О квадратуре круга. Что значит "квадратура круга"

Трофимова Ксения

С глубокой древности известна задача «квадратура круга» - самая старая из всех математических задач. Она сыграла особую роль в истории математики. В конце концов, было доказано, что задачу невозможно решить, пользуясь только циркулем и линейкой. Но уже сама постановка задачи - «доказать неразрешимость» - была смелым шагом вперёд. Вместе с тем предлагалось множество решений при помощи нетрадиционных инструментов. Всё это привело к возникновению и развитию совершенно новых идей в геометрии и алгебре. Немало преуспели в нестандартных и различных приближённых решениях любители математики - среди них знаменитая задача древности особенно популярна. Задача кажется доступной любому: вводит в заблуждение ее простая формулировка. До сих пор редакции математических журналов время от времени получают письма, авторы которых пытаются опровергнуть давно установленные истины и подробно излагают решение знаменитой задачи с помощью циркуля и линейки. Это обстоятельство обусловливает актуальность данной работы.

Скачать:

Предварительный просмотр:

МОУ СОШ №2 имени А.С. Пушкина

Математическое исследование

Знаменитая задача древности «Квадратура круга»

Ученица 11 класса

Трофимова Ксения

Руководитель:

Трофимова Т.Б.

учитель математики

2014 г.

Введение.

1. Первые способы решения квадратуры круга в Древней Греции.

2. Попытка решить задачу о квадратуре круга.

3. Решение задачи о квадратуре круга при помощи вспомогательных средств.

Заключение.

Список использованной литературы.

Приложения.

Введение

Тема математического исследования очень важна и интересна как для меня, так и для общества в целом, так как поможет расширить знания и умения в области математики, а так же предоставит возможность глубокого изучения литературы, посвященной этому вопросу.

Цель работы: выяснить, возможно ли решить задачу о квадратуре круга при помощи циркуля и линейки. Достижение поставленной цели осуществлялось в ходе решения следующих задач :

Изучение теории посвященной данной проблематике;

Разработка собственного решения задачи о квадратуре круга при помощи циркуля и линейки и проведение анализа;

Объектом исследования: задача о квадратуре круга.

Предмет исследования: неразрешимость задачи о квадратуре круга при помощи циркуля и линейки.

Методы исследования:

Графическое построение;

Структура и объем работы. Математическое исследование состоит из введения, 3 глав, заключения, списка используемой литературы и приложения. Содержание работы изложено на 9 страницах, включая 10 рисунков и список литературы из 7 наименований.

1.Первые способы решения квадратуры круга в Древней Греции

«Из всех математических задач, в течение веков занимавших человечество, ни одна не пользовалась такой известностью, как задача о квадратуре круга. Это самая древняя из всех математических задач, ибо история ее охватывает четыре тысячелетия, столько же, сколько история человеческой культуры.»

«Следы попыток решения задачи о вычислении площади круга и длины окружности мы находим в Древней Греции. Здесь эта задача приобрела теоритический характер, а также были разработаны многие методы точного и приближенного ее решения.»

«В задаче о квадратуре круга требуется построить циркулем и линейкой квадрат, равновеликий данному кругу. По свидетельству древнегреческого историка Плутарха, философ Анаксагор , коротая время в тюрьме, пытался квадрировать круг, т. е. превратить его в равновеликий квадрат. Если считать радиус данного круга равным 1, то сторона искомого квадрата должна составить √п. Но как он это делал науке не известно: его труды не сохранились, и нет никаких подробностей об этом у древних писателей.»

«О попытках Антифона, Бризона и Гиппократа решить эту задачу имеются более полные сведения.

В «Истории геометрии» Евдем так описывал попытку Антифона (5в. до н.э.) сквадрировать круг: «Начертив круг, он вписал в него такой правильный многоугольник, который мы умеем вписать. Пусть это будет квадрат. Потом он разделил каждую сторону квадрата пополам и через точки деления провел прямые, перпендикулярные к сторонам до пересечения с окружностью. Очевидно, они делят сегменты круга на две равные части (см. Приложения рис.1). Затем он соединил полученные точки с концами сторон квадрата так, что получились четыре треугольника и вся, образовавшаяся фигура стала правильным восьмиугольником…»

Продолжая дальше этот процесс, Антифон получил 16-угольник,32-угольник и т.д. « Поступает он так, - продолжает Евдем, - пока не исчерпает весь круг. И Антифон заключает, что таким образом будет вписан многоугольник, периметр которого можно рассматривать как длину окружности». Следовательно, Антифон считал, что можно получить многоугольник равновеликий кругу. В то время было известно, что любой многоугольник можно преобразовать в равновеликий квадрат, то вполне возможно, что Антифон думал, что ему удалось найти квадратуру круга с помощью циркуля и линейки.

