ნომრები ნოკის საპოვნელად. როგორ მოვძებნოთ უმცირესი საერთო ჯერადი, nok ორი ან მეტი რიცხვისთვის

NOC-ის პოვნა

რათა იპოვონ საერთო მნიშვნელი სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების შეკრებისა და გამოკლებისას თქვენ უნდა იცოდეთ და შეძლოთ გამოთვლა უმცირესი საერთო ჯერადი (LCM).

a-ს ჯერადი არის რიცხვი, რომელიც თავისთავად იყოფა a-ზე ნაშთის გარეშე.
რიცხვები, რომლებიც 8-ის ჯერადი არიან (ანუ ეს რიცხვები იყოფა 8-ზე ნაშთების გარეშე): ეს არის რიცხვები 16, 24, 32...
9-ის ნამრავლები: 18, 27, 36, 45...

მოცემული a რიცხვის უსასრულოდ ბევრი ჯერადი არსებობს, ერთი და იგივე რიცხვის გამყოფებისგან განსხვავებით. არსებობს გამყოფების სასრული რაოდენობა.

ორი ნატურალური რიცხვის საერთო ჯერადი არის რიცხვი, რომელიც იყოფა ორივე ამ რიცხვზე.

• ორი ან მეტი ნატურალური რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადი (LCM) არის უმცირესი ნატურალური რიცხვი, რომელიც თავისთავად იყოფა თითოეულ ამ რიცხვზე.

როგორ მოვძებნოთ NOC
LCM შეიძლება მოიძებნოს და დაიწეროს ორი გზით.

LOC-ის პოვნის პირველი გზა
ეს მეთოდი ჩვეულებრივ გამოიყენება მცირე რაოდენობით.
1. ჩაწერეთ ჯერადები თითოეული რიცხვისთვის სტრიქონზე მანამ, სანამ არ იპოვით ჯერადს, რომელიც ერთნაირია ორივე რიცხვისთვის.
2. a-ს ნამრავლი აღინიშნება დიდი ასო „K“-ით.

K(a) = (...,...)
მაგალითი. იპოვეთ LOC 6 და 8.
K (6) = (12, 18, 24, 30, ...)

K(8) = (8, 16, 24, 32, ...)

LCM(6, 8) = 24

LOC-ის პოვნის მეორე გზა
ეს მეთოდი მოსახერხებელია სამი ან მეტი ნომრისთვის LCM-ის მოსაძებნად.
1. დაყავით მოცემული რიცხვები მარტივიმამრავლები თქვენ შეგიძლიათ წაიკითხოთ მეტი ძირითადი ფაქტორების ფაქტორინგის წესების შესახებ, თუ როგორ უნდა იპოვოთ უდიდესი საერთო გამყოფი (GCD).

2. ხაზზე ჩამოწერეთ გაფართოებაში შემავალი ფაქტორები ყველაზე დიდი რიცხვების, ხოლო მის ქვემოთ არის დარჩენილი რიცხვების დაშლა.

• რიცხვების დაშლისას იდენტური ფაქტორების რაოდენობა შეიძლება განსხვავებული იყოს.

60 = 2 . 2 . 3 . 5

24 = 2 . 2 . 2 . 3
3. ხაზგასმა დაშლაში ნაკლებირიცხვები (პატარა რიცხვები) ფაქტორები, რომლებიც არ შედიოდა დიდი რიცხვის გაფართოებაში (ჩვენს მაგალითში ეს არის 2) და დაამატეთ ეს ფაქტორები უფრო დიდი რიცხვის გაფართოებას.
LCM(24, 60) = 2. 2. 3. 5 . 2
4. პასუხის სახით ჩამოწერეთ მიღებული პროდუქტი.
პასუხი: LCM (24, 60) = 120

თქვენ ასევე შეგიძლიათ უმცირესი საერთო ჯერადი (LCM) პოვნა ფორმალურად შემდეგნაირად. მოდი ვიპოვოთ LOC (12, 16, 24).

