რა არის მრუდი მოძრაობა? მრუდი მოძრაობის კინემატიკა

ერთნაირად აჩქარებული მრუდი მოძრაობა

მრუდი მოძრაობები არის მოძრაობები, რომელთა ტრაექტორია არ არის სწორი, არამედ მრუდი ხაზები. პლანეტები და მდინარის წყლები მოძრაობენ მრუდი ტრაექტორიების გასწვრივ.

მრუდი მოძრაობა ყოველთვის არის მოძრაობა აჩქარებით, მაშინაც კი, თუ სიჩქარის აბსოლუტური მნიშვნელობა მუდმივია. მრუდის მოძრაობით მუდმივი აჩქარებაყოველთვის ხდება იმ სიბრტყეში, რომელშიც განლაგებულია წერტილის აჩქარების ვექტორები და საწყისი სიჩქარე. იმ შემთხვევაში მრუდი მოძრაობა xOy სიბრტყეში მუდმივი აჩქარებით, მისი სიჩქარის vx და vy პროექცია Ox და Oy ღერძებზე და წერტილის x და y კოორდინატები ნებისმიერ დროს t განისაზღვრება ფორმულებით.

არა ერთგვაროვანი მოძრაობა. სიჩქარეზე არათანაბარი მოძრაობა

არცერთი სხეული არ მოძრაობს მუდმივად მუდმივი სიჩქარით. როდესაც მანქანა იწყებს მოძრაობას, ის უფრო და უფრო სწრაფად მოძრაობს. მას შეუძლია გარკვეული პერიოდის განმავლობაში სტაბილურად მოძრაობა, მაგრამ შემდეგ ის ანელებს და ჩერდება. ამ შემთხვევაში მანქანა ერთდროულად გადის სხვადასხვა მანძილს.

მოძრაობას, რომლის დროსაც სხეული დროის თანაბარ ინტერვალებში გადის უთანასწორო გზას, ეწოდება არათანაბარი. ასეთი მოძრაობით სიჩქარე არ რჩება უცვლელი. ამ შემთხვევაში მხოლოდ საშუალო სიჩქარეზე შეიძლება ვისაუბროთ.

საშუალო სიჩქარე გვიჩვენებს რამდენ მოძრაობას გადის სხეული დროის ერთეულში. იგი უდრის სხეულის გადაადგილების თანაფარდობას მოძრაობის დროს. საშუალო სიჩქარე, ისევე როგორც სხეულის სიჩქარე ერთგვაროვანი მოძრაობის დროს, იზომება მეტრებში გაყოფილი წამზე. მოძრაობის უფრო ზუსტად დასახასიათებლად ფიზიკაში გამოიყენება მყისიერი სიჩქარე.

სხეულის სიჩქარე შიგნით მომენტშიდრო ან ტრაექტორიის მოცემულ წერტილში ეწოდება მყისიერი სიჩქარე. მყისიერი სიჩქარე არის ვექტორული რაოდენობადა მიმართულია ისევე, როგორც გადაადგილების ვექტორი. თქვენ შეგიძლიათ გაზომოთ მყისიერი სიჩქარე სპიდომეტრის გამოყენებით. საერთაშორისო სისტემაში მყისიერი სიჩქარე იზომება მეტრებში გაყოფილი წამზე.

წერტილის მოძრაობის სიჩქარე არათანაბარი

სხეულის მოძრაობა წრეში

მრუდი მოძრაობა ბუნებაში და ტექნოლოგიაში ძალიან გავრცელებულია. ის უფრო რთულია, ვიდრე სწორი ხაზი, რადგან არსებობს მრავალი მრუდი ტრაექტორია; ეს მოძრაობა ყოველთვის აჩქარებულია, მაშინაც კი, როდესაც სიჩქარის მოდული არ იცვლება.

მაგრამ მოძრაობა ნებისმიერზე მრუდი ტრაექტორიაუხეშად შეიძლება ჩაითვალოს წრის რკალების გასწვრივ მოძრაობად.

როდესაც სხეული წრეში მოძრაობს, სიჩქარის ვექტორის მიმართულება იცვლება წერტილიდან წერტილამდე. ამიტომ, როდესაც ისინი საუბრობენ ასეთი მოძრაობის სიჩქარეზე, გულისხმობენ მყისიერ სიჩქარეს. სიჩქარის ვექტორი მიმართულია წრეზე ტანგენციალურად, ხოლო გადაადგილების ვექტორი მიმართულია აკორდების გასწვრივ.

