ხაზოვანი ალგებრული განტოლებების ერთგვაროვანი სისტემის ამოხსნა მაგალითები. ფუნდამენტური გადაწყვეტილების სისტემა (კონკრეტული მაგალითი)

წრფივი ერთგვაროვანი განტოლებების სისტემები- აქვს ფორმა ∑a k i x i = 0. სადაც m > n ან m წრფივი განტოლებათა ერთგვაროვანი სისტემა ყოველთვის თანმიმდევრულია, ვინაიდან rangA = rangB. მას აშკარად აქვს ამონახსნი, რომელიც შედგება ნულებისაგან, რომელსაც ე.წ ტრივიალური.

მომსახურების მიზანი. ონლაინ კალკულატორი შექმნილია SLAE-ის არა ტრივიალური და ფუნდამენტური გადაწყვეტის მოსაძებნად. მიღებული გამოსავალი ინახება Word ფაილში (იხ. გადაწყვეტის მაგალითი).

ინსტრუქციები. აირჩიეთ მატრიცის განზომილება:

წრფივი ერთგვაროვანი განტოლებების სისტემების თვისებები

იმისათვის რომ სისტემას ჰქონდეს არა ტრივიალური გადაწყვეტილებები, აუცილებელია და საკმარისია, რომ მისი მატრიცის რანგი ნაკლები იყოს უცნობის რაოდენობაზე.

თეორემა. სისტემას m=n შემთხვევაში აქვს არატრივიალური ამონახსნი თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ ამ სისტემის განმსაზღვრელი ნულის ტოლია.

თეორემა. სისტემის ამონახსნების ნებისმიერი წრფივი კომბინაცია ასევე არის ამ სისტემის გამოსავალი.
განმარტება. წრფივი ერთგვაროვანი განტოლებათა სისტემის ამონახსნების სიმრავლე ეწოდება გადაწყვეტილებების ფუნდამენტური სისტემა, თუ ეს ნაკრები შედგება წრფივად დამოუკიდებელი ამონახსნებისაგან და სისტემის ნებისმიერი ამონახსნი არის ამ ამონახსნების წრფივი კომბინაცია.

თეორემა. თუ სისტემის მატრიცის r წოდება ნაკლებია n უცნობის რიცხვზე, მაშინ არსებობს ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემა, რომელიც შედგება (n-r) ამონახსნებისაგან.

წრფივი ერთგვაროვანი განტოლებების სისტემების ამოხსნის ალგორითმი

მატრიცის რანგის პოვნა.
ჩვენ ვირჩევთ ძირითად მინორს. გამოვყოფთ დამოკიდებულ (ძირითად) და თავისუფალ უცნობებს.
ჩვენ გადავხაზავთ სისტემის იმ განტოლებებს, რომელთა კოეფიციენტები არ შედის საბაზისო მინორში, რადგან ისინი სხვათა შედეგებია (თეორემის მიხედვით ბაზის მინორზე).
თავისუფალი უცნობის შემცველი განტოლებების ტერმინები გადავიტანოთ მარჯვენა მხარეს. შედეგად ვიღებთ r განტოლებათა სისტემას r უცნობიებით, მოცემულის ეკვივალენტური, რომლის განმსაზღვრელი არ არის ნული.
ჩვენ ვხსნით მიღებულ სისტემას უცნობის აღმოფხვრით. ჩვენ ვპოულობთ დამოკიდებულ ცვლადებს თავისუფალი ცვლადების გამომხატველ კავშირებს.
თუ მატრიცის რანგი არ არის ცვლადების რაოდენობის ტოლი, მაშინ ვპოულობთ სისტემის ფუნდამენტურ გადაწყვეტას.
შემთხვევაში rang = n გვაქვს ტრივიალური ამოხსნა.

