Convertendo expressões contendo potências. Convertendo Expressões

A última operação aritmética executada ao calcular o valor de uma expressão é a operação “mestre”.

Ou seja, se substituirmos alguns (quaisquer) números em vez de letras e tentarmos calcular o valor da expressão, então se a última ação for a multiplicação, então teremos um produto (a expressão é fatorada).

Se a última ação for adição ou subtração, isso significa que a expressão não é fatorada (e portanto não pode ser reduzida).

Para reforçar isso, resolva você mesmo alguns exemplos:

Exemplos:

Soluções:

1. Espero que você não tenha corrido imediatamente para cortar e? Ainda não foi suficiente “reduzir” unidades como esta:

O primeiro passo deve ser a fatoração:

4. Adição e subtração de frações. Reduzindo frações a um denominador comum.

Adicionar e subtrair frações ordinárias é uma operação familiar: procuramos um denominador comum, multiplicamos cada fração pelo fator que falta e adicionamos/subtraímos os numeradores.

Vamos lembrar:

Respostas:

1. Os denominadores e são relativamente primos, ou seja, não possuem fatores comuns. Portanto, o MMC desses números é igual ao seu produto. Este será o denominador comum:

2. Aqui o denominador comum é:

3. Aqui, em primeiro lugar, convertemos frações mistas em impróprias e depois de acordo com o esquema usual:

É uma questão completamente diferente se as frações contiverem letras, por exemplo:

Vamos começar com algo simples:

a) Os denominadores não contêm letras

Aqui tudo é igual às frações numéricas ordinárias: encontramos o denominador comum, multiplicamos cada fração pelo fator que falta e somamos/subtraímos os numeradores:

Agora, no numerador, você pode fornecer outros semelhantes, se houver, e fatorá-los:

Tente você mesmo:

Respostas:

b) Os denominadores contêm letras

Vamos lembrar o princípio de encontrar um denominador comum sem letras:

· em primeiro lugar, determinamos os factores comuns;

· então escrevemos todos os fatores comuns, um de cada vez;

· e multiplicá-los por todos os outros fatores não comuns.

Para determinar os fatores comuns dos denominadores, primeiro os fatoramos em fatores primos:

Vamos enfatizar os fatores comuns:

Agora vamos escrever os fatores comuns, um de cada vez, e adicionar a eles todos os fatores não comuns (não sublinhados):

Este é o denominador comum.

Voltemos às cartas. Os denominadores são dados exatamente da mesma maneira:

· fatorar os denominadores;

· determinar fatores comuns (idênticos);

· escreva todos os fatores comuns uma vez;

· multiplicá-los por todos os outros fatores não comuns.

Então, em ordem:

1) fatorar os denominadores:

2) determinar fatores comuns (idênticos):

3) escreva todos os fatores comuns uma vez e multiplique-os por todos os outros fatores (não sublinhados):

Portanto, há um denominador comum aqui. A primeira fração deve ser multiplicada por, a segunda por:

A propósito, há um truque:

Por exemplo: .

Vemos os mesmos fatores nos denominadores, só que todos com indicadores diferentes. O denominador comum será:

até certo ponto

até certo ponto

até certo ponto

até certo ponto.

Vamos complicar a tarefa:

Como fazer com que as frações tenham o mesmo denominador?

Vamos lembrar a propriedade básica de uma fração:

Em nenhum lugar diz que o mesmo número pode ser subtraído (ou adicionado) do numerador e denominador de uma fração. Porque não é verdade!

Veja você mesmo: pegue qualquer fração, por exemplo, e adicione algum número ao numerador e ao denominador, por exemplo, . O que você aprendeu?

Então, outra regra inabalável:

Ao reduzir frações a um denominador comum, use apenas a operação de multiplicação!

Mas pelo que você precisa multiplicar para obter?

Então multiplique por. E multiplique por:

Chamaremos expressões que não podem ser fatoradas de “fatores elementares”.

Por exemplo, este é um fator elementar. - Mesmo. Mas não: pode ser fatorado.

E a expressão? É elementar?

Não, porque pode ser fatorado:

(você já leu sobre fatoração no tópico “”).

Portanto, os fatores elementares nos quais você decompõe uma expressão com letras são análogos aos fatores simples nos quais você decompõe os números. E vamos lidar com eles da mesma maneira.

Vemos que ambos os denominadores têm um multiplicador. Irá para o denominador comum até o grau (lembra por quê?).

O fator é elementar e não possuem fator comum, o que significa que a primeira fração terá simplesmente que ser multiplicada por ele:

Outro exemplo:

Solução:

Antes de multiplicar esses denominadores em pânico, você precisa pensar em como fatorá-los? Ambos representam:

Ótimo! Então:

Outro exemplo:

Solução:

Como sempre, vamos fatorar os denominadores. No primeiro denominador simplesmente o colocamos fora dos colchetes; no segundo - a diferença de quadrados:

Parece que não existem fatores comuns. Mas se você olhar de perto, eles são parecidos... E é verdade:

Então vamos escrever:

Ou seja, ficou assim: dentro do colchete trocamos os termos, e ao mesmo tempo o sinal antes da fração mudou para o oposto. Tome nota, você terá que fazer isso com frequência.

Agora vamos trazer isso para um denominador comum:

Entendi? Vamos verificar agora.

Tarefas para solução independente:

Respostas:

Aqui precisamos lembrar mais uma coisa - a diferença entre os cubos:

Observe que o denominador da segunda fração não contém a fórmula “quadrado da soma”! O quadrado da soma ficaria assim: .

A é o chamado quadrado incompleto da soma: o segundo termo nele é o produto do primeiro e do último, e não seu produto duplo. O quadrado parcial da soma é um dos fatores na expansão da diferença de cubos:

O que fazer se já houver três frações?

Sim, a mesma coisa! Em primeiro lugar, vamos ter certeza de que o número máximo de fatores nos denominadores é o mesmo:

Observação: se você alterar os sinais dentro de um colchete, o sinal na frente da fração muda para o oposto. Quando mudamos os sinais do segundo colchete, o sinal na frente da fração muda novamente para o oposto. Como resultado, (o sinal antes da fração) não mudou.

Escrevemos todo o primeiro denominador no denominador comum e depois adicionamos a ele todos os fatores que ainda não foram escritos, do segundo e depois do terceiro (e assim por diante, se houver mais frações). Ou seja, acontece assim:

Hmm... Está claro o que fazer com frações. Mas e os dois?

É simples: você sabe somar frações, certo? Então, precisamos fazer com que dois se tornem uma fração! Lembremos: uma fração é uma operação de divisão (o numerador é dividido pelo denominador, caso você tenha esquecido). E não há nada mais fácil do que dividir um número por. Neste caso, o número em si não mudará, mas se transformará em uma fração:

Exatamente o que é necessário!

