Математический анализ, функциональный анализ.

Математический анализ, функциональный анализ

• Алексич Г. Проблемы сходимости ортогональных рядов. М.: ИЛ, 1963 (djvu)
• Ахиезер Н., Крейн М. О некоторых вопросах теории моментов. Харьков: ГНТИУ, 1938 (djvu)
• Ахиезер Н.И. Классическая проблема моментов и некоторые вопросы анализа, связанные с нею. М.: Физматлит, 1961 (djvu)
• Балк М.Б., Петров В.А., Полухин А.А. Задачник-практикум по теории аналитических функций. М.: Просвещение, 1976 (djvu)
• Беккенбах Э., Беллман Р. Введение в неравенства. М,: Мир, 1965 (djvu)
• Бернштейн С.Н. Экстремальные свойства полиномов и наилучшее приближение непрерывных функций одной вещественной переменной. Часть 1. Л.-М.: ГРОТЛ, 1937 (djvu)
• Бермант А.Ф. Курс математического анализа. Часть I (12-е изд.). М. Физматгиз, 1959 (djvu)
• Бермант А.Ф. Курс математического анализа. Часть II (9-е изд.). М. Физматгиз, 1959 (djvu)
• Бермант А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа для ВТУЗов (5-е изд.). М.: Наука, 1967 (djvu)
• Брело М. О топологиях и границах в теории потенциала. М.: Мир, 1974 (djvu)
• Брудно А.Л. Теория функций действительного переменного. М.: Наука, 1971 (djvu)
• Будак Б.М., Фомин С.В. Кратные интегралы и ряды. М.: Наука, 1965 (djvu)
• Будылин А.М. Ряды и интегралы Фурье. Л.: СПбГУ, 2002 (pdf)
• Бурбаки Н. Функции действительного переменного. Элементарная теория. М.: Наука, 1965 (djvu)
• Бэр Р. Теория разрывных функций. М.-Л.: ГТТИЛ, 1932 (djvu)
• Валле-Пуссен Ш.-Ж. Курс анализа бесконечно малых, том 1. 1922 (djvu)
• Валле-Пуссен Ш.-Ж. Курс анализа бесконечно малых, том 2. Л.-М.: ГТТИ, 1933 (djvu)
• Виленкин Н.Я., Бохан К.А., Марон И.А., Матвеев И.В., Смолянский М.Л., Цветков А.Т. Задачник по курсу математического анализа. Часть I. М.: Просвещение, 1971 (djvu)
• Виленкин Н.Я., Бохан К.А., Марон И.А., Матвеев И.В., Смолянский М.Л., Цветков А.Т. Задачник по курсу математического анализа. Часть II. М.: Просвещение, 1971 (djvu)
• Вулих Б.З. Введение в функциональный анализ (2-е изд.). М.: Наука, 1967 (djvu)
• Вулих Б.З. Краткий курс теории функций вещественной переменной. Введение в теорию интеграла (2-е изд.). М.: Наука, 1973 (djvu)
• Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике (12-е изд.). М.: Наука, 1977 (djvu)
• Выгодский М.Я. Основы исчисления бесконечно-малых (3-е изд.). М.-Л.: ГТТИ, 1933 (djvu)
• Гарди Г. Интегрирование элементарных функций. М.-Л.: ОНТИ, 1935 (djvu)
• Гелбаум Б., Олмстед Дж. Контрпримеры в анализе. М.: Мир, 1967 (djvu)
• Гельфанд И.М., Виленкин Н.Я. Некоторые применения гармонического анализа. Оснащенные гильбертовы пространства. (Обобщенные функции, выпуск 4). М.: Физматлит, 1961 (djvu)
• Гельфанд И.М., Граев М., Виленкин Н.Я. Интегральная геометрия и связанные с ней вопросы теории представлений. (Обобщенные функции, выпуск 5). М.: Физматлит, 1962 (djvu)
• Гельфанд И.М., Граев М., Пятецкий-Шапиро И. Теория представлений и автоморфные функции (Обобщенные функции, выпуск 6). М.: Физматлит, 1966 (djvu)
• Гельфанд И.М., Райков Д.А., Шилов Г.Е. Коммутативные нормированные кольца. М.: ГИФМЛ, 1960 (djvu)
• Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними (Обобщенные функции, выпуск 1) (2-е изд.). М.: Физматлит, 1959 (djvu)
• Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Пространства основных и обобщенных функций (Обобщенные функции, выпуск 2). М.: Физматлит, 1958 (djvu)
• Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений (Обобщенные функции, выпуск 3). М.: Физматлит, 1958 (djvu)
• Гливенко В.И. Интеграл Стильтьеса. Л.: ОНТИ, 1936 (djvu)
• Градштейн И. С. Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (4-е изд.). М.: Наука, 1963 (djvu)
• Гурса Э. Курс математического анализа, том 1, часть 1. Производные и дифференциалы. Определенные интегралы. М.-Л.: ГТТИ, 1933 (djvu)
• Гурса Э. Курс математического анализа, том 1, часть 2. Разложения в ряды. Геометрические приложения. М.-Л.: ГТТИ, 1933 (djvu)
• Гурса Э. Курс математического анализа, том 2, часть 1. Теория аналитических функций. М.-Л.: ГТТИ, 1933 (djvu)
• Гурса Э. Курс математического анализа, том 2, часть 2. Дифференциальные уравнения. М.-Л.: ГТТИ, 1933 (djvu)
• Гурса Э. Курс математического анализа, том 3, часть 1. Бесконечно близкие интегралы. Уравнения с частными производными. М.-Л.: ГТТИ, 1933 (djvu)
• Гурса Э. Курс математического анализа, том 3, часть 2. Интегральные уравнения. Вариационное исчисление. М.-Л.: ГТТИ, 1934 (djvu)
• Де Брёйн Н.Г Асимптотические методы в анализе. М.: ИЛ, 1961 (djvu)
