გაკვეთილის თემა: „ორი წრის ურთიერთმოწყობა. სიბრტყეზე ორი წრის ურთიერთგანლაგება ორი წრის ურთიერთგანლაგება

წრეები მოცემულია ვექტორით საწყისიდან ცენტრამდე და ამ წრის რადიუსამდე.

განვიხილოთ წრეები A და B რადიუსებით Ra და Rb და რადიუსის ვექტორებით (ვექტორი ცენტრისკენ) a და b. უფრო მეტიც, ოა და ობი მათი ცენტრებია. ზოგადობის დაკარგვის გარეშე ვივარაუდებთ, რომ Ra > Rb.

შემდეგ დაკმაყოფილებულია შემდეგი პირობები:

ორი წრის გადაკვეთის წერტილები

ვთქვათ A და B იკვეთება ორ წერტილზე. მოდი ვიპოვოთ ეს გადაკვეთის წერტილები.

ამისათვის ვექტორი a-დან P წერტილამდე, რომელიც დევს A წრეზე და დევს OaOb-ზე. ამისათვის თქვენ უნდა აიღოთ ვექტორი b - a, რომელიც იქნება ვექტორი ორ ცენტრს შორის, ნორმალიზება (ჩანაცვლება თანამიმართული ერთეულის ვექტორით) და გამრავლება Ra-ზე. მიღებული ვექტორი აღინიშნა როგორც p. თქვენ შეგიძლიათ იხილოთ ეს კონფიგურაცია ნახ. 6

ბრინჯი. 6. ვექტორები a,b,p და სად ცხოვრობენ.

აღნიშნეთ i1 და i2 ვექტორებად a-დან ორი წრის I1 და I2 გადაკვეთის წერტილებამდე. აშკარა ხდება, რომ i1 და i2 მიიღება p-დან ბრუნვით. იმიტომ რომ ჩვენ ვიცით OaI1Ob და OaI2Ob სამკუთხედების ყველა გვერდი (რადიუსი და მანძილი ცენტრებს შორის), შეგვიძლია მივიღოთ ეს კუთხე fi, ვექტორის p-ის შემობრუნება ერთი მიმართულებით მისცემს I1-ს, ხოლო მეორეში I2-ს.

კოსინუსების კანონის მიხედვით, ის უდრის:

თუ p-ს ატრიალებთ fi-ით, მაშინ მიიღებთ i1 ან i2-ს, იმისდა მიხედვით, თუ რომელი მიმართულებით უნდა მოხვიდეთ. შემდეგი, ვექტორი i1 ან i2 უნდა დაემატოს a-ს გადაკვეთის წერტილის მისაღებად

ეს მეთოდი იმუშავებს მაშინაც კი, თუ ერთი წრის ცენტრი მეორეშია. მაგრამ იქ, ზუსტად, ვექტორი p უნდა იყოს მითითებული a-დან b-მდე მიმართულებით, რაც ჩვენ გავაკეთეთ. თუ თქვენ ააგებთ p-ს სხვა წრეზე დაყრდნობით, მაშინ არაფერი გამოვა

დასასრულს, ყველაფერზე უნდა აღინიშნოს ერთი ფაქტი: თუ წრეები ეხება, მაშინ ადვილია დარწმუნდეთ, რომ P არის კონტაქტის წერტილი (ეს მართალია როგორც შიდა, ასევე გარე შეხებისთვის).
აქ შეგიძლიათ იხილოთ ვიზუალიზაცია (დააწკაპუნეთ გასაშვებად).

ეს მეთოდი მუშაობს, მაგრამ ბრუნვის კუთხის ნაცვლად, შეგიძლიათ გამოთვალოთ მისი კოსინუსი და მისი მეშვეობით სინუსი და შემდეგ გამოიყენოთ ისინი ვექტორის ბრუნვისას. ეს მნიშვნელოვნად გაამარტივებს გამოთვლებს, დაზოგავს კოდს ტრიგონომეტრიული ფუნქციებისგან.

კლასი 7G, Z

გაკვეთილის თემა: "ორი წრის ფარდობითი პოზიცია"
მიზანი: იცოდეს ორი წრის ურთიერთმოწყობის შესაძლო შემთხვევები; გამოიყენოს ცოდნა პრობლემების გადასაჭრელად.