Пифагориец Бризон (5 в. до н.э.) при решении задачи о квадратуре круга не только вписывал в круг, но и описывал около него соответствующие правильные многоугольники (см. Приложения рис.2). Справедливо считая, что площадь круга больше площади вписанного и меньше площади описанного n-угольника, он, однако, ошибочно утверждал, что площадь круга (Sкр) есть среднее арифметическое площади вписанного n-угольника (Sn) и описанного n-угольника (Sn ’ ), т.е .

Антифон и Бризон, предложив свои способы квадратуры круга, не дали доказательства справедливости своих утверждений, а в дальнейшем они подверглись критике.

Надежды «квадратурщиков» подогревались существованием криволинейных фигур, квадратируемых циркулем и линейкой. Гиппократ Хиосский нашел одну из таких фигур, известную как «луночки Гиппократа». Евдем и комментатор Аристотеля Симпликий (6в. н.э) утверждают, что Гиппократ Хиосский нашел три случая квадрируемых круговых луночек. Симпликий со ссылкой на «историю геометрии» Евдема писал: «Сначала он рассмотрел луночку, внешний обвод которой составляет полуокружность..(см. Приложения рис.3) после этого он начал разбирать случай, когда внешний обвод был больше полукруга (см. Приложения рис.4)…, а затем рассмотрел сегмент меньше полукруга (см. Приложения рис.5)..»Так Гиппократ Хиосский впервые в истории нашей науки показал возможность квадратуры криволинейных фигур циркулем и линейкой. Это был важный шаг в развитии математики. Но это не помогло ему решить саму исходную задачу.»

«Было предложено множество построений. В лучшем случае они давали приближенное значение п с достаточно хорошей точностью (см. Приложения рис. 6). Авторы таких построений часто не сомневались в их абсолютной точности и горячо отстаивали свои заблуждения.

В 1882 году немецкий математик Фердинанд Линдеман доказал, что число п трансцендентно, т.е. не является корнем никакого многочлена с целыми коэффициентами. Так он поставил точку в проблеме разрешимости посредством циркуля и линейки задачи древности о квадратуре круга. »

«Доказательство неразрешимости какой-либо задачи рассматривается в математике как своего рода решение проблемы, потому что такое утверждение дает вполне исчерпывающий ответ на поставленный вопрос. В этом смысле доказательство Линдемана можно считать решением задачи о квадратуре круга, решением, полагающим конец двухтысячелетней работе над этой проблемой.»

2.Попытка решить задачу о квадратуре круга при помощи циркуля и линейки.

«Продолжают искать другого решения задачи, только любители. «Таких искателей - писал еще в 18-м столетии математик Ламберт - всегда будет достаточно…»»

Ламберт был прав: попытки решить задачу с помощью циркуля и линейки не прекратились и после того, как была доказана их неразрешимость. Фанатиков никакие доказательства не интересуют. Также и я как многие искатели попробую решить задачу о квадратуре круга при помощи циркуля и линейки.

Вспомним еще раз формулировку задачи: требуется построить циркулем и линейкой квадрат, равновеликий данному кругу.

Дано: окружность с центром в точке О, R=4см;

Доказать: S окружности =S ABCD

Доказательство:

1.Построим окружность R=4см.

2.Отступим 5мм от краев окружности, проведем прямые, так что бы получился квадрат ABCD.

3.По рисунку (см. Приложения. рис.7) видно, что если круговой сегмент –N будет равен, сегменту M, то окружность будет равна квадратуABCD.

4.Найдем площадь сегмента - N по формуле(1): S N SΔ,

где α - градусная мера центрального угла, SΔ - площадь треугольника с вершинами в центре круга и концах радиусов, ограничивающих соответствующий сектор; Знак «−» надо брать, когда α 180°.

а) Найдем SΔ по формуле(2): S ΔA1OB1 = (A 1 B 1 OH),

где OH-высота Δ A1OB1 ; А 1 В 1 - основание Δ A1OB1 ;

S ΔA1OB1 = (3.4 3.55) = 6.035см 2

б) Подставим полученные значения в формулу (1): где

S N = 2

5. Найдем площадь сегмента-M по формуле(3): S M = S A1AD1 сектора M1

а)S A1AD1 = , где A1D1-основание Δ A1AD1 , AH1-высота Δ A1AD1 ;

S A1AD1 = 1.38 см 2

б) Найдем площадь сектора – M1(см. Приложения рис. 8.) по формуле(4): S сектора M1 = SΔ, где

SΔ A1OD1 = , где A1D1-основание Δ A1OD1 , OH1-высота Δ A1OD1 ;

S ΔA1OD1 = см 2

Подставим значения в формулу (4):

S сектора M1 41 4.37 1.3517777796 см 2

Подставляем значения в формулу(3):

6. Сегменты S M S N . Разница между S N и S M равна:

S N S M 1.2218888912 1.1936666708см 2

Значит S ABCD S окружности .

