შემთხვევითი ცვლადის განაწილების დახრილობა და ქურთოზი. ემპირიული განაწილების დახრილობისა და ქურტოზის გამოთვლა Excel-ში ნორმალური განაწილების კურტოზის კოეფიციენტი

ასიმეტრიის კოეფიციენტიგვიჩვენებს განაწილების სერიის „დახრილობას“ ცენტრთან მიმართებაში:

სად არის მესამე რიგის ცენტრალური მომენტი;

- სტანდარტული გადახრის კუბი.

ამ გაანგარიშების მეთოდისთვის: თუ , განაწილება არის მარჯვნივ (დადებითი ასიმეტრია), თუ , განაწილება არის მარცხენა მხარე (უარყოფითი ასიმეტრია)

ცენტრალური მომენტის გარდა, ასიმეტრია შეიძლება გამოითვალოს რეჟიმის ან მედიანის გამოყენებით:

ან , (6.69)

ამ გამოთვლის მეთოდისთვის: თუ , განაწილება არის მარჯვნივ (პოზიტიური ასიმეტრია), თუ , განაწილება არის მარცხნივ (უარყოფითი ასიმეტრია) (ნახ. 4).

ბრინჯი. 4. ასიმეტრიული განაწილებები

მნიშვნელობა, რომელიც გვიჩვენებს განაწილების "ციცაბოს" ეწოდება ქურტოზის კოეფიციენტი:

თუ , განაწილებაში არის მახვილი – ქურთოზი დადებითია, თუ , შეინიშნება განაწილებაში სიბრტყე – კურტოზი უარყოფითია (სურ. 5).

ბრინჯი. 5. განაწილების ექსცესები

მაგალითი 5.არსებობს მონაცემები რეგიონის ფერმებში ცხვრის რაოდენობის შესახებ (ცხრილი 9).

1. ცხვრის საშუალო რაოდენობა ფერმაში.

3. მედიანა.

4. ვარიაციის ინდიკატორები

· დისპერსია;

· სტანდარტული გადახრა;

· ცვალებადობის კოეფიციენტი.

5. ასიმეტრიისა და ქურტოზის ინდიკატორები.

გამოსავალი.

1. ვინაიდან აგრეგატში ოფციონების მნიშვნელობა რამდენჯერმე მეორდება, გარკვეული სიხშირით საშუალო მნიშვნელობის გამოსათვლელად ვიყენებთ შეწონილი არითმეტიკული საშუალო ფორმულას:

2. ეს სერია დისკრეტულია, ამიტომ რეჟიმი იქნება ყველაზე მაღალი სიხშირის ვარიანტი - .

3. ეს სერია ლუწია, ამ შემთხვევაში დისკრეტული სერიის მედიანა გვხვდება ფორმულის გამოყენებით:

ანუ საკვლევი პოპულაციის ფერმების ნახევარს 4,75 ათასამდე სული ცხვარი ჰყავს. ნახევარი კი ამ რიცხვზე მეტია.

4. ცვალებადობის ინდიკატორების გამოსათვლელად, ჩვენ შევადგენთ ცხრილს 10, რომელშიც გამოვთვლით გადახრებს, ამ გადახრების კვადრატებს, გამოთვლა შეიძლება განხორციელდეს როგორც მარტივი, ასევე შეწონილი გამოთვლის ფორმულების გამოყენებით (მაგალითში ვიყენებთ მარტივ ერთი):

ცხრილი 10

მოდით გამოვთვალოთ განსხვავება:

მოდით გამოვთვალოთ სტანდარტული გადახრა:

მოდით გამოვთვალოთ ვარიაციის კოეფიციენტი:

5. ასიმეტრიისა და ქურტოზის მაჩვენებლების გამოსათვლელად ავაშენებთ ცხრილს 11, რომელშიც გამოვთვლით , ,

ცხრილი 11

განაწილების უხერხულობა შემდეგია:

ანუ შეინიშნება მარცხენა მხარის ასიმეტრია, რადგან , რაც დასტურდება ფორმულის გამოყენებით გამოთვლისას:

ამ შემთხვევაში, რაც ამ ფორმულისთვის ასევე მიუთითებს მარცხენა ასიმეტრიაზე

განაწილების კურტოზი ტოლია:

ჩვენს შემთხვევაში კურტოზი უარყოფითია, ანუ შეინიშნება სიბრტყე.

მაგალითი 6. მონაცემები მუშაკთა ანაზღაურების შესახებ წარმოდგენილია შინამეურნეობისთვის (ცხრილი 12).

გამოსავალი.

ინტერვალის ვარიაციის სერიებისთვის, რეჟიმი გამოითვლება ფორმულის გამოყენებით:

სად მოდალური ინტერვალი – ინტერვალი ყველაზე მაღალი სიხშირით, ჩვენს შემთხვევაში 3600-3800, სიხშირით

მოდალური ინტერვალის მინიმალური ლიმიტი (3600);

მოდალური ინტერვალის მნიშვნელობა (200);

ინტერვალის სიხშირე მოდალური ინტერვალის წინ (25);

მოდალური ინტერვალის შემდგომი სიხშირე (29);

მოდალური ინტერვალის სიხშირე (68).

ცხრილი 12

ინტერვალის ვარიაციის სერიებისთვის, მედიანა გამოითვლება ფორმულის გამოყენებით:

სად მედიანური ინტერვალი ეს არის ინტერვალი, რომლის კუმულაციური (დაგროვილი) სიხშირე ტოლია ან მეტია სიხშირეების ჯამის ნახევარზე, ჩვენს მაგალითში ეს არის 3600-3800.

მედიანური ინტერვალის მინიმალური ზღვარი (3600);

მედიანური ინტერვალის მნიშვნელობა (200);

სერიის სიხშირეების ჯამი (154);

დაგროვილი სიხშირეების ჯამი, ყველა ინტერვალი, რომელიც წინ უძღვის მედიანას (57);

– მედიანური ინტერვალის სიხშირე (68).

მაგალითი 7.ერთი რაიონის სამი მეურნეობისთვის არის ინფორმაცია წარმოების კაპიტალის ინტენსივობის შესახებ (ძირითადი კაპიტალის ხარჯების ოდენობა წარმოებული პროდუქციის 1 რუბლზე): I – 1,29 რუბლი, II – 1,32 რუბლი, III – 1,27 რუბლი. აუცილებელია გამოვთვალოთ საშუალო კაპიტალის ინტენსივობა.

გამოსავალი. ვინაიდან კაპიტალის ინტენსივობა არის კაპიტალის ბრუნვის ინვერსიული მაჩვენებელი, ჩვენ ვიყენებთ ჰარმონიული საშუალო მარტივ ფორმულას.

მაგალითი 8.ერთი რაიონის სამი მეურნეობისთვის არის მონაცემები მარცვლეულის მთლიანი მოსავლისა და საშუალო მოსავლიანობის შესახებ (ცხრილი 13).

