ფუნქციის ზღვრების გამოთვლა დეტალური ამოხსნით. თანმიმდევრობა და ფუნქციის ლიმიტი

ლიმიტების პოვნასთან დაკავშირებული პრობლემების გადაჭრა ლიმიტების პოვნასთან დაკავშირებით ამოცანების ამოხსნისას უნდა გახსოვდეთ რამდენიმე ლიმიტი, რათა ყოველ ჯერზე არ გამოთვალოთ ისინი. ამ ცნობილი ლიმიტების შერწყმით, ჩვენ ვიპოვით ახალ ლიმიტებს § 4-ში მითითებული თვისებების გამოყენებით. მოხერხებულობისთვის წარმოგიდგენთ ყველაზე ხშირად ნაცნობ საზღვრებს: ლიმიტები 1 lim x - a x a 2 lim 1 = 0 3 lim x- ± co X ± 00 4 lim -L, = oo X->o\X\ 5 lim sin*- l X -о X 6 lim f(x) = f(a), თუ f (x) არის უწყვეტი x a თუ ცნობილია, რომ ფუნქცია უწყვეტია, მაშინ ლიმიტის პოვნის ნაცვლად ვიანგარიშებთ ფუნქციის მნიშვნელობას. მაგალითი 1. იპოვეთ ლიმი (x*-6l:+ 8). ვინაიდან მრავალწლიან X->2 ტერმინის ფუნქცია უწყვეტია, მაშინ lim (x*-6x4- 8) = 2*-6-2 + 8 = 4. x-+2 x*_2x 4-1 მაგალითი 2. იპოვეთ ლიმ -გ. . ჯერ ვპოულობთ მნიშვნელის ზღვარს: lim [xr-\-bx)= 12 + 5-1 =6; ის არ არის X-Y1 ნულის ტოლი, რაც ნიშნავს, რომ შეგვიძლია გამოვიყენოთ თვისება 4 § 4, შემდეგ x™i *" + &* ~~ lim (x2 bx) - 12 + 5-1 ""6 1. ლიმიტი მნიშვნელი X X უდრის ნულს, შესაბამისად, § 4-ის თვისება არ გამოიყენება. ვინაიდან მრიცხველი არის მუდმივი რიცხვი, ხოლო მნიშვნელი [x2x) -> -0 x - - 1-ისთვის, მაშინ მთელი წილადი შეუზღუდავად იზრდება აბსოლუტური მნიშვნელობა, ანუ lim " 1 X - * - - 1 x* + x მაგალითი 4. იპოვე lim\-ll*"!"" "მნიშვნელის ზღვარი არის ნული: lim (xr-6lg+ 8) = 2*- 6-2 + 8 = 0, ამიტომ X თვისება 4 § 4 არ გამოიყენება. მაგრამ მრიცხველის ზღვარი ასევე ნულის ტოლია: lim (x2 - 5d; + 6) = 22 - 5-2-f 6 = 0. ასე რომ, მრიცხველის და მნიშვნელის საზღვრები ერთდროულად ნულის ტოლია. თუმცა, რიცხვი 2 არის როგორც მრიცხველის, ასევე მნიშვნელის ფესვი, ამიტომ წილადი შეიძლება შემცირდეს სხვაობით x-2 (ბეზუტის თეორემის მიხედვით). სინამდვილეში, x*-5x + 6 (x-2) (x-3) x-3 x"-6x + 8~ (x-2) (x-4) ~~ x-4" შესაბამისად, xr- - f- 6 g x-3 -1 1 მაგალითი 5. იპოვეთ lim xn (n მთელი რიცხვი, დადებითი). X ერთად გვაქვს xn = X* X . . X, n-ჯერ ვინაიდან თითოეული ფაქტორი იზრდება ლიმიტის გარეშე, პროდუქტი ასევე იზრდება ლიმიტის გარეშე, ანუ lim xn = oo. x oo მაგალითი 6. იპოვეთ lim xn(n მთელი რიცხვი, დადებითი). X -> - CO გვაქვს xn = x x... x. ვინაიდან ყოველი ფაქტორი იზრდება აბსოლუტურ მნიშვნელობაში და რჩება უარყოფითი, მაშინ ლუწი ხარისხის შემთხვევაში პროდუქტი გაიზრდება შეუზღუდავად და დარჩება დადებითი, ანუ lim *n = + oo (თუნდაც n-სთვის). *-* -о კენტი ხარისხის შემთხვევაში, პროდუქტის აბსოლუტური მნიშვნელობა იზრდება, მაგრამ ის რჩება უარყოფითი, ანუ lim xn = - oo (n კენტისთვის). p -- 00 მაგალითი 7. იპოვეთ lim . x x-*- co * თუ m>pu მაშინ შეგვიძლია დავწეროთ: m = n + kt სადაც k>0. ამიტომ xm b lim -=- = lim -=-= lim x. UP Yn x - x> A x yu მივედით მაგალითზე 6. თუ ti uTL xm I lim lim lim t. X - O x -* yu A X -> co აქ მრიცხველი რჩება მუდმივი, ხოლო მნიშვნელი იზრდება აბსოლუტურ მნიშვნელობაში, ამიტომ lim -ь = 0. X - *oo X* რეკომენდებულია ამ მაგალითის შედეგის დამახსოვრება შემდეგი ფორმა: სიმძლავრის ფუნქცია იზრდება რაც უფრო სწრაფად, მით უფრო დიდია მაჩვენებელი. $хв_Зхг + 7 მაგალითი 8. იპოვეთ lim g L -г-=. ამ მაგალითში x-*® «J* "Г bХ -ох-о და მრიცხველი და მნიშვნელი იზრდება ლიმიტის გარეშე. მოდით გავყოთ მრიცხველიც და მნიშვნელი x-ის უმაღლესი ხარისხებით, ანუ xb-ზე, შემდეგ 3 7_ მაგალითი 9. იპოვეთ ლირა... გარდაქმნების შესრულებით ვიღებთ ლირას... ^ = lim X CO + 3 7 3 ვინაიდან lim -5 = 0, lim - , = 0 , მაშინ მნიშვნელის ზღვარი rad-*® X X-+-CD X არის ნული, ხოლო მრიცხველის ზღვარი არის 1. შესაბამისად, მთელი წილადი იზრდება ზღვრის გარეშე, ანუ t 7x hm X-+ yu მაგალითი. 10. იპოვეთ lim გამოვთვალოთ მნიშვნელის S ზღვარი, გავიხსენოთ, რომ cos*-ფუნქცია უწყვეტია: ლირა (2 + cos x) = 2 + cozy = 2. შემდეგ x->- S lim (l-fsin*) მაგალითი 15. იპოვე ლიმი *<*-e>2 და lim e "(X"a)\ Polo X-+ ± co X ± CO პრესა (l: - a)2 = z; ვინაიდან (Λ;-a)2 ყოველთვის იზრდება არაუარყოფითად და ზღვრის გარეშე x-ით, მაშინ x - ±oo-სთვის ახალი ცვლადი z-*oc. ამიტომ ვიღებთ qt £<*-«)* = X ->± 00 s=lim ег = oo (იხ. §5-ის შენიშვნა). g -*■ co ანალოგიურად lim e~(X-a)2 = lim e~z=Q, რადგან x ± oo g m - (x- a)z მცირდება ლიმიტის გარეშე, როგორც x ->±oo (იხ. შენიშვნა §

