Раскрытие скобок многочленов. Калькулятор онлайн.Упрощение многочлена.Умножение многочленов

С многочленами, как и с любыми другими алгебраическими выражениями, можно производить различные действия. Разберемся, как складывать и вычитать многочлены.

Пусть даны два многочлена. Чтобы их сложить, их записывают в скобках и ставят знак «плюс» между ними. Потом раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые. При вычитании мы ставим между скобками знак «минус».

Раскрываем скобками и приводим подобные слагаемые. Если перед скобкой стоит знак «плюс» то, раскрывая скобки, мы сохраняем знак каждого из одночлена входящего в многочлен, заключенный в скобки. Если перед скобками стоит знак «минус», то, раскрывая скобки, следует заменить знаки у каждого из одночленов входящих в многочлен, заключенный в скобки.

Чтобы привести подобные слагаемые, нужно сложить коэффициенты у подобных одночленов, а потом, полученное число умножить на буквенное выражение.

Примеры

Рассмотрим пример.

Даны два многочлена x^3 +5*x^2 - 4*x + 5 и -x^3 + 3*x^2 - x + 2. Найти сумму и разность этих многочленов.

(x^3 +5*x^2 - 4*x + 5) + (-x^3 + 3*x^2 - x + 2) =

x^3 +5*x^2 - 4*x + 5 - x^3 + 3*x^2 - x + 2 =

8*x^2 - 5*x + 7.

(x^3 +5*x^2 - 4*x + 5) - (-x^3 + 3*x^2 - x + 2) =

x^3 +5*x^2 - 4*x + 5 + x^3 - 3*x^2 + x - 2 =

2*x^3 + 2*x^2 -3*x +1.

Алгебраическая сумма многочленов

Следует обратить внимание, x^3 - x^3 = 0. И поэтому при сложении, у нас исчез одночлен x^3. В таком случае говорят, что члены х^3 и -x^3 взаимно уничтожились. Как видно сложение и вычитание многочленов производятся по одному и тому же правилу. При этом нет необходимости в использовании терминов «сложение многочленов» или «разность многочленов». Их можно заменить одним выражением - «алгебраическая сумма многочленов».

Можно записать общее правило нахождения алгебраической суммы нескольких многочленов.
Для того чтобы найти алгебраическую сумму нескольких многочленов, записанную в стандартном виде, необходимо раскрыть скобки и привести подобные слагаемые.

При этом, если перед скобкой стоит знак «плюс», то раскрывая скобки, знаки перед слагаемыми нужно оставить без изменений. Если же перед скобкой стоит знак «минус», то раскрывая скобки, знаки перед слагаемыми нужно заменить на противоположные. «Плюс» на «минус», а «минус» на «плюс».

Презентация и раздаточный материал к уроку в 7 классе "Сложение и вычитание многочленов"

Цели и задачи учебного занятия:

• Образовательные :
  • познакомить учащихся с правилами сложения и вычитания многочленов;
  • формировать умения и навыки сложения и вычитания многочленов, приведения подобных слагаемых и раскрытия скобок.
• Развивающие :
  • формировать умения осуществлять мыслительные операции: выделять главное, систематизировать, анализировать;
  • развивать грамотность математического письма, память, умение слушать.
• Воспитательная :
  • прививать трудолюбие, усидчивость, аккуратность, точность;
  • формировать положительное отношение к предмету и интерес к знаниям.

Оборудование: учебник, доска.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Сложение, вычитание многочленов. МБОУ лицей №1, г.Волжский Волгоградской области. Учитель математики:Коротова И.В.

Схема урока. Теория Подготовка к УПД Практика Домашнее задание Изучение нового материала Индивидуальный опрос

Теория Одночлен. Одночлен стандартного вида. Подобные слагаемые. Приведение подобных слагаемых. Многочлен. Многочлен стандартного вида. Алгоритм приведения многочлена к стандартному виду. Раскрытие скобок перед которыми стоит знак плюс (знак минус)

Выберите одночлены: 2 х + у; 3ху; 27ab 2 ; gh + 4; 2m+5n; 1 ; 1 + k . Теория

Приведите подобные слагаемые: -11ак + 8ак + 5ак; 7x 3 y 2 - 12 + 4x 2 y - 2y 2 x 3 + 6 Теория

Представьте многочлен в стандартном виде: 6 ab – 2 b 2 – 6 ba + 5 a 2 + 0,6 b 2 - 4 a · b a + 2 a 2 b + 0,2 a 2 b 2 – 2 a 2 b 2 Теория

Раскрыть скобки. – (32 – 2a 2 b – 5b + 4a) + (-7 х+ 8 у – 5ху + 7) Взаимопроверка

