Что такое квадратура круга объяснить. Математическое исследование
квадратура круга
знаменитая задача древности о построении квадрата, равновеликого данному кругу. Попытки решить квадратуру круга с помощью циркуля и линейки (односторонней, без делений) успеха не имели, т.к. задача сводится к построению отрезка длины, что, как было доказано в 19 в., невозможно. Задача становится разрешимой, если для построения привлечь другие средства.
Квадратура круга
задача о разыскании квадрата, равновеликого данному кругу. Под К. к. понимают как задачу точного построения квадрата, равновеликого кругу, так и задачу вычисления площади круга с тем или иным приближением. Задачу о точной К. к. пытались решить первоначально с помощью циркуля и линейки. Математика древности знала ряд случаев, когда с помощью этих инструментов удавалось преобразовать криволинейную фигуру в равновеликую ей прямолинейную (см., например, Гиппократовы луночки). Попытки решения задачи о К. к., продолжавшиеся в течение тысячелетий, неизменно оканчивались неудачей. С 1775 Парижская АН, а затем и др. академии стали отказываться от рассмотрения работ, посвященных К. к. Лишь в 19 в. было дано научное обоснование этого отказа: строго установлена неразрешимость К. к. с помощью циркуля и линейки.
Если радиус круга равен г, то сторона равновеликого этому кругу квадрата равна. Таким образом, задача сводится к следующей: осуществить построение, в результате которого данный отрезок (r) был бы умножен на данное число (). Однако графическое умножение отрезка на число осуществимо циркулем и линейкой, если упомянутое число ≈ корень алгебраического уравнения с целыми коэффициентами, разрешимого в квадратных радикалах. Т. о., окончательная ясность в вопросе о К. к. могла быть достигнута на пути изучения арифметической природы числа p. В конце 18 в. нем. математиком И. Ламбертом и французским математиком А. Лежандром была установлена иррациональность числа p. В 1882 нем. математик Ф. Линдеман доказал, что число p (а значит и) трансцендентно, т. е. не удовлетворяет никакому алгебраическому уравнению с целыми коэффициентами. Теорема Линдемана положила конец попыткам решения задачи о К. к. с помощью циркуля и линейки. Задача о К. к. становится разрешимой, если расширить средства построения. Уже греч. геометрам было известно, что К. к. можно осуществить, используя трансцендентные кривые; первое решение задачи о К. к. было выполнено Диностратом (4 в. до н. э.) при помощи специальной кривой ≈ так называемые квадратрисы (см. Линия). О задаче нахождения приближённого значения числа p см. в ст. Пи.
Лит.: О квадратуре круга (Архимед, Гюйгенс, Ламберт, Лежандр). С приложением истории вопроса, пер. с нем., 3 изд., М. ≈ Л., 1936; Стройк Д. Я., Краткий очерк истории математики, пер. с нем.,2 изд., М., 1969.
Википедия
Квадратура круга
Квадрату́ра кру́га - задача, заключающаяся в нахождении способа построения с помощью циркуля и линейки квадрата, равновеликого по площади данному кругу. Наряду с трисекцией угла и удвоением куба, является одной из самых известных неразрешимых задач на построение с помощью циркуля и линейки.
Если обозначить R радиус заданного круга, x - длину стороны искомого квадрата, то, в современном понимании, задача сводится к решению уравнения: x = π R , откуда получаем: $x = \sqrt{\pi} R \approx 1{,}77245 R.$ Доказано, что с помощью циркуля и линейки точно построить такую величину невозможно.
Введение
Древнегреческие математики достигли чрезвычайно большого искусства в геометри ческих построениях с помощью циркуля и линейки. Однако три задачи не поддавались их усилиям. Прошли тысячелетия, и только в наше время, наконец, были получены их решения.
Вот эти три великие задачи: построение квадрата, равновеликого данному кругу (или, сокращенно, квадратура круга); деление произвольно заданного угла или дуги на три равновеликие части (или трисекция угла), и построение куба, объем которого вдвое больше объема заданного куба (или удвоение куба).
Квадратура круга
математический куб древность квадрат
История нахождения квадратуры круга длилась четыре тысячелетия, а сам термин стал синонимом неразрешимых задач. Как следует из подобия кругов, отношение длины окружности к ее диаметру есть величина постоянная, не зависящая от радиуса круга, она обозначается буквой р . Таким образом, длина окружности круга радиуса r равна 2 р r, а так как площадь круга равна S = р r 2 , то задача о квадратуре круга сводится к задаче построения треугольника с основанием 2 р r и высотой r. Для него потом уже без труда может быть построен равновеликий квадрат.