ლიმიტები მათემატიკის ყველა სტუდენტს უამრავ პრობლემას უქმნის. ლიმიტის გადასაჭრელად, ზოგჯერ თქვენ უნდა გამოიყენოთ ბევრი ხრიკი და აირჩიოთ გადაწყვეტის სხვადასხვა მეთოდიდან ზუსტად ის, რაც შესაფერისია კონკრეტული მაგალითისთვის.

ამ სტატიაში ჩვენ არ დაგეხმარებით თქვენი შესაძლებლობების საზღვრების გაგებაში ან კონტროლის საზღვრების გაგებაში, მაგრამ შევეცდებით ვუპასუხოთ კითხვას: როგორ გავიგოთ ლიმიტები უმაღლეს მათემატიკაში? გაგება გამოცდილებასთან ერთად მოდის, ამიტომ ამავდროულად მივცემთ ლიმიტების ამოხსნის რამდენიმე დეტალურ მაგალითს განმარტებებით.

ლიმიტის ცნება მათემატიკაში

პირველი კითხვაა: რა არის ეს ზღვარი და რისი ზღვარი? შეგვიძლია ვისაუბროთ რიცხვითი მიმდევრობებისა და ფუნქციების საზღვრებზე. ჩვენ გვაინტერესებს ფუნქციის ლიმიტის კონცეფცია, რადგან ეს არის ის, რასაც სტუდენტები ყველაზე ხშირად ხვდებიან. მაგრამ პირველი, ლიმიტის ყველაზე ზოგადი განმარტება:

ვთქვათ, არის რაღაც ცვლადი მნიშვნელობა. თუ ეს მნიშვნელობა ცვლილების პროცესში შეუზღუდავად უახლოვდება გარკვეულ რიცხვს ა , ეს ა - ამ მნიშვნელობის ზღვარი.

გარკვეულ ინტერვალში განსაზღვრული ფუნქციისთვის f(x)=y ასეთ რიცხვს ლიმიტი ეწოდება ა , რომლისკენაც ფუნქცია მიდრეკილია როდის X , მიდრეკილია გარკვეულ წერტილამდე ა . Წერტილი ა მიეკუთვნება იმ ინტერვალს, რომელზედაც არის განსაზღვრული ფუნქცია.

უხერხულად ჟღერს, მაგრამ ძალიან მარტივად წერია:

ლიმ- ინგლისურიდან ზღვარი- ზღვარი.

ლიმიტის დადგენის გეომეტრიული ახსნაც არსებობს, მაგრამ აქ არ ჩავუღრმავდებით თეორიას, ვინაიდან საკითხის უფრო პრაქტიკული და არა თეორიული მხარე გვაინტერესებს. როცა ამას ვამბობთ X მიდრეკილია გარკვეული მნიშვნელობისკენ, ეს ნიშნავს, რომ ცვლადი არ იღებს რიცხვის მნიშვნელობას, არამედ უახლოვდება მას უსასრულოდ ახლოს.

კონკრეტული მაგალითი მოვიყვანოთ. ამოცანაა იპოვოთ ლიმიტი.

ამ მაგალითის გადასაჭრელად, ჩვენ ვცვლით მნიშვნელობას x=3 ფუნქციაში. ჩვენ ვიღებთ:

სხვათა შორის, თუ გაინტერესებთ, წაიკითხეთ ცალკე სტატია ამ თემაზე.

მაგალითებში X შეუძლია ნებისმიერი ღირებულებისკენ მიდრეკილება. ეს შეიძლება იყოს ნებისმიერი რიცხვი ან უსასრულობა. აი მაგალითად, როდესაც X მიდრეკილია უსასრულობისკენ:

ინტუიციურად, რაც უფრო დიდია რიცხვი მნიშვნელში, მით უფრო მცირე მნიშვნელობას მიიღებს ფუნქცია. ასე რომ, შეუზღუდავი ზრდით X მნიშვნელობა 1/x შემცირდება და მიუახლოვდება ნულს.

