Como determinar a expectativa de xeque-mate. Expectativa de uma variável aleatória contínua
– o número de meninos entre 10 recém-nascidos.
É absolutamente claro que este número não é conhecido antecipadamente, e os próximos dez filhos nascidos podem incluir:
Ou meninos - um e somente um dentre as opções listadas.
E, para manter a forma, um pouco de educação física:
– distância do salto em distância (em algumas unidades).
Mesmo um mestre dos esportes não pode prever isso :)
No entanto, suas hipóteses?
2) Variável aleatória contínua – aceita Todos valores numéricos de algum intervalo finito ou infinito.
Observação : as abreviaturas DSV e NSV são populares na literatura educacional
Primeiro, vamos analisar a variável aleatória discreta, então - contínuo.
Lei de distribuição de uma variável aleatória discreta
- Esse correspondência entre os valores possíveis desta quantidade e suas probabilidades. Na maioria das vezes, a lei está escrita em uma tabela: 
O termo aparece com bastante frequência linha
distribuição, mas em algumas situações parece ambíguo, por isso vou seguir a "lei".
E agora ponto muito importante: já que a variável aleatória Necessariamente aceitará um dos valores, então os eventos correspondentes formam grupo completo e a soma das probabilidades de sua ocorrência é igual a um:
ou, se escrito condensado:
Assim, por exemplo, a lei da distribuição de probabilidade dos pontos lançados em um dado tem a seguinte forma: 
Sem comentários.
Você pode ter a impressão de que uma variável aleatória discreta só pode assumir valores inteiros “bons”. Vamos dissipar a ilusão - eles podem ser qualquer coisa:
Exemplo 1
Algum jogo tem a seguinte lei de distribuição vencedora: 
...você provavelmente já sonha com essas tarefas há muito tempo :) Vou te contar um segredo - eu também. Especialmente depois de terminar o trabalho em teoria de campo.
Solução: como uma variável aleatória pode assumir apenas um de três valores, os eventos correspondentes formam grupo completo, o que significa que a soma de suas probabilidades é igual a um: 
Expondo o “partidário”: 
– assim, a probabilidade de ganhar unidades convencionais é de 0,4.
Controle: era disso que precisávamos ter certeza.
Responder:
Não é incomum que você mesmo precise redigir uma lei de distribuição. Para isso eles usam definição clássica de probabilidade, teoremas de multiplicação/adição para probabilidades de eventos e outras fichas tervera:
Exemplo 2
A caixa contém 50 bilhetes de loteria, dos quais 12 são vencedores, sendo que 2 deles ganham 1.000 rublos cada, e o restante - 100 rublos cada. Elabore uma lei para a distribuição de uma variável aleatória - o tamanho dos ganhos, se um bilhete for sorteado aleatoriamente da caixa.
Solução: como você notou, os valores de uma variável aleatória geralmente são colocados em em ordem ascendente. Portanto, começamos com os menores ganhos, nomeadamente rublos.
Existem 50 desses ingressos no total - 12 = 38, e de acordo com definição clássica:
– a probabilidade de um bilhete sorteado aleatoriamente ser perdedor.
Em outros casos, tudo é simples. A probabilidade de ganhar rublos é:
Confira: – e este é um momento particularmente agradável de tais tarefas!
Responder: a lei desejada de distribuição de ganhos: 
A tarefa a seguir deve ser resolvida por você mesmo:
Exemplo 3
A probabilidade de o atirador acertar o alvo é . Elabore uma lei de distribuição para uma variável aleatória - o número de acertos após 2 disparos.
...Eu sabia que você sentia falta dele :) Vamos lembrar teoremas de multiplicação e adição. A solução e a resposta estão no final da lição.
A lei de distribuição descreve completamente uma variável aleatória, mas na prática pode ser útil (e às vezes mais útil) conhecer apenas parte dela características numéricas .
Expectativa de uma variável aleatória discreta
Em termos simples, isso é valor médio esperado quando o teste é repetido muitas vezes. Deixe a variável aleatória assumir valores com probabilidades 
respectivamente. Então a expectativa matemática desta variável aleatória é igual a soma de produtos todos os seus valores às probabilidades correspondentes:
ou entrou em colapso: 
Vamos calcular, por exemplo, a expectativa matemática de uma variável aleatória - o número de pontos lançados em um dado:
Agora vamos lembrar nosso jogo hipotético: 
Surge a pergunta: é lucrativo jogar este jogo? ...quem tem alguma impressão? Então você não pode dizer isso “de improviso”! Mas esta questão pode ser facilmente respondida calculando a expectativa matemática, essencialmente - média ponderada por probabilidade de ganhar:
Assim, a expectativa matemática deste jogo perdendo.
Não confie nas suas impressões – confie nos números!
Sim, aqui você pode ganhar 10 ou até 20-30 vezes seguidas, mas no longo prazo, a ruína inevitável nos espera. E eu não aconselharia você a jogar esses jogos :) Bem, talvez apenas para se divertir.
De tudo o que foi dito acima, segue-se que a expectativa matemática não é mais um valor ALEATÓRIO.
Tarefa criativa para pesquisa independente:
Exemplo 4
O Sr. X joga roleta europeia usando o seguinte sistema: ele aposta constantemente 100 rublos no “vermelho”. Elabore uma lei de distribuição de uma variável aleatória - seus ganhos. Calcule a expectativa matemática de ganhos e arredonde-a para o copeque mais próximo. Quantos média O jogador perde por cada cem que aposta?
Referência : A roleta europeia contém 18 setores vermelhos, 18 pretos e 1 setor verde (“zero”). Se aparecer um “vermelho”, o jogador recebe o dobro da aposta, caso contrário, vai para o rendimento do casino
Existem muitos outros sistemas de roleta para os quais você pode criar suas próprias tabelas de probabilidades. Mas este é o caso quando não precisamos de quaisquer leis ou tabelas de distribuição, porque foi estabelecido com certeza que a expectativa matemática do jogador será exatamente a mesma. A única coisa que muda de sistema para sistema é
Cada valor individual é completamente determinado pela sua função de distribuição. Além disso, para resolver problemas práticos, basta conhecer diversas características numéricas, graças às quais é possível apresentar de forma abreviada as principais características de uma variável aleatória.
Essas quantidades incluem principalmente valor esperado E dispersão .
Valor esperado— o valor médio de uma variável aleatória na teoria das probabilidades. Denotado como .
Da maneira mais simples, a expectativa matemática de uma variável aleatória X(w), descubra como integranteLebesgue em relação à medida de probabilidade R original espaço de probabilidade
Você também pode encontrar a expectativa matemática de um valor como Integral de Lebesgue de X por distribuição de probabilidade R X quantidades X:
onde está o conjunto de todos os valores possíveis X.
Expectativa matemática de funções de uma variável aleatória X encontrado através da distribuição R X. Por exemplo, Se X- uma variável aleatória com valores em e f(x)- inequívoco do Borelfunção X , Que:
Se F(x)- função de distribuição X, então a expectativa matemática é representável integranteLebesgue - Stieltjes (ou Riemann - Stieltjes):
neste caso integrabilidade X Em termos de ( * ) corresponde à finitude da integral
Em casos específicos, se X tem uma distribuição discreta com valores prováveis x k, k = 1, 2, . , e probabilidades, então
Se X tem uma distribuição absolutamente contínua com densidade de probabilidade p(x), Que
neste caso, a existência de uma expectativa matemática equivale à convergência absoluta da série ou integral correspondente.
Propriedades da expectativa matemática de uma variável aleatória.
