幾何学の問題を解く: 四角形を解く。 平行四辺形の面積 平行四辺形の面積は、対角線の積の半分に等しい

タスク4。

長さ4√6の平行四辺形の対角線の1つは底辺に対して60°の角度をなし、2番目の対角線は同じ底辺に対して45°の角度を作ります。 2 番目の対角線を見つけます。

解決。

1. AO = 2√6。

2. 正弦定理を三角形 AOD に適用します。

AO/sin D = OD/sin A。

2√6/sin 45° = OD/sin 60°

ОD = (2√6sin 60 о) / sin 45 о = (2√6 · √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6。

答え: 12.

タスク5。

辺が 5√2 と 7√2 の平行四辺形の場合、対角線の間の小さい角度は、平行四辺形の小さい角度と等しくなります。 対角線の長さの合計を求めます。

解決。

ｄ １ 、ｄ ２ を平行四辺形の対角線とし、対角線と平行四辺形の小さい方の角との間の角度がφに等しいとする。

1. 異なる 2 つを数えてみましょう
そのエリアの様子。

S ABCD = AB AD sin A = 5√2 7√2 sin f、

S ABCD = 1/2 AC × D sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin f。

等式 5√2 · 7√2 · sin f = 1/2d 1 d 2 sin f または

2・5√2・7√2 = d 1 d 2 ;

2. 平行四辺形の辺と対角線の関係を利用して、等式を書きます。

(AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2。

((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2。

d 1 2 + d 2 2 = 296。

3. システムを作成しましょう。

(d 1 2 + d 2 2 = 296、
(d 1 + d 2 = 140.

システムの 2 番目の方程式を 2 倍して、最初の方程式に加えてみましょう。

(d 1 + d 2) 2 = 576 が得られます。したがって、Id 1 + d 2 I = 24 となります。

d 1 、d 2 は平行四辺形の対角線の長さなので、d 1 + d 2 = 24 となります。

答え：24。

タスク6。

平行四辺形の辺は 4 と 6 です。対角間の鋭角は 45 度です。 平行四辺形の面積を求めます。

解決。

1. 三角形 AOB から、コサイン定理を使用して、平行四辺形の辺と対角線の関係を書きます。

AB 2 = AO 2 + VO 2 2 · AO · VO · cos AOB。

4 2 = (d 1 /2) 2 + (d 2 /2) 2 – 2 · (d 1/2) · (d 2 /2)cos 45 o;

d 1 2 /4 + d 2 2 /4 – 2 · (d 1/2) · (d 2 /2)√2/2 = 16。

d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64。

2. 同様に、三角形 AOD の関係を書きます。

それを考慮に入れましょう<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2.

方程式 d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144 が得られます。

3. 私たちはシステムを持っています
(d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64、
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144.

2 番目の方程式から最初の式を減算すると、2d 1 · d 2 √2 = 80 または

d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2

4. S ABCD = 1/2 AC × D sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin α = 1/2 20√2 √2/2 = 10。

注記：この問題と前の問題では、面積を計算するために対角線の積が必要であることが予想されるため、システムを完全に解く必要はありません。

答え: 10.

タスク7。

平行四辺形の面積は96、辺は8と15です。小さい方の対角線の正方形を求めます。

解決。

1. S ABCD = AB · AD · sin ВAD。 式に代入してみましょう。

96 = 8 · 15 · sin ВAD が得られます。 したがって、sin ВAD = 4/5 となります。

2. cos VAD を見つけてみましょう。 sin 2 VAD + cos 2 VAD = 1。

(4 / 5) 2 + cos 2 VAD = 1。cos 2 VAD = 9 / 25。

問題の条件に応じて、小さい方の対角線の長さを求めます。 角度 ВАD が鋭角の場合、対角線 ВD は小さくなります。 したがって、cos VAD = 3 / 5 となります。

3. 三角形 ABD から、コサイン定理を使用して、対角線 BD の 2 乗を求めます。

ВD 2 = АВ 2 + АD 2 – 2 · АВ · ВD · cos ВAD。

ВD 2 = 8 2 + 15 2 – 2 8 15 3 / 5 = 145。

答え：145。

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定理1.台形の面積は、底辺と高さの合計の半分の積に等しくなります。

