ვექტორების შერეული პროდუქტი ონლაინ. ვექტორების შერეული პროდუქტი

მიზანი. ონლაინ კალკულატორი შექმნილია ვექტორების შერეული პროდუქტის გამოსათვლელად. შედეგად მიღებული გამოსავალი ინახება Word ფაილში. გარდა ამისა, Excel-ში იქმნება გადაწყვეტის შაბლონი.

ვექტორთა თანაპლენარობის ნიშნები

თანაფარდობის ნიშანი. თუ სისტემა a, b, c არის მემარჯვენე, მაშინ abc>0 ; თუ დარჩა, მაშინ abc შერეული პროდუქტის გეომეტრიული მნიშვნელობა. სამი არათანაბარი ვექტორის a, b, c შერეული ნამრავლი abc უდრის a, b, c ვექტორებზე აგებული პარალელეპიპედის მოცულობას, აღებული პლიუს ნიშნით, თუ სისტემა a, b, c არის მემარჯვენე. და მინუს ნიშნით, თუ ეს სისტემა მემარცხენეა.

შერეული პროდუქტის თვისებები

1. როდესაც ფაქტორები წრიულად არის გადანაწილებული, შერეული პროდუქტი არ იცვლება, როდესაც ორი ფაქტორი გადანაწილებულია, ნიშანი შებრუნებულია: abc=bca=cab=-(bac)=-(cba)=-(acb)
   ეს გამომდინარეობს გეომეტრიული მნიშვნელობიდან.
2. (a+b)cd=acd+bcd (გამანაწილებელი თვისება). ვრცელდება ნებისმიერი რაოდენობის ტერმინებზე.
   გამომდინარეობს შერეული პროდუქტის განმარტებიდან.
3. (ma)bc=m(abc) ( ასოციაციური საკუთრებასკალარული ფაქტორის მიმართ).
   გამომდინარეობს შერეული პროდუქტის განმარტებიდან. ეს თვისებები შესაძლებელს ხდის ტრანსფორმაციების გამოყენებას შერეულ პროდუქტებზე, რომლებიც განსხვავდება ჩვეულებრივი ალგებრულიდან მხოლოდ იმით, რომ ფაქტორების თანმიმდევრობა შეიძლება შეიცვალოს მხოლოდ პროდუქტის ნიშნის გათვალისწინებით.
4. შერეული პროდუქტი, რომელსაც აქვს მინიმუმ ორი თანაბარი ფაქტორი, ნულის ტოლია: aab=0.

მაგალითი No1. იპოვნეთ შერეული პროდუქტი.

ab(3a+2b-5c)=3aba+2abb-5abc=-5abc.

მაგალითი No2. (a+b)(b+c)(c+a)= (axb+axc+bxb+bxc)(c+a)= (axb+axc +bxc)(c+a)=abc+acc+aca+ აბა +bcc+bca. ყველა წევრი, გარდა ორი უკიდურესისა, ნულის ტოლია. ასევე, bca=abc. ამიტომ (a+b)(b+c)(c+a)=2abc.
გამოსავალი. ვექტორების შერეული ნამრავლის გამოსათვლელად საჭიროა ვიპოვოთ ვექტორული კოორდინატებისგან შემდგარი სისტემის განმსაზღვრელი. მოდით დავწეროთ სისტემა ფორმაში.

ამ გაკვეთილზე ჩვენ გადავხედავთ კიდევ ორ ოპერაციას ვექტორებით: ვექტორების ვექტორული ნამრავლიდა ვექტორების შერეული პროდუქტი (დაუყოვნებელი ბმული მათთვის, ვისაც ეს სჭირდება). არა უშავს, ზოგჯერ ისეც ხდება, რომ სრული ბედნიერებისთვის, გარდა ამისა ვექტორების სკალარული პროდუქტი, უფრო და უფრო მეტია საჭირო. ეს არის ვექტორული დამოკიდებულება. შეიძლება ჩანდეს, რომ ველურ ბუნებაში შევდივართ ანალიტიკური გეომეტრია. ეს არასწორია. უმაღლესი მათემატიკის ამ განყოფილებაში ზოგადად ცოტა ხეა, გარდა შესაძლოა საკმარისი პინოქიოს. სინამდვილეში, მასალა ძალიან გავრცელებული და მარტივია - ძნელად უფრო რთული, ვიდრე იგივე წერტილოვანი პროდუქტი, უფრო ნაკლები ტიპიური დავალებაც კი იქნება. ანალიტიკურ გეომეტრიაში მთავარი, როგორც ბევრი დარწმუნდება ან უკვე დარწმუნდა, არის არ დაუშვათ შეცდომები გამოთვლებში. გაიმეორეთ როგორც შელოცვა და ბედნიერი იქნებით =)

