и (2;1)
Искомое уравнение будет , или или откуда или x+5y-7=0

Углом между двумя прямыми на плоскости называется угол между их направляющими векторами. По этому определению получаются не один угол, а два смежных угла, дополняющих друг друга до . В элементарной геометрии из двух смежных углов, как правило, выбирается меньший, т.е. величина угла между двумя прямыми удовлетворяет условию .

Если и направляющие векторы прямых и соответственно (рис.3.23,а), то величина угла между этими прямыми вычисляется по формуле:

Угол между прямыми (3.19) можно вычислить как угол между их нормалями и :

Чтобы получить величину острого угла между прямыми, нужно правую часть взять по абсолютной величине:

Необходимым и достаточным условием перпендикулярности прямых (3.19) является условие ортогональности их нормалей, т.е. равенства нулю скалярного произведения их нормалей :

По формуле (3.22) получаем острый угол между прямыми (3.19), если (рис.3.23,а), и тупой в противном случае: (рис.3.23,6). Другими словами, по формуле (3.22) находится тот угол между прямыми, в котором лежат точки, принадлежащие разноименным полуплоскостям, опреляемым данными прямыми . На рис.3.23 положительные и отрицательные полуплоскости отмечены знаками плюс "+" или минус "–" соответственно.

Глава V*. Уравнения прямых и плокостей в пространстве.

§ 66. Условия совпадения и пересечения плоскостей

Если плоскости р 1 и р 2 , заданные уравнениями

А 1 х + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 и А 2 х + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0, (1)

имеют общую точку, то ее координаты удовлетворяют каждому из уравнений (1). Поэтому для нахождения общих точек данных плоскостей нужно решить систему уравнений

т. е. систему двух уравнений с тремя неизвестными. При выполнении условия

(3)

система (2) решений не имеет. В самом деле, предположим противное.
Допустим, что (х 0 ; у 0 , z 0) - решение системы. Тогда, если

то из второго уравнения системы (2) получаем

А 2 х 0 + B 2 у 0 + C 2 z 0 = - D 2 ,

а из первого

k (А 2 х 0 + B 2 у 0 + C 2 z 0) = - D 1 ,

и, следовательно, , что противоречит уеловию (3).

Мы знаем, что условие есть условие параллельности плоскостей. Таким образом, при выполнении условия (3) плоскости р 1 и р 2 параллельны и не совпадают.

В случае, когда коэффициенты и свободные члены системы (2) удовлетворяют условию

(4)

система имеет вид

Каждое из уравнений системы определяет одну и ту же плоскость. Таким образом, условие (4) есть необходимое и достаточное условие совпадения плоскостей.

Если плоскости р 1 и р 2 не параллельны, т. е. если они пересекаются, то

В этом случае уравнения (2) являются уравнениями прямой l пересечения плоскостей р 1 и р 2 . Покажем, как можно найти канонические уравнения этой прямой. Чтобы составить канонические уравнения прямой, нужно знать координаты ее некоторой точки и координаты ее направляющего вектора а . За координаты точки M 0 можно взять любое решение системы (2). В качестве направляющего вектора а прямой l можно взять векторное произведение векторов n 1 = (A 1 ; B 1 ; С 1) и n 2 = (A 2 ; B 2 ; С 2), т. е. нормальных векторов плоскостей р 1 и р 2 .

В самом деле (рис. 203), вектор [n 1 ; n 2 ] по определению векторного произведения перпендикулярен векторам n 1 и n 2 и поэтому параллелен плоскостям р 1 и р 2 и, следовательно, коллинеарен прямой l их пересечения.

Задача 1 . Составить канонические уравнения прямой, являющейся пересечением плоскостей

х - 2у + z + 1 = 0 и 2х - у + 3z - 2 = 0.

Так как n 1 = (1; - 2; 1), n 2 = (2; -1; 3), то

Для определения координат какой-либо точки данной прямой найдем какое-либо решение системы уравнений

Положим, например, z = 0, тогда получим

откуда х = 5 / 3 , y = 4 / 3 . Следовательно, исходная система имеет решение (5 / 3 ; 4 / 3 ; 0), и поэтому данная прямая проходит через точку М (5 / 3 ; 4 / 3 ; 0).

Зная координаты точки прямой и координаты ее направляющего вектора, записываем канонические уравнения данной прямой

Заметим, что если плоскости А 1 х + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 и А 2 х + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 пересекаются, то уравнение всякой плоскости, проходящей через прямую их пересечения, может быть записано в виде

α (А 1 х + B 1 y + C 1 z + D 1) + β(А 2 х + B 2 y + C 2 z + D 2) = 0,

где α и β - некоторые числа.

Задача 2. Составить уравнение плоскости, поpоходящей через прямую пересечения плоскостей 3x - 2у - z + 4 = 0 и х - 4у - 3z - 2 = 0 и точку M 0 (1; 1; - 2).

Составим уравнение плоскостей, проходящих через прямую пересечения данных плоскостей:

α (3x - 2у - z + 4) + β(х - 4у - 3z - 2) = 0.

