Ричард м. кроновер фракталы и хаос в динамических системах

1.1. Что такое фракталы и хаос?

Когда-то большинству людей казалось, что геометрия в природе ограничивается такими простыми фигурами, как линия, круг, коническое сечение, многоугольник, сфера, квадратичная поверхность, а также их комбинациями. К примеру, что может быть красивее утверждения о том, что планеты в нашей солнечной системе движутся вокруг солнца по эллиптическим орбитам? Этот замечательный закон - один из трех постулатов планетарного движения, сформулированных Иоганном Кеплером на основе наблюдений и измерений, сделанных Тихо Браге. Позднее, сэр Исаак Ньютон вывел закон обратных квадратов для гравитационного притяжения как решение некоторого дифференциального уравнения, причем законы Кеплера следовали из его решения. Как в этом, так и в других случаях, когда применение простых геометрических моделей оказалось удачным, это привело к огромным научным достижениям.

Однако многие природные системы настолько сложны и нерегулярны, что использование только знакомых объектов классической геометрии для их моделирования представляется безнадежным. Как, к примеру, построить модель горного хребта или кроны дерева в терминах геометрии? Как описать то многообразие биологических конфигураций, которое мы наблюдаем в мире растений и животных? Представьте себе всю сложность системы кровообращения, состоящей из множества капилляров и сосудов и доставляющей кровь к каждой клеточке человеческого тела. Представьте, как хитроумно устроены легкие и почки, напоминающие по структуре деревья с ветвистой кроной.

Столь же сложной и нерегулярной может быть и динамика реальных природных систем. Как подступиться к моделированию каскадных водопадов или турбулентных процессов, определяющих погоду?

Какая математика отвечает за ритмы сердца и головного мозга, наблюдаемые на электрокардиограмме и энцефалограмме, в особенности за те внезапные приступы аритмии, которые могут вызвать сбой в работе сердца? Можно ли математически описать внезапное возникновение волны паники на финансовых рынках или даже построить математическую модель социального поведения?

Фракталы и математический хаос - подходящие средства для исследования поставленных вопросов. Термин фрактал относится к некоторой статичной геометрической конфигурации, такой как мгновенный снимок водопада. Хаос - термин динамики, используемый для описания явлений, подобных турбулентному поведению погоды. Данная книга является введением в математику, которая стоит за этими понятиями. Предполагается, что после освоения изложенных здесь методов читатель сможет перейти к изучению приложений по специализированным источникам.

Например, исследования показывают, что в физиологии встречается как «хороший» хаос, так и «плохой» . В опытах на кошках было замечено, что вид электрокардиограммы, снятой до и после введения кокаина, меняется с регулярной последовательности высоких пиков, сопровождаемых малыми пичками, на крайне нерегулярную последовательность, что, возможно, свидетельствует о приступе аритмии. С другой стороны, характер электроэнцефалограммы меняется с нерегулярного и непредсказуемого на гораздо более гладкий . См. также об анализе возможной роли хаоса в развитии болезни сердца.

Нередко то, что мы наблюдаем в природе, интригует нас бесконечным повторением одного и то же узора, увеличенного или уменьшенного во сколько угодно раз. Например, у дерева есть ветви. На этих ветвях есть ветки поменьше и т. д. Теоретически, элемент «разветвление» повторяется бесконечно много раз, становясь все меньше и меньше. То же самое можно заметить, разглядывая фотографию горного рельефа. Попробуйте немного приблизить изображение горной гряды - вы снова увидите горы. Приблизьте картинку еще - вы по-прежнему будете различать нечто, напоминающее горы, благодаря вашей способности (статистической по сути) различать тип объекта на рисунке. Так проявляется характерное для фракталов свойство самоподобия (п. 2.1 и 5.1).

Во многих работах по фракталам самоподобие используется в качестве определяющего свойства. Следуя Бенуа Мандельброту , мы принимаем точку зрения, согласно которой фракталы должны определяться в терминах фрактальной (дробной) размерности (глава 5). Отсюда и происхождение слова фрактал. Понятие дробной размерности представляет собой весьма сложную концепцию, которую мы изложим в несколько этапов. Прямая - это одномерный объект, а плоскость - двумерный. Как мы увидим далее, хорошенько перекрутив прямую или плоскость, можно повысить размерность полученной конфигурации; при этом новая размерность обычно будет дробной в некотором смысле, который нам предстоит уточнить. Связь дробной размерности и самоподобия состоит в том, что с помощью самоподобия можно сконструировать множество дробной размерности наиболее простым образом (п. 2.1). Даже в случае гораздо более сложных фракталов, таких, как граница множества Мандельброта (п. 8.3), когда чистое самоподобие отсутствует, имеется почти полное повторение базовой формы во все более и более уменьшенном виде.

В английском языке хаос обычно определяется как состояние полного беспорядка или неразберихи. Некоторые словари прибегают к понятию состояния, в котором правит случай. Термин хаос в математике используется в узком смысле.

Хотя универсального определения математического хаоса не существует, имеется, по-видимому, полное согласие в том, что любой вид хаоса обладает свойством непредсказуемости. Это свойство называют существенной зависимостью от начальных условий (п. 6.5). Как ни странно, оно не эквивалентно случайному поведению. По сути дела, математический хаос - это характерная черта именно детерминированных динамических систем. Поэтому наблюдаемые в состоянии хаоса флуктуации только кажутся случайными - их значения полностью предопределены входными параметрами. Но на практике мы никогда не располагаем абсолютно точной информацией о начальных условиях. Ошибки, пусть и ничтожные, всегда имеют место при измерении входных параметров. То, что кажется нам случайным результатом на выходе динамической системы, обусловлено большими ошибками, которые могут появиться, когда система ведет себя хаотично.

Когда-то считалось, что в детерминированной системе, при наличии достаточного объема вычислительных ресурсов, мы всегда в состоянии сделать значимое предсказание (например, дать надежный прогноз погоды), несмотря на маленькие ошибки измерения текущего состояния. В присутствии хаоса это не так.

Никакой самый мощный компьютер не позволит нам сделать точный прогноз на основе математической системы с существенной зависимостью от начальных условий.

С нашей точки зрения, наиболее интересный вопрос теории фракталов и хаоса состоит в том, как связать эти понятия воедино. Многие важные фракталы, включая снежинку Коха, ковер Серпинского и классическое множество Кантора, обсуждаемые во второй главе, могут быть получены как аттракторы систем итерированных функций (глава 4). Анализ этих систем итерированных функций указывает путь к построению хаотических операторов, ассоциированных с упомянутыми фракталами (глава 7).

Хаос - это порядок, который нужно расшифровать.

Жозе Сарамаго, «Двойник»

«Грядущим поколениям ХХ век будет памятен лишь благодаря созданию теорий относительности, квантовой механики и хаоса... теория относительности разделалась с иллюзиями Ньютона об абсолютном пространстве-времени, квантовая механика развеяла мечту о детерминизме физических событий, и, наконец, хаос развенчал Лапласову фантазию о полной предопределенности развития систем» . Эти слова известного американского историка и популяризатора науки Джеймса Глейка отражают огромную важность вопроса, который лишь вкратце освещается в статье, предлагаемой вниманию читателя. Наш мир возник из хаоса. Однако если бы хаос не подчинялся своим собственным законам, если бы в нем не было особой логики, он ничего не смог бы породить.

Новое - это хорошо забытое старое

Позволю себе еще одну цитату из Глейка:

Мысль о внутреннем подобии, о том, что великое может быть вложено в малое, издавна ласкает человеческую душу... По представлениям Лейбница, капля воды содержит в себе весь блистающий разноцветьем мир, где искрятся водяные брызги и живут другие неизведанные вселенные. «Увидеть мир в песчинке» - призывал Блейк, и некоторые ученые пытались следовать его завету. Первые исследователи семенной жидкости склонны были видеть в каждом сперматозоиде своего рода гомункулуса, т. е. крошечного, но уже полностью сформировавшегося человечка.

Ретроспективу подобных воззрений можно обратить гораздо дальше в глубь истории. Один из основных принципов магии - неотъемлемой ступени развития любого общества - состоит в постулате: часть подобна целому. Он проявлялся в таких действиях, как захоронение черепа животного вместо всего животного, модели колесницы вместо самой колесницы и т. д. Сохраняя череп предка, родственники считали, что он продолжает жить рядом с ними и принимать участие в их делах.

Еще древнегреческий философ Анаксагор рассматривал первичные элементы мироздания как частицы, подобные другим частицам целого и самому целому, «бесконечные и по множеству, и по малости». Аристотель характеризовал элементы Анаксагора прилагательным «подобочастные» .

А наш современник, американский кибернетик Рон Эглэш, исследуя культуру африканских племен и южноамериканских индейцев, сделал открытие: с древних времен некоторые из них использовали фрактальные принципы построения в орнаментах, узорах, наносимых на одежду и предметы быта, в украшениях, ритуальных обрядах и даже в архитектуре. Так, структура деревень некоторых африканских племен представляет собой круг, в котором находятся маленькие круги - дома, внутри которых еще более мелкие круги - дома духов. У иных племен вместо кругов элементами архитектуры служат другие фигуры, но они также повторяются в разных масштабах, подчиненных единой структуре. Причем эти принципы построения не были простым подражанием природе, но согласовывались с бытующим мировоззрением и социальной организацией .

Наша цивилизация, казалось бы, ушла далеко от первобытного существования. Однако мы продолжаем жить в том же мире, нас по-прежнему окружает природа, живущая по своим законам, несмотря на все попытки человека приспособить ее к своим нуждам. Да и сам человек (не будем забывать об этом) остается частью этой природы.

Герт Эйленбергер, немецкий физик, занявшийся изучением нелинейности, как-то заметил:

Почему силуэт согнувшегося под напором штормового ветра обнаженного дерева на фоне мрачного зимнего неба воспринимается как прекрасный, а очертания современного многофункционального здания, несмотря на все усилия архитектора, вовсе не кажутся такими? Сдается мне, что... наше чувство прекрасного «подпитывается» гармоничным сочетанием упорядоченности и беспорядка, которое можно наблюдать в естественных явлениях: облаках, деревьях, горных цепях или кристаллах снежинок. Все такие контуры суть динамические процессы, застывшие в физических формах, и для них типична комбинация устойчивости и хаотичности.

У истоков теории хаоса

Что мы понимаем под хаосом ? Невозможность предсказать поведение системы, беспорядочные скачки в разных направлениях, которые никогда не превратятся в упорядоченную последовательность.

Первым исследователем хаоса считается французский математик, физик и философ Анри Пуанкаре. Еще в конце XIX в. при изучении поведения системы с тремя телами, взаимодействующими гравитационно, он заметил, что могут быть непериодические орбиты, которые постоянно и не удаляются от конкретной точки, и не приближаются к ней.

Традиционные методы геометрии, широко используемые в естественных науках, основаны на аппроксимации структуры исследуемого объекта геометрическими фигурами, например линиями, плоскостями, сферами, метрическая и топологическая размерности которых равны между собой. В большинстве случаев свойства исследуемого объекта и его взаимодействие с окружающей средой описываются интегральными термодинамическими характеристиками, что приводит к утрате значительной части информации о системе и к замене ее на более или менее адекватную модель. Чаще всего подобное упрощение вполне оправдано, однако известны многочисленные ситуации, когда применение топологически неадекватных моделей недопустимо. Пример такого несоответствия привел в своей кандидатской диссертации (теперь уже доктор химических наук) Владимир Константинович Иванов: оно обнаруживается при измерении площади развитой (например, пористой) поверхности твердых тел с помощью сорбционных методов, регистрирующих изотермы адсорбции. Оказалось, что величина площади зависит от линейного размера молекул-«измерителей» не квадратично, чего следовало бы ожидать из простейших геометрических соображений, а с показателем степени, иногда вплотную приближающемся к трем .

Прогнозирование погоды - одна из проблем, над которой человечество бьется с древних времен. Существует известный анекдот на эту тему, где прогноз погоды передается по цепочке от шамана - оленеводу, затем геологу, потом редактору радиопередачи, и наконец круг замыкается, поскольку выясняется, что шаман узнал прогноз по радио. Описание такой сложной системы, как погода, со множеством переменных, невозможно свести к простым моделям. С данной задачи началось использование компьютеров для моделирования нелинейных динамических систем. Один из основоположников теории хаоса, американский метеоролог и математик Эдвард Нортон Лоренц много лет отдал проблеме прогнозирования погоды. Еще в 60-х годах прошлого века, пытаясь понять причины ненадежности прогнозов погоды, он показал, что состояние сложной динамической системы может сильно зависеть от начальных условий: незначительное изменение одного из многих параметров способно кардинально изменить ожидаемый результат. Лоренц назвал эту зависимость эффектом бабочки: «Сегодняшнее трепетание крыльев мотылька в Пекине через месяц может вызвать ураган в Нью-Йорке» . Ему принесла известность работа, посвященная общему круговороту атмосферы. Исследуя описывающую процесс систему уравнений с тремя переменными, Лоренц графически отобразил результаты своего анализа: линии графика представляют собой координаты точек, определяемых решениями в пространстве этих переменных (рис. 1). Полученная двойная спираль, названная аттрактор Лоренца (или «странный аттрактор»), выглядела как нечто бесконечно запутанное, но всегда расположенное в определенных границах и никогда не повторяющееся. Движение в аттракторе абстрактно (переменными могут быть скорость, плотность, температура и др.), и тем не менее оно передает особенности реальных физических явлений, таких как движение водяного колеса, конвекция в замкнутой петле, излучение одномодового лазера, диссипативные гармонические колебания (параметры которых играют роль соответствующих переменных).

Из тысяч публикаций, составивших специальную литературу по проблеме хаоса, вряд ли какая-либо цитировалась чаще, чем написанная Лоренцем в 1963 г. статья «Детерминистский непериодический поток» . Хотя благодаря компьютерному моделированию уже во времена этой работы предсказание погоды из «искусства превратилось в науку», долгосрочные прогнозы по-прежнему оставались недостоверными и ненадежными. Причина этого заключалась в том самом эффекте бабочки.

В тех же 60-х годах математик Стивен Смэйл из Калифорнийского университета собрал в Беркли исследовательскую группу из молодых единомышленников. Ранее он был удостоен медали Филдса за выдающиеся исследования в области топологии. Смэйл занимался изучением динамических систем, в частности нелинейных хаотических осцилляторов. Для воспроизведения всей неупорядоченности осциллятора ван дер Поля в фазовом пространстве он создал структуру, известную под названием «подкова» - пример динамической системы, имеющей хаотическую динамику.

«Подкова» (рис. 2) - точный и зримый образ сильной зависимости от начальных условий: никогда не угадаешь, где окажется начальная точка после нескольких итераций. Этот пример послужил толчком к изобретению русским математиком, специалистом по теории динамических систем и дифференциальных уравнений, дифференциальной геометрии и топологии Дмитрием Викторовичем Аносовым «диффеоморфизмов Аносова» . Позже из этих двух работ выросла теория гиперболических динамических систем. Прошло десятилетие, прежде чем результаты работы Смэйла удостоились внимания представителей других дисциплин. «Когда это все же случилось, физики поняли, что Смэйл повернул целый раздел математики лицом к реальному миру» .

В 1972 г. математик из Мэрилендского университета Джеймс Йорк прочитал вышеупомянутую статью Лоренца, которая поразила его. Йорк увидел в статье живую физическую модель и посчитал своей святой обязанностью донести до физиков то, чего они не разглядели в работах Лоренца и Смэйла. Он направил копию статьи Лоренца Смэйлу. Тот изумился, обнаружив, что безвестный метеоролог (Лоренц) десятью годами раньше обнаружил ту неупорядоченность, которую он сам посчитал однажды математически невероятной, и разослал копии всем своим коллегам.

Биолог Роберт Мэй, друг Йорка, занимался изучением изменений численности популяций животных. Мэй шел по стопам Пьера Ферхлюста, который еще в 1845 г. обратил внимание на непредсказуемость изменения численности животных и пришел к выводу, что коэффициент прироста популяции - величина непостоянная. Иными словами, процесс оказывается нелинейным. Мэй пытался уловить, что случается с популяцией в момент приближения колебаний коэффициента роста к некоторой критической точке (точке бифуркации). Варьируя значения этого нелинейного параметра, он обнаружил, что возможны коренные перемены в самой сущности системы: увеличение параметра означало возрастание степени нелинейности, что, в свою очередь, изменяло не только количественные, но и качественные характеристики результата. Подобная операция влияла как на конечное значение численности популяции, находившейся в равновесии, так и на ее способность вообще достигнуть последнего. При определенных условиях периодичность уступала место хаосу, колебаниям, которые никогда не затухали.

Йорк математически проанализировал описанные явления в своей работе, доказав, что в любой одномерной системе происходит следующее: если появляется регулярный цикл с тремя волнами (плавными подъемами и спадами значений какого-либо параметра), то в дальнейшем система начнет демонстрировать как правильные циклы любой другой продолжительности, так и полностью хаотичные. (Как выяснилось через несколько лет после опубликования статьи на международной конференции в восточном Берлине, советский (украинский) математик Александр Николаевич Шарковский несколько опередил Йорка в своих исследованиях ). Йорк написал статью для известного научного издания «Американский математический ежемесячник» . Однако Йорк достиг большего, чем просто математический результат: он продемонстрировал физикам, что хаос вездесущ, стабилен и структурирован. Он дал повод поверить в то, что сложные системы, традиционно описывающиеся трудными для решения дифференциальными уравнениями, могут быть представлены с помощью наглядных графиков.

Мэй пытался привлечь внимание биологов к тому, что популяции животных переживают не одни лишь упорядоченные циклы. На пути к хаосу возникает целый каскад удвоения периодов. Именно в точках бифуркации некоторое увеличение плодовитости особей могло привести, например, к смене четырехгодичного цикла популяции непарного шелкопряда восьмигодичным. Американец Митчел Фейгенбаум решил начать с подсчета точных значений параметра, порождавших такие изменения. Его расчеты показывали, что не имело значения, какова начальная популяция, - она все равно неуклонно приближалась к аттрактору. Затем, с первым удвоением периодов, аттрактор, подобно делящейся клетке, раздваивался. Потом происходило следующее умножение периодов, и каждая точка аттрактора вновь начинала делиться. Число - инвариант, полученный Фейгенбаумом, - позволило ему предугадывать, когда именно это произойдет. Ученый обнаружил, что может прогнозировать этот эффект для сложнейшего аттрактора - в двух, четырех, восьми точках... Говоря языком экологии, он мог прогнозировать действительную численность, которая достигается в популяциях во время ежегодных колебаний. Так Фейгенбаум открыл в 1976 г. «каскад удвоения периода», опираясь на работу Мэя и свои исследования турбулентности. Его теория отражала естественный закон, который относится ко всем системам, испытывающим переход от упорядоченного состояния к хаосу. Йорк, Мэй и Файгенбаум первыми на Западе в полной мере осознали важность удвоения периодов и сумели передать эту идею всему научному сообществу. Мэй заявлял, что хаос необходимо преподавать.

Советские математики и физики продвигались в своих исследованиях независимо от зарубежных коллег. Начало изучению хаоса положили работы А. Н. Колмогорова 50-х годов. Но и идеи зарубежных коллег не оставались без их внимания. Пионерами теории хаоса считаются советские математики Андрей Николаевич Колмогоров и Владимир Игоревич Арнольд и немецкий математик Юрген Мозер, построившие теорию хаоса, называемую КАМ (теория Колмогорова - Арнольда - Мозера). Другой наш выдающийся соотечественник, блестящий физик и математик Яков Григорьевич Синай, применил в термодинамике соображения, аналогичные «подкове Смейла». Едва в 70-х годах с работой Лоренца познакомились западные физики, как она приобрела известность и в СССР. В 1975 г., когда Йорк и Мэй еще прилагали немалые усилия к тому, чтобы добиться внимания коллег, Синай и его товарищи организовали в Горьком исследовательскую группу для изучения этой проблемы.