- A expectativa matemática de um valor constante é igual a este valor:
C- constante;
- M=C.M[X]
- A expectativa matemática da soma dos valores obtidos aleatoriamente é igual à soma de suas expectativas matemáticas:
- A expectativa matemática do produto de variáveis independentes tomadas aleatoriamente = o produto de suas expectativas matemáticas:
M=M[X]+M[Y]
Se X E S independente.
se a série converge:
Algoritmo para cálculo de expectativa matemática.
Propriedades de variáveis aleatórias discretas: todos os seus valores podem ser renumerados por números naturais; atribua a cada valor uma probabilidade diferente de zero.
1. Multiplique os pares um por um: XI sobre eu.
2. Some o produto de cada par x eu p eu.
Por exemplo, Para n = 4 :
Função de distribuição de uma variável aleatória discreta gradualmente, aumenta abruptamente nos pontos cujas probabilidades têm um sinal positivo.
Exemplo: Encontre a expectativa matemática usando a fórmula.
Expectativa é a distribuição de probabilidade de uma variável aleatória
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Expectativa matemática é a definição
Um dos conceitos mais importantes da estatística matemática e da teoria das probabilidades, caracterizando a distribuição de valores ou probabilidades de uma variável aleatória. Normalmente expresso como uma média ponderada de todos os parâmetros possíveis de uma variável aleatória. Amplamente utilizado na análise técnica, no estudo de séries numéricas e no estudo de processos contínuos e demorados. É importante na avaliação de riscos, na previsão de indicadores de preços ao negociar nos mercados financeiros e é utilizado no desenvolvimento de estratégias e métodos de táticas de jogo na teoria do jogo.
A expectativa matemática é o valor médio de uma variável aleatória, a distribuição de probabilidade de uma variável aleatória é considerada na teoria das probabilidades.
A expectativa matemática é uma medida do valor médio de uma variável aleatória na teoria das probabilidades. Expectativa de uma variável aleatória x denotado por M(x).
A expectativa matemática é
A expectativa matemática é na teoria da probabilidade, uma média ponderada de todos os valores possíveis que uma variável aleatória pode assumir.
A expectativa matemática é a soma dos produtos de todos os valores possíveis de uma variável aleatória e as probabilidades desses valores.
A expectativa matemática é o benefício médio de uma determinada decisão, desde que tal decisão possa ser considerada no âmbito da teoria dos grandes números e da longa distância.
A expectativa matemática é na teoria do jogo, a quantidade de ganhos que um jogador pode ganhar ou perder, em média, para cada aposta. Na linguagem do jogo, isso às vezes é chamado de “vantagem do jogador” (se for positiva para o jogador) ou “vantagem da casa” (se for negativa para o jogador).
A expectativa matemática é a porcentagem de lucro por vitória multiplicada pelo lucro médio, menos a probabilidade de perda multiplicada pela perda média.
Expectativa matemática de uma variável aleatória na teoria matemática
Uma das características numéricas importantes de uma variável aleatória é sua expectativa matemática. Vamos introduzir o conceito de sistema de variáveis aleatórias. Vamos considerar um conjunto de variáveis aleatórias que são resultados do mesmo experimento aleatório. Se for um dos valores possíveis do sistema, então o evento corresponde a uma certa probabilidade que satisfaz os axiomas de Kolmogorov. Uma função definida para quaisquer valores possíveis de variáveis aleatórias é chamada de lei de distribuição conjunta. Esta função permite calcular as probabilidades de quaisquer eventos. Em particular, a lei de distribuição conjunta de variáveis aleatórias e, que tomam valores do conjunto e, é dada por probabilidades.
O termo “expectativa matemática” foi introduzido por Pierre Simon Marquis de Laplace (1795) e vem do conceito de “valor esperado dos ganhos”, que apareceu pela primeira vez no século XVII na teoria do jogo nas obras de Blaise Pascal e Christiaan Huygens. No entanto, a primeira compreensão e avaliação teórica completa deste conceito foi dada por Pafnuty Lvovich Chebyshev (meados do século XIX).
A lei de distribuição de variáveis numéricas aleatórias (função de distribuição e série de distribuição ou densidade de probabilidade) descreve completamente o comportamento de uma variável aleatória. Mas em vários problemas basta conhecer algumas características numéricas da grandeza em estudo (por exemplo, o seu valor médio e possível desvio dele) para responder à questão colocada. As principais características numéricas das variáveis aleatórias são a expectativa matemática, a variância, a moda e a mediana.
A expectativa matemática de uma variável aleatória discreta é a soma dos produtos de seus valores possíveis e suas probabilidades correspondentes. Às vezes, a expectativa matemática é chamada de média ponderada, pois é aproximadamente igual à média aritmética dos valores observados de uma variável aleatória em um grande número de experimentos. Da definição de expectativa matemática segue-se que seu valor não é inferior ao menor valor possível de uma variável aleatória e não superior ao maior. A expectativa matemática de uma variável aleatória é uma variável não aleatória (constante).
A expectativa matemática tem um significado físico simples: se você colocar uma massa unitária em uma linha reta, colocando uma certa massa em alguns pontos (para uma distribuição discreta), ou “manchando-a” com uma certa densidade (para uma distribuição absolutamente contínua) , então o ponto correspondente à expectativa matemática será a coordenada "centro de gravidade" é reta.
O valor médio de uma variável aleatória é um certo número que é, por assim dizer, seu “representante” e o substitui em cálculos aproximadamente aproximados. Quando dizemos: “o tempo médio de operação da lâmpada é de 100 horas” ou “o ponto médio de impacto é deslocado em relação ao alvo em 2 m para a direita”, estamos indicando uma certa característica numérica de uma variável aleatória que descreve sua localização no eixo numérico, ou seja, "características de posição".
Das características de uma posição na teoria das probabilidades, o papel mais importante é desempenhado pela expectativa matemática de uma variável aleatória, que às vezes é chamada simplesmente de valor médio de uma variável aleatória.
Considere a variável aleatória X, tendo valores possíveis x1, x2,…, xn com probabilidades p1, p2,…, pn. Precisamos caracterizar com algum número a posição dos valores de uma variável aleatória no eixo x, levando em consideração o fato de que esses valores possuem probabilidades diferentes. Para tanto, é natural utilizar a chamada “média ponderada” dos valores XI, e cada valor xi durante o cálculo da média deve ser levado em consideração com um “peso” proporcional à probabilidade desse valor. Assim, calcularemos a média da variável aleatória X, que denotamos M |X|:
Essa média ponderada é chamada de expectativa matemática da variável aleatória. Assim, levamos em consideração um dos conceitos mais importantes da teoria das probabilidades - o conceito de expectativa matemática. A expectativa matemática de uma variável aleatória é a soma dos produtos de todos os valores possíveis de uma variável aleatória e as probabilidades desses valores.
X está ligado por uma espécie de dependência com a média aritmética dos valores observados da variável aleatória em um grande número de experimentos. Esta dependência é do mesmo tipo que a dependência entre frequência e probabilidade, a saber: com um grande número de experimentos, a média aritmética dos valores observados de uma variável aleatória aproxima-se (converge em probabilidade) à sua expectativa matemática. Da presença de uma ligação entre frequência e probabilidade, pode-se deduzir como consequência a presença de uma ligação semelhante entre a média aritmética e a expectativa matemática. Na verdade, considere a variável aleatória X, caracterizado por uma série de distribuição:
Deixe ser produzido N experimentos independentes, em cada um dos quais o valor X assume um determinado valor. Suponhamos que o valor x1 apareceu m1 vezes, valor x2 apareceu m2 vezes, significado geral XI apareceu mi vezes. Calculemos a média aritmética dos valores observados do valor X, que, ao contrário da expectativa matemática M|X| nós denotamos M*|X|:
Com o aumento do número de experimentos N frequências pi se aproximará (convergirá em probabilidade) das probabilidades correspondentes. Consequentemente, a média aritmética dos valores observados da variável aleatória M|X| com o aumento do número de experimentos, ele se aproximará (convergirá em probabilidade) de sua expectativa matemática. A conexão entre a média aritmética e a expectativa matemática formulada acima constitui o conteúdo de uma das formas da lei dos grandes números.