• Де Рам Ж. Дифференцируемые многообразия. М.: ИЛ, 1956 (djvu)
• Давыдов Н.А., Коровкин П.П., Никольский В.Н. Сборник задач по математическому анализу (4-е изд.). М.: Просвещение, 1973 (djvu)
• Демидович Б.П. (ред.). Задачи и упражнения по математическому анализу для ВТУЗов (6-е изд.). М.: Наука, 1968 (djvu)
• Демидович Б.П. (ред.) Задачи и упражнения по математическому анализу для ВТУЗов (10-е изд.). М.: Наука, 1978 (djvu)
• Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М.: Наука, 1966 (djvu)
• Demidov A.S. Generalized Functions in Mathematical Physics: Main Ideas and Concepts. New York: Nova Science, 2001 (pdf)
• Джексон Д. Ряды Фурье и ортогональные полиномы. М.: ИЛ, 1948 (djvu)
• Дженкинс Г., Ваттс Д. Спектральный анализ и его приложения. Выпуск 1. М.: Мир, 1971 (djvu)
• Дженкинс Г., Ваттс Д. Спектральный анализ и его приложения. Выпуск 2. М.: Мир, 1972 (djvu)
• Дьедонне Ж. Основы современного анализа. М.: Мир, 1964 (djvu)
• Егорова И.А. Задачник-практикум по математическому анализу. Часть III. Функции нескольких переменных. М.: Учпедгиз, 1962 (djvu)
• Еругин Н.П. Неявные функции. Л.: ЛГУ, 1956 (djvu)
• Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу (4-е изд.). М.: Высшая школа, 1966 (djvu)
• Зельдович Б., Мышкис А.Д. Элементы прикладной математики (3-е изд.). М.: Наука, 1972 (djvu)
• Зельдович Я.Б., Яглом И.М. Высшая математика для начинающих физиков и техников. М.: Наука, 1982 (djvu)
• Зигмунд А. Тригонометрические ряды, том 1. М.: Мир, 1965 (djvu)
• Зигмунд А. Тригонометрические ряды, том 2. М.: Мир, 1965 (djvu)
• Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967 (djvu)
• Казимиров Н.И. Математический анализ. Конспект лекций для первого курса, ПетрГУ (pdf)
• Калинин В.В., Петрова И.В., Харин В.Т. Неопределенные и определенные интегралы (Математика в нефтегазовом образовании, вып. 3, часть 1). М.: МГУНГ им. И.М. Губкина, 2005 (pdf)
• Камке Э. Интеграл Лебега-Стилтьеса. М.: Физматлит, 1959 (djvu)
• Каплан И.А. Практические занятия по высшей математике. Части 1, 2, 3. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве. Дифференциальное исчисление функций одной и многих независимых переменных. Интегральное исчисление функций одной независимой переменной, интегрирование дифференциальных уравнений (3-е изд.). Харьков: ХГУ, 1967 (djvu)
• Каплан И.А. Практические занятия по высшей математике. Часть II. Дифференциальное исчисление функций одной и многих независимых переменных (5-е изд.). Харьков: Вища школа, 1973 (djvu)
• Каплан И.А. Практические занятия по высшей математике. Часть III. Интегральное исчисление функции одной независимой переменной. Интегрирование дифференциальных уравнений (4-е изд.). Харьков: Вища школа, 1974 (djvu)
• Каплан И.А. Практические занятия по высшей математике. Часть IV. Кратные и криволинейные интегралы (2-е изд.). Харьков: ХГУ, 1971 (djvu)
• Каплан И.А. Практические занятия по высшей математике. Часть V. Численное решение алгебраических и трансцендентных уравнений, матричное исчисление, векторный анализ и интегрирование линейных дифференциальных уравнений первого порядка с частными производными. (2-е изд.). Харьков: ХГУ, 1972 (djvu)
• Карлин С., Стадден В. Чебышевские системы и их применение в анализе и статистике. М.: Наука, 1976 (djvu)
• Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. М.: Мир, 1971 (djvu) (djvu)
• Каченовский М.И., Бохан К.М., Карпенко К.М. Сборник контрольных работ по математическим дисциплинам. Выпуск I. М.: Учпедгиз, 1958 (djvu)
• Кожевников Н.И., Краснощекова Т.И., Шишкин Н.Е. Ряды и интеграл Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа. М.: Наука, 1964 (djvu)
• Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика. М.: Мир, 1969 (djvu)
• Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементты теории функций и функционального анализа (4-е изд.). М.: Наука, 1976 (djvu)
• Копсон Э.Т. Асимптотические разложения. М.: Мир, 1966 (djvu)
• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1973 (djvu)
• Коробов Н.М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе. М.: Физматлит, 1963 (djvu)
• Коши Г.А.Л. Дифференциальное и интегральное исчисление. СПб: Императорская Академия Наук, 1831 (djvu)
• Крейн С.Г., Ушакова В.Н. Математический анализ элементарных функций. М.: ГИФМЛ, 1963 (djvu)
• Курант Р. Курс дифференциального и интегрального исчисления, том 1. М.: Наука, 1967 (djvu)
• Курант Р. Курс дифференциального и интегрального исчисления, том 2. М.: Наука, 1970 (djvu)
• Кушнер Б.А. Лекции по конструктивному математическому анализу. М.: Наука, 1973 (djvu)