24 = 2 . 2 . 2 . 3

16 = 2 . 2 . 2 . 2

12 = 2 . 2 . 3

როგორც რიცხვების დაშლიდან ვხედავთ, 12-ის ყველა ფაქტორი შედის 24-ის დაშლაში (რიცხვებიდან ყველაზე დიდი), ამიტომ LCM-ს 16 რიცხვის დაშლიდან მხოლოდ ერთ 2-ს ვუმატებთ.
LCM(12, 16, 24) = 2. 2. 2. 3. 2 = 48
პასუხი: LCM (12, 16, 24) = 48

NOC-ის პოვნის განსაკუთრებული შემთხვევები
1. თუ რომელიმე რიცხვი იყოფა მეორეზე, მაშინ ამ რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი უდრის ამ რიცხვს.
მაგალითად, LCM (60, 15) = 60
2. ვინაიდან შედარებით მარტივ რიცხვებს არ აქვთ საერთო მარტივი ფაქტორები, მათი უმცირესი საერთო ჯერადი უდრის ამ რიცხვების ნამრავლს.
მაგალითი.
LCM(8, 9) = 72

განვიხილოთ შემდეგი პრობლემის გადაჭრა. ბიჭის ნაბიჯი არის 75 სმ, გოგოს კი 60 სმ, აუცილებელია ვიპოვოთ უმცირესი მანძილი, რომელზედაც ორივე დგამს ნაბიჯების მთელ რაოდენობას.

გამოსავალი.მთელი გზა, რომელსაც ბიჭები გაივლიან, უნდა გაიყოს 60-ზე და 70-ზე, რადგან თითოეულმა მათგანმა უნდა გადადგას ნაბიჯების მთელი რაოდენობა. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, პასუხი უნდა იყოს 75-ის და 60-ის ჯერადი.

პირველ რიგში, ჩვენ ჩამოვწერთ რიცხვის 75-ის ყველა ჯერადს. მივიღებთ:

• 75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

ახლა ჩამოვწეროთ რიცხვები, რომლებიც იქნება 60-ის ჯერადი. მივიღებთ:

• 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

ახლა ჩვენ ვიპოვით ციფრებს, რომლებიც ორივე რიგშია.

• რიცხვების საერთო ჯერადი იქნება 300, 600 და ა.შ.

მათგან ყველაზე პატარაა რიცხვი 300. ამ შემთხვევაში მას 75-ისა და 60-ის რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი ეწოდება.

პრობლემის მდგომარეობას რომ დავუბრუნდეთ, უმცირესი მანძილი, რომლითაც ბიჭები ნაბიჯების მთელ რაოდენობას გადადგამენ იქნება 300 სმ, ბიჭი ამ გზას 4 ნაბიჯით გაივლის, გოგოს კი 5 ნაბიჯის გადადგმა დასჭირდება.

უმცირესი საერთო მრავლობითის განსაზღვრა

• ორი ნატურალური რიცხვის a და b-ის უმცირესი საერთო ჯერადი არის უმცირესი ნატურალური რიცხვი, რომელიც არის ორივე a და b-ის ჯერადი.

იმისათვის, რომ ვიპოვოთ ორი რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადი, არ არის საჭირო ამ რიცხვების ყველა ჯერადი ზედიზედ ჩაწერა.

შეგიძლიათ გამოიყენოთ შემდეგი მეთოდი.

როგორ მოვძებნოთ უმცირესი საერთო ჯერადი

პირველ რიგში, თქვენ უნდა დააკავშიროთ ეს რიცხვები პირველ ფაქტორებად.

• 60 = 2*2*3*5,
• 75=3*5*5.

ახლა ჩამოვწეროთ ყველა ის ფაქტორი, რომელიც არის პირველი რიცხვის გაფართოებაში (2,2,3,5) და დავუმატოთ ყველა გამოტოვებული ფაქტორი მეორე რიცხვის გაფართოებიდან (5).

შედეგად, ვიღებთ მარტივი რიცხვების სერიას: 2,2,3,5,5. ამ რიცხვების ნამრავლი იქნება ყველაზე ნაკლებად საერთო ფაქტორი ამ რიცხვებისთვის. 2*2*3*5*5 = 300.

უმცირესი საერთო ჯერადი პოვნის ზოგადი სქემა

• 1. რიცხვები დაყავით მარტივ ფაქტორებად.
• 2. ჩამოწერეთ ძირითადი ფაქტორები, რომლებიც ერთ-ერთი მათგანის ნაწილია.
• 3. ამ ფაქტორებს დაუმატეთ ყველა ის, რაც არის სხვათა გაფართოებაში, მაგრამ არა შერჩეულში.
• 4. იპოვე ყველა დაწერილი ფაქტორის ნამრავლი.

ეს მეთოდი უნივერსალურია. მისი გამოყენება შესაძლებელია ნებისმიერი რაოდენობის ნატურალური რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადის მოსაძებნად.

ორი რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადი პირდაპირ კავშირშია ამ რიცხვების უდიდეს საერთო გამყოფთან. ეს კავშირი GCD-სა და NOC-ს შორისგანისაზღვრება შემდეგი თეორემით.

