三角形の面積はどうやって求めますか。 頂点の座標から多角形の面積を計算する 頂点の座標から三角形の面積を決定する

17 世紀にフランスの数学者 R. デカルト (1596-1650) と P. フェルマー (1601-1665) によって提案された座標法は、幾何学的な概念を代数言語に翻訳できる強力な装置です。 この方法は座標系の概念に基づいています。 直交座標系の頂点の座標から多角形の面積を計算することを考えます。

三角形の面積

定理1。 三角形の面積なら

その場合、等価性は真です

これを三角形の面積の行列式と呼びます。

証拠。 三角形の頂点が第 1 座標象限に位置するとします。 考えられるケースは 2 つあります。

ケース1。 三角形の頂点の位置の方向（または、または）は、時計の針の先端の移動方向と一致します（図1.30）。

図形が台形なので。

同様に、次のことがわかります。

代数変換を実行することにより

わかります:

式 (1.9) では、面積の行列式は次のようになります。したがって、式の前にマイナス記号が付きます。

それを見せてみましょう。 確かに、ここで

（底辺と高さを持つ長方形の面積は、底辺と高さを持つ長方形の面積の合計より大きい;（図1.30）、どこから

ケース2。 ケース 1 の指示方向は、時計の針の先端の移動方向と逆になります (図 1.31)。

この図形は台形なので、

どこ。 確かに、ここで

この定理は、三角形の頂点が第 1 座標象限に位置する場合に証明されます。

係数の概念を使用すると、等式 (1.9) と (1.10) は次のように記述できます。

注1。 図 1.30 と 1.31 に示す最も単純な頂点の配置を考慮して式 (1.8) を導き出しました。 ただし、式 (1.8) は頂点の任意の配置に当てはまります。

図 1.32 に示すケースを考えてみましょう。

したがって、単純な幾何学的変換を実行すると、次のようになります。

私たちは再び何をどこで手に入れますか

Nゴンのエリア

多角形は凸状でも非凸状でもよく、時計回りに頂点に番号が付けられている場合、頂点の番号付け順序は負とみなされます。 辺の自己交差がない多角形を単純多角形と呼びます。 シンプルに言うと、 n-gon 以下は真実です

定理2。 素数の面積なら n-gon、この場合、等価性は真です

素数の面積の行列式を呼びます n-ゴン。

証拠。 考えられるケースは 2 つあります。

ケース1. n-ゴン - 凸。 数学的帰納法を使って式 (1.11) を証明しましょう。

なぜなら、それはすでに証明されているからです（定理1）。 それが当てはまると仮定しましょう n-ゴン; それが凸型 ( n+1)-ゴン。

多角形に頂点をもう 1 つ追加しましょう (図 1.33)。

したがって、この式は ( n+1)-gon、したがって数学的帰納法の条件が満たされます。つまり、凸の場合の式 (1.11) n-ゴンは証明されました。

ケース2. n-gon - 非凸。

非凸でも n-gon はその内側にある対角線を描くことができるため、非凸の場合のケース 2 の証明となります。 n-gon は凸の証明に似ています n-ゴン。

注2。 の表現は覚えるのが簡単ではありません。 したがって、その値を計算するには、列の 1 番目、2 番目、3 番目、... の座標を書き留めておくと便利です。 n-th と再び最初の頂点 n-gon とスキームに従って乗算します。

列 (1.12) の標識は、図 (1.13) に示されているように配置する必要があります。

注3。 三角形の列 (1.12) を作成するときは、任意の頂点から開始できます。

注4。 列 (1.12) をコンパイルするとき n-gon() 頂点の座標を書き出す順序に従う必要があります n-gon (どの頂点からトラバースを開始するかは関係ありません)。 したがって、面積を計算すると、 n-gon は、「大まかな」図面の作成から始める必要があります。

三角形は最も一般的な幾何学図形の 1 つであり、小学校でよく知られています。 すべての生徒は、幾何学の授業で三角形の面積を見つける方法という問題に直面します。 それでは、特定の図形の面積を求める際にどのような特徴が特定できるのでしょうか? この記事では、このようなタスクを完了するために必要な基本的な公式を見て、三角形の種類も分析します。

三角形の種類

幾何学には 3 つの角を含む複数の種類の図形があるため、三角形の面積はまったく異なる方法で求めることができます。 これらのタイプには次のようなものがあります。

• 鈍い。
• 等辺（正しい）。
• 直角三角形。
• 二等辺三角形。

既存の三角形のそれぞれのタイプを詳しく見てみましょう。

この幾何学的図形は、幾何学的な問題を解くときに最も一般的であると考えられています。 任意の三角形を描画する必要がある場合、このオプションが役に立ちます。

鋭角三角形では、名前が示すように、すべての角度が鋭角であり、合計すると 180° になります。

このタイプの三角形も非常に一般的ですが、鋭角三角形よりもやや一般的ではありません。 たとえば、三角形を解くとき (つまり、三角形の辺と角度のいくつかがわかっていて、残りの要素を見つける必要があるとき)、角度が鈍角かどうかを判断する必要がある場合があります。 コサインは負の数です。