5. Multiplicação e divisão de frações.

Bem, a parte mais difícil já passou. E temos pela frente o mais simples, mas ao mesmo tempo o mais importante:

Procedimento

Qual é o procedimento para calcular uma expressão numérica? Lembre-se calculando o significado desta expressão:

Você contou?

Deveria funcionar.

Então, deixe-me lembrá-lo.

O primeiro passo é calcular o grau.

A segunda é multiplicação e divisão. Se houver várias multiplicações e divisões ao mesmo tempo, elas poderão ser feitas em qualquer ordem.

E por fim, realizamos adição e subtração. Novamente, em qualquer ordem.

Mas: a expressão entre colchetes é avaliada fora de hora!

Se vários colchetes forem multiplicados ou divididos entre si, primeiro calculamos a expressão em cada um dos colchetes e depois os multiplicamos ou dividimos.

E se houver mais colchetes dentro dos colchetes? Bem, vamos pensar: alguma expressão está escrita entre colchetes. Ao calcular uma expressão, o que você deve fazer primeiro? Isso mesmo, calcule os colchetes. Bem, nós descobrimos: primeiro calculamos os colchetes internos, depois todo o resto.

Então, o procedimento para a expressão acima é o seguinte (a ação atual está destacada em vermelho, ou seja, a ação que estou realizando neste momento):

Ok, é tudo simples.

Mas isto não é o mesmo que uma expressão com letras?

Não, é a mesma coisa! Só que em vez de operações aritméticas, é necessário fazer operações algébricas, ou seja, as ações descritas na seção anterior: trazendo semelhante, adicionando frações, reduzindo frações e assim por diante. A única diferença será a ação de fatorar polinômios (geralmente usamos isso quando trabalhamos com frações). Na maioria das vezes, para fatorar, você precisa usar I ou simplesmente colocar o fator comum entre colchetes.

Normalmente nosso objetivo é representar a expressão como um produto ou quociente.

Por exemplo:

Vamos simplificar a expressão.

1) Primeiro, simplificamos a expressão entre colchetes. Aí temos uma diferença de frações, e nosso objetivo é apresentá-la como produto ou quociente. Então, trazemos as frações para um denominador comum e adicionamos:

É impossível simplificar ainda mais esta expressão; todos os fatores aqui são elementares (você ainda se lembra do que isso significa?).

2) Obtemos:

Multiplicando frações: o que poderia ser mais simples.

3) Agora você pode encurtar:

OK, está tudo acabado agora. Nada complicado, certo?

Outro exemplo:

Simplifique a expressão.

Primeiro tente resolver sozinho e só depois veja a solução.

Solução:

Em primeiro lugar, vamos determinar a ordem das ações.

Primeiro, vamos adicionar as frações entre parênteses, para que em vez de duas frações obtenhamos uma.

Então faremos divisão de frações. Bem, vamos somar o resultado com a última fração.

Vou numerar as etapas esquematicamente:

Agora vou mostrar o processo, tingindo a ação atual de vermelho:

1. Se houver semelhantes, devem ser trazidos imediatamente. Sempre que surgirem problemas semelhantes em nosso país, é aconselhável trazê-los à tona imediatamente.

2. O mesmo se aplica à redução de frações: assim que surgir a oportunidade de redução, deve ser aproveitada. A exceção fica para frações que você soma ou subtrai: se elas agora tiverem os mesmos denominadores, a redução deverá ser deixada para depois.

Aqui estão algumas tarefas para você resolver sozinho:

E o que foi prometido logo no início:

Respostas:

Soluções (breve):

Se você lidou com pelo menos os três primeiros exemplos, então dominou o tópico.

Agora vamos aprender!

CONVERSÃO DE EXPRESSÕES. RESUMO E FÓRMULAS BÁSICAS

Operações básicas de simplificação:

• Trazendo semelhante: para adicionar (reduzir) termos semelhantes, você precisa somar seus coeficientes e atribuir a parte da letra.
• Fatoração: colocar o fator comum fora dos colchetes, aplicá-lo, etc.
• Reduzindo uma fração: O numerador e o denominador de uma fração podem ser multiplicados ou divididos pelo mesmo número diferente de zero, o que não altera o valor da fração.
  1) numerador e denominador fatorar
  2) se o numerador e o denominador tiverem fatores comuns, podem ser riscados.

  IMPORTANTE: apenas os multiplicadores podem ser reduzidos!

• Adição e subtração de frações:
  ;
• Multiplicando e dividindo frações:
  ;

Expressões, conversão de expressão

Expressões de poder (expressões com poderes) e sua transformação

Neste artigo falaremos sobre a conversão de expressões com potências. Primeiramente, focaremos nas transformações que são realizadas com expressões de qualquer tipo, inclusive expressões de poder, como abrir parênteses e trazer termos semelhantes. E a seguir analisaremos as transformações inerentes especificamente às expressões com graus: trabalhando com base e expoente, usando as propriedades dos graus, etc.

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O que são expressões de poder?

O termo “expressões de poder” praticamente não aparece nos livros escolares de matemática, mas aparece com bastante frequência em coleções de problemas, principalmente aqueles destinados à preparação para o Exame Estadual Unificado e o Exame Estadual Unificado, por exemplo. Após analisar as tarefas em que é necessário realizar alguma ação com expressões de poder, fica claro que expressões de poder são entendidas como expressões contendo poderes em suas entradas. Portanto, você pode aceitar a seguinte definição:

Definição.

Expressões de poder são expressões contendo graus.

Vamos dar exemplos de expressões de poder. Além disso, iremos apresentá-los de acordo com como ocorre o desenvolvimento de visões sobre um grau com expoente natural para um grau com expoente real.

Como se sabe, primeiro se familiariza com a potência de um número com expoente natural; nesta fase, as primeiras expressões de potência mais simples do tipo 3 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0,1) 4, 3 a 2 aparecem −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 etc.

Um pouco mais tarde, estuda-se a potência de um número com expoente inteiro, o que leva ao aparecimento de expressões de potência com potências inteiras negativas, como as seguintes: 3 −2, , uma −2 +2 b −3 +c 2 .

No ensino médio eles retornam aos diplomas. Aí é introduzido um grau com um expoente racional, o que acarreta o aparecimento das expressões de potência correspondentes: , , e assim por diante. Por fim, são considerados graus com expoentes irracionais e expressões que os contêm: , .

O assunto não se limita às expressões de potência listadas: além disso, a variável penetra no expoente e, por exemplo, surgem as seguintes expressões: 2 x 2 +1 ou . E depois de se familiarizar com , começam a aparecer expressões com potências e logaritmos, por exemplo, x 2·lgx −5·x lgx.

Portanto, lidamos com a questão do que representam as expressões de poder. A seguir aprenderemos como transformá-los.