თეორემა.

ორი დადებითი მთელი რიცხვის a და b-ის უმცირესი საერთო ჯერადი ტოლია a და b-ის ნამრავლის გაყოფილი a და b-ის უდიდეს საერთო გამყოფზე, ანუ: LCM(a, b)=a b:GCD(a, b).

მტკიცებულება.

დაე M არის a და b რიცხვების რამდენიმე ჯერადი. ანუ M იყოფა a-ზე და გაყოფის განმარტებით არის გარკვეული მთელი რიცხვი k ისეთი, რომ ტოლობა M=a·k მართალია. მაგრამ M ასევე იყოფა b-ზე, შემდეგ a·k იყოფა b-ზე.

gcd(a, b) ავღნიშნოთ როგორც d. მაშინ შეგვიძლია დავწეროთ ტოლობები a=a 1 ·d და b=b 1 ·d, და a 1 =a:d და b 1 =b:d იქნება შედარებით მარტივი რიცხვები. შესაბამისად, წინა აბზაცში მიღებული პირობა, რომ a · k იყოფა b-ზე, შეიძლება ჩამოყალიბდეს შემდეგნაირად: a 1 · d · k იყოფა b 1 · d-ზე და ეს, გაყოფის თვისებების გამო, უდრის პირობას. რომ a 1 · k იყოფა b 1-ზე.

თქვენ ასევე უნდა ჩამოწეროთ ორი მნიშვნელოვანი დასკვნა განხილული თეორემიდან.

ორი რიცხვის საერთო ჯერადები იგივეა, რაც მათი უმცირესი საერთო ჯერადი.

ეს მართლაც ასეა, რადგან a და b რიცხვების M-ის ნებისმიერი საერთო ჯერადი განისაზღვრება M=LMK(a, b)·t ტოლობით ზოგიერთი მთელი რიცხვისთვის t.

a და b დადებითი რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი მათი ნამრავლის ტოლია.

ამ ფაქტის დასაბუთება საკმაოდ აშკარაა. ვინაიდან a და b შედარებით მარტივია, მაშინ gcd(a, b)=1, შესაბამისად, GCD(a, b)=a b: GCD(a, b)=a b:1=a b.

სამი ან მეტი რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადი

სამი ან მეტი რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადის პოვნა შეიძლება შემცირდეს ორი რიცხვის LCM-ის თანმიმდევრულ პოვნამდე. როგორ კეთდება ეს ნაჩვენებია შემდეგ თეორემაში: a 1, a 2,…, a k ემთხვევა m k-1 და a k რიცხვების საერთო ჯერადებს, შესაბამისად, ემთხვევა m k რიცხვის საერთო ჯერადებს. და რადგან m k რიცხვის უმცირესი დადებითი ჯერადი არის თავად m k რიცხვი, მაშინ a 1, a 2, ..., a k რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი არის m k.

ბიბლიოგრაფია.

• ვილენკინი ნ.ია. და სხვა.მათემატიკა. მე-6 კლასი: სახელმძღვანელო ზოგადსაგანმანათლებლო დაწესებულებებისათვის.
• ვინოგრადოვი ი.მ. რიცხვების თეორიის საფუძვლები.
• მიხელოვიჩ შ.ჰ. რიცხვების თეორია.
• კულიკოვი ლ.ია. და სხვა.ალგებრასა და რიცხვთა თეორიის ამოცანების კრებული: სახელმძღვანელო ფიზიკა-მათემატიკის სტუდენტებისთვის. პედაგოგიური ინსტიტუტების სპეციალობები.

ჯერადი არის რიცხვი, რომელიც იყოფა მოცემულ რიცხვზე ნაშთის გარეშე. რიცხვთა ჯგუფის უმცირესი საერთო ჯერადი (LCM) არის უმცირესი რიცხვი, რომელიც იყოფა ჯგუფში თითოეულ რიცხვზე ნაშთის დატოვების გარეშე. უმცირესი საერთო ჯერადი რომ იპოვოთ, თქვენ უნდა იპოვოთ მოცემული რიცხვების მარტივი ფაქტორები. LCM ასევე შეიძლება გამოითვალოს მრავალი სხვა მეთოდის გამოყენებით, რომლებიც გამოიყენება ორი ან მეტი რიცხვის ჯგუფებზე.