В прошлом веке, когда узкая специализация и разобщение между различными дисциплинами стали в науке нормой, математики, физики, биологи, химики, физиологи, экономисты бились над схожими задачами, не слыша друг друга. Идеи, требующие изменения привычного мировоззрения, всегда с трудом пробивают себе путь. Однако постепенно стало ясно, что такие вещи, как изменение популяций животных, колебания цен на рынке, перемена погоды, распределение небесных тел по размерам и многое, многое другое, - подчиняются одним закономерностям. «Осознание этого факта заставило менеджеров пересмотреть отношение к страховке, астрономов - под другим углом зрения взглянуть на Солнечную систему, политиков - изменить мнение о причинах вооруженных конфликтов» .

К середине 80-х годов ситуация сильно изменилась. Идеи фрактальной геометрии объединили ученых, озадаченных собственными наблюдениями и не знавшими, как их интерпретировать. Для исследователей хаоса математика стала экспериментальной наукой, компьютеры заменили собой лаборатории. Графические изображения приобрели первостепенную важность. Новая наука дала миру особый язык, новые понятия: фазовый портрет, аттрактор, бифуркация, сечение фазового пространства, фрактал...

Бенуа Мандельброт, опираясь на идеи и работы предшественников и современников, показал, что такими сложными процессами, как рост дерева, образование облаков, вариации экономических характеристик или численности популяций животных управляют сходные, по сути, законы природы. Это определенные закономерности, по которым живет хаос. С точки зрения природной самоорганизации они намного проще, чем искусственные формы, привычные цивилизованному человеку. Сложными их можно признать лишь в контексте евклидовой геометрии, поскольку фракталы определяются посредством задания алгоритма, и, следовательно, могут быть описаны с помощью небольшого объема информации.

Фрактальная геометрия природы

Давайте попробуем разобраться, что же такое фрактал и «с чем его едят». А съесть некоторые из них действительно можно, как, например, типичного представителя, показанного на фотографии.

Слово фрактал происходит от латинского fractus - дробленый, сломанный, разбитый на куски. Под фракталом подразумевается математическое множество, обладающее свойством самоподобия, т. е. масштабной инвариантности.

Термин «фрактал» был придуман Мандельбротом в 1975 г. и получил широкую популярность с выходом в 1977 г. его книги «Фрактальная геометрия природы» . «Дайте чудовищу какое-нибудь уютное, домашнее имя, и вы удивитесь, насколько легче будет его приручить!» - говорил Мандельброт. Это стремление сделать исследуемые объекты (математические множества) близкими и понятными привело к рождению новых математических терминов, таких как пыль , творог , сыворотка , наглядно демонстрирующих их глубинную связь с природными процессами.

Математическое понятие фрактала выделяет объекты, обладающие структурами различных масштабов, как больших, так и малых, и, таким образом, отражает иерархический принцип организации. Конечно, различные ветви дерева, например, не могут быть точно совмещены друг с другом, но их можно считать подобными в статистическом смысле. Точно так же формы облаков, очертания гор, линия морского берега, рисунок пламени, сосудистая система, овраги, молния, рассматриваемые при различных масштабах, выглядят подобными. Хотя эта идеализация и может оказаться упрощением действительности, она существенно увеличивает глубину математического описания природы.

Понятие «природный фрактал» Мандельброт ввел для обозначения естественных структур, которые могут быть описаны с помощью фрактальных множеств. Эти природные объекты включают в себя элемент случайности. Созданная Мандельбротом теория позволяет количественно и качественно описывать все те формы, которые ранее назывались спутанными, волнистыми, шероховатыми и т. д.

Динамические процессы, о которых шла речь выше, так называемые процессы с обратной связью, возникают в различных физических и математических задачах. Все они имеют одно общее - конкуренцию нескольких центров (получивших имя «аттракторы») за доминирование на плоскости. То состояние, в котором система оказалась после некоторого числа итераций, зависит от ее «места старта». Поэтому каждому аттрактору соответствует некоторая область начальных состояний, из которых система обязательно попадет в рассматриваемое конечное состояние. Таким образом, фазовое пространство системы (абстрактное пространство параметров, ассоциированных с конкретной динамической системой, точки в котором однозначно характеризуют все возможные ее состояния) разбивается на области притяжения аттракторов. Налицо своеобразный возврат к динамике Аристотеля, согласно которой каждое тело стремится к предназначенному ему месту . Простые границы между «сопредельными территориями» в результате такого соперничества возникают редко. Именно в этой пограничной области и происходит переход от одной формы существования к другой: от порядка к хаосу. Общий вид выражения для динамического закона очень прост: х n+1 → f х n C . Вся сложность состоит в нелинейной зависимости между начальным значением и результатом. Если начать итерационный процесс указанного вида с некоторого произвольного значения \(x_0 \), то результатом его будет последовательность \(x_1 \), \(x_2 \), ..., которая либо будет сходиться к некоторому предельному значению \(X \), стремясь к состоянию покоя, либо придет к некоторому циклу значений, которые будут повторяться вновь и вновь, либо будет все время вести себя беспорядочно и непредсказуемо . Именно такие процессы исследовали еще во время Первой мировой войны французские математики Гастон Жюлиа и Пьер Фато.

Изучая множества, открытые ими, Мандельброт в 1979 г. пришел к изображению на комплексной плоскости образа, который является, как будет ясно из дальнейшего, своего рода оглавлением целого класса форм, именующегося множествами Жюлиа. Множество Жюлиа - это множество точек, возникающее в результате итерирования квадратичного преобразования: х n → х n−1 2 + C , динамика в окрестности которых неустойчива по отношению к малым возмущениям начального положения. Каждое последовательное значение \(x \) получается из предыдущего; комплексное число \(C \) называется управляющим параметром . Поведение последовательности чисел зависит от параметра \(C \) и начальной точки \(x_0 \). Если зафиксировать \(C \) и изменять \(x_0 \) в поле комплексных чисел, мы получим множество Жюлиа. Если же зафиксировать \(x_0 \) = 0 и изменять \(C \), получим множество Мандельброта (\(M \)). Оно подсказывает нам, какого вида множества Жюлиа следует ожидать при конкретном выборе \(C \). Каждое комплексное число \(C \) либо принадлежит области \(M \) (черной на рис. 3), либо нет. \(C \) принадлежит \(M \) тогда и только тогда, когда «критическая точка» \(x_0 \) = 0 не стремится к бесконечности. Множество \(M \) состоит из всех точек \(C \), которые ассоциируются со связными множествами Жюлиа, если же точка \(C \) лежит вне множества \(M \), ассоциированное с ней множество Жюлиа несвязно. Граница множества \(M \) определяет момент математического фазового перехода для множеств Жюлиа х n → х n−1 2 + C . Когда параметр \(C \) покидает \(M \), множества Жюлиа теряют свою связность, образно говоря, взрываются и превращаются в пыль. Качественный скачок, происходящий на границе \(M \), влияет и на примыкающую к границе область. Сложную динамическую структуру пограничной области можно приближенно показать, окрашивая (условно) в разные цвета зоны с одинаковым временем «убегания в бесконечность начальной точки \(x_0 \) = 0». Те значения \(C \) (один оттенок), при которых критической точке требуется данное число итераций, чтобы оказаться вне круга радиусом \(N \), заполняют промежуток между двумя линиями. По мере приближения к границе \(M \) необходимое число итераций увеличивается. Точка все большее время вынуждена блуждать извилистыми путями вблизи множества Жюлиа. Множество Мандельброта воплощает в себе процесс перехода от порядка к хаосу.

Интересно проследить путь, которым Мандельброт шел к своим открытиям. Бенуа родился в Варшаве в 1924 г., в 1936 семья эмигрировала в Париж. Окончив Политехническую школу, а затем и университет в Париже, Мандельброт переехал в США, где отучился еще и в Калифорнийском технологическом институте. В 1958 г. он устроился в научно-исследовательский центр IBM в Йорктауне. Несмотря на чисто прикладную деятельность компании, занимаемая должность позволяла ему вести исследования в самых разных областях. Работая в области экономики, молодой специалист занялся изучением статистики цен на хлопок за большой период времени (более 100 лет). Анализируя симметрию длительных и кратковременных колебаний цен, он заметил, что эти колебания в течение дня казались случайными и непредсказуемыми, однако последовательность таких изменений не зависела от масштаба. Для решения этой задачи он впервые использовал свои разработки будущей фрактальной теории и графическое отображение исследуемых процессов.

Интересуясь самыми разными областями науки, Мандельброт обратился к математической лингвистике, затем наступил черед теории игр. Он также предложил собственный подход к экономике, указав на упорядоченность масштабов в распространении малых и больших городов. Изучая малоизвестную работу английского ученого Льюиса Ричардсона, вышедшую после смерти автора, Мандельброт столкнулся с феноменом береговой линии. В статье «Какова длина береговой линии Великобритании?» он подробно исследует этот вопрос, над которым мало кто задумывался до него, и приходит к неожиданным выводам: длина береговой линии равна... бесконечности! Чем точнее вы стараетесь ее измерить, тем большим получается ее значение!

Для описания подобных явлений Мандельброту пришло в голову отталкиваться от идеи размерности. Фрактальная размерность объекта служит количественной характеристикой одной из его особенностей, а именно - заполнения им пространства.

Определение понятия фрактальной размерности восходит к работе Феликса Хаусдорфа, опубликованной в 1919 г., и было окончательно сформулировано Абрамом Самойловичем Безиковичем. Фрактальная размерность - мера детализации, изломанности, неровности фрактального объекта. В евклидовом пространстве топологическая размерность всегда определяется целым числом (размерность точки - 0, линии - 1, плоскости - 2, объемного тела - 3). Если проследить, например, проекцию на плоскость движения броуновской частицы, которая вроде бы должна состоять из отрезков прямой, т. е. иметь размерность 1, очень скоро окажется, что след ее заполняет почти всю плоскость. Но размерность плоскости - 2. Расхождение между этими величинами и дает нам право отнести данную «кривую» к фракталам, а ее промежуточную (дробную) размерность называть фрактальной. Если рассмотреть хаотическое движение частицы в объеме, фрактальная размерность траектории окажется больше 2, но меньше 3. Артерии человека, например, имеют фрактальную размерность примерно 2,7. Упомянутые в начале статьи результаты Иванова, относящиеся к измерению площади пор силикагеля, которые не могут быть истолкованы в рамках обычных евклидовых представлений, при использовании теории фракталов находят разумное объяснение .

Итак, с математической точки зрения, фракталом называется множество, для которого размерность Хаусдорфа - Безиковича строго больше его топологической размерности и может быть (а чаще всего и является) дробной.

Необходимо особо подчеркнуть, что фрактальная размерность объекта не описывает его форму, и объекты, имеющие одинаковую размерность, но порожденные различными механизмами образования, зачастую совершенно не похожи друг на друга. Физические фракталы обладают скорее статистическим самоподобием.

Дробное измерение позволяет вычислять характеристики, которые не могут быть четко определены иным путем: степени неровности, прерывистости, шероховатости или неустойчивости какого-либо объекта. Например, извилистая береговая линия, несмотря на неизмеримость ее длины, обладает присущей только ей шероховатостью. Мандельброт указал пути расчета дробных измерений объектов окружающей действительности. Создавая свою геометрию, он выдвинул закон о неупорядоченных формах, которые встречаются в природе. Закон гласил: степень нестабильности постоянна при различных масштабах.

Особую разновидность фракталов составляют временные фракталы . В 1962 г. Мандельброт столкнулся с задачей по устранению шумов в телефонных линиях, которые вызвали проблемы для компьютерных модемов. Качество передачи сигнала зависит от вероятности возникновения ошибок. Инженеры бились над проблемой уменьшения шумов, придумывая головоломные и дорогостоящие приемы, но не получали впечатляющих результатов. Опираясь на работу основателя теории множеств Георга Кантора, Мандельброт показал, что возникновения шумов - порождения хаоса - невозможно избежать в принципе, поэтому предложенные способы борьбы с ними не принесут результата. В поисках закономерности возникновения шумов он получает «канторову пыль» - фрактальную последовательность событий. Интересно, что тем же закономерностям подчиняется распределение звезд в Галактике:

«Вещество», однородно распределенное вдоль инициатора (единичный отрезок временной оси), подвергается воздействию центробежного вихря, который «сметает» его к крайним третям интервала... Створаживанием можно называть любой каскад неустойчивых состояний, приводящий в итоге к сгущению вещества, а термин творог может определять объем, внутри которого некая физическая характеристика становится - в результате створаживания - чрезвычайно концентрированной.

Хаотические явления, такие как турбулентность атмосферы, подвижность земной коры и т. д., демонстрируют сходное поведение в различных временных масштабах подобно тому, как объекты, обладающие инвариантностью к масштабу, обнаруживают сходные структурные закономерности в различных пространственных масштабах.

В качестве примера приведем несколько характерных ситуаций, где полезно использовать представления о фрактальной структуре. Профессор Колумбийского университета Кристофер Шольц специализировался на изучении формы и строения твердого вещества Земли, он изучал землетрясения. В 1978 г. он прочитал книгу Мандельброта «Фракталы: форма, случайность и размерность» и попытался применить теорию к описанию, классификации и измерению геофизических объектов. Шольц выяснил, что фрактальная геометрия снабдила науку эффективным методом описания специфичного бугристого ландшафта Земли. Фрактальное измерение ландшафтов планеты открывает двери к постижению ее важнейших характеристик. Металлурги обнаружили то же самое на другом масштабном уровне - применительно к поверхностям различных типов стали. В частности, фрактальное измерение поверхности металла зачастую позволяет судить о его прочности. Огромное количество фрактальных объектов продуцирует явление кристаллизации. Самый распространенный тип фракталов, возникающих при росте кристаллов, - дендриты, они чрезвычайно широко распространены в живой природе. Ансамбли наночастиц часто демонстрируют реализацию «пыли Леви». Эти ансамбли в сочетании с абсорбированным растворителем образуют прозрачные компакты - стекла Леви, потенциально важные материалы фотоники .

Поскольку фракталы выражаются не в первичных геометрических формах, а в алгоритмах, наборах математических процедур, понятно, что такая область математики стала развиваться семимильными шагами вместе с появлением и развитием мощных компьютеров. Хаос, в свою очередь, вызвал к жизни новые компьютерные технологии, специальную графическую технику, которая способна воспроизводить удивительные структуры невероятной сложности, порождаемые теми или иными видами беспорядка. В век Интернета и персональных компьютеров то, что представляло значительную сложность во времена Мандельброта, стало легко доступным любому желающему. Но самым важным в его теории стало, разумеется, не создание красивых картинок, а вывод, что данный математический аппарат пригоден для описания сложных природных явлений и процессов, которые раньше не рассматривались в науке вообще. Репертуар алгоритмических элементов неисчерпаем.

Овладев языком фракталов, можно описать форму облака так же четко и просто, как архитектор описывает здание с помощью чертежей, в которых применяется язык традиционной геометрии. <...> Прошло всего несколько десятилетий с тех пор, как Бенуа Мандельброт заявил: «Геометрия природы фрактальна!», на сегодняшний день мы уже можем предположить намного больше, а именно что фрактальность - это первоочередной принцип построения всех без исключения природных объектов.

В заключение позвольте представить вашему вниманию набор фотографий, иллюстрирующих этот вывод, и фракталов, построенных с помощью компьютерной программы Fractal Explorer . А проблеме использования фракталов в физике кристаллов будет посвящена наша следующая статья.

Post Scriptum

С 1994 по 2013 г. в пяти томах вышел уникальный труд отечественных ученых «Атлас временных вариаций природных антропогенных и социальных процессов» - не имеющий аналогов источник материалов, который включает в себя данные мониторинга космоса, биосферы, литосферы, атмосферы, гидросферы, социальной и техногенной сфер и сферы, связанной со здоровьем и качеством жизни человека. В тексте подробно приводятся данные и результаты их обработки, сопоставляются особенности динамики временных рядов и их фрагментов. Унифицированное представление результатов дает возможность получить сопоставимые результаты для выявления общих и индивидуальных черт динамики процессов и причинно-следственных связей между ними. На экспериментальном материале показано, что процессы в разных сферах, во-первых, схожи, а во-вторых, в большей или меньшей степени связаны друг с другом.

Итак, атлас обобщил результаты междисциплинарных исследований и представил сравнительный анализ совершенно различных данных в широчайшем диапазоне времени и пространства. Книга показывает, что «протекающие в земных сферах процессы обусловлены большим числом взаимодействующих факторов, которые в разных областях (и в разное время) вызывают разную реакцию», что говорит о «необходимости комплексного подхода к анализу геодинамических, космических, социальных, экономических и медицинских наблюдений». Остается выразить надежду на то, что эти фундаментальные по значимости работы будут продолжены.

Теория хаоса в последнее время является одним из самых модных подходов к исследованию рынка. К сожалению, точного математического определения понятия хаос пока не существует. Сейчас зачастую хаос определяют как крайнюю непредсказуемость постоянного нелинейного и нерегулярного сложного движения, возникающую в динамической системе.

ХАОС НЕ СЛУЧАЕН

Следует отметить, что хаос не случаен, несмотря на свойство непредсказуемости. Более того, хаос динамически детерминирован (определен). На первый взгляд непредсказуемость граничит со случайностью - ведь мы, как правило, не можем предсказать как раз случайные явления.

И если относиться к рынку как к случайным блужданиям, то это как раз тот самый случай. Однако хаос не случаен, он подчиняется своим закономерностям. Согласно теории хаоса, если вы говорите о хаотичном движении цены, то вы должны иметь ввиду не случайное движение цены, а другое, особенно упорядоченное движение. Если динамика рынка хаотична, то она не случайна, хотя и по-прежнему непредсказуема.

Непредсказуемость хаоса

Непредсказуемость хаоса объясняется в основном существенной зависимостью от начальных условий. Такая зависимость указывает на то, что даже самые малые ошибки при измерении параметров исследуемого объекта могут привести к абсолютно неверным предсказаниям.

Эти ошибки могут возникать вследствие элементарного незнания всех начальных условий. Что-то обязательно ускользнет от нашего внимания, а значит, уже в самой постановке задачи будет заложена внутренняя ошибка, которая приведет к существенным погрешностям в предсказаниях.

"Эффект бабочки"

Применительно к невозможности делать долгосрочные прогнозы погоды существенную зависимость от начальных условий иногда называют "эффектом бабочки". "Эффект бабочки" указывает на существование вероятности того, что взмах крыла бабочки в Бразилии приведет к появлению торнадо в Техасе.

Дополнительные неточности в результат исследований и расчетов могут вносить самые на первый взгляд незаметные факторы воздействия на систему, которые появляются в период ее существования с начального момента до появления фактического и окончательного результата. При этом факторы воздействия могут быть как экзогенные (внешние), так и эндогенные (внутренние).

Ярким примером хаотического поведения является движение бильярдного шара. Если вы когда-либо играли в бильярд, то знаете, что от начальной точности удара, его силы, положения кия относительно шара, оценка месторасположения шара, по которому наносится удар, а также расположения других шаров, находящихся на столе, зависит конечный результат. Малейшая неточность в одном из этих факторов приводит к самым непредсказуемым последствиям - шар может покатиться совсем не туда, куда ожидал бильярдист. Более того, даже если бильярдист все сделал правильно, попробуйте предсказать движения шара после пяти-шести столкновений.

Рассмотрим еще один пример влияния начальных условий на конечный результат. Представим себе, например, камень на вершине горы. Стоит его чуть-чуть подтолкнуть, и он покатится вниз до самого подножия горы. Понятно, что совсем малое изменение силы толчка и его направления может привести к очень значительному изменению места остановки камня у подножия. Есть, правда, одна очень существенная разница между примером с камнем и хаотической системой.

В первом факторы воздействия на камень во время его падения с горы (ветер, препятствия, изменения внутренней структуры вследствие столкновений и т.п.) уже не оказывают сильного воздействия на конечный результат по сравнению с начальными условиями. В хаотических системах малые изменения оказывают значительное воздействие на результат не только в начальных условиях, но и прочих факторах.