定理2.台形の対角線は台形を 4 つの三角形に分割します。そのうちの 2 つは相似で、他の 2 つは同じ面積になります。

定理3.平行四辺形の面積は、底辺と指定された底辺によって下げられた高さの積、または 2 つの辺とそれらの間の角度の正弦の積に等しくなります。

定理4.平行四辺形では、対角線の二乗の合計は辺の二乗の合計と等しくなります。

定理5.任意の凸四角形の面積は、その対角線とそれらの間の角度の正弦の積の半分に等しくなります。

定理6.円に外接する四角形の面積は、この四角形の半周長と指定された円の半径の積に等しくなります。

定理7.任意の凸四角形の辺の中点を頂点とする四角形は、その面積が元の四角形の面積の半分に等しい平行四辺形になります。

定理8.凸状の四角形の対角線が互いに直角である場合、この四角形の反対側の辺の二乗の和は等しくなります。

AB2 + CD2 = BC2 + AD2。

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いくつかの定理の証明

定理2の証明。 ABCD を所定の台形、AD と BC をその底辺、O をこの台形の対角線 AC と BD の交点とします。 三角形 AOB と COD の面積が同じであることを証明してみましょう。 これを行うには、点 B と C から線分 AD までの垂線 BP と CQ を下げます。 すると三角形ABDの面積は

そして、三角形ACDの面積は、

BP = CQ なので、SΔABD = SΔACD となります。 ただし、三角形AOBの面積は三角形ABDとAODの面積の差であり、三角形CODの面積は三角形ACDとAODの面積の差です。 したがって、証明する必要があるように、三角形 AOB と COD の面積は等しいです。

定理4の証明。 ABCD を平行四辺形、AB = CD = とします。 ある、AD = BC = b、
AC = d1、BD = d2、∠BAD = α、∠ADC = 180° – α。 コサイン定理を三角形 ABD に適用してみましょう。

コサイン定理を三角形 ACD に適用すると、次のようになります。

結果として得られる等式を項ごとに加算すると、次のことが得られます。 Q.E.D.

定理 5 の証明。ABCD を任意の凸四角形、E をその対角線の交点、AE = とします。 ある、BE = b、
CE = c、DE = d、∠AEB = ∠CED = ϕ、∠BEC =
= ∠AED = 180° – ϕ。 我々は持っています：

Q.E.D.

定理6の証明。 円に外接する任意の四角形を ABCD、この円の中心を O、点 O から線分 AB、BC、CD、AD に下ろした垂線をそれぞれ OK、OL、OM、ON とします。 我々は持っています：

ここで、r は円の半径、p は四角形 ABCD の半周長です。

定理7の証明。 ABCD を任意の凸四角形とし、K、L、M、N をそれぞれ辺 AB、BC、CD、AD の中点とします。 KL は三角形 ABC の中線であるため、線 KL は線 AC に平行であり、同様に、線 MN は線 AC に平行であるため、KLMN は平行四辺形になります。 三角形KBLを考えてみましょう。 その面積は三角形ABCの​​面積の4分の1に相当します。 三角形 MDN の面積も、三角形 ACD の面積の 4 分の 1 に等しくなります。 したがって、

同じく、

だということだ

それはどこに続きますか

定理8の証明。 ABCD を対角線が互いに直交する任意の凸四角形とし、E をその対角線の交点とします。
AE = ある、BE = b、CE = c、DE = d。 ピタゴラスの定理を三角形 ABE と CDE に適用してみましょう。
AB2 = AE2 + BE2 = ある 2 + b2、
CD2 = CE2 + DE2 = c2 + d2、
したがって、
AB2 + CD2 = ある 2 + b2 + c2 + d2 。
ここでピタゴラスの定理を三角形 ADE と BCE に適用すると、次の結果が得られます。
AD2 = AE2 + DE2 = ある 2 + d2、
BC2 = BE2 + CE2 = b2 + c2、
それはどこに続きますか
AD2 + BC2 = ある 2 + b2 + c2 + d2 。
これは、AB2 + CD2 = AD2 + BC2 を意味し、これを証明する必要があります。