ნაბიჯები

მრავალჯერადი სერია

შეხედე ამ ციფრებს.აქ აღწერილი მეთოდი საუკეთესოდ გამოიყენება, როდესაც მოცემულია ორი რიცხვი, რომელთაგან თითოეული 10-ზე ნაკლებია. თუ უფრო დიდი რიცხვებია მოცემული, გამოიყენეთ სხვა მეთოდი.

• მაგალითად, იპოვეთ 5-ისა და 8-ის უმცირესი საერთო ჯერადი. ეს არის მცირე რიცხვები, ამიტომ შეგიძლიათ გამოიყენოთ ეს მეთოდი.

1. ჯერადი არის რიცხვი, რომელიც იყოფა მოცემულ რიცხვზე ნაშთის გარეშე. გამრავლების ცხრილში შეგიძლიათ იხილოთ მრავალჯერადი.

   • მაგალითად, 5-ის ჯერადი რიცხვებია: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

2. ჩამოწერეთ რიცხვების სერია, რომელიც არის პირველი რიცხვის ჯერადი.გააკეთეთ ეს პირველი რიცხვის ჯერადების ქვეშ, რათა შევადაროთ რიცხვების ორი ნაკრები.

   • მაგალითად, რიცხვები, რომლებიც 8-ის ჯერადი არიან: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 და 64.

3. იპოვეთ უმცირესი რიცხვი, რომელიც არის მრავლობითის ორივე სიმრავლეში.შეიძლება დაგჭირდეთ მრავლობითი გრძელი სერიების დაწერა, რომ იპოვოთ მთლიანი რაოდენობა. უმცირესი რიცხვი, რომელიც გვხვდება მრავლობითთა ორივე სიმრავლეში, არის უმცირესი საერთო ჯერადი.

   • მაგალითად, ყველაზე პატარა რიცხვი, რომელიც ჩნდება 5-ისა და 8-ის ჯერადების სერიაში, არის რიცხვი 40. შესაბამისად, 40 არის 5-ისა და 8-ის უმცირესი საერთო ჯერადი.

   ძირითადი ფაქტორიზაცია

   1. შეხედე ამ ციფრებს.აქ აღწერილი მეთოდი საუკეთესოდ გამოიყენება, როდესაც მოცემულია ორი რიცხვი, რომელთაგან თითოეული 10-ზე მეტია. თუ მოცემულია უფრო მცირე რიცხვები, გამოიყენეთ სხვა მეთოდი.

      • მაგალითად, იპოვეთ 20 და 84 რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი. თითოეული რიცხვი 10-ზე მეტია, ამიტომ შეგიძლიათ გამოიყენოთ ეს მეთოდი.

   2. ძირითადი ფაქტორების გადატანა პირველი ნომერი.ანუ, თქვენ უნდა იპოვოთ ისეთი მარტივი რიცხვები, რომლებიც გამრავლებისას მიიღება მოცემული რიცხვი. როგორც კი იპოვით პირველ ფაქტორებს, ჩაწერეთ ისინი ტოლებად.

      მეორე რიცხვი გადაიტანეთ მარტივ ფაქტორებად.გააკეთეთ ეს ისევე, როგორც დაამატე პირველი რიცხვი, ანუ იპოვეთ ისეთი მარტივი რიცხვები, რომლებიც გამრავლებისას მიიღებენ მოცემულ რიცხვს.

      ჩაწერეთ ორივე რიცხვისთვის საერთო ფაქტორები.დაწერეთ ისეთი ფაქტორები, როგორიცაა გამრავლების ოპერაცია. როდესაც წერთ თითოეულ ფაქტორს, გადახაზეთ იგი ორივე გამონათქვამში (გამონათქვამები, რომლებიც აღწერს რიცხვების ფაქტორიზაციებს მარტივ ფაქტორებად).

      დაამატეთ დარჩენილი ფაქტორები გამრავლების ოპერაციას.ეს არის ფაქტორები, რომლებიც არ არის გადახაზული ორივე გამონათქვამში, ანუ ფაქტორები, რომლებიც არ არის საერთო ორივე რიცხვისთვის.

      გამოთვალეთ უმცირესი საერთო ჯერადი.ამისათვის გაამრავლეთ რიცხვები წერილობითი გამრავლების ოპერაციაში.

   საერთო ფაქტორების პოვნა

   დახაზეთ ბადე, როგორც ტიკ-ტაკ-ტოს თამაშისთვის.ასეთი ბადე შედგება ორი პარალელური ხაზისგან, რომლებიც კვეთენ (მართი კუთხით) კიდევ ორ პარალელურ წრფეს. ეს მოგცემთ სამ მწკრივს და სამ სვეტს (ბადე ძალიან ჰგავს # ხატულას). ჩაწერეთ პირველი რიცხვი პირველ სტრიქონში და მეორე სვეტში. ჩაწერეთ მეორე რიცხვი პირველ რიგში და მესამე სვეტში.

