არის უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადი. უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადი

3. უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადები.

დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადების გარდა, რომელთა შესაძლო მნიშვნელობები ქმნიან რიცხვების სასრულ ან უსასრულო თანმიმდევრობას, რომლებიც სრულად არ ავსებენ არცერთ ინტერვალს, ხშირად არის შემთხვევითი ცვლადები, რომელთა შესაძლო მნიშვნელობები ქმნიან გარკვეულ ინტერვალს. ასეთი შემთხვევითი ცვლადის მაგალითია ნაწილის გარკვეული ზომის ნომინალური მნიშვნელობიდან გადახრა სათანადოდ ჩამოყალიბებული ტექნოლოგიური პროცესით. ამ ტიპის შემთხვევითი ცვლადები არ შეიძლება დაზუსტდეს ალბათობის განაწილების კანონის გამოყენებით p(x). თუმცა, მათი დაზუსტება შესაძლებელია ალბათობის განაწილების ფუნქციის გამოყენებით F(x). ეს ფუნქცია განისაზღვრება ზუსტად ისე, როგორც დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის შემთხვევაში:

ამრიგად, აქაც ფუნქცია F(x)განისაზღვრება მთელი რიცხვის ღერძზე და მისი მნიშვნელობა წერტილში Xუდრის ალბათობას, რომ შემთხვევითი ცვლადი მიიღებს იმაზე ნაკლებ მნიშვნელობას X.
ფორმულა () და თვისებები 1° და 2° მოქმედებს ნებისმიერი შემთხვევითი ცვლადის განაწილების ფუნქციისთვის. მტკიცებულება ხორციელდება ისევე, როგორც დისკრეტული რაოდენობის შემთხვევაში.
შემთხვევითი ცვლადი ეწოდება უწყვეტი, თუ მისთვის არსებობს არაუარყოფითი ცალ-ცალკე-უწყვეტი ფუნქცია*, რომელიც აკმაყოფილებს ნებისმიერ მნიშვნელობას xთანასწორობა
ინტეგრალის, როგორც ფართობის გეომეტრიული მნიშვნელობიდან გამომდინარე, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ უტოლობების შესრულების ალბათობა უდრის მრუდი ტრაპეციის ფართობს ფუძით. ზემოთ შემოსაზღვრულია მრუდით (სურ. 6).
მას შემდეგ, რაც და ფორმულის საფუძველზე ()
, მაშინ
გაითვალისწინეთ, რომ უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადი, განაწილების ფუნქცია F(x)უწყვეტი ნებისმიერ წერტილში X, სადაც ფუნქცია უწყვეტია. ეს გამომდინარეობს იქიდან, რომ F(x)ამ წერტილებში დიფერენცირებადია.
ფორმულის საფუძველზე (), ვარაუდით x 1 = x, , ჩვენ გვაქვს

ფუნქციის უწყვეტობის გამო F(x)ჩვენ ამას ვიღებთ

შესაბამისად

Ამგვარად, ალბათობა იმისა, რომ უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადი შეიძლება მიიღოს x-ის რომელიმე მნიშვნელობით არის ნული.
აქედან გამომდინარეობს, რომ მოვლენები, რომლებიც შედგება თითოეული უთანასწორობის შესრულებაში
, , ,
მათ აქვთ იგივე ალბათობა, ე.ი.

მართლაც, მაგალითად,

რადგან

კომენტარი.როგორც ვიცით, თუ მოვლენა შეუძლებელია, მაშინ მისი დადგომის ალბათობა ნულის ტოლია. ალბათობის კლასიკურ განმარტებაში, როდესაც ტესტის შედეგების რაოდენობა სასრულია, ხდება საპირისპირო წინადადებაც: თუ მოვლენის ალბათობა ნულის ტოლია, მაშინ მოვლენა შეუძლებელია, რადგან ამ შემთხვევაში არცერთი ტესტის შედეგი არ აწყობს მას. უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის შემთხვევაში, მისი შესაძლო მნიშვნელობების რაოდენობა უსასრულოა. ალბათობა იმისა, რომ ეს მნიშვნელობა მიიღებს რაიმე კონკრეტულ მნიშვნელობას x 1როგორც ვნახეთ, ნულის ტოლია. თუმცა, აქედან არ გამომდინარეობს, რომ ეს მოვლენა შეუძლებელია, რადგან ტესტის შედეგად შემთხვევით ცვლადს შეუძლია, კერძოდ, მიიღოს მნიშვნელობა x 1. ამიტომ, უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის შემთხვევაში, აზრი აქვს ვისაუბროთ შემთხვევითი ცვლადის ინტერვალში მოხვედრის ალბათობაზე და არა იმაზე, რომ ის მიიღებს კონკრეტულ მნიშვნელობას.
ასე რომ, მაგალითად, როლიკერის დამზადებისას, ჩვენ არ გვაინტერესებს იმის ალბათობა, რომ მისი დიამეტრი ნომინალური მნიშვნელობის ტოლი იქნება. ჩვენთვის მნიშვნელოვანია იმის ალბათობა, რომ როლიკერის დიამეტრი არ გამოვიდეს ტოლერანტობიდან.

განაწილების სიმკვრივე ალბათობები Xდარეკეთ ფუნქციას f(x)არის განაწილების ფუნქციის პირველი წარმოებული F(x):

შემთხვევითი ცვლადის ალბათობის განაწილების სიმკვრივის კონცეფცია Xდისკრეტული რაოდენობისთვის არ გამოიყენება.

ალბათობის სიმკვრივე f(x)დიფერენციალური განაწილების ფუნქციას უწოდებენ:

საკუთრება 1.განაწილების სიმკვრივე არის არაუარყოფითი მნიშვნელობა:

საკუთრება 2.განაწილების სიმკვრივის არასწორი ინტეგრალი დიაპაზონში დან მდე უდრის ერთს:

მაგალითი 1.25.უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის განაწილების ფუნქციის გათვალისწინებით X:

f(x).

გამოსავალი:განაწილების სიმკვრივე უდრის განაწილების ფუნქციის პირველ წარმოებულს:

1. მოცემულია უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის განაწილების ფუნქცია X:

იპოვეთ განაწილების სიმკვრივე.

2. მოცემულია უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის განაწილების ფუნქცია X:

იპოვეთ განაწილების სიმკვრივე f(x).