მიზნები: საგანმანათლებლო: დაეხმარონ მოსწავლეებს ორი წრის მდებარეობის შესაძლო შემთხვევების ვიზუალური წარმოდგენის შექმნასა და კონსოლიდაციაში, მოსწავლეები შეძლებენ:

დაამყარეთ კავშირი წრეების ურთიერთგანლაგებას, მათ რადიუსებს და მათ ცენტრებს შორის მანძილს;

გაანალიზეთ გეომეტრიული დიზაინი და შეცვალეთ იგი გონებრივად,

განავითარეთ პლანიმეტრიული წარმოსახვა.

სტუდენტებს შეეძლებათ თეორიული ცოდნის გამოყენება პრობლემის გადაჭრაში.

გაკვეთილის ტიპი: მასალის ახალი ცოდნის გაცნობისა და კონსოლიდაციის გაკვეთილი.

აღჭურვილობა: პრეზენტაცია გაკვეთილზე; კომპასები, სახაზავი, ფანქარი და სახელმძღვანელო თითოეული მოსწავლისთვის.

სახელმძღვანელო: . „გეომეტრია მე-7 კლასი“, ალმათი „ატამურა“ 2012 წ

გაკვეთილების დროს.

ორგანიზების დრო. საშინაო დავალების შემოწმება.

3. საბაზისო ცოდნის აქტუალიზაცია.

გაიმეორეთ წრის, წრის, რადიუსის, დიამეტრის, აკორდის, წერტილიდან ხაზამდე მანძილის განმარტებები.

1) 1) სწორი ხაზისა და წრის მდებარეობის რა შემთხვევები იცით?

2) რა წრფეს ეწოდება ტანგენსი?

3) რომელ ხაზს ჰქვია სეკანტი?

4) თეორემა აკორდის პერპენდიკულარული დიამეტრის შესახებ?

5) როგორ გადის ტანგენსი წრის რადიუსთან მიმართებაში?

6) შეავსეთ ცხრილი (ბარათებზე).

მოსწავლეები მასწავლებლის ხელმძღვანელობით წყვეტენ და აანალიზებენ პრობლემებს.

1) წრფე a არის ტანგენსი წრეზე O ცენტრით. A წრფეზე მოცემულია A წერტილი. ტანგენტსა და OA სეგმენტს შორის კუთხე არის 300. იპოვეთ OA სეგმენტის სიგრძე, თუ რადიუსი 2,5 მ.

2) განსაზღვრეთ წრფისა და წრის ფარდობითი პოზიცია, თუ:

1. R=16cm, d=12cm 2. R=5cm, d=4.2cm 3. R=7.2cm, d=3.7cm 4. R=8cm, d=1.2cm 5. R=5cm, d=50mm

ა) წრფესა და წრეს არ აქვთ საერთო წერტილები;

ბ) წრფე არის წრეზე ტანგენსი;

გ) წრფე კვეთს წრეს.

d არის მანძილი წრის ცენტრიდან სწორ ხაზამდე, R არის წრის რადიუსი.

3) რა შეიძლება ითქვას წრფისა და წრის ფარდობით პოზიციაზე, თუ წრის დიამეტრი არის 10,3 სმ, ხოლო მანძილი წრის ცენტრიდან ხაზამდე 4,15 სმ; 2 დმ; 103 მმ; 5,15 სმ, 1 დმ 3 სმ.

4) მოცემულია წრე O ცენტრით და A წერტილით. სად არის A წერტილი, თუ წრის რადიუსი არის 7 სმ, ხოლო OA მონაკვეთის სიგრძე: ა) 4 სმ; ბ) 10 სმ; გ) 70 მმ.

4. მოსწავლეებთან ერთად გაარკვიეთ გაკვეთილის თემა, ჩამოაყალიბეთ გაკვეთილის მიზნები.

5. ახალი მასალის გაცნობა.

პრაქტიკული მუშაობა ჯგუფურად.