Так как M 0 принадлежит искомой плоскости, то

α (3 1 - 2 1 + 2 + 4) + β(1- 4 1 + 6 -2) = 0,

и, следовательно,

откуда, например, α = 1, β = -7.

Искомым уравнением плоскости будет

3x - 2у - z + 4 - 7 (х - 4у - 3z - 2) = 0,

2x - 13у - 10z - 9 = 0.

Если две прямые l 1 и l 2 лежат на плоскости, то возможны три различных случая их взаимного расположения: 1)пересекаются (т.е. имеют одну общую точку); 2) параллельны и не совпадают; 3) совпадают.

Выясним, как узнать, какой из этих случаев имеет место, если эти прямые заданы своими уравнениями в общем виде:

Если прямые l 1 и l 2 пересекаются в некоторой точке М(х,у), то координаты этой точки должны удовлетворять обоим уравнениям системы (12).

Следовательно, чтобы найти координаты точки пересечения прямых l 1 и l 2 , надо решить систему уравнений (12):
1) если система (12) имеет единственное решение, то прямые l 1 и l 2 пересекаются;
2) если система (12) не имеет решения, то прямые l 1 и l 2 параллельны;
3) если система (12) имеет множество решений, то прямые l 1 и l 2 совпадают.

Условием совпадения двух прямых является пропорциональность соответствующих коэффициентов их уравнений.

Пример 10. Пересекаются ли прямые 3х+4у-1=0 и 2х+3у-1=0 ?

Решение: Решим систему уравнений: система имеет единственное решение, следовательно прямые пересекаются. Точка пересечения прямых имеет координаты (-1;1).

Пример 11. Параллельны, ли прямые 2х-у+2=0 и 4х-2у-1=0?

Решение: Решим систему уравнений
Эта система не имеет решений, следовательно прямые параллельны.

Пример 12. Совпадают ли прямые х+у+1=0 и 3х+3у+3=0?

Решение: Совпадают, так как коэффициенты пропорциональны.

Пример 13. Составить уравнение прямой линии, проходящей через точку пересечения прямых х+у-1=0, х-у+2=0 и через точку (2,1).

Решение: Находим координаты точки пересечения двух данных прямых линий. Для этого решаем данные уравнения совместно. Складывая, находим: 2х+1=0, откуда
Вычитая из первого уравнения второе, получаем: 2у-3=0, откуда . Далее, остается составить уравнение прямой линии по двум точками () и (2;1)
Искомое уравнение будет , или или откуда или x+5y-7=0

Углом между двумя прямыми на плоскости называется угол между их направляющими векторами. По этому определению получаются не один угол, а два смежных угла, дополняющих друг друга до . В элементарной геометрии из двух смежных углов, как правило, выбирается меньший, т.е. величина угла между двумя прямыми удовлетворяет условию .

Если и направляющие векторы прямых и соответственно (рис.3.23,а), то величина угла между этими прямыми вычисляется по формуле:

Угол между прямыми (3.19) можно вычислить как угол между их нормалями и :

Чтобы получить величину острого угла между прямыми, нужно правую часть взять по абсолютной величине:

Необходимым и достаточным условием перпендикулярности прямых (3.19) является условие ортогональности их нормалей, т.е. равенства нулю скалярного произведения их нормалей :

По формуле (3.22) получаем острый угол между прямыми (3.19), если (рис.3.23,а), и тупой в противном случае: (рис.3.23,6). Другими словами, по формуле (3.22) находится тот угол между прямыми, в котором лежат точки, принадлежащие разноименным полуплоскостям, опреляемым данными прямыми . На рис.3.23 положительные и отрицательные полуплоскости отмечены знаками плюс "+" или минус "–" соответственно.

Если две прямые l 1 и l 2 лежат на плоскости, то возможны три различных случая их взаимного расположения: 1)пересекаются (т.е. имеют одну общую точку); 2) параллельны и не совпадают; 3) совпадают.

Выясним, как узнать, какой из этих случаев имеет место, если эти прямые заданы своими уравнениями в общем виде:

Если прямые l 1 и l 2 пересекаются в некоторой точке М(х,у), то координаты этой точки должны удовлетворять обоим уравнениям системы (12).

Следовательно, чтобы найти координаты точки пересечения прямых l 1 и l 2 , надо решить систему уравнений (12):
1) если система (12) имеет единственное решение, то прямые l 1 и l 2 пересекаются;
2) если система (12) не имеет решения, то прямые l 1 и l 2 параллельны;
3) если система (12) имеет множество решений, то прямые l 1 и l 2 совпадают.

Условием совпадения двух прямых является пропорциональность соответствующих коэффициентов их уравнений.

Пример 10. Пересекаются ли прямые 3х+4у-1=0 и 2х+3у-1=0 ?

Решение: Решим систему уравнений: система имеет единственное решение, следовательно прямые пересекаются. Точка пересечения прямых имеет координаты (-1;1).