თუ ვექტორები ანათებენ სადმე შორს, როგორც ელვა ჰორიზონტზე, არ აქვს მნიშვნელობა, დაიწყეთ გაკვეთილით ვექტორები დუმებისთვისაღსადგენად ან ხელახლა შესაძენად ძირითადი ცოდნავექტორების შესახებ. უფრო მომზადებულ მკითხველს შეუძლია შერჩევითად გაეცნოს იმ ინფორმაციას, რომლის შეგროვებასაც შევეცადე სრული კოლექციამაგალითები, რომლებიც ხშირად გვხვდება პრაქტიკული სამუშაო

რა გაგახარებთ მაშინვე? პატარა რომ ვიყავი, ორი და თუნდაც სამი ბურთის ჟონგლირება შემეძლო. კარგად გამოუვიდა. ახლა თქვენ საერთოდ არ მოგიწევთ ჟონგლირება, რადგან განვიხილავთ მხოლოდ სივრცითი ვექტორები, და ბრტყელი ვექტორები ორი კოორდინატით დარჩება გარეთ. რატომ? ასე დაიბადა ეს მოქმედებები - ვექტორების ვექტორული და შერეული პროდუქტი განისაზღვრება და მუშაობს სამგანზომილებიანი სივრცე. ეს უკვე უფრო ადვილია!

ეს ოპერაცია, ისევე როგორც სკალარული პროდუქტი, მოიცავს ორი ვექტორი. დაე ეს იყოს უხრწნელი ასოები.

თავად მოქმედება აღინიშნებაშემდეგნაირად: . არის სხვა ვარიანტებიც, მაგრამ მე მიჩვეული ვარ ვექტორების ვექტორული ნამრავლის აღნიშვნას ასე, კვადრატულ ფრჩხილებში ჯვრით.

და მაშინვე კითხვა: თუ შევიდა ვექტორების სკალარული პროდუქტიჩართულია ორი ვექტორი და აქ ორი ვექტორიც მრავლდება, მაშინ რა განსხვავებაა? აშკარა განსხვავებაა, პირველ რიგში, შედეგში:

ვექტორების სკალარული ნამრავლის შედეგია NUMBER:

ვექტორთა ჯვარედინი ნამრავლის შედეგია ვექტორი: , ანუ ვამრავლებთ ვექტორებს და ისევ ვიღებთ ვექტორს. დახურული კლუბი. ფაქტობრივად, სწორედ აქედან მოდის ოპერაციის სახელწოდება. სხვადასხვაში საგანმანათლებლო ლიტერატურააღნიშვნები ასევე შეიძლება განსხვავდებოდეს, მე გამოვიყენებ ასოს .

ჯვარედინი პროდუქტის განმარტება

ჯერ იქნება განმარტება სურათით, მერე კომენტარები.

განმარტება: ვექტორული პროდუქტი არაკოლინარულივექტორები, მიღებული ამ თანმიმდევრობით, სახელად ვექტორი, სიგრძერომელიც რიცხობრივად პარალელოგრამის ფართობის ტოლიაამ ვექტორებზე აგებული; ვექტორი ორთოგონალური ვექტორების მიმართდა მიმართულია ისე, რომ საფუძველს ჰქონდეს სწორი ორიენტაცია:

მოდით დავამსხვრიოთ განმარტება, აქ ბევრი საინტერესო რამ არის!

ამრიგად, შეიძლება აღინიშნოს შემდეგი მნიშვნელოვანი პუნქტები:

1) ორიგინალური ვექტორები, რომლებიც მითითებულია წითელი ისრებით, განმარტებით არა კოლინარული. ხდება კოლინარული ვექტორებიმიზანშეწონილი იქნება ცოტა მოგვიანებით განიხილოს.