Проведя еще несколько возможных вариантов решения (вместо 5 мм, 4мм и 6 мм), я остановилась на выше изложенной версии, так как считаю ее наиболее оптимальным решением.

В результате проделанных мной вычислений, я убедилась в том, что древняя задача о квадратуре круга не разрешима с помощью циркуля и линейки.

3. Решение задачи о квадратуре круга при помощи вспомогательных средств

Решение Динострата при помощи квадратрисы

«Известно, что задача о квадратуре круга неразрешима с помощью циркуля и линейки. Однако задача о квадратуре круга становится вполне разрешимой, если специально для нее расширить средства построения. Это знали еще древние греки. Они знали, что квадратура круга будет вполне разрешимой, если в процессе построения воспользоваться некоторыми специальными кривыми. Первое такое решение задачи о квадратуре круга еще в 4 в. до н.э. выполнил Динострат (древнегреческий математик, член Платоновской Академии, ученик Евдокса.). Он при своем решении воспользовался квадратрисой.

«Квадратриса - плоская трансцендентная кривая, определяемая кинематически. Была предложена в античные времена для решения задачи квадратуры круга.

Рассмотрим квадрат ABCD, в который вписан сектор четверти круга. Пусть точка E равномерно движется по дуге от точки D до точки B; одновременно отрезок A"B" равномерно движется из положения DC в положение AB. Наконец, потребуем, чтобы оба движения закончились одновременно. Тогда точка пересечения радиуса AE и отрезка A"B" опишет квадратрису (см. Приложения рис. 9, выделена красным цветом)»

Суть решения Динострата заключается в следующем:

Пусть ANB-четверть окружности, расположенной в квадранте AOB, а AMC- квадратриса этого квадранта (см. Приложения рис. 10). Далее Динострат воспользовался соотношением, которое позднее было доказано Паппом Александрийским: ANB:OB OB:OC, где С-конечная точка квадратрисы. Поскольку OA OB R, то ANB:R R:OC, или . Откуда длина окружности радиуса R равняется . Таким образом, длина окружности определена. Чтобы построить квадрат, равновеликий кругу, Динострат, по-видимому, воспользовался теоремой: площадь круга равна площади треугольника, основание которого равно окружности, а высота - радиусу круга.»

Заключение

Изучив теоритический материал, посвященный данной теме и проанализировав полученный результат собственного решения, я выяснила, что знаменитую задачу древности о квадратуре круга невозможно решить при помощи циркуля и линейки, только с помощью вспомогательных средств. Попытки древнегреческих ученых решить задачу о квадратуре круга путем проведения прямых и окружностей так и не увенчались успехом. Окончательный удар всем иллюзиям решить эту задачу был нанесен в конце 19в. Ф.Линдеманом. Его заслуга заключается в том, что он впервые в мировой науке окончательно установил невозможность решения задачи. Вот почему Ф.Линдемана называют «победителем задачи о квадратуре круга». Математическое доказательство невозможности квадратуры круга не мешало многим энтузиастам тратить годы на решение этой проблемы. Безрезультатность исследований по решению задачи квадратуры круга перенесла этот оборот во многие другие области, где он попросту обозначает безнадежное, бессмысленное или тщетное предприятие.

Список использованной литературы

1.«О квадратуре круга» с приложением истории вопроса, составленной Ф. Рудио. изд.3-е, ОНТИ НКТП СССР, М.- -Л, 1936г. Ст.17.

2.С.Е.Белозеров. «Пять знаменитых задач древности (История и современная теория)». Издательство Ростовского университета, 1975. Ст. 13.

3.М.Д.Аксенова. «Энциклопедия для детей»Т11. Издательский центр «Аванта+».-M,2003. Ст.324.

4.С.Е.Белозеров «Пять знаменитых задач древности (История и современная теория)». Издательство Ростовского университета, 1975.Ст. 14-15.

5. Я.И.Перельман. «Квадратура круга». Дом занимательной науки.-Л., 1941г. Ст16.

6. Прошлецова И. Л. О квадратрисе Динострата. Историко-математические исследования. СПб.: Изд-во Международного фонда истории науки. Вып. 35 (1994). Ст. 220-221.

7.В.Д.Чистяков «Три знаменитые задачи Древности». Государственное учебно-педагогическое издательство министерства просвещения РСФСР,-М. 1963г.Ст 55-56.

Приложения

Рис. 1. Рис. 2. Рис. 3. Рис. 4.

Рис. 5. Рис. 6.

Рис. 7. Рис. 8.

