三角方程式の解。 三角方程式 三角方程式 sinx 1 2 を解きます。

ビデオ コース「Get an A」には、数学の試験に 60 ～ 65 点で合格するために必要なすべてのトピックが含まれています。 数学で使用するプロファイルのタスク 1 ～ 13 をすべて完了します。 数学のBasic USEに合格するのにも適しています。 90～100点で合格したいなら、パート1を30分でミスなく解く必要があります。

10 年生から 11 年生および教師向けの試験準備コース。 試験のパート 1 の数学 (最初の 12 問題) と問題 13 (三角法) を解くために必要なものがすべて揃っています。 そして、これは統一国家試験の70点以上であり、100点の学生も人文主義者も、これなしではやっていけません。

必要な理論がすべて揃っています。 試験の簡単な解決策、罠、秘密。 FIPI 銀行のタスクからのパート 1 のすべての関連タスクが分析されました。 このコースは USE-2018 の要件に完全に準拠しています。

このコースには 5 つの大きなトピックが含まれており、それぞれ 2.5 時間かかります。 各トピックは、シンプルかつ明確にゼロから提供されます。

何百もの試験課題。 文章問題と確率論。 シンプルで覚えやすい問題解決アルゴリズム。 幾何学模様。 あらゆる種類の USE タスクの理論、参考資料、分析。 ステレオメトリー。 解くための巧妙なトリック、便利なカンニングペーパー、空間的想像力の発達。 三角関数をゼロから - タスク 13 へ。詰め込むのではなく理解する。 複雑な概念を視覚的に説明します。 代数。 根、べき乗と対数、関数と導関数。 試験の第 2 部の複雑な問題を解くための基礎。

あなたのプライバシーは私たちにとって重要です。 このため、当社はお客様の情報の使用および保管方法を説明するプライバシー ポリシーを作成しました。 当社のプライバシーポリシーをお読みになり、ご質問がございましたらお知らせください。

個人情報の収集と利用

個人情報とは、特定の個人を識別したり連絡したりするために使用できるデータを指します。

当社にご連絡いただく際には、いつでも個人情報の提供を求められる場合があります。

以下は、当社が収集する個人情報の種類とそのような情報の使用方法の例です。

当社が収集する個人情報:

• お客様がサイト上でお申し込みを送信される場合、当社はお客様のお名前、電話番号、電子メールアドレスなどを含むさまざまな情報を収集する場合があります。

お客様の個人情報の使用方法:

• 当社が収集する個人情報により、当社はお客様に連絡し、独自のオファー、プロモーション、その他のイベントや今後のイベントについてお知らせすることができます。
• 当社は随時、重要な通知や連絡を送信するためにお客様の個人情報を使用する場合があります。
• また、当社は、当社が提供するサービスを改善し、お客様に当社のサービスに関する推奨事項を提供するために、監査、データ分析、さまざまな調査の実施などの内部目的で個人情報を使用する場合があります。
• あなたが賞品の抽選、コンテスト、または同様のインセンティブに応募した場合、当社はそのようなプログラムを管理するためにあなたが提供した情報を使用することがあります。

第三者への開示

当社はお客様から受け取った情報を第三者に開示することはありません。

例外:

• 法律、司法命令に従って、法的手続きに従って、および/または公的要請またはロシア連邦領域内の国家機関からの要請に基づいて、必要な場合には、お客様の個人情報を開示します。 また、セキュリティ、法執行、またはその他の公益目的のために開示が必要または適切であると当社が判断した場合、当社はお客様に関する情報を開示することがあります。
• 組織再編、合併、または売却の場合、当社は収集した個人情報を関連する第三者の後継者に譲渡することがあります。

個人情報の保護

当社は、お客様の個人情報を紛失、盗難、悪用、および不正アクセス、開示、改ざん、破壊から保護するために、管理的、技術的、物理的を含む予防措置を講じます。

会社レベルでのプライバシーの維持

お客様の個人情報の安全を確保するために、当社はプライバシーとセキュリティの実践について従業員に周知し、プライバシーの実践を厳格に実施します。

ある時、2人の応募者が次のような会話をしているのを目撃しました。

– 2πn を加算する必要があるのはいつですか、また - πn を加算する必要があるのはいつか? 思い出せない！

- そして私も同じ問題を抱えています。

「暗記する必要はない、理解する必要がある！」と言いたかったのです。

この記事は主に高校生を対象としており、最も単純な三角方程式を解くための「理解」に役立つことを願っています。

ナンバーサークル

数直線の概念とともに、数円の概念もあります。 みなさんご存じのとおり、 直交座標系において、点(0; 0)を中心とし半径1の円を単位円といいます。細い糸で数直線を想像し、この円の周りに巻き付けます。基準点 (点 0) を単位円の「右」点に取り付け、正の半軸を反時計回りに、負の半軸を (図1）。 このような単位円を数円と呼びます。

数値円のプロパティ

• すべての実数は数円上の一点にあります。
• 数円の各点には無限に多くの実数があります。 単位円の長さは 2π であるため、円上の 1 点における任意の 2 つの数値の差は、数値 ±2π のいずれかに等しくなります。 ±4π; ±6π; …

結論を言いましょう: 点 A の数値の 1 つがわかれば、点 A のすべての数値を見つけることができます。.