გამოსავალი. საშუალო მოსავლიანობის გამოთვლა არითმეტიკული საშუალების გამოყენებით შეუძლებელია, რადგან არ არსებობს ინფორმაცია ნათესი ფართობების რაოდენობის შესახებ, ამიტომ ვიყენებთ შეწონილი ჰარმონიული საშუალო ფორმულას:

მაგალითი 9.არსებობს მონაცემები ცალკეულ რაიონებში კარტოფილის საშუალო მოსავლიანობისა და ბორცვების რაოდენობის შესახებ (ცხრილი 14).

ცხრილი 14

მოდით დავაჯგუფოთ მონაცემები (ცხრილი 15):

ცხრილი 15

ტერიტორიების დაჯგუფება სარეველების რაოდენობის მიხედვით

1. გამოთვალეთ ნიმუშის მთლიანი დისპერსია (ცხრილი 16).

ვარიაციების სერიის გაანალიზებისას, გადაადგილება ცენტრიდან და განაწილების დახრილობა ხასიათდება სპეციალური მაჩვენებლებით. ემპირიული განაწილებები, როგორც წესი, გადატანილია განაწილების ცენტრიდან მარჯვნივ ან მარცხნივ და ასიმეტრიულია. ნორმალური განაწილება მკაცრად სიმეტრიულია საშუალო არითმეტიკის მიმართ, რაც განპირობებულია ფუნქციის პარიტეტით.

განაწილების დახრილობა წარმოიქმნება იმის გამო, რომ ზოგიერთი ფაქტორი უფრო ძლიერად მოქმედებს ერთი მიმართულებით, ვიდრე მეორეზე, ან ფენომენის განვითარების პროცესი ისეთია, რომ რომელიმე მიზეზი დომინირებს. გარდა ამისა, ზოგიერთი ფენომენის ბუნება ისეთია, რომ არსებობს ასიმეტრიული განაწილება.

ასიმეტრიის უმარტივესი საზომი არის განსხვავება არითმეტიკული საშუალო, რეჟიმი და მედიანას შორის:

განაწილების წანაცვლების (ასიმეტრიის) მიმართულებისა და სიდიდის დასადგენად გამოითვლება ასიმეტრიის კოეფიციენტი , რომელიც არის მესამე რიგის ნორმალიზებული მომენტი:

As= 3 / 3, სადაც  3 არის მესამე რიგის ცენტრალური მომენტი;  3 – სტანდარტული გადახრის კუბური. 3 = (m 3 – 3m 1 m 2 + 2m 1 3)k 3 .

მარცხენა მხარის ასიმეტრიისთვის ასიმეტრიის კოეფიციენტი (როგორც<0), при правосторонней (As>0) .

თუ განაწილების ზედა ნაწილი მარცხნივ არის გადატანილი და ტოტის მარჯვენა ნაწილი მარცხნივ უფრო გრძელი აღმოჩნდება, მაშინ ასეთი ასიმეტრია არის მარჯვენა მხარეს, წინააღმდეგ შემთხვევაში ცაცია .

სიმეტრიულ და ასიმეტრიულ სერიებში რეჟიმი, მედიანა და საშუალო არითმეტიკული კავშირი საშუალებას გვაძლევს გამოვიყენოთ უფრო მარტივი ინდიკატორი ასიმეტრიის საზომად. ასიმეტრიის კოეფიციენტი პირსონი :

K a = ( –მო)/. თუ K a >0, მაშინ ასიმეტრია მარჯვნივ არის, თუ K a<0, то асимметрия левосторонняя, при К a =0 ряд считается симметричным.

ასიმეტრია უფრო ზუსტად შეიძლება განისაზღვროს მესამე რიგის ცენტრალური მომენტის გამოყენებით:

, სადაც 3 = (m 3 – 3m 1 m 2 + 2m 1 3)k 3 .

თუ > 0, მაშინ ასიმეტრია შეიძლება ჩაითვალოს მნიშვნელოვანი თუ < 0,25 асимметрию можно считать не значительной.

სიმეტრიული განაწილების გადახრის ხარისხის დასახასიათებლად ორდინატის გასწვრივ ნორმალური განაწილებიდან, მწვერვალობის მაჩვენებელი, განაწილების ციცაბო, ე.წ. ჭარბი :

Ex = ( 4 / 4) – 3, სადაც:  4 – მეოთხე რიგის ცენტრალური მომენტი.

ნორმალური განაწილებისთვის Ex = 0, ე.ი.  4 / 4 = 3.  4 = (m 4 – 4m 3 m 1 + 6m 2 m 2 1 – 3 m 4 1)* k 4 .

მაღალ მწვერვალს აქვს დადებითი ქურტოზი, ხოლო დაბალ მწვერვალს აქვს უარყოფითი ქურტოზი (ნახ. D.2).

ქურტოზისა და დახრილობის ინდიკატორები აუცილებელია სტატისტიკურ ანალიზში, რათა დადგინდეს პოპულაციის ჰეტეროგენურობა, განაწილების ასიმეტრია და ემპირიული განაწილების სიახლოვე ნორმალურ კანონთან. ასიმეტრიისა და ქურტოზის მაჩვენებლების ნულიდან მნიშვნელოვანი გადახრებით, მოსახლეობა არ შეიძლება ჩაითვალოს ერთგვაროვანად და განაწილება ნორმასთან ახლოს. ფაქტობრივი მრუდების შედარება თეორიულთან საშუალებას იძლევა მათემატიკურად დაასაბუთოს მიღებული სტატისტიკური შედეგები, დაადგინოს სოციალურ-ეკონომიკური ფენომენების განაწილების ტიპი და ბუნება და იწინასწარმეტყველოს შესასწავლი მოვლენების დადგომის ალბათობა.

4.7. ემპირიული (ფაქტობრივი) განაწილების თეორიულ ნორმალურ განაწილებასთან სიახლოვის დასაბუთება. ნორმალური განაწილება (გაუს-ლაპლასის კანონი) და მისი მახასიათებლები. "სამი სიგმის წესი". სიკეთის კრიტერიუმები (პირსონის ან კოლგომოგოროვის კრიტერიუმის მაგალითის გამოყენებით).

თქვენ შეგიძლიათ შეამჩნიოთ გარკვეული კავშირი სხვადასხვა მახასიათებლის სიხშირეებისა და მნიშვნელობების ცვლილებაში. როდესაც ატრიბუტის მნიშვნელობა იზრდება, სიხშირეები ჯერ იზრდება და შემდეგ, გარკვეული მაქსიმალური მნიშვნელობის მიღწევის შემდეგ, მცირდება. სიხშირეების ასეთ რეგულარულ ცვლილებებს ვარიაციულ სერიაში ე.წ განაწილების ნიმუშები.

განაწილების ნიმუშის იდენტიფიცირებისთვის აუცილებელია, რომ ვარიაციების სერია შეიცავდეს საკმარისად დიდ რაოდენობას ერთეულებს და თავად სერიები წარმოადგენდეს ხარისხობრივად ერთგვაროვან პოპულაციებს.

