არქსინის გრაფიკი და თვისებები. შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციები, მათი გრაფიკები და ფორმულები

შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციები(წრიული ფუნქციები, რკალი ფუნქციები) - მათემატიკური ფუნქციები, რომლებიც შებრუნებულია ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებზე.

რკალი(აღნიშნულია როგორც arcsin x; arcsin x- ეს არის კუთხე ცოდვამისი ტოლები x).

რკალი (y = arcsin x) - შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქცია ცოდვა (x = ცოდვა y), რომელსაც აქვს დომენი და მნიშვნელობების ნაკრები . სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, აბრუნებს კუთხეს მისი მნიშვნელობით ცოდვა.

ფუნქცია y=sin xარის უწყვეტი და შემოსაზღვრული მთელი მისი რიცხვითი ხაზის გასწვრივ. ფუნქცია y=arcsin x- მკაცრად იზრდება.

არქსინის ფუნქციის თვისებები.

არქსინის ნაკვეთი.

არქსინის ფუნქციის მიღება.

არის ფუნქცია y = ცოდვა x. დეფინიციის მთელ სფეროში, ის ცალ-ცალკე მონოტონურია, შესაბამისად, შებრუნებული შესაბამისობა y = arcsin xარ არის ფუნქცია. ამიტომ, ჩვენ განვიხილავთ სეგმენტს, რომელზეც ის მხოლოდ იზრდება და იღებს მნიშვნელობების დიაპაზონის თითოეულ მნიშვნელობას - . იმიტომ რომ ფუნქციისთვის y = ცოდვა xინტერვალზე, ფუნქციის ყველა მნიშვნელობა მიიღება არგუმენტის მხოლოდ ერთი მნიშვნელობით, რაც ნიშნავს, რომ ამ ინტერვალზე არის შებრუნებული ფუნქცია. y = arcsin x, რომლის გრაფიკი სიმეტრიულია ფუნქციის გრაფიკის მიმართ y = ცოდვა xშედარებით სწორ სეგმენტზე y = x.

შებრუნებულ ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებთან დაკავშირებული პრობლემები ხშირად სთავაზობენ სკოლის დასკვნით გამოცდებს და ზოგიერთ უნივერსიტეტში მისაღებ გამოცდებს. ამ თემის დეტალური შესწავლა შესაძლებელია მხოლოდ არჩევით კლასებში ან არჩევით კურსებზე. შემოთავაზებული კურსი შექმნილია იმისათვის, რომ მაქსიმალურად განავითაროს თითოეული მოსწავლის შესაძლებლობები და გააუმჯობესოს მისი მათემატიკური მომზადება.

კურსი გრძელდება 10 საათი:

1.ფუნქციები arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x (4 საათი).

2.ოპერაციები შებრუნებულ ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებზე (4 საათი).

3. შებრუნებული ტრიგონომეტრიული მოქმედებები ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებზე (2 საათი).

გაკვეთილი 1 (2 საათი) თემა: ფუნქციები y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x, y = arcctg x.

მიზანი: ამ საკითხის სრული გაშუქება.

1.ფუნქცია y = arcsin x.

ა) სეგმენტზე y = sin x ფუნქციისთვის არის შებრუნებული (ერთმნიშვნელოვანი) ფუნქცია, რომელსაც შევთანხმდით, რომ დავარქვათ arcsine და აღვნიშნოთ შემდეგნაირად: y = arcsin x. შებრუნებული ფუნქციის გრაფიკი I - III კოორდინატთა კუთხეების ბისექტრის მიმართ სიმეტრიულია მთავარი ფუნქციის გრაფიკთან.

y = arcsin x ფუნქციის თვისებები.

1) განმარტების დომენი: სეგმენტი [-1; 1];

2) ცვლილების არე: სეგმენტი;

3)ფუნქცია y = arcsin x უცნაური: arcsin (-x) = - arcsin x;

4) ფუნქცია y = arcsin x მონოტონურად იზრდება;

5) გრაფიკი კვეთს Ox, Oy ცულებს საწყისზე.

მაგალითი 1. იპოვეთ a = arcsin. ეს მაგალითი შეიძლება დეტალურად ჩამოყალიბდეს შემდეგნაირად: იპოვეთ არგუმენტი a, რომელიც დევს დიაპაზონში დან მდე, რომლის სინუსი ტოლია.