1.3. უწყვეტი შემთხვევითობის რიცხვითი მახასიათებლები

რაოდენობები

Მოსალოდნელი ღირებულებაუწყვეტი შემთხვევითი ცვლადი X, რომლის შესაძლო მნიშვნელობები ეკუთვნის მთელ ღერძს ოჰ, განისაზღვრება თანასწორობით:

ვარაუდობენ, რომ ინტეგრალი აბსოლუტურად იყრის თავს.

ა, ბ), შემდეგ:

f(x)არის შემთხვევითი ცვლადის განაწილების სიმკვრივე.

დისპერსია უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადი X, რომლის შესაძლო მნიშვნელობები ეკუთვნის მთელ ღერძს, განისაზღვრება თანასწორობით:

Განსაკუთრებული შემთხვევა. თუ შემთხვევითი ცვლადის მნიშვნელობები ეკუთვნის ინტერვალს ( ა, ბ), შემდეგ:

იმის ალბათობა Xმიიღებს მნიშვნელობებს, რომლებიც მიეკუთვნება ინტერვალს ( ა, ბ), განისაზღვრება თანასწორობით:

.

მაგალითი 1.26.უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადი X

იპოვნეთ მათემატიკური მოლოდინი, ვარიაცია და შემთხვევითი ცვლადის დარტყმის ალბათობა Xინტერვალში (0; 0.7).

გამოსავალი:შემთხვევითი ცვლადი ნაწილდება ინტერვალზე (0,1). მოდით განვსაზღვროთ უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის განაწილების სიმკვრივე X:

ა) მათემატიკური მოლოდინი :

ბ) დისპერსია

in)

ამოცანები დამოუკიდებელი მუშაობისთვის:

1. შემთხვევითი ცვლადი Xმოცემულია განაწილების ფუნქციით:

M(x);

ბ) დისპერსიას D(x);

Xინტერვალში (2,3).

2. შემთხვევითი ცვლადი X

იპოვეთ: ა) მათემატიკური მოლოდინი M(x);

ბ) დისპერსიას D(x);

გ) დაადგინეთ შემთხვევითი ცვლადის დარტყმის ალბათობა Xინტერვალში (1; 1.5).

3. შემთხვევითი მნიშვნელობა Xმოცემულია ინტეგრალური განაწილების ფუნქციით:

იპოვეთ: ა) მათემატიკური მოლოდინი M(x);

ბ) დისპერსიას D(x);

გ) დაადგინეთ შემთხვევითი ცვლადის დარტყმის ალბათობა Xინტერვალში.

1.4. უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონები

1.4.1. ერთგვაროვანი განაწილება

უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადი Xაქვს ერთგვაროვანი განაწილება ინტერვალზე [ ა, ბ], თუ ამ სეგმენტზე შემთხვევითი ცვლადის ალბათობის განაწილების სიმკვრივე მუდმივია, მის გარეთ კი ნულის ტოლია, ე.ი.

ბრინჯი. ოთხი.

; ; .

მაგალითი 1.27.ზოგიერთი მარშრუტის ავტობუსი ერთნაირად მოძრაობს 5 წუთის ინტერვალით. იპოვეთ ალბათობა, რომ თანაბრად განაწილებული შემთხვევითი ცვლადი X– ავტობუსის ლოდინის დრო 3 წუთზე ნაკლები იქნება.

გამოსავალი:შემთხვევითი მნიშვნელობა X- თანაბრად ნაწილდება ინტერვალზე.

ალბათობის სიმკვრივე: .

იმისათვის, რომ ლოდინის დრო არ აღემატებოდეს 3 წუთს, მგზავრი ავტობუსის გაჩერებაზე უნდა მივიდეს წინა ავტობუსის გასვლიდან 2-დან 5 წუთამდე, ე.ი. შემთხვევითი მნიშვნელობა Xუნდა მოხვდეს ინტერვალში (2;5). რომ. სასურველი ალბათობა:

ამოცანები დამოუკიდებელი მუშაობისთვის:

1. ა) იპოვეთ შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი Xთანაბრად განაწილებული ინტერვალში (2; 8);

ბ) იპოვეთ შემთხვევითი ცვლადის დისპერსია და სტანდარტული გადახრა X,თანაბრად განაწილებული ინტერვალში (2;8).

2. ელექტრული საათის წუთების ისარი ყოველი წუთის ბოლოს ხტება. იპოვეთ ალბათობა, რომ მოცემულ მომენტში საათი აჩვენებს დროს, რომელიც განსხვავდება ნამდვილი დროისგან არაუმეტეს 20 წამით.

1.4.2. ექსპონენციალური (ექსპონენციალური) განაწილება

უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადი Xექსპონენტურად ნაწილდება, თუ მისი ალბათობის სიმკვრივეს აქვს ფორმა:

სადაც არის ექსპონენციალური განაწილების პარამეტრი.

Ამგვარად

ბრინჯი. 5.

რიცხვითი მახასიათებლები:

მაგალითი 1.28.შემთხვევითი მნიშვნელობა X- ნათურის მუშაობის დრო - აქვს ექსპონენციალური განაწილება. დაადგინეთ ალბათობა იმისა, რომ ნათურა იმუშავებს მინიმუმ 600 საათი, თუ ნათურის საშუალო ხანგრძლივობაა 400 საათი.

გამოსავალი:პრობლემის პირობის მიხედვით, შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი Xუდრის 400 საათს, ასე რომ:

;

სასურველი ალბათობა, სად

საბოლოოდ:

ამოცანები დამოუკიდებელი მუშაობისთვის:

1. დაწერეთ ექსპონენციალური კანონის სიმკვრივისა და განაწილების ფუნქცია, თუ პარამეტრი .

2. შემთხვევითი ცვლადი X

იპოვეთ სიდიდის მათემატიკური მოლოდინი და განსხვავება X.

3. შემთხვევითი მნიშვნელობა Xმოცემული ალბათობის განაწილების ფუნქციით:

იპოვეთ შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი და სტანდარტული გადახრა.

1.4.3. Ნორმალური დისტრიბუცია

ნორმალურიეწოდება უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის ალბათობის განაწილება X, რომლის სიმკვრივეს აქვს ფორმა:

სადაც ა– მათემატიკური მოლოდინი, – სტანდარტული გადახრა X.

იმის ალბათობა Xმიიღებს მნიშვნელობას, რომელიც მიეკუთვნება ინტერვალს:

, სად

არის ლაპლასის ფუნქცია.