ააგეთ 3 წრე. თითო წრეზე ააგეთ კიდევ ერთი წრე ისე, რომ 1) 2 წრე არ იკვეთოს, 2) 2 წრე შეეხოს, 3) ორი წრე იკვეთოს. იპოვეთ თითოეული წრის რადიუსი და მანძილი წრეების ცენტრებს შორის, შეადარეთ შედეგები. რა დასკვნა შეიძლება იყოს?
2) შეაჯამეთ და ჩაწერეთ რვეულში ორი წრის ურთიერთმოწყობის შემთხვევები.

სიბრტყეზე ორი წრის ურთიერთგანლაგება.

წრეებს არ აქვთ საერთო წერტილები (ისინი არ იკვეთებიან). (R1 და R2 არის წრის რადიუსი)

თუ R1 + R2< d,

d - მანძილი წრეების ცენტრებს შორის.

გ) წრეებს ორი საერთო წერტილი აქვთ. (იკვეთება).

თუ R1 + R2 > d,

Კითხვა. შეიძლება თუ არა ორ წრეს ჰქონდეს სამი საერთო წერტილი?

6. შესწავლილი მასალის კონსოლიდაცია.

იპოვეთ შეცდომა მონაცემებში ან განცხადებაში და შეასწორეთ იგი თქვენი აზრის დასაბუთებით:
ა) ორი წრე ეხება ერთმანეთს. მათი რადიუსი არის R = 8 სმ და r = 2 სმ, ცენტრებს შორის მანძილი არის d = 6.
ბ) ორ წრეს აქვს მინიმუმ ორი საერთო წერტილი.
გ) R = 4, r = 3, d = 5. წრეებს არ აქვთ საერთო წერტილები.
დ) R \u003d 8, r \u003d 6, d \u003d 4. უფრო პატარა წრე მდებარეობს უფრო დიდის შიგნით.
ე) ორი წრე არ შეიძლება განთავსდეს ისე, რომ ერთი იყოს მეორის შიგნით.

7. გაკვეთილის შედეგები. რა ისწავლეთ გაკვეთილზე? რა წესია დადგენილი?

როგორ შეიძლება ორი წრე განთავსდეს? როდის აქვთ წრეებს ერთი საერთო წერტილი? რა ჰქვია ორი წრის საერთო წერტილს? რა შეხება იცით? როდის იკვეთება წრეები? რომელ წრეებს უწოდებენ კონცენტრულს?

გაკვეთილის თემა: " სიბრტყეზე ორი წრის ურთიერთგანლაგება.

სამიზნე :

საგანმანათლებლო - ორი წრის შედარებითი პოზიციის შესახებ ახალი ცოდნის დაუფლება, ტესტისთვის მომზადება

საგანმანათლებლო - გამოთვლითი უნარების განვითარება, ლოგიკური და სტრუქტურული აზროვნების განვითარება; რაციონალური გადაწყვეტილებების პოვნისა და საბოლოო შედეგების მიღწევის უნარ-ჩვევების ჩამოყალიბება; შემეცნებითი აქტივობისა და შემოქმედებითი აზროვნების განვითარება.

საგანმანათლებლო – მოსწავლეთა პასუხისმგებლობის ფორმირება, თანმიმდევრულობა; შემეცნებითი და ესთეტიკური თვისებების განვითარება; მოსწავლეთა საინფორმაციო კულტურის ჩამოყალიბება.

მაკორექტირებელი - სივრცითი აზროვნების, მეხსიერების, ხელის მოტორიკის განვითარება.

გაკვეთილის ტიპი:ახალი სასწავლო მასალის შესწავლა, კონსოლიდაცია.

გაკვეთილის ტიპი:შერეული გაკვეთილი.

სწავლების მეთოდი:ვერბალური, ვიზუალური, პრაქტიკული.

სწავლის ფორმა:კოლექტიური.

განათლების საშუალებები:დაფა

გაკვეთილების დროს:

1. საორგანიზაციო ეტაპი

- მისალმებები;

- გაკვეთილისთვის მზადყოფნის შემოწმება;

2. საბაზისო ცოდნის განახლება.
რა თემები განვიხილეთ წინა გაკვეთილებზე?

წრის განტოლების ზოგადი ხედი?