問題の解決策

問題 1。 円の周囲に底角α、βの台形が描かれます。 台形の面積と円の面積の比を求めます。

解決。 ABCD を与えられた台形、AB と CD をその底辺、DK と CM を点 C と D から線 AB に引いた垂線とします。 必要な比率は円の半径に依存しません。 したがって、半径が1であると仮定します。すると、円の面積はπに等しいので、台形の面積を求めてみましょう。 三角形ADKは直角なので、

同様に、直角三角形 BCM から、円は与えられた台形に内接することができるため、対辺の和は等しいことがわかります。
AB + CD = AD + BC、
どこから見つけますか？

したがって、台形の面積は

必要な比率は次のとおりです
答え:

問題 2。 凸四角形 ABCD では、角度 A は 90° に等しく、角度 C は 90° を超えません。 頂点 B と D から、垂線 BE と DF が対角線 AC 上に落とされます。 AE = CF であることが知られています。 角度 C が正しいことを証明してください。

証拠。 角度Aは90°なので、
角度 C が 90° を超えない場合、点 E と F は対角線 AC 上にあります。 一般性を失うことなく、AE は次のように仮定できます。< AF (в противном случае следует повторить все нижеследующие рассуждения с заменой точек B и D). Пусть ∠ABE = α,
∠EBC = β、∠FDA = γ、∠FDC = δ。 α + β + γ + δ = π を証明できれば十分です。 なぜなら

証明する必要があったものはどこから得られるのか。

問題 3。 円に外接する二等辺台形の周囲長は p に等しい。 台形の底面の鋭角が α に等しいことがわかっている場合、この円の半径を求めます。
解決。 ABCD を底辺 AD と BC を持つ指定された等脚台形とし、BH を頂点 B から下ろしたこの台形の高さとします。
円は与えられた台形に内接することができるので、

したがって、

直角三角形 ABH から次のことがわかります。

答え:

問題4。 底面 AD と BC を持つ台形 ABCD が与えられます。 対角線 AC と BD は点 O で交差し、線分 AB と CD は点 K で交差します。線分 KO は点 M と点 N で辺 BC と辺 AD とそれぞれ交差し、角度 BAD は 30°です。 台形のABMNやNMCDには円が内接することができることが知られています。 三角形BKCと台形ABCDの面積の比を求めます。

解決。 知られているように、任意の台形の場合、対角線の交点と横辺の延長線の交点を結ぶ直線は、それぞれの底辺を半分に分割します。 したがって、BM = MC、AN = ND となります。 また、台形のABMNとNMCDには円が内接することができるので、
BM + AN = AB + MN、
MC + ND = CD + MN。
したがって、AB = CD、つまり台形 ABCD は二等辺になります。 必要な面積比はスケールに依存しないため、KN = x、KM = 1 と仮定できます。直角三角形 AKN と BKM から次のことが得られます。上ですでに使用した関係を再度書きます。
BM + AN = AB + MN ⇔

比率を計算する必要があります。

ここでは、三角形 AKD と BKC の面積が辺 KN と KM の正方形、つまり x2 に関係することを利用しました。

答え：

タスク5。凸四角形ABCDにおいて、点E、F、H、Gはそれぞれ辺AB、BC、CD、DAの中点であり、Oは線分EHと線分FGの交点です。 EH = ある, FG = b, 四角形の対角線の長さを求めます。

解決。 任意の四角形の各辺の中点を直列に結ぶと、平行四辺形が得られることが知られています。 この場合、EFHG は平行四辺形で、O はその対角線の交点です。 それから

コサイン定理を三角形 FOH に適用してみましょう。

FH は三角形 BCD の中線なので、

同様に、コサイン定理を三角形 EFO に適用すると、次のことが得られます。

答え:

タスク6。台形の辺は3と5です。台形に円が内接することができることが知られています。 台形の正中線は台形を 2 つの部分に分割し、それらの面積の比率は台形の底辺を求めるに等しくなります。