В.Д.Чистяков «Три знаменитые задачи Древности». Государственное учебно-педагогическое издательство министерства просвещения РСФСР,-М. 1963г.Ст 55-56.

Это выражение – квадратура круга , наверняка вам где-то встречалось. А вот что оно означает, и с чем его едят, вряд ли кто скажет сразу. В первом приближении кажется. Что это аналог выражения «площадь круга». Однако это совсем не так.

Известно, что геометрия одна из самых древних наук, ибо выросла она из жизненной необходимости. Гео-метрия в буквальном переводе – землемерие. Испокон веку была у людей необходимость мерить землю. А как ее измерять и сравнивать участки между собой, если они не ровные? Всякие там треугольные, трапециевидные и тп. Вобщем, появилась необходимость – появилась наука. При этом у древних математиков были самые примитивные инструменты, циркуль и линейка. И задумали они при помощи только этих инструментов построить квадрат, равный по площади соответствующему кругу.

Но, «сколь ни билась ты, Яга, а не вышло ни фига» - не смогли построить с помощью циркуля и линейки круг и квадрат, равные друг другу по площади.

Вот что по этому поводу написано в Википедии:

Если принять за единицу измерения радиус круга и обозначить x длину стороны искомого квадрата, то задача сводится к решению уравнения: x 2 = π , откуда: . Как известно, с помощью циркуля и линейки можно выполнить все 4 арифметических действия и извлечение квадратного корня, отсюда следует, что квадратура круга возможна в том и только в том случае, если с помощью конечного числа таких действий можно построить отрезок длины π . Таким образом, неразрешимость этой задачи следует из неалгебраичности числа π , которая была доказана в 1882 году Линдеманом. Однако эту неразрешимость следует понимать, как неразрешимость при использовании только циркуля и линейки. Задача о квадратуре круга становится разрешимой, если, кроме циркуля и линейки, использовать другие средства …

Другие интересные выражения из русской речи:

Фимиам – это общее название благовоний, которые курили не только перед алтарями

Интересное выражение – козел отпущения . Фраза недосказана, но все ее прекрасно

Интересное выражение – купить кота в мешке. Его можно отнести к разряду интуитивно

Соловей – самая приятная певчая птица, живущая на просторах России. Почему из всех

Кузькина мать (или показать кузькину мать) – устойчивое словосочетание непрямого

Выражение круговая порука – это выражение прямого значения, то есть означает то,

С древнейших времен у многих народов существует поверье, что крокодил плачет, когда

Крепкий орешек – это выражение принято связывать со взятием Петром Первым шведской

выражение красной нитью не имеет к идеологии никакого отношения. А имеет отношение

Квасной патриотизм – короткое, бьющее точно в цель ироничное определение для

Великая Китайская Стена – самое большое архитектурно-строительное произведение

Выражение кесарю-кесарево библейского происхождения, как и многие другие

Пусть вас не смущает эта идиотская формулировка, составленная специально для

Китайские церемонии – этот фразеологизм мы нередко используем в разговоре. Как

По выражению лить колокола совершенно невозможно догадаться, какое еще значение

Верста – русская мера длины, существовавшая в России до введения метрической

Колосс на глиняных ногах – это своего рода характеристика или оценка чего-то

Про происхождение выражения колумбово яйцо разные источники сообщают примерно

Интересное выражение – купить кота в мешке. Его можно отнести к разряду интуитивно

Если это выражение пустить красного петуха прочитает иностранец, изучающий

Выражение костей не собрать для нашего российского уха достаточно привычное. Его

Издревле, еще до появления геометрии, люди привязывали меры длины к частям своего

Казалось, известное всем выражение, на кривой козе не подъедешь . Означает оно тот

Оказывается, возникновение этого фразеологизма напрямую связано с религией, точнее с

Попал как кур во щи говорят тогда, когда неожиданно попадают в крайне неприятную

Сирота казанская – очень интересное выражение. Сирота – понятно, но почему именно

Как от козла молока (получить) – говорят о человеке, от которого нет никакой пользы,

Калиф на час говорят про руководителей или начальников, которые оказались у власти

Канитель слово иностранного происхождения, означает оно тонкую металлическую

Выражение кануть в лету знакомо и понятно всем. Означает оно – исчезнуть из памяти,

Название города-государства Карфаген известно нам еще из учебников истории

Таскать каштаны из огня – это выражение обретет полную ясность, если добавить к

Как в воду глядел – выражение понятное по значению, но не сразу понятное по

Выражение во всю ивановскую, точнее, орать во всю ивановскую, известно очень

Выражение, или словесный оборот и на солнце есть пятна подчеркивает, что в мире

Выражение и на старуху бывает проруха говорит само за себя. Согласно словарю

И ты, Брут! – выражение знакомое практически каждому образованному человеку, даже

Иван, не помнящий родства – чисто русское выражение, уходящее корнями в нашу

Слово свечи в русском языке имеет несколько значений: прежде всего это свечи для

Выражение делать из мухи слона совершенно понятно, не содержит каких-то

Прописать ижицу - выражение из разряда ушедших из нашего обихода в прошлое. Но

На букву Г

На букву Д

1 Сергей Дениченко :

КВАДРАТУРА КРУГА

«Квадратура круга», как я это понимаю – философия, затрагивающая историческую тему, выполненная на математическом материале. Решением Квадратуры круга показано, что нет неразрешимых проблем, а следовательно, не нужно рубить (Гордиев) узел, все решается мирным путем, в том числе и международные конфликты, и проблема с терроризмом.