Principais tipos de transformações de expressões de poder

Com expressões de potência, você pode realizar qualquer uma das transformações básicas de identidade de expressões. Por exemplo, você pode abrir parênteses, substituir expressões numéricas por seus valores, adicionar termos semelhantes, etc. Naturalmente, neste caso, é necessário seguir o procedimento aceito para a execução das ações. Vamos dar exemplos.

Exemplo.

Calcule o valor da expressão de potência 2 3 ·(4 2 −12) .

Solução.

De acordo com a ordem de execução das ações, execute primeiro as ações entre colchetes. Lá, em primeiro lugar, substituímos a potência 4 2 pelo seu valor 16 (se necessário, veja) e, em segundo lugar, calculamos a diferença 16−12=4. Nós temos 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.

Na expressão resultante, substituímos a potência 2 3 pelo seu valor 8, após o que calculamos o produto 8·4=32. Este é o valor desejado.

Então, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.

Responder:

2 3 ·(4 2 −12)=32.

Exemplo.

Simplifique expressões com potências 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

Solução.

Obviamente, esta expressão contém termos semelhantes 3·a 4 ·b −7 e 2·a 4 ·b −7 , e podemos apresentá-los: .

Responder:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

Exemplo.

Expresse uma expressão com potências como produto.

Solução.

Você pode lidar com a tarefa representando o número 9 como uma potência de 3 2 e depois usando a fórmula para multiplicação abreviada - diferença de quadrados:

Responder:

Há também uma série de transformações idênticas inerentes especificamente às expressões de poder. Iremos analisá-los mais detalhadamente.

Trabalhando com base e expoente

Existem graus cuja base e/ou expoente não são apenas números ou variáveis, mas algumas expressões. Como exemplo, damos as entradas (2+0,3·7) 5−3,7 e (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) .

Ao trabalhar com tais expressões, você pode substituir tanto a expressão na base do grau quanto a expressão no expoente por uma expressão idêntica na ODZ de suas variáveis. Em outras palavras, de acordo com as regras que conhecemos, podemos transformar separadamente a base do grau e separadamente o expoente. É claro que como resultado desta transformação será obtida uma expressão idêntica à original.

Tais transformações nos permitem simplificar expressões com potências ou atingir outros objetivos de que necessitamos. Por exemplo, na expressão de potência mencionada acima (2+0,3 7) 5−3,7, você pode realizar operações com os números na base e no expoente, o que permitirá passar para a potência 4,1 1,3. E depois de abrir os colchetes e trazer termos semelhantes para a base do grau (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1), obtemos uma expressão de potência de uma forma mais simples a 2·(x+ 1) .

Usando propriedades de grau

Uma das principais ferramentas para transformar expressões com potências são as igualdades que refletem. Recordemos os principais. Para quaisquer números positivos aeb e números reais arbitrários r e s, as seguintes propriedades de potências são verdadeiras:

• a r ·a s =a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (a·b) r =a r·b r ;
• (a:b) r =a r:b r ;
• (a r) s =a r·s .

Observe que para expoentes naturais, inteiros e positivos, as restrições aos números a e b podem não ser tão rigorosas. Por exemplo, para números naturais m e n a igualdade a m ·a n =a m+n é verdadeira não apenas para a positivo, mas também para a negativo, e para a=0.

Na escola, o foco principal na transformação das expressões de poder está na capacidade de escolher a propriedade adequada e aplicá-la corretamente. Nesse caso, as bases dos graus costumam ser positivas, o que permite que as propriedades dos graus sejam utilizadas sem restrições. O mesmo se aplica à transformação de expressões contendo variáveis ​​​​em bases de potências - a faixa de valores permitidos de variáveis ​​​​geralmente é tal que as bases assumem apenas valores positivos, o que permite usar livremente as propriedades das potências . Em geral, você precisa se perguntar constantemente se é possível usar alguma propriedade de graus neste caso, porque o uso impreciso de propriedades pode levar a um estreitamento do valor educacional e a outros problemas. Esses pontos são discutidos detalhadamente e com exemplos no artigo transformação de expressões usando propriedades de potências. Aqui nos limitaremos a considerar alguns exemplos simples.

Exemplo.

Expresse a expressão a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 como uma potência com base a.

Solução.

Primeiro, transformamos o segundo fator (a 2) −3 usando a propriedade de elevar uma potência a uma potência: (uma 2) −3 =uma 2·(−3) =uma −6. A expressão de potência original terá a forma a 2,5 ·a −6:a −5,5. Obviamente, resta usar as propriedades de multiplicação e divisão de potências com a mesma base, temos
a 2,5 ·a −6:a −5,5 =
uma 2,5−6:uma −5,5 =uma −3,5:uma −5,5 =
uma −3,5−(−5,5) =uma 2 .

Responder:

uma 2,5 ·(uma 2) −3:uma −5,5 =uma 2.

As propriedades das potências ao transformar expressões de potência são usadas tanto da esquerda para a direita quanto da direita para a esquerda.

Exemplo.

Encontre o valor da expressão de potência.

Solução.

A igualdade (a·b) r =a r ·b r, aplicada da direita para a esquerda, permite-nos passar da expressão original para um produto da forma e mais adiante. E ao multiplicar potências com as mesmas bases, os expoentes somam: .

Foi possível transformar a expressão original de outra forma:

Responder:

.

Exemplo.

Dada a expressão de potência a 1,5 −a 0,5 −6, introduza uma nova variável t=a 0,5.

Solução.

O grau a 1,5 pode ser representado como 0,5 3 e então, com base na propriedade do grau ao grau (a r) s =a r s, aplicado da direita para a esquerda, transforme-o na forma (a 0,5) 3. Por isso, a 1,5 −a 0,5 −6=(a 0,5) 3 −a 0,5 −6. Agora é fácil introduzir uma nova variável t=a 0,5, obtemos t 3 −t−6.

Responder:

t 3 −t−6 .

Convertendo frações contendo potências

Expressões de potência podem conter ou representar frações com potências. Qualquer uma das transformações básicas de frações inerentes a frações de qualquer tipo é totalmente aplicável a tais frações. Ou seja, as frações que contêm potências podem ser reduzidas, reduzidas a um novo denominador, trabalhadas separadamente com o seu numerador e separadamente com o denominador, etc. Para ilustrar essas palavras, considere soluções para vários exemplos.

Exemplo.

Simplifique a expressão de poder .

Solução.

Esta expressão de poder é uma fração. Vamos trabalhar com seu numerador e denominador. No numerador abrimos os colchetes e simplificamos a expressão resultante usando as propriedades das potências, e no denominador apresentamos termos semelhantes:

E vamos também mudar o sinal do denominador colocando um menos na frente da fração: .