Один из главных выводов теории хаоса, таким образом, заключается в следующем - будущее предсказать невозможно, так как всегда будут ошибки измерения, порожденные в том числе незнанием всех факторов и условий.

То же самое по-простому - малые изменения и/или ошибки могут порождать большие последствия.

• Еще одним из основных свойств хаоса является экспоненциальное накопление ошибки. Согласно квантовой механике начальные условия всегда неопределенны, а согласно теории хаоса - эти неопределенности будут быстро прирастать и превысят допустимые пределы предсказуемости.
• Второй вывод теории хаоса - достоверность прогнозов со временем быстро падает.

Рисунок 3. Движение маятника как пример фазового пространства

• Самым простым типом аттрактора является точка. Такой аттрактор характерен для маятника при наличии трения. Независимо от начальной скорости и положения, такой маятник всегда придет в состояние покоя, т.е. в точку.
• Следующим типом аттрактора является предельный цикл, который имеет вид замкнутой кривой линии. Примером такого аттрактора является маятник, на который не влияет сила трения. Еще одним примером предельного цикла является биение сердца. Частота биения может снижаться и возрастать, однако она всегда стремится к своему аттрактору, своей замкнутой кривой.
• Третий тип аттрактора - тор. На рисунке 4. тор показан в верхнем правом углу.

ФРАКТАЛ

Рисунок 6. Фрактал "ковер Серпинского"

Рисунок 7. Построение ковра Серпинского

Детерминистские фракталы

Классическим примером сложного фрактала является множество

Рисунок 8. Множество Мандельброта

Результатом расчетов являются следующие выводы:

• при С < 1 популяция с ростом n вымирает;
• в области 1 < С < 3 численность популяции приближается к постоянному значению Х0 = 1 - 1/С, что является областью стационарных, фиксированных решений. При значении C = 3 точка бифуркации становится отталкивающей фиксированной точкой. С этого момента функция уже никогда не сходится к одной точке. До этого точка былапритягивающая фиксированная ;
• в диапазоне 3 < С < 3.57 начинают появляться бифуркации и разветвление каждой кривой на две. Здесь функция (численность популяции) колеблется между двумя значениями, лежащими на этих ветвях. Сначала популяция резко возрастает, на следующий год возникает перенаселенность и через год численность снова уменьшается;
• при C > 3.57 происходит перекрывание областей различных решений (они как бы закрашиваются) и поведение системы становится хаотическим.

Рисунок 9. Переход к хаосу через бифуркации, начальная стадия уравнения Xn+1=CXn - С(Хn)2

Рисунок 10. Дерево Фейгенбаума (расчет на основе немного измененной логистической формулы)

Транскрипт

1 Ричард М. Кроновер ФРАКТАЛЫ И ХАОС В ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ. ОСНОВЫ ТЕОРИИ. Перевод с английского Т. Э. Кренкеля и А. Л. Соловейчика под редакцией Т. Э. Кренкеля Рекомендовано УМО в области электроники и прикладной математики в качестве учебного пособия для студентов по специальности «Прикладная математика» ПОСТМАРКЕТ МОСКВА 2000

2 P. M. Кроновер. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории. Москва: Постмаркет, с. Рецензенты: кафедра теории вероятностей и прикладной математики Московского технического университета связи и информатики; профессор Б. Ю. Стернин. Первое полноценное учебное пособие по новой, быстроразвивающейся математической дисциплине до сих пор на русском языке выходили лишь монографии. Хорошо подобранные упражнения и алгоритмы делают книгу отличным пособием для студентов старших курсов и аспирантов, специалистов по приложениям этой теории в различных областях от биологии до лингвистики. Introduction to Fractals and Chaos Richard M. Crownover University of Missouri-Columbia Jones and Bartlett Publishers Boston London ORIGINAL ENGLISH LANGUAGE EDITION PUBLISHED BY Jones and Bartlett Publishers, Inc. 40 Tall Pine Drive, Sudbury, MA COPYRIGHT 1995 ALL RIGHTS RESERVED 1999 Перевод на русский язык, ЗАО «Предприятие Постмаркет» ISBN

3 Оглавление Предисловие 5 1. Введение Что такое фракталы и хаос? Предыстория t Классические фракталы Самоподобие L-системы Пыль Кантора Кривые Пеано Множества и отображения Предварительные сведения из теории множеств Метрические пространства Сжимающие отображения Аффинные преобразования Метрика Хаусдорфа I Системы итерированных функций Системы итерированных функций Реализация СИФ СИФ со сгущением Коллажи Размерность Размерность Минковского Вычисление размерности Хаотическая динамика I Аттрактор Лоренца Итерированные отображения Универсальность Фейгенбаума Периодичность Шарковского Хаос 169

4 4 Оглавление 7. Хаотическая динамика II Существенная зависимость Символическая динамика Хаос и фракталы Подъем Затенение Алгоритм рандомизированной СИФ Комплексная динамика Множества Жюлиа Орбиты в множествах Жюлиа Множество Мандельброта Хаос и множества Жюлиа Проблема Кэли Случайные фракталы Случайные возмущения Броуновское движение Срединное смещение Фрактальное броуновское движение Срединное смещение и ФБД 27S 9.6. Фурье-анализ ФБД Фильтрация Фурье 28S А. Дополнительные сведения из анализа 297 АЛ. Полнота и компактность 297 А.2. Непрерывные отображения ЗОС А.З. Метрика Хаусдорфа II ЗОЕ А.4. Топологическая размерность 311 А.5. Размерность Хаусдорфа 317 А.6. Быстрое преобразование Фурье 32С Б. Теория ренормализации и фракталы Пуанкаре 32Е Б.1. Теория ренормализации 321 Б.2. Фракталы Пуанкаре ЗЗС Список литературы 341 Предметный указатель 34

5 Предисловие Казалось бы, два таких разных математических объекта, как фракталы и хаос, следует изучать независимо друг от друга: ведь теория фракталов опирается на геометрию и теорию размерности, а теория хаоса есть развитие теории динамических систем. С другой стороны, между ними существует определенная взаимосвязь, которая часто теряется в деталях изложения каждой из теорий. Данная книга, во-первых, представляет собой вводный курс теории фракталов и теории хаоса, а во-вторых, рассматривает вопрос о том, как некоторые фракталы (аттракторы систем итерированных функций) могут порождать хаос. В главах 2-5 рассматривается ряд важных идей и понятий, связанных с детерминированными фракталами: самоподобие, системы итерированных функций и размерность. Здесь же описаны L-системы, использование которых существенно облегчает графические построения, особенно в случае фракталов, напоминающих по форме растения. Изложение теории детерминированного хаоса разбито на две главы. Глава 6, «Хаотическая динамика I», дает представление о предмете на элементарном уровне, причем такие сложные понятия, как символическая динамика, раскрываются в основном на примерах. Глава 7, «Хаотическая динамика И», в большей мере предназначена для студентов с хорошей математической подготовкой и может быть опущена, если курс предполагается упростить. С другой стороны, именно здесь проявляется отмеченная выше взаимосвязь фракталов и хаоса. Глава 8, «Комплексная динамика», посвященная множествам Жюлиа и Мандельброта, выдержана в упрощенном стиле. Результаты, опирающиеся на сложные теоремы из теории функций комплексного переменного, не доказываются, но должным образом выделяются и интенсивно используются. Помимо результатов теории функций комплексного переменного, изложение охватывает многие важные вопросы, например, вопрос о том, является ли множество Жюлиа связным или вполне разрывным, ответ на который дает множество Мандельброта.

6 6 Предисловие Другой, не менее важный для понимания подход развит в главе 9, посвященной случайным фракталам, в частности фрактальному броуновскому движению. Такие обобщения классического броуновского движения находят широкое применение в моделировании природных явлений. В принципе, материал этой главы можно читать в любое время после главы о размерности. В основу книги лег односеместровый курс, который я читал в университете Миссури-Колумбия в гг. Слушателями были в основном студенты, специализирующиеся по математике, естественным наукам, техническим специальностям и некоторым другим дисциплинам. Я рекомендовал им прослушать сначала продвинутый курс математического анализа и линейной алгебры, но обычно допускал к занятиям заинтересованных студентов, у которых был какой-то опыт математических исследований, будь то чистая или прикладная математика. В отличие от традиционного формата многих математических курсов теорема-доказательство-пример-задача, большую роль при изучении фракталов и хаоса играет компьютерное моделирование. В самом деле, большинство студентов впервые узнают о существовании фракталов, увидев потрясающие воображение картинки на дисплее компьютера. Данная книга предлагает использовать компьютерные эксперименты и теорию в совокупности, для чего в нее включены двадцать компьютерных алгоритмов. Эти алгоритмы даны в обобщенном виде, то есть независимо от синтаксиса какого-либо конкретного языка. По моим наблюдениям, не существует языка программирования или программного пакета, который удовлетворял бы всех. Студенты, с которыми я общался, программировали на Паскале, Си, C++, Фортране, в системах Matlab и Mathematica. Одним из лучших программных продуктов для экспериментирования с фракталами является свободно распространяемая программа Fractint. Она позволяет строить разнообразные фракталы и работает замечательно быстро. Солидная часть материала, необходимого для изучения фракталов и хаоса, включена в основной текст книги. Кратко изложены введение в теорию множеств, аффинные преобразования, метрические пространства, множества Кантора и кривые Пеано. За исключением материала седьмой главы, книга содержит только несколько доказательств, требующих серьезной подготовки на уровне продвинутого курса математического анализа. Такие доказательства помечены

7 liptirutjiuaut - i значком (*). Они могут быть опущены, но рекомендуется, чтобы студенты запомнили формулировки теорем. Другие, более сложные параграфы вынесены в прил. А. В результате, книга может быть использована в качестве основы для курсов разной степени сложности. Изложение, которое придерживается глав 1-6 и 8-9, то есть исключает главу 7, «Хаотическая динамика II», и обращается к прил. А только в справочных целях, рекомендуется в качестве элементарного курса. В разных семестрах я успевал пройти часть седьмой главы и избранные параграфы прил. А, в частности, посвященные метрике Хаусдорфа и размерности Хаусдорфа, но только ценой пропуска или ускоренного изучения части предыдущего материала. Черно-белые изображения в этой книге напечатаны с использованием графической подсистемы Postscript. Многие изображения созданы в программе Matlab, в которой особенно удобно строить кривые в трехмерном пространстве. Matlab также хорошо подходит для программирования и визуализации L-систем (п. 2.2), паутинных диаграмм (глава 6) и фрактального броуновского движения (глава 9). Изображения, в которых требовалась заливка областей, ограниченных кривыми, получены с помощью пакета Mathematica. Изображения, для которых необходима точечная графика (для данного пиксела в данный момент времени определяется его цвет, черный или белый), были сгенерированы на Фортране с последующим преобразованием выходного файла в формат Postscript. Таким способом было получено графическое представление систем итерированных функций из четвертой главы и комплексной динамики из восьмой главы. Цветные вклейки были сделаны с помощью программы Practint. Я хочу выразить признательность за плодотворное общение моим коллегам, которых также интересует теория хаоса, фракталы и математика, связанная с этими понятиями. Во-первых, я хотел бы поблагодарить Дж. Келлера, познакомившего меня с фракталами в 1984 году, когда ему понадобилась помощь в работе над проектом по исследованию фракталов, а также его аспирантку С. Чен, замечательно владеющую предметом. Впоследствии я очень много почерпнул из оживленных дискуссий с К. Альбрандтом, К. Чиконе, Д. Петти, П. Пфайфером и П. Спекманом. Я благодарен Р. Делавару за его лекционные заметки по поводу теоремы Шарковского, а также П. Хагерти, который был моим студентом в 1993 году, за его профессиональную помощь при создании иллюстраций в пакете Mathematica.

8 8 Предисловие Большое спасибо Э. Бельтрами, А. К. Клайни, Р. В. Истону, а также М. Дж. Филду, Р. Д. Найдингеру, А. Нортону и К. Шорту, просмотревшим рукопись. Их взвешенная критика и предложения, без сомнения, положительно повлияли на окончательную редакцию. Я очень признателен К. Хеслеру-младшему, вице-президенту компании «Jones and Bartlett Publishers», за его энергичную помощь в создании этого учебника. Большое спасибо П. Кэррол и М. Сервантес из «Jones and Bartlett Publishers», а также М. Финли из отдела печати, за их работу по выпуску книги. Я хочу особенно поблагодарить мою жену Мэри, за ее терпение и поддержку в течение всего времени, пока писалась эта книга.

9 Глава 1. Введение 1.1. Что такое фракталы и хаос? Когда-то большинству людей казалось, что геометрия в природе ограничивается такими простыми фигурами, как линия, круг, коническое сечение, многоугольник, сфера, квадратичная поверхность, а также их комбинациями. К примеру, что может быть красивее утверждения о том, что планеты в нашей солнечной системе движутся вокруг солнца по эллиптическим орбитам? Этот замечательный закон один из трех постулатов планетарного движения, сформулированных Иоганном Кеплером на основе наблюдений и измерений, сделанных Тихо Браге. Позднее, сэр Исаак Ньютон вывел закон обратных квадратов для гравитационного притяжения как решение некоторого дифференциального уравнения, причем законы Кеплера следовали из его решения. Как в этом, так и в других случаях, когда применение простых геометрических моделей оказалось удачным, это привело к огромным научным достижениям. Однако многие природные системы настолько сложны и нерегулярны, что использование только знакомых объектов классической геометрии для их моделирования представляется безнадежным. Как, к примеру, построить модель горного хребта или кроны дерева в терминах геометрии? Как описать то многообразие биологических конфигураций, которое мы наблюдаем в мире растений и животных? Представьте себе всю сложность системы кровообращения, состоящей из множества капилляров и сосудов и доставляющей кровь к каждой клеточке человеческого тела. Представьте, как хитроумно устроены легкие и почки, напоминающие по структуре деревья с ветвистой кроной. Столь же сложной и нерегулярной может быть и динамика реальных природных систем. Как подступиться к моделированию каскадных водопадов или турбулентных процессов, определяющих погоду? Какая математика отвечает за ритмы сердца и головно- 9

10 10 Глава 1 I Введение го мозга, наблюдаемые на электрокардиограмме и энцефалограмме, в особенности за те внезапные приступы аритмии, которые могут вызвать сбой в работе сердца? Можно ли математически описать внезапное возникновение волны паники на финансовых рынках или даже построить математическую модель социального поведения? Фракталы и математический хаос подходящие средства для исследования поставленных вопросов. Термин фрактал относится к некоторой статичной геометрической конфигурации, такой как мгновенный снимок водопада. Хаос термин динамики, используемый для описания явлений, подобных турбулентному поведению погоды. Данная книга является введением в математику, которая стоит за этими понятиями. Предполагается, что после освоения изложенных здесь методов читатель сможет перейти к изучению приложений по специализированным источникам 1. Например, исследования показывают, что в физиологии встречается как «хороший» хаос, так и «плохой» . В опытах на кошках было замечено, что вид электрокардиограммы, снятой до и после введения кокаина, меняется с регулярной последовательности высоких пиков, сопровождаемых малыми пичками, на крайне нерегулярную последовательность, что, возможно, свидетельствует о приступе аритмии. С другой стороны, характер электроэнцефалограммы меняется с нерегулярного и непредсказуемого на гораздо более гладкий . См. также об анализе возможной роли хаоса в развитии болезни сердца. Нередко то, что мы наблюдаем в природе, интригует нас бесконечным повторением одного и то же узора, увеличенного или уменьшенного во сколько угодно раз. Например, у дерева есть ветви. На этих ветвях есть ветки поменьше и т. д. Теоретически, элемент «разветвление» повторяется бесконечно много раз, становясь все меньше и меньше. То же самое можно заметить, разглядывая фотографию горного рельефа. Попробуйте немного приблизить изображение горной гряды вы снова увидите горы. Приблизьте картинку еще вы по-прежнему будете различать нечто, напоминающее горы, благодаря вашей способности (статистической по сути) различать тип объекта на рисунке. Так проявляется характерное для фракталов свойство самоподобия (п. 2.1 и 5.1). : О странных аттракторах, хаотической динамике и «дорогах к хаосу» см. . Здесь и далее подстраничные примечания переводчиков.

11 1.1 Что такое фракталы и хаос? 11 Во многих работах по фракталам самоподобие используется в качестве определяющего свойства. Следуя Бенуа Мандельброту , мы принимаем точку зрения, согласно которой фракталы должны определяться в терминах фрактальной (дробной) размерности (глава 5). Отсюда и происхождение слова фрактал. Понятие дробной размерности представляет собой весьма сложную концепцию, которую мы изложим в несколько этапов. Прямая это одномерный объект, а плоскость двумерный. Как мы увидим далее, хорошенько перекрутив прямую или плоскость, можно повысить размерность полученной конфигурации; при этом новая размерность обычно будет дробной в некотором смысле, который нам предстоит уточнить. Связь дробной размерности и самоподобия состоит в том, что с помощью самоподобия можно сконструировать множество дробной размерности наиболее простым образом (п. 2.1). Даже в случае гораздо более сложных фракталов, таких, как граница множества Мандельброта (п. 8.3), когда чистое самоподобие отсутствует, имеется почти полное повторение базовой формы во все более и более уменьшенном виде. В английском языке хаос обычно определяется как состояние полного беспорядка или неразберихи. Некоторые словари прибегают к понятию состояния, в котором правит случай. Термин хаос в математике используется в узком смысле. Хотя универсального определения математического хаоса не существует, имеется, по-видимому, полное согласие в том, что любой вид хаоса обладает свойством непредсказуемости. Это свойство называют существенной зависимостью от начальных условий (п. 6.5). Как ни странно, оно не эквивалентно случайному поведению. По сути дела, математический хаос это характерная черта именно детерминированных динамических систем. Поэтому наблюдаемые в состоянии хаоса флуктуации только кажутся случайными их значения полностью предопределены входными параметрами. Но на практике мы никогда не располагаем абсолютно точной информацией о начальных условиях. Ошибки, пусть и ничтожные, всегда имеют место при измерении входных параметров. То, что кажется нам случайным результатом на выходе динамической системы, обусловлено большими ошибками, которые могут появиться, когда система ведет себя хаотично. Когда-то считалось, что в детерминированной системе, при наличии достаточного объема вычислительных ресурсов, мы всегда в

12 состоянии сделать значимое предсказание (например, дать надежный прогноз погоды), несмотря на маленькие ошибки измерения текущего состояния. В присутствии хаоса это не так. Никакой самый мощный компьютер не позволит нам сделать точный прогноз на основе математической системы с существенной зависимостью от начальных условий. С нашей точки зрения, наиболее интересный вопрос теории фракталов и хаоса состоит в том, как связать эти понятия воедино. Многие важные фракталы, включая снежинку Коха, ковер Серпинского и классическое множество Кантора, обсуждаемые во второй главе, могут быть получены как аттракторы систем итерированных функций (глава 4). Анализ этих систем итерированных функций указывает путь к построению хаотических операторов, ассоциированных с упомянутыми фракталами (глава 7) Предыстория Заслуживает внимания тот факт, что появление фракталов (еще не получивших этого имени) в математической литературе около ста лет назад было встречено с прискорбной неприязнью, как это бывало и в истории развития многих других математических идей. Один известный математик, Шарль Эрмит, даже окрестил их монстрами. По крайней мере, общее мнение признало их патологией, представляющей интерес только для исследователей, злоупотребляющих математическими причудами, а не для настоящих ученых. В результате усилий Бенуа Мандельброта такое отношение изменилось, и фрактальная геометрия стала уважаемой прикладной наукой. Мандельброт ввел в употребление термин фрактал, основываясь на теории фрактальной (дробной) размерности Хаусдорфа , предложенной в 1919 году. За много лет до появления его первой книги по фрактальной геометрии, Мандельброт приступил к исследованию появления монстров и других патологий в природе. Он отыскал нишу для имевших дурную репутацию множеств Кантора, кривых Пеано, функций Вейерштрасса и их многочисленных разновидностей, которые считались нонсенсом. Он и его ученики открыли много новых фракталов, например, фрактальное броуновское движение для моделирования лесного и горного ландшафтов, флуктуации уровня рек и биения сердца. С выходом в свет его