Já sabemos que todas as formas da lei dos grandes números afirmam o facto de que algumas médias são estáveis ao longo de um grande número de experiências. Aqui estamos falando sobre a estabilidade da média aritmética de uma série de observações da mesma quantidade. Com um pequeno número de experimentos, a média aritmética de seus resultados é aleatória; com um aumento suficiente no número de experimentos, torna-se “quase não aleatório” e, estabilizando-se, aproxima-se de um valor constante - a expectativa matemática.
A estabilidade das médias em um grande número de experimentos pode ser facilmente verificada experimentalmente. Por exemplo, ao pesar um corpo em laboratório em balanças precisas, como resultado da pesagem obtemos um novo valor a cada vez; Para reduzir o erro de observação, pesamos o corpo várias vezes e utilizamos a média aritmética dos valores obtidos. É fácil perceber que com um novo aumento no número de experimentos (pesagens), a média aritmética reage cada vez menos a esse aumento e, com um número suficientemente grande de experimentos, praticamente deixa de mudar.
Deve-se notar que a característica mais importante da posição de uma variável aleatória – a expectativa matemática – não existe para todas as variáveis aleatórias. É possível compor exemplos de tais variáveis aleatórias para as quais não existe expectativa matemática, uma vez que a soma ou integral correspondente diverge. No entanto, tais casos não são de interesse significativo para a prática. Normalmente, as variáveis aleatórias com as quais lidamos têm uma gama limitada de valores possíveis e, claro, possuem uma expectativa matemática.
Além das características mais importantes da posição de uma variável aleatória - a expectativa matemática - na prática, outras características da posição são por vezes utilizadas, em particular, a moda e a mediana da variável aleatória.
A moda de uma variável aleatória é o seu valor mais provável. O termo “valor mais provável”, estritamente falando, aplica-se apenas a quantidades descontínuas; para uma quantidade contínua, a moda é o valor no qual a densidade de probabilidade é máxima. As figuras mostram a moda para variáveis aleatórias descontínuas e contínuas, respectivamente.
Se o polígono de distribuição (curva de distribuição) tiver mais de um máximo, a distribuição é chamada de “multimodal”.
Às vezes, há distribuições que têm um mínimo no meio, em vez de um máximo. Tais distribuições são chamadas de “antimodais”.
No caso geral, a moda e a expectativa matemática de uma variável aleatória não coincidem. No caso particular, quando a distribuição é simétrica e modal (ou seja, tem uma moda) e há uma expectativa matemática, então ela coincide com a moda e o centro de simetria da distribuição.
Outra característica de posição é frequentemente usada - a chamada mediana de uma variável aleatória. Essa característica geralmente é usada apenas para variáveis aleatórias contínuas, embora possa ser definida formalmente para uma variável descontínua. Geometricamente, a mediana é a abcissa do ponto em que a área delimitada pela curva de distribuição é dividida ao meio.
No caso de uma distribuição modal simétrica, a mediana coincide com a expectativa matemática e a moda.
A expectativa matemática é o valor médio de uma variável aleatória - uma característica numérica da distribuição de probabilidade de uma variável aleatória. De maneira mais geral, a expectativa matemática de uma variável aleatória X(w)é definido como a integral de Lebesgue em relação à medida de probabilidade R no espaço de probabilidade original:
A expectativa matemática também pode ser calculada como a integral de Lebesgue de X por distribuição de probabilidade pixels quantidades X:
O conceito de variável aleatória com expectativa matemática infinita pode ser definido de forma natural. Um exemplo típico são os tempos de retorno de alguns passeios aleatórios.
Usando a expectativa matemática, muitas características numéricas e funcionais de uma distribuição são determinadas (como a expectativa matemática das funções correspondentes de uma variável aleatória), por exemplo, a função geradora, função característica, momentos de qualquer ordem, em particular dispersão, covariância .
A expectativa matemática é uma característica da localização dos valores de uma variável aleatória (o valor médio de sua distribuição). Nesta capacidade, a expectativa matemática serve como algum parâmetro de distribuição “típico” e seu papel é semelhante ao papel do momento estático – a coordenada do centro de gravidade da distribuição de massa – na mecânica. De outras características do local com o qual a distribuição é descrita em termos gerais - medianas, modos, a expectativa matemática difere no maior valor que ela e a característica de dispersão correspondente - dispersão - têm nos teoremas limites da teoria das probabilidades. O significado da expectativa matemática é revelado mais plenamente pela lei dos grandes números (desigualdade de Chebyshev) e pela lei reforçada dos grandes números.
Expectativa de uma variável aleatória discreta
Que haja alguma variável aleatória que possa assumir um de vários valores numéricos (por exemplo, o número de pontos ao lançar um dado pode ser 1, 2, 3, 4, 5 ou 6). Muitas vezes, na prática, para tal valor, surge a pergunta: que valor leva “em média” com um grande número de testes? Qual será o nosso rendimento (ou perda) médio de cada uma das transações de risco?
Digamos que haja algum tipo de loteria. Queremos entender se é lucrativo ou não participar (ou mesmo participar repetidamente, regularmente). Digamos que cada quarto bilhete seja vencedor, o prêmio será de 300 rublos e o preço de qualquer bilhete será de 100 rublos. Com um número infinitamente grande de participações, é isso que acontece. Em três quartos dos casos perderemos, cada três perdas custará 300 rublos. Em cada quarto caso ganharemos 200 rublos. (prêmio menos custo), ou seja, por quatro participações perdemos em média 100 rublos, por uma - em média 25 rublos. No total, a taxa média de nossa ruína será de 25 rublos por ingresso.
Jogamos os dados. Se não for trapaça (sem mudar o centro de gravidade, etc.), então quantos pontos teremos em média por vez? Como cada opção é igualmente provável, simplesmente pegamos a média aritmética e obtemos 3,5. Como este é MÉDIO, não há necessidade de ficar indignado porque nenhum lançamento específico dará 3,5 pontos - bem, este cubo não tem face com esse número!
Agora vamos resumir nossos exemplos:
Vejamos a imagem que acabamos de fornecer. À esquerda está uma tabela de distribuição de uma variável aleatória. O valor X pode assumir um dos n valores possíveis (mostrados na linha superior). Não pode haver outros significados. Sob cada valor possível, sua probabilidade está escrita abaixo. À direita está a fórmula, onde M(X) é chamada de expectativa matemática. O significado deste valor é que com um grande número de testes (com uma amostra grande), o valor médio tenderá a esta mesma expectativa matemática.
Voltemos novamente ao mesmo cubo de jogo. A expectativa matemática do número de pontos ao lançar é 3,5 (calcule você mesmo usando a fórmula se não acredita em mim). Digamos que você jogou algumas vezes. Os resultados foram 4 e 6. A média foi 5, o que está longe de 3,5. Eles jogaram mais uma vez e obtiveram 3, ou seja, em média (4 + 6 + 3)/3 = 4,3333... Um tanto longe da expectativa matemática. Agora faça uma experiência maluca - role o cubo 1000 vezes! E mesmo que a média não seja exatamente 3,5, será próxima disso.