როგორც ხედავთ, ლიმიტის გადასაჭრელად, თქვენ უბრალოდ უნდა ჩაანაცვლოთ ფუნქცია, რომლისკენაც ისწრაფვით X . თუმცა ეს უმარტივესი შემთხვევაა. ხშირად ლიმიტის პოვნა არც ისე აშკარაა. საზღვრებში არსებობს ტიპის გაურკვევლობა 0/0 ან უსასრულობა/უსასრულობა . რა უნდა გააკეთოს ასეთ შემთხვევებში? მიმართეთ ხრიკებს!

გაურკვევლობა შიგნით

უსასრულობის/უსასრულობის ფორმის განუსაზღვრელობა

იყოს ლიმიტი:

თუ შევეცდებით უსასრულობის ჩანაცვლებას ფუნქციაში, მივიღებთ უსასრულობას როგორც მრიცხველში, ასევე მნიშვნელში. ზოგადად, ღირს იმის თქმა, რომ ასეთი გაურკვევლობების გადაჭრაში არსებობს ხელოვნების გარკვეული ელემენტი: თქვენ უნდა შეამჩნიოთ, როგორ შეგიძლიათ გარდაქმნათ ფუნქცია ისე, რომ გაურკვევლობა გაქრეს. ჩვენს შემთხვევაში, ჩვენ ვყოფთ მრიცხველს და მნიშვნელს X უფროს ხარისხში. Რა მოხდება?

ზემოთ უკვე განხილული მაგალითიდან ვიცით, რომ მნიშვნელში x შემცველი ტერმინები ნულისკენ მიისწრაფვიან. მაშინ ლიმიტის გამოსავალი არის:

ტიპის გაურკვევლობების გადასაჭრელად უსასრულობა/უსასრულობაგაყავით მრიცხველი და მნიშვნელი Xუმაღლესი ხარისხით.

Ჰო მართლა! ჩვენი მკითხველისთვის ახლა მოქმედებს 10%-იანი ფასდაკლება

სხვა ტიპის გაურკვევლობა: 0/0

როგორც ყოველთვის, მნიშვნელობების ჩანაცვლება ფუნქციაში x=-1 აძლევს 0 მრიცხველში და მნიშვნელში. ცოტა უფრო კარგად დააკვირდით და შეამჩნევთ, რომ მრიცხველში გვაქვს კვადრატული განტოლება. მოდი ვიპოვოთ ფესვები და დავწეროთ:

შევამციროთ და მივიღოთ:

ასე რომ, თუ სახეზე გაურკვევლობა გაქვთ 0/0 - შეადარეთ მრიცხველი და მნიშვნელი.

იმისათვის, რომ გაგიადვილოთ მაგალითების ამოხსნა, წარმოგიდგენთ ცხრილს ზოგიერთი ფუნქციის საზღვრებით:

L'Hopital-ის წესი შიგნით

კიდევ ერთი ძლიერი გზა ორივე ტიპის გაურკვევლობის აღმოსაფხვრელად. რა არის მეთოდის არსი?

თუ ზღვარში გაურკვევლობაა, აიღეთ მრიცხველისა და მნიშვნელის წარმოებული, სანამ გაურკვევლობა არ გაქრება.

L'Hopital-ის წესი ასე გამოიყურება:

მნიშვნელოვანი წერტილი : ზღვარი, რომელშიც მრიცხველისა და მნიშვნელის ნაცვლად დგას მრიცხველისა და მნიშვნელის წარმოებულები, უნდა არსებობდეს.

ახლა კი - რეალური მაგალითი:

ტიპიური გაურკვევლობაა 0/0 . ავიღოთ მრიცხველისა და მნიშვნელის წარმოებულები:

Voila, გაურკვევლობა წყდება სწრაფად და ელეგანტურად.

ვიმედოვნებთ, რომ თქვენ შეძლებთ ამ ინფორმაციის პრაქტიკაში გამოყენებას და იპოვით პასუხს კითხვაზე „როგორ ამოხსნათ ლიმიტები უმაღლეს მათემატიკაში“. თუ თქვენ უნდა გამოთვალოთ მიმდევრობის ლიმიტი ან ფუნქციის ლიმიტი წერტილში, და ამ სამუშაოს დრო არ არის, დაუკავშირდით პროფესიონალ სტუდენტურ სამსახურს სწრაფი და დეტალური გადაწყვეტისთვის.

ამ თემაში განვიხილავთ ზემოთ ჩამოთვლილ ირაციონალურ ლიმიტთა სამივე ჯგუფს. დავიწყოთ $\frac(0)(0)$ ფორმის გაურკვევლობის შემცველი ლიმიტებით.

გაურკვევლობის გამჟღავნება $\frac(0)(0)$.

ამ ტიპის სტანდარტული მაგალითების გადაწყვეტა ჩვეულებრივ შედგება ორი ეტაპისგან:

გაურკვევლობის გამომწვევი ირაციონალურობას ვაშორებთ ე.წ.
აუცილებლობის შემთხვევაში გამოთქმის ფაქტორები მრიცხველში ან მნიშვნელში (ან ორივეში);
ჩვენ ვამცირებთ გაურკვევლობამდე მიმავალ ფაქტორებს და ვიანგარიშებთ ლიმიტის სასურველ მნიშვნელობას.