მაგალითი. იპოვეთ ვექტორთა სისტემის საფუძვლები (a 1, a 2,...,a m), დაალაგეთ და გამოთქვით ვექტორები ფუძის მიხედვით. თუ 1 =(0,0,1,-1), და 2 =(1,1,2,0) და 3 =(1,1,1,1) და 4 =(3,2,1 ,4) და 5 =(2,1,0,3).
მოდით ჩამოვწეროთ სისტემის მთავარი მატრიცა:

გავამრავლოთ მე-3 სტრიქონი (-3-ზე). დავუმატოთ მე-4 სტრიქონი მე-3-ს:

0	0	1	-1
0	0	-1	1
0	-1	-2	1
3	2	1	4
2	1	0	3

გავამრავლოთ მე-4 სტრიქონი (-2-ზე). გავამრავლოთ მე-5 სტრიქონი (3-ზე). დავუმატოთ მე-5 სტრიქონი მე-4-ს:
დავუმატოთ მე-2 სტრიქონი პირველს:
მოდი ვიპოვოთ მატრიცის რანგი.
სისტემა ამ მატრიცის კოეფიციენტებით არის ორიგინალური სისტემის ექვივალენტური და აქვს ფორმა:
- x 3 = - x 4
- x 2 - 2x 3 = - x 4
2x 1 + x 2 = - 3x 4
უცნობების აღმოფხვრის მეთოდის გამოყენებით, ჩვენ ვპოულობთ არატრივიალურ გადაწყვეტას:
ჩვენ მივიღეთ ურთიერთობები, რომლებიც გამოხატავს დამოკიდებული ცვლადებს x 1 , x 2 , x 3 თავისუფალი ცვლადების x 4 , ანუ ვიპოვეთ ზოგადი ამოხსნა:
x 3 = x 4
x 2 = - x 4
x 1 = - x 4

ერთგვაროვანი სისტემა ყოველთვის თანმიმდევრულია და აქვს ტრივიალური გადაწყვეტა
. არატრივიალური ამოხსნის არსებობისთვის აუცილებელია მატრიცის რანგი იყო უცნობის რაოდენობაზე ნაკლები:

გადაწყვეტილებების ფუნდამენტური სისტემა ერთგვაროვანი სისტემა
მოვუწოდებთ ამონახსნთა სისტემას სვეტის ვექტორების სახით
, რომლებიც შეესაბამება კანონიკურ საფუძველს, ე.ი. საფუძველი, რომელშიც თვითნებური მუდმივები
მონაცვლეობით დაყენებულია ერთის ტოლი, ხოლო დანარჩენები ნულის ტოლია.

შემდეგ ერთგვაროვანი სისტემის ზოგად გადაწყვეტას აქვს ფორმა:

სად
- თვითნებური მუდმივები. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, საერთო ამოხსნა არის ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემის წრფივი კომბინაცია.

ამრიგად, ძირითადი ამონახსნები შეიძლება მივიღოთ ზოგადი ამონახსნებიდან, თუ თავისუფალ უცნობებს მიენიჭებათ ერთის მნიშვნელობა თავის მხრივ, ყველა დანარჩენი ნულის ტოლფასია.

მაგალითი. მოდი ვიპოვოთ სისტემის გამოსავალი

მოდით მივიღოთ, შემდეგ მივიღებთ გამოსავალს ფორმაში:

ახლა ავაშენოთ გადაწყვეტილებების ფუნდამენტური სისტემა:

ზოგადი გამოსავალი დაიწერება შემდეგნაირად:

ერთგვაროვანი წრფივი განტოლებების სისტემის ამონახსნებს აქვთ შემდეგი თვისებები:

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ერთგვაროვანი სისტემის ხსნარების ნებისმიერი წრფივი კომბინაცია კვლავ გამოსავალია.

წრფივი განტოლებების სისტემების ამოხსნა გაუსის მეთოდით

წრფივი განტოლებების სისტემების ამოხსნა რამდენიმე საუკუნის განმავლობაში აინტერესებდა მათემატიკოსებს. პირველი შედეგები მე-18 საუკუნეში იქნა მიღებული. 1750 წელს გ.კრამერმა (1704–1752) გამოაქვეყნა თავისი ნაშრომები კვადრატული მატრიცების განმსაზღვრელზე და შესთავაზა ალგორითმი შებრუნებული მატრიცის საპოვნელად. 1809 წელს გაუსმა გამოაქვეყნა გადაწყვეტის ახალი მეთოდი, რომელიც ცნობილია როგორც აღმოფხვრის მეთოდი.

გაუსის მეთოდი, ან უცნობების თანმიმდევრული აღმოფხვრის მეთოდი, შედგება იმაში, რომ ელემენტარული გარდაქმნების გამოყენებით განტოლებათა სისტემა მცირდება საფეხურის (ან სამკუთხა) ფორმის ეკვივალენტურ სისტემამდე. ასეთი სისტემები შესაძლებელს ხდის ყველა უცნობის თანმიმდევრულად პოვნას გარკვეული თანმიმდევრობით.