Responder:

.

A redução de frações contendo potências a um novo denominador é realizada de forma semelhante à redução de frações racionais a um novo denominador. Nesse caso, também é encontrado um fator adicional e o numerador e o denominador da fração são multiplicados por ele. Ao realizar esta ação, vale lembrar que a redução para um novo denominador pode levar ao estreitamento do VA. Para evitar que isso aconteça, é necessário que o fator adicional não chegue a zero para nenhum valor das variáveis ​​das variáveis ​​ODZ da expressão original.

Exemplo.

Reduza as frações para um novo denominador: a) para o denominador a, b) para o denominador.

Solução.

a) Neste caso, é bastante fácil descobrir qual multiplicador adicional ajuda a alcançar o resultado desejado. Este é um multiplicador de 0,3, já que a 0,7 ·a 0,3 =a 0,7+0,3 =a. Observe que na faixa de valores permitidos da variável a (este é o conjunto de todos os números reais positivos), a potência de a 0,3 não desaparece, portanto, temos o direito de multiplicar o numerador e o denominador de um dado fração por este fator adicional:

b) Olhando mais de perto o denominador, você descobrirá que

e multiplicar esta expressão por dará a soma dos cubos e, ou seja,. E este é o novo denominador ao qual precisamos de reduzir a fração original.

Foi assim que encontramos um fator adicional. Na faixa de valores aceitáveis ​​​​das variáveis ​​​​x e y, a expressão não desaparece, portanto, podemos multiplicar o numerador e o denominador da fração por ela:

Responder:

A) , b) .

Também não há nada de novo na redução de frações contendo potências: o numerador e o denominador são representados como uma série de fatores, e os mesmos fatores do numerador e do denominador são reduzidos.

Exemplo.

Reduza a fração: a) ,b) .

Solução.

a) Primeiramente, o numerador e o denominador podem ser reduzidos pelos números 30 e 45, que é igual a 15. Também é obviamente possível realizar uma redução de x 0,5 +1 e de . Aqui está o que temos:

b) Neste caso, fatores idênticos no numerador e no denominador não são imediatamente visíveis. Para obtê-los, você terá que realizar transformações preliminares. Neste caso, consistem em fatorar o denominador utilizando a fórmula da diferença de quadrados:

Responder:

A)

b) .

A conversão de frações para um novo denominador e a redução de frações são usadas principalmente para fazer coisas com frações. As ações são executadas de acordo com regras conhecidas. Ao adicionar (subtrair) frações, elas são reduzidas a um denominador comum, após o qual os numeradores são somados (subtraídos), mas o denominador permanece o mesmo. O resultado é uma fração cujo numerador é o produto dos numeradores e o denominador é o produto dos denominadores. A divisão por uma fração é a multiplicação pelo seu inverso.

Exemplo.

Siga os passos .

Solução.

Primeiro, subtraímos as frações entre parênteses. Para fazer isso, nós os trazemos para um denominador comum, que é , após o qual subtraímos os numeradores:

Agora multiplicamos as frações:

Obviamente, é possível reduzir por uma potência de x 1/2, após o que temos .

Você também pode simplificar a expressão da potência no denominador usando a fórmula da diferença de quadrados: .

Responder:

Exemplo.

Simplifique a expressão de poder .

Solução.

Obviamente, esta fração pode ser reduzida por (x 2,7 +1) 2, isso dá a fração . É claro que algo mais precisa ser feito com os poderes de X. Para fazer isso, transformamos a fração resultante em um produto. Isso nos dá a oportunidade de aproveitar a propriedade de divisão de potências com as mesmas bases: . E no final do processo passamos do último produto para a fração.

Responder:

.

E acrescentemos também que é possível, e em muitos casos desejável, transferir fatores com expoentes negativos do numerador para o denominador ou do denominador para o numerador, mudando o sinal do expoente. Tais transformações muitas vezes simplificam ações futuras. Por exemplo, uma expressão de potência pode ser substituída por .

Convertendo expressões com raízes e potências

Freqüentemente, em expressões nas quais algumas transformações são necessárias, raízes com expoentes fracionários também estão presentes junto com potências. Para transformar tal expressão na forma desejada, na maioria dos casos basta ir apenas às raízes ou apenas às potências. Mas como é mais conveniente trabalhar com poderes, eles costumam passar das raízes aos poderes. No entanto, é aconselhável realizar tal transição quando o ODZ das variáveis ​​​​da expressão original permitir substituir as raízes por potências sem a necessidade de consultar o módulo ou dividir o ODZ em vários intervalos (discutimos isso em detalhes em o artigo transição de raízes para potências e vice-versa Depois de conhecer o grau com expoente racional é introduzido um grau com expoente irracional, o que nos permite falar de um grau com expoente real arbitrário. Nesta fase, a escola começa a estudar função exponencial, que é dado analiticamente por uma potência cuja base é um número e o expoente é uma variável. Assim nos deparamos com expressões de potência contendo números na base da potência, e no expoente - expressões com variáveis, e naturalmente surge a necessidade de realizar transformações de tais expressões.

Deve-se dizer que a transformação de expressões do tipo indicado geralmente deve ser realizada na resolução equações exponenciais E desigualdades exponenciais, e essas conversões são bastante simples. Na esmagadora maioria dos casos, baseiam-se nas propriedades do grau e visam, na sua maioria, a introdução de uma nova variável no futuro. A equação nos permitirá demonstrá-los 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

Em primeiro lugar, as potências cujos expoentes são a soma de uma determinada variável (ou expressão com variáveis) e um número são substituídas por produtos. Isso se aplica ao primeiro e ao último termos da expressão do lado esquerdo:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

A seguir, ambos os lados da igualdade são divididos pela expressão 7 2 x, que na ODZ da variável x para a equação original assume apenas valores positivos (esta é uma técnica padrão para resolver equações deste tipo, não estamos falando sobre isso agora, então concentre-se nas transformações subsequentes de expressões com potências):

Agora podemos cancelar frações com potências, o que dá .

Finalmente, a razão de potências com os mesmos expoentes é substituída por potências de relações, resultando na equação , que é equivalente . As transformações realizadas permitem introduzir uma nova variável, que reduz a solução da equação exponencial original à solução de uma equação quadrática

Instituição de ensino estadual municipal

escola secundária básica nº 25

Aula de álgebra

Assunto:

« Convertendo expressões contendo potências com expoentes fracionários"

Desenvolvido por:

,

professor de matemática

mais alto paracategoria de qualificação

Nodal

2013

Tópico da lição: Convertendo expressões contendo expoentes com expoentes fracionários

O objetivo da lição:

1. Desenvolvimento adicional de habilidades, conhecimentos e habilidades na conversão de expressões contendo graus com expoentes fracionários

2. Desenvolvimento da capacidade de encontrar erros, desenvolvimento do pensamento, criatividade, fala, habilidades computacionais

3. Promover a independência, o interesse pelo assunto, a atenção, o rigor.

TCO: quadro magnético, fichas de prova, mesas, fichas individuais, escolares têm sobre a mesa folhas em branco assinadas para trabalhos individuais, palavras cruzadas, mesas para aquecimento matemático, projetor multimídia.