ზემოთ გამოყენებული ტერმინი „კონიუგირებული გამოხატულება“ დეტალურად იქნება ახსნილი მაგალითებში. ჯერ-ჯერობით არ არის მიზეზი, რომ ამაზე დეტალურად ვისაუბროთ. ზოგადად, შეგიძლიათ სხვა გზით წახვიდეთ, კონიუგატური გამოხატვის გამოყენების გარეშე. ზოგჯერ კარგად შერჩეულმა ჩანაცვლებამ შეიძლება აღმოფხვრას ირაციონალურობა. ასეთი მაგალითები იშვიათია სტანდარტულ ტესტებში, ამიტომ განვიხილავთ მხოლოდ ერთ მაგალითს No6 ჩანაცვლების გამოყენებისთვის (იხილეთ ამ თემის მეორე ნაწილი).

დაგვჭირდება რამდენიმე ფორმულა, რომელსაც ქვემოთ ჩამოვწერ:

\დაწყება(განტოლება) a^2-b^2=(a-b)\cdot(a+b) \end(განტოლება) \დაწყება(განტოლება) a^3-b^3=(a-b)\cdot(a^2 +ab+b^2) \ბოლო(განტოლება) \დაწყება(განტოლება) a^3+b^3=(a+b)\cdot(a^2-ab+b^2) \დასრულება(განტოლება) \დაწყება (განტოლება) a^4-b^4=(a-b)\cdot(a^3+a^2 b+ab^2+b^3)\ბოლო(განტოლება)

გარდა ამისა, ჩვენ ვვარაუდობთ, რომ მკითხველმა იცის კვადრატული განტოლებების ამოხსნის ფორმულები. თუ $x_1$ და $x_2$ არის $ax^2+bx+c$ კვადრატული ტრინომის ფესვები, მაშინ მისი ფაქტორიზაცია შესაძლებელია შემდეგი ფორმულის გამოყენებით:

\ დასაწყისი(განტოლება) ax^2+bx+c=a\cdot(x-x_1)\cdot(x-x_2) \ბოლო(განტოლება)

ფორმულები (1)-(5) საკმაოდ საკმარისია სტანდარტული ამოცანების გადასაჭრელად, რაზეც ახლა გადავალთ.

მაგალითი No1

იპოვეთ $\lim_(x\ to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)$.

ვინაიდან $\lim_(x\ to 3)(\sqrt(7-x)-2)=\sqrt(7-3)-2=\sqrt(4)-2=0$ და $\lim_(x\ to 3) (x-3)=3-3=0$, მაშინ მოცემულ ლიმიტში გვაქვს $\frac(0)(0)$ ფორმის გაურკვევლობა. სხვაობა $\sqrt(7-x)-2$ ხელს გვიშლის ამ გაურკვევლობის გამოვლენაში. ამგვარი ირაციონაციებისგან თავის დასაღწევად გამოიყენება გამრავლება ე.წ. ახლა ჩვენ გადავხედავთ, როგორ მუშაობს ასეთი გამრავლება. გაამრავლეთ $\sqrt(7-x)-2$$\sqrt(7-x)+2$-ზე:

$$(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)$$

ფრჩხილების გასახსნელად გამოიყენეთ , შეცვალეთ $a=\sqrt(7-x)$, $b=2$ აღნიშნული ფორმულის მარჯვენა მხარეს:

$$(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)=(\sqrt(7-x))^2-2^2=7-x-4=3-x .$$

როგორც ხედავთ, თუ მრიცხველს გაამრავლებთ $\sqrt(7-x)+2$-ზე, მაშინ მრიცხველში ფესვი (ანუ ირაციონალურობა) გაქრება. ეს გამოთქმა $\sqrt(7-x)+2$ იქნება კონიუგატიგამოსახულებას $\sqrt(7-x)-2$. თუმცა, ჩვენ არ შეგვიძლია უბრალოდ გავამრავლოთ მრიცხველი $\sqrt(7-x)+2$-ზე, რადგან ეს შეცვლის $\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)$ წილადს, რომელიც არის ლიმიტის ქვეშ. თქვენ უნდა გაამრავლოთ მრიცხველიც და მნიშვნელიც ერთდროულად:

$$ \lim_(x\3-მდე)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)= \left|\frac(0)(0)\right|=\lim_(x\to 3)\frac((\sqrt(7-x)-2)\cdot(\sqrt(7-x)+2))((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2)) $$

ახლა გახსოვდეთ, რომ $(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)=3-x$ და გახსენით ფრჩხილები. და ფრჩხილების გახსნის და $3-x=-(x-3)$ მცირე ტრანსფორმაციის შემდეგ, ჩვენ ვამცირებთ წილადს $x-3$-ით:

$$ \lim_(x\3-მდე)\frac((\sqrt(7-x)-2)\cdot(\sqrt(7-x)+2))((x-3)\cdot(\sqrt( 7-x)+2))= \lim_(x\3-მდე)\frac(3-x)((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2))=\\ =\lim_ (x\ to 3)\frac(-(x-3))((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2))= \lim_(x\ to 3)\frac(-1 )(\sqrt(7-x)+2) $$

გაურკვევლობა $\frac(0)(0)$ გაქრა. ახლა თქვენ შეგიძლიათ მარტივად მიიღოთ პასუხი ამ მაგალითზე:

$$ \lim_(x\3-მდე)\frac(-1)(\sqrt(7-x)+2)=\frac(-1)(\sqrt(7-3)+2)=-\frac( 1)(\sqrt(4)+2)=-\frac(1)(4).$$

მე აღვნიშნავ, რომ კონიუგატულ გამონათქვამს შეუძლია შეცვალოს მისი სტრუქტურა, იმისდა მიხედვით, თუ რა სახის ირაციონალურობა უნდა მოიხსნას. No4 და No5 მაგალითებში (იხ. ამ თემის მეორე ნაწილი) გამოყენებული იქნება განსხვავებული ტიპის კონიუგატური გამოხატულება.

უპასუხე: $\lim_(x\ to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)=-\frac(1)(4)$.