განაწილება, რომელსაც აქვს; , ე.ი. ალბათობის სიმკვრივით სახელწოდებით სტანდარტი.

ბრინჯი. 6.

ალბათობა იმისა, რომ გადახრის აბსოლუტური მნიშვნელობა ნაკლებია დადებით რიცხვზე:

.

კერძოდ, როცა a= 0 ტოლობა მართალია:

მაგალითი 1.29.შემთხვევითი მნიშვნელობა Xგანაწილებული ნორმალურად. Სტანდარტული გადახრა . იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ შემთხვევითი ცვლადის გადახრა მისი მათემატიკური მოლოდინიდან აბსოლუტური მნიშვნელობით იქნება 0,3-ზე ნაკლები.

გამოსავალი: .

ამოცანები დამოუკიდებელი მუშაობისთვის:

1. დაწერეთ შემთხვევითი ცვლადის ნორმალური განაწილების ალბათობის სიმკვრივე X, ამის ცოდნა M(x)= 3, D(x)= 16.

2. ნორმალურად განაწილებული შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი და სტანდარტული გადახრა Xარის შესაბამისად 20 და 5. იპოვეთ ალბათობა, რომ ტესტის შედეგად Xმიიღებს მნიშვნელობას, რომელიც შეიცავს ინტერვალს (15;20).

3. შემთხვევითი გაზომვის შეცდომები ექვემდებარება ნორმალურ კანონს სტანდარტული გადახრით mm და მათემატიკური მოლოდინი a= 0. იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ 3 დამოუკიდებელი გაზომვიდან ერთის ცდომილება აბსოლუტურ მნიშვნელობაში არ აღემატებოდეს 4 მმ-ს.

4. ზოგიერთი ნივთიერება იწონება სისტემატური შეცდომების გარეშე. შემთხვევითი აწონვის შეცდომები ექვემდებარება ნორმალურ კანონს სტანდარტული გადახრით r. იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ აწონვა განხორციელდება შეცდომით არაუმეტეს 10 გ აბსოლუტური სიდიდით.

განაწილების ფუნქცია ამ შემთხვევაში, (5.7) მიხედვით მიიღებს ფორმას:

სადაც: m არის მათემატიკური მოლოდინი, s არის სტანდარტული გადახრა.

ნორმალურ განაწილებას ასევე უწოდებენ გაუსიანს გერმანელი მათემატიკოსის გაუსის სახელით. ის ფაქტი, რომ შემთხვევით ცვლადს აქვს ნორმალური განაწილება პარამეტრებით: m,, აღინიშნება შემდეგნაირად: N (m, s), სადაც: m =a =M ;

ხშირად, ფორმულებში მათემატიკური მოლოდინი აღინიშნება ა . თუ შემთხვევითი ცვლადი განაწილებულია კანონის N(0,1) მიხედვით, მაშინ მას ნორმალიზებული ან სტანდარტიზებული ნორმალური მნიშვნელობა ეწოდება. მისთვის განაწილების ფუნქციას აქვს ფორმა:

ნორმალური განაწილების სიმკვრივის გრაფიკი, რომელსაც ეწოდება ნორმალური მრუდი ან გაუსის მრუდი, ნაჩვენებია ნახ.5.4-ზე.

ბრინჯი. 5.4. ნორმალური განაწილების სიმკვრივე

შემთხვევითი ცვლადის რიცხობრივი მახასიათებლების განსაზღვრა მისი სიმკვრივით განიხილება მაგალითზე.

მაგალითი 6.

უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადი მოცემულია განაწილების სიმკვრივით: .

განსაზღვრეთ განაწილების ტიპი, იპოვეთ მათემატიკური მოლოდინი M(X) და ვარიაცია D(X).

მოცემული განაწილების სიმკვრივის შედარებისას (5.16) შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ ნორმალური განაწილების კანონი m =4-ით არის მოცემული. აქედან გამომდინარე, მათემატიკური მოლოდინი M(X)=4, ვარიაცია D(X)=9.

სტანდარტული გადახრა s=3.

ლაპლასის ფუნქცია, რომელსაც აქვს ფორმა:

დაკავშირებულია ნორმალურ განაწილების ფუნქციასთან (5.17), მიმართებით:

F 0 (x) \u003d F (x) + 0.5.

ლაპლასის ფუნქცია უცნაურია.

Ф(-x)=-Ф(x).

ლაპლასის ფუნქციის Ф(х) მნიშვნელობები ტაბულირებულია და აღებულია ცხრილიდან x-ის მნიშვნელობის მიხედვით (იხ. დანართი 1).

უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის ნორმალური განაწილება მნიშვნელოვან როლს ასრულებს ალბათობის თეორიასა და რეალობის აღწერაში, ის ძალზე გავრცელებულია შემთხვევით ბუნებრივ მოვლენებში. პრაქტიკაში, ძალიან ხშირად არის შემთხვევითი ცვლადები, რომლებიც ყალიბდება ზუსტად მრავალი შემთხვევითი ტერმინის შეჯამების შედეგად. კერძოდ, გაზომვის შეცდომების ანალიზი აჩვენებს, რომ ისინი წარმოადგენს სხვადასხვა სახის შეცდომებს. პრაქტიკა გვიჩვენებს, რომ გაზომვის შეცდომების ალბათობის განაწილება ნორმალურ კანონთან ახლოსაა.

ლაპლასის ფუნქციის გამოყენებით შეიძლება გადაჭრას მოცემულ ინტერვალში მოხვედრის ალბათობისა და ნორმალური შემთხვევითი ცვლადის მოცემული გადახრის გამოთვლა.

შემთხვევითი ღირებულებები

მაგალითი 2.1.შემთხვევითი მნიშვნელობა Xმოცემული განაწილების ფუნქციით

იპოვეთ ალბათობა, რომ ტესტის შედეგად Xმიიღებს მნიშვნელობებს შორის (2.5; 3.6).

გამოსავალი: Xინტერვალში (2.5; 3.6) შეიძლება განისაზღვროს ორი გზით:

მაგალითი 2.2.პარამეტრების რა მნიშვნელობებზე მაგრამდა ATფუნქცია ფ(x) = A + Be - xშეიძლება იყოს განაწილების ფუნქცია შემთხვევითი ცვლადის არაუარყოფითი მნიშვნელობებისთვის X.

გამოსავალი:ვინაიდან შემთხვევითი ცვლადის ყველა შესაძლო მნიშვნელობა Xმიეკუთვნება ინტერვალს, მაშინ იმისათვის, რომ ფუნქცია იყოს განაწილების ფუნქცია X, ქონება უნდა შეიცავდეს:

.