დავუშვათ, რომ სისტემაში (1)
(რაც ყოველთვის შესაძლებელია).

(1)

პირველი განტოლების სათითაოდ გამრავლება ე.წ შესაფერისი ნომრები

და სისტემის შესაბამის განტოლებთან გამრავლების შედეგის მიმატებით, მივიღებთ ეკვივალენტურ სისტემას, რომელშიც პირველის გარდა ყველა განტოლებაში უცნობი არ იქნება X 1

(2)

მოდით გავამრავლოთ სისტემის (2) მეორე განტოლება შესაფერის რიცხვებზე, თუ ვივარაუდებთ, რომ

და დავამატებთ მას ქვედა პირებთან, ჩვენ აღმოვფხვრით ცვლადი ყველა განტოლებიდან, მესამედან დაწყებული.

ამ პროცესის გაგრძელება, შემდეგ
ნაბიჯი ჩვენ ვიღებთ:

(3)

თუ ერთი რიცხვი მაინც
არ არის ნულის ტოლი, მაშინ შესაბამისი ტოლობა წინააღმდეგობრივია და სისტემა (1) არათანმიმდევრულია. პირიქით, ნებისმიერი ერთობლივი რიცხვითი სისტემისთვის
ნულის ტოლია. ნომერი სხვა არაფერია, თუ არა სისტემის (1) მატრიცის რანგი.

სისტემიდან (1) (3)-ზე გადასვლა ეწოდება პირდაპირ გაუსის მეთოდი და უცნობის პოვნა (3) – საპირისპიროდ .

კომენტარი : უფრო მოსახერხებელია ტრანსფორმაციების განხორციელება არა თავად განტოლებებით, არამედ სისტემის გაფართოებული მატრიცით (1).

მაგალითი. მოდი ვიპოვოთ სისტემის გამოსავალი

მოდით დავწეროთ სისტემის გაფართოებული მატრიცა:

პირველი დავუმატოთ 2,3,4 სტრიქონებს, გამრავლებული (-2), (-3), (-2) შესაბამისად:

მოდით შევცვალოთ მე-2 და მე-3 რიგები, შემდეგ მიღებულ მატრიცაში დავამატოთ მე-2 მწკრივი მე-4 მწკრივს, გავამრავლოთ :

დაამატეთ მე-4 სტრიქონს 3 სტრიქონი გამრავლებული
:

აშკარაა რომ
შესაბამისად, სისტემა თანმიმდევრულია. მიღებული განტოლებათა სისტემიდან

ჩვენ ვპოულობთ გამოსავალს საპირისპირო ჩანაცვლებით:

,
,
,
.

მაგალითი 2.იპოვნეთ სისტემის გამოსავალი:

აშკარაა, რომ სისტემა არათანმიმდევრულია, რადგან
, ა
.

გაუსის მეთოდის უპირატესობები :

ნაკლებად შრომატევადი ვიდრე კრამერის მეთოდი.

ცალსახად ადგენს სისტემის თავსებადობას და საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ გამოსავალი.

შესაძლებელს ხდის ნებისმიერი მატრიცის რანგის დადგენას.

წრფივი განტოლება ეწოდება ერთგვაროვანითუ მისი თავისუფალი წევრი ნულის ტოლია, ხოლო სხვა შემთხვევაში არაერთგვაროვანი. სისტემას, რომელიც შედგება ერთგვაროვანი განტოლებისგან, ეწოდება ერთგვაროვანი და აქვს ზოგადი ფორმა:

აშკარაა, რომ ყველა ერთგვაროვანი სისტემა თანმიმდევრულია და აქვს ნულოვანი (ტრივიალური) ამონახსნი. ამიტომ, როდესაც გამოიყენება წრფივი განტოლებების ერთგვაროვან სისტემებზე, ხშირად უნდა მოძებნოთ პასუხი კითხვაზე არანულოვანი ამონახსნების არსებობის შესახებ. ამ კითხვაზე პასუხი შეიძლება ჩამოყალიბდეს შემდეგი თეორემის სახით.