მაგალითი No2

იპოვეთ $\lim_(x\ to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))$.

ვინაიდან $\lim_(x\ to 2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=\sqrt(2^2+5)-\sqrt(7\cdot 2 ^ 2-19)=3-3=0$ და $\lim_(x\ to 2)(3x^2-5x-2)=3\cdot2^2-5\cdot 2-2=0$, მაშინ ჩვენ საქმე გვაქვს $\frac(0)(0)$ ფორმის გაურკვევლობასთან. მოვიშოროთ ამ წილადის მნიშვნელში არსებული ირაციონალურობა. ამისათვის ჩვენ ვამატებთ $\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))$ წილადის მრიცხველსაც და მნიშვნელსაც. გამოხატულება $\sqrt(x^ 2+5)+\sqrt(7x^2-19)$ კონიუგატი მნიშვნელთან:

$$ \lim_(x\ to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=\მარცხნივ|\frac(0 )(0)\right|= \lim_(x\ to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19))) ((\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19))) $$

ისევ, როგორც მაგალითში No1, თქვენ უნდა გამოიყენოთ ფრჩხილები გაფართოებისთვის. $a=\sqrt(x^2+5)$, $b=\sqrt(7x^2-19)$ აღნიშნული ფორმულის მარჯვენა მხარეს ჩანაცვლებით, მივიღებთ მნიშვნელის შემდეგ გამოსახულებას:

$$ \left(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19)\right)\left(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)\ მარჯვნივ)=\\ =\მარცხნივ(\sqrt(x^2+5)\მარჯვნივ)^2-\მარცხნივ(\sqrt(7x^2-19)\მარჯვნივ)^2=x^2+5-(7x ^2-19)=-6x^2+24=-6\cdot(x^2-4) $$

დავუბრუნდეთ ჩვენს ლიმიტს:

$$ \lim_(x\ to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))((\sqrt(x ^2+5)-\sqrt(7x^2-19))(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))= \lim_(x\ to 2)\frac( (3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))(-6\cdot(x^2-4))=\\ =-\ frac(1)(6)\cdot \lim_(x\ to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)) )(x^2-4) $$

მაგალითში No1, კონიუგატური გამოსახულებით გამრავლებისთანავე, წილადი შემცირდა. აქ, შემცირებამდე მოგიწევთ გამოთქმების ფაქტორიზაცია $3x^2-5x-2$ და $x^2-4$ და მხოლოდ ამის შემდეგ გააგრძელოთ შემცირება. $3x^2-5x-2$ გამოთქმის გასამყარებლად თქვენ უნდა გამოიყენოთ . ჯერ გადავწყვიტოთ კვადრატული განტოლება $3x^2-5x-2=0$:

$$ 3x^2-5x-2=0\\ \დაწყება(გასწორებული) & D=(-5)^2-4\cdot3\cdot(-2)=25+24=49;\\ & x_1=\ frac(-(-5)-\sqrt(49))(2\cdot3)=\frac(5-7)(6)=-\frac(2)(6)=-\frac(1)(3) ;\\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2. \ ბოლოს (გასწორებული) $$

$x_1=-\frac(1)(3)$, $x_2=2$-ში ჩანაცვლებით, გვექნება:

$$ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\right)\right)(x-2)=3\cdot\left(x+\ frac(1)(3)\მარჯვნივ)(x-2)=\მარცხნივ(3\cdot x+3\cdot\frac(1)(3)\right)(x-2) =(3x+1)( x-2). $$

ახლა დროა განვასხვავოთ გამონათქვამი $x^2-4$. მოდით გამოვიყენოთ , ჩავანაცვლოთ მასში $a=x$, $b=2$:

$$ x^2-4=x^2-2^2=(x-2)(x+2) $$

გამოვიყენოთ მიღებული შედეგები. ვინაიდან $x^2-4=(x-2)(x+2)$ და $3x^2-5x-2=(3x+1)(x-2)$, მაშინ:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\ to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2 -19)))(x^2-4) =-\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\ to 2)\frac((3x+1)(x-2)(\sqrt(x ^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))((x-2)(x+2)) $$

$x-2$ ფრჩხილით შემცირება მივიღებთ:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\2)\frac((3x+1)(x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^ 2-19)))((x-2)(x+2)) =-\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\2-მდე)\frac((3x+1)(\sqrt( x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))(x+2). $$

ყველა! გაურკვევლობა გაქრა. კიდევ ერთი ნაბიჯი და მივდივართ პასუხამდე:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\2-მდე)\frac((3x+1)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)) )(x+2)=\\ =-\frac(1)(6)\cdot\frac((3\cdot 2+1)(\sqrt(2^2+5)+\sqrt(7\cdot 2 ^2-19)))(2+2)= -\frac(1)(6)\cdot\frac(7(3+3))(4)=-\frac(7)(4). $$

უპასუხე: $\lim_(x\ to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=-\frac(7)( 4)$.

შემდეგ მაგალითში განვიხილოთ შემთხვევა, როდესაც ირაციონალურობა იქნება წილადის მრიცხველშიც და მნიშვნელშიც.

მაგალითი No3

იპოვეთ $\lim_(x\ to 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9 ))$.

