2 იპოვეთ პარალელოგრამის ფართობი. როგორ მოვძებნოთ პარალელოგრამის ფართობი? პარალელოგრამის ფართობის პოვნის ფორმულები

დავალება 4.

4√6 სიგრძის პარალელოგრამის ერთ-ერთი დიაგონალი ფუძესთან ქმნის 60°-იან კუთხეს, ხოლო მეორე დიაგონალი იმავე ფუძით 45°-იან კუთხეს. იპოვეთ მეორე დიაგონალი.

გამოსავალი.

1. AO = 2√6.

2. სინუსების თეორემას ვიყენებთ AOD სამკუთხედზე.

AO/sin D = OD/sin A.

2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o.

OD = (2√6sin 60 о) / sin 45 о = (2√6 · √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6.

პასუხი: 12.

დავალება 5.

პარალელოგრამისთვის 5√2 და 7√2 გვერდებით, დიაგონალებს შორის პატარა კუთხე უდრის პარალელოგრამის პატარა კუთხს. იპოვეთ დიაგონალების სიგრძის ჯამი.

გამოსავალი.

ვთქვათ d 1, d 2 იყოს პარალელოგრამის დიაგონალები, ხოლო დიაგონალებსა და პარალელოგრამის პატარა კუთხეს შორის კუთხე უდრის φ.

1. დავთვალოთ ორი განსხვავებული
გზები მისი ფართობი.

S ABCD = AB AD sin A = 5√2 7√2 sin f,

S ABCD = 1/2 AC ВD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin f.

ვიღებთ ტოლობას 5√2 · 7√2 · sin f = 1/2d 1 d 2 sin f ან

2 · 5√2 · 7√2 = d 1 d 2 ;

2. პარალელოგრამის გვერდებსა და დიაგონალებს შორის დამოკიდებულების გამოყენებით ვწერთ ტოლობას

(AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2.

((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2.

d 1 2 + d 2 2 = 296.

3. შევქმნათ სისტემა:

(d 1 2 + d 2 2 = 296,
(d 1 + d 2 = 140.

სისტემის მეორე განტოლება გავამრავლოთ 2-ზე და დავუმატოთ პირველს.

ვიღებთ (d 1 + d 2) 2 = 576. აქედან გამომდინარე, Id 1 + d 2 I = 24.

ვინაიდან d 1, d 2 არის პარალელოგრამის დიაგონალების სიგრძე, მაშინ d 1 + d 2 = 24.

პასუხი: 24.

დავალება 6.

პარალელოგრამის გვერდებია 4 და 6. დიაგონალებს შორის მახვილი კუთხე 45 გრადუსია. იპოვეთ პარალელოგრამის ფართობი.

გამოსავალი.

1. AOB სამკუთხედიდან კოსინუსების თეორემის გამოყენებით ვწერთ მიმართებას პარალელოგრამის გვერდსა და დიაგონალებს შორის.

AB 2 = AO 2 + VO 2 2 · AO · VO · cos AOB.

4 2 = (d 1 /2) 2 + (d 2 /2) 2 – 2 · (d 1/2) · (d 2 /2)cos 45 o;

d 1 2 /4 + d 2 2 /4 – 2 · (d 1/2) · (d 2 /2)√2/2 = 16.

d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64.

2. ანალოგიურად ვწერთ AOD სამკუთხედის მიმართებას.

გავითვალისწინოთ რომ<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2.

ვიღებთ განტოლებას d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144.

3. ჩვენ გვაქვს სისტემა
(d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144.

პირველს გამოვაკლებთ მეორე განტოლებას, მივიღებთ 2d 1 · d 2 √2 = 80 ან

d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2

4. S ABCD = 1/2 AC ВD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin α = 1/2 20√2 √2/2 = 10.

Შენიშვნა:ამ და წინა პრობლემაში არ არის საჭირო სისტემის სრულად გადაჭრა, იმის მოლოდინი, რომ ამ პრობლემაში ჩვენ გვჭირდება დიაგონალების ნამრავლი ფართობის გამოსათვლელად.

