ძალთა თვითნებური სივრცითი სისტემის ცენტრში მოყვანის განსაკუთრებული შემთხვევები. უმარტივეს ფორმამდე შემცირების შემთხვევები ძალთა სიბრტყე სისტემის წონასწორობის განტოლებების ფორმები

მოდით, რამდენიმე წყვილი ძალები სხვადასხვა სიბრტყეში მოქმედი მომენტებით ერთდროულად გამოიყენონ ხისტ სხეულზე. შესაძლებელია თუ არა ამ წყვილთა სისტემის დაყვანა უფრო მარტივ ფორმამდე? გამოდის, რომ ეს შესაძლებელია და პასუხს გვთავაზობს შემდეგი თეორემა ორი წყვილის მიმატების შესახებ.

თეორემა. სხვადასხვა სიბრტყეში მოქმედი ძალების ორი წყვილი უდრის ერთი წყვილი ძალის მომენტს მოცემული წყვილების მომენტების გეომეტრიული ჯამის ტოლი.

მოდით, წყვილები განისაზღვროს მათი მომენტებით და (სურ. 36, ა). ავაშენოთ ამ ვექტორებზე პერპენდიკულარული ორი სიბრტყე (წყვილების მოქმედების სიბრტყე) და ორივე წყვილისთვის საერთო მხრისთვის სიბრტყეების გადაკვეთის ხაზზე ავარჩევთ AB სეგმენტს, ავაშენებთ შესაბამის წყვილებს: (ნახ. 36, ბ).

წყვილის მომენტის განმარტების შესაბამისად შეგვიძლია დავწეროთ

A და B წერტილებში ჩვენ გვაქვს კონვერტაციული ძალები. ძალების პარალელოგრამის წესის გამოყენებით (აქსიომა 3) გვექნება:

მოცემული წყვილები აღმოჩნდება ორი ძალის ტოლფასი, რომლებიც ასევე ქმნიან წყვილს. ამრიგად, თეორემის პირველი ნაწილი დადასტურებულია. თეორემის მეორე ნაწილი დასტურდება მიღებული წყვილის მომენტის პირდაპირი გაანგარიშებით:

თუ არსებობს რამდენიმე წყვილი, მაშინ ამ თეორემის შესაბამისად წყვილებში მათი მიმატებით, წყვილების ნებისმიერი რაოდენობა შეიძლება შემცირდეს ერთ წყვილამდე. შედეგად მივდივართ შემდეგ დასკვნამდე: ძალთა წყვილთა სიმრავლე (სისტემა), რომელიც მიმართულია აბსოლუტურად ხისტ სხეულზე, შეიძლება შემცირდეს ერთ წყვილამდე მომენტით, რომელიც უდრის ყველა მოცემული წყვილის მომენტების გეომეტრიულ ჯამს.

მათემატიკურად, ეს შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად:

ნახ. სურათი 37 იძლევა მიღებული დასკვნის გეომეტრიულ ილუსტრაციას.

ძალთა წყვილების წონასწორობისთვის საჭიროა, რომ მიღებული წყვილის მომენტი იყოს ნულის ტოლი, რაც იწვევს ტოლობას

ეს მდგომარეობა შეიძლება გამოიხატოს გეომეტრიული და ანალიტიკური ფორმით. ძალთა წყვილთა წონასწორობის გეომეტრიული პირობა: ძალთა წყვილთა სისტემა რომ იყოს წონასწორობაში, აუცილებელია და საკმარისია ყველა წყვილის მომენტებიდან აგებული ვექტორული მრავალკუთხედი დახურული იყოს.

ძალთა წყვილების წონასწორობის ანალიტიკური პირობა: ძალთა წყვილთა სისტემის წონასწორობისთვის აუცილებელია და საკმარისია, რომ ყველა წყვილის მომენტის ვექტორების პროგნოზების ალგებრული ჯამები თვითნებურად არჩეულ კოორდინატულ ღერძებზე Oxyz ტოლი იყოს ნულის ტოლი:

თუ ყველა წყვილი დევს ერთ სიბრტყეში, ანუ ისინი ქმნიან წყვილთა ბრტყელ სისტემას, მიიღება მხოლოდ ერთი ანალიტიკური წონასწორობის პირობა - წყვილების ალგებრული მომენტების ჯამი ნულის ტოლია.