ვინაიდან $\lim_(x\ to 5)(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))=\sqrt(9)-\sqrt(9)=0$ და $\lim_( x \ to 5)(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9))=\sqrt(16)-\sqrt(16)=0$, მაშინ გვაქვს $ ფორმის გაურკვევლობა \frac (0)(0)$. ვინაიდან ამ შემთხვევაში ფესვები გვხვდება როგორც მნიშვნელში, ასევე მრიცხველში, გაურკვევლობის თავიდან ასაცილებლად მოგიწევთ ერთდროულად ორ ფრჩხილზე გამრავლება. პირველი, გამოხატულებას $\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)$ შეუერთეთ მრიცხველს. და მეორეც, გამოხატულებას $\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9)$ შეუერთეთ მნიშვნელთან.

$$ \lim_(x\ to 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9 ))=\მარცხნივ|\frac(0)(0)\მარჯვნივ|=\\ =\lim_(x\5-მდე)\frac((\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16) )(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((\sqrt(x^2 -3x+6)-\sqrt(5x-9))(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9))(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2 -16))) $$ $$ -x^2+x+20=0;\\ \ დასაწყისი (გასწორებული) & D=1^2-4\cdot(-1)\cdot 20=81;\\ & x_1=\frac(-1-\sqrt(81))(-2)=\frac(-10)(-2)=5;\\ & x_2=\frac(-1+\sqrt(81))( -2)=\frac(8)(-2)=-4. \end(გასწორებული) \\ -x^2+x+20=-1\cdot(x-5)(x-(-4))=-(x-5)(x+4). $$

გამოთქმისთვის $x^2-8x+15$ ვიღებთ:

$$ x^2-8x+15=0;\\ \დაწყება(გასწორებული) & D=(-8)^2-4\cdot 1\cdot 15=4;\\ & x_1=\frac(-(- 8)-\sqrt(4))(2)=\frac(6)(2)=3;\\ & x_2=\frac(-(-8)+\sqrt(4))(2)=\frac (10)(2)=5. \end(გასწორებული)\\ x^2+8x+15=1\cdot(x-3)(x-5)=(x-3)(x-5). $$

მიღებული გაფართოებების ჩანაცვლება $-x^2+x+20=-(x-5)(x+4)$ და $x^2+8x+15=(x-3)(x-5)$ ლიმიტში განიხილება, ექნება:

$$ \lim_(x\ to 5)\frac((-x^2+x+20)(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x^2 -8x+15)(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)))= \lim_(x\5-მდე)\frac(-(x-5)(x+4)(\ sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x-3)(x-5)(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)) )=\\ =\lim_(x\ to 5)\frac(-(x+4)(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x-3) (\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)))= \frac(-(5+4)(\sqrt(5^2-3\cdot 5+6)+\sqrt(5 \cdot 5-9)))((5-3)(\sqrt(5+4)+\sqrt(5^2-16)))=-6. $$

უპასუხე: $\lim_(x\ to 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9 ))=-6$.

შემდეგ (მეორე) ნაწილში განვიხილავთ კიდევ რამდენიმე მაგალითს, რომლებშიც კონიუგატულ გამონათქვამს ექნება განსხვავებული ფორმა, ვიდრე წინა ამოცანებში. მთავარია გვახსოვდეს, რომ კონიუგატური გამონათქვამის გამოყენების მიზანი გაურკვევლობის გამომწვევი ირაციონალურობისგან თავის დაღწევაა.

ელემენტარული ფუნქციები და მათი გრაფიკები.

ძირითადი ელემენტარული ფუნქციებია: სიმძლავრის ფუნქცია, ექსპონენციალური ფუნქცია, ლოგარითმული ფუნქცია, ტრიგონომეტრიული ფუნქციები და შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციები, აგრეთვე პოლინომი და რაციონალური ფუნქცია, რომელიც არის ორი მრავალწევრის თანაფარდობა.

ელემენტარული ფუნქციები ასევე მოიცავს იმ ფუნქციებს, რომლებიც მიიღება ელემენტარულიდან ოთხი ძირითადი არითმეტიკული მოქმედების გამოყენებით და რთული ფუნქციის ფორმირებით.

ელემენტარული ფუნქციების გრაფიკები

	Სწორი ხაზი- წრფივი ფუნქციის გრაფიკი y = ცული + ბ. ფუნქცია y მონოტონურად იზრდება a > 0-ისთვის და მცირდება a-სთვის< 0. При b = 0 прямая линия проходит через начало координат т. 0 (y = ax - прямая пропорциональность)
	პარაბოლა- კვადრატული ტრინომალური ფუნქციის გრაფიკი y = ცული 2 + bx + c. მას აქვს სიმეტრიის ვერტიკალური ღერძი. თუ a > 0, აქვს მინიმალური თუ a< 0 - максимум. Точки пересечения (если они есть) с осью абсцисс - корни соответствующего квадратного уравнения ax 2 + bx +c =0
	ჰიპერბოლა- ფუნქციის გრაფიკი. როდესაც a > O მდებარეობს I და III მეოთხედებში, როცა ა< 0 - во II и IV. Асимптоты - оси координат. Ось симметрии - прямая у = х(а >0) ან y - - x(a< 0).
	ექსპონენციალური ფუნქცია. გამოფენა(ექსპონენციალური ფუნქცია ე-მდე) y = e x. (კიდევ ერთი მართლწერა y = exp(x)). ასიმპტოტა არის აბსცისის ღერძი.
	ლოგარითმული ფუნქცია y = log a x(a > 0)
	y = sinx. სინუსური ტალღა- პერიოდული ფუნქცია პერიოდით T = 2π

ფუნქციის ლიმიტი.

y=f(x) ფუნქციას აქვს A რიცხვი, როგორც ზღვარი, რადგან x მიდრეკილია a-სკენ, თუ რომელიმე რიცხვისთვის ε › 0 არის რიცხვი δ › 0 ისეთი, რომ | y – A | ‹ ε თუ |x - a| ‹ δ,

ან lim y = A

ფუნქციის უწყვეტობა.

ფუნქცია y=f(x) უწყვეტია x = a წერტილში, თუ lim f(x) = f(a), ე.ი.