解決。 ABCD を所定の台形とし、その側辺を AB = 3 および CD = 5、点 K および M をそれぞれ辺 AB および CD の中点とします。 明確にするために、AD > BC とすると、台形 AKMD の面積は台形 KBCM の面積より大きくなります。 KM は台形 ABCD の中線であるため、台形 AKMD と KBCM は同じ高さになります。 台形の面積は底辺と高さの合計の半分の積に等しいため、次の等式が成り立ちます。

また、台形ABCDには円が内接することができるので、AD+BC=AB+CD=8となり、台形ABCDの中線としてKM=4となります。 BC = x とすると、AD = 8 – x となります。 我々は持っています：
したがって、BC = 1、AD = 7 となります。

答え： 1と7。

問題 7。 台形ABCDの底辺ABは底辺CDの2倍、辺ADの2倍の長さです。 対角線ACの長さは ある、辺 BC の長さは b に等しい。 台形の面積を求めます。

解決。 台形の側面の延長線と CD = x の交点を E とすると、AD = x、AB = 2x となります。 線分 CD は線分 AB と平行で、その長さの半分です。つまり、CD は三角形 ABE の中線です。 したがって、CE = BC = b、DE = AD = x、つまり AE = 2x となります。 したがって、三角形 ABE は二等辺三角形 (AB = AE) であり、AC はその中央値です。 したがって、AC はこの三角形の高度でもあります。つまり、

三角形 DEC は、類似係数を持つ三角形 AEB に似ているので、

答え:

問題8。 台形ABCDの対角線は点Eで交差します。台形の底辺の長さがAB = 30、DC = 24、辺AD = 3、角度DABが60°である場合、三角形BCEの面積を求めます。

解決。 台形の高さをDHとします。 三角形ADHから次のことがわかります。

頂点 C から落とした三角形 ABC の高さは台形の高さ DH に等しいので、次のようになります。

答え:

問題9。 台形では、正中線は 4 で、底辺の 1 つの角度は 40° と 50° です。 台形の底辺の中点を結ぶ線分が 1 に等しい場合、台形の底辺を見つけます。

解決。 ABCD を与えられた台形とし、AB と CD をその底辺 (AB< CD), M, N - середины AB и CD соответственно. Пусть также ∠ADC = 50°, ∠BCD = 40°. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, поэтому
AB + CD = 8。辺 DA と CB を点 E の交点まで延長します。∠EAB = 50°である三角形 ABE を考えます。 ∠EBA = 40°、
したがって、∠AEB = 90°です。 直角の頂点から引かれたこの三角形の中央値 EM は斜辺の半分に等しくなります: EM = AM。 EM = x、AM = x、DN = 4 – x とします。 したがって、問題の条件 MN = 1 によれば、
EN = x + 1. 三角形 AEM と DEN の相似性から、次のことがわかります。

これは、AB = 3、CD = 5 を意味します。

答え：3と5。

問題 10。 凸四角形 ABCD は、点 O を中心とする円に外接されます。AO = OC = 1、BO = OD = 2 となります。四角形 ABCD の周囲の長さを求めます。

解決。 K、L、M、N をそれぞれ辺 AB、BC、CD、DA を持つ円の接点とし、r を円の半径とします。 円の接線はその接点に描かれた半径に垂直であるため、三角形 AKO、BKO、BLO、CLO、CMO、DMO、DNO、ANO は長方形になります。 これらの三角形にピタゴラスの定理を適用すると、次のことが得られます。

したがって、AB = BC = CD = DA、つまり、ABCD はひし形になります。 ひし形の対角線は互いに直交しており、その交点が内接円の中心になります。 ここから、菱形の辺が等しいことが簡単にわかり、したがって菱形の周囲は次のようになります。

答え:

自主的に解決すべき問題

S-1.等辺台形ABCDは半径rの円に外接します。 E と K をこの円と台形の辺の接点とします。 台形の底辺ABと辺ADのなす角度は60°です。 EKがABに平行であることを証明し、台形ABEKの面積を求めます。
S-2.台形の対角線は3と5で、底辺の中点を結んだ線分は2です。台形の面積を求めます。
S-3。 ∠ADC = 30°、AB = 3、BC = 4、AC = 6 の場合、四角形 ABCD の周りの円を記述することはできますか?
S-4.台形ABCD（ABが底）において、角度DAB、BCD、ADC、ABD、ADBの値は等差数列を形成します（書かれた順に）。 台形の高さをhとしたとき、頂点Cから対角線BDまでの距離を求めます。
S-5.円が内接し、その円に外接する二等辺台形が与えられるとします。 台形の高さと外接円の半径の比は 台形の角度を求めます。
S-6.長方形ABCDの面積は48、対角線の長さは10です。長方形が配置される平面上で、OB = OD = 13となるように点Oが選択されます。点Oから点Oまでの距離を求めます。長方形の最も遠い頂点。
S-7. 平行四辺形ABCDの周長は26です。角度ABCは120°です。 三角形 BCD に内接する円の半径は、 AD > AB であることがわかっている場合、平行四辺形の辺の長さを求めます。
S-8.四角形ABCDは点Oを中心とする円に内接します。半径OAは半径OBに垂直であり、半径OCは半径ODに垂直です。 点 C から線分 AD に下ろした垂線の長さは 9 に等しくなります。線分 BC の長さは線分 AD の長さの半分です。 三角形AOBの面積を求めます。
S-9.凸四角形ABCDでは、頂点AとCが対向しており、辺ABの長さは3です。 角ABCは角BCDに等しい 四角形の面積が分かれば辺ADの長さを求めます。に等しい

S-10。凸四角形 ABCD では、対角線 AC と BD が引かれます。 と知られている
AD = 2、∠ABD = ∠ACD = 90°より、三角形ABDの二等分交点と三角形ACDの二等分交点の距離は 辺BCの長さを求めます。
S-11.辺 AB、AD、BC が等しい凸四角形 ABCD の対角線の交点を M とします。 DM = MC であることがわかっている場合は、角度 CMD を求めます。
および∠CAB ≠ ∠DBA。
S-12.四角形ABCDでは、∠A = 74°、∠D = 120°であることがわかります。 角Bと角Cの二等分線間の角度を求めます。
S-13.四角形ABCDに円が内接することができます。 K を対角線の交点とします。 AB > BC > KC であり、三角形 BKC の周囲長と面積はそれぞれ 14 と 7 であることが知られていますので、DC を求めます。
S-14.円に外接する台形では、BC AD、AB = CD、∠BAD = であることが知られています。
= 45°。 台形ABCDの面積が10のときABを求めます。
S-15。底辺 AB と CD を持つ台形 ABCD では、次のことが知られています。 ∠CAB = 2∠DBA。 台形の面積を求めます。
S-16.平行四辺形ABCDでは、AC = ある、∠CAB = 60°。 平行四辺形の面積を求めます。
S-17。 四角形 ABCD では、対角線 AC と BD が点 K で交差します。点 L と点 M は、それぞれ辺 BC と辺 AD の中点です。 線分ＬＭには点Ｋが含まれる。四角形ＡＢＣＤは円に内接することができる。 AB = 3、LK: KM = 1: 3 の場合、この円の半径を求めます。
S-18.凸四角形 ABCD では、対角線 AC と BD が引かれます。 この場合、∠BAC =
= ∠BDC であり、三角形 BDC に外接する円の面積は次のようになります。
a) 三角形 ABC に外接する円の半径を求めます。
b) BC = 3、AC = 4、∠BAD = 90°であることがわかり、四角形 ABCD の面積を求めます。

注記。 これは、幾何学の問題 (平行四辺形のセクション) のレッスンの一部です。 ここにないジオメトリの問題を解決する必要がある場合は、フォーラムに書き込んでください。 問題の解決策で平方根を抽出するアクションを示すには、記号 √ または sqrt() が使用され、括弧内に根号表現が示されます。

理論資料

平行四辺形の面積を求める公式の説明:

1. 平行四辺形の面積は、その辺の長さとその辺の高さの積に等しい
2. 平行四辺形の面積は、隣接する 2 つの辺とそれらの間の角度の正弦の積に等しい
3. 平行四辺形の面積は、対角線と対角線の間の角度の正弦の積の半分に等しい