თეორემა . წრფივი განტოლებათა ერთგვაროვან სისტემას აქვს არანულოვანი ამონახსნი, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მისი რიგი ნაკლებია უცნობის რაოდენობაზე. .

მტკიცებულება: დავუშვათ, რომ სისტემას, რომლის რანგი ტოლია, აქვს არანულოვანი ამონახსნი. ცხადია, არ აღემატება. იმ შემთხვევაში, თუ სისტემას აქვს უნიკალური გადაწყვეტა. ვინაიდან ერთგვაროვანი წრფივი განტოლებების სისტემას ყოველთვის აქვს ნულოვანი ამონახსნი, მაშინ ნულოვანი ამონახსნი იქნება ეს უნიკალური ამონახსნი. ამრიგად, არანულოვანი გადაწყვეტილებები შესაძლებელია მხოლოდ .

დასკვნა 1 : განტოლებათა ერთგვაროვან სისტემას, რომელშიც განტოლებათა რაოდენობა უცნობის რაოდენობაზე ნაკლებია, ყოველთვის აქვს არანულოვანი ამონახსნი.

მტკიცებულება: თუ განტოლებათა სისტემას აქვს , მაშინ სისტემის რანგი არ აღემატება განტოლებების რაოდენობას, ე.ი. . ამრიგად, პირობა დაკმაყოფილებულია და, შესაბამისად, სისტემას აქვს არანულოვანი გამოსავალი.

დასკვნა 2 : უცნობებთან განტოლებათა ერთგვაროვან სისტემას აქვს არანულოვანი ამონახსნი, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ მისი განმსაზღვრელი არის ნული.

მტკიცებულება: დავუშვათ, რომ წრფივი ერთგვაროვანი განტოლებათა სისტემას, რომლის მატრიცა განმსაზღვრელთან ერთად, აქვს არანულოვანი ამონახსნი. შემდეგ, დადასტურებული თეორემის მიხედვით, და ეს ნიშნავს, რომ მატრიცა არის სინგულარული, ე.ი. .

კრონეკერ-კაპელის თეორემა: SLU თანმიმდევრულია, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ სისტემის მატრიცის რანგი ტოლია ამ სისტემის გაფართოებული მატრიცის რანგის. ur სისტემას ეწოდება თანმიმდევრული, თუ მას აქვს ერთი გამოსავალი მაინც.

წრფივი ალგებრული განტოლებათა ჰომოგენური სისტემა.

m წრფივი განტოლებათა სისტემას n ცვლადით ეწოდება წრფივი ერთგვაროვანი განტოლებათა სისტემა, თუ ყველა თავისუფალი წევრი უდრის 0-ს. წრფივი ერთგვაროვანი განტოლებათა სისტემა ყოველთვის თანმიმდევრულია, რადგან მას ყოველთვის აქვს მინიმუმ ნულოვანი გამოსავალი. წრფივი ერთგვაროვანი განტოლებათა სისტემას აქვს არანულოვანი ამონახსნი, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ მისი კოეფიციენტების მატრიცის რანგი ცვლადების რაოდენობაზე ნაკლებია, ე.ი. წოდებისთვის A (n. ნებისმიერი წრფივი კომბინაცია

Lin სისტემის გადაწყვეტილებები. ერთგვაროვანი. ur-ii ასევე გამოსავალია ამ სისტემისთვის.

წრფივი დამოუკიდებელი ამონახსნების სისტემას e1, e2,...,еk ეწოდება ფუნდამენტური, თუ სისტემის თითოეული ამონახსნები არის ამონახსნების წრფივი კომბინაცია. თეორემა: თუ წრფივი ერთგვაროვანი განტოლებათა სისტემის ცვლადების კოეფიციენტთა მატრიცის რანგი ნაკლებია n ცვლადების რაოდენობაზე, მაშინ სისტემის ამონახსნების ყველა ფუნდამენტური სისტემა შედგება n-r ამონახსნებისაგან. აქედან გამომდინარე, ხაზოვანი სისტემის ზოგადი გადაწყვეტა. ერთდღიანი ur-th-ს აქვს ფორმა: c1e1+c2e2+...+skek, სადაც e1, e2,..., ek არის ამონახსნების ნებისმიერი ფუნდამენტური სისტემა, c1, c2,...,ck არის თვითნებური რიცხვები და k=n-r. m წრფივი განტოლებათა სისტემის n ცვლადის ზოგადი ამონახსნი უდრის ჯამს

სისტემის ზოგადი გადაწყვეტის შესაბამისი სისტემა ერთგვაროვანია. წრფივი განტოლებები და ამ სისტემის თვითნებური კონკრეტული ამოხსნა.