Пример 11. Параллельны, ли прямые 2х-у+2=0 и 4х-2у-1=0?

Решение: Решим систему уравнений
Эта система не имеет решений, следовательно прямые параллельны.

Пример 12. Совпадают ли прямые х+у+1=0 и 3х+3у+3=0?

Решение: Совпадают, так как коэффициенты пропорциональны.

Пример 13. Составить уравнение прямой линии, проходящей через точку пересечения прямых х+у-1=0, х-у+2=0 и через точку (2,1).

Решение: Находим координаты точки пересечения двух данных прямых линий. Для этого решаем данные уравнения совместно. Складывая, находим: 2х+1=0, откуда
Вычитая из первого уравнения второе, получаем: 2у-3=0, откуда . Далее, остается составить уравнение прямой линии по двум точками () и (2;1)
Искомое уравнение будет , или или откуда или x+5y-7=0

Для двух прямых в пространстве возможны четыре случая:

Прямые совпадают;

Прямые параллельны (но не совпадают);

Прямые пересекаются;

Прямые скрещиваются, т.е. не имеют общих точек и непараллельны.

Рассмотрим два способа описания прямых: каноническими уравнениями и общими уравнениями . Пусть прямые L 1 и L 2 заданы каноническими уравнениями:

L 1: (x - x 1)/l 1 = (y - y 1)/m 1 = (z - z 1)/n 1 , L 2: (x - x 2)/l 2 = (y - y 2)/m 2 = (z - z 2)/n 2 (6.9)

Для каждой прямой из ее канонических уравнений сразу определяем точку на ней M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) ∈ L 1 , M 2 (x 2 ; y 2 ; z 2) ∈ L 2 и координаты направляющих векторов s 1 = {l 1 ; m 1 ; n 1 } для L 1 , s 2 = {l 2 ; m 2 ; n 2 } для L 2 .

Если прямые совпадают или параллельны, то их направляющие векторы s 1 и s 2 коллинеарны, что равносильно равенству отношений координат этих векторов:

l 1 /l 2 = m 1 /m 2 = n 1 /n 2 . (6.10)

Если прямые совпадают, то направляющим векторам коллинеарен и вектор M 1 M 2 :

(x 2 - x 1)/l 1 = (y 2 - y 1)/m 1 = (z 2 - z 1)/n 1 . (6.11)

Это двойное равенство также означает, что точка М 2 принадлежит прямой L 1 . Следовательно, условием совпадения прямых является выполнение равенств (6.10) и (6.11) одновременно.

Если прямые пересекаются или скрещиваются, то их направляющие векторы неколлинеарны, т.е. условие (6.10) нарушается. Пересекающиеся прямые лежат в одной плоскости и, следовательно, векторы s 1 , s 2 и M 1 M 2 являются компланарными определителя третьего порядка , составленного из их координат (см. 3.2):

Условие (6.12) выполняется в трех случаях из четырех, поскольку при Δ ≠ 0 прямые не принадлежат одной плоскости и потому скрещиваются.

Сведем все условия воедино:

Взаимное расположение прямых характеризуется количеством решений у системы (6.13). Если прямые совпадают, то система имеет бесконечно много решений. Если прямые пересекаются, то эта система имеет единственное решение. В случае параллельных или скрещивающихся прямых решений нет. Последние два случая можно разделить, если найти направляющие векторы прямых. Для этого достаточно вычислить два векторных произведения n 1 × n 2 и n 3 × n 4 , где n i = {A i ; B i ; C i }, i = 1, 2, 3,4. Если полученные векторы коллинеарны, то данные прямые параллельны. Иначе они скрещивающиеся.

Пример 6.4.

Направляющий вектор s 1 прямой L 1 находим по каноническим уравнениям этой прямой: s 1 = {1; 3; -2}. Направляющий вектор s 2 прямой L 2 вычисляем с помощью векторного произведения нормальных векторов плоскостей, пересечением которых она является:

Поскольку s 1 = -s 2 , то прямые параллельны или совпадают. Выясним, какая из этих ситуаций реализуется для данных прямых. Для этого подставим координаты точки M 0 (1; 2; -1) ∈ L 1 в общие уравнения прямой L 2 . Для первого из них получаем 1 = 0. Следовательно, точка М 0 не принадлежит прямой L 2 и рассматриваемые прямые параллельны.

Угол между прямыми . Угол между двумя прямыми можно найти, используя направляющие векторы прямых. Острый угол между прямыми равен углу между их направляющими векторами (рис. 6.5) или является дополнительным к нему, если угол между направляющими векторами тупой. Таким образом, если для прямых L 1 и L 2 известны их направляющие векторы s x и s 2 , то острый угол φ между этими прямыми определяется через скалярное произведение:

cosφ = |S 1 S 2 |/|S 1 ||S 2 |

Например, пусть s i = {l i ; m i ; n i }, i = 1, 2. Используя формулы (2.9) и (2.14) для вычисления длины вектора и скалярного произведения в координатах, получаем