Взаимопроверка. Выберите одночлены: Отметка 2 3 6 Приведите подобные слагаемые: 2ак 5х 3 у 2 + 4х 2 у - 6 Представьте многочлен в стандартном виде -1,4 b 2 +5a 2 -1 ,8 a 2 b 2 - 2a 2 b Раскрыть скобки: -32+2a 2 b + 5b – 4a -7x + 8y – 5xy + 7 Итоговая отметка: Схема урока

Индивидуальный опрос. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Индивидуальный опрос. Низкий уровень 1 2 3 4 Средний уровень 1 2 3 4 Высокий уровень 1 2 3 4 Работа класса Схема урока

1. Низкий уровень Представьте в стандартном виде многочлен: Индивидуальный опрос

2. Низкий уровень Представьте в стандартном виде многочлен: Индивидуальный опрос

3. Низкий уровень Представьте в стандартном виде многочлен: Индивидуальный опрос

4. Низкий уровень Представьте в стандартном виде многочлен: Индивидуальный опрос

1.Средний уровень Представьте в стандартном виде многочлен: 16а(-а 2 b) + 18а 3 b - 12аа b + 14а 2 b Индивидуальный опрос

2.Средний уровень Представьте в стандартном виде многочлен: 5 x (-4х 4) – 2 x 2 З x 3 + 27 x 5 - x 6 Индивидуальный опрос

3.Средний уровень Представьте в стандартном виде многочлен: 2у у 3 - Зу 2 4у 2 + 6у 4 - 8 у 4 - 11 Индивидуальный опрос

4.Средний уровень Представьте в стандартном виде многочлен: 23х 3 - 7 хх 2 у + 6х 2 x – 2 x 2 8у + 4 Индивидуальный опрос

1.Высокий уровень Представьте в стандартном виде многочлен: 3 a 2 b n+2 + 5 a · 0,2 a b n+2 – 4 a 2 b n · 0,5 b 2 + 2 a 2 b n bb Индивидуальный опрос

2.Высокий уровень Представьте в стандартном виде многочлен: 3,2x 2 x n x - 3,4 х n+1 2x 2 - 4,8x n+2 0,1x + x n+3 Индивидуальный опрос

3.Высокий уровень Представьте в стандартном виде многочлен: 0,3 у n+3 у 2 - 0,12y 2 y 0,1 у n+2 - 1,6 у n+2 yyy – 3 Индивидуальный опрос

4.Высокий уровень Представьте в стандартном виде многочлен: 3x n-2 x 5 -2x n 7x 2 x+4y n+1 4y 0,2y-12y n+1 0,1y 2 Индивидуальный опрос

Записать сумму многочленов – 2 a + 5 b и – 2 b – 5 a 5y 2 + 2y - 3 и 7y 2 - 3y + 7. Записать разность многочленов – 2а + 5b и – 2b – 5а 8y 2 + 5y + 3 и 5y 2 - 3y + 7 .

Записать разность многочленов – 2 а + 5 b и – 2 b – 5 а 8y 2 + 5y + 3 и 5y 2 - 3y + 7 .

Упростить выражение. (– 2 a + 5 b) + (– 2 b – 5 a) = Проверка

Упростить выражение. (5y 2 + 2y - 3) + (7y 2 - 3y + 7) = Проверка

Упростить выражение. (– 2 a + 5 b) + (– 2 b – 5 a) = – 2 a + 5 b – 2 b – 5 a = – 3 b – 7 a

Упростить выражение. (5y 2 + 2y - 3) + (7y 2 - 3y + 7) = 5y 2 + 2y - 3 + 7y 2 - 3y + 7 = 12y 2 - y + 4

Упростить выражение (– 2 a + 5 b) – (– 2 b – 5 a) = Проверка

Упростить выражение (8y 2 + 5y + 3) - (5y 2 - 3y + 7) = Проверка

Упростить выражение (– 2 a + 5 b) – (– 2 b – 5 a) = – 2 a + 5 b + 2 b + 5 a = 7 b + 3 a

Упростить выражение (8y 2 + 5y + 3) - (5y 2 - 3y + 7) = 8y 2 + 5y + 3 - 5y 2 + 3y - 7 = 3y 2 + 8y - 4 Схема урока

Сложение и вычитание многочленов.