Tipo de aula: protegendo ZUN.

Plano de aula ao longo do tempo

1. Aspectos organizacionais (2 min)

2. Verificando o dever de casa (5 min)

3. Palavras cruzadas (3 min)

4. Aquecimento matemático (5 min)

5. Resolução de exercícios de fortalecimento frontal (7 min)

6. Trabalho individual (10 min)

7. Solução de exercícios de repetição (5 min)

8. Resumo da lição (2 min)

9. Trabalho de casa (1 min)

Durante as aulas

1) Verificando o dever de casa na forma de revisão por pares . Bons alunos verificam os cadernos das crianças fracas. E os fracos verificam com os fortes usando um cartão de controle de amostra. A lição de casa é dada em duas versões.

EU opção a tarefa não é difícil

II opção a tarefa é difícil

Como resultado da verificação, os caras destacam os erros com um simples lápis e dão uma nota. Finalmente verifico o trabalho depois que as crianças entregam seus cadernos depois da aula. Peço aos rapazes o resultado da prova e coloco as notas desse tipo de trabalho no meu quadro-resumo.

2) Para testar o material teórico, é oferecido um jogo de palavras cruzadas.

Verticalmente:

1. Propriedade de multiplicação usada ao multiplicar um monômio por um polinômio?

2. O efeito dos expoentes ao elevar uma potência a uma potência?

3. Um diploma com índice zero?

4. Um produto composto por fatores idênticos?

Horizontalmente:

5. Raiz n – oh grau de um número não negativo?

6. A ação dos expoentes na multiplicação de potências?

7. O efeito dos expoentes na divisão de potências?

8. O número de todos os fatores idênticos?

3) Aquecimento matemático

a) realize o cálculo e utilize a cifra para ler a palavra escondida no problema.

Há uma mesa no quadro à sua frente. A tabela na coluna 1 contém exemplos que precisam ser calculados.

Chave para a mesa

E escreva a resposta na coluna II, e na coluna III coloque a letra correspondente a esta resposta.

Professor: Então, a palavra criptografada é “grau”. Na próxima tarefa trabalhamos com o 2º e 3º graus

b) Jogo “Certifique-se de não cometer erros”

Em vez de pontos, coloque um número

a)x=(x...)2; b) a3/2 = (a1/2)…; c) uma=(a1/3)…; d) 5... = (51/4)2; e) 34/3=(34/9)…; e) 74/5 = (7...)2; g)x1/2=(x...)2; h) y1/2=(y...)2

Vamos encontrar o erro:

À1/4 – 2à1/2 + 1 = (à1/

Então, pessoal, o que precisava ser usado para completar esta tarefa:

Propriedade dos graus: ao elevar um grau a uma potência, os expoentes são multiplicados;

4) Agora vamos começar com o trabalho escrito de front-end. , usando os resultados de trabalhos anteriores. Abra cadernos e anote a data e o tema da aula.

№ 000

a) a – b = (a1/2)2 – (b1/2)2 = (a1/2 – b1/2)*(a1/2 + b1/2)

b) a – c = (a1/3)3 – (b1/3)3 = (a1/3 – c1/3)*(a2/3 + a1/3 b1/3 + b2/3)

Nº 000 (a, c, d, e)

A ) m2 – 5 = m2 – (m1/2)2 = (m – 51/2)*(m+51/2)

c) a3 – 4 = (a3/2)2 – 22 = (a3/2 – 2)*(a3/2 +2)

d) x2/5 – y4/5 = (x1/5)2 – (y2/5)2 = (x1/5 – y2/5)*(x1/5 + y2/5)

e) 4 – a = 22 – (a1/2)2 = (2 – a1/2)*(2+a1/2)

Nº 000 (a, d, f)

a) x3 – 2 = x3 – (21/3)3 = (x – 21/3)*(x2 + 21/3 x + 22/3)

d) a6/5 + 27 = (a2/5)3 + 33 = (a2/5 + 3)*(a4/3 – 3 a2/5 + 9)

f) 4 + y = (41/3)3 + (y1/3)3 = (41/3 + y1/3)*(42/3 + 41/3 y1/3 + y2/3)

Nota

5) Trabalhe em cartões individuais usando quatro opções em folhas separadas

Tarefas com vários graus de dificuldade são concluídas sem qualquer solicitação do professor.

Verifico o trabalho imediatamente e coloco as notas na minha tabela e nas fichas dos rapazes.

Nº 000 (a, c, d, h)

a) 4*31/2/(31/2 – 3) = 4*31/2 /31/2*(1 – 31/2) = 4 / (1 – 31/2)

c) x + x1/2 /2x = x1/2*(x1/2+1)/ 2*(x1/2)2 = (x1/2+1)/ 2x1/2

e) (a2/3 – b2/3)/(a1/3 +b1/3) = (a1/3)2 – (b1/3)2/(a1/3 +b1/3) = (a1/3) + b1/3)*(a1/3 – b1/3)/(a1/3 + b1/3) = a1/3 – b1/3

h) (x2/3 - x1/3 y1/3 + y2/3)/(x + y) = ((x1/3)2 – x1/3 y1/3 + (y1/3)2)/(( x1/3)3 +(y1/3)3) = ((x1/3)2 – x1/3 y1/3 +(y1/3)2)/(x1/3 +y1/3)*((x1 /3)2 – x1/3 y1/3 + (y1/3)2) = 1/ (x1/3 + y1/3)

7) Trabalhando em cartões individuais com vários graus de complexidade. Em alguns exercícios há recomendações do professor, pois o material é complicado e é difícil para as crianças fracas darem conta do trabalho

Existem também quatro opções disponíveis. A avaliação ocorre imediatamente. Coloquei todas as notas em uma planilha.