თვითტესტის კითხვები

1. რა არის ძალის მრავალკუთხედის წესი? რისთვის გამოიყენება ძალის მრავალკუთხედი?

2. როგორ ვიპოვოთ ანალიზური ძალების კონვერტაციის შედეგი?

3. რა გეომეტრიული პირობაა შემაერთებელი ძალების წონასწორობისთვის? როგორ არის ჩამოყალიბებული იგივე მდგომარეობა ანალიტიკურად?

4. ჩამოთვალეთ სამი ძალის თეორემა.

5. რომელ სტატიკურ ამოცანებს ეწოდება სტატიკურად განსაზღვრული და რომელს სტატიკურად განუსაზღვრელი? მიეცით სტატიკურად განუსაზღვრელი პრობლემის მაგალითი.

6. რას ჰქვია ძალთა წყვილი?

7. რა ჰქვია ძალთა წყვილის მომენტს (ვექტორ-მომენტს)? რა არის მომენტის მიმართულება, სიდიდე და გამოყენების წერტილი?

8. რას ჰქვია წყვილის ალგებრული მომენტი?

9. ჩამოაყალიბეთ სივრცეში თვითნებურად მდებარე წყვილების დამატების წესი.

10. როგორია ძალთა წყვილთა სისტემის წონასწორობის ვექტორული, გეომეტრიული და ანალიტიკური პირობები?

სტატიკის მთავარი თეორემა ძალთა თვითნებური სისტემის მოცემულ ცენტრში მოყვანის შესახებ: ძალების ნებისმიერი სიბრტყის სისტემა უდრის ერთ ძალას, რომელიც უდრის სისტემის მთავარ ვექტორს, რომელიც გამოიყენება რაღაც მომენტში (შემცირების ცენტრში) და ძალების წყვილს, რომლის მომენტი უდრის სისტემის ძალების ძირითად მომენტს. შემცირების ცენტრში.

თეორემის დადასტურება ხორციელდება შემდეგი თანმიმდევრობით: აირჩიეთ გარკვეული წერტილი (მაგალითად, წერტილი შესახებ) როგორც შემცირების ცენტრი და გადაიტანეთ თითოეული ძალა ამ წერტილში, პარალელური ძალის გადაცემის თეორემის მიხედვით, ძალების შესაბამისი წყვილის დამატება. შედეგად, მიიღება წერტილში გამოყენებული ძალების კონვერტაციის სისტემა შესახებ, სადაც , და დამატებული ძალთა წყვილების სისტემა, რომლის მომენტები არის . შემდეგ კონვერტაციული ძალების სისტემა იცვლება სისტემის მთავარი ვექტორის ტოლი შედეგით, ხოლო ძალთა წყვილის სისტემა იცვლება ძალების ერთი წყვილით, მომენტით, რომელიც უდრის სისტემის მთავარ მომენტს ცენტრთან მიმართებაში. შემცირება . შედეგად, ჩვენ ვიღებთ ამას ~. აქედან გამომდინარე, თეორემა დადასტურებულია.

ძალთა სივრცითი სისტემის უმარტივეს ფორმამდე დაყვანის შემთხვევები:

1, ა – სისტემა მცირდება ერთ წყვილ ძალამდე, მომენტით, რომელიც უდრის სისტემის მთავარ მომენტს, ხოლო სისტემის ძირითადი მომენტის მნიშვნელობა არ არის დამოკიდებული შემცირების ცენტრის არჩევანზე.

2, ა – ძალთა სისტემა მცირდება სისტემის მთავარი ვექტორის ტოლი შედეგით, რომლის მოქმედების ხაზი გადის შემცირების O ცენტრში.