13 1.2 Предыстория 13 книг приложения фрактальной геометрии стали появляться как грибы после дождя. Это коснулось как многих прикладных наук, так и чистой математики. Даже киноиндустрия не осталась в стороне. Миллионы людей любовались горным ландшафтом в фильме «Звездное переселение II: гнев хана», сконструированным с помощью фракталов. Французский математик Анри Пуанкаре инициировал исследования в области нелинейной динамики около 1890 года, что привело к появлению современной теории хаоса. Интерес к предмету заметно увеличился, когда Эдвард Лоренц, занимавшийся нелинейным моделированием погоды, в 1963 году обнаружил невозможность долгосрочных прогнозов погоды. Лоренц заметил, что даже ничтожные ошибки при измерении параметров текущего состояния погодных условий могут привести к абсолютно неправильным предсказаниям о состоянии погоды в будущем. Эта существенная зависимость от начальных условий лежит в основе математической теории хаоса. Траектории частиц броуновского движения, которым занимались Роберт Броун еще в 1828 году и Альберт Эйнштейн в 1905 году, представляют собой пример фрактальных кривых, хотя их математическое описание было дано только в 1923 году Норбертом Винером. В 1890 году Пеано сконструировал свою знаменитую кривую непрерывное отображение, переводящее отрезок в квадрат и, следовательно, повышающее его размерность с единицы до двойки. Граница снежинки Коха (1904 год), чья размерность d и 1,2618, это еще одна хорошо известная кривая, повышающая размерность. Фрактал, никоим образом не похожий на кривую, который Мандельброт назвал пылью это классическое множество Кантора (1875 или ранее). Это множество настолько разрежено, что оно не содержит интервалов, но, тем не менее, имеет столько же точек, сколько интервал. Мандельброт использовал такую «пыль» для моделирования стационарного шума в телефонии. Фрактальная пыль того или иного рода появляется в многочисленных ситуациях. Фактически, она является универсальным фракталом в том смысле, что любой фрактал, аттрактор системы итерированных функций представляет собой либо фрактальную пыль, либо ее проекцию на пространство с более низкой размерностью. Различные древовидные фракталы применялись не только для моделирования деревьев-растений, но и бронхиального дерева (воздухоносные ветви в легких), работы почек, кровеносной системы к

14 14 Глава 1 / Введение др. Интересно отметить предположение Леонардо да Винчи о том, что все ветки дерева на данной высоте, сложенные вместе, равны по толщине стволу (ниже их уровня). Отсюда следует фрактальная модель для кроны дерева в виде поверхности-фрактала. Многие замечательные свойства фракталов и хаоса открываются при изучении итерированных отображений. При этом начинают с некоторой функции у = f(x) и рассматривают поведение последовательности /(ж), /(/(ж)), /(/(/(ж))),... В комплексной плоскости работы такого рода восходят, по всей видимости, к имени Кэли, который исследовал метод Ньютона нахождения корня в приложении к комплексным, а не только вещественным, функциям (1879). Замечательного прогресса в изучении итерированных комплексных отображений добились Гастон Жюлиа и Пьер Фату (1919). Естественно, все было сделано без помощи компьютерной графики. В наши дни, многие уже видели красочные постеры с изображением множеств Жюлиа и множества Мандельброта, тесно с ними связанного. Освоение математической теории хаоса естественно начать именно с итерированных отображений. Изучение фракталов и хаоса открывает замечательные возможности, как в исследовании бесконечного числа приложений, так и в области чистой математики. Но в то же время, как это часто случается в так называемой новой математике, открытия опираются на пионерские работы великих математиков прошлого. Сэр Исаак Ньютон понимал это, говоря: «Если я и видел дальше других, то только потому, что стоял на плечах гигантов».

15 Глава 2. Классические фракталы 2.1. Самоподобие Разделим отрезок прямой на N равных частей. Тогда каждую часть можно считать копией всего отрезка, уменьшенной в 1/г раз. Очевидно, N и г связаны соотношением Nr = 1 (рис. 2.1). Если квадрат разбить на N равных квадратов (с площадью, в 1/г 2 раз меньше площади исходного), то соотношение запишется как Nr 2 = 1. Если куб разбить на N равных кубов (с объемом, в 1/г 3 раз меньше объема исходного), то соотношение примет следующий вид: iw 3 = 1. Заметим, что размерность d объекта, будь то одномерный отрезок, двумерный квадрат или трехмерный куб, появляется как степень г в соотношении между JV, числом равных подобъектов, и коэффициентом подобия г. А именно: Nr d = 1. (2.1) Множества, построенные на рис. 2.1, обладают целой размерностью. Зададимся вопросом, возможно ли такое построение, при котором показатель d в равенстве (2.1) не является целым, то есть такое, что при разбиении исходного множества на N непересекающихся подмножеств, полученных масштабированием оригинала с коэффициентом г, значение d не будет выражаться целым числом. Ответ, как мы убедимся решительное да! Такое множество называют самоподобным фракталом. Величину d называют фрактальной (дробной) размерностью или размерностью подобия. Явное выражение для d через N и г находится логарифмированием обеих частей (2.1): Логарифм можно взять по любому положительному основанию, отличному от единищ/ например по основанию 10 или по основанию е«2,

16 16 Глава 2 / Классические фракталы е о о о N=3 г=1/3 d=l N=9t=l/3d=2 / N=27 г=щ d=3 Рис Связь размерности и коэффициента подобия Более общий тип самоподобных фракталов рассматривается в п Фрактал по-прежнему может быть объединением непересекающихся подмножеств, полученных масштабированием оригинала, но коэффициенты подобия уже не обязательно одни и те же для всех подмножеств. В этом случае формула для размерности (2.2) неприменима. Термин фрактал был впервые введен в 1975 году Бенуа Мандельбротом, пионером в области фрактальной геометрии 1. Многие математические идеи оформились задолго до этого, еще в XIX-м веке, в работах Георга Кантора, Карла Вейерштрасса, Джузеппе Пеано и других. Понятие фрактальной (дробной) размерности появилось в 1919 году в работе Феликса Хаусдорфа. Тем не менее, именно Мандельброт объединил эти идеи и положил начало систематическому изучению фракталов и их приложений. В 5-й главе и в прил. А.5 будет дано строгое математическое изложение вопросов, связанных с дробной размерностью. При этом Термин фрактал произведен от латинского глагола frangere ломать и прилагательного fractus дробный .

17 2.1 Самоподобие 17 Рис Снежинка Коха следует иметь в виду, что понятие фрактала еще находится в развитии и разные источники могут использовать различные определения. Заметим здесь, что некоторые множества целой размерности также являются фракталами, как следует из нашего определения. Снежинка Коха. Граница снежинки, придуманной Гельгом фон Кохом в 1904 году (рис. 2.2), описывается кривой, составленной из трех одинаковых фракталов размерности d «1,2618. Каждая треть снежинки строится итеративно, начиная с одной из сторон равностороннего треугольника. Пусть KQ начальный отрезок. Уберем среднюю треть и добавим два новых отрезка такой же длины, как показано на рис Назовем полученное множество К\. Повторим данную процедуру многократно, на каждом шаге заменяя среднюю треть двумя новыми отрезками. Обозначим через К п фигуру, получившуюся после n-го шага. Интуитивно ясно, что последовательность кривых {K n }^=i сходится к некоторой предельной кривой К. Мы проведем строгое математическое исследование сходимости таких последовательностей кривых и других множеств в п. 3.5 и в прил. А.З. Пока что предположим, что кривая К существует, и рассмотрим некоторые ее свойства.

18 18 Глава 2 / Классические фракталы (а) (б) (в) (г) Рис а) Ко, б) К и в) К 2, г) К 3, Если взять копию К, уменьшенную в три раза (г = 1/3), то все множество К можно составить из N = 4 таких копий. Следовательно, отношение самоподобия (2.1) выполняется при указанных ЛГ и г, а размерность фрактала будет:

19 2.1 VaMonododue 1У Рис Ковер Серпинского Теорема Граница снежинки Коха имеет бесконечную длину. Доказательство. Достаточно показать, что каждый из трех идентичных фракталов К, полученных итерациями (рис. 2.3), имеет бесконечную длину. Пусть исходный отрезок.ко имеет единичную длину. Тогда длина кривой К\ равна 4/3. Длина кривой К2 равна 4 2 /3 2. Продолжая таким образом имеем, что кривая К п после п-го шага имеет длину 4"/3". Следовательно, длина предельной кривой К равна бесконечности: lira 4 n /3 n = 00. Ковер Серпинского. Еще один пример простого самоподобного фрактала ковер Серпинского (рис. 2.4), придуманный польским математиком Вацлавом Серпинским в 1915 году. Сам термин ковер (gasket) принадлежит Мандельброту. В способе построения, следующем ниже, мы начинаем с некоторой области и последовательно выбрасываем внутренние подобласти. Позднее мы рассмотрим и другие способы, в частности с использованием L-систем (п. 2.2), а также на основе систем итерированных функций (глава 4). Пусть начальное множество SQ равносторонний треугольник вместе с областью, которую он замыкает. Разобьем SQ на четыре

20 20 Глава 2 / Классические фракталы Рис Построение ковра Серпинского меньшие треугольные области, соединив отрезками середины сторон исходного треугольника. Удалим внутренность маленькой центральной треугольной области. Назовем оставшееся множество S\ (рис. 2.5). Затем пбвторим процесс для каждого из трех оставшихся маленьких треугольников и получим следующее приближение 5г. Продолжая таким образом, получим последовательность вложенных множеств S n, чье пересечение и образует ковер 5. Из построения видно, что весь ковер представляет собой объединение N 3 существенно непересекающихся уменьшенных в два раза копий; коэффициент подобия г = 1/2 (как по горизонтали, так и по вертикали). Следовательно, 5 самоподобный фрактал с размерностью: d = log(3)/log(2) «1,5850. Очевидно, что суммарная площадь частей, выкинутых при построении, в точности равна площади исходного треугольника. На первом шаге мы выбросили 1/4 часть площади. На следующем шаге мы выбросили три треугольника, причем площадь каждого равна 1/4 2 площади исходного. Рассуждая таким образом, мы убеждаемся, что полная доля выкинутой площади составила: 1/4 + 3(1/4 2) (1/4 3) + + З + Эта сумма равна 1 (упр. 4 в конце этого параграфа). Следовательно, мы можем утверждать, что оставшееся множество S, то есть ковер,

21 2.2 Самоподобие 21 имеет площадь меры нуль. Это выделяет множество S в разряд «совершенного», в том смысле, что оно разбивает свое дополнение на бесконечное число треугольных областей, обладая при этом нулевой толщиной. Губка Менгера. Существуют и трехмерные аналоги ковров. Следуя Мандельброту, мы называем такие множества губками. Губка, изображенная на рис. 2.6, называется губкой Менгера, по имени Карла Менгера. Это самоподобный фрактал с N = 20 и г = 1/3. Его размерность равна: d = log(20)/ log(3) * 2,7268. Такая губка имеет объем меры нуль. Мы оставляем детали построения и анализа для рассмотрения читателю. Упражнения Определить дробную размерность (размерность подобия) фракталов, которые строятся, как указано на рис Определить дробную размерность (размерность подобия) фракталов, которые строятся, как указано на рис Построить фрактал, отличный от фрактала на рис. 2.8(а), но той же размерности. 4. Показать, что сумма площадей треугольников, выкинутых при построении ковра Серпинского, равняется площади исходного треугольника. Указание: воспользоваться соотношением: 1/(1 -х) = 1 + х + х 2 -\, для х < Рассмотрим фрактал, который строится, как указано на рис Этот фрактал иногда называют пылью Серпинского. Записать бесконечный ряд для суммы площадей частей, которые были удалены при построении. Найти сумму этого ряда. 6. (Компьютерный эксперимент.) Исследовать, какая связь существует между треугольником Паскаля (состоящим из биномиальных коэффициентов) и ковром Серпинского(см. ).

22 22 Глава 2 / Классические фракталы Рис Построение губки Менгера (а) (б) 1 в -HI о 1, в 1 (в) (г) Рис Построения к упр. 1

23 2.2 L-системы 23 (а) (б) Рис Построения к упр. 2 Рис Построения к упр L-системы Понятие L-систем, тесно связанное с самоподобными фракталами, появилось только в 1968 году благодаря Аристриду Линденмайеру. Изначально L-системы были введены при изучении формальных языков, а также использовались в биологических моделях селекции. С их помощью можно строить многие известные самоподобные фракталы, включая снежинку Коха и ковер Серпинского. Некоторые другие классические построения, например кривые Пеано (работы Пеано, Гильберта, Серпинского), также укладываются в эту схему. И конечно, L-системы открывают путь к бесконечному разнообразию новых фракталов, что и послужило причиной их широкого применения в компьютерной графике для построения фрактальных деревьев и растений. Наше изложение L-систем следует

24 24 Глава 2 / Классические фракталы в основном работам Прузинкевича и Ханана и ограничивается случаем детерминированных L-систем и графикой на плоскости. Для графической реализации L-систем в качестве подсистемы вывода используется так называемая тертил-графика (turtle черепаха). При этом точка (черепашка) движется по экрану дискретными шагами, как правило, прочерчивая свой след, но при необходимости может перемещаться без рисования. В нашем распоряжении имеются три параметра (ж, у, а), где (х, у) координаты черепашки, а направление, в котором она смотрит. Черепашка обучена интерпретировать и выполнять последовательность команд, задаваемых кодовым словом, буквы которого читаются слева направо. Кодовое слово представляет собой результат работы L-системы и может включать следующие буквы: F переместиться вперед на один шаг, прорисовывая след. b переместиться вперед на один шаг, не прорисовывая след. [ открыть ветвь (подробнее см. ниже) ] закрыть ветвь (подробнее см. ниже) + увеличить угол а на величину в уменьшить угол а на величину в Размер шага и величина приращения по углу в задаются заранее и остаются неизменными для всех перемещений черепашки. Если начальное направление движения а (угол, отсчитываемый от положительного направления оси X) не указано, то полагаем а равным нулю. Несколько примеров иллюстрируют применение команд ветвления (обозначаются ], [) и вспомогательных переменных (обозначаются X, Y и т. д.). Команды ветвления используются для построения деревьев и растений, а вспомогательные переменные заметно облегчают построение некоторых L-систем. Формально, детерминированная L-система состоит из алфавита, слова инициализации, называемого аксиомой или инициатором, и набора порождающих правил, указывающих, как следует преобразовывать слово при переходе от уровня к уровню (от итерации к итерации). К примеру, можно заменять букву F при помощи порождающего правила newf = F F+-f-F F, что соответствует L-системе для снежинки Коха, рассматриваемой ниже. Символы +, ], [ не обновляются, а просто остаются на тех местах, где они встретились. Обновление букв в данном слове предполагается одновременным,

25 2.2 L-системы 25 то есть все буквы слова одного уровня обновляются раньше любой буквы следующего уровня. L-система, соответствующая снежинке Коха (рис. 2.2), задается следующим образом: 0 = тг/3 Аксиома: F++F++F Порождающее правило: newf = F F++F F Графическое представление аксиомы F++F++F равносторонний треугольник. Черепашка делает один шаг вперед, затем угол а увеличивается на 2тг/3 и черепашка делает еще один шаг вперед, угол а снова увеличивается на 2тг/3 и черепашка делает еще шаг. На первом шаге каждая буква F в слове-инициаторе F++F++F заменяется на F-F++F F: (F-F++F-F)++(F-F++F-F)++(F-F++F-F). Убирая скобки, получаем: F-F++F-F++F-F++F-F++F-F++F-F. Повторяя этот процесс, на втором шаге получим: F-F++F-F-F-F++F-F++F-F++F-F-F-F++F-F++ F-F++F-F-F-F++F-F++F-F++F-F-F-F++F-F++ F-F++F-F-F-F++F-F++F-F++F-F-F-F++F-F и т. д. Псевдокод для итерирования порождающих правил в этом простейшем случае, когда используются только правила вида F = newf, Ъ = newb, выглядит следующим образом: Алгоритм (L-СИСТЕМЫ) Назначение: реализует правила F = newf, b = newb. Вход: axiom (слово инициализации) newf (порождающее правило) newb (порождающее правило) level (число итераций) Выход: word (слово-результат)

26 26 Глава 2 / Классические фракталы Инициализация: W = axiom n = length(w) Т = { } (пустое множество) Шаги: while level > 0 for j = 1 to n if W(j) = +,T = {T +}, end if i W(j) = -,T = {T -}, end if if W(j) = [,T = {T [}, end if ii-w(j) = ],T = {T ]}, end if if W(j) = F,T = {T newf}, end if if W(j) = b,t = {T end for W = T level = level 1 end while word = W newb}, end if Замечание: W(j) j-ая буква в слове W, {T которой присоединен знак +. +} строка Т, к Соответствующий псевдокод для тертл-графики мы рассмотрим ниже в этом параграфе. Список порождающих правил для различных L-систем, которые упоминаются в тексте, можно найти в конце этого параграфа. График на рис не имеет разрывов, так как черепашка движется единичными шагами и каждый раз прорисовывает свой след. Разрывные графики можно получать, применяя в L-системе команду «Ь», то есть команду «переместиться на один шаг вперед без рисования». Примерами могут служить изображения мозаики на рис и цепочки на рис При построении фракталов с использованием только одного порождающего правила возникает следующая трудность. Мы не можем изменить направление чтения правила на некоторых шагах, то есть читать его не слева направо, а справа налево. Без решения этой проблемы невозможно получить L-системы для кривых Пеано, которым посвящен следующий параграф.

27 2.2 L-системы 27 Рис Остров после 2-х итераций Например, для того чтобы построить фрактал под названием «дракон Хартера-Хайтвея» , необходимо иметь возможность менять направление чтения порождающего правила, изображенного на рис В качестве инициатора, или аксиомы, используется кривая слева. Порождающее правило в данном случае заключается в том, чтобы нарисовать инициатор сначала в прямом, а затем в обратном направлении. Подобная схема не вписывается в рамки L-систем, использующих только одно порождающее правило. Эту проблему можно решить, введя две различных команды для передвижения вперед, например X и Y. Будем считать, что черепашка интерпретирует X и Y одинаково, то есть как один шаг вперед. С помощью этих двух букв порождающее правило для дракона можно записать следующим образом: axiom = X, newx = X+Y+, newy = X-Y. Однако, нам не хотелось бы отказываться от первоначального подхода, при котором имеется только одна буква F, интерпретируе-

28 28 Глава 2 / Классические фракталы Рис Мозаика после 3-х итераций (Патрик Хагерти) мая как один шаг вперед. Чтобы вернуться в рамки этого подхода, будем считать буквы X и Y вспомогательными переменными, игнорируемыми черепашкой, и заменим их в порождающем правиле на FX и FY соответственно. Получим: axiom = FX, FX = FX+YF+, YF = -FX-YF. Далее замечаем, что того же результата можно добиться при помощи следующих порождающих правил: axiom = FX, newf = F, newx = X+YF+, newy = -FX-Y.

29 2.2 L-системы 29 Рис Цепочка после 3-х итераций (Ян-Си Ло) * 3 инициатор порождающее правило Рис Инициатор и правило для дракона Хартера-Хайтвея

30 30 Глава 2 j Классические фракталы Рис Дракон Хартера-Хайтвея после 12-и итераций Ниже приведены несколько шагов построения дракона с использованием этих порождающих правил: 1-ый шаг: FX+YF+ 2-ый шаг: FX+YF++-FX-YF+ 3-ый шаг: FX+YF++-FX-YF++-FX+YF+ FX-YF+ 4-ый шаг: FX+YF++-FX-YF++-FX+YF+ FX-YF++ -FX+YF++-FX-YF+ FX+YF+ FX-YF+ На рис изображен дракон после 12 итераций. Заметьте, что дракон состоит из нескольких похожих частей. В заключение остановимся на операции ветвления. Когда мы встречаем символ [ (открыть ветвь), мы запоминаем положение и направление черепашки, то есть переменные (х,у, а), и возвращаемся к этим установкам позднее. Для хранения триплетов (х, у, а)

31 2.% L-системы Рис Сорняк после 4-х итераций используется стек " х\ ух ах Х2 У2 «2 Х п Уп "п причем новые данные записываются в конец стека. Когда ветвь закрывается, переменным (х, у, а) присваиваются значения, считанные из конца стека. Затем эти значения из стека удаляются. Таким образом, ветвление задается двумя символами: [ Открыть ветвь. Сохранить (ж, у, а) в конце стека. ] Закрыть ветвь. Присвоить переменным (х, у, а) значения, считанные из конца стека, после чего удалить их из стека. На рис и 2.16 изображены фракталы, построенные с помощью операции ветвления. Ниже приведен алгоритм, который позволяет получать графическое представление слова при помощи тертл-графики.