ფუნქციის ზღვარი x = a წერტილში უდრის ფუნქციის მნიშვნელობას მოცემულ წერტილში.

ფუნქციების საზღვრების პოვნა.

ძირითადი თეორემები ფუნქციების ზღვრებზე.

1. მუდმივი მნიშვნელობის ზღვარი უდრის ამ მუდმივ მნიშვნელობას:

2. ალგებრული ჯამის ზღვარი უდრის ამ ფუნქციების ზღვრების ალგებრულ ჯამს:

ლიმ (ფ + გ - თ) = ლიმ ფ + ლიმ გ - ლიმ ჰ

3. რამდენიმე ფუნქციის ნამრავლის ზღვარი ტოლია ამ ფუნქციების ზღვრების ნამრავლის:

ლიმ (ფ * გ* თ) = ლიმ ფ * ლიმ გ * ლიმ ჰ

4. ორი ფუნქციის კოეფიციენტის ზღვარი ტოლია ამ ფუნქციების ზღვრების კოეფიციენტის, თუ მნიშვნელის ზღვარი არ არის 0-ის ტოლი:

lim------- = -----------

პირველი ღირსშესანიშნავი ზღვარი: lim --------- = 1

მეორე ღირსშესანიშნავი ზღვარი: lim (1 + 1/x) x = e (e = 2, 718281..)

ფუნქციების საზღვრების პოვნის მაგალითები.

5.1. მაგალითი:

ნებისმიერი ლიმიტი შედგება სამი ნაწილისგან:

1) ცნობილი ლიმიტის ხატულა.

2) ჩანაწერები ლიმიტის ხატულაზე. ჩანაწერში ნათქვამია "X მიდრეკილია ერთისკენ". ყველაზე ხშირად ეს არის x, თუმცა "x"-ის ნაცვლად შეიძლება იყოს ნებისმიერი სხვა ცვლადი. ერთის ნაცვლად შეიძლება იყოს აბსოლუტურად ნებისმიერი რიცხვი, ისევე როგორც უსასრულობა 0 ან .

3) ფუნქციონირებს ლიმიტის ნიშნის ქვეშ, ამ შემთხვევაში.

თავად ჩანაწერი ასე იკითხება: „ფუნქციის ზღვარი, როგორც x მიდრეკილია ერთიანობისკენ“.

ძალიან მნიშვნელოვანი კითხვა - რას ნიშნავს გამოთქმა "x"? ისწრაფვისერთს"? გამოთქმა "x" ისწრაფვის to one“ უნდა გავიგოთ შემდეგნაირად: „x“ თანმიმდევრულად იღებს მნიშვნელობებს რომლებიც ერთიანობას უსასრულოდ უახლოვდება და პრაქტიკულად ემთხვევა მას.

როგორ მოვაგვაროთ ზემოთ მოყვანილი მაგალითი? ზემოაღნიშნულიდან გამომდინარე, თქვენ უბრალოდ უნდა ჩაანაცვლოთ ერთი ფუნქცია ლიმიტის ნიშნის ქვეშ:

ასე რომ, პირველი წესი : როდესაც გეძლევათ ლიმიტი, თქვენ ჯერ უბრალოდ შეაერთეთ ნომერი ფუნქციაში.

5.2. მაგალითი უსასრულობით:

მოდი გავარკვიოთ რა არის? ეს ის შემთხვევაა, როდესაც ის იზრდება შეუზღუდავად.

ასე რომ: თუ , შემდეგ ფუნქცია მიდრეკილია მინუს უსასრულობამდე:

ჩვენი პირველი წესის მიხედვით, „X“-ის ნაცვლად ჩვენ ვცვლით ფუნქციას უსასრულობა და ჩვენ ვიღებთ პასუხს.

5.3. კიდევ ერთი მაგალითი უსასრულობის შესახებ:

ისევ ვიწყებთ ზრდას უსასრულობამდე და ვუყურებთ ფუნქციის ქცევას.
დასკვნა: ფუნქცია იზრდება შეუზღუდავად

5.4. მაგალითების სერია:

შეეცადეთ გონებრივად გააანალიზოთ შემდეგი მაგალითები და ამოხსნათ საზღვრების უმარტივესი ტიპები:

, , , , , , , , ,

რა უნდა გახსოვდეთ და გაიგოთ ზემოაღნიშნულიდან?

როდესაც რაიმე ლიმიტი გაქვთ, ჯერ უბრალოდ შეაერთეთ ნომერი ფუნქციაში. ამავე დროს, თქვენ უნდა გესმოდეთ და დაუყოვნებლივ გადაჭრათ უმარტივესი საზღვრები, როგორიცაა , , და ა.შ.

6. ლიმიტები ტიპის გაურკვევლობით და მათი გადაჭრის მეთოდი.

ახლა განვიხილავთ ლიმიტების ჯგუფს, როდესაც , და ფუნქცია არის წილადი, რომლის მრიცხველი და მნიშვნელი შეიცავს მრავალწევრებს.

6.1. მაგალითი:

ლიმიტის გამოთვლა

ჩვენი წესის მიხედვით, ჩვენ ვცდილობთ ჩავანაცვლოთ უსასრულობა ფუნქციაში. რას ვიღებთ ზევით? უსასრულობა. და რა ხდება ქვემოთ? ასევე უსასრულობა. ამრიგად, ჩვენ გვაქვს ის, რასაც სახეობების გაურკვევლობა ჰქვია. შეიძლება ვინმემ იფიქროს, რომ = 1 და პასუხი მზად არის, მაგრამ ზოგადად ეს ასე არ არის და თქვენ უნდა გამოიყენოთ გადაწყვეტის რამდენიმე ტექნიკა, რომელსაც ახლა განვიხილავთ.