პასუხი: 10.

დავალება 7.

პარალელოგრამის ფართობი არის 96, ხოლო გვერდები 8 და 15. იპოვეთ უფრო პატარა დიაგონალის კვადრატი.

გამოსავალი.

1. S ABCD = AB · AD · sin VAD. მოდით გავაკეთოთ ჩანაცვლება ფორმულაში.

ვიღებთ 96 = 8 · 15 · sin VAD. აქედან გამომდინარე sin VAD = 4/5.

2. ვიპოვოთ cos VAD. sin 2 VAD + cos 2 VAD = 1.

(4 / 5) 2 + cos 2 VAD = 1. cos 2 VAD = 9 / 25.

პრობლემის პირობების მიხედვით ვპოულობთ უფრო მცირე დიაგონალის სიგრძეს. დიაგონალი ВD უფრო მცირე იქნება, თუ კუთხე ВАD მკვეთრია. შემდეგ cos VAD = 3/5.

3. ABD სამკუთხედიდან კოსინუსების თეორემის გამოყენებით ვპოულობთ BD დიაგონალის კვადრატს.

ВД 2 = АВ 2 + АД 2 – 2 · АВ · ВД · cos ВАД.

ВD 2 = 8 2 + 15 2 – 2 8 15 3 / 5 = 145.

პასუხი: 145.

ჯერ კიდევ გაქვთ შეკითხვები? არ იცით როგორ გადაჭრათ გეომეტრიის პრობლემა?
დამრიგებლის დახმარების მისაღებად დარეგისტრირდით.
პირველი გაკვეთილი უფასოა!

ვებსაიტზე, მასალის სრულად ან ნაწილობრივ კოპირებისას საჭიროა წყაროს ბმული.

სანამ ვისწავლით როგორ ვიპოვოთ პარალელოგრამის ფართობი, უნდა გვახსოვდეს რა არის პარალელოგრამი და რას ჰქვია მისი სიმაღლე. პარალელოგრამი არის ოთხკუთხედი, რომლის მოპირდაპირე გვერდები წყვილად პარალელურია (იწოლა პარალელურ წრფეებზე). მოპირდაპირე მხარის თვითნებური წერტილიდან ამ გვერდის შემცველ წრფემდე გამოყვანილ პერპენდიკულარს პარალელოგრამის სიმაღლე ეწოდება.

კვადრატი, მართკუთხედი და რომბი პარალელოგრამის განსაკუთრებული შემთხვევებია.

პარალელოგრამის ფართობი აღინიშნება როგორც (S).

პარალელოგრამის ფართობის პოვნის ფორმულები

S=a*h, სადაც a არის ფუძე, h არის სიმაღლე, რომელიც დახატულია ფუძესთან.

S=a*b*sinα, სადაც a და b არის ფუძეები, ხოლო α არის კუთხე a და b ფუძეებს შორის.

S =p*r, სადაც p არის ნახევარპერიმეტრი, r არის წრის რადიუსი, რომელიც ჩაწერილია პარალელოგრამაში.

პარალელოგრამის ფართობი, რომელიც წარმოიქმნება a და b ვექტორებით, უდრის მოცემული ვექტორების ნამრავლის მოდულს, კერძოდ:

განვიხილოთ მაგალითი No1: მოცემულია პარალელოგრამი, რომლის გვერდი არის 7 სმ და სიმაღლე 3 სმ. როგორ ვიპოვოთ პარალელოგრამის ფართობი, გვჭირდება ამოხსნის ფორმულა.

ამრიგად S= 7x3. S=21. პასუხი: 21 სმ 2.

განვიხილოთ მაგალითი No2: მოცემული ფუძეები არის 6 და 7 სმ, ასევე მოცემულია 60 გრადუსიანი ფუძეებს შორის კუთხე. როგორ მოვძებნოთ პარალელოგრამის ფართობი? ფორმულა გამოიყენება გადასაჭრელად:

ამრიგად, ჯერ ვიპოვით კუთხის სინუსს. სინუსი 60 = 0,5, შესაბამისად S = 6*7*0,5=21 პასუხი: 21 სმ 2.