3, და – ძალთა ასეთი სისტემა მცირდება ერთ შედეგამდე, სისტემის მთავარი ვექტორის ტოლი, რომლის მოქმედების ხაზი მანძილით არის გადატანილი შემცირების წინა ცენტრიდან.

4 თუ მთავარი ვექტორი და მთავარი მომენტი არის , მაშინ ძალთა სისტემა იქნება დაბალანსებული, ე.ი. ~ 0.

2.1.5 ძალების სიბრტყე სისტემის წონასწორობის პირობები

ძალების ნებისმიერი სიბრტყის სისტემის წონასწორობისთვის აუცილებელი და საკმარისი პირობები განისაზღვრება განტოლებებით:

სიბრტყე ძალთა სისტემის მთავარი ვექტორის სიდიდე განისაზღვრება დამოკიდებულებებით: , ხოლო მთავარი მომენტი დამოკიდებულებით.

მთავარი ვექტორი იქნება ნულის ტოლი მხოლოდ ერთდროულად. შესაბამისად, წონასწორობის პირობები დაკმაყოფილებულია, როდესაც დაკმაყოფილებულია შემდეგი ანალიტიკური განტოლებები:

ეს განტოლებები არის ძირითადი ( პირველი ) ძალთა თვითნებური სიბრტყის სისტემის წონასწორობის ანალიტიკური პირობების ფორმა, რომლებიც ჩამოყალიბებულია შემდეგნაირად: ძალების თვითნებური სიბრტყის სისტემის წონასწორობისთვის აუცილებელია და საკმარისია, რომ ყველა ძალების პროგნოზების ჯამი თითოეულ ორ კოორდინატულ ღერძზე და ამ ძალების მომენტების ალგებრული ჯამი სიბრტყის ნებისმიერ წერტილთან მიმართებაში. ძალების მოქმედება ნულის ტოლია.

გაითვალისწინეთ, რომ წონასწორობის განტოლებების რაოდენობა ძალთა თვითნებური სიბრტყის სისტემისთვის ზოგად შემთხვევაში არის სამი. ისინი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს სხვადასხვა ფორმით.

არსებობს წონასწორობის განტოლებების კიდევ ორი ​​ფორმა ძალთა თვითნებური სიბრტყის სისტემისთვის, რომელთა შესრულება გამოხატავს წონასწორობის პირობებს ().

მეორეანალიტიკური წონასწორობის პირობების ფორმა იძლევა: ძალების თვითნებური სიბრტყის სისტემის წონასწორობისთვის აუცილებელია და საკმარისია, რომ ყველა ძალის მომენტების ჯამი ორ წერტილთან მიმართებაში და ამ ძალების პროგნოზების ჯამი ღერძზე, რომელიც არ არის პერპენდიკულარული ამ წრფივ ხაზზე ქულები ნულის ტოლია:

(ხაზი ABღერძის პერპენდიკულარული არ არის ოჰ)

ჩამოვაყალიბოთ მესამე განსახილველი ძალების სისტემის წონასწორობის ანალიტიკური პირობების ფორმა: ძალების თვითნებური სიბრტყის სისტემის წონასწორობისთვის აუცილებელია და საკმარისია, რომ სისტემის ძალების მომენტების ჯამი ერთსა და იმავე სწორ ხაზზე არ მდებარე ნებისმიერ სამ წერტილთან მიმართებაში ნულის ტოლია.:

პარალელური ძალების სიბრტყის სისტემის შემთხვევაში, შეგიძლიათ მიმართოთ ღერძს OUსისტემის ძალების პარალელურად. შემდეგ სისტემის თითოეული ძალის პროგნოზები ღერძზე ოჰნულის ტოლი იქნება. შედეგად, პარალელური ძალების სიბრტყე სისტემისთვის დარჩება წონასწორობის პირობების ორი ფორმა.

პარალელური ძალების სიბრტყის სისტემის წონასწორობისთვის აუცილებელია და საკმარისია, რომ ყველა ძალის პროგნოზების ჯამი მათ პარალელურ ღერძზე და ყველა ძალის მომენტების ჯამი ნებისმიერ წერტილთან მიმართებაში ნულის ტოლია:

პარალელური ძალების სიბრტყის სისტემის ანალიტიკური წონასწორობის პირობების ეს პირველი ფორმა გამომდინარეობს განტოლებიდან ().