გამოსავალი. არსებობს უამრავი არგუმენტი, რომელთა სინუსი ტოლია, მაგალითად: და ა.შ. მაგრამ ჩვენ მხოლოდ ის არგუმენტი გვაინტერესებს, რომელიც სეგმენტზეა. ეს იქნება არგუმენტი. Ისე, .

მაგალითი 2. იპოვე .გამოსავალი.კამათით ისევე, როგორც მაგალით 1-ში, მივიღებთ .

ბ) ზეპირი ვარჯიშები. იპოვეთ: arcsin 1, arcsin (-1), arcsin, arcsin(), arcsin, arcsin(), arcsin, arcsin(), arcsin 0. პასუხის ნიმუში: , იმიტომ . აზრი აქვს გამოთქმებს: ; რკალი 1.5; ?

გ) დაალაგეთ ზრდადი თანმიმდევრობით: რკალი, რკალი (-0,3), რკალი 0,9.

II. ფუნქციები y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x (მსგავსი).

გაკვეთილი 2 (2 საათი) თემა: შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციები, მათი გრაფიკები.

მიზანი: ამ გაკვეთილზე აუცილებელია ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობების განსაზღვრის უნარების გამომუშავება, შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების გრაფიკების აგება D (y), E (y) და აუცილებელი გარდაქმნების გამოყენებით.

ამ გაკვეთილზე დაასრულეთ სავარჯიშოები, რომლებიც მოიცავს განსაზღვრების დომენის პოვნას, ტიპის ფუნქციების მნიშვნელობის დომენს: y = arcsin, y = arccos (x-2), y = arctg (tg x), y = arccos.

თქვენ უნდა ააწყოთ ფუნქციების გრაფიკები: ა) y = arcsin 2x; ბ) y = 2 რკალი 2x; გ) y = arcsin;

დ) y = arcsin; ე) y = arcsin; ე) y = arcsin; ზ) y = | რკალი | .

მაგალითი.დავხატოთ ნაკვეთი y = arccos

საშინაო დავალებაში შეგიძლიათ ჩართოთ შემდეგი სავარჯიშოები: შექმენით ფუნქციების გრაფიკები: y = arccos, y = 2 arcctg x, y = arccos | x | .

შებრუნებული ფუნქციების გრაფიკები

მიზანი: მათემატიკური ცოდნის გაფართოება (ეს მნიშვნელოვანია მათთვის, ვინც შედის სპეციალობებში მათემატიკური ტრენინგის გაზრდილი მოთხოვნებით) შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ძირითადი მიმართებების შემოღებით.

მასალა გაკვეთილისთვის.

რამდენიმე მარტივი ტრიგონომეტრიული ოპერაცია შებრუნებულ ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებზე: sin (arcsin x) = x , i xi ? 1; cos (arсcos x) = x, i xi? 1; tg (arctg x)= x , x I R; ctg (arcctg x) = x , x I R.

Სავარჯიშოები.

ა) tg (1.5 + arctg 5) = - ctg (arctg 5) = .

ctg (arctg x) = ; tg (arcctg x) = .

ბ) cos ( + arcsin 0.6) = - cos (arcsin 0.6). მოდით arcsin 0.6 = a, sin a = 0.6;

cos (arcsin x) = ; ცოდვა (arccos x) = .

შენიშვნა: ჩვენ ვიღებთ „+“ ნიშანს ფესვის წინ, რადგან a = arcsin x აკმაყოფილებს .

გ) ცოდვა (1,5 + რკალი) პასუხი: ;

დ) ctg ( + arctg 3) პასუხი: ;

ე) tg ( – arcctg 4).პასუხი: .

ე) cos (0,5 + arccos). პასუხი:.

გამოთვალეთ:

ა) ცოდვა (2 არქტანი 5) .

მოდით არქტანი 5 = a, შემდეგ sin 2 a = ან ცოდვა (2 არქტანი 5) = ;

ბ) cos ( + 2 arcsin 0.8).პასუხი: 0.28.

გ) arctg + arctg.

მოდით a = arctg, b = arctg,

მაშინ tg(a + b) = .

დ) ცოდვა (arcsin + arcsin).

ე) დაამტკიცეთ, რომ ყველა x I [-1; 1] ჭეშმარიტი რკალი x + arccos x = .