განაწილების პოლიგონი, რომელიც აგებულია რეალურ მონაცემებზე დაყრდნობით არის ემპირიული (ფაქტობრივი) განაწილების მრუდიასახავს არა მხოლოდ ობიექტურ (ზოგად), არამედ სუბიექტურ (შემთხვევით) განაწილების პირობებს, რომლებიც არ არის დამახასიათებელი შესასწავლი ფენომენისთვის.

პრაქტიკულ მუშაობაში განაწილების კანონი გვხვდება ემპირიული განაწილების ერთ-ერთ თეორიულთან შედარებით და მათ შორის განსხვავებისა თუ შესაბამისობის ხარისხის შეფასებით. თეორიული განაწილების მრუდიასახავს თავის სუფთა სახით, შემთხვევითი ფაქტორების გავლენის გათვალისწინების გარეშე, სიხშირის განაწილების ზოგად შაბლონს (განაწილების სიმკვრივე) სხვადასხვა მახასიათებლების მნიშვნელობების მიხედვით.

სტატისტიკაში გავრცელებულია სხვადასხვა ტიპის თეორიული განაწილება: ნორმალური, ბინომალური, პუასონი და ა.შ. თითოეულ თეორიულ განაწილებას აქვს თავისი სპეციფიკა და ფარგლები.

ნორმალური განაწილების კანონი მრავალი შემთხვევითი ფაქტორის ურთიერთქმედების დროს მომხდარი თანაბრად სავარაუდო მოვლენების განაწილების მახასიათებელი. ნორმალური განაწილების კანონი უდევს საფუძვლად განაწილების პარამეტრების შეფასების სტატისტიკურ მეთოდებს, ნიმუშის დაკვირვების წარმომადგენლობას და მასობრივი ფენომენების ურთიერთკავშირის გაზომვას. იმის შესამოწმებლად, თუ რამდენად შეესაბამება ფაქტობრივი განაწილება ნორმალურს, აუცილებელია ფაქტობრივი განაწილების სიხშირეების შედარება ნორმალური განაწილების კანონისთვის დამახასიათებელ თეორიულ სიხშირეებთან. ეს სიხშირეები ნორმალიზებული გადახრების ფუნქციაა. ამიტომ, ემპირიული განაწილების სერიის მონაცემებზე დაყრდნობით, გამოითვლება ნორმალიზებული გადახრები t. შემდეგ განისაზღვრება შესაბამისი თეორიული სიხშირეები. ეს ასწორებს ემპირიულ განაწილებას.

Ნორმალური დისტრიბუციაან გაუს-ლაპლასის კანონი აღწერილია განტოლებით
, სადაც y t არის ნორმალური განაწილების მრუდის ორდინატი, ან ნორმალური განაწილების x მნიშვნელობის სიხშირე (ალბათობა); – ცალკეული x მნიშვნელობების მათემატიკური მოლოდინი (საშუალო მნიშვნელობა). თუ მნიშვნელობები (x - ) გავზომოთ (გამოხატავთ) სტანდარტული გადახრის , ე.ი. სტანდარტიზებულ (ნორმალიზებულ) გადახრებში t = (x – )/, მაშინ ფორმულა მიიღებს ფორმას:
. სოციალურ-ეკონომიკური ფენომენების ნორმალური განაწილება სუფთა სახით იშვიათია, თუმცა, თუ მოსახლეობის ერთგვაროვნება შენარჩუნებულია, ფაქტობრივი განაწილება ხშირად ნორმალურთან ახლოსაა. შესწავლილი სიდიდეების განაწილების ნიმუში ვლინდება ემპირიული განაწილების თეორიულ ნორმალურ განაწილების კანონთან შესაბამისობის შემოწმებით. ამისათვის ფაქტობრივი განაწილება შეესაბამება ნორმალურ მრუდს და გამოითვლება თანხმობის კრიტერიუმები .

ნორმალური განაწილება ხასიათდება ორი მნიშვნელოვანი პარამეტრით, რომლებიც განსაზღვრავს ინდივიდუალური მნიშვნელობების დაჯგუფების ცენტრს და მრუდის ფორმას: საშუალო არითმეტიკული და სტანდარტული გადახრა . ნორმალური განაწილების მრუდები განსხვავდება x-ღერძზე განაწილების ცენტრის პოზიციით და სკატერის ვარიანტი ამ ცენტრის ირგვლივ  (ნახ. 4.1 და 4.2). ნორმალური განაწილების მრუდის მახასიათებელია მისი სიმეტრია განაწილების ცენტრთან მიმართებაში - მისი შუაზე ორივე მხარეს წარმოიქმნება ორი ერთნაირად კლებადი ტოტი, რომლებიც ასიმპტომურად უახლოვდება აბსცისის ღერძს. ამიტომ, ნორმალურ განაწილებაში, საშუალო, რეჟიმი და მედიანა იგივეა: = მო = მე.

  x

ნორმალური განაწილების მრუდს აქვს ორი გადახრის წერტილი (გადასასვლელიდან ჩაღრმავებაზე) t = 1, ე.ი. როდესაც პარამეტრები გადახრის საშუალოდან (x – ), ტოლია სტანდარტული გადახრის . ფარგლებში  ნორმალური განაწილებით არის 68,3%, ფარგლებში 2 – 95,4%, ფარგლებში 3 – განაწილების სერიის დაკვირვებების ან სიხშირეების რაოდენობის 99,7%. პრაქტიკაში, თითქმის არ არის გადახრები 3ამიტომ, მოცემულ ურთიერთობას ეწოდება " სამი სიგმის წესი ».

თეორიული სიხშირეების გამოსათვლელად გამოიყენება ფორმულა:

.

მაგნიტუდა
არის t-ის ფუნქცია ან ნორმალური განაწილების სიმკვრივე, რომელიც განისაზღვრება სპეციალური ცხრილიდან, რომლის ამონაწერები მოცემულია ცხრილში. 4.2.

ნორმალური განაწილების სიმკვრივის მნიშვნელობები ცხრილი 4.2

გრაფიკი ნახ. 4.3 ნათლად აჩვენებს ემპირიული (2) და ნორმალური (1) განაწილების სიახლოვეს.

ბრინჯი. 4.3. საფოსტო სამსახურის ფილიალების განაწილება ნომრის მიხედვით

მუშები: 1 – ნორმალური; 2 - ემპირიული

ნორმალური განაწილების კანონთან ემპირიული განაწილების სიახლოვის მათემატიკურად დასასაბუთებლად, გამოთვალეთ თანხმობის კრიტერიუმები .