7. ხაზოვანი სივრცეები. ქვესივრცეები. საფუძველი, განზომილება. ხაზოვანი გარსი. წრფივი სივრცე ეწოდება n-განზომილებიანი, თუ იგი შეიცავს წრფივად დამოუკიდებელი ვექტორების სისტემას და ვექტორების უფრო დიდი რაოდენობის ნებისმიერი სისტემა წრფივად არის დამოკიდებული. ნომერზე იწოდება განზომილება (განზომილებების რაოდენობა)წრფივი სივრცე და აღინიშნება . სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, სივრცის განზომილება არის ამ სივრცის წრფივად დამოუკიდებელი ვექტორების მაქსიმალური რაოდენობა. თუ ასეთი რიცხვი არსებობს, მაშინ სივრცეს სასრულ-განზომილებიანი ეწოდება. თუ რომელიმე ნატურალური რიცხვისთვის n სივრცეში არის სისტემა, რომელიც შედგება წრფივად დამოუკიდებელი ვექტორებისგან, მაშინ ასეთ სივრცეს უსასრულო-განზომილებიანი ეწოდება (იწერება: ). შემდგომში, თუ სხვა რამ არ არის მითითებული, განიხილება სასრული განზომილებიანი სივრცეები.

n-განზომილებიანი წრფივი სივრცის საფუძველი არის წრფივად დამოუკიდებელი ვექტორების მოწესრიგებული კოლექცია ( საბაზისო ვექტორები).

თეორემა 8.1 ვექტორის გაფართოების შესახებ საფუძვლის თვალსაზრისით. თუ ეს არის n-განზომილებიანი წრფივი სივრცის საფუძველი, მაშინ ნებისმიერი ვექტორი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც საბაზისო ვექტორების წრფივი კომბინაცია:

V=v1*e1+v2*e2+…+vn+en
და, მით უმეტეს, ერთადერთი გზით, ე.ი. კოეფიციენტები განისაზღვრება ცალსახად.სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, სივრცის ნებისმიერი ვექტორი შეიძლება გაფართოვდეს საფუძვლად და უფრო მეტიც, უნიკალური გზით.

მართლაც, სივრცის განზომილება არის . ვექტორთა სისტემა წრფივად დამოუკიდებელია (ეს არის საფუძველი). საფუძველში რაიმე ვექტორის დამატების შემდეგ ვიღებთ წრფივად დამოკიდებულ სისტემას (რადგან ეს სისტემა შედგება n-განზომილებიანი სივრცის ვექტორებისგან). 7 წრფივად დამოკიდებული და წრფივად დამოუკიდებელი ვექტორის თვისების გამოყენებით ვიღებთ თეორემის დასკვნას.

6.3. წრფივი განტოლებების ჰომოგენური სისტემები

მოდით ახლა სისტემაში (6.1).

ერთგვაროვანი სისტემა ყოველთვის თანმიმდევრულია. გამოსავალი () ეწოდება ნული, ან ტრივიალური.

ერთგვაროვან სისტემას (6.1) აქვს არანულოვანი ამონახსნი, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მისი რიგი ( ) უცნობის რაოდენობაზე ნაკლებია. კერძოდ, ერთგვაროვან სისტემას, რომელშიც განტოლებათა რაოდენობა უდრის უცნობის რაოდენობას, აქვს არანულოვანი ამონახსნი, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ მისი განმსაზღვრელი არის ნული.

რადგან ამჯერად ყველაფერიფორმულების ნაცვლად (6.6) ვიღებთ შემდეგს:

(6.7)

ფორმულები (6.7) შეიცავს ერთგვაროვანი სისტემის ნებისმიერ ხსნარს (6.1).

1. წრფივი განტოლებათა ერთგვაროვანი სისტემის ყველა ამონახსნის სიმრავლე (6.1) ქმნის წრფივ სივრცეს.

2. ხაზოვანი სივრცერწრფივი განტოლებების ერთგვაროვანი სისტემის ყველა ამონახსნები (6.1).ნუცნობი და მთავარი მატრიცის წოდება ტოლიარ, აქვს განზომილებაn–r.