Правило сложения (вычитания) многочленов. Пусть даны два многочлена. Чтобы их сложить, их записывают в скобках и ставят знак «плюс» между ними. При вычитании мы ставим между скобками знак «минус». Для того, чтобы найти алгебраическую сумму нескольких многочленов, нужно раскрыть скобки по соответствующему правилу и привести подобные члены. В результате сложения (вычитания) многочленов получается многочлен. Схема урока

Практические задания. № 587 (а,г) № 588 (б) Схема урока

Домашнее задание: П.26 № 589 (а,в) № 595 (а) № 612 (б)

a - b b a - x - y 2 x - y 3 y 3 a 0

2 a a - b b b - a a - b - b b + a 0 - x - y 2 x - y - x + 2 y 3 y 0 - 3 y x – 2 y - 2 x + y x + y

Низкий уровень Средний уровень 3 a 2 b 3 + 5 a · 0,2 a b 2 – 4 a 2 b 2 · 0,5 b + 2 a 2 b 2 Высокий уровень 5 x n +4 2у - 10х n у 4х 4 –14 x n у 2 +18х n уу Проверка

Низкий уровень -a b 2 Средний уровень a 2 b 3 + 3 a 2 b 2 Высокий уровень -30x n +4 у + 4 x n у 2 Схема урока

Предварительный просмотр:

1 . Взаимопроверка.

2 . Работа класса

1 . Взаимопроверка.

2 . Работа класса

3 . Запишите в клетки каждого квадрата такие выражения, чтобы их сумма в каждом столбце, каждой строке и каждой диагонали была равна выражению, записанному в треугольнике:

Предварительный просмотр:

Представьте в стандартном виде многочлен:

16а(-а 2 6) + 18а 3 6 - 12аа6 + 14а 2 6

5 x (-4х 4 ) – 2 x 2 З x 3 + 27 x 5 - x 6

2у у 3 - Зу 2 4у 2 + 6у 4 - 8 у 4 - 11

23х 3 - 7 хх 2 у + 6х 2 x – 2 x 2 8у + 4

3,2x 2 x n x - 3,4 х n +1 2x 2 - 4,8x n +2 0,1x + x n +3 .

0, 3 у n +3 у 2 - 0, 12 y 2 y 0,1 у n + 2 - 1,6 у n +2 yyy – 3

3x n-2 x 5 -2x n 7x 2 x+4y n+1 4y 0,2y-12y n+1 0,1y 2

Предварительный просмотр:

Взаимопроверка.

Среди различных выражений, которые рассматриваются в алгебре, важное место занимают суммы одночленов. Приведем примеры таких выражений:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)

Сумму одночленов называют многочленом. Слагаемые в многочлене называют членами многочлена. Одночлены также относят к многочленам, считая одночлен многочленом, состоящим из одного члена.

Например, многочлен
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
можно упростить.

Представим все слагаемые в виде одночленов стандартного вида:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)

Приведем в полученном многочлене подобные члены:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Получился многочлен, все члены которого являются одночленами стандартного вида, причем среди них нет подобных. Такие многочлены называют многочленами стандартного вида .

За степень многочлена стандартного вида принимают наибольшую из степеней его членов. Так, двучлен \(12a^2b - 7b \) имеет третью степень, а трехчлен \(2b^2 -7b + 6 \) - вторую.

Обычно члены многочленов стандартного вида, содержащих одну переменную, располагают в порядке убывания показателей ее степени. Например:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)

Сумму нескольких многочленов можно преобразовать (упростить) в многочлен стандартного вида.

Иногда члены многочлена нужно разбить на группы, заключая каждую группу в скобки. Поскольку заключение в скобки - это преобразование, обратное раскрытию скобок, то легко сформулировать правила раскрытия скобок:

Если перед скобками ставится знак «+», то члены, заключаемые в скобки, записываются с теми же знаками.

Если перед скобками ставится знак «-», то члены, заключаемые в скобки, записываются с противоположными знаками.

Преобразование (упрощение) произведения одночлена и многочлена

С помощью распределительного свойства умножения можно преобразовать (упростить) в многочлен произведение одночлена и многочлена. Например:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Произведение одночлена и многочлена тождественно равно сумме произведений этого одночлена и каждого из членов многочлена.

Этот результат обычно формулируют в виде правила.

Чтобы умножить одночлен на многочлен, надо умножить этот одночлен на каждый из членов многочлена.

Мы уже неоднократно использовали это правило для умножения на сумму.

Произведение многочленов. Преобразование (упрощение) произведения двух многочленов

Вообще, произведение двух многочленов тождественно равно сумме произведении каждого члена одного многочлена и каждого члена другого.

Обычно пользуются следующим правилом.

Чтобы умножить многочлен на многочлен, надо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого и сложить полученные произведения.

Формулы сокращенного умножения. Квадраты суммы, разности и разность квадратов

С некоторыми выражениями в алгебраических преобразованиях приходится иметь дело чаще, чем с другими. Пожалуй, наиболее часто встречаются выражения \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) и \(a^2 - b^2 \), т. е. квадрат суммы, квадрат разности и разность квадратов. Вы заметили, что названия указанных выражений как бы не закончены, так, например, \((a + b)^2 \) - это, конечно, не просто квадрат суммы, а квадрат суммы а и b. Однако квадрат суммы а и b встречается не так уж часто, как правило, вместо букв а и b в нем оказываются различные, иногда довольно сложные выражения.