შეასრულეთ ზეპირად:

ბლიცის გამოკითხვა

3. ახალი მასალის გაცნობა.

რას ფიქრობთ და რა ფიგურას განვიხილავთ დღეს... რა მოხდება, თუ ორია?

როგორ შეიძლება მათი განთავსება???

ბავშვები ხელებით აჩვენებენ (მეზობლებს) როგორ შეიძლება განლაგდეს წრეები ( ფსიქიკური განათლება)

აბა, როგორ ფიქრობთ, რა უნდა გავითვალისწინოთ დღეს??დღეს უნდა განვიხილოთ ორი წრის შედარებითი პოზიცია. და გაარკვიეთ რა არის მანძილი ცენტრებს შორის მდებარეობიდან გამომდინარე.

გაკვეთილის თემა:« ორი წრის ურთიერთმოწყობა. Პრობლემის გადაჭრა.»

1. კონცენტრული წრეები

2. გადამკვეთი წრეები

3.გარე შეხება

4. გადამკვეთი წრეები

5. შიდა შეხება

ასე რომ დავასკვნათ

4. უნარებისა და შესაძლებლობების ჩამოყალიბება

იპოვეთ შეცდომა მონაცემებში ან განცხადებაში და შეასწორეთ იგი თქვენი აზრის დასაბუთებით:

ა) ორი წრე ეხება ერთმანეთს. მათი რადიუსი არის R = 8 სმ და r = 2 სმ, ცენტრებს შორის მანძილი არის d = 6.
ბ) ორ წრეს აქვს მინიმუმ ორი საერთო წერტილი.

გ) R = 4, r = 3, d = 5. წრეებს არ აქვთ საერთო წერტილები.

დ) R \u003d 8, r \u003d 6, d \u003d 4. უფრო პატარა წრე მდებარეობს უფრო დიდის შიგნით.

ე) ორი წრე არ შეიძლება განთავსდეს ისე, რომ ერთი იყოს მეორის შიგნით.

5. უნარებისა და შესაძლებლობების კონსოლიდაცია.

წრეები გარედან ეხებიან. პატარა წრის რადიუსი არის 3 სმ, დიდის რადიუსი 5 სმ რა მანძილია ცენტრებს შორის?

ამოხსნა: 3+5=8(სმ)

წრეები შინაგანად ეხება. პატარა წრის რადიუსი არის 3 სმ, უფრო დიდი წრის რადიუსი 5 სმ რა მანძილია წრეების ცენტრებს შორის?

ამოხსნა: 5-3=2(სმ)

წრეები შინაგანად ეხება. წრეების ცენტრებს შორის მანძილი არის 2,5 სმ რა არის წრეების რადიუსი?

პასუხი: (5,5 სმ და 3 სმ), (6,5 სმ და 4 სმ) და ა.შ.

გაგების შემოწმება

1) როგორ შეიძლება ორი წრე განთავსდეს?

2) როდის აქვთ წრეებს ერთი საერთო წერტილი?

3) რა ჰქვია ორი წრის საერთო წერტილს?

4) რა შეხება იცით?

5) როდის იკვეთება წრეები?

6) რომელ წრეებს უწოდებენ კონცენტრულს?

დამატებითი ამოცანები თემაზე: ვექტორები. კოორდინაციის მეთოდი(თუ დროა)

1)E(4;12), F(-4;-10), G(-2;6), H(4;-2) იპოვეთ:

ა) EF,GH ვექტორების კოორდინატები

ბ) ვექტორის FG სიგრძე

გ) O წერტილის კოორდინატები - EF-ის შუა

W წერტილის კოორდინატები - შუა წერტილი GH

დ) წრის განტოლება დიამეტრით FG

ე) სწორი ხაზის FH განტოლება

6. საშინაო დავალება

& 96 #1000. ამ განტოლებიდან რომელია წრის განტოლებები. იპოვნეთ ცენტრი და რადიუსი

7. გაკვეთილის შეჯამება(3 წთ.)

(მიეცით კლასის და ცალკეული მოსწავლეების მუშაობის თვისებრივი შეფასება).

8. რეფლექსიის ეტაპი(2 წუთი.)