2) ვექტორები აღებულია მკაცრად გარკვეული თანმიმდევრობით : – "a" მრავლდება "იყოს", და არა „იყოს“ „ა“-ით. ვექტორული გამრავლების შედეგიარის VECTOR, რომელიც მითითებულია ლურჯად. თუ ვექტორები მრავლდება საპირისპირო თანმიმდევრობით, მივიღებთ ვექტორს, რომელიც ტოლია სიგრძით და საპირისპირო მიმართულებით ( ჟოლოსფერი). ანუ თანასწორობა მართალია .

3) ახლა გავეცნოთ ვექტორული ნამრავლის გეომეტრიულ მნიშვნელობას. ეს ძალიან მნიშვნელოვანი წერტილი! ლურჯი ვექტორის სიგრძე (და, მაშასადამე, ჟოლოსფერი ვექტორის) რიცხობრივად უდრის ვექტორებზე აგებული პარალელოგრამის ფართობს. ფიგურაში ეს პარალელოგრამი შავად არის დაჩრდილული.

შენიშვნა : ნახაზი სქემატურია და, ბუნებრივია, ვექტორული ნამრავლის ნომინალური სიგრძე არ არის პარალელოგრამის ფართობის ტოლი.

გავიხსენოთ ერთი გეომეტრიული ფორმულები: პარალელოგრამის ფართობი ტოლია ნამრავლის მიმდებარე მხარეებიმათ შორის კუთხის სინუსით. ამიტომ, ზემოაღნიშნულიდან გამომდინარე, მოქმედებს ვექტორული ნამრავლის სიგრძის გამოთვლის ფორმულა:

ხაზს ვუსვამ, რომ ფორმულა ეხება ვექტორის სიგრძეს და არა თავად ვექტორს. რა პრაქტიკული მნიშვნელობა? და მნიშვნელობა ის არის, რომ ანალიტიკური გეომეტრიის პრობლემებში, პარალელოგრამის ფართობი ხშირად გვხვდება ვექტორული პროდუქტის კონცეფციის საშუალებით:

ავიღოთ მეორე მნიშვნელოვანი ფორმულა. პარალელოგრამის დიაგონალი (წითელი წერტილოვანი ხაზი) ​​მას ორად ყოფს თანაბარი სამკუთხედი. ამრიგად, ვექტორებზე აგებული სამკუთხედის ფართობი (წითელი დაჩრდილვა) შეგიძლიათ იპოვოთ ფორმულის გამოყენებით:

4) არანაკლებ მნიშვნელოვანი ფაქტიარის ის, რომ ვექტორი ორთოგონალურია ვექტორებთან, ანუ . რა თქმა უნდა, საპირისპირო მიმართული ვექტორი (ჟოლოს ისარი) ასევე ორთოგონალურია თავდაპირველი ვექტორების მიმართ.

5) ვექტორი მიმართულია ისე, რომ საფუძველიაქვს უფლებაორიენტაცია. გაკვეთილზე იმის შესახებ ახალ ბაზაზე გადასვლასაკმარისად დეტალურად ვისაუბრე თვითმფრინავის ორიენტაციადა ახლა ჩვენ გავარკვევთ რა არის სივრცეში ორიენტაცია. თითებზე აგიხსნი მარჯვენა ხელი . გონებრივად შეაერთეთ საჩვენებელი თითივექტორით და შუა თითივექტორით. ბეჭედი და პატარა თითიდააჭირე მას ხელისგულში. შედეგად ცერა თითი – ვექტორული პროდუქტი გამოჩნდება. ეს არის უფლებაზე ორიენტირებული საფუძველი (ეს არის ფიგურაში). ახლა შეცვალეთ ვექტორები ( ინდექსი და შუა თითები ) ზოგან, შედეგად ცერა თითი შემობრუნდება და ვექტორული პროდუქტი უკვე ქვემოთ იყურება. ესეც უფლებაზე ორიენტირებული საფუძველია. შეიძლება გაგიჩნდეთ შეკითხვა: რომელი საფუძველი აქვს მარცხენა ორიენტაციას? იგივე თითებზე "მინიშნება". მარცხენა ხელივექტორები და მიიღეთ სივრცის მარცხენა საფუძველი და მარცხენა ორიენტაცია (ამ შემთხვევაში, ცერა თითი განთავსდება ქვედა ვექტორის მიმართულებით). ფიგურალურად რომ ვთქვათ, ეს ფუძეები „უხვევენ“ ან ორიენტირებენ სივრცეში სხვადასხვა მხარე. და ეს კონცეფცია არ უნდა ჩაითვალოს რაღაც შორს ან აბსტრაქტულად - მაგალითად, სივრცის ორიენტაცია იცვლება ყველაზე ჩვეულებრივი სარკით და თუ "ასახულ საგანს ამოიყვანთ შუშიდან", მაშინ ზოგადად შეუძლებელი იქნება მისი "ორიგინალთან" შერწყმა. სხვათა შორის, სამი თითი მიიტანეთ სარკესთან და გააანალიზეთ ანარეკლი ;-)