Выражения \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) нетрудно преобразовать (упростить) в многочлены стандартного вида, собственно, вы уже встречались с таким заданием при умножении многочленов:
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Полученные тождества полезно запомнить и применять без промежуточных выкладок. Помогают этому краткие словесные формулировки.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - квадрат суммы равен сумме квадратов и удвоенного произведения.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - квадрат разности равен сумме квадратов без удвоенного произведения.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - разность квадратов равна произведению разности на сумму.

Эти три тождества позволяют в преобразованиях заменять свои левые части правыми и обратно - правые части левыми. Самое трудное при этом - увидеть соответствующие выражения и понять, чем в них заменены переменные а и b. Рассмотрим несколько примеров использования формул сокращенного умножения.

Операции сложения и вычитания являются базовыми действиями во многих случаях решения алгебраических задач. В данном видео мы рассмотрим основные принципы работы с многочленами.

Для начала напомним, что многочленом называется такое выражение, которое состоит из нескольких различных одночленов, или мономов. При этом каждый такой моном представляет собой либо числовое значение, либо переменную. Порой переменные группируются умножением или делением, а также могут иметь свой числовой коэффициент.

В предыдущих видеолекциях мы рассматривали приведение подобных слагаемы - упрощение любого многочлена до стандартного вида. Сразу стоит вставить ремарку, что подобные действия прямо взаимосвязаны с операциями сложения и вычитания внутри одного многочлена. Но при этом в случае алгебраических операций с несколькими многочленами предварительное упрощение может быть лишним и усложнить задачу. Будет более корректно стандартизовать уже итоговый полином. Ведь чем больше одночленов в многочлене, тем проще найти подобные слагаемые. Поэтому если стоит задача сложить или вычесть два многочлена - не стоит их сразу же приводить к стандартному виду.

В линейной алгебре принято многочлены в одном ряду записывать в отдельных скобках. Это помогает правильно раскрывать знак. Итак, если у нас есть два многочлена, то мы записываем их в ряд, и ставим необходимый знак между скобками:

(а 2 + с 3 - 7) + (3а 2 - 2с 3 +3)

Для решения данного выражения достаточно просто провести обычное алгебраическое сложение. Для этого, раскрываем скобки, памятуя о правилах сохранения знаков. При сложении (когда стоит плюс) все знаки сохраняются в неизменном виде, скобки легко можно опустить. Записываем выражение в новом виде:

а 2 + с 3 - 7 + 3а 2 - 2с 3 +3 =

4а 2 - 1с 3 - 4 = 4а 2 - с 3 - 4

Получившийся многочлен обрабатываем по правилам приведения подобных слагаемых, находим общие переменные, сокращаем все схожие значения. Иногда применяем ступенчатое сложение или вычитание для определенных мономов. В итоге, наше выражение сокращается до стандартного вида, являющегося ответом на заданный пример. Стоит понимать, что, формально, суммой многочлена, в данном случае, является выражение:

а 2 + с 3 - 7 + 3а 2 - 2с 3 +3

Не будет считаться ошибкой, если указать в ответе именно его. Но, по законам алгоритмов алгебраических вычислений, конечный ответ для действий с многочленами должен быть максимально упрощен, т.е. приведен к стандартному виду.
Операции вычитания проводятся таким же образом, только с учетом того факта, что знак «минус» перед скобками поменяет знак внутри:

(а 2 + с 3 - 7) - (3а 2 - 2с 3 +3) =

А 2 + с 3 - 7 - 3а 2 + 2с 3 - 3=

2а 2 + 3с 3 - 10

Во втором многочлене (вычитаемом) из-за минуса полностью инвертированы знаки: на противоположные значения. После чего алгоритм решения полностью идентичен суммированию (чем, по сути, сведение многочлена к стандартному виду и является).

Иногда в некоторых задачах необходимо выполнять обратные действия - из многочлена составить определенную сумму или разность. Это бывает необходимо для дальнейшего решения, и условия разбивания полинома задаются реалиями самой задачи. К примеру, необходимо выражение вида:

3а 2 - 2с 3 +3

Задача в таком случае следующая: представить выражение как сумму многочленов, один из которых - 3а 2 . Это легко сделать, выделив скобками задаваемые многочлены. При этом, знаки можно не менять, так как плюс разрешает это делать:

3а 2 + (- 2с 3 +3)

Если же нужна разность многочленов, один из которых 3а 2 , то необходимо не только выделить многочлены скобками, но и поставить минус, инвертирующий знаки во втором многочлене:

3а 2 - (2с 3 -3)

Таким образом, задачи по сложению или вычитанию многочленов решаются достаточно просто, если умело использовать свойства алгебраического сложения.