კოლმოგოროვის კრიტერიუმი -სიკეთის კრიტერიუმი, რომელიც საშუალებას აძლევს ადამიანს შეაფასოს ემპირიული განაწილების სიახლოვის ხარისხი ნორმასთან. კოლმოგოროვმა შესთავაზა გამოიყენოს მაქსიმალური განსხვავება ამ სერიის დაგროვილ სიხშირეებს ან სიხშირეებს შორის ემპირიულ და თეორიულ ნორმალურ განაწილებებს შორის შესაბამისობის დასადგენად. ჰიპოთეზის შესამოწმებლად, რომ ემპირიული განაწილება შეესაბამება ნორმალური განაწილების კანონს, გამოითვლება სიკეთის კრიტერიუმი = D/
, სადაც D არის მაქსიმალური სხვაობა კუმულატიურ (დაგროვილ) ემპირიულ და თეორიულ სიხშირეებს შორის, n არის ერთეულების რაოდენობა პოპულაციაში.სპეციალური ცხრილის გამოყენებით განისაზღვრება P() - -ის მიღწევის ალბათობა, რაც ნიშნავს, რომ თუ ვარიაციული მახასიათებელი ნაწილდება ნორმალური კანონის მიხედვით, მაშინ შემთხვევითი მიზეზების გამო მაქსიმალური შეუსაბამობა ემპირიულ და თეორიულ დაგროვილ სიხშირეებს შორის იქნება არანაკლებ რეალურად დაკვირვებულზე. P() მნიშვნელობიდან გამომდინარე, გამოტანილია გარკვეული დასკვნები: თუ P() ალბათობა საკმარისად დიდია, მაშინ დადასტურებულად შეიძლება ჩაითვალოს ჰიპოთეზა, რომ რეალური განაწილება შეესაბამება ნორმალურ კანონს; თუ ალბათობა P() მცირეა, მაშინ ნულოვანი ჰიპოთეზა უარყოფილია და ფაქტობრივ და თეორიულ განაწილებებს შორის შეუსაბამობები განიხილება მნიშვნელოვანი.

ალბათობის მნიშვნელობები მორგების კრიტერიუმისთვის  ცხრილი 4.3

პირსონის კრიტერიუმები 2 ("ჩი-კვადრატი") - სიკეთის კრიტერიუმი, რომელიც საშუალებას გაძლევთ შეაფასოთ ემპირიული განაწილების სიახლოვის ხარისხი ნორმასთან:
,სადაც f i, f" i არის ემპირიული და თეორიული განაწილების სიხშირეები გარკვეულ ინტერვალში. რაც უფრო დიდია განსხვავება დაკვირვებულ და თეორიულ სიხშირეებს შორის, მით მეტია კრიტერიუმი  2. ემპირიული და თეორიული განაწილებები  2 კრიტერიუმის მიხედვით შემთხვევითი ნიმუშების გამო განსხვავებებიდან, კრიტერიუმის გამოთვლილი მნიშვნელობა  2 calc შედარებულია ცხრილის  2 ცხრილთან თავისუფლების ხარისხის შესაბამისი რაოდენობისა და მოცემული მნიშვნელოვნების დონით. დონე არჩეულია ისე, რომ P( 2 calc > 2 tab) = . თავისუფლების გრადუსების რაოდენობა არის თ–ლ, სად თ– ჯგუფების რაოდენობა; ლ– პირობების რაოდენობა, რომელიც უნდა დაკმაყოფილდეს თეორიული სიხშირეების გაანგარიშებისას. ნორმალური განაწილების მრუდის თეორიული სიხშირეების გამოთვლა ფორმულის გამოყენებით
თქვენ უნდა იცოდეთ სამი პარამეტრი , , f, შესაბამისად თავისუფლების გრადუსების რაოდენობაა h–3. თუ  2 calc > 2 tab, ე.ი.  2 მოხვდება კრიტიკულ რეგიონში, მაშინ შეუსაბამობა ემპირიულ და თეორიულ სიხშირეებს შორის არის მნიშვნელოვანი და არ შეიძლება აიხსნას შერჩევის მონაცემების შემთხვევითი რყევებით. ამ შემთხვევაში, ნულოვანი ჰიპოთეზა უარყოფილია. თუ  2 გამოთვლა  2 ცხრილი, ე.ი. გამოთვლილი კრიტერიუმი არ აღემატება სიხშირეების მაქსიმალურ შესაძლო განსხვავებას, რომელიც შეიძლება წარმოიშვას შემთხვევითობის გამო, მაშინ ამ შემთხვევაში მიიღება ჰიპოთეზა განაწილების შესაბამისობის შესახებ. პირსონის კრიტერიუმი ეფექტურია დაკვირვებების მნიშვნელოვანი რაოდენობით (n50) და ყველა ინტერვალის სიხშირე უნდა იყოს მინიმუმ ხუთი ერთეული (მცირე რიცხვით, ინტერვალები გაერთიანებულია), ხოლო ინტერვალების (ჯგუფების) რაოდენობა უნდა იყოს. იყოს დიდი (h>5), ვინაიდან შეფასება  2 დამოკიდებულია თავისუფლების გრადუსების რაოდენობაზე.

რომანოვსკის კრიტერიუმი -სიკეთის კრიტერიუმი, რომელიც საშუალებას იძლევა შეაფასოს ემპირიული განაწილების სიახლოვის ხარისხი ნორმასთან. V.I. რომანოვსკიმ შესთავაზა ემპირიული განაწილების სიახლოვის შეფასება ნორმალურ განაწილების მრუდთან მიმართებაში:

, სადაც h არის ჯგუფების რაოდენობა.

თუ თანაფარდობა 3-ზე მეტია, მაშინ ემპირიული და ნორმალური განაწილების სიხშირეებს შორის შეუსაბამობა არ შეიძლება ჩაითვალოს შემთხვევითად და ნორმალური განაწილების კანონის ჰიპოთეზა უნდა იქნას უარყოფილი. თუ თანაფარდობა არის 3-ზე ნაკლები ან ტოლი, მაშინ შეგვიძლია მივიღოთ ჰიპოთეზა, რომ მონაცემთა განაწილება ნორმალურია.

შემთხვევითი ცვლადის განაწილების ფორმის შესახებ სავარაუდო იდეის მისაღებად, გამოსახულია მისი განაწილების სერიის გრაფიკი (პოლიგონი და ჰისტოგრამა), ფუნქცია ან განაწილების სიმკვრივე. სტატისტიკური კვლევის პრაქტიკაში ძალიან განსხვავებულ განაწილებას ვხვდებით. ერთგვაროვანი პოპულაციები ხასიათდება, როგორც წესი, ერთ წვეროზე განაწილებით. Multivertex მიუთითებს შესწავლილი პოპულაციის ჰეტეროგენულობაზე. ამ შემთხვევაში საჭიროა მონაცემთა გადაჯგუფება უფრო ერთგვაროვანი ჯგუფების გამოსავლენად.