Итак, задача сводилась к построению отрезка, длина которого равна длине окружности данного круга. Это было показано еще Архимедом в сочинении «Измерение круга», где он доказывает, что число р меньше чем
Но больше чем,
т.е. 3,1408 < n < 3,1429.
В наши дни с помощью ЭВМ число р вычислено с точностью до миллиона знаков, что представляет скорее технический, чем научный интерес, потому что такая точность никому не нужна. Десяти знаков числа л (n = =3,141592653…) вполне достаточно для всех практических целей. Долгое время в качестве приближенного значения р использовали число 22/7, хотя уже в V в. в Китае было найдено приближение 355/113=3,1415929…, которое было открыто вновь в Европе лишь в XY1 в. В Древней Индии р считали равным v10= =3,1622…. Французский математик Ф. Виет вычислил в 1579 г. р с 9 знаками. Голландский математик Лудольф Ван Цейлен в 1596 г. публикует результат своего десятилетнего труда-число р , вычисленное с 32 знаками.
Но все эти уточнения значения числа р производились методами, указанными еще Архимедом: окружность заменялась многоугольником со все большим числом сторон. Периметр вписанного многоугольника при этом был меньше длины окружности, а периметр описанного многоугольника - больше. Но при этом оставалось неясным, является ли число р рациональным, т.е. отношением двух целых чисел, или иррациональным. Лишь в 1767 г. немецкий математик И.Г. Ламберт доказал, что число р иррационально, а еще через сто с лишним лет в 1882 г. другой немецкий математик - Ф. Линдеман доказал его трансцендентность, что означало и невозможность построения при помощи циркуля и линейки квадрата, равновеликого данному кругу.
Конечно, способов приближенного решения квадратуры круга с помощью циркуля и линейки было придумано великое множество. Так, в Древнем Египте было распространено правило: площадь круга равна площади квадрата со стороной, равной 8/9; р = 256/81 = = 3,1604….
Были найдены и другие пути определения квадратуры круга: кроме циркуля и линейки использовали другие инструменты или специально построенные кривые. Так, в V в. до н.э. греческий математик Гиппий из Элиды изобрел кривую, впоследствии получившую название квадратрисы Динострата (ее назвали по имени другого древнегреческого математика, жившего несколько позже и указавшего
способ построения квадратуры круга при помощи этой кривой).
Однако не в практическом отношении интересовала людей задача о квадратуре круга, а интересовала принципиальная ее сторона: возможно ли точно решить эту задачу, выполняя построение с помощью циркуля и линейки?
Следы задачи о квадратуре круга можно усмотреть еще в древнеегипетских и вавилонских памятниках II тысячелетия до н.э. Однако непосредственная постановка задачи о квадратуре круга встречается впервые в греческих сочинениях V в. до н.э. В своем произведении «О изгнании» Плутарх рассказывает, что философ и астроном Анаксагор (500-428 до н.э.), находясь в тюрьме, отгонял печаль размышлениями над задачей квадратуры круга. В комедии «Птицы» (414 г. до н.э.) знаменитый греческий поэт Аристофан, шутя на тему о квадратуре круга, вкладывает в уста астронома Метона следующие слова:
Возьму линейку, проведу прямую,
И мигом круг квадратом обернется,
Посередине рынок мы устроим,
А от него уж улицы пойдут-
Ну, как на Солнце! Хоть оно само
И круглое, а ведь лучи прямые!.
Эти стихи говорят о том, что задача уже была к тому времени очень популярной в Греции. Один из современников Сократа - софист Антифон считал, что квадратуру круга можно осуществить следующим образом: впишем в круг квадрат и, разделяя пополам дуги, соответствующие его сторонам, построим правильный вписанный восьмиугольник, затем шестнадцатиугольник и т.д., пока не получим многоугольник, который в силу малости сторон сольется с окружностью. Но так как можно построить квадрат, равновеликий любому многоугольнику, то и круг можно квадрировать.
Рис. 1
Однако уже Аристотель указал, что это будет только приближенное, но не точное решение задачи, так как никогда многоугольник не может совпасть с кругом.