...რა კარგია, რომ ახლა იცი მარჯვნივ და მარცხნივ ორიენტირებულისაფუძვლები, რადგან ზოგიერთი ლექტორის განცხადება ორიენტაციის ცვლილების შესახებ საშინელია =)

კოლინარული ვექტორების ჯვარედინი ნამრავლი

განმარტება დეტალურად იქნა განხილული, რჩება იმის გარკვევა, თუ რა ხდება, როდესაც ვექტორები კოლინარულია. თუ ვექტორები ხაზოვანია, მაშინ ისინი შეიძლება განთავსდეს ერთ სწორ ხაზზე და ჩვენი პარალელოგრამი ასევე "დაამატებს" ერთ სწორ ხაზს. ისეთი არეალი, როგორც მათემატიკოსები ამბობენ, გადაგვარებულიპარალელოგრამი ნულის ტოლია. იგივე გამომდინარეობს ფორმულიდან - ნულის სინუსი ან 180 გრადუსი ნულის ტოლი, და შესაბამისად ფართობი ნულის ტოლია

ამრიგად, თუ, მაშინ . მკაცრად რომ ვთქვათ, თავად ვექტორული ნამრავლი ნულოვანი ვექტორის ტოლია, მაგრამ პრაქტიკაში ამას ხშირად უგულებელყოფენ და წერენ, რომ ის უბრალოდ ნულის ტოლია.

განსაკუთრებული შემთხვევა– ვექტორის ნამრავლი საკუთარ თავთან:

ვექტორული პროდუქტის გამოყენებით შეგიძლიათ შეამოწმოთ სამგანზომილებიანი ვექტორების კოლინარულობა და ჩვენ ასევე გავაანალიზებთ ამ პრობლემას, სხვათა შორის.

მოსაგვარებლად პრაქტიკული მაგალითებიშეიძლება საჭირო გახდეს ტრიგონომეტრიული ცხრილიმისგან სინუსების მნიშვნელობების პოვნა.

აბა, ავანთოთ ცეცხლი:

მაგალითი 1

ა) იპოვეთ ვექტორების ვექტორული ნამრავლის სიგრძე თუ

ბ) იპოვეთ ვექტორებზე აგებული პარალელოგრამის ფართობი თუ

გამოსავალი: არა, ეს არ არის ბეჭდვითი შეცდომა, შეგნებულად დავწერე თავდაპირველი მონაცემები პუნქტებში. რადგან გადაწყვეტილებების დიზაინი განსხვავებული იქნება!

ა) პირობის მიხედვით უნდა მოძებნოთ სიგრძევექტორი (ჯვარედინი პროდუქტი). შესაბამისი ფორმულის მიხედვით:

უპასუხე:

თუ გკითხეს სიგრძეზე, მაშინ პასუხში მივუთითებთ განზომილებას - ერთეულებს.

ბ) პირობის მიხედვით უნდა მოძებნოთ კვადრატივექტორებზე აგებული პარალელოგრამი. ამ პარალელოგრამის ფართობი რიცხობრივად უდრის ვექტორული ნამრავლის სიგრძეს:

უპასუხე:

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ პასუხში საერთოდ არ არის საუბარი ვექტორულ ნამრავლზე ფიგურის ფართობიშესაბამისად, განზომილება არის კვადრატული ერთეული.