• Ландау Э. Основы анализа. М.: ИЛ, 1947 (djvu)
• Лащенов К.В. Задачник-практикум по математическому анализу. Интегральное исчисление функций одной переменной. М.: Учпедгиз, 1963 (djvu)
• Лебег А. Интегрирование и отыскание примитивных функций. М.-Л.: ГТТИ, 1934 (djvu)
• Левитан Б.М. Почти-периодические функции. М.: ГИТТЛ, 1953 (djvu)
• Левитан Б.М., Жиков В.В. Почти-периодические функции и дифференциальные уравнения. М.: МГУ, 1978 (djvu)
• Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий. М.: Мир, 1967 (djvu)
• Лефор Г. Алгебра и анализ. Задачи. М.: Наука, 1973 (djvu)
• Лихолетов И.И., Мацкевич И.П. Руководство к решению задач по высшей математике, теории вероятностей и математической статистике (2-е изд.). Мн.: Выш. школа, 1969 (djvu)
• Лопиталь Г.Ф. Анализ бесконечно малых. М.-Л.: Гостехтеориздат, 1935 (djvu)
• Лузин Н.Н. Дифференциальное исчисление (7-е изд.). М.: Высш. шк., 1961 (djvu)
• Лузин Н.Н. Интеграл и тригонометрический ряд. М.-Л.: ГИТТЛ, 1951 (djvu)
• Лузин Н.Н. Интегральное исчисление (7-е изд.). М.: Высш. шк., 1961 (djvu)
• Лузин Н.Н. О некоторых новых результатах дескриптивной теории функций. М.-Л.: АН СССР, 1935 (djvu)
• Лузин Н.Н. Современное состояние теории функций действительного переменного. М.-Л.: ГТТИ, 1933 (djvu)
• Люмис Л. Введение в абстрактный гармонический анализ. М.: ИЛ, 1956 (djvu)
• Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального (2-е изд.). М.: Наука, 1965 (djvu)
• Макдональд И. Симметрические функции и многочлены Холла. М.: Мир, 1972 (djvu)
• Мальгранж Б. Идеалы дифференцируемых функций. М.: Мир, 1968 (djvu)
• Марон И.А. Дифференциальное и интегральное исчисление в примерах и задачах. Функции одной переменной. М.: Наука, 1970 (djvu)
• Мышкис А.Д. Лекции по высшей математике (4-е изд.). М.: Наука, 1973 (djvu)
• Мышкис А.Д. Математика для втузов. Специальные курсы. М.: Наука, 1971 (djvu)
• Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях. М.: Мир, 1971 (djvu)
• Натансон И.П. Конструктивная теория функций. М.-Л.: ГИТТЛ, 1949 (djvu)
• Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. М.-Л.: ГИТТЛ, 1950 (djvu)
• Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной (3-е изд.). М.: Наука, 1974 (djvu)
• Незбайло Т.Г. Новая теория вычисления неопределенного интеграла. СПб.: Корона-Век, 2007 (pdf)
• Немыцкий В., Слудская М., Черкасов А. Курс математического анализа. Том I. М.-Л.: ГИТТЛ, 1940 (djvu)
• Очан Ю.С. Сборник задач и теорем по теории функций действительного переменного. М.: Просвещение, 1963 (djvu)
• Парфентьев Н.Н. Исследования по теории роста функций. Казань, КазУн, 1910 (djvu)
• Погорелов А.И. Контрольные работы по математическому анализу. М.: Учпедгиз, 1951 (djvu)
• Погорелов А.И. Сборник задач по высшей математике. М.: Учпедгиз, 1949 (djvu)
• Полиа Г., Сеге Г. Задачи и теоремы из анализа. Часть 1. Ряды. Интегральное исчисление. Теория функций. М.: Наука, 1978 (djvu)
• Полиа Г., Сеге Г. Задачи и теоремы из анализа. Часть 2. Теория функций. Распределение нулей. Полиномы. Определители. Теория чисел. М.: Наука, 1978 (djvu)
• Риекстыныш Э.Я. Асимптотические разложения интегралов. Том 1. Рига: Зинатне, 1974 (djvu)
• Риекстыныш Э.Я. Асимптотические разложения интегралов. Том 2. Рига: Зинатне, 1977 (djvu)
• Риекстыныш Э.Я. Асимптотические разложения интегралов. Том 3. Рига: Зинатне, 1981 (djvu)
• Рудин У. Основы математического анализа (2-е изд.). М.: Мир, 1976 (djvu)
• Рывкин А.З., Куницкая Е.С. Задачник-практикум по математическому анализу. Часть 2. Интегральное исчисление функций одной переменной. М.: Учпедгиз, 1962 (djvu)
• Сакс С. Теория интеграла. М.: ИЛ, 1949 (djvu)
• Сборник контрольных работ по математическим дисциплинам (для студентов-заочников, окончивших учительские институты). М.: Учпедгиз, 1958 (djvu)
• Свиридюк Г.А., Федоров В.Е. Математический анализ. Часть 1. Челябинск: ЧелГУ, 1999 (pdf)
• Свиридюк Г.А., Кузнецов Г.А. Математический анализ. Часть 2. Челябинск: ЧелГУ, 1999 (pdf)
• Смирнов В.И. Курс высшей математики, том 1 (23-е издание). М.: Наука, 1974 (djvu)
• Смирнов В.И. Курс высшей математики, том 2 (21-е издание). М.: Наука, 1974 (djvu)
• Смирнов В.И. Курс высшей математики, том 3, часть 1 (10-е издание). М.: Наука, 1974 (djvu)
• Смирнов В.И. Курс высшей математики, том 3, часть 2 (9-е издание). М.: Наука, 1974 (djvu)
• Смирнов В.И. Курс высшей математики, том 4, часть 1 (6-е издание). М.: Наука, 1974 (djvu)
• Смирнов В.И. Курс высшей математики, том 4, часть 2 (6-е издание). М.: Наука, 1981 (djvu)
• Смирнов В.И. Курс высшей математики, том 5. М.: ГИФМЛ, 1959