Квадратурой круга занимался также самый знаменитый геометр V в. до н.э. - Гиппократ Хиосский. У многих занимавшихся этой задачей возникло сомнение, возможно ли вообще построить прямолинейную фигуру, равновеликую криволинейной. Эта возможность была доказана Гиппократом, построившим лунообразные фигуры (рис. 1), известные под названием «гиппократовых луночек». В полукруг с диаметром ВС вписан равнобедренный прямоугольный треугольник ВАС (ВА = АС). На АВ и АС, как на диаметрах, описываются полуокружности. Фигуры-мениски ALBM и ADCE, ограниченные круговыми дугами, и называются луночками. По теореме Пифагора имеем:
BC/ 2 = AB 2 + АС 2 = 2АС 2 . (1)
Отношение площадей кругов или полукругов ВМАЕС и AECD равно, как впервые доказал сам Гиппократ, отношению квадратов соответствующих диаметров, которое в силу (1) равно 2. Итак, площадь сектора ОАС равна площади полукруга, построенного на диаметре АС. Если из обеих этих равных площадей вычесть общую площадь сегмента АСЕ, то и получим, что площадь треугольника АОС равна площади луночки ADCE, или сумма площадей обеих луночек равна площади равнобедренного треугольника ВСА. Гиппократ нашел и другие луночки, допускающие квадратуру, и продолжал свои изыскания в надежде дойти до квадратуры круга, что ему, конечно, не удалось.
Различные другие попытки, продолжавшиеся в течение тысячелетий попытки найти квадратуру круга неизменно оканчивались неудачей. Лишь в 80-х годах XIX в. было строго доказано, что квадратура круга с помощью циркуля и линейки невозможна.
Задача о квадратуре круга становится разрешимой, если применять, кроме циркуля и линейки, еще другие средства построения. Так, еще в IV в. до н.э. греческие математики Динострат и Менехм пользовались для решения задачи одной кривой, которая была найдена еще в V в. до н.э. Гиппием Элидским. Однако ученых Древней Греции и их последователей такие решения, находящиеся за пределами применения циркуля и линейки, не удовлетворяли. Будучи вначале чисто геометрической задачей, квадратура круга превратилась в течение веков в исключительно важную задачу арифметико-алгебраического характера, связанную с числом пи, и содействовала развитию новых понятий и идей в математике.
Это выражение – квадратура круга , наверняка вам где-то встречалось. А вот что оно означает, и с чем его едят, вряд ли кто скажет сразу. В первом приближении кажется. Что это аналог выражения «площадь круга». Однако это совсем не так.
Известно, что геометрия одна из самых древних наук, ибо выросла она из жизненной необходимости. Гео-метрия в буквальном переводе – землемерие. Испокон веку была у людей необходимость мерить землю. А как ее измерять и сравнивать участки между собой, если они не ровные? Всякие там треугольные, трапециевидные и тп. Вобщем, появилась необходимость – появилась наука. При этом у древних математиков были самые примитивные инструменты, циркуль и линейка. И задумали они при помощи только этих инструментов построить квадрат, равный по площади соответствующему кругу.
Но, «сколь ни билась ты, Яга, а не вышло ни фига» - не смогли построить с помощью циркуля и линейки круг и квадрат, равные друг другу по площади.