პასუხი: .

მაგალითი 2.3.შემთხვევითი ცვლადი X მოცემულია განაწილების ფუნქციით

იპოვეთ ალბათობა, რომ ოთხი დამოუკიდებელი ცდის შედეგად, მნიშვნელობა Xზუსტად 3-ჯერ მიიღებს მნიშვნელობას, რომელიც მიეკუთვნება ინტერვალს (0.25; 0.75).

გამოსავალი:მნიშვნელობის დარტყმის ალბათობა Xინტერვალში (0.25; 0.75) ვპოულობთ ფორმულით:

მაგალითი 2.4.ბურთის კალათში მოხვედრის ალბათობა ერთი სროლით არის 0,3. შეადგინეთ სამ სროლაში დარტყმების რაოდენობის განაწილების კანონი.

გამოსავალი:შემთხვევითი მნიშვნელობა X- კალათაში დარტყმების რაოდენობა სამი სროლით - შეუძლია მიიღოს მნიშვნელობები: 0, 1, 2, 3. ალბათობა, რომელიც X

X:

მაგალითი 2.5.ორი მსროლელი აკეთებს ერთ დარტყმას მიზანში. პირველი მსროლელის მიერ მასზე დარტყმის ალბათობა არის 0,5, მეორე - 0,4. ჩაწერეთ სამიზნეზე დარტყმების რაოდენობის განაწილების კანონი.

გამოსავალი:იპოვეთ დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი X- მიზანზე დარტყმების რაოდენობა. დაე, მოვლენა იყოს პირველი მსროლელის მიერ მიზანში დარტყმა და - მეორე მსროლელის დარტყმა და - შესაბამისად მათი გაშვება.

მოდით შევადგინოთ SV-ის ალბათობის განაწილების კანონი X:

მაგალითი 2.6.შემოწმებულია 3 ელემენტი, რომლებიც მუშაობენ ერთმანეთისგან დამოუკიდებლად. ელემენტების უშეცდომოდ მუშაობის დროის ხანგრძლივობას (საათებში) აქვს განაწილების სიმკვრივის ფუნქციები: პირველისთვის: ფ 1 (ტ) =1-ელ. 0,1 ტმეორესთვის: ფ 2 (ტ) = 1-ელ. 0,2 ტმესამესთვის: ფ 3 (ტ) =1-ელ. 0,3 ტ. იპოვეთ ალბათობა, რომ დროის ინტერვალში 0-დან 5 საათამდე: მხოლოდ ერთი ელემენტი ჩაიშლება; მხოლოდ ორი ელემენტი ვერ იქნება; სამივე ელემენტი ვერ ხერხდება.

გამოსავალი:მოდით გამოვიყენოთ ალბათობების გენერირების ფუნქციის განმარტება:

იმის ალბათობა, რომ დამოუკიდებელ ცდებში, რომელთაგან პირველში მოვლენის დადგომის ალბათობა მაგრამუდრის , მეორეში და ა.შ., მოვლენას მაგრამჩნდება ზუსტად ერთხელ, უდრის კოეფიციენტს გენერირების ფუნქციის გაფართოებაში ხარისხებით. მოდით ვიპოვოთ პირველი, მეორე და მესამე ელემენტის მარცხის და წარუმატებლობის ალბათობა 0-დან 5 საათამდე დროის ინტერვალში:

მოდით შევქმნათ გენერირების ფუნქცია:

კოეფიციენტი at უდრის მოვლენის ალბათობას მაგრამგამოჩნდება ზუსტად სამჯერ, ანუ სამივე ელემენტის წარუმატებლობის ალბათობა; კოეფიციენტი at უდრის ალბათობას, რომ ზუსტად ორი ელემენტი ჩაიშლება; კოეფიციენტი at უდრის ალბათობას, რომ მხოლოდ ერთი ელემენტი ჩაიშლება.

მაგალითი 2.7.ალბათობის სიმკვრივის გათვალისწინებით ვ(x) შემთხვევითი ცვლადი X:

იპოვეთ განაწილების ფუნქცია F(x).

გამოსავალი:ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას:

.

ამრიგად, განაწილების ფუნქციას აქვს ფორმა:

მაგალითი 2.8.მოწყობილობა შედგება სამი დამოუკიდებლად მოქმედი ელემენტისგან. ერთ ექსპერიმენტში თითოეული ელემენტის წარუმატებლობის ალბათობა არის 0,1. შეადგინეთ წარუმატებელი ელემენტების რაოდენობის განაწილების კანონი ერთ ექსპერიმენტში.

გამოსავალი:შემთხვევითი მნიშვნელობა X- ელემენტების რაოდენობა, რომლებიც ჩაიშალა ერთ ექსპერიმენტში - შეუძლია მიიღოს მნიშვნელობები: 0, 1, 2, 3. ალბათობა, რომელიც Xიღებს ამ მნიშვნელობებს, ჩვენ ვპოულობთ ბერნულის ფორმულით:

ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ შემთხვევითი ცვლადის ალბათობის განაწილების შემდეგ კანონს X:

მაგალითი 2.9.არის 4 სტანდარტული ნაწილი უამრავ 6 ნაწილში. შემთხვევითობის პრინციპით შეირჩა 3 ელემენტი. შეადგინეთ შერჩეულთა შორის სტანდარტული ნაწილების რაოდენობის განაწილების კანონი.

გამოსავალი:შემთხვევითი მნიშვნელობა X- სტანდარტული ნაწილების რაოდენობა შერჩეულთა შორის - შეუძლია მიიღოს მნიშვნელობები: 1, 2, 3 და აქვს ჰიპერგეომეტრიული განაწილება. იმის ალბათობა X

სადაც -- ნაწილების რაოდენობა ლოტში;

-- ლოტში სტანდარტული ნაწილების რაოდენობა;

– შერჩეული ნაწილების რაოდენობა;

-- სტანდარტული ნაწილების რაოდენობა შერჩეულთა შორის.

.

.

.

მაგალითი 2.10.შემთხვევით ცვლადს აქვს განაწილების სიმკვრივე

სად და არ არის ცნობილი, მაგრამ, ა და . იპოვე და.