1.1. Множества. Операции над множествами
1.2.* Функции
1.3.* Конечные множества и натуральные числа. Последовательности
1.4. Логические символы

2.1. Свойства действительных чисел
2.2.* Свойства сложения и умножения
2.3.* Свойство упорядоченности
2.4.* Свойство непрерывности действительных чисел
2.5. Расширенная числовая прямая
2.6. Промежутки действительных чисел. Окрестности
2.7. Ограниченные и неограниченные множества
2.8. Верхняя и нижняя грани числовых множеств
2.8. Свойства Архимеда
2.9. Принцип вложенных отрезков

3.1. Определение предела последовательности
3.2 Бесконечные пределы
3.3. Простейшие свойства предела Последовательности
3.4. Ограниченность сходящихся последовательностей
3.5. Монотонные последовательности
3.6. Теорема Больцано - Вейерштрасса
3.7. Критерий Коши сходимости последовательности
З.8. Бесконечно малые последовательности
3.9. Свойства пределов, связанные с арифметическими операциями над последовательностями
3.10. Изображение действительных чисел бесконечными десятичными дробями
3.11.* Счетность рациональных чисел. Несчетность действительных чисел
3.12.* Верхний и нижний пределы последовательностей

4.1. Действительные функции
4.2. Способы задания функций
4.3. Элементарные функции и их классификация
4.4. Первое определение предела функции
4.5. Второе определение предела функции
4.6. Обобщение понятия предела функции
4.7. Свойства пределов функций
4.8.* Замена переменной при вычислении пределов
4.9. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
4.10. Пределы монотонных функций
4.11. Критерий Коши существования предела функции

5.1. Точки непрерывности и точки разрыва функций
5.2. Свойства функций непрерывных в точке

6.1. Ограниченность непрерывных функций. Достижение экстремальных значений
6.2. Промежуточные значения непрерывных функций
6.3. Обратные функции

7.1. Многочлены и дробно-рациональныг функции
7.2. Показательная, логарифмическая и степенная функции
7.3. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции

8.1. Некоторые замечательные пределы
8.2. Сравнение функций
8.3. Эквивалентные функции
8.4. Метод выделения главной части функции и его применение к вычислению пределов

9.1. Определение производной
9.2. Дифференциал функции
9.3. Геометрический смысл производной и дифференциала
9.4. Физический смысл производной и дифференциала
9.5. Правила вычисления производных, связанные с арифметическими действиями над функциями
9.6. Производная обратной функции
9.7. Производная и дифференциал сложной функции
9.8. Гиперболические функции и их производные

10.1. Производные высших порядков
10.2. Высшие производные суммы и произведения функций
10.3. Производные высших порядков от сложных функций, от обратных функций и от функций, заданных параметрически
10.4. Дифференциалы высших порядков

11.1. Теорема Ферма
11.2. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши о средних значениях

12.1. Неопределенности вида 0/0
12.2. Неопределенности вида ∞/∞

13.1. Вывод формулы Тейлора
13.2. Многочлен Тейлора как многочлен наилучшего приближения функции в окрестности данной точки
13.3. Примеры разложения по формуле Тейлора
13.4. Вычисление пределов с помощью формулы Тейлора (метод выделения главной части)

14.1. Признак монотонности функции
14.2. Отыскание наибольших и наименьших значений функций
14.3. Выпуклость и точки перегиба
14.4. Асимптоты
14.5. Построение графиков функций

15.1. Понятие предела и непрерывности для вектор-функции
15.2. Производная и дифференциал вектор-функции

16.1. Понятие кривой
16.2.* Параметрически заданные кривые
16.3. Ориентация кривой. Дуга кривой. Сумма кривых. Неявное задание кривых
16.4. Касательная к кривой. Геометрический смысл производной вектор-функции
16.5. Длина дуги кривой
16.6. Плоские кривые
16.7. Физический смысл производной вектор-функции

17.1. Две леммы. Радиальная и трансверсальная составляющие скорости
17.2. Определение кривизны кривой и ее вычисление
17.3. Главная нормаль. Соприкасающаяся плоскость
17.4. Центр кривизны и эволюта кривой
17.5. Формулы для кривизны и эволюты плоской кривой

ОБЩАЯ ИНФОРМАЦИЯ

ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ КУРСА

Курс "Математический анализ" читается на математико-механическом факультете в течение двух первых лет обучения; он является базовым для всех последующих курсов по непрерывной математике.

Цель курса - изложить студентам в естественной полноте и целостности дифференциальное и интегральное исчисление функций одного и нескольких переменных; добиться четкого, ясного понимания основных объектов исследования и понятий анализа: множество вещественных чисел, предел числовой последовательности, предел, непрерывность, производная и интеграл функции одного переменного, дифференцируемость, частные производные и дифференциалы функции многих переменных, кратные, криволинейные и поверхностные интегралы, числовые и функциональные ряды, ряды Фурье; научить студентов основополагающим принципам и фактам математического анализа; продемонстрировать красоту и возможности методов этого курса для решения задач фундаментальной и прикладной математики; привить точность и обстоятельность аргументации в математических рассуждениях, сформировать высокий уровень математической культуры, достаточный для понимания и усвоения последующих курсов по непрерывной математике; научить пользоваться математической литературой; привить желание и навыки исследовательской работы. Теоретическая часть курса в значительной степени поддерживается лабораторными и практическими занятиями, на которых осмысливаются и закрепляются основные понятия и методы курса, осваиваются оптимальные (стандартные и искусственные) приемы решения задач математического анализа и его приложений.