Вот что по этому поводу написано в Википедии:
Если принять за единицу измерения радиус круга и обозначить x длину стороны искомого квадрата, то задача сводится к решению уравнения: x 2 = π , откуда: . Как известно, с помощью циркуля и линейки можно выполнить все 4 арифметических действия и извлечение квадратного корня, отсюда следует, что квадратура круга возможна в том и только в том случае, если с помощью конечного числа таких действий можно построить отрезок длины π . Таким образом, неразрешимость этой задачи следует из неалгебраичности числа π , которая была доказана в 1882 году Линдеманом. Однако эту неразрешимость следует понимать, как неразрешимость при использовании только циркуля и линейки. Задача о квадратуре круга становится разрешимой, если, кроме циркуля и линейки, использовать другие средства …
Другие интересные выражения из русской речи:
Фимиам – это общее название благовоний, которые курили не только перед алтарями
Интересное выражение – козел отпущения . Фраза недосказана, но все ее прекрасно
Интересное выражение – купить кота в мешке. Его можно отнести к разряду интуитивно
Соловей – самая приятная певчая птица, живущая на просторах России. Почему из всех
Кузькина мать (или показать кузькину мать) – устойчивое словосочетание непрямого
Выражение круговая порука – это выражение прямого значения, то есть означает то,
С древнейших времен у многих народов существует поверье, что крокодил плачет, когда
Крепкий орешек – это выражение принято связывать со взятием Петром Первым шведской
выражение красной нитью не имеет к идеологии никакого отношения. А имеет отношение
Квасной патриотизм – короткое, бьющее точно в цель ироничное определение для
Великая Китайская Стена – самое большое архитектурно-строительное произведение
Выражение кесарю-кесарево библейского происхождения, как и многие другие
Пусть вас не смущает эта идиотская формулировка, составленная специально для
Китайские церемонии – этот фразеологизм мы нередко используем в разговоре. Как
По выражению лить колокола совершенно невозможно догадаться, какое еще значение
Верста – русская мера длины, существовавшая в России до введения метрической
Колосс на глиняных ногах – это своего рода характеристика или оценка чего-то
Про происхождение выражения колумбово яйцо разные источники сообщают примерно
Интересное выражение – купить кота в мешке. Его можно отнести к разряду интуитивно
Если это выражение пустить красного петуха прочитает иностранец, изучающий
Выражение костей не собрать для нашего российского уха достаточно привычное. Его
Издревле, еще до появления геометрии, люди привязывали меры длины к частям своего
Казалось, известное всем выражение, на кривой козе не подъедешь . Означает оно тот
Оказывается, возникновение этого фразеологизма напрямую связано с религией, точнее с
Попал как кур во щи говорят тогда, когда неожиданно попадают в крайне неприятную
Сирота казанская – очень интересное выражение. Сирота – понятно, но почему именно
Как от козла молока (получить) – говорят о человеке, от которого нет никакой пользы,
Калиф на час говорят про руководителей или начальников, которые оказались у власти
Канитель слово иностранного происхождения, означает оно тонкую металлическую
Выражение кануть в лету знакомо и понятно всем. Означает оно – исчезнуть из памяти,
Название города-государства Карфаген известно нам еще из учебников истории
Таскать каштаны из огня – это выражение обретет полную ясность, если добавить к
Как в воду глядел – выражение понятное по значению, но не сразу понятное по
Выражение во всю ивановскую, точнее, орать во всю ивановскую, известно очень
Выражение, или словесный оборот и на солнце есть пятна подчеркивает, что в мире
Выражение и на старуху бывает проруха говорит само за себя. Согласно словарю
И ты, Брут! – выражение знакомое практически каждому образованному человеку, даже
Иван, не помнящий родства – чисто русское выражение, уходящее корнями в нашу
Слово свечи в русском языке имеет несколько значений: прежде всего это свечи для
Выражение делать из мухи слона совершенно понятно, не содержит каких-то
Прописать ижицу - выражение из разряда ушедших из нашего обихода в прошлое. Но
На букву Г
На букву Д
1 Сергей Дениченко :
КВАДРАТУРА КРУГА
«Квадратура круга», как я это понимаю – философия, затрагивающая историческую тему, выполненная на математическом материале. Решением Квадратуры круга показано, что нет неразрешимых проблем, а следовательно, не нужно рубить (Гордиев) узел, все решается мирным путем, в том числе и международные конфликты, и проблема с терроризмом.
Решение Квадратуры круга – не открытие чего то нового, я не решил задачу, а показал, как она могла решаться в древности. Это переворачивает сознание человека, в восприятии себя умнее, своих предков. Рушится канон:- «Не учите меня жить, я самый умный.» Человечество должно задуматься:- « А так ли я живу? Куда катится цивилизация?»
Иначе, пустая трата времени на разработку темы по переселению человечества на другие планеты. Прежде чем потухнет Солнце, человек погубит себя на нашей грешной Земле, не успев нагрешить на чужой планете.“Квадратура круга” – синоним проблемы не имеющей решения. А может нужно изменить подход к стоящей перед Вами задачи. Так “Квадратура круга” – необходимо с помощью циркуля и односторонней линейки (рейки), построить квадрат равновеликий по площади заданному кругу. А если изменить подход к решению. Ход решения: “Равновеликость квадрата и шестеренки” – “Кругатура квадрата” (в этом нет поиска трансцендентного числа Pi) А далее решение “Кругатуры квадрата” позволяет выразить геометрически сторону квадрата равновеликого по площади заданному кругу (решить “Квадратуру круга”) и выразить длину окружности прямым отрезком. Во всяком случае числа 1,7724538968686925718887244115238… и 3,1415928165250138836954861078059… не трансцендентны.