Решение Квадратуры круга – не открытие чего то нового, я не решил задачу, а показал, как она могла решаться в древности. Это переворачивает сознание человека, в восприятии себя умнее, своих предков. Рушится канон:- «Не учите меня жить, я самый умный.» Человечество должно задуматься:- « А так ли я живу? Куда катится цивилизация?»
Иначе, пустая трата времени на разработку темы по переселению человечества на другие планеты. Прежде чем потухнет Солнце, человек погубит себя на нашей грешной Земле, не успев нагрешить на чужой планете.

“Квадратура круга” – синоним проблемы не имеющей решения. А может нужно изменить подход к стоящей перед Вами задачи. Так “Квадратура круга” – необходимо с помощью циркуля и односторонней линейки (рейки), построить квадрат равновеликий по площади заданному кругу. А если изменить подход к решению. Ход решения: “Равновеликость квадрата и шестеренки” – “Кругатура квадрата” (в этом нет поиска трансцендентного числа Pi) А далее решение “Кругатуры квадрата” позволяет выразить геометрически сторону квадрата равновеликого по площади заданному кругу (решить “Квадратуру круга”) и выразить длину окружности прямым отрезком. Во всяком случае числа 1,7724538968686925718887244115238… и 3,1415928165250138836954861078059… не трансцендентны.
Кому интересна данная тема, можно познакомиться с решением на сайте по адресу:
2 Анатолий:

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О КВАДРАТУРЕ КРУГА

Задача о КВАДРАТУРЕ КРУГА: построить при помощи циркуля и линейки квадрат, площадь которого равна площади данного круга.

РОСТОВЩИКОВ АНАТОЛИЙ ВЛАДИМИРОВИЧ 3604 364780
Необходимость в построении обусловлена невозможностью высокоточного расчёта площади круга и длины окружности без привязки к параметрам соразмерного квадрата.
Квадрат – единственная геометрическая фигура, площадь и периметр которой вычисляются минимальным количеством арифметических действий при абсолютной точности результата.
Таким образом, финалом решения задачи становится не столько само построение квадрата, (ради квадрата), сколько вычисление площади круга и длины окружности с максимальной точностью по отношению к квадрату.
Результаты расчётов названных параметров традиционным способом выражаются с погрешностью, заложенной в число Pi, т.к. значение этого показателя обусловлено вычислением сторон и площадей бесконечного множества треугольников.
Точность результатов вычисления площади круга и длины окружности в приведённых ниже расчётах не превышает погрешность результата при извлечении квадратного корня. Более высокая точность расчёта невозможна, как невозможно ещё точнее вычислить параметры самого квадрата.

ПРИМЕЧАНИЕ:
Некоторые значения, определения и ссылки в соответствии с законами математических и геометрических пропорций представлены без комментариев.

ОБОЗНАЧЕНИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ПРИНЯТЫЕ В РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ:
D – диаметр окружности, (Для удобства восприятия вычислений принято значение D = 7)
R – радиус окружности
S – площадь круга, S = Sвк + 4Sс
L – длина окружности
O – центр окружности
Sок – площадь Описанного Квадрата ABCE, Sок = D2
Pок – периметр Описанного Квадрата ABCE, Pок = 4D
Sвк – площадь Вписанного Квадрата A’B"C’E", Sвк = Sок / 2 = D2 / 2
Sс – площадь одного Сегмента
Nок/с – величина, отражающая числовое значение соотношения Sок и Sс; (Nок/с = Sок / Sс = 14)
КК – Квадратура Круга

ОБОЗНАЧЕНИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ПРИНЯТЫЕ В ПРОВЕРОЧНОМ ВАРИАНТЕ:
N’ок/с – величина, отражающая числовое значение соотношения Sок и Sс; (N’ок/с = 14,1)
N”ок/с – величина, отражающая числовое значение соотношения Sок и Sс; (N”ок/с = 13,9)
S’с – площадь одного Сегмента; (при N’ок/с = 14,1)
S”с – площадь одного Сегмента; (при N”ок/с = 13,9)
S’- площадь круга; (при N’ок/с = 14,1)
S”- площадь круга; (при N”ок/с = 13,9)
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ:
Посредством дискретного замещения значений соотношения Sок и Sс установлено:
(1) Nок/с = Sок / Sс = 14, const