ჩვენ ვიღებთ წონასწორობის პირობების მეორე ფორმას პარალელური ძალების სიბრტყის სისტემისთვის განტოლებებიდან ().

პარალელური ძალების სიბრტყის სისტემის წონასწორობისთვის აუცილებელია და საკმარისია, რომ სისტემის ყველა ძალის მომენტების ჯამი ორ წერტილთან მიმართებაში, რომლებიც არ დევს ძალების პარალელურ სწორ ხაზზე, ნულის ტოლია:

როგორც ნაჩვენებია § 12-ში, რომელიმე მათგანი მცირდება ზოგად შემთხვევაში ძალამდე, რომელიც ტოლია R-ის მთავარ ვექტორს და გამოიყენება თვითნებურ ცენტრში O, და წყვილზე, რომლის მომენტი ტოლია მთავარი მომენტის (იხ. სურ. 40, b. ). მოდით გავიგოთ, რომელ უმარტივეს ფორმამდე შეიძლება შემცირდეს ძალთა სივრცითი სისტემა, რომელიც არ არის წონასწორობაში. შედეგი დამოკიდებულია მნიშვნელობებზე, რაც ამ სისტემას აქვს რაოდენობებისთვის R და

1. თუ ძალთა მოცემული სისტემისთვის , მაშინ ის მცირდება ძალების წყვილამდე, რომელთა მომენტი ტოლია და შეიძლება გამოითვალოს ფორმულებით (50). ამ შემთხვევაში, როგორც ნაჩვენებია § 12-ში, მნიშვნელობა არ არის დამოკიდებული O ცენტრის არჩევანზე.

2. თუ ძალთა მოცემული სისტემისთვის, მაშინ ის მცირდება R-ის ტოლ შედეგამდე, რომლის მოქმედების ხაზი გადის O ცენტრში. R-ის მნიშვნელობა შეიძლება მოიძებნოს ფორმულების გამოყენებით (49).

3. თუ ძალთა მოცემული სისტემისთვის, მაგრამ მაშინ ეს სისტემაც მცირდება R-ის ტოლ შედეგამდე, მაგრამ არ გადის O ცენტრში.

მართლაც, როდესაც ვექტორით წარმოდგენილი წყვილი და ძალა R დევს ერთ სიბრტყეში (ნახ. 91).

შემდეგ, ავირჩიეთ წყვილის ძალები ტოლი R მოდულში და დაალაგეთ ისინი, როგორც ნაჩვენებია ნახ. 91, ჩვენ აღმოვაჩენთ, რომ ძალები ურთიერთდაბალანსებული იქნება და სისტემა შეიცვლება ერთი შედეგიანი მოქმედების ხაზით, რომელიც გადის O წერტილზე (იხ. § 15, პუნქტი 2, ბ). მანძილი ) განისაზღვრება ფორმულით (28), სადაც

ადვილია იმის შემოწმება, რომ განხილული შემთხვევა, კერძოდ, ყოველთვის მოხდება იმავე სიბრტყეში მყოფი პარალელური ძალების ან ძალების ნებისმიერი სისტემისთვის, თუ ამ სისტემის მთავარი ვექტორი, თუ ძალების მოცემული სისტემისთვის და ვექტორი პარალელურია. R (სურ. 92, ა) , ეს ნიშნავს, რომ ძალთა სისტემა მცირდება ძალის R და P, P წყვილის ერთობლიობამდე, რომელიც დევს ძალის პერპენდიკულარულ სიბრტყეში (ნახ. 92, ბ). ძალისა და წყვილის ასეთ კომბინაციას ეწოდება დინამიური ხრახნი, ხოლო სწორ ხაზს, რომლის გასწვრივ ვექტორი R არის მიმართული, არის ხრახნის ღერძი. ძალთა ამ სისტემის შემდგომი გამარტივება შეუძლებელია. ფაქტობრივად, თუ შემცირების ცენტრად ავიღებთ ნებისმიერ სხვა C წერტილს (ნახ. 92, ა), მაშინ ვექტორი შეიძლება გადავიდეს C წერტილში, როგორც თავისუფალი, ხოლო როდესაც ძალა R გადაეცემა C წერტილს (იხ. § 11). , კიდევ ერთი წყვილი მომენტით R ვექტორზე პერპენდიკულარული და ამიტომ. შედეგად, მიღებული წყვილის მომენტი იქნება რიცხობრივად მეტი, ამიტომ მიღებული წყვილის მომენტს აქვს ყველაზე მცირე მნიშვნელობა ამ შემთხვევაში, როდესაც მიყვანილია O ცენტრამდე. ძალთა ეს სისტემა არ შეიძლება შემცირდეს ერთ ძალამდე (შედეგად) ან ერთ წყვილამდე.