Кому интересна данная тема, можно познакомиться с решением на сайте по адресу:2 Анатолий:
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О КВАДРАТУРЕ КРУГА
Задача о КВАДРАТУРЕ КРУГА: построить при помощи циркуля и линейки квадрат, площадь которого равна площади данного круга.
РОСТОВЩИКОВ АНАТОЛИЙ ВЛАДИМИРОВИЧ 3604 364780
Необходимость в построении обусловлена невозможностью высокоточного расчёта площади круга и длины окружности без привязки к параметрам соразмерного квадрата.
Квадрат – единственная геометрическая фигура, площадь и периметр которой вычисляются минимальным количеством арифметических действий при абсолютной точности результата.
Таким образом, финалом решения задачи становится не столько само построение квадрата, (ради квадрата), сколько вычисление площади круга и длины окружности с максимальной точностью по отношению к квадрату.
Результаты расчётов названных параметров традиционным способом выражаются с погрешностью, заложенной в число Pi, т.к. значение этого показателя обусловлено вычислением сторон и площадей бесконечного множества треугольников.
Точность результатов вычисления площади круга и длины окружности в приведённых ниже расчётах не превышает погрешность результата при извлечении квадратного корня. Более высокая точность расчёта невозможна, как невозможно ещё точнее вычислить параметры самого квадрата.ПРИМЕЧАНИЕ:
Некоторые значения, определения и ссылки в соответствии с законами математических и геометрических пропорций представлены без комментариев.ОБОЗНАЧЕНИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ПРИНЯТЫЕ В РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ:
D – диаметр окружности, (Для удобства восприятия вычислений принято значение D = 7)
R – радиус окружности
S – площадь круга, S = Sвк + 4Sс
L – длина окружности
O – центр окружности
Sок – площадь Описанного Квадрата ABCE, Sок = D2
Pок – периметр Описанного Квадрата ABCE, Pок = 4D
Sвк – площадь Вписанного Квадрата A’B"C’E", Sвк = Sок / 2 = D2 / 2
Sс – площадь одного Сегмента
Nок/с – величина, отражающая числовое значение соотношения Sок и Sс; (Nок/с = Sок / Sс = 14)
КК – Квадратура КругаОБОЗНАЧЕНИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ПРИНЯТЫЕ В ПРОВЕРОЧНОМ ВАРИАНТЕ:
N’ок/с – величина, отражающая числовое значение соотношения Sок и Sс; (N’ок/с = 14,1)
N”ок/с – величина, отражающая числовое значение соотношения Sок и Sс; (N”ок/с = 13,9)
S’с – площадь одного Сегмента; (при N’ок/с = 14,1)
S”с – площадь одного Сегмента; (при N”ок/с = 13,9)
S’- площадь круга; (при N’ок/с = 14,1)
S”- площадь круга; (при N”ок/с = 13,9)
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ:
Посредством дискретного замещения значений соотношения Sок и Sс установлено:
(1) Nок/с = Sок / Sс = 14, constПЛОЩАДЬ ОДНОГО СЕГМЕНТА:
(2) Sс = Sок / 14
(3) Sс = Sвк / 7
(4) Sс = D2 / 14 = 49 / 14 = 3,5ПЛОЩАДЬ ЧЕТЫРЁХ СЕГМЕНТОВ:
(5) 4Sс = 4D2 / 14 = 196 / 14 = 14ПЛОЩАДЬ КРУГА:
(6) S = Sвк + 4Sс = 24,5 + 14 = 38,5
(7) S = (D2 / 2) + (4D2 / 14)
(8) S = 11D2 / 14 = 539 / 14 = 38,5ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ:
(9) Sок / S = Pок / L
(10) L = SPок / Sок
(11) L = (11D2 / 14) (4D) / (D2)
(12) L = 22D / 7ПРОВЕРКА
Вариант 1: N’ок/с = Sок / S’с = 14,1 Вариант 2: N”ок/с = Sок / S”с = 13,9
ПЛОЩАДЬ ОДНОГО СЕГМЕНТА: ПЛОЩАДЬ ОДНОГО СЕГМЕНТА:
S’с = Sок / 14,1 = 49 / 14,1 = 3,475… S”с = Sок / 13,9 = 49 / 13,9 = 3,525…ПЛОЩАДЬ ЧЕТЫРЁХ СЕГМЕНТОВ: ПЛОЩАДЬ ЧЕТЫРЁХ СЕГМЕНТОВ:
4S’с = 4D2 / 14,1 = 196 / 14,1 = 13,9 4S”с = 4D2 / 13,9 = 196 / 13,9 = 14,1ПЛОЩАДЬ КРУГА: ПЛОЩАДЬ КРУГА:
S’= Sвк + 4S’с = 24,5 + 13,9 = 38,4 S”= Sвк + 4S”с = 24,5 + 14,1 = 38,6ПЛОЩАДЬ КРУГА, (S’кк) ПО ФОРМУЛЕ (8): ПЛОЩАДЬ КРУГА, (S”кк) ПО ФОРМУЛЕ (8):
S’кк = 11D2 / 14,1 = 539 / 14,1 = 38,227 S”кк = 11D2 / 13,9 = 539 / 13,9 = 38,777РЕЗЮМЕ: РЕЗЮМЕ:
S’≠ S’кк, (38,475 ≠ 38,227) S”≠ S”кк, (38,525 ≠ 38,777)СЛЕДОВАТЕЛЬНО:
(1) Nок/с = Sок / Sс = 14, const
(8) S = 11D2 / 14СРАВНИТЕЛЬНЫЕ РАСЧЁТЫ:
В таблице приведены сравнительные результаты вычислений S и L, с произвольно выбранными значениями D по приведённой технологии, (КК) и с применением числа Pi, (Pi):D S L
KK Pi KK Pi
5,0 19,6428571428571 19,6349540849312 15,7142857142857 15,707963267945
6,0 28,2857142857142 28,274333882301 18,8571428571428 18,849555921534
7,0 38,5 38,4845100064652 22,0 21,991148575123
8,0 50,2857142857142 50,265482457424 25,142857142857 25,132741228712
56,78 2533,11802857142 2532,09886021077 178,451428571428 178,3796308707834 Геннадий Кудрявцев:
На одной вертикальной оси постройте одну под другой две одинаковые окружности. Из верхней точки верхней окружности проведите касательные к нижней окружности. Они пересекут верхнюю окружность в двух точках. Соедините их прямой. Верхняя часть диаметра верхней окружности, отсечённая этой прямой,будет равна (точность очень велика, предлагаю вычислить самим)) стороне искомого квадрата.
Кто-нибудь знает метод получения более точного результата?5 Геннадий Кудрявцев:
Извините. Забыл уточнить, что окружности должны касаться друг друга.
6 vasil stryzhak:
На рисунке изображен метод построения с лучшим показателем точности относительно предыдущего комментария.7 vasil stryzhak:
Второй вариант построения с более оптимальным решением квадратуры круга. Пунктирными линиями изображены описанный и вписанный квадраты в окружность с центром О и радиусом R = 1. Окружности с центрами в точках О₁, О₂, О₃, О₄ описаны радиусом r = 0,5. Точки пересечения окружностей служат для построения квадрата равновеликого исходной окружности.9 vasil stryzhak:
Уважаемый Геннадий! Специально для Вас более подробно остановлюсь на вычислении погрешности метода по поз. 6. Обозначим верхнюю точку пересечения окружностей буквой А. Тогда согласно построения О₁А=1, О₁О₂=2,25, О₂А=2. Высота hₐ треугольника О₁АО₂ равна половине стороны искомого квадрата. Ее можно вычислить по формуле Герона
hₐ = 2√(p(p – a)(p – b)(p –c))/a, где p = (a + b + c)/2.
Определим абсолютную погрешность метода: δ = 2hₐ – √π = 1,77756… – 1,77245… ≈ 0,0051, что соответствует 0,29%. Следовательно, Вы допустили явную ошибку в вычислениях. Погрешность метода по поз. 7 составляет 0,27%. Обычно я подвергаю методы построения анализу в системе прямоугольных координат. Тогда проще рассчитать координаты точек пересечения прямых и окружностей, как между собой, так и друг с другом. Два предложенных ранее варианта квадратуры круга наиболее простые. В качестве примера рассмотрим еще один более точный метод построения с абсолютной погрешностью 0,00018,а относительной 0,01%.Впишем в квадрат ABCD окружность. Не изменяя раствора циркуля, из середины стороны квадрата (точки О₁) как из центра делаем первую засечку на окружности в точке L. Далее уже из построенной точки как из центра тем же растворам циркуля проводим вторую засечку на другой стороне квадрата и получаем точку G, которую соединяем с серединой противоположной стороны квадрата. Отрезок О₄G пресекает окружность в точке Н. Проведем дуги из точек О₁, О₂, О₃, О₄ (середин сторон квадрата) как из центров кривизны радиусом r = НО₂ до пересечения с окружностью. Полученные таким образом точки служат для построения квадрата A₁B₁C₁D₁ равновеликого кругу.