იმედი მაქვს, რომ ეს მაგალითები დაგეხმარებათ პრობლემების გადაჭრაში. და გახსოვდეთ, მთავარია ფორმულების ცოდნა და ყურადღება

რა არის პარალელოგრამი? პარალელოგრამი არის ოთხკუთხედი, რომლის მოპირდაპირე გვერდები პარალელურია წყვილებში.

1. პარალელოგრამის ფართობი გამოითვლება ფორმულით:

\[ \LARGE S = a \cdot h_(a)\]

სად:
a არის პარალელოგრამის გვერდი,
h a – ამ მხარეს დახატული სიმაღლე.

2. თუ ცნობილია პარალელოგრამის ორი მიმდებარე გვერდის სიგრძე და მათ შორის კუთხე, მაშინ პარალელოგრამის ფართობი გამოითვლება ფორმულით:

\[ \LARGE S = a \cdot b \cdot sin(\alpha) \]

3. თუ მოცემულია პარალელოგრამის დიაგონალები და ცნობილია მათ შორის კუთხე, მაშინ პარალელოგრამის ფართობი გამოითვლება ფორმულით:

\[ \LARGE S = \frac(1)(2) \cdot d_(1) \cdot d_(2) \cdot sin(\alpha) \]

პარალელოგრამის თვისებები

პარალელოგრამში მოპირდაპირე გვერდები ტოლია: \(AB = CD\), \(BC = AD\)

პარალელოგრამში საპირისპირო კუთხეები ტოლია: \(\კუთხე A = \კუთხე C\), \(\კუთხე B = \კუთხე D\)

პარალელოგრამის დიაგონალები გადაკვეთის წერტილში იყოფა ნახევრად \(AO = OC\) , \(BO = OD\)

პარალელოგრამის დიაგონალი მას ორ ტოლ სამკუთხედად ყოფს.

ერთი მხარის მიმდებარე პარალელოგრამის კუთხეების ჯამი არის 180 o:

\(\კუთხე A + \კუთხე B = 180^(o)\), \(\კუთხე B + \კუთხე C = 180^(o)\)

\(\კუთხე C + \კუთხე D = 180^(o)\), \(\კუთხე D + \კუთხე A = 180^(o)\)

პარალელოგრამის დიაგონალები და გვერდები დაკავშირებულია შემდეგი მიმართებით:

\(d_(1)^(2) + d_(2)^2 = 2a^(2) + 2b^(2) \)

პარალელოგრამში სიმაღლეებს შორის კუთხე უდრის მის მახვილ კუთხეს: \(\კუთხე K B H =\კუთხე A\) .

პარალელოგრამის ერთი მხარის მიმდებარე კუთხეების ბისექტრები ერთმანეთის პერპენდიკულურია.

პარალელოგრამის ორი მოპირდაპირე კუთხის ბისექტრები პარალელურია.

პარალელოგრამის ნიშნები

ოთხკუთხედი პარალელოგრამი იქნება, თუ:

\(AB = CD\) და \(AB || CD\)

\(AB = CD\) და \(BC = AD\)

\(AO = OC\) და \(BO = OD\)

\(\კუთხე A = \კუთხე C\) და \(\კუთხე B = \კუთხე D\)

პარალელოგრამის ფართობის ფორმულა

პარალელოგრამის ფართობი ტოლია მისი მხარისა და ამ მხარის სიმაღლის ნამრავლის.

მტკიცებულება

თუ პარალელოგრამი არის მართკუთხედი, მაშინ თანასწორობა აკმაყოფილებს თეორემას მართკუთხედის ფართობზე. შემდეგი, ჩვენ ვივარაუდებთ, რომ პარალელოგრამის კუთხეები სწორი არ არის.