ჩვენ ყოველთვის ვუყურებთ რა უნდა ვიპოვოთ პირობის მიხედვით და ამის საფუძველზე ვაყალიბებთ ნათელიპასუხი. შეიძლება ლიტერალიზმად მოგეჩვენოთ, მაგრამ მასწავლებელთა შორის უამრავი ლიტერალისტია და დავალება კარგი შანსებიდაბრუნდება გადასინჯვისთვის. მიუხედავად იმისა, რომ ეს არ არის განსაკუთრებით შორსმჭვრეტელი ჩივილი - თუ პასუხი არასწორია, მაშინ იქმნება შთაბეჭდილება, რომ ადამიანს არ ესმის მარტივი რამან/და არ ესმოდა ამოცანის არსი. ეს წერტილი ყოველთვის უნდა იყოს კონტროლირებადი ნებისმიერი პრობლემის გადაჭრისას უმაღლესი მათემატიკადა სხვა საგნებშიც.

სად წავიდა დიდი ასო "ენ"? პრინციპში შეიძლებოდა ხსნარზე დამატებით მიმაგრებულიყო, მაგრამ ჩანაწერის შესამცირებლად ეს არ გამიკეთებია. ვიმედოვნებ, რომ ყველას ესმის ეს და არის იგივე აღნიშვნა.

პოპულარული მაგალითი დამოუკიდებელი გადაწყვეტილება:

მაგალითი 2

იპოვეთ ვექტორებზე აგებული სამკუთხედის ფართობი თუ

ვექტორული პროდუქტის მეშვეობით სამკუთხედის ფართობის პოვნის ფორმულა მოცემულია განმარტების კომენტარებში. გამოსავალი და პასუხი მოცემულია გაკვეთილის ბოლოს.

პრაქტიკაში, ამოცანა მართლაც ძალიან გავრცელებულია.

სხვა პრობლემების გადასაჭრელად დაგვჭირდება:

ვექტორების ვექტორული ნამრავლის თვისებები

ჩვენ უკვე განვიხილეთ ვექტორული პროდუქტის ზოგიერთი თვისება, თუმცა მათ ამ სიაში ჩავრიცხავ.

თვითნებური ვექტორებისთვის და თვითნებური რიცხვებისთვის, შემდეგი თვისებები მართალია:

1) ინფორმაციის სხვა წყაროებში ეს ელემენტი ჩვეულებრივ არ არის ხაზგასმული თვისებებში, მაგრამ ძალიან მნიშვნელოვანია პრაქტიკული თვალსაზრისით. ასე რომ იყოს.

2) – საკუთრებაც ზემოთ არის განხილული, ხანდახან ე.წ ანტიკომუტატიურობა. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ვექტორების თანმიმდევრობას აქვს მნიშვნელობა.

3) – ასოციაციური ან ასოციაციურივექტორული პროდუქტის კანონები. მუდმივები ადვილად შეიძლება გადავიდეს ვექტორული პროდუქტის გარეთ. მართლა, რა უნდა გააკეთონ იქ?

4) – განაწილება ან გამანაწილებელივექტორული პროდუქტის კანონები. სამაგრების გახსნის პრობლემაც არ არის.

დემონსტრირებისთვის, მოდით შევხედოთ მოკლე მაგალითს:

მაგალითი 3

იპოვეთ თუ

გამოსავალი:მდგომარეობა კვლავ მოითხოვს ვექტორული პროდუქტის სიგრძის პოვნას. მოდით დავხატოთ ჩვენი მინიატურა:

(1) ასოციაციური კანონების მიხედვით, ჩვენ ვიღებთ მუდმივებს ვექტორული ნამრავლის ფარგლებს გარეთ.

(2) ჩვენ გადავიტანთ მუდმივას მოდულის გარეთ და მოდული "ჭამს" მინუს ნიშანს. სიგრძე არ შეიძლება იყოს უარყოფითი.

(3) დანარჩენი ნათელია.

უპასუხე:

დროა ცეცხლზე მეტი შეშა დავამატოთ:

მაგალითი 4

გამოთვალეთ ვექტორებზე აგებული სამკუთხედის ფართობი თუ

გამოსავალი: იპოვეთ სამკუთხედის ფართობი ფორმულის გამოყენებით . მთავარი ის არის, რომ ვექტორები "ცე" და "დე" თავად არის წარმოდგენილი ვექტორების ჯამებად. ალგორითმი აქ სტანდარტულია და გარკვეულწილად მოგვაგონებს გაკვეთილის მე-3 და მე-4 მაგალითებს ვექტორების წერტილოვანი ნამრავლი. სიცხადისთვის, ჩვენ დავყოფთ გამოსავალს სამ ეტაპად:

1) პირველ ეტაპზე ჩვენ ვექტორულ ნამრავლს ვექტორული ნამრავლის საშუალებით გამოვხატავთ, ფაქტობრივად, გამოვხატოთ ვექტორი ვექტორის მიხედვით. სიგრძეზე ჯერ არაფერია ნათქვამი!