10 Геннадий Кудрявцев:
УВАЖАЕМЫЙМ VASIL!
Вы правы. Поздравляю!. Успехов Вам в новом году. И в последующих тоже.11 Геннадий Кудрявцев:
Решение задачи о квадратуре круга наталкивает на мысль о решении другой, сходной задачи: квадратура эллипса.
Формулу площади эллипса можно преобразовать так:
S = √∏R͗͗² х √∏r.²
Корни квадратные из окружностей – это те самые стороны квадратов, равновеликих по площадям этих окружностей, которые запросто определяет уважаемый Vasil. Значит, имеем две стороны прямоугольника. А, уж, построить равновеликий ему по площади квадрат – не проблема.12 vasil stryzhak:
Уважаемый Геннадий! Спасибо за пожелания. Вам тоже взаимно успехов по жизни. Идея квадратуры эллипса для меня нова, предложенное решение довольно интересное и самое главное верное. Если принять малую полуось эллипса равной единичному отрезку α =1, тогда сторона равновеликого эллипсу квадрата определиться как c=√(πb), где b – большая полуось. Построить отрезок равный π теоретически возможно с любой степенью точности. Свой вариант как это сделать изложу, возможно, позже, когда выкрою время и придет вдохновение.
13 Геннадий Кудрявцев:
Уточню вторую позицию:
– метод рассечения конуса для получения коников с наперёд заданными параметрами.14 vasil stryzhak:
Если принять радиус окружности за единицу, то длина полуокружности - это число . Прямоугольник со сторонами и равен площади круга, тогда среднее геометрическое этих сторон и есть сторона квадрата равновеликого исходному кругу. Рассмотрим вариант построения отрезка равного длине полуокружности, тем самым решение задачи квадратуры круга.
На горизонтальной прямой из точки , как из центра, проведем окружность произвольным радиусом . Опишем вокруг окружности и впишем в нее по три стороны от правильного шестиугольника, охватывающих полуокружность, необходимых для разъяснения материала. В построении участвует одна сторона от вписанного шестиугольника, перпендикулярная горизонтальной прямой. Проведем два луча через точки и из центра окружности . Далее из точки , как из центра, опишем дугу радиусом , пересекающую лучи в точках и , а горизонтальную прямую в точке . Построение может осуществляется от любого вписанного правильного многоугольника, тогда радиус дуги определяется делением количества его сторон на два . Соединим между собой точки и . Полученный таким образом отрезок, равен сумме изображенных на рисунке сторон от вписанного в окружность шестиугольника
С недостатком относительно длинны полуокружности. Затем, параллельно проведем через точку прямую до пересечения с лучами. В результате имеем отрезок, равный сумме сторон от описанного шестиугольника
С избытком относительно длинны полуокружности. Следовательно, отрезок равный , т.е. длине полуокружности, находится между построенными отрезками и .
Определим местоположение искомого отрезка следующим образом. Соединим концы отрезков и крест накрест, а точку (середину ) с точками и . В местах скрещивания новых отрезков получим точки и . Проведем прямую проходящую через эти точки до пересечения с лучами в точках и . Насколько построенный отрезок соответствует длине полуокружности, можно проверить вычислением в два этапа следующими формулами:
, ( – равно высоте треугольника ),
Задача о квадратуре круга пользовалась исключительной известностью с древнейших времён и тысячелетиями привлекала к себе внимание математиков. Она привлекает к себе внимание прежде всего простотой формулировки: построить квадрат, площадь которого была бы равна площади данного круга.
Долгое время не возникало сомнения в возможности осуществить квадратуру круга. Эта уверенность подкреплялась, по-видимому, тем, что ещё в V в. до н. э. греческому геометру Гиппократу удалось превратить в квадрат некоторые круговые луночки" (часть плоскости, ограниченная дугами двух окружностей). На рисунке 199 изображена "луночка" равновеликая треугольнику (который нетрудно превратить в равновеликий ему квадрат).