მოდით $\კუთხე BAD$ იყოს მწვავე კუთხე $ABCD$ პარალელოგრამში და $AD > AB$. წინააღმდეგ შემთხვევაში, ჩვენ გადავარქმევთ წვეროებს. მაშინ სიმაღლე $BH$ $B$ წვეროდან $AD$ წრფემდე მოდის $AD$ მხარეს, ვინაიდან ფეხი $AH$ უფრო მოკლეა ვიდრე $AB$ ჰიპოტენუზა და $AB.< AD$. Основание $K$ высоты $CK$ из точки $C$ на прямую $AB$ лежит на продолжении отрезка $AD$ за точку $D$, так как угол $\angle BAD$ острый, а значит $\angle CDA$ тупой. Вследствие параллельности прямых $BA$ и $CD$ $\angle BAH = \angle CDK$. В параллелограмме противоположные стороны равны, следовательно, по стороне и двум углам, треугольники $\triangle ABH = \triangle DCK$ равны.

მოდით შევადაროთ $ABCD$ პარალელოგრამის ფართობი და $HBCK$ ოთხკუთხედის ფართობი. პარალელოგრამის ფართობი მეტია $\სამკუთხედის ABH$ ფართობის მიხედვით, მაგრამ ნაკლებია $\სამკუთხედის DCK$ ფართობის მიხედვით. ვინაიდან ეს სამკუთხედები ტოლია, მათი ფართობი ტოლია. ეს ნიშნავს, რომ პარალელოგრამის ფართობი უდრის მართკუთხედის ფართობს, გვერდების სიგრძეზე და პარალელოგრამის სიმაღლეზე.

პარალელოგრამის ფართობის ფორმულა გვერდებისა და სინუსის გამოყენებით

პარალელოგრამის ფართობი უდრის მიმდებარე გვერდების ნამრავლს და მათ შორის კუთხის სინუსს.

მტკიცებულება

$ABCD$ პარალელოგრამის სიმაღლე $AB$-ზე ჩამოშვებული $BC$ სეგმენტისა და $\კუთხის ABC$-ის კუთხის ნამრავლის ტოლია. რჩება წინა განცხადების გამოყენება.

პარალელოგრამის ფართობის ფორმულა დიაგონალების გამოყენებით

პარალელოგრამის ფართობი უდრის დიაგონალების ნამრავლის ნახევარს და მათ შორის კუთხის სინუსს.

მტკიცებულება

მოდით $ABCD$ პარალელოგრამის დიაგონალები გადაიკვეთოს $O$ წერტილში $\alpha$ კუთხით. შემდეგ $AO=OC$ და $BO=OD$ პარალელოგრამის თვისებით. კუთხების სინუსები, რომლებიც ემატება $180^\circ$-ს ტოლია, $\კუთხე AOB = \კუთხე COD = 180^\circ - \კუთხე BOC = 180^\circ - \კუთხე AOD$. ეს ნიშნავს, რომ დიაგონალების გადაკვეთაზე მდებარე კუთხეების სინუსები $\sin \alpha$-ის ტოლია.

$S_(ABCD)=S_(\სამკუთხედი AOB) + S_(\სამკუთხედი BOC) + S_(\სამკუთხედი COD) + S_(\სამკუთხედი AOD)$

ფართობის გაზომვის აქსიომის მიხედვით. ჩვენ ვიყენებთ სამკუთხედის ფართობის ფორმულას $S_(ABC) = \dfrac(1)(2) \cdot AB \cdot BC \sin \angle ABC$ ამ სამკუთხედებისთვის და კუთხეებისთვის, როდესაც დიაგონალები იკვეთება. თითოეულის გვერდები უდრის დიაგონალების ნახევარს და სინუსებიც ტოლია. ამიტომ ოთხივე სამკუთხედის ფართობი უდრის $S = \dfrac(1)(2) \cdot \dfrac(AC)(2) \cdot \dfrac(BD)(2) \cdot \sin \alpha = \ dfrac(AC \ cdot BD)(8) \sin \alpha$. ყოველივე ზემოთქმულის შეჯამებით, მივიღებთ

$S_(ABCD) = 4S = 4 \cdot \dfrac(AC \cdot BD)(8) \sin \alpha = \dfrac(AC \cdot BD \cdot \sin \alpha)(2)$