32 32 Глава 2 / Классические фракталы Алгоритм (ТЕРТЛ-ГРАФИКА) Назначение: реализует тертл-графику для кодового слова, состоящего из букв F, Ь, [, ], + и. Вход: word (результат работы L-системы) в (приращение по углу) а (начальное направление) Выход: Графическое представление word. Инициализация: графический режим (подробнее см. ниже) W = word п = \ength(word) stack = { } (пустое множество) Шаги: for j = 1 to п if W{j) = +, о = a + в, end if if W(j) -, a = a 9, end if if W(j) = F, x = x 0 + cos(o;), у = yo + sin(a), провести линию из точки (хо,уо) в точку (х, у), х 0 = х, Уо = У end if if W(j) = 6, XQ = XQ + cos(a), j/o = Уо + sin(a), end if / = length(stack), stack (I + 1,1) = XQ stack (I + 1,2)= yo stack (I + 1,3) = a end if if W(j) = ], I = length(stack), XQ = stack (/, 1) 2/o = stack (1,2) a stack (/,3)

33 2.2 L-системы 33 Рис Куст после 4-х итераций удалить 1-ую запись из stack end if end for Можно написать специальную программу для определения размеров графического окна. Для этого достаточно выполнить в точности те же шаги, что и в алгоритме 2.2.2, но вместо вывода на экран надо отслеживать наименьшее и наибольшее значения х и у. Вначале положим эти значения равными нулю: хтгп хтах = О, ymin = углах = 0. Каждый раз, когда появляется новая точка (ж, у), размеры окна обновляюся: хтгп = iain(x,xmin), хтах = та.х(х, хтах),

34 34 Глава 2 / Классические фракталы Рис Снежинка после 3-х итераций (Джонг By Ким) ymin min(?/, ymin), утах = max.(y,ymax). Значения xmin, xmax, ymin и утах, полученные по окончании работы алгоритма, используются для инициализации окна вывода тертл-графики. Порождающие правила для L-систем. Порождающие правила для L-систем перечислены в алфавитном порядке. Дракон Хартера-Хайтвея (рис. 2.14): axiom = FX newf = F newx = X+YF+ newy = FX Y

35 2.2 L-системы " 35 Рис Цветок после 3-х итераций (Брандон Нельсон) Ковер Серпинского (рис. 2.4): axiom = FXF FF FF newf = FF newx = FXF++FXF++FXF Кривая Гильберта, заполняющая плоскость (рис. 2.24): axiom = X newf = F newx = -YF+XFX+FYnewy = +XF-YFY-FX+ Кривая Госпера, заполняющая плоскость (рис. 2.26): axiom = XF newf = F newx = X+YF++YF-FX FXFX-YF+

36 36 Глава 2 / Классические фракталы newy = -FX+YFYF++YF+FX FX-Y 0 = тг/3 Кривая Пеано, заполняющая плоскость (рис. 2.22, 2.23): axiom = F newf = F-F+F+F+F-F-F-F+F Q = 7г/4 9 = IT/2 Кривая Серпинского, заполняющая плоскость (рис. 2.25): axiom = F+XF+F+XF newf = F newx = XF-F+F-XF+F+XF-F+F-X a = тг/4 0 = тг/2 Куст (рис. 2.16): axiom = F newf = -F+F+[+F-F-]-[-F+F+F] 6> = 7г/8 Мозаика (рис. 2.11): axiom = F-F-F-F newf = F-b+FF-F-FF-Fb-FF+b-FF+F+FF+Fb+FFF newb = bbbbbb Остров (рис. 2.10): axiom = F+F+F+F newf = F+F-F-FFF+F+F-F 6> = 7г/2 Снежинка (рис. 2.17): axiom = [F]+[F]+[F]+[F]+[F]+[F] newf = F[++F][-FF]FF[+F][-F]FF (9 = 7г/3 Снежинка Коха (рис. 2.2): axiom = F++F++F newf = F-F++F-F 0 = 7r/2 Сорняк (рис. 2.15): axiom = F

37 2.2 L-системы 37 Рис Порождающее правило к упр. 2 newf = F[+F]F[-F]F 0 = тг/7 Цветок (рис. 2.18): axiom = F[+F+F][-F-F][++F][ F]F newf = FF[++F][+F][F][-F][ F] a =?r/2 в = 7г/1б Цепочка (рис. 2.12): axiom = F+F+F+F newf = F+b-F-FFF+F+b-F newb = bbb 0 = тг/2 Упражнения а) Чему равно слово на выходе следующей L-системы после двух итераций: axiom = F (слово инициализации) newf =FF-[F]+[F] а = тг/2 (начальное направление) б) Изобразить найденное в предыдущем пункте слово графически.

38 38 Глава 2 / Классические фракталы 2. Написать псевдокод для L-систем (с использованием «newf» и т. п.), реализующих правила на рис Положить axiom = F. 3. Построить L-системы для фракталов из упр. 1, п Отобразить результат работы L-системы в графике. 4. Придумать и реализовать на компьютере три новые L-системы, результатом работы которых были бы ваши собственные варианты следующих фигур: а) снежинка или остров (с границей без разрывов); б) мозаика или острова (с разрывной границей); в) куст или сорняк. 5. (Компьютерный эксперимент.) Исследовать с точки зрения фрактальных свойств один из множества представленных в объектов. Возможные темы: а) растения с перекрестным опылением (соцветия); б) мозаика; в) восточный орнамент; г) фрактальная музыка Пыль Кантора Классическое множество Кантора, или пыль Кантора, названо по имени Георга Кантора, который описал его в 1883 году. Существование пыли Кантора отмечалось до этого Генри Смитом (Henry Smith) в 1875 году или еще ранее. Это множество хорошо известно студентам из курса математического анализа как пример множества нулевой меры Лебега , чья мощность равна мощности континуума . Фрактальные свойства пыли Кантора имеют огромное значение, особенно учитывая тот факт, что многие известные фракталы являются близкими родственниками этого множества. Построение классической пыли Кантора начинается с выбрасывания средней трети (не включая концы) единичного отрезка. То есть исходное множество есть отрезок , и первый шаг состоит в удалении открытого интервала (1/3,2/3). На следующем и всех остальных шагах мы выкидываем среднюю треть (не включая концы) всех отрезков текущего уровня. Таким образом, мы получаем (рис. 2.20) последовательность множеств:

39 2.3 Пыль Кантора 39 Рис Построение пыли Кантора Со = d = U С 2 = U U U Предельное множество С, которое представляет собой пересечение множеств С п, п = 0,1,2,..., называется классической пылью Кантора. В дальнейшем мы будем называть его просто канторовой пылью. Свойства канторовой пыли. 1. Канторова пыль есть самоподобный фрактал размерности d = log(2)/log(3) «0,6309, так как соотношение Nr d = 1 выполняется при N 2 и г = 1/3. 2. Канторова пыль не содержит интервалов положительной длины. Это очевидно из построения. 3. Сумма длин интервалов, удаленных при построении множества С, в точности равна 1. Чтобы показать это, рассмотрим следующее доказательство. Длина первого интервала, который мы выкинули,

40 40 Глава 2 / Классические фракталы составляет 1/3. Чтобы получить Сг, мы выкинули два интервала, каждый длиной 1/3 2. На следующем шаге мы выбросили 2 2 интервалов, каждый длиной 1/3 3, и т. д. Таким образом, сумма длин удаленных интервалов 5 составляет: 5 = 1/3 + 2/ / п ~ 1 /З п +. Но это выражение можно переписать в виде: 5 = (1/3)(1 + 2/3 + (2/3) 2 + (2/3) 3 +), и с помощью формулы для суммы геометрической прогрессии, а именно, 1-х мы получаем: Можно предположить, что если в С что-нибудь и осталось после удаления всех этих интервалов, то, наверное, не очень много. Однако это не так, что подтверждается следующим свойством. 4. Удивительный результат сравнения множества Кантора с интервалом состоит в том, что мощности этих множеств равны. Два множества обладают равной мощностью, если существует взаимно однозначное соответствие между точками этих множеств. В случае конечных множеств данное утверждение тривиально. Для бесконечных множеств, таких как интервал или множество Кантора, понятие мощности требует аккуратного обращения. В качестве простой иллюстрации сказанного достаточно заметить, что отрезки и равной мощности, несмотря на то, что второй интервал в два раза длиннее первого. Взаимно однозначное соответствие в этом случае задается отображением /(х) = 2х, где х . Прежде чем приступить к доказательству основной теоремы о мощности множества Кантора, вспомним, как представить точку х отрезка в системе счисления с основанием N, N > 2. Разобьем отрезок на N равных интервалов, каждый длины 1/N. Пронумеруем эти интервалы следующим образом: 0,1,2,..., N 1. Если оказалось, что точка х принадлежит интервалу с номером 5, то положим xi = 5. Затем разобьем этот интервал на N новых интервалов, каждый длины 1/iV 2. Пронумеруем эти интервалы, как и раньше:

41 2.3 Пыль Кантора 41 0,1,2,...,N 1. Если точка х принадлежит новому интервалу с номером 3, то положим х% = 3. Продолжая таким образом, получим бесконечную последовательность {a: n }^L x, причем каждое значение х п определяет интервал, содержащий х на n-ом шаге процесса разбиения. В результате, число х может быть представлено бесконечной последовательностью: XI Х2_ *3_ N + N 2 + N 3 " и каждое такое представление соответствует некоторой точке отрезка . Кратко его записывают следующим образом: х = 0,2:1X2X3... (по основанию 7V) и называют представлением х в системе счисления с основанием N или в TV-ичной системе. Очевидно, запись числа в десятичной системе счисления, которой мы привыкли пользоваться, является частным случаем данного определения. Обратим внимание на несколько математических аспектов, требующих особого рассмотрения. Во-первых, некоторые числа имеют более одного iv-ичного представления. Это числа вида j/n k, где j и к положительные целые. Для таких чисел можно указать два iv-ичных представления: одно оканчивается всеми нулями, а другое всеми N 1. Например, х = 1/2 в двоичной системе может быть представлено 2 двумя способами: 1/2 = 0, /2 = 0, Любое число вида, отличного от j/n k, записывается в iv-ичной системе счисления единственным образом. Также мы оставили без ответа вопрос, соответствует ли произвольное iv-ичное представление единственному х /. Этих вопросы решаются точно также, как и в случае обычного десятичного представления. 2 Мы сохранили используемое автором обозначение бесконечной периодической дроби.

42 42 Глава 2 / Классические фракталы Теорема Мощность множества Кантора С равна мощности континуума . Доказательство. Нам необходимо установить взаимно однозначное соответствие между точками из С и точками отрезка . Для этого нам потребуется рассмотреть двоичное (по основанию 2), а также троичное (по основанию 3) представления точек отрезка . Для того чтобы избежать двусмысленности в случае, когда точка имеет два двоичных или троичных представления, мы будем всегда выбирать то представление, которое заканчивается всеми единицами в двоичном случае и всеми двойками в троичном. Замечаем, что точка попадает в множество Кантора С тогда и только тогда, когда в ее троичном представлении отсутствуют единицы, то есть когда в нем присутствуют только нули и двойки. Тогда искомое соответствие точек из С с точками отрезка осуществляется заменой всех двоек в троичном представлении х на единицы. Полученное таким образом двоичное представление определяет некоторое вещественное число у. Например, если х С есть: х = 0, (в троичной системе), то полагаем у = 0, (в двоичной системе). Описанная процедура определяет взаимно однозначное соответствие между х 6 С и у . 5. Классическая канторова пыль представляет собой пример компактного, совершенного и вполне разрывного множества. Эти понятия объясняются в главе 3. Более того, можно утверждать, что топологически классическое множество Кантора определяется как компактное, совершенное и вполне разрывное множество. Это означает, что любое компактное, совершенное и вполне разрывное множество можно непрерывно преобразовать в пыль Кантора, причем существует обратное преобразование, с помощью которого можно восстановить исходное множество. Любое такое множество принято называть множеством Кантора. Не следует думать, однако, что все множества Кантора самоподобны. Более того, даже фрактальная размерность различных самоподобных множеств Кантора не обязательно совпадает, как показывает следующий пример.

Министерство образования и науки Российской Федерации ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «САРАТОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра информационных систем и технологий http://chair36.msiu.ru Н.В. Лукьянова Фракталы Фракталы Определение фрактала Понятия фрактал и фрактальная геометрия, появившиеся в конце 70-х, с середины 80-х

Фракталы Определение Fractus (лат.) - состоящий из фрагментов Фрактал (лат. fractus дробленый) это бесконечно самоподобная геометрическая фигура, каждый фрагмент которой повторяется при уменьшении масштаба.

ФРАКТАЛЫ Многие природные объекты и явления имеют не гладкий, а изломанный характер. Среди них листья деревьев, береговая линия, молния и др. Для описания этих объектов не подходят обычные дифференцируемые

РАЗРАБОТКА АЛГОРИТМОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ ПОДСТИЛАЮЩЕЙ ПОВЕРХНОСТИ НА ОСНОВЕ МЕТОДОВ ФРАКТАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ. Основные понятия и определения фрактальной геометрии При исследовании функционирования

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 0 класс ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ Новосибирск Интуитивно

Класс: 7 класс. Раздел программы: Информационные технологии Тема урока: Компьютерная графика Планируемые результаты: Предметные осуществление логических действий в ходе решения учебных задач; систематизация

Кафедра информационных систем и технологий http://chair36.msiu.ru Н.В. Лукьянова Фракталы Фракталы Комплексные числа Комплексные числа расширение множества вещественных чисел. Любое комплексное число может

Доля П.Г. Харьковский Национальный Университет механико математический факультет 014 г. Дискретная математика. Конспект лекций. Оглавление. Алгебра множеств..1 Понятие множества... 1. Операции над множествами...

Научно-практическая конференция НОУ СОШ «Царицынская 1» Фрактальная графика Выполнили: учащиеся 8 класса Руководитель: Шевченко Т.И. г. Волгоград, 2014 Актуальность работы: Последние события в области

Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ -1- Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 4.0. Постановка задачи Задача нахождения корней нелинейного уравнения вида y=f() часто встречается в научных

Тема. Уравнения с модулем Содержание.. Модуль.. Простейшие уравнения с модулем.. Метод интервалов.. Модуль Абсолютной величиной (модулем) числа называется расстояние на координатной прямой от точки до

6. Основы фрактальной геометрии. 6.1. Понятие о фрактальных объектах. 6.2 Фрактальная размерность. 6.2.1 Размерность подобия. 6.2.2. Размерность Хаусдорфа-Безиковича. 6.2.3. Размерность Минковского. 6.3

Математика, если на нее правильно посмотреть, отражает не только истину, но и несравненную красоту. Бертранд Рассел. Презентация создана учеником 11 «В» класса ГУСЕВЫМ АЛЕКСАНДРОМ Вы, конечно же, слышали

Уравнения В алгебре рассматривают два вида равенств тождества и уравнения Тождество это равенство которое выполняется при всех допустимых) значениях входящих в него букв Для тождества используют знаки

Глава 1 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Лекция 1 1 Введение Уравнение называется интегральным, если неизвестная функция входит в уравнение под знаком интеграла Разумеется, мы не будем рассматривать интегральные

Глава 0 ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Алгоритмы А- Задание числовых последовательностей А- Арифметическая прогрессия А- Геометрическая прогрессия А- Суммирование А-5 Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Решение нелинейных уравнений Не всегда алгебраические или трансцендентные уравнения могут быть решены точно Понятие точности решения подразумевает:) возможность написания «точной формулы», а точнее говоря

Метод Эйлера Задача нахождения частного решения дифференциального уравнения () f (6.) может быть приближенно решена численными методами. Для нахождения частного решения уравнения (6.) на отрезке [ a

Математическое моделирование объектов теплоэнергетики Лекция 1 Нелинейные алгебраические и трансцендентные уравнения. Термины и понятия 2 Моделирование это исследование объекта или системы объектов путем

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Квадратные уравнения и неравенства с параметрами. Данная статья посвящена вопросам расположения корней квадратного трёхчлена в зависимости от параметра.

Раздел Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных Функция действительного аргумента Действительные числа Целые положительные числа называются натуральными Добавим к натуральным

РАССКАЗ О ФРАКТАЛАХ С.В. Григорьев и Е.Г. Яшина Определение фрактала Строгое определение: Фракталом называется множество, размерность Хаусдорфа- Безиковича (D F) которого строго больше топологической

ЛЕКЦИЯ 5В Топологические пространства 3. Частичный порядок. Наименьшие топологии. Направленности 1. Частичный порядок Напомним Определение. Говорят, что на множестве R задано отношение частичного порядка,

Пределы и непрерывность. Предел функции Пусть функция = f) определена в некоторой окрестности точки = a. При этом в самой точке a функция не обязательно определена. Определение. Число b называется пределом

СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ 4 Тема 1 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ Лекция 1 Множества 6 Лекция Числовые множества 14 Лекция 3 Грани числовых множеств 1 Лекция 4 Множество комплексных чисел 7 Тема ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ Лекция

ГЛАВА 1. Проективная геометрия 1.1. Проективное пространство Пусть дано (n + 1)-мерное векторное пространство V (6.1, часть I) и непустое множество P произвольной природы. Говорят, что множество P наделено

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра радиофизики Лебедев Б.Б. Нахождение резонансных частот и измерение диаграмм направленности фрактальных антенн Минковского Лабораторный

ПЕРЕМЕННЫЕ И ПОСТОЯННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ В результате измерения физических величин (время, площадь, объем, масса, скорость и т.д.) определяются их числовые значения. Математика занимается величинами, отвлекаясь

Меры Хаусдорфа Начнем с нескольких наводящих соображений. Напомним (см. лекцию), что внешняя мера Лебега подмножества A R n определяется формулой λ n(a) = inf λ n (P i) : A i P i, P i P, где P класс всех

Об одном семействе нейронов с ограниченной сложностью взаимной перестройки А.П. Соколов Введение Пороговые функции алгебры логики являются математической моделью нейронов. Они представляют интерес благодаря

Растровая, векторная и фрактальная графика Компьютерная графика это специальная область информатики, изучающая методы и способы создания и обработки изображений на экране компьютера с помощью специальных

Разбор задачи «Урок физкультуры» Первое замечание, существенно упрощающее понимание решение данной задачи, состоит в том, что нас интересует только соотношение сил остальных учеников с силой Коли, но не

Лекция 13: Классификация квадрик на плоскости Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В предыдущих трех

ЛЕКЦИЯ 6А Топологические пространства 2. Направленности 1. Частичный порядок Напомним Определение. Говорят, что на множестве R задано отношение частичного порядка, если для некоторых пар (x, y) элементов

Федеральное агентство по образованию Московский Государственный университет геодезии и картографии (МИИГАиК) МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ по курсу ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Числовые

Глава 3. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ В основе метода динамического программирования (ДП) лежит идея рассмотрения, наряду с заданной индивидуальной оптимизационной задачей, целого семейства индивидуальных

Глава 8 Функции и графики Переменные и зависимости между ними. Две величины и называются прямо пропорциональными, если их отношение постоянно, т. е. если =, где постоянное число, не меняющееся с изменением

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие....................................... 3 Обозначения....................................... 5 ГЛАВА ПЕРВАЯ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА И ОТОБРАЖЕНИЯ 1. Топологические пространства.........................