(1) ჩაანაცვლეთ ვექტორების გამოსახულებები.

(2) გამანაწილებელი კანონების გამოყენებით ვხსნით ფრჩხილებს მრავალწევრების გამრავლების წესის მიხედვით.

(3) ასოციაციური კანონების გამოყენებით, ჩვენ გადავაადგილებთ ყველა მუდმივას ვექტორული პროდუქტების მიღმა. მცირე გამოცდილებით, მე-2 და მე-3 ნაბიჯების შესრულება შესაძლებელია ერთდროულად.

(4) პირველი და ბოლო წევრი ნულის ტოლია (ნულოვანი ვექტორი) ლამაზი თვისების გამო. მეორე ტერმინში ვიყენებთ ვექტორული პროდუქტის ანტიკომუტატიურობის თვისებას:

(5) წარმოგიდგენთ მსგავს ტერმინებს.

შედეგად, ვექტორი გამოიხატება ვექტორის საშუალებით, რისი მიღწევაც საჭირო იყო:

2) მეორე საფეხურზე ვპოულობთ ჩვენთვის საჭირო ვექტორული ნამრავლის სიგრძეს. ეს მოქმედება მსგავსია მაგალითი 3:

3) იპოვეთ საჭირო სამკუთხედის ფართობი:

ამოხსნის 2-3 ეტაპები შეიძლებოდა დაეწერა ერთ სტრიქონში.

უპასუხე:

განხილული პრობლემა საკმაოდ გავრცელებულია ტესტებიაქ არის მაგალითი დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის:

მაგალითი 5

იპოვეთ თუ

მოკლე გამოსავალი და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს. ვნახოთ, რამდენად ყურადღებიანი იყავით წინა მაგალითების შესწავლისას ;-)

ვექტორების ჯვარედინი ნამრავლი კოორდინატებში

ფორმულა მართლაც მარტივია: დეტერმინანტის ზედა ხაზში ვწერთ კოორდინატთა ვექტორები, მეორე და მესამე სტრიქონებში „დავსვით“ ვექტორების კოორდინატები და ვდებთ მკაცრი წესით– ჯერ “ve” ვექტორის კოორდინატები, შემდეგ “double-ve” ვექტორის კოორდინატები. თუ ვექტორები უნდა გამრავლდეს სხვა თანმიმდევრობით, მაშინ რიგები უნდა შეიცვალოს:

მაგალითი 10

შეამოწმეთ არის თუ არა შემდეგი სივრცის ვექტორები თანამიმართულია:
ა)
ბ)

გამოსავალი: გადამოწმება ეფუძნება ერთ-ერთ განცხადებას ეს გაკვეთილი: თუ ვექტორები ხაზოვანია, მაშინ მათი ვექტორული ნამრავლი ნულის ტოლია (ნულოვანი ვექტორი): .

ა) იპოვნეთ ვექტორული ნამრავლი:

ამრიგად, ვექტორები არ არის კოლინარული.

ბ) იპოვეთ ვექტორული ნამრავლი:

უპასუხე: ა) არა კოლინარული, ბ)

აქ, ალბათ, არის ყველა ძირითადი ინფორმაცია ვექტორების ვექტორული პროდუქტის შესახებ.

ეს განყოფილებაარ იქნება ძალიან დიდი, რადგან რამდენიმე პრობლემაა, სადაც ვექტორების შერეული პროდუქტი გამოიყენება. სინამდვილეში, ყველაფერი დამოკიდებული იქნება განმარტებაზე, გეომეტრიული მნიშვნელობადა რამდენიმე სამუშაო ფორმულა.

ვექტორების შერეული პროდუქტი არის პროდუქტი სამი ვექტორი :

ასე რომ, ისინი მატარებელივით დადგნენ და ვერ ითმენდნენ, რომ ამოიცნონ.