გამოსავალი:ამ შემთხვევაში, შემთხვევითი ცვლადი Xაქვს სამკუთხა განაწილება (სიმპსონის განაწილება) ინტერვალზე [ ა, ბ]. რიცხვითი მახასიათებლები X:

შესაბამისად, . ამ სისტემის ამოხსნისას მივიღებთ მნიშვნელობის ორ წყვილს: . ვინაიდან, პრობლემის მდგომარეობიდან გამომდინარე, საბოლოოდ გვაქვს: .

პასუხი: .

მაგალითი 2.11.საშუალოდ, ხელშეკრულებების 10%-ზე სადაზღვევო კომპანია იხდის სადაზღვევო თანხებს სადაზღვევო შემთხვევის დადგომასთან დაკავშირებით. გამოთვალეთ მათემატიკური მოლოდინი და ვარიაცია ასეთი კონტრაქტების რაოდენობის ოთხ შემთხვევით შერჩეულს შორის.

გამოსავალი:მათემატიკური მოლოდინი და დისპერსიის ნახვა შესაძლებელია ფორმულების გამოყენებით:

.

SV-ის შესაძლო მნიშვნელობები (კონტრაქტების რაოდენობა (ოთხიდან) სადაზღვევო შემთხვევის დადგომით): 0, 1, 2, 3, 4.

ჩვენ ვიყენებთ ბერნულის ფორმულას სხვადასხვა რაოდენობის კონტრაქტების (ოთხიდან) ალბათობის გამოსათვლელად, რომლებშიც გადაიხადეს სადაზღვევო თანხები:

.

CV-ის განაწილების სერიას (კონტრაქტების რაოდენობა სადაზღვევო შემთხვევის დადგომასთან ერთად) აქვს ფორმა:

პასუხი: ,.

მაგალითი 2.12.ხუთი ვარდიდან ორი თეთრია. დაწერეთ განაწილების კანონი შემთხვევითი ცვლადისთვის, რომელიც გამოხატავს თეთრი ვარდების რაოდენობას ერთდროულად აღებულ ორს შორის.

გამოსავალი:ორი ვარდის ნიმუშში შეიძლება ან არ იყოს თეთრი ვარდი, ან შეიძლება იყოს ერთი ან ორი თეთრი ვარდი. ამიტომ, შემთხვევითი ცვლადი Xშეუძლია მიიღოს მნიშვნელობები: 0, 1, 2. ალბათობა რომ Xიღებს ამ მნიშვნელობებს, ჩვენ ვპოულობთ ფორმულით:

სადაც -- ვარდების რაოდენობა;

-- თეთრი ვარდების რაოდენობა;

– ერთდროულად მიღებული ვარდების რაოდენობა;

-- თეთრი ვარდების რაოდენობა აღებულთა შორის.

.

.

.

მაშინ შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი იქნება შემდეგი:

მაგალითი 2.13. 15 აწყობილ ერთეულს შორის 6 საჭიროებს დამატებით შეზეთვას. შეადგინეთ დამატებითი შეზეთვის საჭირო ერთეულების რაოდენობის განაწილების კანონი მთლიანი რიცხვიდან შემთხვევით შერჩეულ ხუთს შორის.

გამოსავალი:შემთხვევითი მნიშვნელობა X- ერთეულების რაოდენობა, რომლებიც საჭიროებენ დამატებით შეზეთვას შერჩეულ ხუთს შორის - შეუძლია მიიღოს მნიშვნელობები: 0, 1, 2, 3, 4, 5 და აქვს ჰიპერგეომეტრიული განაწილება. იმის ალბათობა Xიღებს ამ მნიშვნელობებს, ჩვენ ვპოულობთ ფორმულით:

სადაც -- აწყობილი ერთეულების რაოდენობა;

-- ერთეულების რაოდენობა, რომლებიც საჭიროებენ დამატებით შეზეთვას;

– შერჩეული აგრეგატების რაოდენობა;

-- ერთეულების რაოდენობა, რომლებიც საჭიროებენ დამატებით შეზეთვას შერჩეულთა შორის.

.

.

.

.

.

.

მაშინ შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი იქნება შემდეგი:

მაგალითი 2.14.სარემონტოდ მიღებული 10 საათიდან 7-ს ესაჭიროება მექანიზმის ზოგადი გაწმენდა. საათები არ არის დალაგებული რემონტის ტიპის მიხედვით. ოსტატს, რომელსაც სურს იპოვნოს საათი, რომელსაც სჭირდება გაწმენდა, სათითაოდ ამოწმებს მათ და, როდესაც იპოვა ასეთი საათი, წყვეტს შემდგომ ყურებას. იპოვეთ ნანახი საათების რაოდენობის მათემატიკური მოლოდინი და განსხვავება.

გამოსავალი:შემთხვევითი მნიშვნელობა X- ერთეულების რაოდენობა, რომლებიც საჭიროებენ დამატებით შეზეთვას შერჩეულ ხუთს შორის - შეიძლება მიიღოს შემდეგი მნიშვნელობები: 1, 2, 3, 4. ალბათობა, რომ Xიღებს ამ მნიშვნელობებს, ჩვენ ვპოულობთ ფორმულით:

.

.

.

.

მაშინ შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი იქნება შემდეგი:

ახლა გამოვთვალოთ რაოდენობის რიცხობრივი მახასიათებლები:

პასუხი: ,.

მაგალითი 2.15.აბონენტს დაავიწყდა მისთვის საჭირო ტელეფონის ნომრის ბოლო ციფრი, მაგრამ ახსოვს, რომ ის კენტია. იპოვეთ მათემატიკური მოლოდინი და დისპერსია მის მიერ სასურველ რიცხვზე დაჭერამდე, თუ ის ბოლო ციფრს აკრიფებს და მომავალში არ აკრიფებს აკრეფილ ციფრს.

გამოსავალი:შემთხვევით ცვლადს შეუძლია მიიღოს მნიშვნელობები: . ვინაიდან აბონენტი მომავალში არ აკრიფებს აკრეფილ ციფრს, ამ მნიშვნელობების ალბათობა ტოლია.

მოდით შევადგინოთ შემთხვევითი ცვლადის განაწილების სერია:

მოდით გამოვთვალოთ აკრეფის მცდელობების მათემატიკური მოლოდინი და განსხვავება:

პასუხი: ,.

მაგალითი 2.16.სერიის თითოეული მოწყობილობის საიმედოობის ტესტების დროს წარუმატებლობის ალბათობა ტოლია გვ. დაადგინეთ მათემატიკური მოლოდინი იმ მოწყობილობების რაოდენობის შესახებ, რომლებიც ვერ მოხერხდა, ტესტირების შემთხვევაში ნტექნიკა.