Problema nº da coleção

A professora faz perguntas:

1. O que deve ser encontrado no problema?

2. O que você precisa saber para isso?

3. Como expressar o tempo de 1 pedestre e 2 pedestres?

4. Compare os tempos dos pedestres 1 e 2 de acordo com as condições do problema e crie uma equação.

A solução do problema:

Seja x (km/h) a velocidade de 1 pedestre

X +1 (km/h) – velocidade de 2 pedestres

4/х (h) – tempo de pedestre

4/(x +1) (h) – tempo do segundo pedestre

De acordo com as condições do problema 4/x >4/ (x +1) por 12 minutos

12 min = 12/60h = 1/5h

Vamos fazer uma equação

X/4 – 4/ (x +1) = 1/5

NOZ: 5x(x +1) ≠ 0

5*4*(x+1) – 5*4x = x*(x+1)

20x + 20 – 20x – x2 – x = 0

X2 +x –20 = 0

D=1 – 4*(-20) = 81, 81>0, 2k

x1 = (-1 -√81)/(-2) = 5 km/h – velocidade de 1 pedestre

x2 = (-1 + √81)/(-2) = 4 – não se enquadra no significado do problema, pois x>0

Resposta: 5 km/h – velocidade de 2 pedestres

9) Resumo da lição: Então pessoal, hoje na aula consolidamos conhecimentos, habilidades e habilidades de transformação de expressões contendo graus, aplicamos fórmulas de multiplicação abreviadas, tiramos o fator comum dos colchetes e repetimos o material abordado. Aponto as vantagens e desvantagens.

Resumindo a lição em uma tabela.

10) Anuncio as notas. Trabalho de casa

Cartões individuais K – 1 e K – 2

Eu mudo B – 1 e B – 2; B – 3 e B – 4, pois são equivalentes

Aplicações para a lição.

1) Cartões para lição de casa

1. simplificar

a) (x1/2 – y1/2)2 + 2x1/2 y1/2

b) (a3/2 + 5a1\2)2 – 10a2

2. apresentar como uma soma

a) a1/3 c1\4*(b2/3 + c3/4)

b) (a1/2 – b1/2)*(a + a1/2 b1\2 + c)

3. retire o multiplicador geral

c) 151/3 +201/3

1. simplificar

a) √m + √n – (m1/4 – n1/4)2

b) (a1/4 + b1/4)*(a1/8 + b1/8)*(a1\8 – b1/8)

2. apresentar como uma soma

a) x0,5 y0,5*(x-0,5 – y1,5)

b) (x1/3 + y1/3)*(x2\3 – x1/3 y1\3 + y2/3)

3. Retire o fator comum dos colchetes

b) c1\3 – c

c) (2a)1/3 – (5a)1\3

2) cartão de controle para B – 2

a) √m + √n – (m 1|4 – n 1|4)2 = m 1|2 + n 1|2 – ((m 1|2)2 – 2 m 1/4 n 1/4 + (n 1/2)2) = m 1/2 + n 1/2 – m 1/2 + 2 m 1/4 n 1/4 – n 1/2 = 2 m 1/4 n 1/4

b) (a1/4 + b1/4)*(a1/8 + b1/8)*(a1/8 – b1/8) = (a1/4 + b1/4)*(a1/8)2 – ( 1/8)2 = (1/4 + 1/4)*(1/4 – 1/4) = (1/4)2 – (1/4)2 = 1/2 – 1/2

a) x0,5 y0,5* (x-0,5-y1,5) = x0,5 y0,5 x-0,5 – x0,5 y0,5y1,5 = x0 y0,5 – x0,5 y2 = y0. 5 – x0,5 y2

b) (x1/3 + y1/3)*(x2/3 – x1/3 y1\3 + y2/3) = (x1\3 + y1/3)*((x1/3)2 – x1/3 y1\3 + (y1/3)2) = (x1/3)2 + (y1/3)2 = x + y

a) 3 – 31/2 = 31/2 * (31/2 - 1)

b) v1/3 – v = v1/3 *(1 – v2/3)

c) (2a)1/3 – (5a)1/3 = a1/3*(21/3 – 51/3)

3) Cartões para o primeiro trabalho individual

a) a – y, x ≥ 0, y ≥ 0

b) a – e, a ≥ 0

1. Fatore como diferença de quadrados

a) a1/2 – b1/2

2. Fatore como diferença ou soma de cubos

a) c1/3 + d1/3

1. Fatore como diferença de quadrados

a) X1/2 + Y1/2

b) X1/4 – U1/4

2. Fatore como diferença ou soma de cubos

4) cartões para o segundo trabalho individual

a) (x – x1/2)/ (x1/2 – 1)

Instrução: x1/2, remova os numeradores dos colchetes

b) (a - c)/(a1/2 – b1/2)

Nota: a – b = (a1/2)2 – (b1/2)2

Reduza a fração

a) (21/4 – 2)/ 5*21/4

Instrução: remova 21/4 dos colchetes

b) (a – c)/(5а1/2 – 5в1/2)

Nota: a – b = (a1/2)2 – (b1/2)2

Opção 3

1. Reduza a fração

a) (x1/2 – x1/4)/x3/4

Instrução: coloque x1/4 fora dos colchetes

b) (a1/2 – b1/2)/(4a1/4 – 4b1/4)

Opção 4

Reduza a fração

a) 10/ (10 – 101/2)

b) (a - c)/(a2/3 + a1\3b1/3+ B 1/3)

Assunto: " Convertendo expressões contendo potências com um expoente fracionário"

“Deixe alguém tentar eliminar os diplomas da matemática e verá que sem eles você não irá longe.” (M. V. Lomonosov)

Lições objetivas:

educacional: resumir e sistematizar o conhecimento dos alunos sobre o tema “Licenciatura com indicador racional”; monitorizar o nível de domínio da matéria; eliminar lacunas nos conhecimentos e competências dos alunos;

em desenvolvimento: desenvolver as habilidades de autocontrole dos alunos;criar uma atmosfera de interesse para cada aluno em seu trabalho, desenvolver a atividade cognitiva dos alunos;

educacional: cultivar o interesse pelo assunto, pela história da matemática.

Tipo de aula: aula de generalização e sistematização do conhecimento

Equipamentos: fichas de avaliação, fichas com tarefas, decodificadores, palavras cruzadas para cada aluno.

Preparação preliminar: a turma é dividida em grupos, em cada grupo o líder é um consultor.

DURANTE AS AULAS

I. Momento organizacional.

Professor: Concluímos o estudo do tema “Uma potência com expoente racional e suas propriedades”. Sua tarefa nesta lição é mostrar como você domina o material estudado e como pode aplicar o conhecimento adquirido para resolver problemas específicos. Cada um de vocês tem uma planilha de pontuação em sua mesa. Nele você inserirá sua avaliação para cada etapa da aula. No final da aula você dará uma nota média da aula.

Documento de avaliação

II. Verificando o dever de casa.

Verificação pelos pares com um lápis na mão, as respostas são lidas pelos alunos.

III. Atualizando o conhecimento dos alunos.

Professor: O famoso escritor francês Anatole France disse uma vez: “Aprender deve ser divertido... Para absorver o conhecimento, você deve absorvê-lo com apetite”.

Vamos repetir as informações teóricas necessárias ao resolver as palavras cruzadas.