ჯერ კიდევ, განმარტება და სურათი:

განმარტება: შერეული სამუშაო არათანაბარივექტორები, მიღებული ამ თანმიმდევრობით, დაურეკა პარალელეპიპედური მოცულობა, აგებულია ამ ვექტორებზე, აღჭურვილია „+“ ნიშნით, თუ საფუძველი სწორია და „–“ ნიშნით, თუ საფუძველი დარჩა.

მოდით გავაკეთოთ ნახატი. ჩვენთვის უხილავი ხაზები დახატულია წერტილოვანი ხაზებით:

მოდით ჩავუღრმავდეთ განმარტებას:

2) ვექტორები აღებულია გარკვეული თანმიმდევრობით, ანუ პროდუქტში ვექტორების გადაწყობა, როგორც თქვენ ალბათ მიხვდებით, შედეგების გარეშე არ ხდება.

3) სანამ გეომეტრიულ მნიშვნელობაზე კომენტარს გავაკეთებ, აღვნიშნავ აშკარა ფაქტს: ვექტორების შერეული ნამრავლი არის NUMBER: . საგანმანათლებლო ლიტერატურაში, დიზაინი შეიძლება იყოს ოდნავ განსხვავებული, მე მიჩვეული ვარ შერეული პროდუქტის აღნიშვნას, ხოლო გამოთვლების შედეგი ასო „პე“-თ.

განსაზღვრებით შერეული პროდუქტი არის პარალელეპიპედის მოცულობა, აგებულია ვექტორებზე (ფიგურა დახატულია წითელი ვექტორებითა და შავი ხაზებით). ანუ რიცხვი უდრის მოცემული პარალელეპიპედის მოცულობას.

შენიშვნა : ნახატი სქემატურია.

4) ისევ ნუ ვიდარდებთ საფუძვლისა და სივრცის ორიენტაციის კონცეფციაზე. ბოლო ნაწილის მნიშვნელობა არის ის, რომ მინუს ნიშანი შეიძლება დაემატოს მოცულობას. მარტივი სიტყვებით, შერეული პროდუქტი შეიძლება იყოს უარყოფითი: .

პირდაპირ განმარტებიდან გამომდინარეობს ვექტორებზე აგებული პარალელეპიპედის მოცულობის გამოთვლის ფორმულა.

ეს ონლაინ კალკულატორი ითვლის ვექტორების შერეულ ნამრავლს. მოცემული დეტალური გადაწყვეტა. ვექტორების შერეული ნამრავლის გამოსათვლელად აირჩიეთ ვექტორების გამოსახვის მეთოდი (კოორდინატებით ან ორი წერტილით), შეიყვანეთ მონაცემები უჯრედებში და დააწკაპუნეთ ღილაკზე „გამოთვლა“.

×

გაფრთხილება

გაასუფთავო ყველა უჯრედი?

დახურეთ გასუფთავება

მონაცემთა შეყვანის ინსტრუქციები.რიცხვები შეყვანილია როგორც მთელი რიცხვები (მაგალითები: 487, 5, -7623 და ა.შ.), ათწილადები (მაგ. 67., 102.54 და ა.შ.) ან წილადები. წილადი უნდა შეიტანოს a/b სახით, სადაც a და b (b>0) არის მთელი რიცხვები ან ათობითი რიცხვები. მაგალითები 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 და ა.შ.

ვექტორების შერეული პროდუქტი (თეორია)

შერეული სამუშაოსამი ვექტორი არის რიცხვი, რომელიც მიიღება პირველი ორი ვექტორის და მესამე ვექტორის ვექტორული ნამრავლის შედეგის სკალარული ნამრავლით. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თუ მოცემულია სამი ვექტორი ა, ბდა გ, შემდეგ ამ ვექტორების შერეული ნამრავლის მისაღებად ჯერ პირველი ორი ვექტორი და მიღებული ვექტორი მრავლდება [ აბ] სკალარულად მრავლდება ვექტორზე გ.

სამი ვექტორის შერეული პროდუქტი ა, ბდა გაღინიშნება შემდეგნაირად: abcან ასე ( ა, ბ, გ). მაშინ შეგვიძლია დავწეროთ:

შერეული ნამრავლის გეომეტრიული მნიშვნელობის ამსახველი თეორემის ჩამოყალიბებამდე, გაეცანით მარჯვენა სამმაგი, მარცხენა სამმაგი, მარჯვენა კოორდინატთა სისტემის, მარცხენა კოორდინატთა სისტემის ცნებებს (განმარტებები 2, 2" და 3 ვექტორების ვექტორული ნამრავლის გვერდზე ონლაინ).