B、角度の 1 つの値が 90°を超えているため、残りの 2 つの角度は小さい値 (たとえば、15°、さらには 3°) を取ることができます。

このタイプの三角形の面積を見つけるには、後で説明するいくつかのニュアンスを知る必要があります。

正三角形と二等辺三角形

正多角形は、n 個の角を含み、辺と角がすべて等しい図形です。 これが正三角形です。 三角形のすべての角度の合計は 180°であるため、3 つの角度はそれぞれ 60°になります。

正三角形はその性質上、正三角形とも呼ばれます。

正三角形に内接する円は 1 つだけ、その周囲に円は 1 つだけ記述でき、それらの中心は同じ点にあることにも注意してください。

正三角形の他に、それとは少し異なる二等辺三角形も区別できます。 このような三角形では、2 つの辺と 2 つの角が互いに等しく、(等しい角が隣接する) 3 番目の辺が底辺になります。

この図は、角度 D と F が等しく、DF を底辺とする二等辺三角形 DEF を示しています。

直角三角形

直角三角形は、その角の 1 つが直角、つまり 90° に等しいことからそのように名付けられました。 他の 2 つの角度を合計すると 90°になります。

このような三角形の最大の辺は、90°の角度の反対側にあり、斜辺であり、残りの 2 辺は脚です。 このタイプの三角形には、ピタゴラスの定理が適用されます。

脚の長さの二乗の和は、斜辺の長さの二乗に等しい。

この図は、斜辺 AC と脚 AB および BC を備えた直角三角形 BAC を示しています。

直角の三角形の面積を求めるには、その足の数値を知る必要があります。

与えられた図形の面積を求める公式に移りましょう。

面積を求めるための基本公式

幾何学では、ほとんどの種類の三角形、つまり鋭角、鈍角、正三角形、二等辺三角形の面積を求めるのに適した公式が 2 つあります。 それぞれを見てみましょう。

横と高さで

この公式は、検討している図形の面積を求めるための普遍的なものです。 これを行うには、辺の長さとそこに描かれた高さの長さを知るだけで十分です。 式自体 (底辺と高さの積の半分) は次のとおりです。

ここで、A は特定の三角形の辺、H は三角形の高さです。

たとえば、鋭角三角形 ACB の面積を求めるには、その辺 AB に高さ CD を掛けて、結果の値を 2 で割る必要があります。

ただし、この方法で三角形の面積を見つけるのは必ずしも簡単ではありません。 たとえば、鈍角三角形にこの公式を使用するには、その辺の 1 つを延長してから、そこまでの高度を描画する必要があります。

実際には、この公式は他の公式よりも頻繁に使用されます。

両側と角に

この公式は、前の公式と同様に、ほとんどの三角形に適しており、その意味は、三角形の横の面積と高さを求める公式の結果です。 つまり、問題の式は前の式から簡単に導出できます。 その定式化は次のようになります。

S = 1/2*sinO*A*B、

ここで、A と B は三角形の辺、O は辺 A と B の間の角度です。

角度の正弦は、ソ連の傑出した数学者 V. M. Bradis にちなんで名付けられた特別な表で表示できることを思い出してください。

次に、例外的なタイプの三角形にのみ適した他の公式に移りましょう。

直角三角形の面積

三角形の高度を求める必要性を含む普遍的な公式に加えて、直角を含む三角形の面積はその脚から見つけることができます。

したがって、直角を含む三角形の面積は、その脚の積の半分です。つまり、次のようになります。

ここで、a と b は直角三角形の脚です。

正三角形

このタイプの幾何学図形は、(正三角形のすべての辺が等しいため) 1 つの辺の指定値のみで面積を求めることができるという点で異なります。 したがって、「辺が等しい場合の三角形の面積を求める」というタスクに直面した場合は、次の公式を使用する必要があります。

S = A 2 *√3 / 4、

ここで、A は正三角形の辺です。

ヘロンの公式

三角形の面積を求める最後のオプションはヘロンの公式です。 これを使用するには、図形の 3 辺の長さを知る必要があります。 ヘロンの公式は次のようになります。

S = √p・(p - a)・(p - b)・(p - c)、

ここで、a、b、c は与えられた三角形の辺です。

時々、「正三角形の面積はその辺の長さを求めよ」という問題が出題されます。 この場合、正三角形の面積を求めるためにすでに知っている公式を使用し、そこから辺 (またはその正方形) の値を導き出す必要があります。

A 2 = 4S / √3。

試験課題

数学のGIAの問題には公式がたくさんあります。 さらに、多くの場合、市松模様の紙の上で三角形の面積を見つける必要があります。

この場合、図のいずれかの辺に高さを描画し、セルから長さを決定し、面積を求めるための汎用公式を使用するのが最も便利です。

したがって、この記事で紹介されている公式を学習した後は、あらゆる種類の三角形の面積を見つけるのに問題はありません。