შემთხვევითი ცვლადის განაწილების ზოგადი ხასიათის განსაზღვრა გულისხმობს მისი ჰომოგენურობის ხარისხის შეფასებას, ასევე ასიმეტრიისა და ქურტოზის მაჩვენებლების გამოთვლას. სიმეტრიულ განაწილებაში, რომელშიც მათემატიკური მოლოდინი უდრის მედიანას, ე.ი. , შეიძლება ჩაითვალოს, რომ ასიმეტრია არ არის. მაგრამ რაც უფრო შესამჩნევია ასიმეტრია, მით უფრო დიდია გადახრა განაწილების ცენტრის მახასიათებლებს შორის - მათემატიკური მოლოდინი და მედიანა.

შეიძლება ჩაითვალოს შემთხვევითი ცვლადის განაწილების ასიმეტრიის უმარტივესი კოეფიციენტი, სადაც არის მათემატიკური მოლოდინი, არის მედიანა და არის შემთხვევითი ცვლადის სტანდარტული გადახრა.

მარჯვენა მხარის ასიმეტრიის შემთხვევაში, მარცხენა მხარის ასიმეტრია. თუ , ასიმეტრია მიჩნეულია დაბალად, თუ - საშუალოდ და მაღალზე. მარჯვენა და მარცხენა მხარის ასიმეტრიის გეომეტრიული ილუსტრაცია ნაჩვენებია ქვემოთ მოცემულ ფიგურაში. იგი აჩვენებს უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადების შესაბამისი ტიპის განაწილების სიმკვრივის გრაფიკებს.

ნახატი. მარჯვენა და მარცხენა მხარის ასიმეტრიის ილუსტრაცია უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადების განაწილების სიმკვრივის ნახაზებში.

არსებობს შემთხვევითი ცვლადის განაწილების ასიმეტრიის კიდევ ერთი კოეფიციენტი. შეიძლება დადასტურდეს, რომ კენტი რიგის არანულოვანი ცენტრალური მომენტი მიუთითებს შემთხვევითი ცვლადის განაწილების ასიმეტრიაზე. წინა ინდიკატორში გამოვიყენეთ პირველი რიგის მომენტის მსგავსი გამოხატულება. მაგრამ ჩვეულებრივ ამ სხვა ასიმეტრიის კოეფიციენტში გამოიყენება მესამე რიგის ცენტრალური მომენტი და იმისათვის, რომ ეს კოეფიციენტი უგანზომილებიანი გახდეს, ის იყოფა სტანდარტული გადახრის კუბზე. შედეგად მიღებული ასიმეტრიის კოეფიციენტი არის: . ამ ასიმეტრიის კოეფიციენტისთვის, როგორც პირველისთვის მარჯვენა ცალმხრივი ასიმეტრიის შემთხვევაში, მარცხნივ - .

შემთხვევითი ცვლადის კურტოზი

შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კურტოზი ახასიათებს მისი მნიშვნელობების კონცენტრაციის ხარისხს განაწილების ცენტრთან ახლოს: რაც უფრო მაღალია კონცენტრაცია, მით უფრო მაღალი და ვიწრო იქნება მისი განაწილების სიმკვრივის გრაფიკი. ქურტოზის (სიმკვეთრის) მაჩვენებელი გამოითვლება ფორმულით: , სადაც არის მე-4 რიგის ცენტრალური მომენტი და არის მე-4 ხარისხზე ამაღლებული სტანდარტული გადახრა. ვინაიდან მრიცხველისა და მნიშვნელის ძალა ერთნაირია, ქურტოსი არის განზომილებიანი სიდიდე. ამ შემთხვევაში, მიღებულია როგორც ქურტოზის არარსებობის სტანდარტი, ნულოვანი ქურტოზის ნორმალური განაწილების აღება. მაგრამ შეიძლება დადასტურდეს, რომ ნორმალური განაწილებისთვის. მაშასადამე, კურტოზის გამოთვლის ფორმულაში რიცხვი 3 გამოკლებულია ამ წილადს.

ამრიგად, ნორმალური განაწილებისთვის ქურტოზი არის ნული: . თუ ქურთოზი ნულზე მეტია, ე.ი. , მაშინ განაწილება ნორმალურზე მეტი პიკია. თუ ქურთოზი ნულზე ნაკლებია, ე.ი. , მაშინ განაწილება ნორმაზე ნაკლები პიკია. უარყოფითი კურტოზის შემზღუდველი მნიშვნელობა არის მნიშვნელობა ; დადებითი კურტოზის სიდიდე შეიძლება იყოს უსასრულოდ დიდი. როგორ გამოიყურება შემთხვევითი ცვლადების პიკი და ბრტყელი განაწილების სიმკვრივის გრაფიკები ნორმალურ განაწილებასთან შედარებით, ნაჩვენებია ნახატზე.

ნახატი. შემთხვევითი ცვლადების პიკი და ბრტყელზედა სიმკვრივის განაწილების ილუსტრაცია ნორმალურ განაწილებასთან შედარებით.

შემთხვევითი ცვლადის განაწილების ასიმეტრია და ქურტოზი გვიჩვენებს, თუ რამდენად გადახრის იგი ნორმალურ კანონს. დიდი ასიმეტრიისა და ქურტოზის შემთხვევაში, ნორმალური განაწილების გაანგარიშების ფორმულები არ უნდა იქნას გამოყენებული. რა არის ასიმეტრიისა და ქურტოზის დასაშვებობის დონე კონკრეტული შემთხვევითი ცვლადის მონაცემების ანალიზისას ნორმალური განაწილების ფორმულების გამოყენებისას მკვლევარმა უნდა განსაზღვროს თავისი ცოდნისა და გამოცდილების საფუძველზე.

განმარტება. მოდადისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის M 0 ეწოდება მის ყველაზე სავარაუდო მნიშვნელობას. უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადისთვის, რეჟიმი არის შემთხვევითი ცვლადის მნიშვნელობა, რომლის დროსაც განაწილების სიმკვრივეს აქვს მაქსიმალური.

თუ დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის განაწილების მრავალკუთხედს ან უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის განაწილების მრუდს აქვს ორი ან მეტი მაქსიმუმი, მაშინ ასეთი განაწილება ე.წ. ბიმოდალურიან მულტიმოდალური.

თუ განაწილებას აქვს მინიმალური, მაგრამ არა მაქსიმუმი, მაშინ მას უწოდებენ ანტიმოდალური.

განმარტება. მედიანური X შემთხვევითი ცვლადის M D არის მისი მნიშვნელობა, რომლის მიმართაც თანაბრად სავარაუდოა, რომ მიიღება შემთხვევითი ცვლადის უფრო დიდი ან მცირე მნიშვნელობა.

გეომეტრიულად, მედიანა არის წერტილის აბსცისა, რომელზედაც განაწილების მრუდით შეზღუდული ფართობი იყოფა ნახევრად.

გაითვალისწინეთ, რომ თუ განაწილება უნიმოდალურია, მაშინ რეჟიმი და მედიანა ემთხვევა მათემატიკურ მოლოდინს.