(დაიწყეთ მოსწავლეთა რეფლექსია მათ ემოციურ მდგომარეობაზე, მათ აქტივობებზე, მასწავლებელთან და თანაკლასელებთან ურთიერთობაზე ნახატების დახმარებით)

რუსეთის ფედერაციის განათლებისა და მეცნიერების სამინისტრო

მუნიციპალური საბიუჯეტო საგანმანათლებლო დაწესებულება

ქალაქი ნოვოსიბირსკი "გიმნაზია No4"

განყოფილება: მათემატიკა

ᲙᲕᲚᲔᲕᲘᲗᲘ ᲡᲐᲛᲣᲨᲐᲝ

ამ თემაზე:

ორი შეხების წრის თვისებები

მე-10 კლასის მოსწავლეები:

ხაზიახმეტოვი რადიკ ილდაროვიჩი

ზუბარევი ევგენი ვლადიმიროვიჩი

ხელმძღვანელი:

ლ.ლ. ბარინოვა

მათემატიკის მასწავლებელი

უმაღლესი კვალიფიკაციის კატეგორია

§ 1. შესავალი……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

§ 1.1 ორი წრის ურთიერთმოწყობა………………………………………………………………………………………………………………

§ 2 თვისებები და მათი მტკიცებულებები ……………………………………………………………………………….…4

§ 2.1 საკუთრება 1……………………………………………………………………………………………………….

§ 2.2 თვისება 2………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………

§ 2.3 საკუთრება 3…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

§ 2.4 საკუთრება 4……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………….

§ 2.5 საკუთრება 5………………………………………………………………………………………………………

§ 2.6 საკუთრება 6……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

§ 3 ამოცანები……………………………………………………………………………………………………………………………………………..

ლიტერატურა……………………………………………………………………………………….13

§ ერთი. შესავალი

ბევრი პრობლემა, რომელიც მოიცავს ორ ტანგენს წრეს, შეიძლება უფრო მოკლედ და მარტივად გადაწყდეს ზოგიერთი თვისების ცოდნით, რომლებიც მოგვიანებით იქნება წარმოდგენილი.

ორი წრის ურთიერთმოწყობა

დასაწყისისთვის განვიხილავთ ორი წრის შესაძლო ურთიერთმოწყობას. შეიძლება იყოს 4 განსხვავებული შემთხვევა.

1. წრეები შეიძლება არ იკვეთებოდეს.

2. ჯვარი.

3. შეეხეთ გარეთ ერთ წერტილს.

4. შეეხეთ შიგნით ერთ წერტილს.

§ 2. თვისებები და მათი მტკიცებულებები

მოდით პირდაპირ გადავიდეთ თვისებების მტკიცებულებაზე.

§ 2.1 საკუთრება 1

ტანგენტების წრეებთან გადაკვეთის წერტილებს შორის სეგმენტები ერთმანეთის ტოლია და ამ წრეების ორი საშუალო გეომეტრიული რადიუსის ტოლია.

მტკიცებულება 1. O 1 A 1 და O 2 V 1 - რადიუსი შედგენილია შეხების წერტილებზე.

2. O 1 A 1 ┴ A 1 V 1, O2V1 ┴ A 1 V 1 → O 1 A 1 ║ O 2 V 1. (1 პუნქტის მიხედვით)

1. ▲O 1 O 2 D - მართკუთხა, რადგან O 2 D ┴ O 2 V 1
2. O 1 O 2 \u003d R + r, O 2 D \u003d R - r

1. პითაგორას თეორემით А 1 В 1 = 2√Rr

(O 1 D 2 =(R+r) 2 -(R-r) 2 =R 2 +2Rr+r2-R 2 +2Rr-r 2 =√4Rr=2√Rr)

A 2 B 2 = 2√Rr (დამტკიცებული ანალოგიურად)

1) დახაზეთ რადიუსები ტანგენტების გადაკვეთის წერტილებზე წრეებთან.

2) ეს რადიუსი იქნება ტანგენტების პერპენდიკულარული და ერთმანეთის პარალელურად.

3) ჩამოაგდეთ პერპენდიკულარი პატარა წრის ცენტრიდან უფრო დიდი წრის რადიუსამდე.