Vamos calcular a expectativa matemática para a loteria descrita acima. A placa ficará assim:
Então a expectativa matemática será, conforme estabelecemos acima:
Outra coisa é que fazer “nos dedos”, sem fórmula, seria difícil se houvesse mais opções. Bem, digamos que haveria 75% de bilhetes perdidos, 20% de bilhetes vencedores e 5% especialmente de bilhetes vencedores.
Agora algumas propriedades da expectativa matemática.
É fácil provar:
O fator constante pode ser retirado como sinal da expectativa matemática, ou seja:
Este é um caso especial da propriedade de linearidade da expectativa matemática.
Outra consequência da linearidade da expectativa matemática:
isto é, a expectativa matemática da soma das variáveis aleatórias é igual à soma das expectativas matemáticas das variáveis aleatórias.
Sejam X, Y variáveis aleatórias independentes, Então:
Isso também é fácil de provar) Trabalho XY em si é uma variável aleatória, e se os valores iniciais pudessem assumir n E eu valores respectivamente, então XY pode assumir valores nm. A probabilidade de cada valor é calculada com base no fato de que as probabilidades de eventos independentes são multiplicadas. Como resultado, obtemos isto:
Expectativa de uma variável aleatória contínua
Variáveis aleatórias contínuas têm uma característica como densidade de distribuição (densidade de probabilidade). Caracteriza essencialmente a situação em que uma variável aleatória assume alguns valores do conjunto de números reais com mais frequência e outros com menos frequência. Por exemplo, considere este gráfico:
Aqui X- variável aleatória real, f(x)- densidade de distribuição. A julgar por este gráfico, durante os experimentos o valor X geralmente será um número próximo de zero. As chances são excedidas 3 ou ser menor -3 bastante puramente teórico.
Deixe, por exemplo, haver uma distribuição uniforme:
Isso é bastante consistente com a compreensão intuitiva. Digamos que, se recebermos muitos números reais aleatórios com uma distribuição uniforme, cada um dos segmentos |0; 1| , então a média aritmética deve ser cerca de 0,5.
As propriedades de expectativa matemática - linearidade, etc., aplicáveis a variáveis aleatórias discretas, também são aplicáveis aqui.
Relação entre expectativa matemática e outros indicadores estatísticos
Na análise estatística, juntamente com a expectativa matemática, existe um sistema de indicadores interdependentes que refletem a homogeneidade dos fenômenos e a estabilidade dos processos. Os indicadores de variação muitas vezes não têm significado independente e são usados para análise posterior de dados. A exceção é o coeficiente de variação, que caracteriza a homogeneidade dos dados, sendo uma característica estatística valiosa.
O grau de variabilidade ou estabilidade dos processos na ciência estatística pode ser medido através de vários indicadores.
O indicador mais importante que caracteriza a variabilidade de uma variável aleatória é Dispersão, que está mais próxima e diretamente relacionada à expectativa matemática. Este parâmetro é usado ativamente em outros tipos de análise estatística (teste de hipóteses, análise de relações de causa e efeito, etc.). Tal como o desvio linear médio, a variância também reflete a extensão da dispersão dos dados em torno do valor médio.
É útil traduzir a linguagem dos sinais para a linguagem das palavras. Acontece que a dispersão é o quadrado médio dos desvios. Ou seja, o valor médio é calculado primeiro, depois a diferença entre cada valor original e médio é tomada, elevada ao quadrado, somada e depois dividida pelo número de valores na população. A diferença entre um valor individual e a média reflete a medida do desvio. É elevado ao quadrado para que todos os desvios se tornem números exclusivamente positivos e para evitar a destruição mútua de desvios positivos e negativos ao resumi-los. Então, dados os desvios quadrados, simplesmente calculamos a média aritmética. Média - quadrado - desvios. Os desvios são elevados ao quadrado e a média é calculada. A resposta à palavra mágica “dispersão” reside em apenas três palavras.
Porém, em sua forma pura, como a média aritmética, ou índice, a dispersão não é utilizada. É antes um indicador auxiliar e intermediário que é utilizado para outros tipos de análise estatística. Nem sequer tem uma unidade de medida normal. A julgar pela fórmula, este é o quadrado da unidade de medida dos dados originais.
Vamos medir uma variável aleatória N vezes, por exemplo, medimos a velocidade do vento dez vezes e queremos encontrar o valor médio. Como o valor médio está relacionado à função de distribuição?
Ou lançaremos os dados um grande número de vezes. O número de pontos que aparecerão nos dados a cada lançamento é uma variável aleatória e pode assumir qualquer valor natural de 1 a 6. A média aritmética dos pontos perdidos calculada para todos os lançamentos de dados também é uma variável aleatória, mas para grandes N tende para um número muito específico - expectativa matemática MX. Neste caso Mx = 3,5.
Como você conseguiu esse valor? Deixe entrar N testes n1 depois de conseguir 1 ponto, n2 uma vez - 2 pontos e assim por diante. Então o número de resultados em que um ponto caiu:
Da mesma forma para resultados quando 2, 3, 4, 5 e 6 pontos são lançados.
Suponhamos agora que conhecemos a lei de distribuição da variável aleatória x, ou seja, sabemos que a variável aleatória x pode assumir valores x1, x2, ..., xk com probabilidades p1, p2, ..., ok.
A expectativa matemática Mx de uma variável aleatória x é igual a:
A expectativa matemática nem sempre é uma estimativa razoável de alguma variável aleatória. Assim, para estimar o salário médio, é mais razoável utilizar o conceito de mediana, ou seja, um valor tal que coincida o número de pessoas que recebem um salário inferior à mediana e um maior.
A probabilidade p1 de que a variável aleatória x seja menor que x1/2 e a probabilidade p2 de que a variável aleatória x seja maior que x1/2 são iguais e iguais a 1/2. A mediana não é determinada exclusivamente para todas as distribuições.
Padrão ou Desvio Padrão nas estatísticas, é chamado o grau de desvio dos dados ou conjuntos observacionais do valor MÉDIO. Denotado pelas letras s ou s. Um pequeno desvio padrão indica que os dados estão agrupados em torno da média, enquanto um grande desvio padrão indica que os dados iniciais estão localizados longe dela. O desvio padrão é igual à raiz quadrada de uma quantidade chamada variância. É a média da soma dos quadrados das diferenças dos dados iniciais que se desviam do valor médio. O desvio padrão de uma variável aleatória é a raiz quadrada da variância:
Exemplo. Sob condições de teste ao atirar em um alvo, calcule a dispersão e o desvio padrão da variável aleatória:
Variação- flutuação, variabilidade do valor de uma característica entre unidades da população. Os valores numéricos individuais de uma característica encontrada na população em estudo são chamados de variantes de valores. A insuficiência do valor médio para caracterizar plenamente a população obriga-nos a complementar os valores médios com indicadores que nos permitam avaliar a tipicidade dessas médias medindo a variabilidade (variação) da característica em estudo. O coeficiente de variação é calculado usando a fórmula:
Faixa de variação(R) representa a diferença entre os valores máximo e mínimo do atributo na população em estudo. Este indicador dá a ideia mais geral da variabilidade da característica em estudo, pois mostra a diferença apenas entre os valores máximos das opções. A dependência dos valores extremos de uma característica confere ao escopo de variação um caráter instável e aleatório.
Desvio linear médio representa a média aritmética dos desvios absolutos (módulo) de todos os valores da população analisada em relação ao seu valor médio:
Expectativa matemática na teoria do jogo
A expectativa matemática é A quantia média de dinheiro que um jogador pode ganhar ou perder em uma determinada aposta. Este é um conceito muito importante para o jogador porque é fundamental para a avaliação da maioria das situações de jogo. A expectativa matemática também é a ferramenta ideal para analisar layouts básicos de cartas e situações de jogo.