ნებისმიერი ნაკრები (n–r) ერთგვაროვანი სისტემის წრფივი დამოუკიდებელი გადაწყვეტილებები (6.1) ქმნის საფუძველს სივრცეშირყველა გადაწყვეტილება. მას ეძახიან ფუნდამენტურიგანტოლებათა ერთგვაროვანი სისტემის ამონახსნების ნაკრები (6.1). განსაკუთრებული აქცენტი კეთდება "ნორმალური"ერთგვაროვანი სისტემის ამონახსნების ფუნდამენტური ნაკრები (6.1):

(6.8)

საფუძვლის განმარტებით, ნებისმიერი გამოსავალი Xერთგვაროვანი სისტემა (6.1) შეიძლება წარმოდგენილი იყოს სახით

(6.9)

სად - თვითნებური მუდმივები.

ვინაიდან ფორმულა (6.9) შეიცავს ერთგვაროვანი სისტემის ნებისმიერ ხსნარს (6.1), ის იძლევა საერთო გადაწყვეტილებაამ სისტემას.

მაგალითი.

მაგალითი 1. იპოვნეთ ზოგადი ამონახსნები და გადაწყვეტილებების ზოგიერთი ფუნდამენტური სისტემა სისტემისთვის

გამოსავალიიპოვნეთ კალკულატორის გამოყენებით. ამოხსნის ალგორითმი იგივეა, რაც წრფივი არაჰომოგენური განტოლებების სისტემებისთვის.
ვმუშაობთ მხოლოდ სტრიქონებით, ვპოულობთ მატრიცის წოდებას, საბაზისო მინორს; ჩვენ ვაცხადებთ დამოკიდებულ და თავისუფალ უცნობებს და ვპოულობთ ზოგად გამოსავალს.

პირველი და მეორე სტრიქონები პროპორციულია, გადავკვეთოთ ერთი მათგანი:

.
დამოკიდებული ცვლადები – x 2, x 3, x 5, უფასო – x 1, x 4. პირველი განტოლებიდან 10x 5 = 0 ვპოულობთ x 5 = 0, შემდეგ

; .
ზოგადი გამოსავალი არის:

ჩვენ ვპოულობთ ამონახსნების ფუნდამენტურ სისტემას, რომელიც შედგება (n-r) ამონახსნებისაგან. ჩვენს შემთხვევაში n=5, r=3, მაშასადამე, ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემა შედგება ორი ამონახსნისგან და ეს ამონახსნები წრფივად დამოუკიდებელი უნდა იყოს. იმისათვის, რომ სტრიქონები იყოს წრფივად დამოუკიდებელი, აუცილებელია და საკმარისია, რომ მწკრივების ელემენტებისაგან შედგენილი მატრიცის რანგი ტოლი იყოს მწკრივების რაოდენობასთან, ანუ 2. საკმარისია მივცეთ თავისუფალი უცნობი x 1 და. x 4 მნიშვნელობა მეორე რიგის განმსაზღვრელი სტრიქონებიდან, არანულოვანი და გამოთვალეთ x 2 , x 3 , x 5 . უმარტივესი არანულოვანი განმსაზღვრელი არის .
ასე რომ, პირველი გამოსავალი არის:

, მეორე -

.
ეს ორი გადაწყვეტილება წარმოადგენს გადაწყვეტილების ფუნდამენტურ სისტემას. გაითვალისწინეთ, რომ ფუნდამენტური სისტემა არ არის უნიკალური (შეგიძლიათ შექმნათ იმდენი არანულოვანი განმსაზღვრელი, რამდენიც გსურთ).

მაგალითი 2. იპოვეთ სისტემის ზოგადი ამონახსნები და ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემა
გამოსავალი.

,
აქედან გამომდინარეობს, რომ მატრიცის წოდება არის 3 და უდრის უცნობის რაოდენობას. ეს ნიშნავს, რომ სისტემას არ აქვს თავისუფალი უცნობი და, შესაბამისად, აქვს უნიკალური გადაწყვეტა - ტრივიალური.