ПЛОЩАДЬ ОДНОГО СЕГМЕНТА:
(2) Sс = Sок / 14
(3) Sс = Sвк / 7
(4) Sс = D2 / 14 = 49 / 14 = 3,5

ПЛОЩАДЬ ЧЕТЫРЁХ СЕГМЕНТОВ:
(5) 4Sс = 4D2 / 14 = 196 / 14 = 14

ПЛОЩАДЬ КРУГА:
(6) S = Sвк + 4Sс = 24,5 + 14 = 38,5
(7) S = (D2 / 2) + (4D2 / 14)
(8) S = 11D2 / 14 = 539 / 14 = 38,5

ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ:
(9) Sок / S = Pок / L
(10) L = SPок / Sок
(11) L = (11D2 / 14) (4D) / (D2)
(12) L = 22D / 7

ПРОВЕРКА

Вариант 1: N’ок/с = Sок / S’с = 14,1 Вариант 2: N”ок/с = Sок / S”с = 13,9

ПЛОЩАДЬ ОДНОГО СЕГМЕНТА: ПЛОЩАДЬ ОДНОГО СЕГМЕНТА:
S’с = Sок / 14,1 = 49 / 14,1 = 3,475… S”с = Sок / 13,9 = 49 / 13,9 = 3,525…

ПЛОЩАДЬ ЧЕТЫРЁХ СЕГМЕНТОВ: ПЛОЩАДЬ ЧЕТЫРЁХ СЕГМЕНТОВ:
4S’с = 4D2 / 14,1 = 196 / 14,1 = 13,9 4S”с = 4D2 / 13,9 = 196 / 13,9 = 14,1

ПЛОЩАДЬ КРУГА: ПЛОЩАДЬ КРУГА:
S’= Sвк + 4S’с = 24,5 + 13,9 = 38,4 S”= Sвк + 4S”с = 24,5 + 14,1 = 38,6

ПЛОЩАДЬ КРУГА, (S’кк) ПО ФОРМУЛЕ (8): ПЛОЩАДЬ КРУГА, (S”кк) ПО ФОРМУЛЕ (8):
S’кк = 11D2 / 14,1 = 539 / 14,1 = 38,227 S”кк = 11D2 / 13,9 = 539 / 13,9 = 38,777

РЕЗЮМЕ: РЕЗЮМЕ:
S’≠ S’кк, (38,475 ≠ 38,227) S”≠ S”кк, (38,525 ≠ 38,777)

СЛЕДОВАТЕЛЬНО:
(1) Nок/с = Sок / Sс = 14, const
(8) S = 11D2 / 14

СРАВНИТЕЛЬНЫЕ РАСЧЁТЫ:
В таблице приведены сравнительные результаты вычислений S и L, с произвольно выбранными значениями D по приведённой технологии, (КК) и с применением числа Pi, (Pi):

D S L
KK Pi KK Pi
5,0 19,6428571428571 19,6349540849312 15,7142857142857 15,707963267945
6,0 28,2857142857142 28,274333882301 18,8571428571428 18,849555921534
7,0 38,5 38,4845100064652 22,0 21,991148575123
8,0 50,2857142857142 50,265482457424 25,142857142857 25,132741228712
56,78 2533,11802857142 2532,09886021077 178,451428571428 178,379630870783
4 Геннадий Кудрявцев:

На одной вертикальной оси постройте одну под другой две одинаковые окружности. Из верхней точки верхней окружности проведите касательные к нижней окружности. Они пересекут верхнюю окружность в двух точках. Соедините их прямой. Верхняя часть диаметра верхней окружности, отсечённая этой прямой,будет равна (точность очень велика, предлагаю вычислить самим)) стороне искомого квадрата.
Кто-нибудь знает метод получения более точного результата?
5 Геннадий Кудрявцев:

Извините. Забыл уточнить, что окружности должны касаться друг друга.
6 vasil stryzhak:

На рисунке изображен метод построения с лучшим показателем точности относительно предыдущего комментария.
7 vasil stryzhak:

Второй вариант построения с более оптимальным решением квадратуры круга. Пунктирными линиями изображены описанный и вписанный квадраты в окружность с центром О и радиусом R = 1. Окружности с центрами в точках О₁, О₂, О₃, О₄ описаны радиусом r = 0,5. Точки пересечения окружностей служат для построения квадрата равновеликого исходной окружности.
9 vasil stryzhak:

Уважаемый Геннадий! Специально для Вас более подробно остановлюсь на вычислении погрешности метода по поз. 6. Обозначим верхнюю точку пересечения окружностей буквой А. Тогда согласно построения О₁А=1, О₁О₂=2,25, О₂А=2. Высота hₐ треугольника О₁АО₂ равна половине стороны искомого квадрата. Ее можно вычислить по формуле Герона
hₐ = 2√(p(p – a)(p – b)(p –c))/a, где p = (a + b + c)/2.
Определим абсолютную погрешность метода: δ = 2hₐ – √π = 1,77756… – 1,77245… ≈ 0,0051, что соответствует 0,29%. Следовательно, Вы допустили явную ошибку в вычислениях. Погрешность метода по поз. 7 составляет 0,27%. Обычно я подвергаю методы построения анализу в системе прямоугольных координат. Тогда проще рассчитать координаты точек пересечения прямых и окружностей, как между собой, так и друг с другом. Два предложенных ранее варианта квадратуры круга наиболее простые. В качестве примера рассмотрим еще один более точный метод построения с абсолютной погрешностью 0,00018,а относительной 0,01%.

Впишем в квадрат ABCD окружность. Не изменяя раствора циркуля, из середины стороны квадрата (точки О₁) как из центра делаем первую засечку на окружности в точке L. Далее уже из построенной точки как из центра тем же растворам циркуля проводим вторую засечку на другой стороне квадрата и получаем точку G, которую соединяем с серединой противоположной стороны квадрата. Отрезок О₄G пресекает окружность в точке Н. Проведем дуги из точек О₁, О₂, О₃, О₄ (середин сторон квадрата) как из центров кривизны радиусом r = НО₂ до пересечения с окружностью. Полученные таким образом точки служат для построения квадрата A₁B₁C₁D₁ равновеликого кругу.
10 Геннадий Кудрявцев:

УВАЖАЕМЫЙМ VASIL!
Вы правы. Поздравляю!. Успехов Вам в новом году. И в последующих тоже.
11 Геннадий Кудрявцев:

Решение задачи о квадратуре круга наталкивает на мысль о решении другой, сходной задачи: квадратура эллипса.
Формулу площади эллипса можно преобразовать так:
S = √∏R͗͗² х √∏r.²
Корни квадратные из окружностей – это те самые стороны квадратов, равновеликих по площадям этих окружностей, которые запросто определяет уважаемый Vasil. Значит, имеем две стороны прямоугольника. А, уж, построить равновеликий ему по площади квадрат – не проблема.
12 vasil stryzhak:

Уважаемый Геннадий! Спасибо за пожелания. Вам тоже взаимно успехов по жизни. Идея квадратуры эллипса для меня нова, предложенное решение довольно интересное и самое главное верное. Если принять малую полуось эллипса равной единичному отрезку α =1, тогда сторона равновеликого эллипсу квадрата определиться как c=√(πb), где b – большая полуось. Построить отрезок равный π теоретически возможно с любой степенью точности. Свой вариант как это сделать изложу, возможно, позже, когда выкрою время и придет вдохновение.
13 Геннадий Кудрявцев:

Уточню вторую позицию:
– метод рассечения конуса для получения коников с наперёд заданными параметрами.
14 vasil stryzhak:

Если принять радиус окружности за единицу, то длина полуокружности - это число . Прямоугольник со сторонами и равен площади круга, тогда среднее геометрическое этих сторон и есть сторона квадрата равновеликого исходному кругу. Рассмотрим вариант построения отрезка равного длине полуокружности, тем самым решение задачи квадратуры круга.

На горизонтальной прямой из точки , как из центра, проведем окружность произвольным радиусом . Опишем вокруг окружности и впишем в нее по три стороны от правильного шестиугольника, охватывающих полуокружность, необходимых для разъяснения материала. В построении участвует одна сторона от вписанного шестиугольника, перпендикулярная горизонтальной прямой. Проведем два луча через точки и из центра окружности . Далее из точки , как из центра, опишем дугу радиусом , пересекающую лучи в точках и , а горизонтальную прямую в точке . Построение может осуществляется от любого вписанного правильного многоугольника, тогда радиус дуги определяется делением количества его сторон на два . Соединим между собой точки и . Полученный таким образом отрезок, равен сумме изображенных на рисунке сторон от вписанного в окружность шестиугольника

С недостатком относительно длинны полуокружности. Затем, параллельно проведем через точку прямую до пересечения с лучами. В результате имеем отрезок, равный сумме сторон от описанного шестиугольника

С избытком относительно длинны полуокружности. Следовательно, отрезок равный , т.е. длине полуокружности, находится между построенными отрезками и .
Определим местоположение искомого отрезка следующим образом. Соединим концы отрезков и крест накрест, а точку (середину ) с точками и . В местах скрещивания новых отрезков получим точки и . Проведем прямую проходящую через эти точки до пересечения с лучами в точках и . Насколько построенный отрезок соответствует длине полуокружности, можно проверить вычислением в два этапа следующими формулами:
, ( – равно высоте треугольника ),

Является одной из самых известных неразрешимых задач на построение с помощью циркуля и линейки.