平行四辺形の面積を求める問題

解決.
点Bから大きい方の底辺ADに向かって下げた平行四辺形ABCDの小さい方の高さをBKとします。
より小さい高さ、より小さい辺、およびより大きい底辺の一部によって形成される直角三角形 ABK の脚の値を求めてみましょう。 ピタゴラスの定理によれば、次のようになります。

AB2 = BK2 + AK2
82 = 9 2 + AK 2
AK2 = 82 - 81
AK = 1

平行四辺形 BC の上底を延長し、その下底から高さ AN を下げてみましょう。 長方形 ANBK の辺として AN = BK となります。 結果として得られる直角三角形 ANC の脚 NC を見つけてみましょう。
AN2 + NC2 = AC2
9 2 + NC 2 = 15 2
NC2 = 225 - 81
NC 2 = √144
NC=12

では、平行四辺形ABCDの大きい方の底辺BCを求めてみましょう。
BC = ノースカロライナ - NB
長方形の辺として NB = AK であることを考慮に入れてみましょう。
BC = 12 - 1 = 11

平行四辺形の面積は、底辺とその底辺までの高さの積に等しい。
S = ああ
S = BC * BK
S = 11 * 9 = 99

答え：99cm2。

タスク

解決.
別の垂直 DK を斜め AC に落としてみましょう。
したがって、三角形 AOB と DKC、COB と AKD はペアごとに等しいです。 辺の 1 つは平行四辺形の反対側であり、角の 1 つは対角線に垂直であるため直角です。残りの角の 1 つは、平行四辺形とセカントの平行な辺にある内十字です。対角線。

したがって、平行四辺形の面積は、示された三角形の面積に等しくなります。 あれは
スパラレル = 2S AOB +2S BOC

直角三角形の面積は足の積の半分に等しい。 どこ
S = 2 (1/2 8 * 4) + 2 (1/2 6 * 4) = 56 cm 2
答え：56cm2。

平行四辺形の面積の公式

平行四辺形の面積は、その辺とその辺の高さの積に等しい。

証拠

平行四辺形が長方形の場合、長方形の面積に関する定理によって等式が満たされます。 次に、平行四辺形の角度が正しくないとします。

$\angle BAD$ を、平行四辺形 $ABCD$ および $AD > AB$ の鋭角とします。 それ以外の場合は、頂点の名前を変更します。 次に、頂点 $B$ から線 $AD$ までの高さ $BH$ は、脚 $AH$ が斜辺 $AB$ より短いため、辺 $AD$ に当たります。また、$AB< AD$. Основание $K$ высоты $CK$ из точки $C$ на прямую $AB$ лежит на продолжении отрезка $AD$ за точку $D$, так как угол $\angle BAD$ острый, а значит $\angle CDA$ тупой. Вследствие параллельности прямых $BA$ и $CD$ $\angle BAH = \angle CDK$. В параллелограмме противоположные стороны равны, следовательно, по стороне и двум углам, треугольники $\triangle ABH = \triangle DCK$ равны.

平行四辺形$ABCD$の面積と長方形$HBCK$の面積を比べてみましょう。 平行四辺形の面積は、面積 $\triangle ABH$ だけ大きくなりますが、面積 $\triangle DCK$ だけ小さくなります。 これらの三角形は等しいので、それらの面積は等しい。 これは、平行四辺形の面積が、辺の長さと辺の長さと平行四辺形の高さを合わせた長方形の面積に等しいことを意味します。

辺と正弦を使用した平行四辺形の面積の公式

平行四辺形の面積は、隣接する辺とそれらの間の角度の正弦の積に等しくなります。

証拠

辺 $AB$ に落とした平行四辺形 $ABCD$ の高さは、線分 $BC$ と角度 $\angle ABC$ の正弦の積に等しくなります。 前のステートメントを適用する必要があります。