• Предмет математического анализа.
• Элементы теории множеств. Операции над множествами; декартово произведение множеств. Бинарные отношения. Отображения (функции); классификация отображений; композиция отображений (сложная функция); обратное отображение. Мощность множества; счетное множество, множество мощности континуума. Элементы математической логики: логические операции, предикаты, кванторы.
• Вещественные числа. Построение конкретной модели множества вещественных чисел. Арифметические операции во множестве вещественных чисел и их свойства. Принцип Архимеда. Принципы полноты множества вещественных чисел: принцип вложенных отрезков, существование верхней и нижней граней числового множества, дедекиндовы сечения.
• Последовательности вещественных чисел. Предел последовательности: определение, основные свойства. Критерий Коши существования предела последовательности. Подпоследовательности. Теорема Больцано - Вейершрасса о выделении сходящейся подпоследовательности. Верхний и нижний пределы последовательности. Предел монотонной последовательности. Число е.
• Топология числовой прямой: предельная, внутренняя, изолированная, граничная точки множества; открытые и замкнутые множества; лемма Бореля о покрытиях; компактные множества.
• Предел вещественной функции одного вещественного переменного: два эквивалентных определения; арифметические свойства предела; свойства предела, связанные с неравенствами. Критерий Коши существования предела функции. Односторонние пределы. Теоремы об односторонних пределах монотонной функции. Некоторые конкретные (замечательные) пределы. Сравнение поведения функций; символы "o", "O", эквивалентность; основные эквивалентности.
• Непрерывность функции в точке и на множестве. Определение непрерывности функции в точке; локальные свойства непрерывных функций. Арифметические операции над функциями, непрерывными в точке. Непрерывность и предел сложной функции. Точки разрыва; классификация точек разрыва; характер разрывов монотонной функции. Теорема о промежуточных значениях функций, непрерывных на отрезке (промежутке). Ограниченность, существование наибольшего и наименьшего значений функций, непрерывных на отрезке (компактном множестве). Непрерывность функции, обратной монотонной. Равномерная непрерывность функции, непрерывной на отрезке (компактном множестве); модуль непрерывности функции. Основные элементарные функции: построение, свойства, непрерывность.
• Дифференцируемость вещественной функции одного вещественного переменного. Дифференцируемость; производная и дифференциал функции в точке; геометрический, механический и физический смысл. Непрерывность дифференцируемой функции. Правила дифференцирования. Производная сложной функции. Производная обратной функции. Таблица производных элементарных функций. Производные и дифференциалы высших порядков; формула Лейбница. Основные теоремы для дифференцируемых функций: теоремы Ферма, Ролля; теоремы Лагранжа и Коши о конечных приращениях. Теорема о пределе производной; характер разрывов производной. Теорема Дарбу о промежуточных значениях производной. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей. Формула Тейлора (с остаточными членами в форме Пеано, Лагранжа, Коши). Формула Тейлора для основных элементарных функций с информативным представлением остаточных членов. Применение дифференциального исчисления к исследованию функций. Необходимое и достаточное условие постоянства функции на промежутке. Монотонность; критерий монотонности и строгой монотонности дифференцируемой функции на промежутке. Экстремумы; необходимое условие локального экстремума (теорема Ферма); достаточные условия локального экстремума функции в точке в терминах поведения первой производной функции в окрестности точки. Выпуклость функции на промежутке; гладкостные свойства выпуклых функций; критерий выпуклости дифференцируемой функции; условие выпуклости дважды дифференцируемой функции; положение касательной относительно графика выпуклой функции. Точка перегиба. Достаточные условия точки локального экстремума и точки перегиба в терминах знака старших производных в точке. Асимптоты. Применение свойства выпуклости для доказательства некоторых классических неравенств.
• Неопределенный интеграл. Первообразная, неопределенный интеграл и их свойства. Таблица неопределенных интегралов элементарных функций. Замена переменного. Интегрирование по частям. Интегрирование рациональных функций, квадратических иррациональностей (подстановки Эйлера), дифференциальных биномов, рациональных тригонометрических функций.
• Определенный интеграл Римана по отрезку. Ограниченность интегрируемой функции. Суммы Дарбу; критерии интегрируемости Дарбу и Римана. Классы интегрируемых функций: непрерывные, монотонные, ограниченные с множеством точек разрыва жордановой меры ноль. Множество лебеговой меры ноль. Критерий интегрируемости ограниченной функции (теорема Лебега). Свойства интеграла по функции: линейность интеграла, интегрируемость произведения, частного; интегрируемость сложной функции. Аддитивность интеграла по множеству. Оценки интегралов; первая теорема о среднем. Интеграл как функция верхнего предела: непрерывность и дифференцируемость. Существование первообразной непрерывной функции на промежутке. Формула Ньютона - Лейбница. Интегрирование по частям. Вторая теорема о среднем значении для интеграла Римана. Формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме Коши. Замена переменного. Числовое неравенство Юнга; неравенства Гёльдера, Минковского и Иенсена для сумм и интегралов. Геометрические приложения интеграла. Кривая; спрямляемость; спрямляемость и длина гладкой (кусочно-гладкой) кривой. Мера Жордана в R 2 . Условие квадрируемости множества в терминах его границы. Свойства площади (плоской меры Жордана). Квадрируемость подграфика интегрируемой функции; вычисление площади. Механические и физические приложения интеграла.
• Метрическое пространство. Сходимость последовательности элементов метрического пространства. Основные топологические понятия и свойства множеств в метрическом пространстве: предельная, изолированная, внутренняя, граничная точки множества; открытые и замкнутые множества. Компактность множеств метрического пространства, секвенциальная компактность, связь с ограниченностью и замкнутостью. Непрерывные вещественные функции на компакте метрического пространства: ограниченность, существование наибольшего и наименьшего значений, равномерная непрерывность. Полнота метрического пространства; принцип вложенных шаров. Линейное нормированное пространство. Классические нормы в пространстве R n . Сходимость последовательности элементов пространства R n по норме и покоординатная. Полнота пространства R n . Лемма Бореля о покрытии. Характеризация компактов в R n . Пространство C непрерывных на отрезке функций с чебышевской нормой; его полнота. Принцип сжимающего отображения полного метрического пространства.