4) მიღებული მართკუთხა სამკუთხედის ჰიპოტენუზა უდრის წრეების რადიუსების ჯამს. ფეხი უდრის მათ განსხვავებას.

5) პითაგორას თეორემით ვიღებთ სასურველ მიმართებას.

§ 2.2 საკუთრება 2

წრფის გადაკვეთის წერტილები, რომელიც კვეთს წრეების ტანგენციის წერტილს და არ დევს არცერთ მათგანში, ტანგენტებით ყოფენ გარე ტანგენტების სეგმენტებს, რომლებიც შემოსაზღვრულია ტანგენციის წერტილებით, ნაწილებად, რომელთაგან თითოეული ტოლია ამ წრეების რადიუსების გეომეტრიული საშუალო.

მტკიცებულება 1.ᲥᲐᲚᲑᲐᲢᲝᲜᲘ= MA 1 (როგორც ტანგენტების სეგმენტები)

2.MS = MV 1 (როგორც ტანგენტების სეგმენტები)

3.A 1 M \u003d MV 1 \u003d √Rr, A 2 N \u003d NB 2 \u003d √Rr (1 და 2 პუნქტის მიხედვით )

მტკიცებულებაში გამოყენებული განცხადებები ტანგენტების სეგმენტები, რომლებიც შედგენილია ერთი წერტილიდან რომელიმე წრეზე, ტოლია. ჩვენ ვიყენებთ ამ თვისებას ორივე მოცემულ წრეზე.

§ 2.3 საკუთრება 3

გარე ტანგენსებს შორის ჩასმული შიდა ტანგენსის სეგმენტის სიგრძე უდრის შეხების წერტილებს შორის გარე ტანგენსის სეგმენტის სიგრძეს და უდრის ამ წრეების ორ საშუალო გეომეტრიულ რადიუსს.

მტკიცებულება ეს დასკვნა გამომდინარეობს წინა საკუთრებიდან.

MN = MC + CN = 2MC = 2A 1 M = A 1 B 1 = 2√Rr

§ 2.4 საკუთრება 4

ტანგენსტური წრეების ცენტრებითა და ტანგენსტური წრეების ცენტრების მიერ წარმოქმნილი სამკუთხედი რადიუსებს შორის მიზიდულ რადიუსებს შორის არის მართკუთხა. მისი ფეხების თანაფარდობა უდრის ამ წრეების რადიუსების ფესვების კოეფიციენტს.

მტკიცებულება 1.MO 1 არის A 1 MC კუთხის ბისექტორი, MO 2 არის B 1 MC კუთხის ბისექტორი, რადგან კუთხეში ჩაწერილი წრის ცენტრი დევს ამ კუთხის ბისექტორზე.

2. 1 პუნქტის მიხედვით РО 1 МS + РСМО 2 = 0.5 (РА1МС + РСМВ 1) = 0.5p = p/2

3.РО 1 MO 2 - სწორი. MS - სამკუთხედის სიმაღლე O 1 MO 2, რადგან ტანგენსი MN პერპენდიკულარულია შეხების წერტილებთან გამოყვანილი რადიუსების მიმართ → სამკუთხედები О 1 МС და MO 2 С მსგავსია.

4.O 1 M / MO 2 \u003d O 1 C / MS \u003d r / √Rr \u003d √r / R (მსგავსებით)

მტკიცებულებაში გამოყენებული განცხადებები 1) კუთხეში ჩაწერილი წრის ცენტრი დევს ამ კუთხის ბისექტორზე. სამკუთხედის ფეხები არის კუთხეების ბისექტრები.

2) იმ ფაქტის გამოყენებით, რომ ამ გზით წარმოქმნილი კუთხეები ტოლია, მივიღებთ, რომ კუთხე, რომელსაც ჩვენ ვეძებთ, არის მართი კუთხე. ჩვენ ვასკვნით, რომ ეს სამკუთხედი მართლაც მართკუთხა სამკუთხედია.

3) ვამტკიცებთ იმ სამკუთხედების მსგავსებას, რომლებშიც სიმაღლე (რადგან ტანგენსი პერპენდიკულარულია შეხების წერტილებში გამოსახულ რადიუსზე) ყოფს მართკუთხა სამკუთხედს და მსგავსებით ვიღებთ სასურველ თანაფარდობას.