ერთიანი წრიული მოძრაობა არის მოძრაობა, რომლის დროსაც მოძრაობის სიჩქარის მოდული არ იცვლება, იცვლება მხოლოდ მისი მიმართულება. ასეთი მოძრაობის აჩქარება ყოველთვის მიმართულია წრის ცენტრისკენ და მას ცენტრიდანული ეწოდება. იმისათვის, რომ ვიპოვოთ წრეში მოძრავი სხეულის აჩქარება, საჭიროა სიჩქარის კვადრატის გაყოფა წრის რადიუსზე.

აჩქარების გარდა, წრეში სხეულის მოძრაობა ხასიათდება შემდეგი რაოდენობით:

სხეულის ბრუნვის პერიოდი არის დრო, რომლის დროსაც სხეული ქმნის ერთს სრული შემობრუნება. ბრუნვის პერიოდი აღინიშნება ასო T-ით და იზომება წამებში.

სხეულის ბრუნვის სიხშირე არის რევოლუციების რაოდენობა დროის ერთეულზე. ბრუნვის სიჩქარე ასოთი არის მითითებული? და იზომება ჰერცში. სიხშირის დასადგენად, თქვენ უნდა გაყოთ ერთი პერიოდის მიხედვით.

წრფივი სიჩქარე არის სხეულის მოძრაობის თანაფარდობა დროზე. წრეში სხეულის წრფივი სიჩქარის საპოვნელად საჭიროა წრეწირის გაყოფა პერიოდზე (წრიფი უდრის 2? გამრავლებული რადიუსზე).

კუთხური სიჩქარე - ფიზიკური რაოდენობა, თანაფარდობის ტოლიწრის რადიუსის ბრუნვის კუთხე, რომლის გასწვრივაც სხეული მოძრაობს, მოძრაობის დრომდე. კუთხური სიჩქარე ასოებით არის მითითებული? და იზომება რადიანებში გაყოფილი წამში. იპოვე კუთხური სიჩქარეშესაძლებელია თუ არა 2-ის გაყოფა? პერიოდის განმავლობაში. კუთხური სიჩქარე და წრფივი სიჩქარე ერთმანეთთან. წრფივი სიჩქარის საპოვნელად საჭიროა კუთხოვანი სიჩქარის გამრავლება წრის რადიუსზე.

სურათი 6. წრიული მოძრაობა, ფორმულები.

ჩვენ ვიცით, რომ როდის სწორი მოძრაობასიჩქარის ვექტორის მიმართულება ყოველთვის ემთხვევა მოძრაობის მიმართულებას. რა შეიძლება ითქვას მრუდი მოძრაობისას სიჩქარის მიმართულებაზე და გადაადგილებაზე? ამ კითხვაზე პასუხის გასაცემად, ჩვენ გამოვიყენებთ იმავე ტექნიკას, რომელიც გამოვიყენეთ წინა თავიმართკუთხა მოძრაობის მყისიერი სიჩქარის შესწავლისას.

სურათი 56 გვიჩვენებს გარკვეულ მოსახვევ ტრაექტორიას. დავუშვათ, რომ სხეული მოძრაობს მის გასწვრივ A წერტილიდან B წერტილამდე.

ამ შემთხვევაში, სხეულის მიერ გავლილი გზა არის რკალი A B და მისი გადაადგილება არის ვექტორი, რა თქმა უნდა, არ შეიძლება ვივარაუდოთ, რომ მოძრაობის დროს სხეულის სიჩქარე მიმართულია გადაადგილების ვექტორის გასწვრივ. მოდით დავხატოთ აკორდების სერია A და B წერტილებს შორის (სურ. 57) და წარმოვიდგინოთ, რომ სხეულის მოძრაობა სწორედ ამ აკორდების გასწვრივ ხდება. თითოეულ მათგანზე სხეული სწორხაზოვნად მოძრაობს და სიჩქარის ვექტორი მიმართულია აკორდის გასწვრივ.

მოდით, ახლა ჩვენი სწორი სექციები (აკორდები) უფრო მოკლე გავხადოთ (სურ. 58). როგორც ადრე, თითოეულ მათგანზე სიჩქარის ვექტორი მიმართულია აკორდის გასწვრივ. მაგრამ ცხადია, რომ გატეხილი ხაზისურათზე 58 ის უფრო გლუვ მრუდს ჰგავს.