გამოსავალი:დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადი X არის ჩავარდნილი მოწყობილობების რაოდენობა ნდამოუკიდებელი ტესტები, რომელთაგან თითოეულში მარცხის ალბათობა უდრის გვ,განაწილებული ბინომალური კანონის მიხედვით. ბინომალური განაწილების მათემატიკური მოლოდინი ტოლია ცდების რაოდენობისა და მოვლენის ალბათობის ნამრავლის ერთ ცდაში:

მაგალითი 2.17.დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადი Xიღებს 3 შესაძლო მნიშვნელობას: ალბათობით ; ალბათობით და ალბათობით . იპოვე და იცოდე, რომ M( X) = 8.

გამოსავალი:ჩვენ ვიყენებთ მათემატიკური მოლოდინის განმარტებებს და დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონს:

Ჩვენ ვიპოვეთ: .

მაგალითი 2.18.ტექნიკური კონტროლის განყოფილება ამოწმებს პროდუქტებს სტანდარტისთვის. ალბათობა იმისა, რომ ელემენტი სტანდარტულია არის 0.9. თითოეული პარტია შეიცავს 5 ელემენტს. იპოვეთ შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი X- პარტიების რაოდენობა, რომელთაგან თითოეული შეიცავს ზუსტად 4 სტანდარტულ პროდუქტს, თუ 50 პარტია ექვემდებარება შემოწმებას.

გამოსავალი:ამ შემთხვევაში, ყველა ჩატარებული ექსპერიმენტი დამოუკიდებელია და ალბათობა იმისა, რომ თითოეული პარტია შეიცავს ზუსტად 4 სტანდარტულ პროდუქტს, იგივეა, შესაბამისად, მათემატიკური მოლოდინი შეიძლება განისაზღვროს ფორმულით:

,

სად არის პარტიების რაოდენობა;

ალბათობა იმისა, რომ პარტია შეიცავს ზუსტად 4 სტანდარტულ ელემენტს.

ჩვენ ვპოულობთ ალბათობას ბერნულის ფორმულის გამოყენებით:

პასუხი: .

მაგალითი 2.19.იპოვნეთ შემთხვევითი ცვლადის ვარიაცია X- მოვლენის შემთხვევების რაოდენობა აორ დამოუკიდებელ ცდაში, თუ ამ ცდებში მოვლენის დადგომის ალბათობა იგივეა და ცნობილია, რომ მ(X) = 0,9.

გამოსავალი:პრობლემის გადაჭრა შესაძლებელია ორი გზით.

1) CB შესაძლო მნიშვნელობები X: 0, 1, 2. ბერნულის ფორმულის გამოყენებით, ჩვენ განვსაზღვრავთ ამ მოვლენების ალბათობას:

, , .

შემდეგ განაწილების კანონი Xროგორც ჩანს:

მათემატიკური მოლოდინის განმარტებიდან ჩვენ განვსაზღვრავთ ალბათობას:

ვიპოვოთ SW-ის ვარიაცია X:

.

2) შეგიძლიათ გამოიყენოთ ფორმულა:

.

პასუხი: .

მაგალითი 2.20.ნორმალურად განაწილებული შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი და სტანდარტული გადახრა Xარის შესაბამისად 20 და 5. იპოვეთ ალბათობა, რომ ტესტის შედეგად Xმიიღებს მნიშვნელობას, რომელიც შეიცავს ინტერვალში (15; 25).

გამოსავალი:ნორმალური შემთხვევითი ცვლადის დარტყმის ალბათობა Xმონაკვეთზე დან მდე გამოიხატება ლაპლასის ფუნქციის მიხედვით:

მაგალითი 2.21.მოცემულია ფუნქცია:

პარამეტრის რა მნიშვნელობაზე Cეს ფუნქცია არის ზოგიერთი უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის განაწილების სიმკვრივე X? იპოვეთ შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი და ვარიაცია X.

გამოსავალი:იმისათვის, რომ ფუნქცია იყოს რაიმე შემთხვევითი ცვლადის განაწილების სიმკვრივე, ის უნდა იყოს არაუარყოფითი და უნდა აკმაყოფილებდეს თვისებას:

.

შესაბამისად:

გამოთვალეთ მათემატიკური მოლოდინი ფორმულის გამოყენებით:

.

გამოთვალეთ განსხვავება ფორმულის გამოყენებით:

T არის გვ. აუცილებელია ამ შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინისა და დისპერსიის პოვნა.

გამოსავალი:დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის X-ის განაწილების კანონს - მოვლენის შემთხვევების რაოდენობა დამოუკიდებელ ცდებში, რომელთაგან თითოეულში მოვლენის დადგომის ალბათობა არის , ეწოდება ბინომიალური. ბინომალური განაწილების მათემატიკური მოლოდინი ტოლია ცდების რაოდენობისა და A მოვლენის დადგომის ალბათობის ნამრავლს ერთ ცდაში:

.

მაგალითი 2.25.სამი დამოუკიდებელი გასროლა ხდება მიზანში. ყოველი გასროლის ალბათობა არის 0,25. განსაზღვრეთ დარტყმების რაოდენობის სტანდარტული გადახრა სამი გასროლით.

გამოსავალი:ვინაიდან ტარდება სამი დამოუკიდებელი ცდა და A მოვლენის (დარტყმის) დადგომის ალბათობა თითოეულ საცდელში ერთი და იგივეა, ჩვენ ვივარაუდებთ, რომ დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადი X - მიზანზე დარტყმების რაოდენობა - ნაწილდება ბინომის მიხედვით. კანონი.

ბინომალური განაწილების ვარიაცია ტოლია ცდების რაოდენობისა და მოვლენის დადგომისა და არდადგომის ალბათობის ნამრავლის ერთ ცდაში:

მაგალითი 2.26.სადაზღვევო კომპანიაში 10 წუთში სტუმრების საშუალო რაოდენობა სამია. იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ მინიმუმ ერთი მომხმარებელი მოვა მომდევნო 5 წუთში.

მომხმარებელთა საშუალო რაოდენობა, რომლებიც ჩამოდიან 5 წუთში: . .

მაგალითი 2.29.განაცხადის მოლოდინის დრო პროცესორის რიგში ემორჩილება ექსპონენციალურ განაწილების კანონს, რომლის საშუალო მნიშვნელობა 20 წამია. იპოვეთ ალბათობა, რომ შემდეგი (თვითნებური) მოთხოვნა პროცესორს 35 წამზე მეტ ხანს დაელოდება.