Популярность задачи о квадратуре круга "росла вместе с числом неудачных попыток её разрешения".
В XV в. были высказаны предположения о невозможности решить эту задачу циркулем и линейкой (Леонардо да Винчи и другие).
В XVII и XVIII вв. делались попытки доказать неразрешимость задачи о квадратуре круга. Исследования этого вопроса вызвали к жизни некоторые проблемы из области алгебры и теории чисел.
Площадь круга радиуса равна т. е. равна площади квадрата со стороной которая строится как средний пропорциональный отрезок между отрезками
И если бы можно было, зная радиус круга построить отрезок длиной то легко можно было бы построить такой квадрат.
И обратно: если бы при данном можно было построить квадрат, равновеликий кругу, то можно было бы построить отрезок, равный по длине окружности. В самом деле: если а - сторона упомянутого квадрата, то так что искомый отрезок строится как четвёртый пропорциональный отрезок к отрезкам 2а, а к
Итак, задача о квадратуре круга равносильна задаче о "спрямлении окружности", т. е. о построении отрезка длиной При длина окружности равна Поэтому задача о спрямлении окружности привела к изучению свойств числа
В 1766 г. известным швейцарским математиком Иоганном Ламбертом (1728-1777) было дано первое доказательство иррациональности числа впоследствии усовершенствованное Лежандром (1752-1833). Доказательства иррациональности числа дали также Эйлер, Гаусс, Эрмит и другие. Но этим лишь наметился путь для дальнейших исследований: иррациональность числа ещё не решала вопроса о возможности квадратуры круга ни в положительном, ни в отрицательном смысле.
Чтобы уяснить себе алгебраическую сторону проблемы, вспомним признак возможности построения отрезка циркулем и линейкой (глава VI, § 8): если длина отрезка,
который может быть построен с помощью циркуля и линейки, является функцией длин данных отрезков, то она может быть выражена через длины данных отрезков с помощью конечного числа рациональных операций и операций извлечения квадратного корня. Исходя только из и полагая мы заметим, что длина искомого отрезка должна образоваться из 1 с помощью только рациональных операций и операций извлечения квадратного корня. Известно, что такие числа являются алгебраическими, т. е. служат корнями многочленов с рациональными коэффициентами (см., например, Курош, Курс высшей алгебры, 1955, § 55. Числа, не являющиеся алгебраическими, называют трансцендентными. Таким образом, для разрешимости задачи о квадратуре круга необходимо, чтобы число было алгебраическим, а не трансцендентным.
Первые примеры трансцендентных чисел были получены только во второй половине XIX в. Впоследствии оказалось, что множество трансцендентных чисел является "более мощным", "более богатым" элементами, чем множество алгебраических чисел. В 1882 г. было доказано, что число является трансцендентным числом Линдеманн, 1852- 1939).
Вместе с этим, наконец, была разрешена проблема квадратуры круга: квадратура круга невозможна с помощью циркуля и линейки.
Несмотря на то, что задача о спрямлении окружности (и задача о квадратуре круга) с помощью циркуля и линейки теоретически точно не разрешима, можно указать различные простые приёмы приближённого решения этой задачи с достаточной для практических целей точностью.
Если разделить окружность точками на достаточно большое число достаточно малых дуг, то периметр многоугольника, для которого эти точки служат последовательно вершинами, может быть принят за длину окружности. Этот приём широко используется в чертёжной практике. Недостаток его состоит в том, что точность решения сравнительно трудно поддаётся учету.
Известно, что ещё в III в. до н. э. Архимед нашел, что тсйу. При таком допущении отрезок длиной строится как три целых и одна седьмая диаметра данной
окружности. Это построение даёт приближённое решение задачи с избытком, причём относительная погрешность не превышает
Интересный приём приближённого спрямления окружности с помощью только циркуля предложил итальянский геометр Маскерони (1750-1800). Пусть О - центр данной окружности, А - какая-либо точка окружности (рис. 200).
Строим четыре последовательные вершины правильного вписанного шестиугольника: Пусть точка пересечения окружности и окружности Пусть в пересечении дуги данной окружности с окружностью образуется точка Тогда длина отрезка равна одной четвёртой части длины окружности с точностью до