განმარტება. საწყისი მომენტიშეკვეთა კ შემთხვევითი ცვლადი X არის X მნიშვნელობის მათემატიკური მოლოდინი კ .

დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადისთვის: .

.

პირველი რიგის საწყისი მომენტი მათემატიკური მოლოდინის ტოლია.

განმარტება. ცენტრალური მომენტიშეკვეთა კშემთხვევითი ცვლადი X არის მნიშვნელობის მათემატიკური მოლოდინი

დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადისთვის: .

უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადისთვის: .

პირველი რიგის ცენტრალური მომენტი ყოველთვის ნულია, ხოლო მეორე რიგის ცენტრალური მომენტი უდრის დისპერსიას. მესამე რიგის ცენტრალური მომენტი ახასიათებს განაწილების ასიმეტრიას.

განმარტება. მესამე რიგის ცენტრალური მომენტის თანაფარდობა სტანდარტულ გადახრასთან მესამე სიმძლავრის მიმართ ეწოდება ასიმეტრიის კოეფიციენტი.

განმარტება. განაწილების მწვერვალობისა და სიბრტყის დასახასიათებლად, რაოდენობა ე.წ ჭარბი.

განხილული რაოდენობების გარდა, ასევე გამოიყენება ე.წ. აბსოლუტური მომენტები:

აბსოლუტური საწყისი მომენტი: .

აბსოლუტური ცენტრალური წერტილი: .

კვანტილი , რომელიც შეესაბამება ალბათობის მოცემულ დონეს რ, არის მნიშვნელობა, რომლის დროსაც განაწილების ფუნქცია იღებს მნიშვნელობას ტოლი რ, ე.ი. სად რ- ალბათობის განსაზღვრული დონე.

Სხვა სიტყვებით კვანტილი არის შემთხვევითი ცვლადის მნიშვნელობა, რომელშიც

ალბათობა რპროცენტულად მითითებული, ანიჭებს სახელს შესაბამის კვანტილს, მაგალითად, მას უწოდებენ 40% კვანტილს.

20. დამოუკიდებელ ექსპერიმენტებში მოვლენის დადგომის რაოდენობის მათემატიკური მოლოდინი და დისპერსია.

განმარტება. მათემატიკური მოლოდინიუწყვეტი შემთხვევითი ცვლადი X, რომლის შესაძლო მნიშვნელობები მიეკუთვნება სეგმენტს, ეწოდება განსაზღვრული ინტეგრალი.

თუ შემთხვევითი ცვლადის შესაძლო მნიშვნელობები განიხილება მთელ ციფრულ ღერძზე, მაშინ მათემატიკური მოლოდინი გვხვდება ფორმულით:

ამ შემთხვევაში, რა თქმა უნდა, ვარაუდობენ, რომ არასწორი ინტეგრალი ერთმანეთს ემთხვევა.

მათემატიკური მოლოდინიდისკრეტული შემთხვევითი ცვლადი არის მისი შესაძლო მნიშვნელობებისა და მათი შესაბამისი ალბათობების ნამრავლების ჯამი:

მ(X) =X 1 რ 1 +X 2 რ 2 + … +X პ რ პ . (7.1)

თუ შემთხვევითი ცვლადის შესაძლო მნიშვნელობების რაოდენობა უსასრულოა, მაშინ
თუ მიღებული სერიები აბსოლიტურად იყრის თავს.

შენიშვნა 1.მათემატიკურ მოლოდინს ზოგჯერ უწოდებენ საშუალო შეწონილი, რადგან ის დაახლოებით უდრის შემთხვევითი ცვლადის დაკვირვებული მნიშვნელობების საშუალო არითმეტიკულ ექსპერიმენტებს დიდი რაოდენობით.

შენიშვნა 2.მათემატიკური მოლოდინის განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ მისი მნიშვნელობა არ არის შემთხვევითი ცვლადის უმცირესი შესაძლო სიდიდეზე ნაკლები და არაუმეტეს უდიდესი.

შენიშვნა 3.დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი არის არა შემთხვევითი(მუდმივი. მოგვიანებით დავინახავთ, რომ იგივე ეხება უწყვეტ შემთხვევით ცვლადებს.

მათემატიკური მოლოდინის თვისებები.

მუდმივის მათემატიკური მოლოდინი ტოლია თავად მუდმივის:

მ(თან) =თან.(7.2)

მტკიცებულება. თუ გავითვალისწინებთ თანროგორც დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადი, რომელიც იღებს მხოლოდ ერთ მნიშვნელობას თანალბათობით რ= 1, მაშინ მ(თან) =თან· 1 = თან.

მუდმივი ფაქტორი შეიძლება ამოღებულ იქნას მათემატიკური მოლოდინის ნიშნიდან:

მ(CX) =ᲡᲛ(X). (7.3)

მტკიცებულება. თუ შემთხვევითი ცვლადი Xმოცემულია განაწილების სერიების მიხედვით

შემდეგ განაწილების სერია ამისთვის CXაქვს ფორმა:

მერე მ(CX) =Cx 1 რ 1 +Cx 2 რ 2 + … +Cx პ რ პ =თან(X 1 რ 1 +X 2 რ 2 + … +X პ რ პ) =ᲡᲛ(X).

მათემატიკური მოლოდინიუწყვეტი შემთხვევითი ცვლადი ეწოდება

(7.13)

შენიშვნა 1.დისპერსიის ზოგადი განმარტება იგივე რჩება უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადისთვის, როგორც დისკრეტული (განმარტ. 7.5), ხოლო მისი გამოთვლის ფორმულას აქვს ფორმა:

(7.14)

სტანდარტული გადახრა გამოითვლება ფორმულით (7.12).

შენიშვნა 2.თუ უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის ყველა შესაძლო მნიშვნელობა არ ცდება ინტერვალის მიღმა [ ა, ბ], მაშინ ინტეგრალები ფორმულებში (7.13) და (7.14) გამოითვლება ამ საზღვრებში.

თეორემა. დამოუკიდებელ ცდაში მოვლენის წარმოშობის რაოდენობის ვარიაცია ტოლია ცდების რაოდენობისა და ერთ ცდაში მოვლენის დადგომისა და არ მომხდარის ალბათობის ნამრავლის: .

მტკიცებულება. მოდით იყოს მოვლენის შემთხვევების რაოდენობა დამოუკიდებელ ცდებში. იგი უდრის ყოველ ცდაში მოვლენის შემთხვევების ჯამს: . ვინაიდან ტესტები დამოუკიდებელია, შემთხვევითი ცვლადები - ამიტომ არიან დამოუკიდებლები.

როგორც ზემოთ ნაჩვენებია, , და.

მაშინ აჰ .

ამ შემთხვევაში, როგორც უკვე აღვნიშნეთ, სტანდარტული გადახრა არის.