Digamos que você esteja jogando um jogo de moedas com um amigo, apostando igualmente $ 1 de cada vez, não importa o que aconteça. Coroa significa que você ganha, cara significa que você perde. As probabilidades são de uma para uma de dar cara, então você aposta $1 a $1. Assim, sua expectativa matemática é zero, porque Do ponto de vista matemático, você não pode saber se vai liderar ou perder depois de dois lances ou depois de 200.
Seu ganho por hora é zero. Os ganhos por hora são a quantidade de dinheiro que você espera ganhar em uma hora. Você pode jogar uma moeda 500 vezes em uma hora, mas não ganhará nem perderá porque... suas chances não são positivas nem negativas. Se você olhar do ponto de vista de um jogador sério, esse sistema de apostas não é ruim. Mas isso é simplesmente uma perda de tempo.
Mas digamos que alguém queira apostar $2 contra os seus $1 no mesmo jogo. Então você imediatamente tem uma expectativa positiva de 50 centavos de cada aposta. Por que 50 centavos? Em média, você ganha uma aposta e perde a segunda. Aposte o primeiro dólar e você perderá $ 1, aposte o segundo e ganhará $ 2. Você aposta $1 duas vezes e ganha $1. Portanto, cada uma de suas apostas de um dólar rendeu 50 centavos.
Se uma moeda aparecer 500 vezes em uma hora, seus ganhos por hora já serão de US$ 250, porque... Em média, você perdeu um dólar 250 vezes e ganhou dois dólares 250 vezes. $500 menos $250 equivalem a $250, que é o total de ganhos. Observe que o valor esperado, que é o valor médio que você ganha por aposta, é de 50 centavos. Você ganhou $ 250 apostando um dólar 500 vezes, o que equivale a 50 centavos por aposta.
A expectativa matemática não tem nada a ver com resultados de curto prazo. Seu oponente, que decidiu apostar $ 2 contra você, poderia vencê-lo nas primeiras dez jogadas consecutivas, mas você, tendo uma vantagem de aposta de 2 para 1, todas as outras coisas sendo iguais, ganhará 50 centavos em cada $ 1 apostado em qualquer circunstâncias. Não faz diferença se você ganha ou perde uma aposta ou várias apostas, desde que tenha dinheiro suficiente para cobrir confortavelmente os custos. Se continuar a apostar da mesma forma, durante um longo período de tempo os seus ganhos aproximar-se-ão da soma das expectativas em lances individuais.
Cada vez que você faz uma melhor aposta (uma aposta que pode ser lucrativa no longo prazo), quando as probabilidades estão a seu favor, você certamente ganhará algo nela, não importa se você perde ou não no jogo. dada mão. Por outro lado, se você fizer uma aposta underdog (uma aposta que não é lucrativa no longo prazo) quando as probabilidades estão contra você, você perde algo, independentemente de ganhar ou perder a mão.
Você faz uma aposta com o melhor resultado se sua expectativa for positiva, e ela será positiva se as probabilidades estiverem do seu lado. Quando você faz uma aposta com o pior resultado, você tem uma expectativa negativa, o que acontece quando as probabilidades estão contra você. Jogadores sérios apostam apenas no melhor resultado; se o pior acontecer, eles desistem. O que as probabilidades significam a seu favor? Você pode acabar ganhando mais do que as probabilidades reais trazem. As probabilidades reais de acertar cara são de 1 para 1, mas você obtém 2 para 1 devido à proporção de probabilidades. Neste caso, as probabilidades estão a seu favor. Definitivamente, você obtém o melhor resultado com uma expectativa positiva de 50 centavos por aposta.
Aqui está um exemplo mais complexo de expectativa matemática. Um amigo anota números de um a cinco e aposta US$ 5 contra seu US$ 1 que você não adivinhará o número. Você deveria concordar com tal aposta? Qual é a expectativa aqui?
Em média você estará errado quatro vezes. Com base nisso, as chances de você adivinhar o número são de 4 para 1. As chances de você perder um dólar em uma tentativa. Porém, você ganha 5 a 1, com possibilidade de perder 4 a 1. Então as probabilidades estão a seu favor, você pode aceitar a aposta e torcer pelo melhor resultado. Se você fizer essa aposta cinco vezes, em média perderá US$ 1 quatro vezes e ganhará US$ 5 uma vez. Com base nisso, para todas as cinco tentativas você ganhará US$ 1 com uma expectativa matemática positiva de 20 centavos por aposta.
Um jogador que vai ganhar mais do que aposta, como no exemplo acima, está se arriscando. Pelo contrário, ele arruína as suas chances quando espera ganhar menos do que aposta. Um apostador pode ter uma expectativa positiva ou negativa, o que depende se ele ganha ou estraga as probabilidades.
Se você apostar $50 para ganhar $10 com uma chance de ganhar de 4 para 1, você terá uma expectativa negativa de $2 porque Em média, você ganhará US$ 10 quatro vezes e perderá US$ 50 uma vez, o que mostra que a perda por aposta será de US$ 10. Mas se você apostar $30 para ganhar $10, com as mesmas chances de ganhar 4 para 1, então neste caso você terá uma expectativa positiva de $2, porque você novamente ganha $ 10 quatro vezes e perde $ 30 uma vez, com um lucro de $ 10. Estes exemplos mostram que a primeira aposta é má e a segunda é boa.
A expectativa matemática é o centro de qualquer situação de jogo. Quando uma casa de apostas incentiva os torcedores de futebol a apostarem US$ 11 para ganhar US$ 10, ele tem uma expectativa positiva de 50 centavos por cada US$ 10. Se o casino pagar o mesmo dinheiro da linha de passe no jogo de dados, então a expectativa positiva do casino será de aproximadamente $1,40 por cada $100, porque Este jogo está estruturado para que quem aposta nesta linha perca em média 50,7% e ganhe 49,3% do tempo total. Sem dúvida, é esta expectativa positiva aparentemente mínima que traz enormes lucros aos proprietários de casinos em todo o mundo. Como observou Bob Stupak, proprietário do cassino Vegas World, “um milésimo de um por cento de probabilidade negativa em uma distância longa o suficiente arruinará o homem mais rico do mundo”.
Expectativa ao jogar Poker
O jogo de Poker é o exemplo mais ilustrativo e ilustrativo do ponto de vista da utilização da teoria e das propriedades da expectativa matemática.
O Valor Esperado no Poker é o benefício médio de uma determinada decisão, desde que tal decisão possa ser considerada dentro da estrutura da teoria dos grandes números e da longa distância. Um jogo de pôquer de sucesso é sempre aceitar movimentos com valor esperado positivo.
O significado matemático da expectativa matemática ao jogar pôquer é que frequentemente encontramos variáveis aleatórias ao tomar decisões (não sabemos quais cartas o oponente tem em mãos, quais cartas virão nas rodadas de apostas subsequentes). Devemos considerar cada uma das soluções do ponto de vista da teoria dos grandes números, que afirma que, com uma amostra suficientemente grande, o valor médio de uma variável aleatória tenderá à sua expectativa matemática.
Entre as fórmulas específicas para calcular a expectativa matemática, a seguinte é a mais aplicável no pôquer:
Ao jogar pôquer, o valor esperado pode ser calculado tanto para apostas quanto para chamadas. No primeiro caso, deve-se levar em conta o fold equity e, no segundo, as próprias odds do banco. Ao avaliar a expectativa matemática de um determinado movimento, você deve lembrar que um fold sempre tem uma expectativa zero. Assim, descartar cartas será sempre uma decisão mais lucrativa do que qualquer movimento negativo.