მაშასადამე, ცხადია, რომ სწორი მონაკვეთების სიგრძის შემცირების გაგრძელებით, ჩვენ, როგორც იქნა, ავიყვანთ მათ წერტილებად და გატეხილი ხაზი გადაიქცევა გლუვ მოსახვევად. ამ მრუდის თითოეულ წერტილში სიჩქარე ტანგენციალურად იქნება მიმართული ამ წერტილის მრუდზე (სურ. 59).

სხეულის მოძრაობის სიჩქარე მრუდი ტრაექტორიის ნებისმიერ წერტილში მიმართულია ამ წერტილის ტრაექტორიაზე ტანგენციალურად.

ის, რომ წერტილის სიჩქარე მრუდი მოძრაობის დროს მართლაც მიმართულია ტანგენტის გასწვრივ, რწმუნდება, მაგალითად, გოჩნლას მოქმედებაზე დაკვირვებით (სურ. 60). თუ ფოლადის ღეროს ბოლოებს დააჭერთ მბრუნავ საფქვავ ქვას, ქვისგან გამოსული ცხელი ნაწილაკები ნაპერწკლების სახით გამოჩნდება. ეს ნაწილაკები დაფრინავენ იმ სიჩქარით, რომლითაც

ისინი ფლობდნენ ქვისგან განშორების მომენტში. აშკარად ჩანს, რომ ნაპერწკლების მიმართულება ყოველთვის ემთხვევა წრის ტანგენტს იმ ადგილას, სადაც ღერო ქვას ეხება. მოცურებული მანქანის ბორბლებიდან ნასხლეტები ასევე ტანგენციურად მოძრაობს წრეზე (სურ. 61).

ამრიგად, სხეულის მყისიერი სიჩქარე შემოდის სხვადასხვა წერტილებიმრუდის ტრაექტორიას აქვს სხვადასხვა მიმართულება, როგორც ნაჩვენებია სურათზე 62. სიჩქარის მოდული შეიძლება იყოს იგივე ტრაექტორიის ყველა წერტილში (იხ. სურათი 62) ან იცვლებოდეს წერტილიდან წერტილამდე, დროის ერთი მომენტიდან მეორეზე (სურათი 63). .

6. მრუდი მოძრაობა. სხეულის კუთხური გადაადგილება, კუთხური სიჩქარე და აჩქარება. გზა და გადაადგილება სხეულის მრუდი მოძრაობის დროს.

მრუდი მოძრაობა- ეს არის მოძრაობა, რომლის ტრაექტორია არის მრუდი ხაზი (მაგალითად, წრე, ელიფსი, ჰიპერბოლა, პარაბოლა). მრუდი მოძრაობის მაგალითია პლანეტების მოძრაობა, საათის ისრის ბოლო ციფერბლატის გასწვრივ და ა.შ. ზოგადად curvilinear სიჩქარესიდიდისა და მიმართულების ცვლილებები.

მატერიალური წერტილის მრუდი მოძრაობაგანიხილება ერთგვაროვანი მოძრაობა, თუ მოდული სიჩქარე მუდმივი (მაგალითად, ერთიანი მოძრაობა წრეში) და ერთნაირად აჩქარებული, თუ მოდული და მიმართულება სიჩქარე ცვლილებები (მაგალითად, ჰორიზონტალური კუთხით გადაგდებული სხეულის მოძრაობა).

ბრინჯი. 1.19. მოძრაობის ტრაექტორია და ვექტორი მრუდი მოძრაობის დროს.

მოხრილი ბილიკით გადაადგილებისას გადაადგილების ვექტორი მიმართულია აკორდის გასწვრივ (სურ. 1.19) და ლ- სიგრძე ტრაექტორიები . სხეულის მყისიერი სიჩქარე (ანუ სხეულის სიჩქარე ტრაექტორიის მოცემულ წერტილში) მიმართულია ტანგენციურად იმ ტრაექტორიის იმ წერტილზე, სადაც ამჟამად მდებარეობს მოძრავი სხეული (ნახ. 1.20).

ბრინჯი. 1.20. მყისიერი სიჩქარე მრუდი მოძრაობის დროს.

მრუდი მოძრაობა ყოველთვის აჩქარებული მოძრაობაა. ანუ აჩქარება მრუდი მოძრაობის დროსყოველთვის არის, მაშინაც კი, თუ სიჩქარის მოდული არ იცვლება, მაგრამ იცვლება მხოლოდ სიჩქარის მიმართულება. სიჩქარის ცვლილება დროის ერთეულზე არის ტანგენციალური აჩქარება :

ან

სად ვ τ , ვ 0 - სიჩქარის მნიშვნელობები დროის მომენტში ტ 0 +Δtდა ტ 0 შესაბამისად.

ტანგენციალური აჩქარება ტრაექტორიის მოცემულ წერტილში მიმართულება ემთხვევა სხეულის მოძრაობის სიჩქარის მიმართულებას ან საპირისპიროა.

ნორმალური აჩქარება არის სიჩქარის ცვლილება მიმართულებაში დროის ერთეულზე:

ნორმალური აჩქარებამიმართულია ტრაექტორიის გამრუდების რადიუსის გასწვრივ (ბრუნვის ღერძისკენ). ნორმალური აჩქარება პერპენდიკულარულია სიჩქარის მიმართულებაზე.

ცენტრიდანული აჩქარებაარის ნორმალური აჩქარება ერთიანი წრიული მოძრაობის დროს.

მთლიანი აჩქარება სხეულის ერთგვაროვანი მრუდი მოძრაობის დროსუდრის:

სხეულის მოძრაობა მრუდი ბილიკის გასწვრივ შეიძლება იყოს დაახლოებით წარმოდგენილი, როგორც მოძრაობა გარკვეული წრეების რკალების გასწვრივ (ნახ. 1.21).

ბრინჯი. 1.21. სხეულის მოძრაობა მრუდი მოძრაობის დროს.

მრუდი მოძრაობა

მრუდი მოძრაობები– მოძრაობები, რომელთა ტრაექტორია არ არის სწორი, არამედ მრუდი ხაზები. პლანეტები და მდინარის წყლები მოძრაობენ მრუდი ტრაექტორიების გასწვრივ.

მრუდი მოძრაობა ყოველთვის არის მოძრაობა აჩქარებით, მაშინაც კი, თუ სიჩქარის აბსოლუტური მნიშვნელობა მუდმივია. მრუდი მოძრაობა მუდმივი აჩქარებით ყოველთვის ხდება იმ სიბრტყეში, რომელშიც განლაგებულია წერტილის აჩქარების ვექტორები და საწყისი სიჩქარე. სიბრტყეში მუდმივი აჩქარებით მრუდი მოძრაობის შემთხვევაში xOyპროგნოზები ვ xდა ვ წმისი სიჩქარე ღერძზე ოქსიდა ოიდა კოორდინატები xდა წქულები ნებისმიერ დროს ტგანისაზღვრება ფორმულებით

მრუდი მოძრაობის განსაკუთრებული შემთხვევაა წრიული მოძრაობა. წრიული მოძრაობა, თუნდაც ერთგვაროვანი, ყოველთვის არის აჩქარებული მოძრაობა: სიჩქარის მოდული ყოველთვის მიმართულია ტრაექტორიაზე ტანგენციალურად, მუდმივად იცვლის მიმართულებას, ამიტომ წრიული მოძრაობა ყოველთვის ხდება ცენტრიდანული აჩქარებით, სადაც რ- წრის რადიუსი.

წრეში მოძრაობისას აჩქარების ვექტორი მიმართულია წრის ცენტრისაკენ და სიჩქარის ვექტორის პერპენდიკულარულად.

მრუდი მოძრაობისას აჩქარება შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც ნორმალური და ტანგენციალური კომპონენტების ჯამი:

ნორმალური (ცენტრული) აჩქარება მიმართულია ტრაექტორიის გამრუდების ცენტრისკენ და ახასიათებს სიჩქარის ცვლილებას მიმართულებით:

v –მყისიერი სიჩქარის მნიშვნელობა, რ– მოცემულ წერტილში ტრაექტორიის გამრუდების რადიუსი.

ტანგენციალური (ტანგენციალური) აჩქარება მიმართულია ტრაექტორიაზე ტანგენციალურად და ახასიათებს სიჩქარის მოდულის ცვლილებას.

ჯამური აჩქარება, რომლითაც მოძრაობს მატერიალური წერტილი, უდრის:

ცენტრიდანული აჩქარების გარდა, ერთგვაროვანი წრიული მოძრაობის ყველაზე მნიშვნელოვანი მახასიათებელია რევოლუციის პერიოდი და სიხშირე.

მიმოქცევის პერიოდი- ეს არის დრო, რომლის დროსაც სხეული ასრულებს ერთ რევოლუციას .

პერიოდი მითითებულია წერილში თგ) და განისაზღვრება ფორმულით:

სად ტ- მიმოქცევის დრო, ნ- ამ დროის განმავლობაში დასრულებული რევოლუციების რაოდენობა.

სიხშირე- ეს არის სიდიდე, რომელიც რიცხობრივად უდრის დროის ერთეულზე დასრულებული ბრუნების რაოდენობას.

სიხშირე აღინიშნება ბერძნული ასოთი (nu) და გვხვდება ფორმულის გამოყენებით:

სიხშირე იზომება 1/წმ-ში.

პერიოდი და სიხშირე ურთიერთშებრუნებული სიდიდეებია:

თუ სხეული წრეში სიჩქარით მოძრაობს v,აკეთებს ერთ შემობრუნებას, შემდეგ ამ სხეულის მიერ გავლილი მანძილის პოვნა შესაძლებელია სიჩქარის გამრავლებით ვერთი რევოლუციის დროისთვის:

l = vT.მეორეს მხრივ, ეს ბილიკი უდრის წრის წრეწირს 2π რ. ამიტომაც

vT = 2π r,

სად ვ(s -1) - კუთხური სიჩქარე.

მუდმივი ბრუნვის სიხშირეზე, ცენტრიდანული აჩქარება პირდაპირპროპორციულია მოძრავი ნაწილაკიდან ბრუნვის ცენტრამდე მანძილისა.

კუთხური სიჩქარე (ვ) – მნიშვნელობა, რომელიც ტოლია რადიუსის ბრუნვის კუთხის თანაფარდობასთან, რომელზედაც მდებარეობს მბრუნავი წერტილი დროის იმ პერიოდთან, რომლის დროსაც მოხდა ეს ბრუნი:

.

წრფივი და კუთხური სიჩქარის კავშირი:

სხეულის მოძრაობა შეიძლება ჩაითვალოს ცნობად მხოლოდ მაშინ, როდესაც ცნობილია, თუ როგორ მოძრაობს თითოეული წერტილი. მყარი სხეულების უმარტივესი მოძრაობა არის ტრანსლაცია. პროგრესულიმოძრაობას უწოდებენ მყარი, რომელშიც ამ სხეულში დახატული ნებისმიერი სწორი ხაზი თავის პარალელურად მოძრაობს.

მრუდი მოძრაობის დროს იცვლება სიჩქარის ვექტორის მიმართულება. ამავდროულად, შეიძლება შეიცვალოს მისი მოდული, ანუ სიგრძე. ამ შემთხვევაში აჩქარების ვექტორი იშლება ორ კომპონენტად: ტრაექტორიის ტანგენტი და ტრაექტორიის პერპენდიკულარული (ნახ. 10). კომპონენტი ე.წ ტანგენციალური(ტანგენციალური) აჩქარება, კომპონენტი - ნორმალური(ცენტრული) აჩქარება.

აჩქარება მრუდი მოძრაობის დროს

ტანგენციალური აჩქარება ახასიათებს ცვლილების სიჩქარეს ხაზოვანი სიჩქარედა ნორმალური აჩქარება ახასიათებს მოძრაობის მიმართულების ცვლილების სიჩქარეს.

ჯამური აჩქარება ტოლია ტანგენციალის ვექტორული ჯამისა და ნორმალური აჩქარება:

(15)

მთლიანი აჩქარების მოდული უდრის:

.

განვიხილოთ წერტილის ერთგვაროვანი მოძრაობა წრის გასწვრივ. ამავე დროს და . დროის განხილულ მომენტში t წერტილი არის პოზიცია 1-ში (ნახ. 11). დროის Δt შემდეგ, წერტილი იქნება მე-2 პოზიციაზე, რომელმაც გაიარა გზა Δs, ტოლი რკალი 1-2. ამ შემთხვევაში, v წერტილის სიჩქარე იზრდება Δv, რის შედეგადაც სიჩქარის ვექტორი, სიდიდით უცვლელი რჩება, ბრუნავს კუთხით Δφ ზომით ემთხვევა ცენტრალურ კუთხეს, რომელიც დაფუძნებულია სიგრძის რკალზე Δs:

(16)

სადაც R არის წრის რადიუსი, რომლის გასწვრივაც მოძრაობს წერტილი. ვიპოვოთ სიჩქარის ვექტორის ნამატი ამისთვის, გადავიტანოთ ვექტორი ისე რომ მისი დასაწყისი ემთხვევა ვექტორის დასაწყისს. მაშინ ვექტორი წარმოდგენილი იქნება ვექტორის ბოლოდან ვექტორის ბოლომდე დახატული სეგმენტით . ეს სეგმენტი ემსახურება როგორც საფუძველს ტოლფერდა სამკუთხედიმხარეებთან და და კუთხე Δφ მწვერვალზე. თუ კუთხე Δφ მცირეა (რაც მართალია მცირე Δt-სთვის), ამ სამკუთხედის გვერდებზე შეგვიძლია დაახლოებით დავწეროთ:

.

აქ (16)-დან Δφ-ს ჩანაცვლებით, ვიღებთ გამონათქვამს ვექტორის მოდულისათვის:

.

განტოლების ორივე მხარის Δt-ზე გაყოფით და ზღვრამდე გადასვლისას მივიღებთ ცენტრიდანული აჩქარების მნიშვნელობას:

აი რაოდენობები ვდა რმუდმივია, ამიტომ მათი აღება შესაძლებელია ლიმიტის ნიშანს მიღმა. თანაფარდობის ლიმიტი არის სიჩქარის მოდული მას ასევე უწოდებენ ხაზოვან სიჩქარეს.

გამრუდების რადიუსი

R წრის რადიუსი ეწოდება გამრუდების რადიუსიტრაექტორიები. R-ის ინვერსიას ეწოდება ტრაექტორიის გამრუდება:

.

სადაც R არის მოცემული წრის რადიუსი. თუ α არის ცენტრალური კუთხე, რომელიც შეესაბამება s წრის რკალს, მაშინ, როგორც ცნობილია, არსებობს კავშირი R, α და s შორის:

s = Rα. (18)

მრუდის რადიუსის კონცეფცია ეხება არა მხოლოდ წრეს, არამედ ნებისმიერ მრუდე ხაზს. გამრუდების რადიუსი (ან მისი შებრუნებული მნიშვნელობა - გამრუდება) ახასიათებს ხაზის გამრუდების ხარისხს. რაც უფრო მცირეა გამრუდების რადიუსი (შესაბამისად, რაც უფრო დიდია გამრუდება), მით უფრო ძლიერად არის მრუდი ხაზი. მოდით უფრო ახლოს მივხედოთ ამ კონცეფციას.

ბრტყელი ხაზის გამრუდების წრე A გარკვეულ წერტილში არის წრის შემზღუდველი პოზიცია, რომელიც გადის A წერტილს და ორ სხვა წერტილს B 1 და B 2, როდესაც ისინი უსასრულოდ უახლოვდებიან A წერტილს (ნახ. 12-ზე მრუდი დახატულია მყარი ხაზი და გამრუდების წრე წერტილოვანი ხაზით). მრუდის წრის რადიუსი იძლევა მოცემული მრუდის გამრუდების რადიუსს A წერტილში, ხოლო ამ წრის ცენტრი იძლევა მრუდის გამრუდების ცენტრს იმავე A წერტილისთვის.

B 1 და B 2 წერტილებზე დახაზეთ ტანგენტები B 1 D და B 2 E წრეზე, რომელიც გადის B 1, A და B 2 წერტილებზე. B 1 C და B 2 C ამ ტანგენტების ნორმალები წარმოადგენენ წრის R რადიუსს და გადაიკვეთება მის ცენტრში C. შემოვიღოთ კუთხე Δα ნორმალებს შორის B1 C და B 2 C; აშკარად ის კუთხის ტოლიტანგენტებს შორის B 1 D და B 2 E. მრუდის მონაკვეთი B 1 და B 2 წერტილებს შორის ავღნიშნოთ, როგორც Δs. შემდეგ ფორმულის მიხედვით (18):

.