• Функции многих переменных. Предел функции в точке. Повторные пределы; связь двойного и повторного пределов. Непрерывность функции в точке. Свойства функций, непрерывных на множествах: теоремы Больцано - Коши о промежуточном значении на связном множестве, Вейерштрасса об ограниченности функции и достижении ею верхней и нижней граней на компактном множестве, Кантора о равномерной непрерывности функции. Дифференцируемость вещественной функции нескольких вещественных переменных. Частные производные. Дифференциал. Непрерывность дифференцируемой функции. Достаточные условия дифференцируемости. Производная по направлению, градиент; касательная плоскость и нормаль к поверхности. Дифференцируемость сложной функции. Частные производные и дифференциалы высших порядков; условия равенства смешанных производных. Инвариантность формы первого дифференциала и неинвариантность форм старших дифференциалов относительно замены переменных. Формула Тейлора для функций нескольких переменных. Локальный (безусловный) экстремум. Необходимое условие локального экстремума (теорема Ферма). Достаточное условие локального экстремума. Неявные функции одного и нескольких переменных: существование, непрерывность, дифференцируемость. Отображения R n в R m: непрерывность, дифференцируемость, матрица производной; якобиан. Неявное отображение, заданное системой; локальное обращение отображения R n в R n . Условный экстремум; метод неопределенных множителей Лагранжа.
• Числовые ряды. Сходимость числового ряда; сумма ряда; необходимое условие сходимости. Критерий Коши. Знакопостоянные ряды; признак сравнения сходимости (расходимости); признаки сходимости: Даламбера, Коши, Раабе, интегральный признак Коши - Маклорена. Ряд Лейбница: сходимость, оценка остатка. Преобразование Абеля. Признаки Абеля и Дирихле сходимости рядов. Абсолютная и условная сходимости рядов. Операции над рядами: группировка членов сходящегося ряда; перестановка членов абсолютно сходящегося ряда; теорема Римана о перестановке членов условно сходящихся рядов; умножение рядов. Методы суммирования Чезаро и Абеля. Кратные ряды (основные понятия). Бесконечные произведения, необходимое условие сходимости; связь со сходимостью числовых рядов.
• Функциональные последовательности и ряды. Поточечная сходимость. Равномерная сходимость: понятие; критерий Коши. Необходимое условие, мажорантный признак Вейерштрасса, признаки Абеля и Дирихле равномерной сходимости функциональных рядов. Почленный переход к пределу; непрерывность предельной функции. Теорема Дини. Почленное интегрирование и дифференцирование. Равностепенная непрерывность семейства непрерывных функций. Компактные (предкомпактные) подмножества пространства C; теорема Арцела.
• Степенные ряды. Множество сходимости (радиус сходимости, формула Коши - Адамара); характер сходимости; непрерывность, почленное интегрирование и дифференцирование степенного ряда; бесконечная дифференцируемость суммы степенного ряда. Ряд Тейлора. Разложение основных элементарных функций в степенные ряды (ряды Тейлора - Маклорена). Применение степенных рядов к приближенным вычислениям. Теорема Вейерштрасса о равномерной аппроксимации непрерывных функций алгебраическими многочленами. Бесконечные произведения функций; представление функции sin в бесконечное произведение; разложения функций ctg и 1/sin на простейшие дроби.
• Несобственные интегралы (по бесконечному промежутку и по конечному промежутку от неограниченных функций). Признаки сходимости: сравнения, Абеля, Дирихле. Абсолютная и условная сходимость.
• Интегралы, зависящие от параметра. Семейства функций, зависящие от параметра. Поточечная сходимость. Равномерная сходимость; определения Коши и Гейне; критерий Коши. Переход к пределу по параметру. Перестановка двух предельных переходов (равенство повторных и двойного пределов). Непрерывность и интегрируемость равномерного предела. Дифференцируемость предела. Собственные интегралы, зависящие от параметра и их свойства: переход к пределу под знаком интеграла, непрерывность, дифференцируемость и интегрируемость по параметру. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Поточечная сходимость несобственных интегралов, зависящих от параметра. Равномерная сходимость: критерий Коши, признаки равномерной сходимости (Вейерштрасса, Абеля, Дирихле). Предельный переход в несобственном интеграле и непрерывность несобственного интеграла по параметру; дифференцирование и интегрирование (в собственном и несобственном смыслах) несобственного интеграла по параметру; применение к вычислению некоторых классических интегралов: интегралы Дирихле, Эйлера - Пуассона. Бета и гамма-функции Эйлера, их свойства и применение. Формула Стирлинга для гамма-функции.
• Кратный интеграл Римана. Плоский интеграл Римана по квадрируемому (измеримому по Жордану плоскому) множеству: условия существования, свойства интеграла по функции и по множеству. Сведение двойного интеграла к повторным. Мера Жордана в R n . Кратный интеграл. Замена переменных в кратном интеграле. Сведение кратного интеграла к повторным. Понятие о кратном несобственном интеграле. Приложение к геометрии, механике, физике.
• Функции ограниченной вариации. Понятие вариации. Вариация монотонной (кусочно монотонной) функции, функции, удовлетворяющей условию Липщица. Арифметические операции над функциями ограниченной вариации. Аддитивность вариации по отрезку. Вариация кусочно непрерывно дифференцируемой функции. Представление функций ограниченной вариации в виде разности двух монотонных функций. Представление функций ограниченной вариации в виде суммы непрерывной функции ограниченной вариации и функции скачков. Интеграл Римана - Стилтьеса. Свойства: линейность по функциям, аддитивность по отрезку. Интегрирование по частям. Вычисление интеграла Римана - Стилтьеса от непрерывной функции по непрерывно дифференцируемой функции и по функции скачков. Принцип выбора Хелли.
• Криволинейные интегралы первого и второго рода вещественной функции по спрямляемой кривой. Выражение через интеграл Римана - Стилтьеса и интеграл Римана. Формула Грина; условия независимости интеграла от формы пути интегрирования.
• Поверхностные интегралы. Поверхность. Площадь поверхности. Поверхность ориентированная и неориентированная. Поверхностные интегралы первого и второго рода; сведение к двойному интегралу. Формула Гаусса - Остроградского. Классический вариант формулы Стокса. (Понятие дифференциальной формы и интегрирования дифференциальных форм; абстрактный вариант формулы Стокса). Элементы теории поля: скалярное и векторное поля; градиент, дивергенция, ротор, поток, циркуляция; потенциальное поле; векторные линии и трубки; соленоидальное поле; оператор "набла"; оператор Лапласа. Основные интегральные формулы векторного анализа.
• Ряды Фурье. Ряды Фурье по ортонормированным (ортогональным) системам элементов в евклидовом пространстве. Тригонометрическая система. Ряды Фурье по тригонометрической системе: выражение частичных сумм через ядро Дирихле; принцип локализации; поточечная сходимость; равномерная сходимость; сходимость в среднем; влияние гладкости функции на скорость сходимости ряда Фурье. Минимальное свойство сумм Фурье. Неравенство Бесселя и равенство Парсеваля. Теорема Вейерштрасса о равномерной аппроксимации непрерывных 2π-периодических функций тригонометрическими полиномами. Замкнутость тригонометрической системы. Теорема Рисса - Фишера. Начальные сведения об интеграле и преобразовании Фурье.