AC 直径を描いてみましょう (図 2)。 x_0 は点 A の数値の 1 つであるため、数値 x_0±π になります。 x_0±3π; x_0±5π; …そしてそれらだけが点 C の数値になります。これらの数値の 1 つ、たとえば x_0+π を選択し、それを使用して点 C のすべての数値を書き留めましょう: x_C=x_0+π+2πk ,k∈ Z. 点 A と C の数値は 1 つの式に組み合わせることができることに注意してください: x_(A ; C)=x_0+πk ,k∈Z (k = 0; ±2; ±4; ... の数値が得られます)点 A、k = ±1、±3、±5、… の場合は点 C の番号です)。

結論を言いましょう: 直径 AC の点 A または C のいずれかの数値がわかれば、これらの点上のすべての数値を見つけることができます。

• 2 つの反対の数字は、横軸に関して対称な円の点に位置します。

垂直弦ABを引いてみましょう（図2）。 点 A と B は Ox 軸に関して対称であるため、数値 -x_0 は点 B に位置し、したがって点 B のすべての数値は次の式で与えられます: x_B=-x_0+2πk ,k∈Z。 点 A と B の数値を 1 つの式、x_(A ; B)=±x_0+2πk ,k∈Z で書きます。 結論を言いましょう。垂直弦 AB の点 A または B のいずれかの数値がわかれば、これらの点のすべての数値を見つけることができます。 水平弦ADを考慮し、点Dの番号を求めます(図2)。 BD は直径で、数値 -x_0 は点 B に属するため、-x_0 + π は点 D の数値の 1 つであり、したがって、この点のすべての数値は式 x_D=-x_0+π+2πk で与えられます。 ,k∈Z。 点 A と D の数値は、x_(A ; D)=(-1)^k∙x_0+πk ,k∈Z という 1 つの式を使用して書くことができます。 (k= 0; ±2; ±4; ... の場合は点 A の数が得られ、k = ±1; ±3; ±5; ... の場合は点 D の数が得られます)。

結論を言いましょう: 水平弦 AD の点 A または D のいずれかの数値がわかれば、これらの点のすべての数値を見つけることができます。

ナンバーサークルの 16 の主要なポイント

実際には、最も単純な三角方程式の解のほとんどは、円の 16 個の点に関連付けられています (図 3)。 これらの点は何ですか? 赤、青、緑の点は、円を 12 等分します。 半円の長さがπであるため、円弧Ａ１Ａ２の長さはπ／２、円弧Ａ１Ｂ１の長さはπ／６、円弧Ａ１Ｃ１の長さはπ／３となる。

これで、ポイントに 1 つの数値を指定できるようになりました。

С1 の π/3 と

オレンジ色の正方形の頂点は各四分の一の円弧の中点であるため、円弧 A1D1 の長さは π/4 に等しく、よって π/4 は点 D1 の数値の 1 つです。 数字の円のプロパティを使用すると、数式を使用して円のマークされたすべての点にあるすべての数字を書き留めることができます。 図にはこれらの点の座標も示されています（取得の説明は省略します）。

上記を学んだので、特殊なケース (数値の 9 つの値) を解決するための十分な準備が整いました。 a)最も単純な方程式。

方程式を解く

1)sinx=1⁄(2).

– 私たちに求められるものは何でしょうか？

– サインが 1/2 である数値 x をすべて見つけます。.

サインの定義を思い出してください。 sinx - 数値 x が位置する数値円の点の縦座標。 円上には 2 つの点があり、その縦座標は 1/2 に等しい。 これらは水平弦 B1B2 の端です。 これは、「方程式 sinx=1⁄2 を解く」という要件が、「点 B1 のすべての数値と点 B2 のすべての数値を求める」という要件と同等であることを意味します。

2)sinx=-√3⁄2 .

点 C4 と C3 の数値をすべて見つける必要があります。

3) sinx=1。 円上には縦座標 1 の点 A2 が 1 つだけあるため、この点のすべての番号を見つけるだけで済みます。

答え: x=π/2+2πk 、 k∈Z 。

4)sinx=-1 .