პოპულაციის განაწილების გაანალიზებისას მნიშვნელოვანი ინტერესია მოცემული განაწილების სიმეტრიულიდან, ანუ სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მისი დახრილობიდან გადახრის შეფასება. დახრილობის ხარისხი (ასიმეტრია) მოსახლეობის განაწილების ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი თვისებაა. არსებობს მთელი რიგი სტატისტიკა, რომლებიც შექმნილია ასიმეტრიის გამოსათვლელად. ყველა მათგანი აკმაყოფილებს მინიმუმ ორ მოთხოვნას ნებისმიერი დახრილობის ინდიკატორისთვის: ის უნდა იყოს განზომილებიანი და ნულის ტოლი, თუ განაწილება სიმეტრიულია.

ნახ. 2 a, b გვიჩვენებს ორი ასიმეტრიული პოპულაციის განაწილების მრუდებს, რომელთაგან ერთი დახრილია მარცხნივ, მეორე კი მარჯვნივ. ხარისხობრივად ნაჩვენებია რეჟიმის შედარებითი პოზიცია, მედიანა და საშუალო. ჩანს, რომ დახრილობის ერთ-ერთი შესაძლო ინდიკატორი შეიძლება აშენდეს იმ მანძილის გათვალისწინებით, რომელზედაც საშუალო და რეჟიმი მდებარეობს ერთმანეთისგან. მაგრამ ემპირიული მონაცემებიდან რეჟიმის განსაზღვრის სირთულის გათვალისწინებით და, მეორე მხრივ, კარგად ცნობილი კავშირი (3) მოდს, მედიანასა და საშუალოს შორის, ასიმეტრიის ინდექსის გამოსათვლელად შემოგვთავაზეს შემდეგი ფორმულა:

ამ ფორმულიდან გამომდინარეობს, რომ მარცხნივ დახრილ დისტრიბუციას აქვს დადებითი დახრილობა, ხოლო მარჯვნივ მიდრეკილს აქვს უარყოფითი დახრილობა. ბუნებრივია, სიმეტრიული განაწილებისთვის, რომლებისთვისაც საშუალო და მედიანა ემთხვევა, ასიმეტრია არის ნული.

მოდით გამოვთვალოთ ასიმეტრიის ინდიკატორები ცხრილში მოცემული მონაცემებისთვის. 1 და 2. გულის ციკლის ხანგრძლივობის განაწილებისთვის გვაქვს:

ამრიგად, ეს განაწილება ოდნავ მარცხნივ არის გადახრილი. ასიმეტრიისთვის მიღებული მნიშვნელობა არის მიახლოებითი და არა ზუსტი, რადგან მის გამოსათვლელად გამოყენებული იქნა მნიშვნელობები და გამარტივებული გზით გამოთვლილი.

სისხლის შრატში სულფჰიდრილის ჯგუფების განაწილებისთვის გვაქვს:

ამდენად, ამ განაწილებას აქვს უარყოფითი დახრილობა, ე.ი. მარჯვნივ გადახრილი.

თეორიულად ნაჩვენებია, რომ ფორმულით 13-ით განსაზღვრული მნიშვნელობა 3-ის ფარგლებშია. მაგრამ პრაქტიკაში ეს მნიშვნელობა ძალიან იშვიათად აღწევს თავის ზღვრულ მნიშვნელობებს, ხოლო ზომიერად ასიმეტრიული ერთ წვეროზე მისი აბსოლუტური მნიშვნელობა ჩვეულებრივ ერთზე ნაკლებია.

ასიმეტრიის ინდიკატორი შეიძლება გამოყენებულ იქნას არა მხოლოდ მოსახლეობის განაწილების ფორმალური აღწერისთვის, არამედ მიღებული მონაცემების მნიშვნელოვანი ინტერპრეტაციისთვის.

სინამდვილეში, თუ მახასიათებელი, რომელსაც ჩვენ ვაკვირდებით, წარმოიქმნება ერთმანეთისგან დამოუკიდებელი მიზეზების დიდი რაოდენობის გავლენის ქვეშ, რომელთაგან თითოეული შედარებით მცირე წვლილი შეაქვს ამ მახასიათებლის მნიშვნელობაში, მაშინ, ზოგიერთი თეორიული წინაპირობის შესაბამისად, განხილული ალბათობის თეორიის განყოფილებაში, ჩვენ გვაქვს უფლება ველოდოთ, რომ ექსპერიმენტის შედეგად მიღებული პოპულაციის განაწილება სიმეტრიული იქნება. თუმცა, თუ ექსპერიმენტული მონაცემებისთვის მიიღება მნიშვნელოვანი ასიმეტრიის მნიშვნელობა (ასი მოდულის რიცხვითი მნიშვნელობა რამდენიმე მეათედშია), მაშინ შეიძლება ვივარაუდოთ, რომ ზემოთ მითითებული პირობები არ არის დაკმაყოფილებული.

ამ შემთხვევაში, აზრი აქვს ვივარაუდოთ ერთი ან ორი ფაქტორის არსებობა, რომელთა წვლილი ექსპერიმენტში დაკვირვებული მნიშვნელობის ფორმირებაში მნიშვნელოვნად აღემატება სხვებს, ან პოსტულაციას სპეციალური მექანიზმის არსებობა, რომელიც განსხვავდება დაკვირვებული მახასიათებლის მნიშვნელობაზე მრავალი მიზეზის დამოუკიდებელი გავლენის მექანიზმისაგან.

ასე რომ, მაგალითად, თუ ჩვენთვის საინტერესო რაოდენობის ცვლილებები, რომლებიც შეესაბამება გარკვეული ფაქტორის მოქმედებას, პროპორციულია თავად ამ მნიშვნელობისა და მიზეზის მოქმედების ინტენსივობისა, მაშინ მიღებული განაწილება ყოველთვის იქნება გადახრილი. მარცხენა, ე.ი. აქვს დადებითი დახრილობა. ბიოლოგები, მაგალითად, ასეთ მექანიზმს აწყდებიან მცენარეთა და ცხოველთა ზრდასთან დაკავშირებული რაოდენობების შეფასებისას.

დახრილობის შეფასების კიდევ ერთი გზა ემყარება მომენტების მეთოდს, რომელიც განხილული იქნება 44 თავში. ამ მეთოდის შესაბამისად, დახრილობა გამოითვლება მონაცემთა სერიის ყველა მნიშვნელობის გადახრების ჯამის გამოყენებით საშუალოსთან შედარებით. , ამაღლებული მესამე ძალამდე, ე.ი.

მესამე სიმძლავრე უზრუნველყოფს, რომ ამ გამოსახულების მრიცხველი სიმეტრიული განაწილებისთვის ნულის ტოლია, რადგან ამ შემთხვევაში გადახრების ჯამები საშუალოდან მესამე ხარისხამდე ტოლი იქნება და ექნება საპირისპირო ნიშნები. გაყოფა უზრუნველყოფს ასიმეტრიის საზომის განზომილებას.