Если обозначить R {\displaystyle R} радиус заданного круга, x {\displaystyle x} - длину стороны искомого квадрата, то, в современном понимании, задача сводится к решению уравнения: x 2 = π R 2 , {\displaystyle x^{2}=\pi R^{2},} откуда получаем: x = π R ≈ 1,772 45 R . {\displaystyle x={\sqrt {\pi }}R\approx 1{,}77245R.} Доказано, что с помощью циркуля и линейки точно построить такую величину невозможно.

Энциклопедичный YouTube

1 / 5
Из формулировки проблемы видно, что она тесно связана с практически важной задачей нахождения площади круга . В древнем Египте уже знали, что эта площадь ( S {\displaystyle S} ) пропорциональна квадрату диаметра круга d {\displaystyle d} , и для вычислений использовали формулу :
S = (8 9 d) 2 {\displaystyle S=\left({\frac {8}{9}}d\right)^{2}}
Из этой формулы видно, что площадь круга диаметра d {\displaystyle d} считалась равной площади квадрата со стороной 8 9 d . {\displaystyle {\frac {8}{9}}d.} В современной терминологии это значит, что египтяне принимали значение π {\displaystyle \pi } равным (16 9) 2 ≈ 3 , 16. {\displaystyle \left({\frac {16}{9}}\right)^{2}\approx 3{,}16.}

Неразрешимость

Если принять за единицу измерения радиус круга и обозначить x длину стороны искомого квадрата, то задача сводится к решению уравнения: x 2 = π {\displaystyle x^{2}=\pi } , откуда: x = π {\displaystyle x={\sqrt {\pi }}} . С помощью циркуля и линейки можно выполнить все 4 арифметических действия и извлечение квадратного корня ; отсюда следует, что квадратура круга возможна в том и только в том случае, если с помощью конечного числа таких действий можно построить отрезок длины π {\displaystyle \pi } . Таким образом, неразрешимость этой задачи следует из неалгебраичности (трансцендентности) числа π {\displaystyle \pi } , которая была доказана в 1882 году Линдеманом .
Однако эту неразрешимость следует понимать, как неразрешимость при использовании только циркуля и линейки . Задача о квадратуре круга становится разрешимой, если, кроме циркуля и линейки, использовать другие средства (например, квадратрису). Простейший механический способ предложил Леонардо да Винчи . Изготовим круговой цилиндр с радиусом основания R {\displaystyle R} и высотой R 2 {\displaystyle {\frac {R}{2}}} , намажем чернилами боковую поверхность этого цилиндра и прокатим его по плоскости. За один полный оборот цилиндр отпечатает на плоскости прямоугольник площадью π R 2 {\displaystyle \pi R^{2}} . Располагая таким прямоугольником, уже несложно построить равновеликий ему квадрат.

Приближённое решение

Пусть a {\displaystyle a} - сторона квадрата, D {\displaystyle D} - диагональ квадрата, r {\displaystyle r} - радиус круга. Равенство площадей квадрата и круга: π r 2 = a 2 {\displaystyle \pi r^{2}=a^{2}} . По теореме Пифагора D 2 = a 2 + a 2 {\displaystyle D^{2}=a^{2}+a^{2}} , откуда D = a 2 {\displaystyle D=a{\sqrt {2}}} , a = D 2 {\displaystyle a={\frac {D}{\sqrt {2}}}} . Подставив a {\displaystyle a} в равенство, получим π r 2 = (D 2) 2 {\displaystyle \pi r^{2}=\left({\frac {D}{\sqrt {2}}}\right)^{2}} . Выразив D {\displaystyle D} , получим D = r 2 π ≈ 2.507 ⋅ r {\displaystyle D=r{\sqrt {2\pi }}\approx 2.507\cdot r} . Диагональ искомого квадрата приближённо равна 2,5 радиусам круга. Построив квадрат со стороной указанной длины и взяв половину его диагонали, получим сторону искомого приближённого квадрата

О квадратуре круга. Что значит "квадратура круга"

Скачать:

Предварительный просмотр:

1 Сергей Дениченко :

2 Анатолий:

4 Геннадий Кудрявцев:

5 Геннадий Кудрявцев:

6 vasil stryzhak:

7 vasil stryzhak:

9 vasil stryzhak:

10 Геннадий Кудрявцев:

11 Геннадий Кудрявцев:

12 vasil stryzhak:

13 Геннадий Кудрявцев:

14 vasil stryzhak:

Энциклопедичный YouTube

Неразрешимость

Приближённое решение