ТЕМЫ ЛАБОРАТОРНЫХ ЗАНЯТИЙ

• Элементы математической логики и теории множеств.
• Элементарные функции. Суперпозиция отображений, обратное отображение. Графики. Преобразования графиков.
• Метод математической индукции. Вещественные числа; верхняя и нижняя грани числового множества.
• Предел последовательности: определение и основные свойства.
• Критерий Коши. Монотонная последовательность.
• Частичные пределы. Верхний и нижний пределы.
• Топология вещественной прямой.
• Предел функции в точке. Классические (замечательные) пределы.
• Непрерывность функции.
• Точки разрыва. Характер точек разрыва.
• Теоретические задачи по темам "Предел", "Непрерывность".
• Равномерная непрерывность функции.
• Производная. Производные элементарных функций. Таблица производных. Исследование на дифференцируемость в точке. Дифференциал.
• Теоремы о среднем: Ферма, Ролля; теоремы Лагранжа и Коши о конечных приращениях. Теорема Дарбу о промежуточных значениях производной.
• Производная обратной функции и функции, заданной параметрически.
• Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница.
• Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. Использование при вычислении пределов.
• Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и приближение функций многочленами Тейлора. Оценка остаточного члена формулы Тейлора.
• Правило Лопиталя (раскрытие неопределенностей).
• Свойства дифференцируемых функций: монотонность; экстремумы; выпуклость, неравенства.
• Исследование и построение графиков функций, заданных явно и параметрически.
• Неопределенный интеграл. Методы его вычисления.
• Определенный интеграл. Вычисление по определению. Вопросы существования интеграла.
• Теоремы о среднем.
• Интеграл как функция верхнего предела. Формула Ньютона - Лейбница классическая и обобщенная.
• Вычисление определенных интегралов.
• Приложения определенного интеграла: вычисление площади криволинейной трапеции, длины дуги, объема.

ТЕМЫ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ

• Метрические и линейные нормированные пространства. Пространство R n .
• Функции многих переменных. Предел, непрерывность, равномерная непрерывность.
• Дифференцируемость функций многих переменных. Частные производные; свойство дифференцируемости; дифференциалы.
• Нахождение уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности.
• Дифференцирование сложных отображений.
• Неявные функции. Дифференцирование неявных функций, заданных уравнением и системой.
• Экстремум функции многих переменных. Локальный экстремум.
• Условный экстремум. Нахождение супремума и инфимума функций нескольких переменных на множествах.
• Числовые ряды. Признаки сравнения. Интегральный признак Коши - Маклорена. Признаки Коши, Даламбера, Раабе.
• Абсолютная и условная сходимость числовых рядов. Признаки Абеля и Дирихле. Ряд Лейбница.
• Функциональные последовательности и ряды.
• Поточечная и равномерная сходимость. Признаки Вейерштрасса, Абеля и Дирихле. Теорема Дини.
• Теоремы о предельном переходе, непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости предела последовательности и суммы ряда.
• Степенные ряды.
• Ряды Тейлора. Разложение функций в ряд Тейлора.
• Несобственные интегралы. Сходимость и абсолютная сходимость.
• Собственные интегралы, зависящие от параметра, включая случай зависимости от параметра пределов интегрирования. Теоремы о предельном переходе, интегрируемость в собственном смысле и дифференцируемость.
• Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Сходимость и равномерная сходимость.
• Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Теоремы о предельном переходе, интегрируемость в собственном смысле и дифференцируемость. Вычисление несобственных и собственных интегралов, зависящих от параметра.
• Интегралы Эйлера.
• Двойные, тройные интегралы. Сведение к повторным.
• Замена переменных. Геометрические, механические и физические приложения.
• Криволинейные интегралы. Сведение к интегралу Римана.
• Формула Грина. Независимость от пути интегрирования с фиксированными концами. Физические, механические и геометрические приложения.
• Поверхностные интегралы первого и второго рода. Сведение к двойным.
• Формула Стокса. Формула Остроградского - Гаусса.
• Элементы векторного анализа.
• Ряды Фурье. Преобразования Фурье.

ТЕМАТИКА КОЛЛОКВИУМОВ

Коллоквиум № 1. Вещественные числа. Элементы теории множеств.

1. Метод математической индукции.
2. Модели множества вещественных чисел. Отношение порядка, арифметические операции, архимедово свойство, свойства непрерывности множества вещественных чисел, верхняя и нижняя грани числовых множеств.
3. Операции над множествами.
4. Функции.
5. Мощность. Счетные множества, несчетные множества. Множества мощности континуума.
6. Сравнение мощностей.

1. Предел последовательности. Критерий Коши. Монотонная последовательность.
2. Топология прямой.
3. Предел функции в точке. Определения Коши и Гейне. Свойства пределов функции в точке. Односторонние пределы. Критерий Коши.
4. Непрерывные функции. Свойства непрерывных функций в точке.
5. Свойства непрерывных функций на множестве.

Коллоквиум № 1. Исследование поведения функций.

1. Критерий монотонности функции.
2. Локальный экстремум. Необходимые условия. Достаточные условия.
3. Выпуклость. Свойства выпуклых функций. Критерии. Использование выпуклости функции для доказательства некоторых неравенств.
4. Точка перегиба.
5. Асимптоты.

1. Определенный интеграл. Ограниченность интегрируемой функции.
2. Суммы Дарбу. Критерии интегрируемости.
3. Классы интегрируемых функций (монотонные, непрерывные, ограниченные функции с множеством точек разрыва жордановой меры ноль).
4. Свойства определенного интеграла.
5. Первая теорема о среднем.
6. Непрерывность и дифференцируемость интеграла как функции верхнего предела. Формула Ньютона-Лейбница.
7. Вторая теорема о среднем.
8. Замена переменной в определённом интеграле.

Коллоквиум № 1. Функции многих переменных. Неявные функции и экстремумы.

1. Формула Тейлора.
2. Локальный экстремум. Необходимые условия.
3. Достаточные условия точки локального экстремума в терминах второго дифференциала.
4. Неявная функция, заданная уравнением, ее свойства, дифференцирование.
5. Неявные функции, заданные системой уравнений, их свойства, дифференцирование.
6. Локальное обращение отображения R n в R n . Следствия.
7. Условный экстремум. Метод неопределенных множителей Лагранжа.