მტკიცებულება:

arcsin x = – arccos x

sin (arcsin x) = ცოდვა ( – arccos x)

x = cos (arccos x)

თავად გადაჭრით: sin (arccos), cos (arcsin), cos (arcsin ()), sin (arctg (- 3)), tg (arccos), ctg (arccos).

სახლის ხსნარისთვის: 1) ცოდვა (arcsin 0.6 + arctan 0); 2) arcsin + arcsin ; 3) ctg ( – arccos 0.6); 4) cos (2 arcctg 5) ; 5) ცოდვა (1.5 – arcsin 0.8); 6) arctg 0.5 – arctg 3.

მიზანი: ამ გაკვეთილზე აჩვენეთ თანაფარდობების გამოყენება უფრო რთული გამონათქვამების გარდაქმნაში.

მასალა გაკვეთილისთვის.

ზეპირად:

ა) sin (arccos 0.6), cos (arcsin 0.8);

ბ) tg (arcсtg 5), ctg (arctg 5);

გ) sin (arctg -3), cos (arcсtg());

დ) tg (arccos), ctg (arccos()).

წერილობით:

1) cos (arcsin + arcsin + arcsin).

2) cos (arctg 5–arccos 0.8) = cos (arctg 5) cos (arccos 0.8) + sin (arctg 5) sin (arccos 0.8) =

3) tg ( - arcsin 0.6) = - tg (arcsin 0.6) =

4)

დამოუკიდებელი მუშაობა ხელს შეუწყობს მასალის ოსტატობის დონის იდენტიფიცირებას.

საშინაო დავალებისთვის შეგიძლიათ შემოგთავაზოთ:

1) ctg (arctg + arctg + arctg); 2) ცოდვა 2 (arctg 2 – arcctg ()); 3) sin (2 arctg + tan (arcsin )); 4) sin(2 arctg); 5) tg ((arcsin))

მიზანი: ჩამოაყალიბონ სტუდენტების გაგება ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებზე შებრუნებული ტრიგონომეტრიული მოქმედებების შესახებ, ფოკუსირება შესწავლილი თეორიის გაგების გაზრდაზე.

ამ თემის შესწავლისას ვარაუდობენ, რომ დასამახსოვრებელი თეორიული მასალის მოცულობა შეზღუდულია.

გაკვეთილის მასალა:

თქვენ შეგიძლიათ დაიწყოთ ახალი მასალის სწავლა y = arcsin (sin x) ფუნქციის შესწავლით და მისი გრაფიკის გამოსახვით.

3. ყოველი x I R ასოცირდება y I-სთან, ე.ი.<= y <= такое, что sin y = sin x.

4. ფუნქცია კენტია: sin(-x) = - sin x; arcsin(sin(-x)) = - arcsin(sin x).

6. გრაფიკი y = arcsin (sin x) on:

ა) 0<= x <= имеем y = arcsin(sin x) = x, ибо sin y = sin x и <= y <= .

ბ)<= x <= получим y = arcsin (sin x) = arcsin ( - x) = - x, ибо

sin y = sin ( – x) = sin x , 0<= - x <= .

Ისე,

y = arcsin (sin x)-ზე აგებულით, ჩვენ ვაგრძელებთ სიმეტრიულად წარმოშობის შესახებ [-; 0], ამ ფუნქციის უცნაურობის გათვალისწინებით. პერიოდულობის გამოყენებით, ჩვენ ვაგრძელებთ მთელი რიცხვითი ხაზის გასწვრივ.

შემდეგ დაწერეთ რამდენიმე ურთიერთობა: arcsin (sin a) = a if<= a <= ; arccos (cos ა ) = a თუ 0<= a <= ; arctg (tg a) = a თუ< a < ; arcctg (ctg a) = a , если 0 < a < .

და შეასრულეთ შემდეგი სავარჯიშოები:ა) arccos(sin 2).პასუხი: 2 - ; ბ) რკალი (cos 0.6) პასუხი: - 0.1; გ) arctg (tg 2) პასუხი: 2 - ;

დ) arcctg(tg 0.6).პასუხი: 0.9; ე) arccos (cos ( - 2)) პასუხი: 2 - ; ე) არქსინი (ცოდვა ( - 0,6)). პასუხი: - 0,6; ზ) arctg (tg 2) = arctg (tg (2 - )). პასუხი: 2 - ; თ) аrcctg (tg 0.6). პასუხი: - 0,6; - არქტანი x; ე) arccos + arccos

განმარტება და აღნიშვნა

Arcsine ზოგჯერ აღინიშნება შემდეგნაირად:
.