Horizontalmente:

1. A ação pela qual o valor do grau é calculado (construção).

2. Produto constituído por fatores idênticos (grau).

3. A ação dos expoentes ao elevar uma potência a uma potência (trabalhar).

4. A ação dos graus em que os expoentes dos graus são subtraídos (divisão).

Verticalmente:

5. Número de todos os fatores idênticos (índice).

6. Grau com índice zero (unidade).

7. Multiplicador de repetição (base).

8. Valor de 10 5: (2 3 5 5) (quatro).

9. Um expoente que normalmente não é escrito (unidade).

4. Aquecimento matemático.

Professor. Vamos repetir a definição de um grau com um expoente racional e suas propriedades e realizar as seguintes tarefas.

1. Apresente a expressão x 22 como produto de duas potências com base x, se um dos fatores for igual a: x 2, x 5,5, x 1\3, x 17,5, x 0

2. Simplifique:

b) y 5\8 y 1\4: y 1\8 = y

c) de 1,4 de -0,3 de 2,9

3. Calcule e componha a palavra usando um decodificador.

Depois de completar esta tarefa, vocês descobrirão o nome do matemático alemão que introduziu o termo “expoente”.

1) (-8) 1\3 2) 81 1\2 3) (3\5) -1 4) (5\7) 0 5) 27 -1\3 6) (2\3) -2 7) 16 1\2 * 125 1\3

Palavra: 1234567 (Stifel)

V. Trabalho escrito em cadernos (as respostas são abertas no quadro) .

Tarefas:

1. Simplifique a expressão:

(x-2): (x 1\2 -2 1\2) (y-3): (y 1\2 – 3 1\2) (x-1): (x 2\3 - x 1\3 +1)

2. Encontre o valor da expressão:

(x 3\8 x 1\4 :) 4 em x=81

VI. Trabalho em grupos.

Exercício. Resolva equações e forme palavras usando um decodificador.

Cartão nº 1

Palavra: 1234567 (Diofanto)

Cartão nº 2

Cartão nº 3

Palavra: 123451 (Newton)

Decodificador

Professor. Todos esses cientistas contribuíram para o desenvolvimento do conceito de “grau”.

VII. Informações históricas sobre o desenvolvimento do conceito de licenciatura (mensagem do aluno).

O conceito de diploma com indicador natural se formou entre os povos antigos. Números quadrados e cúbicos foram usados ​​para calcular áreas e volumes. As potências de alguns números foram usadas na resolução de certos problemas por cientistas do Antigo Egito e da Babilônia.

No século III, foi publicado o livro do cientista grego Diofanto “Aritmética”, que lançou as bases para a introdução dos símbolos das letras. Diofanto introduz símbolos para os primeiros seis poderes do desconhecido e seus recíprocos. Neste livro, um quadrado é denotado por um sinal com subscrito r; cubo – sinal k com índice r, etc.

Da prática de resolver problemas algébricos mais complexos e operar com graus, surgiu a necessidade de generalizar o conceito de grau e expandi-lo introduzindo zero, números negativos e fracionários como expoente. Os matemáticos tiveram a ideia de generalizar gradualmente o conceito de grau para um grau com um expoente não natural.

Os expoentes fracionários e as regras mais simples para operar potências com expoentes fracionários são encontrados no matemático francês Nicholas Oresme (1323-1382) em sua obra “Algoritmo de Proporções”.

A igualdade, 0 = 1 (para e diferente de 0) foi usada em seus trabalhos no início do século 15 pelo cientista de Samarcanda Giyasaddin Kashi Dzhemshid. De forma independente, o indicador zero foi introduzido por Nikolai Schuke no século XV. Sabe-se que Nicholas Shuquet (1445–1500) considerou graus com expoentes negativos e zero.

Mais tarde, expoentes fracionários e negativos são encontrados em “Complete Arithmetic” (1544) do matemático alemão M. Stiefel e em Simon Stevin. Simon Stevin sugeriu que 1/n deveria ser uma raiz.

O matemático alemão M. Stiefel (1487–1567) deu a definição de 0 = 1 em e introduziu o nome expoente (esta é uma tradução literal do expoente alemão). O alemão potenzieren significa elevar-se a um poder.

No final do século XVI, François Viète introduziu letras para designar não só variáveis, mas também os seus coeficientes. Ele usou abreviaturas: N, Q, C - para o primeiro, segundo e terceiro graus. Mas as notações modernas (como 4, 5) foram introduzidas no século XVII por René Descartes.

Definições e notações modernas para potências com expoentes zero, negativos e fracionários originam-se do trabalho dos matemáticos ingleses John Wallis (1616–1703) e Isaac Newton (1643–1727).

A conveniência de introduzir zero, expoentes negativos e fracionários e símbolos modernos foi escrita em detalhes pela primeira vez em 1665 pelo matemático inglês John Wallis. Seu trabalho foi concluído por Isaac Newton, que começou a aplicar sistematicamente novos símbolos, após os quais eles passaram a ser de uso geral.

A introdução de um grau com expoente racional é um dos muitos exemplos de generalização dos conceitos de ação matemática. Um grau com expoentes zero, negativo e fracionário é definido de tal forma que as mesmas regras de ação são aplicadas a ele como para um grau com um expoente natural, ou seja, para que as propriedades básicas do conceito original de grau definido sejam preservadas.

A nova definição de grau com expoente racional não contradiz a antiga definição de grau com expoente natural, ou seja, o significado da nova definição de grau com expoente racional permanece o mesmo para o caso especial de grau com um expoente natural. Este princípio, observado na generalização de conceitos matemáticos, é denominado princípio da permanência (preservação da constância). Foi expresso de forma imperfeita em 1830 pelo matemático inglês J. Peacock, e foi total e claramente estabelecido pelo matemático alemão G. Hankel em 1867.

VIII. Verifique você mesmo.

Trabalho independente usando cartões (as respostas são reveladas no quadro) .

Opção 1

1. Calcule: (1 ponto)

(a + 3a 1\2): (a 1\2 +3)

opção 2

1. Calcule: (1 ponto)

2. Simplifique a expressão: 1 ponto cada

a) x 1,6 x 0,4 b)(x 3\8) -5\6

3. Resolva a equação: (2 pontos)

4. Simplifique a expressão: (2 pontos)

5. Encontre o significado da expressão: (3 pontos)

IX. Resumindo a lição.

De quais fórmulas e regras você se lembrou na aula?

Analise seu trabalho em aula.

O trabalho dos alunos em sala de aula é avaliado.