გამოსავალი:ამ მაგალითში მოლოდინი და წარუმატებლობის მაჩვენებელი არის .

მაშინ სასურველი ალბათობაა:

მაგალითი 2.30. 15 სტუდენტისგან შემდგარი ჯგუფი ატარებს შეხვედრას დარბაზში 20 რიგად 10 ადგილიანი. თითოეული სტუდენტი შემთხვევით იკავებს ადგილს დარბაზში. რა არის იმის ალბათობა, რომ ზედიზედ მეშვიდე ადგილზე არაუმეტეს სამი ადამიანი იყოს?

გამოსავალი:

მაგალითი 2.31.

შემდეგ ალბათობის კლასიკური განმარტების მიხედვით:

სადაც -- ნაწილების რაოდენობა ლოტში;

-- ლოტში არასტანდარტული ნაწილების რაოდენობა;

– შერჩეული ნაწილების რაოდენობა;

-- შერჩეულთა შორის არასტანდარტული ნაწილების რაოდენობა.

მაშინ შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი იქნება შემდეგი.

უწყვეტ შემთხვევით ცვლადებს აქვთ უსასრულო რაოდენობის შესაძლო მნიშვნელობები. ამიტომ, მათთვის სადისტრიბუციო სერიის დანერგვა შეუძლებელია.

იმის ნაცვლად, რომ შემთხვევითი ცვლადი X მიიღებს x-ის ტოლ მნიშვნელობას, ე.ი. p(X = x), განიხილეთ ალბათობა იმისა, რომ X მიიღებს x-ზე ნაკლებ მნიშვნელობას, ე.ი. P(X< х).

ჩვენ შემოგთავაზებთ შემთხვევითი ცვლადების ახალ მახასიათებელს - განაწილების ფუნქციას და განვიხილავთ მის თვისებებს.

განაწილების ფუნქცია შემთხვევითი ცვლადის ყველაზე უნივერსალური მახასიათებელია. ის შეიძლება განისაზღვროს როგორც დისკრეტული, ასევე უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადებისთვის:

F(x) = p(X< x).

განაწილების ფუნქციის თვისებები.

განაწილების ფუნქცია მისი არგუმენტის არაკლებად ფუნქციაა, ე.ი. თუ:

მინუს უსასრულობაზე, განაწილების ფუნქცია ნულის ტოლია:

პლუს უსასრულობაში, განაწილების ფუნქცია უდრის ერთს:

შემთხვევითი ცვლადის მოცემულ ინტერვალში მოხვედრის ალბათობა განისაზღვრება ფორმულით:

ფუნქცია f(x), რომელიც უდრის განაწილების ფუნქციის წარმოებულს, ეწოდება X შემთხვევითი ცვლადის ალბათობის სიმკვრივე ან განაწილების სიმკვრივე:

b-ზე c მონაკვეთზე დაჭერის ალბათობა გამოვხატოთ f(x-ით). ის უდრის ამ მონაკვეთის ალბათობის ელემენტების ჯამს, ე.ი. ინტეგრალური:

აქედან შეგვიძლია გამოვხატოთ განაწილების ფუნქცია ალბათობის სიმკვრივის მიხედვით:

ალბათობის სიმკვრივის თვისებები.

ალბათობის სიმკვრივე არის არაუარყოფითი ფუნქცია (რადგან განაწილების ფუნქცია არის არაკლებადობა):

სიმჭიდროვე ალბათ

sti არის უწყვეტი ფუნქცია.

ალბათობის სიმკვრივის უსასრულო ზღვრებში ინტეგრალი უდრის 1-ს:

ალბათობის სიმკვრივეს აქვს შემთხვევითი ცვლადის განზომილება.

უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი და დისპერსია

მათემატიკური მოლოდინისა და დისპერსიის მნიშვნელობა იგივე რჩება, რაც დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადების შემთხვევაში. მათი პოვნის ფორმულების ფორმა იცვლება შეცვლით:

შემდეგ ვიღებთ ფორმულებს უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინისა და დისპერსიის გამოსათვლელად:

მაგალითი. უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის განაწილების ფუნქცია მოცემულია:

იპოვეთ a-ს მნიშვნელობა, ალბათობის სიმკვრივე, საიტის მოხვედრის ალბათობა (0,25-0,5), მათემატიკური მოლოდინი და დისპერსიული.

ვინაიდან განაწილების ფუნქცია F(x) უწყვეტია, მაშინ x = 1 ax2 = 1, შესაბამისად a = 1.

ალბათობის სიმკვრივე გვხვდება განაწილების ფუნქციის წარმოებულად:

მოცემულ ფართობზე დარტყმის ალბათობის გამოთვლა შესაძლებელია ორი გზით: განაწილების ფუნქციის გამოყენებით და ალბათობის სიმკვრივის გამოყენებით.

• 1 გზა. ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას ალბათობის საპოვნელად განაწილების ფუნქციის მეშვეობით:
• მე-2 გზა. ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას, რომ ვიპოვოთ ალბათობა ალბათობის სიმკვრივის მეშვეობით:

მათემატიკური მოლოდინის პოვნა:

დისპერსიის პოვნა:

ერთგვაროვანი განაწილება

განვიხილოთ უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადი X, რომლის შესაძლო მნიშვნელობები დევს გარკვეულ ინტერვალში და თანაბრად სავარაუდოა.

ასეთი შემთხვევითი ცვლადის ალბათობის სიმკვრივე იქნება:

სადაც c არის რაღაც მუდმივი.

ალბათობის სიმკვრივის გრაფიკი ნაჩვენები იქნება შემდეგნაირად:

c პარამეტრს გამოვხატავთ b და c-ით. ამისათვის ჩვენ ვიყენებთ იმ ფაქტს, რომ ალბათობის სიმკვრივის ინტეგრალი მთელ რეგიონში უნდა იყოს 1-ის ტოლი:

თანაბრად განაწილებული შემთხვევითი ცვლადის განაწილების სიმკვრივე

იპოვნეთ განაწილების ფუნქცია:

თანაბრად განაწილებული შემთხვევითი ცვლადის განაწილების ფუნქცია

მოდით დავხატოთ განაწილების ფუნქცია:

მოდით გამოვთვალოთ შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი და ვარიაცია, რომელიც ემორჩილება ერთგვაროვან განაწილებას.