   • მაგალითად, იპოვეთ 18 და 30 რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი. პირველ რიგში და მეორე სვეტში ჩაწერეთ რიცხვი 18, პირველ რიგში და მესამე სვეტში ჩაწერეთ რიცხვი 30.

   1. იპოვეთ ორივე რიცხვისთვის საერთო გამყოფი.ჩაწერეთ ის პირველ რიგში და პირველ სვეტში. უმჯობესია მოძებნოთ ძირითადი ფაქტორები, მაგრამ ეს არ არის მოთხოვნა.

      • მაგალითად, 18 და 30 ლუწი რიცხვებია, ამიტომ მათი საერთო კოეფიციენტია 2. ასე რომ ჩაწერეთ 2 პირველ რიგში და პირველ სვეტში.

   2. თითოეული რიცხვი გაყავით პირველ გამყოფზე.თითოეული კოეფიციენტი ჩაწერეთ შესაბამისი რიცხვის ქვეშ. კოეფიციენტი არის ორი რიცხვის გაყოფის შედეგი.

      იპოვნეთ საერთო გამყოფი ორივე კოეფიციენტისთვის.თუ ასეთი გამყოფი არ არის, გამოტოვეთ შემდეგი ორი ნაბიჯი. წინააღმდეგ შემთხვევაში, ჩაწერეთ გამყოფი მეორე რიგში და პირველ სვეტში.

      • მაგალითად, 9 და 15 იყოფა 3-ზე, ამიტომ ჩაწერეთ 3 მეორე რიგში და პირველ სვეტში.

   3. თითოეული კოეფიციენტი გაყავით მის მეორე გამყოფზე.თითოეული გაყოფის შედეგი ჩაწერეთ შესაბამისი კოეფიციენტის ქვეშ.

      საჭიროების შემთხვევაში, დაამატეთ დამატებითი უჯრედები ქსელში.გაიმეორეთ აღწერილი ნაბიჯები მანამ, სანამ კოეფიციენტებს არ ექნებათ საერთო გამყოფი.

      შემოხაზეთ რიცხვები ბადის პირველ სვეტში და ბოლო მწკრივში.შემდეგ ჩაწერეთ არჩეული რიცხვები გამრავლების ოპერაციის სახით.

   ევკლიდეს ალგორითმი

   გახსოვდეთ გაყოფის ოპერაციასთან დაკავშირებული ტერმინოლოგია.დივიდენდი არის რიცხვი, რომელიც იყოფა. გამყოფი არის რიცხვი, რომელიც იყოფა. კოეფიციენტი არის ორი რიცხვის გაყოფის შედეგი. ნაშთი არის დარჩენილი რიცხვი, როდესაც ორი რიცხვი იყოფა.

   ჩაწერეთ გამონათქვამი, რომელიც აღწერს ნაშთით გაყოფის მოქმედებას.გამოხატვა: დივიდენდი = გამყოფი × კოეფიციენტი + ნაშთი (\displaystyle (\text(დივიდენდი))=(\text(გამყოფი))\ჯერ (\text(quotient))+(\text(დარჩენილი))). ეს გამოთქმა გამოყენებული იქნება ევკლიდეს ალგორითმის დასაწერად ორი რიცხვის უდიდესი საერთო გამყოფის მოსაძებნად.

   განვიხილოთ უფრო დიდი ორი რიცხვიდან დივიდენდად.განვიხილოთ ორი რიცხვიდან უფრო მცირე გამყოფად. ამ რიცხვებისთვის დაწერეთ გამონათქვამი, რომელიც აღწერს ნაშთით გაყოფის მოქმედებას.

   გადააქციეთ პირველი გამყოფი ახალ დივიდენდში.გამოიყენეთ დარჩენილი ნაწილი, როგორც ახალი გამყოფი. ამ რიცხვებისთვის დაწერეთ გამონათქვამი, რომელიც აღწერს ნაშთით გაყოფის მოქმედებას.

გავაგრძელოთ საუბარი უმცირეს საერთო ჯერადზე, რომელიც დავიწყეთ განყოფილებაში „LCM - ყველაზე ნაკლებად საერთო ჯერადი, განმარტება, მაგალითები“. ამ თემაში განვიხილავთ გზებს სამი ან მეტი რიცხვისთვის LCM-ის პოვნისთვის და განვიხილავთ კითხვას, თუ როგორ ვიპოვოთ უარყოფითი რიცხვის LCM.