თუ წყვილის ერთ-ერთი ძალა, მაგალითად P, დაემატება R ძალას, მაშინ განსახილველი ძალების სისტემა ასევე შეიძლება შეიცვალოს ორი გადაკვეთის ძალით, ანუ ძალებით Q და არა ერთსა და იმავე სიბრტყეში (ნახ. 93). ვინაიდან შედეგად მიღებული ძალების სისტემა დინამიური ხრახნის ექვივალენტურია, მას ასევე არ აქვს შედეგი.

5. თუ ძალების მოცემული სისტემისთვის და იმავდროულად ვექტორები და R არ არიან ერთმანეთის პერპენდიკულარული და არა პარალელურად, მაშინ ძალთა ასეთი სისტემა ასევე მცირდება დინამიურ ხრახნად, მაგრამ ხრახნის ღერძი არ იქნება. გაიარეთ ცენტრი O.

ამის დასამტკიცებლად ვექტორი კომპონენტებად დავშალოთ: მიმართული R-ის გასწვრივ და R-ის პერპენდიკულარული (სურ. 94). ამ შემთხვევაში სად არის ვექტორები და R. ვექტორით წარმოდგენილი წყვილი და ძალა R შეიძლება იყოს, როგორც ნახ. 91, შეიცვლება ერთი ძალით R, რომელიც გამოიყენება O წერტილში. შემდეგ ძალების ეს სისტემა შეიცვლება ძალით და პარალელური ბრუნვის წყვილით, ხოლო ვექტორი, როგორც თავისუფალი, ასევე შეიძლება გამოყენებულ იქნას O წერტილში. შედეგი რეალურად იქნება იყოს დინამიური ხრახნი, მაგრამ წერტილის გავლით ღერძი

თუ ძალთა სივრცითი სისტემის შერჩეულ O ცენტრამდე მიყვანის შემდეგ მთავარი ვექტორი და მთავარი მომენტი ნულის ტოლია, ე.ი.

ძალთა სისტემა დაბალანსებულია. ძალთა ასეთი სისტემის გავლენით მყარი სხეული წონასწორობაში იქნება. აშკარაა, რომ ზოგად შემთხვევაში, ორი ვექტორული განტოლება (4.1) შეესაბამება ექვს სკალარული განტოლებას, რომელიც ასახავს ამ ვექტორების პროგნოზების ნულამდე ტოლობას არჩეული კოორდინატთა სისტემის ღერძებზე (მაგალითად, დეკარტისეული).

თუ ძალთა სივრცითი სისტემის შერჩეულ O ცენტრამდე მიყვანის შემდეგ მთავარი ვექტორი ნულის ტოლია, ხოლო მთავარი მომენტი არ არის ნულის ტოლი, ე.ი.

შედეგად მიღებული ძალების წყვილი მოქმედებს სხეულზე, მიდრეკილია მისი ბრუნვისკენ. გაითვალისწინეთ, რომ ამ შემთხვევაში შემცირების ცენტრის არჩევანი არ მოქმედებს შედეგზე.