A expectativa informa o que você pode esperar (lucro ou perda) para cada dólar arriscado. Os casinos ganham dinheiro porque a expectativa matemática de todos os jogos neles jogados é a favor do casino. Com uma série de jogos suficientemente longa, pode esperar que o cliente perca o seu dinheiro, uma vez que as “probabilidades” estão a favor do casino. No entanto, os jogadores profissionais de casino limitam os seus jogos a curtos períodos de tempo, acumulando assim as probabilidades a seu favor. O mesmo vale para investir. Se a sua expectativa for positiva, você poderá ganhar mais dinheiro realizando muitas negociações em um curto período de tempo. A expectativa é a sua porcentagem de lucro por vitória multiplicada pelo seu lucro médio, menos a sua probabilidade de perda multiplicada pela sua perda média.
O pôquer também pode ser considerado do ponto de vista da expectativa matemática. Você pode presumir que um determinado movimento é lucrativo, mas em alguns casos pode não ser o melhor porque outro movimento é mais lucrativo. Digamos que você acertou um full house no pôquer de cinco cartas. Seu oponente faz uma aposta. Você sabe que se aumentar a aposta, ele responderá. Portanto, aumentar parece ser a melhor tática. Mas se você aumentar a aposta, os dois jogadores restantes irão definitivamente desistir. Mas se você pagar, você tem total confiança de que os outros dois jogadores atrás de você farão o mesmo. Quando você aumenta sua aposta, você ganha uma unidade, e quando você paga, você ganha duas. Assim, pagar oferece um valor esperado positivo mais alto e será a melhor tática.
A expectativa matemática também pode dar uma ideia de quais táticas de pôquer são menos lucrativas e quais são mais lucrativas. Por exemplo, se você jogar uma determinada mão e achar que sua perda será em média de 75 centavos incluindo o ante, então você deve jogar essa mão porque isso é melhor do que desistir quando a aposta é de $1.
Outra razão importante para entender o conceito de valor esperado é que ele lhe dá uma sensação de tranquilidade, quer você ganhe ou não a aposta: se você fez uma boa aposta ou desistiu no momento certo, você saberá que ganhou ou não. economizou uma certa quantia de dinheiro que o jogador mais fraco não conseguiu economizar. É muito mais difícil desistir se você estiver chateado porque seu oponente comprou uma mão mais forte. Com tudo isso, o dinheiro que você economiza por não jogar em vez de apostar é adicionado aos seus ganhos da noite ou do mês.
Basta lembrar que se você mudasse de mão, seu oponente teria pago e, como você verá no artigo do Teorema Fundamental do Poker, esta é apenas uma de suas vantagens. Você deveria ficar feliz quando isso acontecer. Você pode até aprender a gostar de perder uma mão porque sabe que outros jogadores na sua posição teriam perdido muito mais.
Conforme mencionado no exemplo do jogo de moedas no início, a taxa horária de lucro está inter-relacionada com a expectativa matemática, e este conceito é especialmente importante para jogadores profissionais. Quando for jogar pôquer, você deve estimar mentalmente quanto pode ganhar em uma hora de jogo. Na maioria dos casos, você precisará confiar na sua intuição e experiência, mas também pode usar um pouco de matemática. Por exemplo, você está jogando draw lowball e vê três jogadores apostarem US$ 10 e depois trocarem duas cartas, o que é uma tática muito ruim. Você pode descobrir que cada vez que eles apostam US$ 10, eles perdem cerca de US$ 2. Cada um deles faz isso oito vezes por hora, o que significa que todos os três perdem aproximadamente US$ 48 por hora. Você é um dos quatro jogadores restantes que são aproximadamente iguais, então esses quatro jogadores (e você entre eles) devem dividir $48, cada um obtendo um lucro de $12 por hora. As suas probabilidades horárias, neste caso, são simplesmente iguais à sua parte da quantidade de dinheiro perdida por três maus jogadores numa hora.
Durante um longo período de tempo, os ganhos totais do jogador são a soma das suas expectativas matemáticas em mãos individuais. Quanto mais mãos você joga com expectativa positiva, mais você ganha e, inversamente, quanto mais mãos você joga com expectativa negativa, mais você perde. Como resultado, você deve escolher um jogo que possa maximizar sua antecipação positiva ou negar sua antecipação negativa para que possa maximizar seus ganhos por hora.
Expectativa matemática positiva na estratégia de jogos
Se você sabe contar cartas, pode ter vantagem sobre o cassino, desde que eles não percebam e expulsem você. Os cassinos adoram jogadores bêbados e não toleram jogadores que contam cartas. Uma vantagem permitirá que você ganhe mais vezes do que perca ao longo do tempo. Uma boa gestão de dinheiro usando cálculos de valor esperado pode ajudá-lo a extrair mais lucro de sua vantagem e reduzir suas perdas. Sem vantagem, é melhor doar o dinheiro para instituições de caridade. No jogo em bolsa, a vantagem é dada pelo sistema de jogo, que gera lucros maiores que perdas, diferenças de preços e comissões. Nenhuma quantidade de gerenciamento de dinheiro pode salvar um sistema de jogo ruim.
Uma expectativa positiva é definida como um valor maior que zero. Quanto maior for este número, mais forte será a expectativa estatística. Se o valor for menor que zero, a expectativa matemática também será negativa. Quanto maior for o módulo do valor negativo, pior será a situação. Se o resultado for zero, a espera é o ponto de equilíbrio. Você só pode vencer quando tiver uma expectativa matemática positiva e um sistema de jogo razoável. Jogar pela intuição leva ao desastre.
Expectativa matemática e negociação de ações
A expectativa matemática é um indicador estatístico bastante utilizado e popular na realização de negociações de câmbio nos mercados financeiros. Em primeiro lugar, este parâmetro é utilizado para analisar o sucesso da negociação. Não é difícil adivinhar que quanto maior for este valor, mais razões para considerar o comércio em estudo um sucesso. É claro que a análise do trabalho de um trader não pode ser realizada utilizando apenas este parâmetro. No entanto, o valor calculado, em combinação com outros métodos de avaliação da qualidade do trabalho, pode aumentar significativamente a precisão da análise.
A expectativa matemática é frequentemente calculada em serviços de monitoramento de contas de negociação, o que permite avaliar rapidamente o trabalho realizado no depósito. As exceções incluem estratégias que utilizam negociações não lucrativas de “ficar de fora”. Um trader pode ter sorte por algum tempo e, portanto, pode não haver nenhuma perda em seu trabalho. Neste caso, não será possível guiar-se apenas pela expectativa matemática, pois os riscos utilizados na obra não serão levados em consideração.
Na negociação de mercado, a expectativa matemática é mais frequentemente utilizada ao prever a rentabilidade de qualquer estratégia de negociação ou ao prever o rendimento de um trader com base em dados estatísticos das suas negociações anteriores.
No que diz respeito à gestão do dinheiro, é muito importante compreender que, ao realizar negociações com expectativas negativas, não existe um esquema de gestão do dinheiro que possa definitivamente trazer lucros elevados. Se você continuar a jogar no mercado de ações sob essas condições, independentemente de como você administra seu dinheiro, você perderá toda a sua conta, não importa quão grande ela seja no início.
Este axioma é verdadeiro não apenas para jogos ou negociações com expectativa negativa, mas também para jogos com chances iguais. Portanto, o único momento em que você tem chance de lucrar no longo prazo é se realizar negociações com valor esperado positivo.
A diferença entre expectativa negativa e expectativa positiva é a diferença entre vida e morte. Não importa quão positiva ou negativa seja a expectativa; O que importa é se é positivo ou negativo. Portanto, antes de considerar a gestão do dinheiro, você deve encontrar um jogo com expectativa positiva.