1. Числовые последовательности и ряды. Необходимое условие сходимости ряда. Критерий Коши.
2. Знакопостоянные ряды. Признаки сравнения.
3. Признаки Коши, Даламбера, Раабе. Интегральный признак Коши.
4. Абсолютная и условная сходимость ряда. Признаки Абеля и Дирихле. Ряд Лейбница.
5. Сочетательное свойства сходящегося ряда. Перестановка абсолютно сходящегося ряда. Терема Римана о перестановках условно сходящихся рядов.
6. Функциональные последовательности и ряды. Равномерная сходимость. Признаки равномерной сходимости.
7. Основные теоремы о равномерно сходящихся последовательностях и рядах. Теорема Дини.
8. Степенной ряд. Радиус сходимости. Теорема Коши-Адамара. Свойства суммы степенного ряда. Ряд Тейлора.

Двойной и кратный интеграл Римана.

1. Двойной интеграл Римана по измеримому по Жордану множеству. Необходимое условие.
2. Суммы Дабу.
3. Критерии интегрируемости.
4. Классы интегрируемых функций.
5. Свойства двойного интеграла.
6. Сведение двойного интеграла к повторному интегралу.
7. Замена переменных в двойном интеграле.
8. Кратный интеграл Римана.

ТЕМАТИКА КОНТРОЛЬНЫХ и САМОСТОЯТЕЛЬНЫХ РАБОТ

1. Точные границы множества.
2. Предел последовательности.
3. Предел и непрерывность функции.
4. Техника дифференцирования. Исследование на дифференцируемость.
5. Формула Тейлора и ее применение.
6. Построение графиков.
7. Вычисление неопределенных интегралов.
8. Дифференцирование неявных функций.
9. Замена переменных в дифференциальных выражениях.
10. Безусловный и условный экстремум.
11. Исследование на сходимость числовых и равномерную сходимость функциональных последовательностей и рядов.
12. Вычисление несобственных интегралов.
13. Перестановка пределов и замена переменных в двойных и тройных интегралах.
14. Приложение двойных и тройных интегралов к механике.
15. Криволинейные интегралы.
16. Вычисление поверхностных интегралов.
17. Теория поля.
18. Тригонометрические ряды Фурье.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Б. Х. Математический анализ: в 2 ч. - М.: Проспект: Изд-во Моск. ун-та, 2004-2006. - Ч.1. 672 с., Ч.2. 368 с. (а также все издания с 1979 г.).
2. Никольский С. М. Курс математического анализа. - М. : ФИЗМАТЛИТ, 2000-2001. - 592 с.
3. Никольский С. М. Курс математического анализа: в 2 тт. - М.: Наука, 1990-1991. - Т.1. 528 с. Т.2. 544 с.
4. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа: в 3 тт. - М. : Высшая школа, 1988-1999. - Т. 1. 712 с. Т. 2. 576 с. Т. 3. 352 с. (а также все издания с 1981 г.).
5. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. - М. : ФИЗМАТЛИТ: Лаборатория Знаний, 2003. - Т.1. 680 с., Т. 2. 864 с., Т. 3. . 728 с. (а также все издания с 1968 г.)
6. Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. Т. 1. 416 с., Т. 2. 440 с. (а также все издания с 1998 г.).
7. Зорич В. А. Математический анализ: В 2 ч. - М.: МЦНМО, 2002. - Ч. 1. 664 с. Ч. 2. 794 с. (а также все издания с 1981 г.).
8. Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. - М.: Наука, 1990. - 624 с.
9. Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. - М.: АСТ: Астрель, 2004. - 558 с. (а также все издания с 1990 г.).
10. Будак Б. М. Кратные интегралы и ряды. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 512 с. (а также все издания с 1967 г.).

1. Бутузов В. Ф., Крутицкая Н. Ч., Медведев Г. Н. и др. Математический анализ в вопросах и задачах. - М. : ФИЗМАТЛИТ, 2001. - 480 с. (а также все издания с 1988 г.).
2. Пизо Ш., Заманский М. Курс математики. Алгебра и анализ. М.Наука. 1971. - 656 с.
3. Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной. - СПб.: Лань, 1999. - 560 с. (а также все издания с 1974 г.).
4. Виноградова И. А., Олехник С. Н., Садовничий В. А. Задачи и упражнения по математическому анализу [в 2 кн.]. Кн. 1, Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной. - М. : Высшая школа, 2002. - 725 с.
5. Виноградова И. А., Олехник С. Н., Садовничий В. А. [в 2 кн.]. Кн. 2, Ряды, несобственные интегралы, кратные и поверхностные интегралы. - М. : Высшая школа, 2002. - 712 с.
6. Кудрявцев Л. Д., Кутасов А. Д., Чехлов В. И. и др. Сборник задач по математическому анализу. Т. 1, Предел. Непрерывность. Дифференцируемость. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 496 с. (а также все издания с 1984 г.).
7. Кудрявцев Л. Д., Кутасов А. Д., Чехлов В. И. и др. Сборник задач по математическому анализу. Т. 2, Интегралы. Ряды. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 504 с. (а также все издания с 1984 г.).
8. Кудрявцев Л. Д., Кутасов А. Д., Чехлов В. И. и др. Сборник задач по математическому анализу. Т. 3, Функции нескольких переменных. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 472 с. (а также все издания с 1984 г.).
9. Лефор Г. Алгебра и анализ. Задачи. М.Наука. 1973. 464 с.
10. Гелбаум Б., Олмстед Дж. Контрпримеры в анализе. - М: Мир, 1967. - 251 с.
11. Макаров Б. М. и др. Избранные задачи по вещественному анализу. - М.: Наука, 1992. -431 с.
12. Очан Ю. С. Сборник задач и теорем по теории функций действительного переменного. М.: Просвещение, 1983. - 232 с. (а также все издания с 1965 г.).
13. Теляковский С. А. Сборник задач по теории функций действительного переменного - М: Наука, 1980. - 212.
14. Ульянов П. Л., Бахвалов А. Н., Дьяченко М. И., и др. Действительный анализ в задачах. - М: Физматлит, 2005. - 416 с.
15. Теляковский С. А. Курс лекций по математическому анализу [Электронный ресурс]. Режим доступа: http://dmvn.mexmat.net/calculus.php.