点 A_4 のみが座標値 -1 を持ちます。 このポイントのすべての数字が方程式の馬になります。

答え: x=-π/2+2πk 、 k∈Z 。

5) sinx=0 .

円上には、縦座標が 0 の 2 つの点、つまり点 A1 と A3 があります。 各点の数値を個別に指定できますが、これらの点が正反対であることを考えると、それらを 1 つの式 x=πk ,k∈Z に結合することをお勧めします。

答え: x=πk ,k∈Z .

6)cosx=√2⁄2 .

コサインの定義を思い出してください。 cosx - 数値 x が位置する数値円の点の横座標。円上には、横座標 √2⁄2 を持つ 2 つの点、つまり水平弦 D1D4 の端があります。 これらの点のすべての数値を見つける必要があります。 それらを組み合わせて 1 つの式にまとめます。

答え: x=±π/4+2πk 、 k∈Z 。

7) cosx=-1⁄2 .

点 C_2 と C_3 の数値を見つける必要があります。

答え: x=±2π/3+2πk 、 k∈Z .

10) cosx=0 .

点 A2 と A4 のみが横座標 0 を持ちます。これは、これらの各点のすべての数値が方程式の解になることを意味します。
.

システムの方程式の解は、点 B_3 と B_4 の数値になります。<0 удовлетворяют только числа b_3
答え: x=-5π/6+2πk 、 k∈Z 。

x のどの許容値でも 2 番目の係数は正であるため、方程式は次のシステムと等価であることに注意してください。

システム方程式の解は、点 D_2 および D_3 の数です。 点 D_2 の数値は不等式 sinx ≦ 0.5 を満たしていませんが、点 D_3 の数値は満たしています。

blog.site では、資料の全部または一部をコピーする場合、ソースへのリンクが必要です。

三角方程式を解く主な方法は、方程式を最も単純なものに減らす (三角関数の公式を使用する)、新しい変数の導入、因数分解です。 例を挙げてその応用を考えてみましょう。 三角方程式の解の登録に注意してください。

三角方程式を正しく解くために必要な条件は、三角関数の公式の知識です (研究 6 のトピック 13)。

例。

1. 最も単純なものに帰着する方程式。

1) 方程式を解く

解決：

答え：

2) 方程式の根を求めます

(sinx + cosx) 2 = 1 – セグメントに属する sinxcosx。

解決：

答え：

2. 二次方程式に帰着する方程式。

1) 方程式 2 sin 2 x - cosx -1 = 0 を解きます。

解決：式 sin 2 x \u003d 1 - cos 2 x を使用すると、次のようになります。

答え：

2) 方程式 cos 2x = 1 + 4 cosx を解きます。

解決：式 cos 2x = 2 cos 2 x - 1 を使用すると、次のようになります。

答え：

3) 方程式 tgx - 2ctgx + 1 = 0 を解きます。

解決：

答え：

3. 同次方程式

1) 方程式 2sinx - 3cosx = 0 を解きます。

解決策: cosx = 0 とすると、2sinx = 0 および sinx = 0 となります。これは、sin 2 x + cos 2 x = 1 という事実と矛盾します。したがって、cosx ≠ 0 となり、方程式を cosx で割ることができます。 得る

答え：

2) 方程式 1 + 7 cos 2 x = 3 sin 2x を解きます。

解決：

式 1 = sin 2 x + cos 2 x および sin 2x = 2 sinxcosx を使用すると、次のようになります。

sin2x + cos2x + 7cos2x = 6sinxcosx
sin2x - 6sinxcosx + 8cos2x = 0

cosx = 0、sin 2 x = 0、sinx = 0 とすると、sin 2 x + cos 2 x = 1 という事実と矛盾します。
したがって、cosx ≠ 0 となり、方程式を cos 2 x で割ることができます。 . 得る

tg 2x – 6 tgx + 8 = 0
tgx = y と表します
y 2 – 6 y + 8 = 0
y 1 = 4; y2=2
a) Tanx = 4、x= arctg4 + 2 k, k
b) tgx = 2、x= arctg2 + 2 k, k .

答え： arctg4 + 2 k、arctan2 + 2 キ、キ

4. 次の形式の方程式 あるシンクス+ b cosx = と、と≠ 0.

1) 方程式を解きます。

解決：

答え：

5. 因数分解によって方程式を解く。

1) 方程式 sin2x - sinx = 0 を解きます。

方程式の根 f (バツ) = φ ( バツ) は数値 0 としてのみ機能します。これを確認してみましょう:

cos 0 = 0 + 1 - 等価性は真です。

数値 0 は、この方程式の唯一の根です。

答え： 0.