Se você não tiver esse jogo, todo o gerenciamento de dinheiro do mundo não o salvará. Por outro lado, se tiver uma expectativa positiva, poderá, através de uma gestão adequada do dinheiro, transformá-la numa função de crescimento exponencial. Não importa quão pequena seja a expectativa positiva! Em outras palavras, não importa quão lucrativo seja um sistema de negociação baseado em um único contrato. Se você tem um sistema que ganha US$ 10 por contrato por negociação (após comissões e derrapagens), você pode usar técnicas de gerenciamento de dinheiro para torná-lo mais lucrativo do que um sistema que ganha em média US$ 1.000 por negociação (após dedução de comissões e derrapagens).
O que importa não é quão lucrativo o sistema foi, mas até que ponto se pode dizer que o sistema apresentará pelo menos um lucro mínimo no futuro. Portanto, a preparação mais importante que um trader pode fazer é garantir que o sistema apresentará um valor esperado positivo no futuro.
Para ter um valor esperado positivo no futuro, é muito importante não limitar os graus de liberdade do seu sistema. Isto é conseguido não apenas eliminando ou reduzindo o número de parâmetros a serem otimizados, mas também reduzindo o maior número possível de regras do sistema. Cada parâmetro que você adiciona, cada regra que você cria, cada pequena alteração que você faz no sistema reduz o número de graus de liberdade. Idealmente, você precisa construir um sistema bastante primitivo e simples que gere consistentemente pequenos lucros em quase todos os mercados. Novamente, é importante que você entenda que não importa quão lucrativo seja o sistema, desde que seja lucrativo. O dinheiro que você ganha negociando será obtido por meio de uma gestão de dinheiro eficaz.
Um sistema de negociação é simplesmente uma ferramenta que fornece um valor esperado positivo para que você possa usar o gerenciamento de dinheiro. Os sistemas que funcionam (apresentam pelo menos lucros mínimos) em apenas um ou alguns mercados, ou que têm regras ou parâmetros diferentes para mercados diferentes, muito provavelmente não funcionarão em tempo real durante tempo suficiente. O problema com a maioria dos traders com orientação técnica é que eles gastam muito tempo e esforço otimizando as várias regras e valores de parâmetros do sistema de negociação. Isto dá resultados completamente opostos. Em vez de desperdiçar energia e tempo de computador aumentando os lucros do sistema de negociação, direcione sua energia para aumentar o nível de confiabilidade na obtenção de um lucro mínimo.
Sabendo que a gestão do dinheiro é apenas um jogo de números que requer o uso de expectativas positivas, um trader pode parar de procurar o “Santo Graal” da negociação de ações. Em vez disso, ele pode começar a testar seu método de negociação, descobrir quão lógico é esse método e se ele gera expectativas positivas. Métodos adequados de gerenciamento de dinheiro, aplicados a qualquer método de negociação, mesmo os muito medíocres, farão o resto do trabalho sozinhos.
Para que qualquer trader tenha sucesso em seu trabalho, ele precisa resolver três tarefas mais importantes: . Garantir que o número de transações bem-sucedidas exceda os inevitáveis erros e erros de cálculo; Configure seu sistema de negociação para que você tenha a oportunidade de ganhar dinheiro com a maior frequência possível; Obtenha resultados positivos estáveis em suas operações.
E aqui, para nós, traders, a expectativa matemática pode ser de grande ajuda. Este termo é um dos principais na teoria das probabilidades. Com sua ajuda, você pode fornecer uma estimativa média de algum valor aleatório. A expectativa matemática de uma variável aleatória é semelhante ao centro de gravidade, se imaginarmos todas as probabilidades possíveis como pontos com massas diferentes.
Em relação a uma estratégia de negociação, a expectativa matemática de lucro (ou perda) é mais frequentemente utilizada para avaliar a sua eficácia. Este parâmetro é definido como a soma dos produtos de determinados níveis de lucros e perdas e a probabilidade de sua ocorrência. Por exemplo, a estratégia de negociação desenvolvida pressupõe que 37% de todas as transações trarão lucro e o restante - 63% - não será lucrativo. Ao mesmo tempo, o rendimento médio de uma transação bem-sucedida será de US$ 7 e a perda média será de US$ 1,4. Vamos calcular a expectativa matemática de negociação usando este sistema:
O que este número significa? Diz que, seguindo as regras desse sistema, receberemos em média US$ 1.708 por cada transação fechada. Como a classificação de eficiência resultante é maior que zero, tal sistema pode ser usado para trabalhos reais. Se, como resultado do cálculo, a expectativa matemática for negativa, isso já indica uma perda média e tal negociação levará à ruína.
O valor do lucro por transação também pode ser expresso como um valor relativo na forma de%. Por exemplo:
– percentual de receita por 1 transação - 5%;
– percentagem de operações comerciais bem sucedidas - 62%;
– percentual de perda por 1 transação - 3%;
– percentagem de transações malsucedidas – 38%;
Ou seja, o comércio médio trará 1,96%.
É possível desenvolver um sistema que, apesar da predominância de negociações não lucrativas, produza um resultado positivo, desde que seu MO>0.
Porém, esperar sozinho não é suficiente. É difícil ganhar dinheiro se o sistema emitir poucos sinais de negociação. Neste caso, a sua rentabilidade será comparável aos juros bancários. Deixe que cada operação produza em média apenas 0,5 dólares, mas e se o sistema envolver 1.000 operações por ano? Será um valor muito significativo em um tempo relativamente curto. Segue-se logicamente que outra característica distintiva de um bom sistema de negociação pode ser considerada um curto período de manutenção de posições.
Fontes e links
dic.academic.ru – dicionário acadêmico online
maths.ru – site educacional em matemática
nsu.ru – site educacional da Universidade Estadual de Novosibirsk
webmath.ru é um portal educacional para estudantes, candidatos e crianças em idade escolar.
site matemático educacional exponenta.ru
ru.tradimo.com – escola de comércio online gratuita
crypto.hut2.ru – recurso de informação multidisciplinar
poker-wiki.ru – enciclopédia gratuita de pôquer
sernam.ru – Biblioteca científica de publicações selecionadas de ciências naturais
reshim.su – website RESOLVEREMOS problemas de cursos de teste
unfx.ru – Forex no UNFX: treinamento, sinais de negociação, gerenciamento de confiança
slovopedia.com – Grande Dicionário Enciclopédico Slovopedia
pokermansion.3dn.ru – Seu guia no mundo do pôquer
statanaliz.info – blog informativo “Análise de dados estatísticos”
forex-trader.rf – Portal Forex-Trader
megafx.ru – análises atuais de Forex
fx-by.com – tudo para um trader
Na teoria das probabilidades e em muitas de suas aplicações, várias características numéricas de variáveis aleatórias são de grande importância. Os principais são a expectativa matemática e a variância.
1. Expectativa matemática de uma variável aleatória e suas propriedades.
Vamos primeiro considerar o seguinte exemplo. Deixe a planta receber um lote composto por N rolamentos. Em que:
m 1 x 1,
m 2- número de rolamentos com diâmetro externo x 2,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
m n- número de rolamentos com diâmetro externo x n,
Aqui m 1 +m 2 +...+m n =N. Vamos encontrar a média aritmética x média diâmetro externo do rolamento. Obviamente,
O diâmetro externo de um rolamento retirado aleatoriamente pode ser considerado como uma variável aleatória assumindo valores x 1, x 2, ..., x n, com probabilidades correspondentes p 1 =m 1 /N, p 2 =m 2 /N, ..., p n = m n /N, já que a probabilidade eu aparência de um rolamento com diâmetro externo XI igual a eu /N. Assim, a média aritmética x média O diâmetro externo do rolamento pode ser determinado usando a relação 
Seja uma variável aleatória discreta com uma determinada lei de distribuição de probabilidade
Valores
x 1
x 2
. . .
x n
Probabilidades
página 1
p2
. . .
p n
Expectativa matemática variável aleatória discretaé a soma dos produtos pareados de todos os valores possíveis de uma variável aleatória por suas probabilidades correspondentes, ou seja, *
Neste caso, assume-se que existe a integral imprópria do lado direito da igualdade (40).