უმცირესი საერთო მრავალჯერადი (LCM) გამოთვლა GCD-ის საშუალებით

ჩვენ უკვე დავადგინეთ კავშირი უმცირეს საერთო ჯერადსა და უდიდეს საერთო გამყოფს შორის. ახლა მოდით ვისწავლოთ როგორ განვსაზღვროთ LCM GCD-ის მეშვეობით. პირველი, მოდით გაერკვნენ, თუ როგორ უნდა გავაკეთოთ ეს დადებითი რიცხვებისთვის.

განმარტება 1

თქვენ შეგიძლიათ იპოვოთ უმცირესი საერთო ჯერადი უდიდესი საერთო გამყოფის მეშვეობით ფორმულის გამოყენებით LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b).

მაგალითი 1

თქვენ უნდა იპოვოთ 126 და 70 ნომრების LCM.

გამოსავალი

ავიღოთ a = 126, b = 70. მოდით ჩავანაცვლოთ მნიშვნელობები უმცირესი საერთო ჯერადი გამოთვლის ფორმულაში უდიდესი საერთო გამყოფის მეშვეობით LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .

პოულობს 70 და 126 რიცხვების gcd-ს. ამისათვის ჩვენ გვჭირდება ევკლიდეს ალგორითმი: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, შესაბამისად GCD (126 , 70) = 14 .

მოდით გამოვთვალოთ LCM: LCD (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

პასუხი: LCM(126, 70) = 630.

მაგალითი 2

იპოვეთ რიცხვები 68 და 34.

გამოსავალი

GCD ამ შემთხვევაში ძნელი არ არის, რადგან 68 იყოფა 34-ზე. მოდით გამოვთვალოთ უმცირესი საერთო ჯერადი ფორმულის გამოყენებით: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

პასუხი: LCM(68, 34) = 68.

ამ მაგალითში გამოვიყენეთ a და b დადებითი მთელი რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადის პოვნის წესი: თუ პირველი რიცხვი იყოფა მეორეზე, ამ რიცხვების LCM პირველი რიცხვის ტოლი იქნება.

LCM-ის პოვნა რიცხვების მარტივ ფაქტორებად გამრავლებით

ახლა მოდით შევხედოთ LCM-ის პოვნის მეთოდს, რომელიც დაფუძნებულია რიცხვების ფაქტორებად მარტივ ფაქტორებად.

განმარტება 2

უმცირესი საერთო ჯერადის საპოვნელად, ჩვენ გვჭირდება რამდენიმე მარტივი ნაბიჯის შესრულება:

• ჩვენ ვადგენთ ყველა მარტივი ფაქტორების ნამრავლს იმ რიცხვებისა, რომლებისთვისაც უნდა ვიპოვოთ LCM;
• ჩვენ გამოვრიცხავთ ყველა ძირითად ფაქტორს მათი შედეგად მიღებული პროდუქტებიდან;
• საერთო მარტივი ფაქტორების აღმოფხვრის შემდეგ მიღებული ნამრავლი იქნება მოცემული რიცხვების LCM-ის ტოლი.

უმცირესი საერთო ჯერადის პოვნის ეს მეთოდი ეფუძნება ტოლობას LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b). თუ დავაკვირდებით ფორმულას, ცხადი გახდება: a და b რიცხვების ნამრავლი ტოლია ყველა იმ ფაქტორის ნამრავლის, რომლებიც მონაწილეობენ ამ ორი რიცხვის დაშლაში. ამ შემთხვევაში, ორი რიცხვის gcd უდრის ყველა უბრალო ფაქტორების ნამრავლს, რომლებიც ერთდროულად გვხვდება ამ ორი რიცხვის ფაქტორიზაციებში.

მაგალითი 3

გვაქვს ორი რიცხვი 75 და 210. ჩვენ შეგვიძლია განვსაზღვროთ ისინი შემდეგნაირად: 75 = 3 5 5და 210 = 2 3 5 7. თუ შეადგენთ ორი ორიგინალური რიცხვის ყველა ფაქტორის ნამრავლს, მიიღებთ: 2 3 3 5 5 5 7.

თუ გამოვრიცხავთ 3 და 5 რიცხვებისთვის საერთო ფაქტორებს, მივიღებთ შემდეგი ფორმის ნამრავლს: 2 3 5 5 7 = 1050. ეს პროდუქტი იქნება ჩვენი LCM 75 და 210 ნომრებისთვის.