დაზუსტებისთვის, შემდეგში განვიხილავთ მხოლოდ მარჯვენა კოორდინატულ სისტემებს.

თეორემა 1. ვექტორების შერეული პროდუქტი ([აბ],გ) უდრის საერთო საწყისამდე შემცირებულ ვექტორებზე აგებული პარალელიზებულის მოცულობას ა, ბ, გ, აღებული პლუსის ნიშნით, თუ სამი ა, ბ, გმარჯვნივ და მინუს ნიშნით თუ სამი ა, ბ, გდატოვა თუ ვექტორები ა, ბ, გთანაპლენარულია, მაშინ ([ აბ],გ) ნულის ტოლია.

დასკვნა 1. მოქმედებს შემდეგი ტოლობა:

ამიტომ, ჩვენთვის საკმარისია ამის დამტკიცება

გამოთქმიდან (3) ირკვევა, რომ მარცხენა და მარჯვენა მხარეპარალელურის მოცულობის ტოლი. მაგრამ მარჯვენა და მარცხენა მხარის ნიშნები ემთხვევა, რადგან ვექტორების სამმაგია abcდა ძვ.წაქვთ იგივე ორიენტაცია.

დადასტურებული ტოლობა (1) საშუალებას გვაძლევს დავწეროთ სამი ვექტორის შერეული ნამრავლი ა, ბ, გმხოლოდ ფორმაში abc, იმის დაზუსტების გარეშე, რომელი ორი ვექტორი მრავლდება ვექტორულად პირველ ორზე ან ბოლო ორზე.

დასკვნა 2. აუცილებელი და საკმარისი მდგომარეობასამი ვექტორის თანაფარდობა არის მათი შერეული ნამრავლის ტოლობა ნულამდე.

მტკიცებულება გამომდინარეობს თეორემა 1-დან. მართლაც, თუ ვექტორები თანაპლენარულია, მაშინ ამ ვექტორების შერეული ნამრავლი ნულის ტოლია. პირიქით, თუ შერეული ნამრავლი ნულის ტოლია, მაშინ ამ ვექტორების თანაპლანსურობა გამომდინარეობს თეორემა 1-დან (რადგან ვექტორებზე აგებული პარალელურად აგებული საერთო საწყისამდე ნულის ტოლია).

დასკვნა 3. სამი ვექტორის შერეული ნამრავლი, რომელთაგან ორი ემთხვევა, ნულის ტოლია.

მართლა. თუ სამი ვექტორიდან ორი ემთხვევა, მაშინ ისინი თანაპლენარულია. მაშასადამე, ამ ვექტორების შერეული ნამრავლი ნულის ტოლია.

ვექტორების შერეული ნამრავლი დეკარტის კოორდინატებში

თეორემა 2. მოდით სამი ვექტორი ა, ბდა გგანისაზღვრება მათი დეკარტის მართკუთხა კოორდინატებით

მტკიცებულება. შერეული სამუშაო abcუდრის სკალარული პროდუქტივექტორები [ აბ] და გ. ვექტორული ნამუშევარივექტორები [ აბ] ვ დეკარტის კოორდინატებიგამოითვლება ფორმულით ():

ბოლო გამონათქვამი შეიძლება დაიწეროს მეორე რიგის დეტერმინანტების გამოყენებით:

აუცილებელია და საკმარისია, რომ განმსაზღვრელი იყოს ნულის ტოლი, რომლის რიგები ივსება ამ ვექტორების კოორდინატებით, ე.ი.

.

(7)

დასკვნის დასამტკიცებლად საკმარისია გავითვალისწინოთ ფორმულა (4) და დასკვნა 2.

ვექტორების შერეული პროდუქტი მაგალითებით

მაგალითი 1. იპოვეთ ვექტორების შერეული ნამრავლი აბს, სად

ვექტორების შერეული პროდუქტი ა, ბ, გმატრიცის დეტერმინანტის ტოლი ლ. გამოვთვალოთ მატრიცის განმსაზღვრელი ლ, აფართოებს განმსაზღვრელს 1 ხაზის გასწვრივ:

ვექტორული ბოლო წერტილი ა.