თუ ძალთა სივრცითი სისტემის შერჩეულ O ცენტრამდე მიყვანის შემდეგ მთავარი ვექტორი არ არის ნულის ტოლი, ხოლო მთავარი მომენტი ნულის ტოლია, ე.ი.

სხეულზე მოქმედებს ძალების შედეგად მიღებული სისტემა, რომელიც გადის შემცირების ცენტრში და ცდილობს სხეულის გადაადგილებას მისი მოქმედების ხაზის გასწვრივ. აშკარაა, რომ მიმართებები (4.3.) მოქმედებს შედეგის მოქმედების ხაზის ყველა წერტილისთვის.

გაითვალისწინეთ, რომ კონვერტაციული ძალების სისტემის მოქმედება მცირდება ამ შემთხვევაში, თუ სისტემის ძალების მოქმედების ხაზების გადაკვეთის წერტილი აღიქმება შემცირების ცენტრად (რადგან ამ წერტილთან მიმართებაში ძალების მომენტები ტოლია ნულამდე).

თუ ძალთა სივრცითი სისტემის შერჩეულ O ცენტრამდე მიყვანის შემდეგ, მთავარი ვექტორი და მთავარი მომენტი არ არის ნულის ტოლი და მათი მიმართულებები ქმნიან სწორ კუთხეს, ე.ი.

მაშინ ძალთა ასეთი სისტემა ასევე შეიძლება შემცირდეს შედეგამდე, მაგრამ გადის შემცირების სხვა ცენტრის - წერტილის გავლით. ამ ოპერაციის შესასრულებლად, პირველ რიგში განვიხილავთ ექვივალენტური ძალის სისტემებს, რომლებიც ნაჩვენებია ნახ. 4.2.b და ნახ. 4.1. ცხადია, თუ ჩვენ შევცვლით აღნიშვნას (B წერტილს უწოდებენ O ცენტრს, A წერტილს - ცენტრის), ჩვენს წინაშე არსებული დავალება მოითხოვს ოპერაციის შებრუნებას, რომელიც შესრულებულია ლემაში ძალის პარალელურად გადაცემის შესახებ. ზემოაღნიშნულის გათვალისწინებით, წერტილი, პირველ რიგში, უნდა განთავსდეს O ცენტრში გამავალი მთავარი მომენტის ვექტორის პერპენდიკულარულ სიბრტყეში და, მეორეც, მდებარეობდეს მთავარი ვექტორის მოქმედების ხაზის პარალელურ ხაზზე. ძალები და გამოეყო მისგან h-ის ტოლ მანძილზე

ნაპოვნი ორი წრფედან უნდა აირჩიოთ ის, რომლის წერტილებისთვისაც მთავარი მომენტის ვექტორი ნულის ტოლია (ახალ ცენტრთან მიმართებაში ძალების ძირითადი ვექტორის მომენტი სიდიდით ტოლი უნდა იყოს და მიმართულების საპირისპირო. ძალთა სისტემის ძირითადი მომენტი O წერტილის მიმართ).

ზოგად შემთხვევაში ძალთა სივრცითი სისტემის შერჩეულ O ცენტრამდე მიყვანის შემდეგ მთავარი ვექტორი და მთავარი მომენტი, რომლებიც ნულის ტოლია, არ ქმნიან მართ კუთხეს ერთმანეთთან (სურ. 4.5.ა).

თუ ძირითადი მომენტი დაიშალა ორ კომპონენტად - ძირითადი ძალის ვექტორის გასწვრივ და მასზე პერპენდიკულარული, მაშინ, (4.5) შესაბამისად, შეიძლება მოიძებნოს შემცირების ცენტრი, რომლისთვისაც მთავარი მომენტის პერპენდიკულური კომპონენტი ხდება ნულის ტოლი, და მთავარი ვექტორის და მთავარი მომენტის პირველი კომპონენტების სიდიდეები და მიმართულებები იგივე რჩება (ნახ. 4.5.ბ). ვექტორების კრებულს ე.წ დენის ხრახნიან დინამო.

შემდგომი გამარტივება შეუძლებელია.