Лекция 10. Фракталы и хаотическая динамика. 1. Понятие фрактального множества. Фрактальная размерность. 2. Геометрия странных аттракторов. 3. Мультифрактальные спектры. 1. Понятие фрактального множества.

Лекция 3 БАЗОВЫЕ АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ. ТИПЫ АЛГОРИТМОВ 1. Базовые алгоритмические структуры. 2. Представление алгоритмических структур с помощью команд. 3. Комбинации базовых команд. 4. Вспомогательные

ББК.4я7т+.4я7.6 М5 Учебник включён в федеральный перечень Мерзляк А.Г. М5 Алгебра: 9 класс: учебник для учащихся общеобразовательных организаций / А.Г. Мерзляк, В.М. Поляков. М. : Вентана-Граф, 07. 368

Глава 3 Теорема Жордана План. Замкнутая кривая, незамкнутая кривая, незамкнутая кривая без самопересечений, замкнутая кривая без самопересечений, теорема Жордана о кривой без самопересечений, лежащей на

Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение базиса Определение Базисом векторного пространства называется упорядоченная

Машина Тьюринга 1 Машина Тьюринга математическое понятие, а не реальная вычислительная машина. MT является математической моделью вычислительного устройства. MT была предложена Аланом Тьюрингом в 1936

Функции нескольких переменных Во многих вопросах геометрии естествознания и пр дисциплин приходится иметь дело с функциями двух трех и более переменных Примеры: Площадь треугольника S a h где a основание

Тема Целая и дробная части числа Занятие 1 (часа) Цель занятия Дидактическая Познакомить учащихся с целой и дробной частью числа Установить их свойства и соотношения между ними Научить строить простейшие

Секция 5. Web-технологии и компьютерный дизайн 267 УДК 004.921 М.С. Исраелян, В.Н. Беловодский Донецкий национальный технический университет, г. Донецк кафедра компьютерных систем мониторинга АНАЛИЗ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Функции одной независимой переменной не охватывают все зависимости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить известное понятие функциональной зависимости и ввести

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Параметры и квадратный трёхчлен. 2 Данная статья посвящена вопросам расположения корней квадратного трёхчлена в зависимости от параметра. Вычисление корней

Лекция3. 3. Метод Ньютона (касательных. Зададим некоторое начальное приближение [,b] и линеаризуем функцию f(в окрестности с помощью отрезка ряда Тейлора f(= f(+ f "((-. (5 Вместо уравнения (решим

УДК 51798868 ПРИНЦИП ОБОБЩЁННЫХ СЖИМАЮЩИХ ОТОБРАЖЕНИЙ В ПСЕВДОМЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ А И Перов Воронежский государственный университет При изучении систем уравнений (алгебраических дифференциальных

Ю. С. Ильяшенко Аттракторы и их фрактальная размерность МЦНМО Летняя школа «Современная математика» Дубна, июль 2004 Ю.С.Ильяшенко Аттракторы и их фрактальная размерность Электронное издание Москва, 2016

Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Введение

1. Возникновение и история теории хаоса

2. Порядок и беспорядок

3. Прикладной хаос

4. Основные принципы хаоса (аттракторы и фракталы)

6. Хаоса в других науках

7. Последствия хаоса

1.Начиная с рубежа 1980-х - 1990-х годов в дискуссиях историков-методологов появилось новое направление, связанное с «наукой о сложном» (complexity sciences). Так принято называть новую междисциплинарную область исследований, в центре внимания которой находятся проблемы исследования систем с нелинейной динамикой, неустойчивым поведением, эффектами самоорганизации, наличием хаотических режимов. Единая наука о поведении сложных систем, самоорганизации в Германии названа синергетикой (Г. Хакен), во франкоязычных странах - теорией диссипативных структур (И. Пригожин), в США - теорией динамического хаоса (М. Фейгенбаум). В отечественной литературе принят преимущественно первый термин, наиболее краткий и емкий.

ТЕОРИЯ ХАОСА - раздел математики, изучающий кажущееся случайным или очень сложное поведение детерминированных динамических систем. Динамическая система – это такая система, состояние которой меняется во времени в соответствии с фиксированными математическими правилами; последние обычно задаются уравнениями, связывающими будущее состояние системы с текущим. Такая система детерминирована, если эти правила не включают явным образом элемента случайности.

История теории хаоса . Первые элементы теории хаоса появились еще в XIX веке, однако подлинное научное развитие эта теория получила во второй половине XX века, вместе с работами Эдварда Лоренца из Массачусетского технологического института и франко-американского математика Бенуа Б. Мандельброта. Эдвард Лоренц в свое время рассматривал, в чем возникает трудность при прогнозировании погоды. До работы Лоренца в мире науки господствовало два мнения относительно возможности точного прогнозирования погоды на бесконечно длительный срок.

Первый подход сформулировал еще в 1776 году французский математик Пьер Симон Лаплас. Лаплас заявил, что "…если мы представим себе разум, который в данное мгновение постиг все связи между объектами во Вселенной, то он сможет установить соответствующее положение, движения и общие воздействия всех этих объектов в любое время в прошлом или в будущем". Этот его подход был очень похож на известные слова Архимеда: «Дайте мне точку опоры, и я переверну весь мир».

Таким образом, Лаплас и его сторонники говорили, что для точного прогнозирования погоды необходимо только собрать больше информации обо всех частицах во Вселенной, их местоположении, скорости, массе, направлении движения, ускорении и т.п. Лаплас думал, чем больше человек будет знать, тем точнее будет его прогноз относительно будущего.

Второй подход к возможности прогнозирования погоды раньше всех наиболее четко сформулировал другой французский математик, Жюль Анри Пуанкаре. В 1903 году он сказал: " Если бы мы точно знали законы природы и положение Вселенной в начальный момент, мы могли бы точно предсказать положение той же Вселенной в последующий момент. Но даже если бы законы природы открыли нам все свои тайны, мы и тогда могли бы знать начальное положение только приближенно.

Если бы это позволило нам предсказать последующее положение с тем же приближением, это было бы все, что нам требуется, и мы могли бы сказать, что явление было предсказано, что оно управляется законами. Но это не всегда так; может случиться, что малые различия в начальных условиях вызовут очень большие различия в конечном явлении. Малая ошибка в первых породит огромную ошибку в последнем.

Предсказание становится невозможным, и мы имеем дело с явлением, которое развивается по воле случая".

В этих словах Пуанкаре мы находим постулат теории хаоса о зависимости от начальных условий. Последующее развитие науки, особенно квантовой механики, опровергло детерминизм Лапласа. В 1927 году немецкий физик Вернер Гейзенберг открыл и сформулировал принцип неопределенности. Этот принцип объясняет, почему некоторые случайные явления не подчиняются лапласовому детерминизму.

Гейзенберг показал принцип неопределенности на примере радиоактивного распада ядра. Так, из-за очень малых размеров ядра невозможно знать все процессы, происходящие внутри него. Поэтому, сколько бы информации мы не собирали о ядре, точно предсказать, когда это ядро распадется невозможно.

В 1926–1927 голландский инженер Б.Ван-дер-Пол сконструировал электронную схему, соответствующую математической модели сердечных сокращений. Он обнаружил, что при определенных условиях возникающие в схеме колебания были не периодическими, как при нормальном сердцебиении, а нерегулярными. Его работа получила серьезное математическое обоснование в годы Второй мировой войны, когда Дж.Литтлвуд и М.Картрайт исследовали принципы радиолокации.

В 1950 Дж.фон Нейман предположил, что неустойчивость погоды может в один прекрасный день обернуться благом, поскольку неустойчивость означает, что желаемый эффект может быть

В начале 1960-х годов американский математик С.Смейл попытался построить исчерпывающую классификацию типичных разновидностей поведения динамических систем. Поначалу он предполагал, что можно обойтись различными комбинациями периодических движений, но вскоре понял, что возможно значительно более сложное поведение. В частности, он подробнее исследовал открытое Пуанкаре сложное движение в ограниченной задаче трех тел, упростив геометрию и получив при этом систему, известную ныне как «подкова Смейла». Он доказал, что такая система, несмотря на ее детерминированность, проявляет некоторые черты случайного поведения. Другие примеры подобных явлений были разработаны американской и российской школами в теории динамических систем, причем особенно важным оказался вклад В.И.Арнольда. Так начала возникать общая теория хаоса.

То, что чувствительность к начальным данным ведет к хаосу, понял - и тоже в 1963 году - американский метеоролог Эдвард Лоренц . Он задался вопросом: почему стремительное совершенствование компьютеров не привело к воплощению в жизнь мечты метеорологов - достоверному среднесрочному (на 2-3 недели вперед) прогнозу погоды? Эдвард Лоренц предложил простейшую модель, описывающую конвекцию воздуха (она играет важную роль в динамике атмосферы), просчитал ее на компьютере и не побоялся всерьез отнестись к полученному результату. Этот результат - динамический хаос- есть непериодическое движение в детерминированных системах (то есть в таких, где будущее однозначно определяется прошлым), имеющее конечный горизонт прогноза.

С точки зрения математики можно считать, что любая динамическая система, что бы она ни моделировала, описывает движение точки в пространстве, называемом фазовым. Важнейшая характеристика этого пространства - его размерность, или, попросту говоря, количество чисел, которые необходимо задать для определения состояния системы. С математической и компьютерной точек зрения не так уж и важно, что это за числа - количество рысей и зайцев на определенной территории, переменные, описывающие солнечную активность или кардиограмму, или процент избирателей, до сих пор поддерживающих президента. Если считать, что точка, двигаясь в фазовом пространстве, оставляет за собой след, то динамическому хаосу будет соответствовать клубок траекторий. Здесь размерность фазового пространства всего 3. Замечательно, что такие удивительные объекты существуют даже в трехмерном пространстве.

2. Порядок и беспорядок

Теория хаоса является достаточно общей, чтобы охватить широкий круг явлений нашего мира и при этом будоражит воображение читателей. Ведь оказалось, что порядок возникает именно из хаоса, а не откуда-нибудь еще! С другой стороны, в современных научных представлениях о хаосе есть много моментов, требующих пристального внимания и углубленного изучения. Пожалуй, вопросов тут больше, чем ответов.

Порядок и беспорядок

Из соображений, которые, возможно, станут ясны ниже, вначале мы обратимся к двум исключительно важным понятиям современной науки: «порядок» и «беспорядок». Обычно нам кажется, что здесь все с самого начала ясно и понятно, но на самом деле это далеко не так. И понятие хаоса, в известной мере, становится интересным и важным именно потому, что только порядком и беспорядком нам тут не обойтись.

Прежде всего – что такое порядок и что такое беспорядок? В каком отношении они находятся друг с другом? И как отличить одно от другого? Вопросы эти, оказывается, отнюдь не тривиальны, в чем мы скоро убедимся.

В повседневной жизни принято полагать, что беспорядок – это отсутствие порядка. Такие понятия встречаются довольно часто, например «холод». Мы употребляем его на каждом шагу и понимаем, что имеется в виду. Более того, мы даже «измеряем» его с помощью термометра. И, тем не менее, холода как такового не существует. Существует тепло, а холод на самом деле является его недостатком. Но мы говорим «холод» так, как будто бы он был чем-то реальным (или, как говорят философы, субстанциальным).

А вот с понятием «беспорядок» все, в известном смысле, обстоит наоборот. Мы используем это слово как обозначение отсутствия чего-то (порядка), что именно и существует само по себе. Но возникает вопрос: а так ли это?

Поясним суть дела на конкретном примере, для чего представим себе письменный стол некоего профессора. Глядя на него, мы, вероятно, решим что все, что находится на нем, свалено в беспорядочную кучу. Однако сам профессор, не глядя, протягивая руку, безошибочно находит нужный ему предмет. И напротив, если уборщица разложит все аккуратными стопками, то профессор не сможет работать так же, как не смогла готовить бабушка в романе Рэя Брэдбери «Вино из одуванчиков» после генеральной уборки, устроенной на кухне тетей.

Может быть, следует признать, что то, что мы привыкли называть беспорядком отнюдь не является отсутствием того, что обычно называют порядком? Впрочем, есть и другой путь: оставить за словом «беспорядок» его привычное значение, и ввести в оборот другой термин для обозначения того, что мы часто, не задумываясь, также называем беспорядком, хотя в действительности имеем в виду нечто совершенно иное.

В последнее время на роль такого понятия все чаще претендует слово «хаос».

Строго говоря, следовало бы различать просто «хаос» и «детерминированный хаос». Что это такое – мы увидим ниже, а пока отметим два момента.

Во-первых, по логике вещей детерминированный хаос должен быть частным случаем хаоса, и в этом смысле следовало бы ввести три термина: общее понятие хаоса и как два его частных случая детерминированный и недетерминированный хаос. Тогда недетерминированный хаос мог бы быть эквивалентом беспорядка, а детерминированный хаос обозначал нечто качественно от него отличное (именно то, о чем у нас пойдет речь).

Во-вторых, как выяснится при углубленном анализе, различие между детерминированным и недетерминированным хаосом в действительности не столь фундаментально, как принято считать, и является скорее методическим, нежели физическим. Поэтому в предлагаемых заметках будем просто говорить о хаосе, уточняя предмет обсуждения там, где это действительно нужно. К тому же простое, лаконичное и емкое слово «хаос» обладает определенной эстетической притягательностью, чего не скажешь о строгом, но длинном и скучном «детерминированный хаос». В конце концов, сказал же Пригожин «Порядок из хаоса», а не «Порядок из детерминированного хаоса».

В античном мире слово «хаос» означало неорганизованное состояние материи, в котором она пребывала до мироздания, и в этом смысле вполне может восприниматься как синонимом слова «беспорядок». Но, вместе с тем, такое понимание заключает в себе нечто, порождающее и другие смыслы. Вероятно, при желании хаос можно было бы назвать сверхпорядком, имея в виду, что он потенциально содержит множество различных порядков, каждый из которых при определенных условиях может актуализоваться, создав свой собственный мир.

Однако вернемся к порядку и беспорядку как таковым. Если мы непредубежденно посмотрим на положение вещей, то увидим, что под порядком часто подразумевают не что иное, как пространственную или пространственно-временную регулярность, в основе которой лежит та или иная симметрия. Именно поэтому, глядя на чужой стол, мы хотим увидеть там симметрично разложенные предметы (к своему собственному столу наше отношение обычно несколько иное).

Здесь необходимо отметить исключительно важный момент. Поведение системы, обладающей регулярной структурой, как правило, может быть предсказано (возможно, на вероятностном уровне), причем именно на основании присутствующих в ней элементов симметрии. Если мы знаем, что карандаши лежат в правом дальнем углу стола, то вряд ли мы обнаружим один из них в левом ближнем. Упорядоченность мира – это как раз то, что позволяет нам ориентироваться в нем. Под таким углом зрения главным общим свойством и беспорядочного, и хаотического состояний системы является то, что мы не можем предсказать ее поведение. В данном случае поведение может иметь как временное, так и пространственное истолкование. В первом случае имеется в виду невозможность сказать, в каком состоянии будет находиться система в заданный момент времени, а во втором, – какой окажется ее пространственная конфигурация.

Возможно, именно наше внутреннее (и не всегда осознаваемое) стремление жить в предсказуемом мире придает привлекательность упорядоченным системам. И то, что хаос, по всей видимости, в плане потенциальных возможностей несравненно богаче порядка, не меняет ситуацию. Вольно или невольно, но мы воспринимаем его как нечто пугающее и чуждое нашему обыденному сознанию.

На интеллектуальном уровне нам более или менее ясно, что упорядоченность системы, чем бы она ни был на самом деле, как-то связана с ее сложностью. Построить дом сложнее, чем разрушить его. Созидание предполагает упорядочение, тогда как разрушение – разупорядочение. Построенный дом обладает элементами, имеющими определенные функциональные роли, а груда обломков – нет.

Но всегда ли сложность является очевидной, и всегда ли она определяется симметрией? Снова вспомним стол профессора: расположение предметов на нем совершенно нерегулярно, но достаточно сложно. Если не верите, то попробуйте объяснить, как профессор находит нужный предмет.

Таким образом, следует признать, что существуют системы, обладающие высоким уровнем сложности, но при этом лишенные видимой регулярности. Нам кажется, что между их элементами отсутствуют связи, и они расположены случайным образом, тогда как на самом деле связи существуют, но слишком сложны для того, чтобы мы их увидели. Поэтому не будет ошибкой сказать, что порядок в обычном смысле – это нечто среднее между беспорядком и хаосом. При желании порядок можно определить как хаос с проявленной структурой, а беспорядок – как отсутствие структуры (как только мы начинаем видеть связи между элементами системы, она становится для нас упорядоченной). Именно поэтому хаос и является самостоятельным и самодостаточным понятием, ведь непроявленность чего-то не означает его отсутствия.

Беспорядок и хаос в системе похожи друг на друга тем, что мы не видим закономерностей в расположении ее элементов. Различие же заключается в том, что в случае беспорядка их действительно нет, а в случае хаоса они существуют, но не в актуальном расположении элементов в текущий момент времени, а в тех внутренних механизмах, которые генерируют это расположение. Причем (и это самое замечательное), такие механизмы физически могут быть реализованы вне системы, например в сознании профессора, знающего, где что лежит на его столе. Именно поэтому предметы на столе представляются беспорядочно лежащими всем, кроме самого профессора, поскольку он один знает принцип их размещения.

3. Прикладной хаос

Очень часто дискутируется вопрос: для чего нужен хаос?

Прежде всего, нельзя недооценивать колоссального мировоз­зренческого значения этой концепции. Окружающий нас мир по­лон нелинейных явлений и процессов, правильное представление о которых немыслимо без понимания возможности хаоса, а также связанных с этим принципиальных ограничений на предсказуе­мость поведения сложных систем. Например, становится вполне очевидной несостоятельность учения об однозначной определенно­сти исторического процесса.

Сказанное не мешает обсуждать возможность использования хаоса в системах различной природы для каких-либо конкретных практических целей или же учета тех последствий, к которым мо­жет привести возникновение сложной динамики.

Приведем простой пример - задачу о динамике судна или нефтяной платформы при наличии волнения. В известном приближении, это нелинейная динамическая система с внешним периодическим воздействием. Нормальное, ра­бочее расположение судна отвечает одному аттрактору системы, пе­ревернутое - другому. Можно задаться вопросом, как расположен и как устроен бассейн притяжения второго аттрактора. Как он за­висит от интенсивности волнения? Ясно, что попадание в бассейн притяжения второго аттрактора ведет к катастрофе! Подчеркнем, что только нелинейный анализ обеспечивает всестороннее понима­ние ситуации, выработку условий и рекомендаций по избежанию катастрофы.

Благодаря динамической природе хаотических режимов и их чувствительности по отношению к малым возмущениям они до­пускают эффективное управление посредством внешнего контро­лируемого воздействия. Целью такого воздействия может быть реализация в системе периодического режима вместо хаоса или попадание в заданную область фазового пространства. Эта идея, выдвинутая первоначально группой американских исследователей из университета штата Мериленд, представляется очень перспективной и плодотворной в приклад­ном плане. К настоящему времени по этому предмету имеется обширная литература, проведено множество международных на­учных конференций.

Успешные примеры управления хаосом реализованы в меха­нических системах, электронных устройствах, лазерах. В каче­стве примера можно привести работу, где рас­сматривается применение методики управления хаосом для того, чтобы направить космический аппарат на Луну. Оказывается, что с помощью малых контролируемых воздействий задачу удается решить с очень существенной экономией топлива, правда, ценой увеличения продолжительности полета.

Другое направление применения идей и методов нелинейной динамики связано с проблемой обработки сигналов. Представим себе, что исследуется удаленный и недоступный объект, так что наши возможности ограничиваются анализом поступающего от него сигнала. За последние годы были предложены методики, по­зволяющие выяснить, произведен ли сигнал динамической систе­мой, а также получить информацию о свойствах и характеристи­ках этой системы. Таким образом, аппарат нелинейной динамики превращается в инструмент исследования, позволяющий сделать заключение или предположение о структуре объекта, сконструиро­вать его динамическую модель и т. д. Разработку методов и ал­горитмов анализа сигналов можно считать важным направлением нелинейной динамики, непосредственно связанным с возможными приложениями.