მაგალითი 4

იპოვეთ რიცხვების LCM 441 და 700 , ორივე რიცხვის ფაქტორებით მარტივ ფაქტორებად.

გამოსავალი

მოდი ვიპოვოთ პირობაში მოცემული რიცხვების ყველა მარტივი ფაქტორი:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

ჩვენ ვიღებთ რიცხვთა ორ ჯაჭვს: 441 = 3 3 7 7 და 700 = 2 2 5 5 7.

ყველა ფაქტორის ნამრავლს, რომელიც მონაწილეობდა ამ რიცხვების დაშლაში, ექნება ფორმა: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. მოდი ვიპოვოთ საერთო ფაქტორები. ეს არის ნომერი 7. გამოვრიცხოთ ის მთლიანი პროდუქტიდან: 2 2 3 3 5 5 7 7. გამოდის, რომ NOC (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

პასუხი: LOC(441, 700) = 44,100.

მოდით მივცეთ LCM-ის პოვნის მეთოდის კიდევ ერთი ფორმულირება რიცხვების მარტივ ფაქტორებად დაშლით.

განმარტება 3

ადრე ჩვენ გამოვრიცხავდით ორივე რიცხვისთვის საერთო ფაქტორების საერთო რაოდენობას. ახლა ჩვენ ამას სხვაგვარად გავაკეთებთ:

• მოდით გავამრავლოთ ორივე რიცხვი მარტივ ფაქტორებად:
• პირველი რიცხვის უბრალო ფაქტორების ნამრავლს დაამატეთ მეორე რიცხვის გამოტოვებული ფაქტორები;
• ვიღებთ პროდუქტს, რომელიც იქნება ორი რიცხვის სასურველი LCM.

მაგალითი 5

დავუბრუნდეთ ციფრებს 75 და 210, რისთვისაც უკვე ვეძებდით LCM-ს ერთ-ერთ წინა მაგალითში. მოდით დავყოთ ისინი მარტივ ფაქტორებად: 75 = 3 5 5და 210 = 2 3 5 7. 3, 5 და ფაქტორების ნამრავლზე 5 რიცხვები 75 დაამატეთ დაკარგული ფაქტორები 2 და 7 ნომრები 210. ჩვენ ვიღებთ: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 .ეს არის 75 და 210 ნომრების LCM.

მაგალითი 6

აუცილებელია გამოვთვალოთ 84 და 648 ნომრების LCM.

გამოსავალი

მოდით შევადაროთ რიცხვები მდგომარეობიდან მარტივ ფაქტორებად: 84 = 2 2 3 7და 648 = 2 2 2 3 3 3 3. პროდუქტს დავუმატოთ ფაქტორები 2, 2, 3 და 7 რიცხვები 84 აკლია ფაქტორები 2, 3, 3 და
3 ნომრები 648. ჩვენ ვიღებთ პროდუქტს 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536.ეს არის 84-ისა და 648-ის უმცირესი საერთო ჯერადი.

პასუხი: LCM(84, 648) = 4,536.

სამი ან მეტი რიცხვის LCM-ის პოვნა

მიუხედავად იმისა, თუ რამდენ რიცხვთან გვაქვს საქმე, ჩვენი მოქმედებების ალგორითმი ყოველთვის იგივე იქნება: თანმიმდევრულად ვიპოვით ორი რიცხვის LCM-ს. ამ შემთხვევისთვის არსებობს თეორემა.

თეორემა 1

დავუშვათ, რომ გვაქვს მთელი რიცხვები a 1, a 2,…, a k. NOC მ კეს რიცხვები გვხვდება m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3), ..., m k = LCM (m k − 1, a k) თანმიმდევრული გამოთვლით.

ახლა ვნახოთ, როგორ შეიძლება გამოიყენოს თეორემა კონკრეტული ამოცანების გადასაჭრელად.

მაგალითი 7

თქვენ უნდა გამოთვალოთ ოთხი რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადი 140, 9, 54 და 250 .

გამოსავალი

მოდით შემოვიტანოთ აღნიშვნა: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.

დავიწყოთ m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9) გამოთვლით. გამოვიყენოთ ევკლიდეს ალგორითმი 140 და 9 რიცხვების GCD-ის გამოსათვლელად: 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4. ვიღებთ: GCD (140, 9) = 1, GCD (140, 9) = 140 9: GCD (140, 9) = 140 9: 1 = 1,260. აქედან გამომდინარე, m 2 = 1,260.

ახლა მოდით გამოვთვალოთ იგივე ალგორითმის გამოყენებით m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54). გამოთვლების დროს ვიღებთ m 3 = 3 780.