ვარჯიში . შეისწავლეთ და ამოხსენით წრფივი განტოლებათა სისტემა.
მაგალითი 4

ვარჯიში . იპოვნეთ თითოეული სისტემის ზოგადი და კონკრეტული გადაწყვეტილებები.
გამოსავალი.მოდით ჩამოვწეროთ სისტემის მთავარი მატრიცა:

5	-2	9	-4	-1
1	4	2	2	-5
6	2	11	-2	-6
x 1	x 2	x 3	x 4	x 5

მოდით შევამციროთ მატრიცა სამკუთხა ფორმამდე. ჩვენ ვიმუშავებთ მხოლოდ მწკრივებთან, რადგან მატრიცის მწკრივის გამრავლება ნულის გარდა სხვა რიცხვზე და სისტემის სხვა მწკრივში დამატება ნიშნავს განტოლების გამრავლებას იმავე რიცხვზე და მის სხვა განტოლებასთან დამატებას, რომელიც არ ცვლის ამონახსნის ამოხსნას. სისტემა.
გავამრავლოთ მე-2 სტრიქონი (-5-ზე). დავუმატოთ მე-2 სტრიქონი პირველს:

0	-22	-1	-14	24
1	4	2	2	-5
6	2	11	-2	-6

გავამრავლოთ მე-2 სტრიქონი (6-ზე). გავამრავლოთ მე-3 სტრიქონი (-1-ზე). დავუმატოთ მე-3 სტრიქონი მე-2ს:
მოდი ვიპოვოთ მატრიცის რანგი.

0	22	1	14	-24
6	2	11	-2	-6
x 1	x 2	x 3	x 4	x 5

არჩეულ მინორს აქვს უმაღლესი რიგი (შესაძლო მინორებიდან) და არ არის ნულოვანი (ის ტოლია ელემენტების ნამრავლის საპირისპირო დიაგონალზე), ამიტომ რანგი (A) = 2.
ეს მინორი არის ძირითადი. იგი მოიცავს კოეფიციენტებს უცნობისთვის x 1 , x 2 , რაც ნიშნავს რომ უცნობი x 1 , x 2 არის დამოკიდებული (ძირითადი), ხოლო x 3 , x 4 , x 5 თავისუფალია.
მოდით გარდავქმნათ მატრიცა და დავტოვოთ მხოლოდ ბაზისი მინორი მარცხნივ.

0	22	14	-1	-24
6	2	-2	-11	-6
x 1	x 2	x 4	x 3	x 5

სისტემა ამ მატრიცის კოეფიციენტებით არის ორიგინალური სისტემის ექვივალენტური და აქვს ფორმა:
22x 2 = 14x 4 - x 3 - 24x 5
6x 1 + 2x 2 = - 2x 4 - 11x 3 - 6x 5
უცნობების აღმოფხვრის მეთოდის გამოყენებით ვპოულობთ არა ტრივიალური გადაწყვეტა:
მივიღეთ x 1 , x 2 დამოკიდებული ცვლადების გამოხატვის მიმართებები თავისუფალი x 3 , x 4 , x 5 , ანუ ვიპოვეთ საერთო გადაწყვეტილება:
x 2 = 0.64x 4 - 0.0455x 3 - 1.09x 5
x 1 = - 0,55x 4 - 1,82x 3 - 0,64x 5
ჩვენ ვპოულობთ ამონახსნების ფუნდამენტურ სისტემას, რომელიც შედგება (n-r) ამონახსნებისაგან.
ჩვენს შემთხვევაში n=5, r=2, მაშასადამე, ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემა შედგება 3 ამონახსნისგან და ეს ამონახსნები წრფივად დამოუკიდებელი უნდა იყოს.
იმისათვის, რომ რიგები იყოს წრფივად დამოუკიდებელი, აუცილებელია და საკმარისია, რომ მწკრივის ელემენტებით შედგენილი მატრიცის რანგი ტოლი იყოს მწკრივების რაოდენობაზე, ანუ 3.
საკმარისია მივცეთ უფასო უცნობი x 3, x 4, x 5 მნიშვნელობები მე-3 რიგის განმსაზღვრელი ხაზებიდან, არა ნულოვანი და გამოვთვალოთ x 1, x 2.
უმარტივესი არანულოვანი განმსაზღვრელი არის იდენტობის მატრიცა.

1	0	0
0	1	0
0	0	1

დავალება . იპოვეთ ამონახსნების ფუნდამენტური ნაკრები წრფივი განტოლებათა ერთგვაროვანი სისტემისთვის.