§ 2.5 საკუთრება 5

წრეების ერთმანეთთან შეხების წერტილით და ტანგენსთან წრეების გადაკვეთის წერტილებით წარმოქმნილი სამკუთხედი მართკუთხა სამკუთხედია. მისი ფეხების თანაფარდობა უდრის ამ წრეების რადიუსების ფესვების კოეფიციენტს.

მტკიცებულება

1. ▲А 1 МС და ▲СМВ 1 არის ტოლგვერდა → РМА 1 С = РМСА 1 = α, РМВ 1 С = РМСВ 1 = β.

1. 2α + 2β + РА 1 MS + РСМВ 1 = 2p → 2α + 2β = 2p - (РА 1 MS + РСМВ 1) = 2p - p = p, α + β = p/2

1. მაგრამ RA 1 SV 1 = α + β → RA 1 SV 1 - პირდაპირი → РВ 1 CO 2 = РSV 1 О 2 = p/2 - β = α

1. ▲A 1 MS და ▲CO 2 B 1 მსგავსია → A 1 C / SV 1 = MS / O 2 B 1 = √Rr / R = √r / R

მტკიცებულებაში გამოყენებული განცხადებები 1) ჩვენ ვხატავთ სამკუთხედების კუთხეების ჯამს იმის გამოყენებით, რომ ისინი ტოლფერდაა. ტოლფერდა სამკუთხედები დამტკიცდება ტანგენტის სეგმენტების ტოლობის თვისების გამოყენებით.

2) კუთხეების ჯამის ასე დახატვის შემდეგ მივიღებთ, რომ განხილულ სამკუთხედში არის მართი კუთხე, შესაბამისად ის მართკუთხაა. განცხადების პირველი ნაწილი დადასტურებულია.

3) სამკუთხედების მსგავსებით (მის დასაბუთებისას ვიყენებთ მსგავსების ნიშანს ორი კუთხით) ვპოულობთ მართკუთხა სამკუთხედის ფეხთა თანაფარდობას.

§ 2.6 საკუთრება 6

ოთხკუთხედი, რომელიც წარმოიქმნება წრეების გადაკვეთის წერტილებით ტანგენსთან, არის ტრაპეცია, რომელშიც წრე შეიძლება ჩაიწეროს.

მტკიცებულება 1.▲A 1 RA 2 და ▲B 1 RV 2 არის ტოლფერდა, რადგან A 1 P \u003d RA 2 და B 1 P \u003d PB 2, როგორც ტანგენტების სეგმენტები → ▲A 1 RA 2 და ▲B 1 PB 2 მსგავსია.

2.A 1 A 2 ║ B 1 B 2, რადგან A 1 B 1 სკანტის გადაკვეთაზე წარმოქმნილი შესაბამისი კუთხეები ტოლია.

1. MN - შუა ხაზი თვისებით 2 → A 1 A 2 + B 1 B 2 = 2MN = 4√Rr

1. A 1 B 1 + A 2 B 2 \u003d 2 √ Rr + 2 √ Rr \u003d 4 √ Rr \u003d A 1 A 2 + B 1 B 2 → ტრაპეციაში A 2 A 1 B 1 B 2 ჯამი ფუძეები ტოლია გვერდების ჯამის და ეს აუცილებელი და საკმარისი პირობაა ჩაწერილი წრის არსებობისთვის.

მტკიცებულებაში გამოყენებული განცხადებები 1) კვლავ გამოვიყენოთ ტანგენტის სეგმენტების თვისება. მისი დახმარებით დავამტკიცებთ ტანგენტებისა და ტანგენტების წერტილების გადაკვეთის წერტილით წარმოქმნილ ტოლფერდა სამკუთხედებს.

2) აქედან გამომდინარეობს ამ სამკუთხედების მსგავსება და მათი ფუძეების პარალელურობა. ამის საფუძველზე დავასკვენით, რომ ეს ოთხკუთხედი არის ტრაპეცია.