Очень высоко оцениваются перспективы использования ана­лиза и обработки сигналов, конструирования моделей, а также ме­тодик управления хаосом применительно к проблемам медицины и биологии.

В радиотехнике и электронике известен целый ряд приложе­ний, где необходимы генераторы шумоподобных колебаний, в роли которых могут выступать различные устройства, функционирую­щие в режиме динамического хаоса. Примерами могут служить генераторы с запаздывающей связью на лампе бегущей волны.

Одно из возможных приложений хаоса состоит в использова­нии генерируемых динамическими системами хаотических сигна­лов в целях коммуникации. Благодаря хаотической природе сиг­налов открываются новые возможности кодирования информации, которая становится труднодоступной для перехвата. Предложен целый ряд схем, обеспечивающих связь на хаотических сигналах, проведены демонстрационные эксперименты.

Результаты, полученные в нелинейной динамике, открывают новые нетривиальные возможности для сжатия и хранения, а также обработки информации. Интересным примером такого рода может служить предложенная в Институте радиотехники и элек­троники РАН схема кодирования и обработки информации с ис­пользованием одномерных отображений. Эффективные методы сжатия информации разработаны на основании идей фрактальной геометрии. Прорабатывается вопрос о реализации вычислительных процессов в системах, отличных от традиционной компьютерной архитек­туры и опирающихся на феномены нелинейной динамики.

4.Основные принципы . Для изучения хаоса используют общие математические принципы и компьютерное моделирование. Фундаментальной характеристикой всякой динамической системы является итерация, т.е. результат повторного (многократного) применения одного и того же математического правила к некоторому выбранному состоянию. Состояние обычно описывается числом или набором чисел, но это может быть также геометрическая фигура или конфигурация.

Основным понятием теории хаоса является аттракторы и фракталы.

Аттрактор

(от англ. to attract - притягивать) - геометрическая структура, характеризующая поведение в фазовом пространстве по прошествии длительного времени. Здесь возникает необходимость определить понятие фазового пространства.

Четыре аттрактора формируют основную структуру внешнего мира, характер поведения и движения рынка. Теория хаоса находится в полном противоречии с аналитической теорией. Она даем нам новую метафизику. Она концентрируется на происходящем в данный момент, что значительно важнее при анализе рынка. Теория хаоса дает более полную картину, охватывая всю реку-рынок, в ее течении, со всеми неожиданными поворотами и сюрпризами. Умение замечать происходящие изменения в потоке является задачей действенного рыночного анализа и противоядием от догматизма, роковой «болезни» трейдеров. Рынок часто кажется таким же хаотичным, как и наш внутренний мир, наш поток сознания. Чтобы извлечь из этого хаоса какой-либо смысл, мы должны обнаружить базовую структуру для реальности и рынка - несущую структуру, которая вскрывает порядок, лежащий в основе хаоса.

Рынок, как явление реального мира, - основательно беспорядочен и свободен. Хаос правит над предсказуемостью. Простые линейные подходы к торговле на рынке не работают. Рынок бесконечно сложен. Из хаоса всегда рождается более высокий порядок, но этот порядок возникает спонтанно и непредсказуемо. Подобно погоде, фондовый и товарный рынки, а также и другие хаотичные системы, могут порождать непредсказуемые последствия при пренебрежимо малых изменениях в количествах, помноженных на реакцию на них. В настоящее время биржевые игроки используют нелинейные методы в инвестировании и торговле. Фракталы - это новые игрушки рынка. Фракталы это способ самоорганизации рынков. Специфическая фрактальная организация создается при помощи механизмов, которые в науке о хаосе называются аттракторами.

Чтобы использовать мышление для сортировки явлений и научиться понимать смысл происходящего, мы должны, прежде всего, найти основную структуру реальности. Структуру, вскрывающую порядок, который лежит в основе хаоса. Существует четыре нелинейные функции, которые помогают нам определить этот порядок в нашем собственном сознании. Ученые, исследующие хаос, обнаружили, что кажущиеся хаотичными, не подчиняющимися никаким законам процессы, в действительности, следуют скрытому порядку. Порядок, который они открыли, четырехкратный: все внешние явления действуют в соответствии с тем, что они называют четырьмя аттракторами - силами, которые извлекают порядок из беспорядка. Они называются точечным аттрактором, циклическим аттрактором, аттрактором Торас, и странным аттрактором.

Точечный аттрактор - это простейший способ привнести порядок в хаос. Он живет в первом измерении линии, которая составлена из бесконечного числа точек. Под воздействием этого аттрактора человек испытывает склонность к одной деятельности, и отвращение к другой. Это аттрактор первой размерности, и он может использоваться для торговли на рынках.

Характеристика циклического аттрактора - движение взад-вперед, подобно маятнику или циклическому магниту. Он притягивает, затем отталкивает, затем опять притягивает и т.д. Он живет во втором измерении плоскости, которая состоит из бесконечного числа линий. Им характеризуется рынок, заключенный в коридор, где цена движется вверх и вниз в определенном диапазоне в течение некоторого промежутка времени. Этот аттрактор более сложен, чем точечный, и является основной структурой для более сложного поведения. Одна деятельность автоматически ведет к другой в повторяющемся порядке. На рынке зерна это явление носит годичный характер.

Третий, более сложный, вид аттрактора известен как аттрактор Торас. Он начинает сложную циркуляцию, которая повторяет себя по мере движения вперед. Он живет в третьем измерении, которое состоит из бесконечного числа плоскостей. По сравнению с циклическим и точечным аттракторами, аттрактор Торас вводит большую степень беспорядочности, и его модели более сложны. На этом уровне, предсказания носят более точный характер, а модели имеют тенденцию казаться более законченными. Графически он выглядит как кольцо или рогалик. Он образует спиралевидные круги на ряде различных плоскостей, и иногда возвращается сам к себе, завершая полный оборот. Его основная характеристика - повторяющееся действие. Подобные явления можно также наблюдать в стремлении мировых активов к безопасности. Если ставка по государственным бумагам повышается, они привлекают больше инвесторов. Затем повышаются цены на них, что опускает процентную ставку, и делает их менее привлекательными и т. д.

Странный аттрактор из четвертого измерения - самоорганизующий. Это место рождения свободы и понимания, как в действительности работает рынок. То, что поверхностный взгляд воспринимает как абсолютный хаос, в котором не заметно никакого порядка, имеет определенный порядок, базирующийся на странном аттракторе, когда наблюдение ведется из четвертого измерения. Другая характеристика странного аттрактора -это чувствительность к начальным условиям, которая иногда называется «эффектом бабочки». Малейшее отклонение от изначальных условий может привести к огромным различиям в результате. Различия начальных условий при заключении сделок могут влиять на рентабельность торговой системы в пятикратном размере. Другими словами, заключение сделок при чувствительных начальных условиях может привести к увеличению прибыли на 500 процентов.

Фракталы

Понятия фрактал и фрактальная геометрия, появившиеся в конце 70-х, с середины 80-х прочно вошли в обиход математиков и программистов. Слово фрактал образовано от латинского fractus и в переводе означает состоящий из фрагментов . Оно было предложено Бенуа Мандельбротом в 1975 году для обозначения нерегулярных, но самоподобных структур, которыми он занимался. Рождение фрактальной геометрии принято связывать с выходом в 1977 году книги Мандельброта `The Fractal Geometry of Nature" . В его работах использованы научные результаты других ученых, работавших в период 1875-1925 годов в той же области (Пуанкаре, Фату, Жюлиа, Кантор, Хаусдорф). Но только в наше время удалось объединить их работы в единую систему.

Роль фракталов в машинной графике сегодня достаточно велика. Они приходят на помощь, например, когда требуется, с помощью нескольких коэффициентов, задать линии и поверхности очень сложной формы. С точки зрения машинной графики, фрактальная геометрия незаменима при генерации искусственных облаков, гор, поверхности моря. Фактически найден способ легкого представления сложных неевклидовых объектов, образы которых весьма похожи на природные.

Одним из основных свойств фракталов является самоподобие. В самом простом случае небольшая часть фрактала содержит информацию о всем фрактале.

Определение фрактала, данное Мандельбротом, звучит так: «Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому»

Фракталы:

Геометрические фракталы

Фракталы этого класса самые наглядные. В двухмерном случае их получают с помощью некоторой ломаной (или поверхности в трехмерном случае), называемой генератором . За один шаг алгоритма каждый из отрезков, составляющих ломаную, заменяется на ломаную-генератор, в соответствующем масштабе. В результате бесконечного повторения этой процедуры, получается геометрический фрактал.

Рис 1. Построение триодной кривой Кох.

Рассмотрим один из таких фрактальных объектов - триодную кривую Кох. Построение кривой начинается с отрезка единичной длины (рис.1) - это 0-е поколение кривой Кох. Далее каждое звено (в нулевом поколении один отрезок) заменяется на образующий элемент , обозначенный на рис.1 через n=1. В результате такой замены получается следующее поколение кривой Кох. В 1-ом поколении - это кривая из четырех прямолинейных звеньев, каждое длиной по 1/3. Для получения 3-го поколения проделываются те же действия - каждое звено заменяется на уменьшенный образующий элемент. Итак, для получения каждого последующего поколения, все звенья предыдущего поколения необходимо заменить уменьшенным образующим элементом. Кривая n-го поколения при любом конечном n называется предфракталом . На рис.1 представлены пять поколений кривой. При n стремящемся к бесконечности кривая Кох становится фрактальным объектом

В машинной графике использование геометрических фракталов необходимо при получении изображений деревьев, кустов, береговой линии. Двухмерные геометрические фракталы используются для создания объемных текстур (рисунка на поверхности объекта).

Алгебраические фракталы

Это самая крупная группа фракталов. Получают их с помощью нелинейных процессов в n-мерных пространствах. Наиболее изучены двухмерные процессы. Интерпретируя нелинейный итерационный процесс, как дискретную динамическую систему, можно пользоваться терминологией теории этих систем: фазовый портрет , установившийся процесс , аттрактор и т.д.

Известно, что нелинейные динамические системы обладают несколькими устойчивыми состояниями. То состояние, в котором оказалась динамическая система после некоторого числа итераций, зависит от ее начального состояния. Поэтому каждое устойчивое состояние (или как говорят - аттрактор) обладает некоторой областью начальных состояний, из которых система обязательно попадет в рассматриваемые конечные состояния. Таким образом фазовое пространство системы разбивается на области притяжения аттракторов. Если фазовым является двухмерное пространство, то окрашивая области притяжения различными цветами, можно получить цветовой фазовый портрет этой системы (итерационного процесса). Меняя алгоритм выбора цвета, можно получить сложные фрактальные картины с причудливыми многоцветными узорами. Неожиданностью для математиков стала возможность с помощью примитивных алгоритмов порождать очень сложные нетривиальные структуры.

Рис 3. Множество Мандельброта.

В качестве примера рассмотрим множество Мандельброта (см. pис.3 и рис.4). Алгоритм его построения достаточно прост и основан на простом итеративном выражении:

где Zi и C - комплексные переменные. Итерации выполняются для каждой стартовой точки C прямоугольной или квадратной области - подмножестве комплексной плоскости. Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока не выйдет за пределы окружности радиуса 2, центр которой лежит в точке, (это означает, что аттрактор динамической системы находится в бесконечности), или после достаточно большого числа итераций (например 200-500) сойдется к какой-нибудь точке окружности. В зависимости от количества итераций, в течении которых оставалась внутри окружности, можно установить цвет точки C (если остается внутри окружности в течение достаточно большого количества итераций, итерационный процесс прекращается и эта точка растра окрашивается в черный цвет).

Рис 4. Участок границы множества Мандельброта, увеличенный в 200 pаз.

Вышеописанный алгоритм дает приближение к так называемому множеству Мандельброта. Множеству Мандельброта принадлежат точки, которые в течение бесконечного числа итераций не уходят в бесконечность (точки имеющие черный цвет). Точки принадлежащие границе множества (именно там возникает сложные структуры) уходят в бесконечность за конечное число итераций, а точки лежащие за пределами множества, уходят в бесконечность через несколько итераций (белый фон).

Стохастические фракталы

Еще одним известным классом фракталов являются стохастические фракталы, которые получаются в том случае, если в итерационном процессе случайным образом менять какие-либо его параметры. При этом получаются объекты очень похожие на природные - несимметричные деревья, изрезанные береговые линии и т.д. Двумерные стохастические фракталы используются при моделировании рельефа местности и поверхности моря.

Существуют и другие классификации фракталов, например деление фракталов на детерминированные (алгебраические и геометрические) и недетерминированные (стохастические).

5. Детерминированный хаос и информационные технологии

По аналогии явлению нерегулярного (хаотического) движения в нелинейных системах был присвоен терминдинамический , или детерминированный ,хаос. Наблюдаемое хаотическое поведение возникает не из-за внешних источников шума, не из-за большого числа степеней свободы и не из-за неопределенности, связанной с квантовой механикой. Оно порождается собственной динамикой нелинейной детерминированной системы. В фазовом пространстве системы такому поведению соответствует странный аттрактор. Аттрактор (attractor ) в переводе с английского означает «притягиватель»; в данном случае это множество траекторий в фазовом пространстве, к которым притягиваются все остальные траектории из некоторой окрестности аттрактора, называемой также бассейном притяжения . Термин «странный» используется, чтобы подчеркнуть необычность свойств аттрактора, соответствующего хаотическому поведению. Причиной нерегулярности поведения является свойство нелинейных систем экспоненциально быстро разводить первоначально близкие траектории в ограниченной области фазового пространства. Предсказать поведения траекторий хаотических систем на длительное время невозможно, поскольку чувствительность к начальным условиям высока, а начальные условия, как в физических экспериментах, так и при компьютерном моделировании, можно задать лишь с конечной точностью.

Управление хаосом

На первый взгляд, природа хаоса исключает возможность управлять им. В действительности же дело обстоит с точностью до наоборот: неустойчивость траекторий хаотических систем делает их чрезвычайно чувствительными к управлению.

Пусть, например, имеется система со странным аттрактором, и требуется перевести фазовую траекторию из одной точки аттрактора в другую. Хаотические траектории обладают свойством с течением времени попадать в окрестность любой точки, принадлежащей аттрактору. Если нужно, чтобы это произошло через время, не большее, чем Т, требуемый результат может быть получен за счет одного или серии малозаметных, незначительных возмущений траектории. Каждое из этих возмущений лишь слегка меняет траекторию. Но через некоторое время накопление и экспоненциальное усиление малых возмущений приводит к достаточно сильной коррекции траектории. При правильном выборе возмущений это позволяет решить поставленную задачу, не уводя траекторию с хаотического аттрактора. Таким образом, системы с хаосом демонстрируют одновременно и хорошую управляемость и удивительную пластичность: система чутко реагирует на внешние воздействия, при этом сохраняя тип движения. Комбинация управляемости и пластичности, по мнению многих исследователей, является причиной того, что хаотическая динамика является характерным типом поведения для многих жизненно важных подсистем живых организмов. Например, хаотический характер сердечного ритма позволяет сердцу гибко реагировать на изменение физических и эмоциональных нагрузок, обеспечивая запас динамической прочности.

Хаос, как бы он ни был интересен, - это лишь часть сложного поведения нелинейных систем . Существует также не поддающееся интуитивному осознанию явление, которое можно было бы назвать антихаосом . Оно выражается в том, что некоторые весьма беспорядочные системы спонтанно «кристаллизуются», приобретая высокую степень упорядоченности. Предполагается, что антихаос играет важную роль в биологическом развитии и эволюции.

Есть ряд аргументов в пользу того, что наряду с хорошо изученными тремя типами поведения динамических систем - стационарными состояниями, периодическими и квазипериодическими колебаниями, а также хаосом, существует и четвертый, специфический тип поведения на границе между регулярным движением и хаосом. Было замечено, что на этой границе, которую называют «кромкой хаоса», могут иметь место процессы, подобные процессам эволюции и обработки информации.

Рис1. Пример применения ассоциативной памяти на основе хаотической динамики для целей ориентирования и навигации. Область для ориентирования общей площадью 576 км2 задается географической картой в масштабе М 1:20000. Она разбита на 16 фрагментов, каждый из которых представляет собой цветной графический образ размером 200х200 пикселов в 256-цветном алфавите. Каждый из образов представлен как предельный цикл в одном и том же двумерном кусочно-линейном отображении.

Для определения местоположения пользователю достаточно предъявить любой кусочек фрагмента карты. Если поиск по кусочку успешен (успех регистрировался при предъявлении программе кусочков вплоть до 1 км2 , то есть вплоть до 0,2 процента от первоначальной площади), соответствующий фрагмент карты появится на экране.

Программа демонстрирует также возможность идентификации по искаженным кусочкам. В нашем примере уровень искажений в кусочке, предъявляемом для идентификации, может составлять 70-80 процентов.

В противоположность динамическому хаосу, рассматриваемое явление, именуемое иногда комплексностью (complexity), возникает в системах, состоящих из многих взаимодействующих элементов. Такие системы часто не только демонстрируют четвертый тип поведения, но и обладают адаптивными свойствами, если под адаптацией понимать резкое упрощение динамики системы по сравнению с многомерной хаотической динамикой совокупности ее изолированных элементов . Приводимые ниже примеры отражают ряд общих свойств систем на кромке хаоса.

Игра «Жизнь» в клеточных автоматах

Совокупность правил этого клеточного автомата (то есть параметров системы) такова, что его поведение находится в узкой зоне между областями устойчивости и хаоса. В системе наблюдается поведение, похожее на «настоящие» жизненные процессы. Кроме того, при анализе таких объектов, как «глайдеры» и «катапульты», математически доказана эквивалентность игры «Жизнь» машине Тьюринга, и, тем самым, доказано наличие в ней процессов, эквивалентных универсальным вычислениям.

Биологическая эволюция

Со времен Дарвина биологи рассматривали эволюцию как процесс естественного отбора. Однако возможно, что биологический порядок отчасти отражает спонтанную упорядоченность, на фоне которой действовал механизм естественного отбора. Другими словами, в процессе эволюции в пространстве морфологических признаков могут быть реализованы не все комбинации, а только некоторое избранное множество «аттракторов». То есть трудно ожидать, что любые уродства возможны. Кроме того, такой механизм значительно ускоряет процесс эволюции. Он резко сужает множество допустимых траекторий движения и, тем самым, необходимое число «итераций» для появления того или иного биологического вида. Здесь уместна аналогия между скоростью сходимости случайного и градиентного методов поиска экстремума: в первом случае поиск ведется по всей области изменения переменных, а во втором - только вдоль определенной траектории.

С точки зрения биологии, не так важно, какие типы аттракторов в пространстве морфологических возможностей реализуются. Важно, что потоки траекторий «сваливаются» в некоторые ограниченные области, тем самым выделяя в пространстве морфологических признаков островки структурно устойчивых видов. А сами аттракторы могут быть стоками, циклами, странными аттракторами и т. д.

Самоорганизованная критичность

Система с большим числом взаимодействующих элементов естественным образом эволюционирует к критическому состоянию, в котором малое событие может привести к катастрофе. Хотя в составных системах происходит больше незначительных событий, чем катастроф, цепные реакции всех масштабов являются неотъемлемой частью динамики. Как следует из теории критичности, малые события вызывает тот же механизм, что и крупные. Более того, составные части системы никогда не достигают равновесия, а вместо этого эволюционируют от одного метастабильного состояния к другому.

Концепция самоорганизованной критичности предполагает, что глобальные характеристики, такие как относительное число больших и малых событий, не зависят от микроскопических механизмов. Именно поэтому глобальные характеристики системы нельзя понять, анализируя ее части по отдельности.