対角線を使った平行四辺形の面積の公式

平行四辺形の面積は、対角線と対角線の間の角度の正弦の積の半分に等しくなります。

証拠

平行四辺形 $ABCD$ の対角線が点 $O$ で角度 $\alpha$ で交差するとします。 次に、平行四辺形プロパティによる $AO=OC$ と $BO=OD$ を示します。 $180^\circ$ になる角度の正弦は等しく、$\angle AOB = \angle COD = 180^\circ - \angle BOC = 180^\circ - \angle AOD$ となります。 これは、対角線の交点における角度のサインが $\sin \alpha$ に等しいことを意味します。

$S_(ABCD)=S_(\三角AOB) + S_(\三角BOC) + S_(\三角COD) + S_(\三角AOD)$

面積測定の公理によると。 これらの三角形と対角線が交差するときの角度に対して、三角形の面積公式 $S_(ABC) = \dfrac(1)(2) \cdot AB \cdot BC \sin \angle ABC$ を適用します。 それぞれの辺は対角線の半分に等しく、正弦も等しいです。 したがって、4 つの三角形すべての面積は $S = \dfrac(1)(2) \cdot \dfrac(AC)(2) \cdot \dfrac(BD)(2) \cdot \sin \alpha = \ に等しくなります。 dfrac(AC \ cdot BD)(8) \sin \alpha$。 上記をすべてまとめると、次のようになります。

$S_(ABCD) = 4S = 4 \cdot \dfrac(AC \cdot BD)(8) \sin \alpha = \dfrac(AC \cdot BD \cdot \sin \alpha)(2)$

このトピックに関する問題を解決するときは、次の場合を除きます。 基本的な特性 平行四辺形と対応する公式を参照すると、次のことを覚えて適用できます。

1. 平行四辺形の内角の二等分線は二等辺三角形を切り取ります
2. 平行四辺形の辺の 1 つに隣接する内角の二等分線は互いに垂直です
3. 平行四辺形の反対側の内側の角から来る二等分線は、互いに平行であるか、同じ直線上にあります。
4. 平行四辺形の対角線の二乗の和は、辺の二乗の和に等しい
5. 平行四辺形の面積は、対角線と対角線の間の角度の正弦の積の半分に等しい

これらの性質を利用した問題を考えてみましょう。

タスク1。

平行四辺形 ABCD の角 C の二等分線は、点 M で辺 AD と交差し、点 A を越えた辺 AB の延長線と点 E で交差します。 AE = 4、DM = 3 の場合、平行四辺形の周囲長を求めます。

解決。

1. 三角形 CMD は二等辺です。 (特性 1)。 したがって、CD = MD = 3 cm となります。

2. 三角形 EAM は二等辺です。
したがって、AE = AM = 4 cm となります。

3. AD = AM + MD = 7 cm。

4. 周囲 ABCD = 20 cm。

答え。 20センチメートル。

タスク2。

対角線は凸四角形ABCDで描かれます。 三角形ABD、ACD、BCDの面積は等しいことが知られています。 この四角形が平行四辺形であることを証明してください。

解決。

1. BE を三角形 ABD の高さ、CF を三角形 ACD の高さとします。 問題の条件によれば、三角形の面積は等しく、底面 AD が共通であるため、これらの三角形の高さは等しくなります。 BE = CF。

2. BE、CF は AD に対して垂直です。 点 B と点 C は、直線 AD に対して同じ側に位置します。 BE = CF。 したがって、直線 BC || 広告。 (*)

3. AL を三角形 ACD の高度、BK を三角形 BCD の高度とする。 問題の条件によれば、三角形の面積は等しく、共通の底辺 CD を持つため、これらの三角形の高さは等しくなります。 AL = BK。

4. AL と BK は CD に対して垂直です。 点 B と点 A は、直線 CD に対して同じ側に位置します。 AL = BK。 したがって、直線 AB || CD （**）

5. 条件 (*)、(**) から、ABCD は平行四辺形であることがわかります。

答え。 実証済み。 ABCDは平行四辺形です。

タスク3。

平行四辺形 ABCD の辺 BC と CD には、線分 BM と HD が点 O で交差するように、それぞれ点 M と H がマークされます。<ВМD = 95 о,