ვინაიდან შემცირების ცენტრის ასეთი ცვლილებით, მხოლოდ ძირითადი მომენტის პროექცია იცვლება ძალების სისტემის მთავარი ვექტორის მიმართ პერპენდიკულარული მიმართულებით, ამ ვექტორების სკალარული ნამრავლის მნიშვნელობა უცვლელი რჩება, ე.ი.

ამ გამოთქმას ე.წ მეორე უცვლელი

სტატიკა.

მაგალითი 4.1. გვერდებით მართკუთხა პარალელეპიპედის წვეროები და მათზე მოქმედებს ძალები და (იხ. სურ. 4.6). დეკარტის კოორდინატთა სისტემის კოორდინატების წარმოშობის გათვალისწინებით, რომელიც მითითებულია ფიგურაში, როგორც ძალის სისტემის შემცირების ცენტრი, ჩაწერეთ გამონათქვამები ძირითადი ვექტორის პროგნოზებისა და მთავარი მომენტისთვის.

მოდით ჩამოვწეროთ ტრიგონომეტრიული მიმართებები კუთხეების დასადგენად:

ახლა ჩვენ შეგვიძლია დავწეროთ გამონათქვამები ძირითადი ვექტორის პროგნოზებისთვის და სისტემის ძალების ძირითადი მომენტისთვის:

შენიშვნა: კოორდინატთა ღერძებზე ვექტორული პროგნოზების ცოდნა საშუალებას მოგცემთ, საჭიროების შემთხვევაში, გამოვთვალოთ მისი სიდიდე და მიმართულება კოსინუსები.

როგორც ზემოთ დადასტურდა, ძალების თვითნებური სისტემა, რომელიც თვითნებურად მდებარეობს სივრცეში, შეიძლება შემცირდეს ერთ ძალამდე, რომელიც ტოლია სისტემის მთავარ ვექტორს და გამოიყენოს თვითნებურ შემცირების ცენტრში. შესახებდა ერთი წყვილი მომენტით, რომელიც უდრის სისტემის მთავარ მომენტს იმავე ცენტრთან მიმართებაში. ამრიგად, მომავალში ძალების თვითნებური სისტემა შეიძლება შეიცვალოს ორი ვექტორის ეკვივალენტური სიმრავლით - ძალა და მომენტი, რომელიც გამოიყენება წერტილში. შესახებ. შემცირების ცენტრის პოზიციის შეცვლისას შესახებმთავარი ვექტორი შეინარჩუნებს სიდიდეს და მიმართულებას, მაგრამ მთავარი მომენტი შეიცვლება. დავამტკიცოთ, რომ თუ მთავარი ვექტორი არის ნულოვანი და არის ძირითადი მომენტის პერპენდიკულარული, მაშინ ძალთა სისტემა მცირდება ერთ ძალამდე, რომელსაც ამ შემთხვევაში დავარქმევთ შედეგს (სურ. 8). მთავარი მომენტი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ძალების წყვილით (,) მხრით, შემდეგ ძალები და მთავარი ვექტორი ქმნიან ორ სისტემას.

ნულის ექვივალენტური ძალები, რომლებიც შეიძლება განადგურდეს. დარჩება ერთი ძალა, რომელიც მოქმედებს სწორი ხაზის გასწვრივ, ძირითადის პარალელურად