არქსინის ფუნქციის გრაფიკი

y = ფუნქციის გრაფიკი arcsin x

რკალის გრაფიკი მიიღება სინუსური გრაფიკიდან, თუ აბსცისა და ორდინატთა ღერძები შეცვლილია. გაურკვევლობის აღმოსაფხვრელად, მნიშვნელობების დიაპაზონი შემოიფარგლება იმ ინტერვალით, რომელზეც ფუნქცია მონოტონურია. ამ განმარტებას ეწოდება რკალის ძირითადი მნიშვნელობა.

არკოზინი, არკოზი

განმარტება და აღნიშვნა

არკოზინი ზოგჯერ აღინიშნება შემდეგნაირად:
.

რკალის კოსინუსის ფუნქციის გრაფიკი

y = ფუნქციის გრაფიკი arccos x

რკალის კოსინუს გრაფიკი მიიღება კოსინუსური გრაფიკიდან, თუ აბსცისა და ორდინატთა ღერძები შეცვლილია. გაურკვევლობის აღმოსაფხვრელად, მნიშვნელობების დიაპაზონი შემოიფარგლება იმ ინტერვალით, რომელზეც ფუნქცია მონოტონურია. ამ განმარტებას ეწოდება რკალის კოსინუსის ძირითადი მნიშვნელობა.

პარიტეტი

რკალის ფუნქცია უცნაურია:
arcsin(- x) = arcsin(-sin arcsin x) = arcsin(sin(-arcsin x)) = - arcsin x

რკალის კოსინუსის ფუნქცია არ არის ლუწი ან კენტი:
arccos(- x) = arccos(-cos arccos x) = arccos(cos(π-arccos x)) = π - arccos x ≠ ± arccos x

თვისებები - უკიდურესი, მატება, შემცირება

ფუნქციები arcsine და arccosine უწყვეტია მათი განმარტების სფეროში (იხ. უწყვეტობის მტკიცებულება). არქსინისა და არკოზინის ძირითადი თვისებები წარმოდგენილია ცხრილში.

არქსინებისა და არკოსინების ცხრილი

ეს ცხრილი ასახავს რკალებისა და არკოსინების მნიშვნელობებს, გრადუსებში და რადიანებში, არგუმენტის გარკვეული მნიშვნელობებისთვის.

≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386

ფორმულები

ჯამის და სხვაობის ფორმულები

ან

ზე და

ზე და

ან

ზე და

ზე და

ზე

ზე

ზე

ზე

გამონათქვამები ლოგარითმების, რთული რიცხვების მეშვეობით

გამოხატვები ჰიპერბოლური ფუნქციების საშუალებით

წარმოებულები

;
.
იხილეთ არქსინის და არკოზინის წარმოებულების წარმოშობა > > >

უმაღლესი რიგის წარმოებულები:
,
სადაც არის ხარისხის მრავალწევრი. იგი განისაზღვრება ფორმულებით:
;
;
.

იხილეთ არქსინისა და არკოზინის უმაღლესი რიგის წარმოებულების დერივაცია > > >

ინტეგრალები

ჩვენ ვაკეთებთ ჩანაცვლებას x = სინტი. ჩვენ ვაერთიანებთ ნაწილების მიხედვით, იმის გათვალისწინებით, რომ -π/ 2 ≤ t ≤ π/2, cos t ≥ 0:
.

გამოვხატოთ რკალის კოსინუსი რკალის სინუსში:
.

სერიის გაფართოება

როდის |x|< 1 ხდება შემდეგი დაშლა:
;
.

ინვერსიული ფუნქციები

არქსინის და არკოზინის ინვერსიებია სინუსი და კოსინუსი, შესაბამისად.

შემდეგი ფორმულები მოქმედებს განმარტების მთელ დომენში:
sin(arcsin x) = x
cos(arccos x) = x .

შემდეგი ფორმულები მოქმედებს მხოლოდ არქსინისა და არკოზინის მნიშვნელობების კომპლექტზე:
arcsin(sin x) = xზე
arccos(cos x) = xზე.

ცნობები:
ი.ნ. ბრონშტეინი, კ.ა. სემენდიაევი, მათემატიკის სახელმძღვანელო ინჟინრებისა და კოლეჯის სტუდენტებისთვის, „ლან“, 2009 წ.