ბრტყელი მოხრილი ხაზის გამრუდების წრე

სიბრტყე მრუდის განსაზღვრა სხვადასხვა წერტილში

ნახ. სურათი 13 გვიჩვენებს ბრტყელი ხაზის გამრუდების წრეებს სხვადასხვა წერტილში. A 1 წერტილში, სადაც მრუდი უფრო ბრტყელია, მრუდის რადიუსი უფრო დიდია ვიდრე A 2 წერტილში, შესაბამისად, ხაზის გამრუდება A 1 წერტილში ნაკლები იქნება ვიდრე A 2 წერტილში. A 3 წერტილში მრუდი უფრო ბრტყელია ვიდრე A 1 და A 2 წერტილებში, ამიტომ გამრუდების რადიუსი ამ წერტილში იქნება უფრო დიდი და მრუდი ნაკლები. გარდა ამისა, A 3 წერტილში გამრუდების წრე დევს მრუდის მეორე მხარეს. მაშასადამე, ამ მომენტში გამრუდების მნიშვნელობას ენიჭება ნიშანი საპირისპირო ნიშანიგამრუდება A 1 და A 2 წერტილებში: თუ A 1 და A 2 წერტილების გამრუდება დადებითად ითვლება, მაშინ A 3 წერტილში გამრუდება უარყოფითი იქნება.

სიჩქარისა და აჩქარების ცნებები ბუნებრივად განზოგადებულია მატერიალური წერტილის გადაადგილების შემთხვევაში მრუდი ტრაექტორია. მოძრავი წერტილის პოზიცია ტრაექტორიაზე მითითებულია რადიუსის ვექტორით რ ამ წერტილამდე მიყვანილი რაღაც ფიქსირებული წერტილიდან შესახებ, მაგალითად, კოორდინატების წარმოშობა (ნახ. 1.2). ნება მომენტში ტ მატერიალური წერტილიპოზიციაზეა მრადიუსის ვექტორით r = r (ტ). მოგვიანებით მოკლე დროდ ტ, ის გადავა პოზიციაზე M 1რადიუსით - ვექტორი რ 1 = რ (ტ+ დ ტ). რადიუსი - მატერიალური წერტილის ვექტორი მიიღებს ნამატს, რომელიც განისაზღვრება გეომეტრიული სხვაობით D რ = რ 1 - რ . საშუალო სიჩქარე დროთა განმავლობაშიდ ტრაოდენობას უწოდებენ

საშუალო სიჩქარის მიმართულება ვ ოთხ მატჩებივექტორის მიმართულებით D რ .

საშუალო სიჩქარის ლიმიტი D ტ® 0, ანუ რადიუსის წარმოებული - ვექტორი რ დროით

(1.9)

დაურეკა მართალიაან მყისიერიმატერიალური წერტილის სიჩქარე. ვექტორი ვ მიმართული ტანგენციურადმოძრავი წერტილის ტრაექტორიამდე.

აჩქარება ა სიჩქარის ვექტორის პირველი წარმოებულის ტოლი ვექტორი ეწოდება ვ ან რადიუსის მეორე წარმოებული - ვექტორი რ დროით:

(1.10)

(1.11)

მოდით აღვნიშნოთ შემდეგი ფორმალური ანალოგია სიჩქარესა და აჩქარებას შორის. თვითნებური ფიქსირებული წერტილიდან O 1 ჩვენ გამოვსახავთ სიჩქარის ვექტორს ვ მოძრავი წერტილი ყველა შესაძლო დროს (ნახ. 1.3).

ვექტორის დასასრული ვ დაურეკა სიჩქარის წერტილი. სიჩქარის წერტილების გეომეტრიული ადგილი არის მრუდი, რომელსაც ე.წ სიჩქარის ჰოდოგრაფი.როდესაც მატერიალური წერტილი აღწერს ტრაექტორიას, შესაბამისი სიჩქარის წერტილი მოძრაობს ჰოდოგრაფის გასწვრივ.

ბრინჯი. 1.2 განსხვავდება ნახ. 1.3 მხოლოდ ნოტაციით. რადიუსი – ვექტორი რ ჩანაცვლებულია სიჩქარის ვექტორით ვ , მატერიალური წერტილი - სიჩქარის წერტილამდე, ტრაექტორია - ჰოდოგრაფამდე. მათემატიკური მოქმედებები ვექტორზე რ სიჩქარის პოვნისას და ვექტორის ზემოთ ვ აღმოჩენისას, აჩქარებები სრულიად იდენტურია.

სიჩქარე ვ მიმართულია ტანგენციალური ტრაექტორიის გასწვრივ. ამიტომაც აჩქარებაა მიმართული იქნება ტანგენციურად სიჩქარის ჰოდოგრაფზე.შეიძლება ითქვას რომ აჩქარება არის სიჩქარის წერტილის მოძრაობის სიჩქარე ჰოდოგრაფის გასწვრივ. აქედან გამომდინარე,