Как можно себе представить механизм адаптации в связанных динамических системах? Заманчиво выглядит модель эволюционного равновесия (кромки хаоса) как некоего вида хаотической синхронизации. Действительно, процесс синхронизации резко упрощает динамику системы, снижая размерность ее аттрактора. Он напрямую определяется степенью связности системы - «адаптивный механизм» движения к кромке хаоса включается только при наличии достаточно сильных связей.

Порождение информации хаотическими системами

Вернемся к свойствам хаоса в маломерных системах. Итак, поведение хаотических траекторий не может быть предсказано на большие интервалы времени. Прогноз движения вдоль траекторий становится все более и более неопределенным по мере удаления от начальных условий. С точки зрения теории информации это означает, что система сама порождает информацию и скорость создания информации тем выше, чем больше хаотичность системы. Поскольку система создает информацию, то ее содержат и траектории системы.

Рис. 2. Пример применения технологии для поиска информации в неструктурированных текстовых архивах. В качестве архива используется текст книжки «Винни-Пух и все-все-все». В ответ на вопрос Пуха «Зачем пчелы делают мед?» система предлагает фрагмент текста, содержащий фразу: «Единственная причина делать мед - та, чтобы я мог есть его».

Запись, хранение и поиск информации с помощью хаоса

Теперь зададимся вопросом: а нельзя ли сопоставить траектории системы информацию в виде интересующей нас последовательности символов? Если бы это удалось сделать, часть траекторий соответствовала бы нашим информационным последовательностям, и их можно было бы получать, решая уравнения, определяющие динамику системы. Если же взять любой (не слишком малый) фрагмент информационной последовательности, с его помощью можно восстановить всю информационную последовательность, соответствующую данной траектории. Разным траекториям соответствуют разные информационные последовательности, и возникает возможность восстановить любую из них по любому ее небольшому фрагменту. Тем самым реализуется ассоциативный доступ (доступ по содержанию) ко всей информации, записанной в системе. Итак, информация запоминается и хранится в виде траекторий динамической системы и обладает свойствами ассоциативности.

Эта идея возникла и получила развитие при попытках понять, чем может быть полезен хаос в обработке информации живыми системами. Были построены математические модели, которые демонстрировали принципиальную возможность записи, хранения и извлечения информации с помощью траекторий динамических систем с хаосом. Эти модели казались очень простыми, и эксперт одного уважаемого международного журнала написал в своей рецензии: «Это просто игрушечные модели, и на их основе не может быть создана никакая технология ни на Востоке, ни на Западе». Однако вскоре за исследования в этом направлении был присужден Главный приз на конкурсе компании «Хьюлетт-Паккард» по распознаванию образов. Развитие «игрушек» привело к тому, что их потенциальная информационная емкость значительно превысила объем всей информации, имеющейся в Интернете (патент РФ 2050072, патент США US 5774587). И даже на скромных «писишках» стало возможным синтезировать динамические системы с объемом записанной информации, эквивалентной среднему собранию сочинений.

Рис. 3. Источник хаоса, состоящий из нелинейной и линейной систем, замкнутых в кольцо обратной связи. Справа: внешний вид платы электронной схемы (вверху) и фазовый портрет хаотического аттрактора (внизу). Даже небольшие изменения параметров элементов электронной схемы приводят к существенному изменению характера хаотических колебаний.

Разработанная технология позволяет записывать, хранить и извлекать любые типы данных: изображения, тексты, цифровую музыку и речь, сигналы и т. д. Примером использования технологии является персональная система управления факсимильными документами с ассоциативным доступом FacsData Wizard, которая обеспечивает возможность создания архивов неструктурированной информации с полным автоматическим индексированием всей хранимой информации.

Для поиска необходимых документов пользователь составляет запрос путем набора в произвольной форме нескольких строк текста, относящегося к содержанию требуемого документа. В ответ система выдаст искомый документ, если входной информации достаточно для его однозначного поиска, либо предложит набор вариантов. При необходимости можно получить и факсимильную копию найденного документа. Наличие ошибок в запросе и при преобразовании исходной информации в текстовую не сказывается существенным образом на качестве поиска. Создание электронного архива не требует дополнительного дискового пространства. Объем, необходимый для хранения записанных документов, может даже уменьшиться.

Передача и защита информации

В большинстве современных систем связи в качестве носителя информации используются гармонические колебания. Информационный сигнал в передатчике модулирует эти колебания по амплитуде, частоте или фазе, а в приемнике информация выделяется с помощью обратной операции - демодуляции. Модуляция носителя может осуществляться либо за счет модуляции уже сформированных гармонических колебаний, либо путем управления параметрами генератора в процессе формирования колебаний.

Аналогичным образом можно производить модуляцию хаотического сигнала информационным сигналом. Однако возможности здесь значительно шире. Действительно, если в случае гармонических сигналов управляемых характеристик - всего три (амплитуда, фаза и частота), то в случае хаотических колебаний даже небольшое изменение параметра дает надежно фиксируемое изменение характера колебаний. Это означает, что у источников хаоса с изменяемыми параметрами имеется широкий набор схем ввода информационного сигнала в хаотический (то есть модуляции хаотического сигнала информационным ). Кроме того, хаотические сигналы принципиально являются широкополосными, интерес к которым в радиотехнике традиционен и связан с большей информационной емкостью. В системах связи широкая полоса частот несущих сигналов используется как для увеличения скорости передачи информации, так и для повышения устойчивости работы систем при наличии возмущений.

В последнее время в связи с развитием спутниковых, мобильных, сотовых и волоконно-оптических многопользовательских коммуникационных систем большое внимание привлекают сигналы с расширением спектра , где полоса частот передаваемого сигнала может быть значительно шире полосы частот информационного сигнала.

Шумоподобность и самосинхронизируемость систем, основанных на хаосе, дают им потенциальные преимущества над традиционными системами с расширением спектра, базирующимися на псевдослучайных последовательностях. Кроме того, они допускают возможность более простой аппаратной реализации с большей энергетической эффективностью и более высокой скоростью операций.

Рис. 4. Пример схемы связи с использованием хаоса. Передатчик и приемник включают в себя такие же нелинейные и линейные системы, как источник. Дополнительно в передатчик включен сумматор, а в приемник - вычитатель. В сумматоре производится сложение хаотического сигнала источника и информационного сигнала, а вычитатель приемника предназначен для выделения информационного сигнала. Сигнал в канале хаосоподобный и не содержит видимых признаков передаваемой информации, что позволяет передавать конфиденциальную информацию. Сигналы в точках А иА", Б и Б" попарно равны. Поэтому при наличии входного информационного сигнала S на входе сумматора передатчика такой же сигнал будет выделяться на выходе вычитателя приемника.

Сфера применения хаотических сигналов не ограничивается системами с расширением спектра. Они могут быть использованы для маскировки передаваемой информации и без расширения спектра, то есть при совпадении полосы частот информационного и передаваемого сигналов.

Все это стимулировало активные исследования хаотических коммуникационных систем. К настоящему времени на основе хаоса предложено несколько подходов для расширения спектра информационных сигналов, построения самосинхронизующихся приемников и развития простых архитектур передатчиков и приемников. Идея большинства предложенных решений базируется на синхронизации «ведомой системой» (приемником) исходного невозмущенного хаотического сигнала, генерируемого «ведущей системой» (передатчиком). С помощью таких схем связи может передаваться как аналоговая, так и цифровая информация с различными скоростями информационных потоков и разной степенью конфиденциальности. Еще одним потенциальным достоинством схем связи с использованием хаоса является возможность реализации новых методов разделения каналов, что особенно важно в многопользовательских коммуникационных системах.

Если до недавнего времени проблема конфиденциальности передачи информации и более широкая проблема защиты информации относились в основном к военным и специальным применениям, то теперь все важнее становится рынок гражданских приложений. Примерами могут служить защита коммерческой информации в компьютерах и компьютерных сетях, безопасность электронных платежей, защита от пиратского копирования CD-ROM, музыкальных и видеодисков, защита от копирования музыкальной, видео- и другой информации, распространяемой по компьютерным сетям, Интернет-телефония и пр.

К защите коммерческой информации предъявляются требования, существенно отличающиеся от «классических». В частности, типичным требованием становится возможность массового применения и низкая себестоимость на единицу «информационной» продукции. Кроме того, могут меняться и подходы к защите. Так, для защиты музыкальной и видеоинформации на компакт-дисках от пиратского копирования нет необходимости в том, чтобы записанная информация была полностью недоступна для «злоумышленника»: вполне достаточно просто снизить качество воспроизведения до неприемлемого для потребителя уровня.

При решении таких «бытовых» проблем защиты информации в перспективе могут успешно применяться средства, основанные на детерминированном хаосе.

Безусловно, конкретные примеры применения хаоса в информационных и коммуникационных технологиях, приведенные в статье, отражают в первую очередь научные интересы и взгляды автора и коллектива, в котором он работает. Вместе с тем они дают представление о том, как с помощью хаоса можно решать созидательные задачи.

6. Хаоса в других науках

Теория хаоса находит приложения в широком спектре наук. Одним из самых ранних стало ее применение к анализу турбулентности в жидкости. Движение жидкости бывает либо ламинарным (гладким и регулярным), либо турбулентным (сложным и нерегулярным). До появления теории хаоса существовали две конкурирующие теории турбулентности. Первая из них представляла турбулентность как накопление все новых и новых периодических движений; вторая объясняла неприменимость стандартной физической модели невозможностью описания жидкости как сплошной среды в молекулярных масштабах. В 1970 математики Д.Рюэль и Ф.Такенс предложили третью версию: турбулентность – это хаос в жидкости. Их предположение поначалу считалось весьма спорным, но с тех пор оно было подтверждено для нескольких случаев, в частности, для ранних стадий развития турбулентности в течении между двумя вращающимися цилиндрами. Развитая турбулентность по-прежнему остается загадочным явлением, но хаоса вряд ли удается избежать в любом возможном ее объяснении. (гидроаэромеханика)

Движение в Солнечной системе тоже, как известно, хаотично, но здесь требуются десятки миллионов лет, прежде чем какое-то изменение станет непредсказуемым. Хаос проявляет себя многообразными способами. Например, спутник Сатурна Гиперион обращается по регулярной, предсказуемой орбите вокруг своей планеты, но при этом он хаотически кувыркается, изменяя направление оси собственного вращения. Теория хаоса объясняет это кувыркание как побочное действие приливных сил, создаваемых Сатурном. Теория хаоса объясняет также распределение тел в поясе астероидов между Марсом и Юпитером. Оно неравномерно: на одних расстояниях от Солнца существуют сгущения, на других – пустые промежутки. И сгущения, и пустые промежутки их гелиоцентрических орбит находятся на расстояниях, образующих «резонансы» с Юпитером. Теория хаоса показывает, что одни резонансы порождают устойчивое поведение (сгущения), тогда как другие – неустойчивое (пустые промежутки).

Хаос имеет место также в биологии и экологии. В конце 19 в. было установлено, что популяции животных редко бывают стабильными; им свойственны нерегулярно чередующиеся периоды быстрого роста и почти полного вымирания. Теория хаоса показывает, что простые законы изменения численности популяций могут объяснить эти флуктуации без введения случайных внешних воздействий. Теория хаоса также объясняет динамику эпидемий, т.е. флуктуирующих популяций микроорганизмов в организмах людей.

Может создаться впечатление, что теория хаоса не должна иметь каких-либо полезных применений, поскольку хаотические системы непредсказуемы. Однако это неверно, во-первых, потому, что лишь некоторые аспекты хаотических систем непредсказуемы, и, во-вторых, потому, что полезность теории не ограничивается способностью прямого прогнозирования. К числу наиболее перспективных применений теории хаоса принадлежит «хаотическое управление». В 1950 Дж.фон Нейман предположил, что неустойчивость погоды может в один прекрасный день обернуться благом, поскольку неустойчивость означает, что желаемый эффект может быть достигнут очень малым возмущением. В 1990 С.Гребоджи, Э.Отт и Дж.Йорке опубликовали теоретическую схему использования этого вида неустойчивости для управления хаотическими системами. Их схема представляет собой общую форму того метода, с помощью которого в 1985 инженеры НАСА послали космический зонд на встречу с кометой Джакобини – Циннера. Зонд пять раз облетел Луну, используя хаотичность взаимодействия трех тел, позволяющую совершать большие изменения траектории с малыми затратами топлива. Тот же метод был применен для синхронизации батареи лазеров; для управления нерегулярностями сердцебиения, что открывает возможность создать «интеллектуальный» стимулятор сердечного ритма; для управления биотоками мозга, что, в частности, может помочь контролировать эпилептические припадки; наконец, для ламинаризации турбулентного течения жидкости – метод, который способен уменьшить расход топлива самолетами.

Британские физики создали систему, которая приводит хаос в порядок

Британские физики из Уорикского университета разработали метод, который позволяет предсказывать возникновение порядка из хаоса в сложных системах, состоящих из множества случайно изменяющихся элементов.

Ученые под руководством Роберта Уикса во время своего исследования пытались понять, как сложные системы вроде плазмы, толпы людей или стаи птиц неожиданно переходят от хаоса к порядку без внешнего вмешательства.

Специалисты предположили, что закономерности самоорганизации могут быть одинаковыми для разных сложных систем. Поэтому, взяв за основу известные данные о поведении больших групп животных и насекомых, они разработали новый математический способ анализа, названный методом взаимной информации.

Этот новый метод позволяет определять закономерности и корреляции на основании очень небольшого количества данных. Для проверки своего метода исследователи использовали несложную модель, разработанную в 90-е годы известным венгерским биофизиком Тамашем Вичеком для описания поведения колоний бактерий, стай скворцов или саранчи.

В результате оказалось, что новый метод взаимной информации в четыре раза точнее при поиске упорядоченного состояния, чем традиционные статистические методы.

Ученые предполагают, что новый метод будет полезен и при изучении фондовой биржи. Вероятно, с его помощью удастся объяснить возникающие порой неожиданные корреляции, когда акции компаний, не имеющих никаких видимых связей, испытывают одинаковые колебания цен.

Математики рассчитали оптимальную стратегию борьбы с эпидемией

Американские и израильские математики рассчитали оптимальную стратегию борьбы с эпидемией при помощи вакцинации.

Традиционно считается, что лучший способ борьбы с заболеванием - вакцинация как можно большего числа людей. В рамках нового исследования ученые установили, что это не так. Если эпидемию рассматривать как динамический процесс, то время вакцинации оказывается не менее важным, чем количество привитых индивидуумов.

Используя вероятностную модель для описания процессов заражения, повторного заражения и распространения заболевания, ученые смогли установить, что при фиксированном количестве доступной вакцины лучшая стратегия - проведение серии интенсивных мероприятий по прививанию. Оказалось, что подобная серия работает эффективнее отдельно взятой массивной вакцинации.

По словам ученых, эффективность стратегии обусловлена тем, что в течение длительного времени количество зараженных в коллективе может оставаться достаточно стабильным. Последовательная вакцинация позволяет уменьшить стабильное количество больных и приводит к экспоненциальному уменьшению количества болеющих.

Ученые подчеркивают, что их модель не привязана к какому-либо конкретному заболеванию и может применяться в самом общем случае. Главной трудностью при этом остается вычисление периодов, с которыми необходимо проводить вакцинацию.

Муравьиные алгоритмы в действии

В компании Pacific Northwest National Laboratory нашли новый подход к анализу безопасности компьютерных сетей. Для борьбы с вредоносным ПО предложено использовать «муравьиные алгоритмы».

При помощи программы, алгоритмы которой копируют механизмы поведения муравьев, в лаборатории пытаются найти «сетевые аномалии».

«Сами по себе муравьи не умны, - утверждает Гленн Финк, возглавляющий необычные исследования, - однако их колония может продемонстрировать удивительно разумное поведение».

По словам ученых, их программа использует распределенные по компьютерным сетям сенсоры, непрерывно собирающие данные. Словно муравьи, передающие своим сородичам информацию о еде или опасности при помощи запахов, эти сенсоры делятся собранной информацией друг с другом. Таким образом, программа может определить своеобразные сетевые аномалии, сигнализирующие о возможной опасности, например о масштабном заражении сети.

Сенсоры бывают различной направленности – по словам Финка, одни могут собирать данные о чрезмерной загрузке центрального процессора компьютеров, а другие – проверять сетевой трафик. Также есть «часовые» - специальные блоки программы, анализирующие информацию, полученную от всех сенсоров-муравьев.

Хотя инновационный антивирусный комплекс находится на ранней стадии разработки, уже сейчас он способен обнаруживать некоторых компьютерных червей. Однако, по словам создателей, искусственному интеллекту их программы еще есть чему научиться.

Первое и самое важное - теория хаоса - это теория. А значит, что большая ее часть используется больше как научная основа, нежели как непосредственно применимое знание. Теория хаоса является очень хорошим средством взглянуть на события, происходящие в мире отлично от более традиционного четко детерминистического взгляда, который доминировал в науке со времен Ньютона. Зрители, которые посмотрели Парк Юрского периода, без сомнения боятся, что теория хаоса может очень сильно повлиять на человеческое восприятие мира, и, в действительности, теория хаоса полезна как средство интерпретации научных данных по-новому. Вместо традиционных X-Y графиков, ученые теперь могут интерпретировать фазово-пространственные диаграммы которые - вместо того, чтобы описывать точное положение какой-либо переменной в определенный момент времени - представляют общее поведение системы. Вместо того, чтобы смотреть на точные равенства, основанные на статистических данных, теперь мы можем взглянуть на динамические системы с поведением похожим по своей природе на статические данные - т.е. системы с похожими аттракторами. Теория хаоса обеспечивает прочный каркас для развития научных знаний.

Однако, согласно вышесказанному не следует, что теория хаоса не имеет приложений в реальной жизни.

Техники теории хаоса использовались для моделирования биологических систем, которые, бесспорно, являются одними из наиболее хаотических систем из всех что можно себе представить. Системы динамических равенств использовались для моделирования всего - от роста популяций и эпидемий до аритмических сердцебиений.

В действительности, почти любая хаотическая система может быть смоделирована - рынок ценных бумаг порождает кривые, которые можно легко анализировать при помощи странных аттракторов в отличие от точных соотношений; процесс падения капель из протекающего водопроводного крана кажется случайным при анализе невооруженным ухом, но если его изобразить как странный аттрактор, открывается сверхъестественный порядок, которого нельзя было бы ожидать от традиционных средств.

Фракталы находятся везде, наиболее заметны в графических программах как например очень успешная серия продуктов Fractal Design Painter. Техники фрактального сжатия данных все еще разрабатываются, но обещают удивительные результаты как например коэффициента сжатия 600:1. Индустрия специальных эффектов в кино, имела бы горазда менее реалистичные элементы ландшафта (облака, скалы и тени) без технологии фрактальной графики. Сегодня поиски исследователей – главным образом математиков – направлены на то, чтобы выявить все типы нелинейных уравнений, решение которых приводит к детерминированному хаосу. Активный интерес к нему вызван тем, что одни и те же его закономерности могут проявляться в самых разных природных явлениях и технических процессах: при турбулентности в потоках, неустойчивости электронных и электрических сетей, при взаимодействии видов в живой природе, при химических реакциях и даже, по-видимому, в человеческом обществе. Отсюда следует фундаментальная значимость хаоса – его изучение может привести к созданию мощного математического аппарата, обладающего большой общностью и обширными возможностями для приложений. Теория хаоса идет своим, особым путем от самых основ. Возможно, это новый, независимый путь к пониманию универсальности мира!

И, конечно, теория хаоса дает людям удивительно интересный способ того, как приобрести интерес к математике, одной из наиболее мало-популярной области познания на сегодняшний день.

Список литературы

1. Пайтген Х. О., Рихтер П. Х. «Красота фракталов».

2. В. И. Кувшинов, А. В. Кузьмин «Калибровочные поля и теория детерминированного хаоса»

3. Шустер Г. «Детерминированный хаос: введение».

4. Рюэль Д. «Случайность и хаос». – Ижевск: НИЦ, 2001, 192стр.

5. Кроновер Р.М. «Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории».

6. Магницкий Н. А., Сидоров С. В. «Новые методы хаотической динамики». - М.: Едиториал УРСС, 2004, 320 с.