Vamos considerar as propriedades da expectativa matemática. Neste caso, nos limitaremos à prova apenas das duas primeiras propriedades, que realizaremos para variáveis aleatórias discretas.
1°. A expectativa matemática da constante C é igual a esta constante.
Prova. Constante C pode ser considerada uma variável aleatória que só pode assumir um valor C com probabilidade igual a um. É por isso 
2°. O fator constante pode ser levado além do sinal da expectativa matemática, ou seja 
Prova. Usando a relação (39), temos 
3°. A expectativa matemática da soma de diversas variáveis aleatórias é igual à soma das expectativas matemáticas dessas variáveis:
Valor esperado- o valor médio de uma variável aleatória (distribuição de probabilidade de uma variável aleatória estacionária) quando o número de amostras ou o número de medições (às vezes chamado de número de testes) tende ao infinito.
A média aritmética de uma variável aleatória unidimensional de um número finito de tentativas é geralmente chamada estimativa de expectativa matemática. Como o número de tentativas de um processo aleatório estacionário tende ao infinito, a estimativa da expectativa matemática tende à expectativa matemática.
A expectativa matemática é um dos conceitos básicos da teoria das probabilidades).
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Legendas
Definição
Seja dado um espaço de probabilidade (Ω , A , P) (\displaystyle (\Omega ,(\mathfrak (A)),\mathbb (P))) e uma variável aleatória definida nele X (\estilo de exibição X). Ou seja, por definição, X: Ω → R (\displaystyle X\dois pontos \Omega \to \mathbb (R) )- função mensurável. Se existe uma integral de Lebesgue de X (\estilo de exibição X) por espaço Ω (\ displaystyle \ Omega ), então é chamada de expectativa matemática, ou valor médio (esperado) e é denotada M [ X ] (\estilo de exibição M[X]) ou E [ X ] (\ displaystyle \ mathbb (E) [X]).
M [ X ] = ∫ Ω X (ω) P (d ω) . (\displaystyle M[X]=\int \limits _(\Omega )\!X(\omega)\,\mathbb (P) (d\omega).)Fórmulas básicas para expectativa matemática
M [ X ] = ∫ − ∞ ∞ x d F X (x) ; x ∈ R (\displaystyle M[X]=\int \limits _(-\infty )^(\infty )\!x\,dF_(X)(x);x\in \mathbb (R) ).
Expectativa matemática de uma distribuição discreta
P (X = x i) = p i , ∑ i = 1 ∞ p i = 1 (\displaystyle \mathbb (P) (X=x_(i))=p_(i),\;\sum \limits _(i=1 )^(\infty )p_(i)=1),então segue diretamente da definição da integral de Lebesgue que
M [ X ] = ∑ i = 1 ∞ x i p i (\displaystyle M[X]=\sum \limits _(i=1)^(\infty )x_(i)\,p_(i)).Expectativa de um valor inteiro
P (X = j) = p j , j = 0 , 1 , . . . ; ∑ j = 0 ∞ p j = 1 (\displaystyle \mathbb (P) (X=j)=p_(j),\;j=0,1,...;\quad \sum \limits _(j=0 )^(\infty )p_(j)=1)então sua expectativa matemática pode ser expressa através da função geradora da sequência ( p eu ) (\estilo de exibição \(p_(i)\))
P (s) = ∑ k = 0 ∞ p k s k (\displaystyle P(s)=\sum _(k=0)^(\infty )\;p_(k)s^(k))como o valor da primeira derivada na unidade: M [ X ] = P ′ (1) (\estilo de exibição M[X]=P"(1)). Se a expectativa matemática X (\estilo de exibição X) infinitamente, então lim s → 1 P ′ (s) = ∞ (\displaystyle \lim _(s\to 1)P"(s)=\infty ) e vamos escrever P ′ (1) = M [ X ] = ∞ (\displaystyle P"(1)=M[X]=\infty )
Agora vamos pegar a função geradora Q(s) (\estilo de exibição Q(s)) sequências de caudas de distribuição ( q k ) (\estilo de exibição \(q_(k)\))
q k = P (X > k) = ∑ j = k + 1 ∞ p j ; Q(s) = ∑ k = 0 ∞ q k s k . (\displaystyle q_(k)=\mathbb (P) (X>k)=\soma _(j=k+1)^(\infty )(p_(j));\quad Q(s)=\soma _(k=0)^(\infty )\;q_(k)s^(k).)Esta função geradora está relacionada à função definida anteriormente P(s) (\estilo de exibição P(s)) propriedade: Q (s) = 1 − P (s) 1 − s (\displaystyle Q(s)=(\frac (1-P(s))(1-s))) no | e |< 1 {\displaystyle |s|<1} . Disto, pelo teorema do valor médio, segue-se que a expectativa matemática é simplesmente igual ao valor desta função na unidade:
M [ X ] = P ′ (1) = Q (1) (\estilo de exibição M[X]=P"(1)=Q(1))Expectativa matemática de uma distribuição absolutamente contínua
M [ X ] = ∫ − ∞ ∞ x f X (x) d x (\displaystyle M[X]=\int \limits _(-\infty )^(\infty )\!xf_(X)(x)\,dx ).Expectativa matemática de um vetor aleatório
Deixar X = (X 1 , … , X n) ⊤ : Ω → R n (\displaystyle X=(X_(1),\dots ,X_(n))^(\top )\dois pontos \Omega \to \mathbb ( R)^(n))- vetor aleatório. Então por definição
M [ X ] = (M [ X 1 ] ,… , M [ X n ]) ⊤ (\displaystyle M[X]=(M,\dots ,M)^(\top )),isto é, a expectativa matemática de um vetor é determinada componente por componente.
Expectativa de transformação de uma variável aleatória
Deixar g: R → R (\displaystyle g\dois pontos \mathbb (R) \to \mathbb (R) )é uma função de Borel tal que a variável aleatória Y = g (X) (\ displaystyle Y = g (X)) tem uma expectativa matemática finita. Então a fórmula é válida para isso
M [ g (X) ] = ∑ i = 1 ∞ g (x i) pi , (\displaystyle M\left=\sum \limits _(i=1)^(\infty )g(x_(i))p_( eu),)Se X (\estilo de exibição X) tem distribuição discreta;
M [ g (X) ] = ∫ − ∞ ∞ g (x) f X (x) d x , (\displaystyle M\left=\int \limits _(-\infty )^(\infty )\!g(x )f_(X)(x)\,dx,)Se X (\estilo de exibição X) tem uma distribuição absolutamente contínua.
Se a distribuição P X (\ displaystyle \ mathbb (P) ^ (X)) variável aleatória X (\estilo de exibição X) visão geral, então
M [ g (X) ] = ∫ − ∞ ∞ g (x) P X (d x) . (\displaystyle M\left=\int \limits _(-\infty )^(\infty )\!g(x)\,\mathbb (P) ^(X)(dx).)No caso especial quando g (X) = X k (\estilo de exibição g(X)=X^(k)), valor esperado M [ g (X) ] = M [ X k ] (\estilo de exibição M=M) chamado k (\estilo de exibição k)-m momento da variável aleatória.
As propriedades mais simples da expectativa matemática
- A expectativa matemática de um número é o próprio número.
- A expectativa matemática é linear, ou seja