შემდეგ სტანდარტული გადახრა ასე გამოიყურება:

ნორმალური (გაუსური) განაწილება

უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადი X ეწოდება ნორმალურად განაწილებულ პარამეტრებს a, y > 0, თუ მას აქვს ალბათობის სიმკვრივე:

შემთხვევითი ცვლადის განაწილების მრუდს აქვს ფორმა:

ტესტი 2

ამოცანა 1. შეადგინეთ დისკრეტული შემთხვევითი X ცვლადის განაწილების კანონი, გამოთვალეთ შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი, დისპერსიული და სტანდარტული გადახრა.

ვარიანტი 1

QCD ამოწმებს პროდუქტებს სტანდარტიზაციისთვის. ალბათობა იმისა, რომ ელემენტი სტანდარტულია არის 0.7. შემოწმებულია 20 ელემენტი. იპოვეთ X შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი - სტანდარტული პროდუქტების რაოდენობა გამოსაცდელებს შორის. გამოთვალეთ შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი, განსხვავება და სტანდარტული გადახრა.

ვარიანტი 2

ურნაში არის 4 ბურთი, რომელზედაც მითითებულია 2 წერტილი; ოთხი; 5; 5. ბურთის დახატვა ხდება შემთხვევით. იპოვეთ X შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი - მასზე არსებული ქულების რაოდენობა. გამოთვალეთ შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი, განსხვავება და სტანდარტული გადახრა.

ვარიანტი 3

მონადირე ისვრის თამაშს, სანამ არ მოხვდება, მაგრამ შეუძლია გასროლა არაუმეტეს სამი გასროლისა. ყოველი გასროლის ალბათობა არის 0,6. შეადგინეთ X შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი - მსროლელის მიერ გასროლილი გასროლების რაოდენობა. გამოთვალეთ შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი, განსხვავება და სტანდარტული გადახრა.

ვარიანტი 4

გაზომვისას მითითებული სიზუსტის გადაჭარბების ალბათობა არის 0,4. შეადგინეთ X შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი - შეცდომების რაოდენობა 10 გაზომვაში. გამოთვალეთ შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი, განსხვავება და სტანდარტული გადახრა.

ვარიანტი 5

მიზანში ერთი გასროლით დარტყმის ალბათობაა 0,45. 20 გასროლა. შეადგინეთ X შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი - დარტყმების რაოდენობა. გამოთვალეთ შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი, განსხვავება და სტანდარტული გადახრა.

ვარიანტი 6

გარკვეული ქარხნის პროდუქცია ქორწინების 5%-ს შეიცავს. შეადგინეთ განაწილების კანონი შემთხვევითი ცვლადის X-ისთვის - დეფექტური პროდუქტის რაოდენობა ხუთს შორის, რომლებიც აღებული იყო წარმატებისთვის. გამოთვალეთ შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი, განსხვავება და სტანდარტული გადახრა.

ვარიანტი 7

ასამბლერის მიერ საჭირო ნაწილები მოთავსებულია ხუთიდან სამ ყუთში. ასამბლეერი ხსნის ყუთებს, სანამ არ იპოვის სწორ ნაწილებს. შეადგინეთ X შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი - გახსნილი უჯრების რაოდენობა. გამოთვალეთ შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი, განსხვავება და სტანდარტული გადახრა.

ვარიანტი 8

ურნა შეიცავს 3 შავ და 2 თეთრ ბურთულებს. ბურთების თანმიმდევრული ამოღება დაბრუნების გარეშე ხორციელდება მანამ, სანამ შავი არ გამოჩნდება. შეადგინეთ X შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი - ამოღებული ბურთების რაოდენობა. გამოთვალეთ შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი, განსხვავება და სტანდარტული გადახრა.

ვარიანტი 9

მოსწავლემ იცის 20-დან 15 კითხვა ბილეთში 3 კითხვაა. შეადგინეთ X შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი - ბილეთში მოსწავლისთვის ცნობილი კითხვების რაოდენობა. გამოთვალეთ შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი, განსხვავება და სტანდარტული გადახრა.

ვარიანტი 10

არის 3 ნათურა, რომელთაგან თითოეულს აქვს დეფექტი 0,4 ალბათობით. ჩართვისას დეფექტური ნათურა იწვის და იცვლება სხვა. შეადგინეთ განაწილების კანონი შემთხვევითი X ცვლადისთვის - შემოწმებული ნათურების რაოდენობა. გამოთვალეთ შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი, განსხვავება და სტანდარტული გადახრა.

დავალება 2. შემთხვევითი ცვლადი X მოცემულია განაწილების ფუნქციით F(X). იპოვეთ განაწილების სიმკვრივე, მათემატიკური მოლოდინი, ვარიაცია და ასევე შემთხვევითი ცვლადის (b, c) ინტერვალში მოხვედრის ალბათობა. F(X) და f(X) ფუნქციების გრაფიკების აგება.

ვარიანტი 1

ვარიანტი 2

ვარიანტი 3

ვარიანტი 4

ვარიანტი 5

ვარიანტი 6

ვარიანტი 7

ვარიანტი 8

ვარიანტი 9

ვარიანტი 10

კითხვები გამოცდისთვის

ალბათობის კლასიკური განმარტება.

კომბინატორიკის ელემენტები. განთავსება. მაგალითები.

კომბინატორიკის ელემენტები. პერმუტაცია. მაგალითები.

კომბინატორიკის ელემენტები. კომბინაციები. მაგალითები.

თეორემა ალბათობათა ჯამის შესახებ.

ალბათობის გამრავლების თეორემა.

ოპერაციები მოვლენებზე.

საერთო ალბათობის ფორმულა.

ბეიზის ფორმულა.

ტესტების გამეორება. ბერნულის ფორმულა.

დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადები. განაწილების დიაპაზონი. მაგალითი.

დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი.

დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის დისპერსია.

შემთხვევითი ცვლადის ბინომიური განაწილება.

პუასონის განაწილება.

განაწილება გეომეტრიული პროგრესიის კანონის მიხედვით.

უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადები. განაწილების ფუნქცია და მისი თვისებები.

ალბათობის სიმკვრივე და მისი თვისებები.

უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი.

უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის დისპერსია.

უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის ერთგვაროვანი განაწილება.

ნორმალური განაწილების კანონი.