როგორ გადავჭრათ ამ ტიპის ლიმიტები?

ჯერ ვათვალიერებთ მრიცხველს და ვპოულობთ უმაღლეს სიმძლავრეს:

მრიცხველში წამყვანი ძალა არის ორი.

ახლა ჩვენ ვუყურებთ მნიშვნელს და ასევე ვპოულობთ მას უმაღლეს ხარისხში:

მნიშვნელის უმაღლესი ხარისხი არის ორი.

შემდეგ ვირჩევთ მრიცხველისა და მნიშვნელის უმაღლეს ხარისხს: ამ მაგალითში ისინი იგივეა და ორის ტოლია.

ასე რომ, გადაწყვეტის მეთოდი შემდეგია: გაურკვევლობის გამოსავლენად თქვენ უნდა გაყოთ მრიცხველი და მნიშვნელი უფროს ხარისხში.

ამრიგად, პასუხი არ არის 1.

მაგალითი

იპოვეთ ლიმიტი

ისევ მრიცხველში და მნიშვნელში ვხვდებით უმაღლეს ხარისხში:

მაქსიმალური ხარისხი მრიცხველში: 3

მაქსიმალური ხარისხი მნიშვნელში: 4

აირჩიეთ უდიდესიღირებულება, ამ შემთხვევაში ოთხი.
ჩვენი ალგორითმის მიხედვით, გაურკვევლობის გამოსავლენად, მრიცხველს და მნიშვნელს ვყოფთ.

მაგალითი

იპოვეთ ლიმიტი

"X"-ის მაქსიმალური ხარისხი მრიცხველში: 2

"X"-ის მაქსიმალური ხარისხი მნიშვნელში: 1 (შეიძლება დაიწეროს როგორც)
გაურკვევლობის გამოსავლენად აუცილებელია მრიცხველი და მნიშვნელი გავყოთ . საბოლოო გამოსავალი შეიძლება ასე გამოიყურებოდეს:

გაყავით მრიცხველი და მნიშვნელი

გამოსავალი ონლაინ ფუნქციების ლიმიტები. იპოვეთ ფუნქციის ან ფუნქციური მიმდევრობის შემზღუდველი მნიშვნელობა წერტილში, გამოთვალეთ საბოლოოფუნქციის მნიშვნელობა უსასრულობაში. რიცხვების სერიის კონვერგენციის დადგენა და ბევრად მეტი შეიძლება გაკეთდეს ჩვენი ონლაინ სერვისის წყალობით -. ჩვენ გაძლევთ საშუალებას სწრაფად და ზუსტად იპოვოთ ფუნქციების ლიმიტები ინტერნეტში. თქვენ თავად შეიყვანეთ ფუნქციის ცვლადი და ლიმიტი, რომლისკენაც იგი მიდრეკილია და ჩვენი სერვისი ახორციელებს ყველა გამოთვლას თქვენთვის, გასცემს ზუსტ და მარტივ პასუხს. და ამისთვის ონლაინ ლიმიტის პოვნათქვენ შეგიძლიათ შეიყვანოთ როგორც რიცხვითი სერიები, ასევე ანალიტიკური ფუნქციები, რომლებიც შეიცავს მუდმივებს სიტყვასიტყვით გამოხატულებაში. ამ შემთხვევაში, ფუნქციის ნაპოვნი ლიმიტი შეიცავს ამ მუდმივებს, როგორც მუდმივ არგუმენტებს გამოხატვაში. ჩვენი სერვისი წყვეტს პოვნის ნებისმიერ რთულ პრობლემას ლიმიტები ონლაინ, საკმარისია მიუთითოთ ფუნქცია და წერტილი, რომელზედაც საჭიროა გამოთვლა ფუნქციის ზღვრული მნიშვნელობა. გაანგარიშება ონლაინ ლიმიტები, მათი გადაჭრისთვის შეგიძლიათ გამოიყენოთ სხვადასხვა მეთოდი და წესი, მიღებული შედეგის შემოწმებისას ლიმიტების გადაჭრა ონლაინ www.site-ზე, რაც გამოიწვევს დავალების წარმატებით შესრულებას - თქვენ აირიდებთ საკუთარ შეცდომებს და კლერიკულ შეცდომებს. ან შეგიძლიათ მთლიანად გვენდობოდეთ და ჩვენი შედეგი გამოიყენოთ თქვენს მუშაობაში, ზედმეტი ძალისხმევისა და დროის დახარჯვის გარეშე ფუნქციის ლიმიტის დამოუკიდებლად გამოთვლაზე. ჩვენ დავუშვებთ ზღვრული მნიშვნელობების შეყვანას, როგორიცაა უსასრულობა. აუცილებელია რიცხვთა მიმდევრობის საერთო წევრის შეყვანა და www.siteდათვლის ღირებულებას ლიმიტი ონლაინპლუს-მინუს უსასრულობამდე.

მათემატიკური ანალიზის ერთ-ერთი ძირითადი ცნებაა ფუნქციის ლიმიტიდა თანმიმდევრობის ლიმიტიწერტილში და უსასრულობაში მნიშვნელოვანია სწორად ამოხსნა საზღვრები. ჩვენი სერვისით ეს არ იქნება რთული. გადაწყვეტილება მიიღება ლიმიტები ონლაინრამდენიმე წამში პასუხი ზუსტი და სრულია. მათემატიკური ანალიზის შესწავლა იწყება ლიმიტზე გადასვლა, საზღვრებიგამოიყენება უმაღლესი მათემატიკის თითქმის ყველა სფეროში, ამიტომ სასარგებლოა სერვერის ქონა ონლაინ ლიმიტის გადაწყვეტილებები, რომელიც არის საიტი.