ფორმულა (14) შეიძლება გარდაიქმნას შემდეგნაირად. წინა პუნქტში დაინერგა სტანდარტიზებული მნიშვნელობები:

ამრიგად, დახრილობის საზომი არის სტანდარტიზებული მონაცემების საშუალო კუბური.

იგივე მონაცემებისთვის, რომლისთვისაც ასიმეტრია გამოითვალა ფორმულით (13), ჩვენ ვპოულობთ ინდიკატორს ფორმულის გამოყენებით (15). Ჩვენ გვაქვს:

ბუნებრივია, ასიმეტრიის ინდიკატორები, რომლებიც გამოითვლება სხვადასხვა ფორმულების გამოყენებით, განსხვავდება ერთმანეთისგან სიდიდით, მაგრამ თანაბრად მიუთითებს დახრილობის ბუნებაზე. სტატისტიკური ანალიზისთვის აპლიკაციის პაკეტებში, ასიმეტრიის გაანგარიშებისას გამოიყენება ფორმულა (15), რადგან ის იძლევა უფრო ზუსტ მნიშვნელობებს. მარტივი კალკულატორების გამოყენებით წინასწარი გამოთვლებისთვის შეგიძლიათ გამოიყენოთ ფორმულა (13).

Ჭარბი.ამრიგად, ჩვენ გამოვიკვლიეთ ინდიკატორთა ოთხი ჯგუფიდან სამი, რომელთა დახმარებითაც აღწერილია მოსახლეობის განაწილება. მათგან უკანასკნელი არის მწვერვალების, ანუ ქურტოზის (ბერძნულიდან - კეხიანი) მაჩვენებლების ჯგუფი. ქურტოზის ერთ-ერთი შესაძლო ინდიკატორის გამოსათვლელად გამოიყენება შემდეგი ფორმულა:

იგივე მიდგომის გამოყენებით, რომელიც გამოყენებული იყო ასიმეტრიის ფორმულის (14) გარდაქმნისას, ადვილია იმის ჩვენება, რომ:

თეორიულად ნაჩვენებია, რომ კურტოზის მნიშვნელობა ნორმალური (გაუსის) განაწილების მრუდისთვის, რომელიც დიდ როლს თამაშობს სტატისტიკაში, ისევე როგორც ალბათობის თეორიაში, რიცხობრივად უდრის 3-ს. რიგი მოსაზრებებიდან გამომდინარე, სიმკვეთრე ეს მრუდი აღებულია როგორც სტანდარტი და, შესაბამისად, კურტოზის ინდიკატორად გამოიყენეთ მნიშვნელობა:

მოდი ვიპოვოთ პიკური მნიშვნელობა ცხრილში მოცემული მონაცემებისთვის. 1. ჩვენ გვაქვს:

ამრიგად, გულის ციკლების ხანგრძლივობის განაწილების მრუდი გაბრტყელებულია ნორმალურ მრუდთან შედარებით, რისთვისაც.

მაგიდაზე სურათი 3 გვიჩვენებს ზღვრული ყვავილების რაოდენობის განაწილებას ქრიზანთემის ერთ-ერთ სახეობაში. ამ განაწილებისთვის

კურტოზმა შეიძლება მიიღოს ძალიან დიდი მნიშვნელობები, როგორც ჩანს მოცემული მაგალითიდან, მაგრამ მისი ქვედა ზღვარი არ შეიძლება იყოს ერთზე ნაკლები. გამოდის, რომ თუ განაწილება ბიმოდალურია, მაშინ ქურტოზის მნიშვნელობა უახლოვდება მის ქვედა ზღვარს, ამიტომ მიდრეკილია -2-მდე. ამრიგად, თუ გამოთვლების შედეგად აღმოჩნდება, რომ მნიშვნელობა -1-1,4-ზე ნაკლებია, შეგვიძლია დავრწმუნდეთ, რომ ჩვენს ხელთ არსებული მოსახლეობის განაწილება სულ მცირე ბიმოდალურია. ეს განსაკუთრებით მნიშვნელოვანია გასათვალისწინებელი, როდესაც ექსპერიმენტული მონაცემები, წინასწარი დამუშავების ეტაპის გვერდის ავლით, ანალიზდება ციფრული კომპიუტერის გამოყენებით და მკვლევარს თვალწინ არ აქვს მოსახლეობის განაწილების პირდაპირი გრაფიკული წარმოდგენა.

ექსპერიმენტული მონაცემების განაწილების ორი პიკი მრუდი შეიძლება წარმოიშვას მრავალი მიზეზის გამო. კერძოდ, ასეთი განაწილება შეიძლება გამოჩნდეს ჰეტეროგენული მონაცემების ორი ნაკრების ერთ ნაკრებში გაერთიანებით. ამის საილუსტრაციოდ ჩვენ ხელოვნურად გავაერთიანეთ მონაცემები ორი ტიპის ნამარხი მოლუსკების ჭურვების სიგანის შესახებ ერთ ნაკრებში (ცხრილი 4, სურ. 3).

ფიგურაში ნათლად ჩანს ორი რეჟიმის არსებობა, ვინაიდან სხვადასხვა პოპულაციის მონაცემების ორი ნაკრები შერეულია. გაანგარიშება იძლევა კურტოზის მნიშვნელობას 1.74 და შესაბამისად = -1.26. ამრიგად, პიკის ინდექსის გამოთვლილი მნიშვნელობა მიუთითებს, ადრე მითითებული პოზიციის შესაბამისად, რომ განაწილებას აქვს ორი პიკი.

აქ არის ერთი გაფრთხილება. მართლაც, ყველა შემთხვევაში, როდესაც პოპულაციის განაწილებას აქვს ორი მაქსიმუმი, კურტოზის მნიშვნელობა ახლოს იქნება ერთიანობასთან. თუმცა, ეს ფაქტი ავტომატურად ვერ მიგვიყვანს დასკვნამდე, რომ გაანალიზებული მონაცემთა ნაკრები არის ორი ჰეტეროგენული ნიმუშის ნაზავი. პირველ რიგში, ასეთ ნარევს, მისი შემადგენელი აგრეგატების რაოდენობის მიხედვით, შეიძლება არ ჰქონდეს ორი მწვერვალი, ხოლო ქურტოზის ინდექსი მნიშვნელოვნად აღემატება ერთს. მეორეც, ერთგვაროვან ნიმუშს შეიძლება ჰქონდეს ორი რეჟიმი, თუ, მაგალითად, დარღვეულია ექსპერიმენტული მონაცემების შერჩევის მოთხოვნები. ამრიგად, ამ, ისევე როგორც სხვა შემთხვევებში, სხვადასხვა სტატისტიკის ფორმალური გაანგარიშების შემდეგ, უნდა ჩატარდეს საფუძვლიანი პროფესიული ანალიზი, რაც საშუალებას მისცემს მიღებულ მონაცემებს მიეცეს შინაარსიანი ინტერპრეტაცია.