ნახაზი 8 ვექტორამდე და გადის მანძილზე

თ= ვექტორებით წარმოქმნილი სიბრტყიდან და . განხილული შემთხვევა გვიჩვენებს, რომ თუ თავიდანვე ვირჩევთ შემცირების ცენტრს სწორ ხაზზე L,მაშინ ძალთა სისტემა მაშინვე მიიყვანდა შედეგამდე, მთავარი მომენტი იქნება ნულის ტოლი. ახლა ჩვენ დავამტკიცებთ, რომ თუ მთავარი ვექტორი არ არის ნულოვანი და არ არის პერპენდიკულარული მთავარ მომენტზე, მაშინ ასეთი წერტილი შეიძლება აირჩეს შემცირების ცენტრად. შესახებ* რომ ამ წერტილთან შედარებით მთავარი მომენტი და მთავარი ვექტორი განლაგდება იმავე სწორ ხაზზე. ამის დასამტკიცებლად მომენტი დავშალოთ ორ კომპონენტად - ერთი მიმართულია მთავარი ვექტორის გასწვრივ, მეორე კი მთავარი ვექტორის პერპენდიკულარულად. ამრიგად, ძალების წყვილი იშლება ორ წყვილად მომენტებით: და , და პირველი წყვილის სიბრტყე პერპენდიკულარულია , მაშინ მეორე წყვილის სიბრტყე, ვექტორზე პერპენდიკულარული (ნახ. 9) შეიცავს ვექტორს . წყვილის ერთობლიობა მომენტთან და ძალასთან ქმნის ძალთა სისტემას, რომელიც შეიძლება შემცირდეს ერთ ძალამდე (ნახ. 8), რომელიც გადის O* წერტილში. ამრიგად (ნახ. 9), მთავარი ვექტორისა და წერტილის მთავარი მომენტის კომბინაცია შესახებშემცირდა წერტილის გავლის ძალამდე შესახებ*, და წყვილი ამ ხაზის პარალელურად მომენტით, რაც დამტკიცებას საჭიროებდა. ძალისა და წყვილის ერთობლიობას, რომლის სიბრტყე პერპენდიკულარულია ძალის მოქმედების ხაზთან, ეწოდება დინამიზმი (სურ. 10). ძალების წყვილი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს თანაბარი სიდიდის ორი ძალით ( , ), რომელიც მდებარეობს როგორც ნახ. ) რომ მთავარი ვექტორისა და წერტილის მთავარი მომენტის კომბინაცია შესახებ, შეიძლება შემცირდეს ორ არაგადაკვეთის ძალამდე და .

განვიხილოთ ძალთა სისტემის შემცირების რამდენიმე შემთხვევა.

1. ძალთა ბრტყელი სისტემა. სიზუსტისთვის, ყველა ძალა იყოს სიბრტყეში OXY. შემდეგ ყველაზე ზოგად შემთხვევაში

მთავარი ვექტორი არ არის ნული, მთავარი მომენტი არ არის ნული, მათი წერტილოვანი ნამრავლი არის ნული, მართლაც

მაშასადამე, მთავარი ვექტორი პერპენდიკულარულია მთავარ მომენტზე: ძალთა სიბრტყის სისტემა შემცირებულია შედეგამდე.

2. პარალელური ძალების სისტემა. განსაზღვრულობისთვის, ყველა ძალა იყოს ღერძის პარალელურად OZ. შემდეგ ყველაზე ზოგად შემთხვევაში

აქაც მთავარი ვექტორი არ არის ნულის ტოლი, მთავარი მომენტი არ არის ნულის ტოლი და მათი სკალარული ნამრავლი უდრის ნულს, მართლაც

მაშასადამე, ამ შემთხვევაში, მთავარი ვექტორი პერპენდიკულარულია მთავარ მომენტზე: პარალელური ძალების სისტემა შემცირებულია შედეგამდე. კონკრეტულ შემთხვევაში, თუ ნულის ტოლია, მაშინ ძალების მთავარი ვექტორი ნულის ტოლია, ხოლო ძალთა სისტემა მცირდება ძალთა წყვილამდე, რომლის მომენტის ვექტორი სიბრტყეშია. OXY. მოდით ახლა განხილული შემთხვევების სისტემატიზაცია მოვახდინოთ. გავიხსენოთ: ხისტ სხეულზე მიმართული ძალების თვითნებური სივრცითი სისტემა სტატიკურად ექვივალენტურია ძირითადი ვექტორის ტოლი ძალისა, რომელიც გამოიყენება სხეულის თვითნებურ წერტილში (შემცირების ცენტრი) და ძალების წყვილი მომენტის ტოლი. ძალთა სისტემის ძირითადი მომენტი შემცირების მითითებულ ცენტრთან მიმართებაში.