3) ჩვენ მიერ ადრე დადასტურებული თვისების მიხედვით (2) ვხვდებით ტრაპეციის მედიანურ ხაზს. ის უდრის წრეების ორ საშუალო გეომეტრიულ რადიუსს. მიღებულ ტრაპეციაში ფუძეების ჯამი ტოლია გვერდების ჯამისა და ეს აუცილებელი და საკმარისი პირობაა ჩაწერილი წრის არსებობისთვის.

§ 3. ამოცანები

განვიხილოთ პრაქტიკული მაგალითის გამოყენებით, თუ როგორ შეიძლება პრობლემის გადაწყვეტის გამარტივება ზემოაღნიშნული თვისებების გამოყენებით.

დავალება 1

სამკუთხედში ABC გვერდი AC = 15 სმ. სამკუთხედში ჩაწერილია წრე. მეორე წრე ეხება პირველს და გვერდებს AB და BC. წერტილი F არჩეულია AB მხარეს, ხოლო M წერტილი არჩეულია BC მხარეს ისე, რომ სეგმენტი FM იყოს წრეების საერთო ტანგენსი. იპოვეთ BFM სამკუთხედისა და ოთხკუთხედის AFMC ფართობების თანაფარდობა, თუ FM არის 4 სმ, ხოლო M წერტილი ორჯერ უფრო დაშორებულია ერთი წრის ცენტრიდან, ვიდრე მეორის ცენტრიდან.

მოცემული: FM საერთო ტანგენსი AC=15სმ FM=4სმ O 2 M=2O 1 მ

იპოვეთ S BFM / S AFMC

გამოსავალი:

1)FM=2√Rr,O 1 M/O 2 M=√r/R

2)2√Rr=4, √r/R=0.5 →r=1,R=4; PQ=FM=4

3)▲BO 1 P და ▲BO 2 Q მსგავსია → BP/BQ=O 1 P/O 2 Q, BP/(BP+PQ)=r/R,BP/(BP+4)=0.25;BP = 4/3

4)FM+BP=16/3, S FBM=r*P FBM=1*(16/3)=16/3; AC+BQ=15+4/3+4=61/3

5) S ABC \u003d R * R ABC \u003d 4 * (61/3) \u003d 244/3 → S BFM / S AFMC \u003d (16/3): (244/3) \u003d 4/61

დავალება 2

ორი ტანგენტის წრე მათი საერთო წერტილით D და საერთო ტანგენსი FK, რომელიც გადის ამ წერტილში, ჩაწერილია ტოლფერდა სამკუთხედში ABC. იპოვეთ მანძილი ამ წრეების ცენტრებს შორის, თუ სამკუთხედის ფუძე AC = 9 სმ, ხოლო წრეების შეხების წერტილებს შორის ჩასმული სამკუთხედის გვერდითი გვერდის სეგმენტი არის 4 სმ.

მოცემული: ABC არის ტოლფერდა სამკუთხედი; FK არის ჩაწერილი წრეების საერთო ტანგენსი. AC = 9 სმ; NE = 4 სმ

გამოსავალი:

მოდით AB და CD წრფეები იკვეთება O წერტილში. შემდეგ OA = OD, OB = OC, ამიტომ CD = AB = 2√Rr

წერტილები O 1 და O 2 დევს AOD კუთხის ბისექტორზე. ტოლფერდა სამკუთხედის AOD არის მისი სიმაღლე, ამიტომ AD ┴ O 1 O 2 და BC ┴ O 1 O 2, ასე რომ

AD ║ BC და ABCD არის ტოლფერდა ტრაპეცია.

სეგმენტი MN არის მისი შუა ხაზი, ამიტომ AD + BC = 2MN = 2AB = AB + CD

ამრიგად, ამ ტრაპეციაში შეიძლება ჩაიწეროს წრე.

AP იყოს ტრაპეციის სიმაღლე, მართკუთხა სამკუთხედები АРВ და О 1 FO 2 მსგავსია, შესაბამისად АР/О 1 F = АВ/О 1 О 2 .

აქედან ვხვდებით ამას

ბიბლიოგრაფია

• გაზეთ „პირველი სექტემბრის“ დამატება „მათემატიკა“ No43, 2003 წ.
• USE 2010. მათემატიკა. ამოცანა C4. გორდინ რ.კ.