X. Lição de casa. K: R IV (repetir) art. 156-157 No. 4 (a-c), No. 7 (a-c),

Adicional: Nº 16

Aplicativo

Documento de avaliação

Nome/nome/aluno_______________________________________________

Cartão nº 1

1) X 1\3 =4; 2) y -1 =3\5; 3) a 1\2 = 2\3; 4) x -0,5 x 1,5 = 1; 5) y 1\3 =2; 6) a 2\7 a 12\7 = 25; 7) a 1\2: a = 1\3

Decodificador

Cartão nº 2

1) X 1\3 =4; 2) y -1 = 3; 3) (x+6) 1\2 = 3; 4) y 1\3 =2; 5) (y-3) 1\3 =2; 6) a 1\2: a = 1\3

Decodificador

Cartão nº 3

1) a 2\7 a 12\7 = 25; 2) (x-12) 1\3 =2; 3) x -0,7 x 3,7 = 8; 4) a 1\2: a = 1\3; 5) e 1\2 = 2\3

Decodificador

Cartão nº 1

1) X 1\3 =4; 2) y -1 =3\5; 3) a 1\2 = 2\3; 4) x -0,5 x 1,5 = 1; 5) y 1\3 =2; 6) a 2\7 a 12\7 = 25; 7) a 1\2: a = 1\3

Decodificador

Cartão nº 2

1) X 1\3 =4; 2) y -1 = 3; 3) (x+6) 1\2 = 3; 4) y 1\3 =2; 5) (y-3) 1\3 =2; 6) a 1\2: a = 1\3

Decodificador

Cartão nº 3

1) a 2\7 a 12\7 = 25; 2) (x-12) 1\3 =2; 3) x -0,7 x 3,7 = 8; 4) a 1\2: a = 1\3; 5) e 1\2 = 2\3

Decodificador

Cartão nº 1

1) X 1\3 =4; 2) y -1 =3\5; 3) a 1\2 = 2\3; 4) x -0,5 x 1,5 = 1; 5) y 1\3 =2; 6) a 2\7 a 12\7 = 25; 7) a 1\2: a = 1\3

Decodificador

Cartão nº 2

1) X 1\3 =4; 2) y -1 = 3; 3) (x+6) 1\2 = 3; 4) y 1\3 =2; 5) (y-3) 1\3 =2; 6) a 1\2: a = 1\3

Decodificador

Cartão nº 3

1) a 2\7 a 12\7 = 25; 2) (x-12) 1\3 =2; 3) x -0,7 x 3,7 = 8; 4) a 1\2: a = 1\3; 5) e 1\2 = 2\3

Decodificador

Seções: Matemática

Aula: 9

OBJETIVO: Consolidar e melhorar as competências de aplicação das propriedades de um grau com expoente racional; desenvolver habilidades na realização de transformações simples de expressões contendo potências com expoente fracionário.

TIPO DE AULA: aula de consolidação e aplicação de conhecimentos sobre o tema.

LIVRO: Álgebra 9 ed. S.A. Telyakovsky.

DURANTE AS AULAS

Discurso de abertura do professor

“As pessoas não familiarizadas com a álgebra não conseguem imaginar as coisas surpreendentes que podem ser alcançadas... com a ajuda desta ciência.” G. V. Leibniz

A álgebra abre as portas do complexo laboratorial para nós “Um diploma com um expoente racional.”

1. Levantamento frontal

1) Dê a definição de grau com expoente fracionário.

2) Para qual expoente fracionário é definido um grau com base igual a zero?

3) O grau será determinado com um expoente fracionário para base negativa?

Tarefa: Imagine o número 64 como uma potência com base - 2; 2; 8.

O cubo de qual número é 64?

Existe outra maneira de representar o número 64 como uma potência com um expoente racional?

2. Trabalhe em grupos

1 grupo. Prove que as expressões (-2) 3/4 ; 0 -2 não faz sentido.

2º grupo. Imagine uma potência com expoente fracionário em forma de raiz: 2 2/3; 3 -1|3 ; -em 1,5; 5a 1/2; (xy) 2/3 .

3º grupo. Apresente como uma potência com expoente fracionário: v3; 8 e 4; 3v2-2; v(x+y) 2/3 ; vvv.

3. Passemos ao laboratório “Ação sobre poderes”

Os hóspedes frequentes do laboratório são astrônomos. Eles trazem seus “números astronômicos”, os submetem ao processamento algébrico e obtêm resultados úteis

Por exemplo, a distância da Terra à nebulosa de Andrômeda é expressa pelo número

9500000000000000000 = 95 10 18 quilômetros;

é chamado quintilhão.

A massa do Sol em gramas é expressa pelo número 1983 10 30 g - não-nalion.

Além disso, o laboratório enfrenta outras tarefas sérias. Por exemplo, o problema de calcular expressões como:

A) ; b); V) .

A equipe do laboratório realiza esses cálculos da maneira mais conveniente.

Você pode se conectar ao trabalho. Para fazer isso, vamos repetir as propriedades das potências com expoentes racionais:

Agora calcule ou simplifique a expressão usando as propriedades das potências com expoentes racionais:

1º grupo:

Grupo 2:

Grupo 3:

Confira: uma pessoa do grupo no quadro.

4. Tarefa de comparação

Como podemos comparar as expressões 2 100 e 10 30 usando as propriedades das potências?

Responder:

2 100 =(2 10) 10 =1024 10 .

10 30 =(10 3) 10 =1000 10

1024 10 >1000 10

2 100 >10 30

5. E agora convido você para o laboratório “Pesquisa de Graus”.

Que transformações podemos realizar nos poderes?

1) Imagine o número 3 como uma potência com expoente 2; 3; -1.

2) Como as expressões a-c podem ser fatoradas? em+em 1/2; a-2a 1/2; 2 é 2?

3) Reduza a fração seguida de verificação mútua:

4) Explique as transformações realizadas e encontre o significado da expressão:

6. Trabalhando com o livro didático. Nº 611(g, d, f).

Grupo 1: (d).

Grupo 2: (e).

Grupo 3: (f).

Nº 629 (a, b).

Revisão por pares.

7. Realizamos workshop (trabalho independente).

Expressões dadas:

Ao reduzir quais frações são fórmulas de multiplicação abreviadas e colocar o fator comum fora dos colchetes?

Grupo 1: Nº 1, 2, 3.

Grupo 2: Nº 4, 5, 6.

Grupo 3: Nº 7, 8, 9.

Ao concluir a tarefa, você pode usar recomendações.

1. Se a notação de exemplo contém ambas as potências com um expoente racional e raízes do enésimo grau, então escreva as raízes do enésimo grau na forma de potências com um expoente racional.
2. Tente simplificar a expressão sobre a qual as ações são realizadas: abrindo parênteses, usando a fórmula abreviada de multiplicação, passando de uma potência com expoente negativo para uma expressão contendo potências com expoente positivo.
3. Determine a ordem em que as ações devem ser executadas.
4. Conclua as etapas na ordem em que são executadas.

A professora avalia após recolher os cadernos.

8. Lição de casa: nº 624, 623.