ჩვენ უბრალოდ უნდა გამოვთვალოთ m 4 = LCM (m 3 , a 4) = LCM (3 780, 250). ჩვენ მივყვებით იმავე ალგორითმს. ვიღებთ m 4 = 94 500.

მაგალითის მდგომარეობიდან ოთხი რიცხვის LCM არის 94500.

პასუხი: NOC (140, 9, 54, 250) = 94,500.

როგორც ხედავთ, გამოთვლები მარტივია, მაგრამ საკმაოდ შრომატევადი. დროის დაზოგვის მიზნით, შეგიძლიათ სხვა გზით წახვიდეთ.

განმარტება 4

გთავაზობთ მოქმედებების შემდეგ ალგორითმს:

• ჩვენ ვშლით ყველა რიცხვს მარტივ ფაქტორებად;
• პირველი რიცხვის ფაქტორების ნამრავლს ვუმატებთ გამოტოვებულ ფაქტორებს მეორე რიცხვის ნამრავლიდან;
• წინა ეტაპზე მიღებულ პროდუქტს ვუმატებთ მესამე რიცხვის გამოტოვებულ ფაქტორებს და ა.შ.
• შედეგად მიღებული ნამრავლი იქნება მდგომარეობიდან ყველა რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადი.

მაგალითი 8

თქვენ უნდა იპოვოთ ხუთი რიცხვის LCM 84, 6, 48, 7, 143.

გამოსავალი

მოდით გავამრავლოთ ხუთივე რიცხვი მარტივ ფაქტორებად: 84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 3, 7, 143 = 11 13. მარტივი რიცხვები, რომელიც არის რიცხვი 7, არ შეიძლება გაერთიანდეს მარტივ ფაქტორებად. ასეთი რიცხვები ემთხვევა მათ დაშლას მარტივ ფაქტორებად.

ახლა ავიღოთ 84 რიცხვის 2, 2, 3 და 7 მარტივი ფაქტორების ნამრავლი და დავუმატოთ მეორე რიცხვის გამოტოვებული ფაქტორები. ჩვენ დავშალეთ რიცხვი 6 2-ად და 3-ად. ეს ფაქტორები უკვე პირველი რიცხვის ნამრავლშია. ამიტომ, ჩვენ გამოვტოვებთ მათ.

ჩვენ ვაგრძელებთ გამოტოვებული მამრავლების დამატებას. გადავიდეთ რიცხვ 48-ზე, რომლის უბრალო ფაქტორების ნამრავლიდან ვიღებთ 2 და 2-ს. შემდეგ მეოთხე რიცხვიდან ვამატებთ 7-ის მარტივ კოეფიციენტს და მეხუთე რიცხვის 11-ისა და 13-ის კოეფიციენტებს. ვიღებთ: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48,048. ეს არის თავდაპირველი ხუთი რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადი.

პასუხი: LCM(84, 6, 48, 7, 143) = 48,048.

უარყოფითი რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადის პოვნა

უარყოფითი რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადის საპოვნელად, ჯერ ეს რიცხვები უნდა შეიცვალოს საპირისპირო ნიშნის მქონე რიცხვებით, შემდეგ კი გამოთვლები განხორციელდეს ზემოაღნიშნული ალგორითმების გამოყენებით.

მაგალითი 9

LCM (54, − 34) = LCM (54, 34) და LCM (− 622, − 46, − 54, − 888) = LCM (622, 46, 54, 888).

ასეთი ქმედებები დასაშვებია იმის გამო, რომ თუ მივიღებთ იმას ადა − ა- საპირისპირო რიცხვები,
შემდეგ რიცხვის ჯერადთა სიმრავლე აემთხვევა რიცხვის ჯერადთა სიმრავლეს − ა.

მაგალითი 10

აუცილებელია უარყოფითი რიცხვების LCM-ის გამოთვლა − 145 და − 45 .

გამოსავალი

მოდით შევცვალოთ ნომრები − 145 და − 45 მათ საპირისპირო რიცხვებს 145 და 45 . ახლა, ალგორითმის გამოყენებით, ჩვენ ვიანგარიშებთ LCM (145, 45) = 145 · 45: GCD (145, 45) = 145 · 45: 5 = 1,305, მანამდე რომ დავადგინეთ GCD ევკლიდეს ალგორითმის გამოყენებით.

მივიღებთ, რომ რიცხვების LCM არის − 145 და − 45 უდრის 1 305 .

პასუხი: LCM (− 145, − 45) = 1,305.

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter