コンパスを使用して外接円を作成します。コンパスと定規を使った作図

目標:

学生の間で「サークル」、「サークル」の概念を定着させる。「円の半径」の概念を導き出す。与えられた半径の円を構築する方法を学びます。推論、分析する能力を開発します。

個人用 UUD:
数学の授業に対する積極的な態度を形成する。
主題の研究活動への関心。

メタ主題のタスク

規制 UUD:
学習タスクを受け入れて保存します。
教師とクラスと協力していくつかの解決策を見つけます。

認知的 UUD:
問題の設定と解決:
独立して問題を特定し、定式化する。
一般教育：
必要な情報を教科書から見つけます。
コンパスを使用して指定された半径の円を作成します。
頭の体操:
「半径」の概念を形成する。
分類する、比較する。
自分自身の結論を導き出します。

コミュニケーション型 UUD:
スピーチ手段を使用して、チームワークに積極的に参加します。
自分の視点を主張する。

アイテムスキル:
「円の半径」という概念の本質的な特徴を特定します。
異なる半径の円を構築します。
図面内の半径を認識します。

授業中

学習活動への動機付け

- みんながレッスンの準備ができているかどうか確認しましょう?

「感情を込めてレッスンに臨む」：

太陽のような笑顔。

雲のように顔をしかめる

雨のように泣いてください

虹が見えたみたいにびっくり

さあ、私の後に続いて繰り返してください

ゲーム「フレンドリーエコー」

2.知識のアップデート

口頭で数える

a) 60-40 36+12 10+20 58-12 90-50 31+13

パターンを解き明かします。列を続けます。

答え: 20、48、30、46、40、44 50.42

b) 問題を解決します。

1. 初日は42kgの果物が売れ、2日目にはさらに2kgが売れた。２日目は何キロ売れましたか？

タスクを 2 つのステップで解決するには、何を変更する必要があります。

ボール - 16個。

縄跳び - 28本

この問題の解決策を見つけてください。

28-16 28+16

問題が引き算で解けるように質問を変更します。

3. 学習課題のステートメント

1. 幾何学的形状に名前を付けます

円周楕円球

どの図が欠けていますか?

数字の共通点は何ですか? （円、円周、球は同じ形状です）

違いはなんですか？

2. で

円の上にはどんな点があるでしょうか？円の外側の点は何ですか?

点Oってどういう意味ですか？ (円の中心)

セグメント OB の名前は何ですか?

円には半径をいくつ描くことができますか?

半径ではないセグメントはどれですか? なぜ？

結論は何でしょうか?

結論: すべての半径は同じ長さです .

3. 絵の中には円がいくつありますか?

サークルはどう違うのですか？（サイズ）

円の大きさは何で決まるのでしょうか？

結論は何でしょうか?

結論: 円が大きくなるほど、その半径も大きくなります。

レッスンのテーマを決めます。

主題： コンパスを使用して指定された半径の円を作成します。

このレッスンではどのような課題を設定できますか?

4. テーマに取り組む

a) サークルの構築。

指定されたサイズの円を描くには何を知っておく必要がありますか?

半径3cmの円を描きます。

b) プロジェクト活動の準備

1) 図面を検討します

蝶はどのような形で構成されていますか? 同じ半径の円?

2) ペアで作業します。

プロジェクトの上のステージの順序を復元します。

プロジェクトのプレゼンテーションまたはデモンストレーション

意図（スケッチする）

計画を実行するための数字を構築する

図形の半径を考慮する

c) プロジェクトに取り組みます。

コンパイルされたアルゴリズムに従ってグループで作業する

このレッスンでは、サークルとサークルの学習に専念します。また、先生は閉じた線と開いた線の区別も教えます。円の基本的な特性である中心、半径、直径について学びます。それらの定義を学びましょう。直径がわかっている場合は半径を決定する方法、またその逆の場合も同様です。

たとえば、紙や厚紙にコンパスで円を描き、それを切り抜くと、円の内側のスペースを埋めると、円が得られます（図10）。

米。 10.サークル

丸円で囲まれた平面の一部です。

状態： Vitya Verkhoglyadkin は、自分の円の中に 11 個の直径を描きました (図 11)。そして半径を数えてみると 21 でした。彼は正しく数えましたか?

米。 11. 問題の図解

解決：半径は直径の 2 倍にする必要があるため、次のようになります。

ヴィティアは間違って数えました。

参考文献

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宿題

1. 数学。グレード3 手順一般教育用形容詞が付いた機関電子に。運送業者。 2時間目パート1 / [M.I. モロ、MA バントヴァ、G.V. ベルチュコワ他] - 第 2 版 - M.: 啓蒙、2012 年、Art。 94 第 1 条、第 1 条 95年3号。

2. 謎を解きます。

私たちは兄と二人で住んでいますが、

私たちは一緒にとても楽しいです

シートの上にマグカップを置きます（図12）、

鉛筆で丸を付けてみましょう。

必要なものを手に入れましょう -

それは呼ばれています...

3. 半径が 5 m であることがわかっている場合、円の直径を決定する必要があります。

4. * コンパスを使用して、次の半径の円を 2 つ描きます。 a) 2 cm と 5 cm。 b) 10 mm と 15 mm。

作図問題では、コンパスと定規は理想的なツールと考えられます。特に、定規は分割がなく、一辺のみが無限の長さを持ち、コンパスは任意に大きいまたは任意に小さい開口部を持つことができます。

許容される構造。建設タスクでは次の操作が許可されます。

1. 点をマークします。

平面の任意の点。
与えられた線上の任意の点。
与えられた円上の任意の点。
指定された 2 本の線の交点。
指定された直線と指定された円の交点/接点。
指定された 2 つの円の交点/接点。

2. 定規を使用して直線を引くことができます。

平面上の任意の直線。
与えられた点を通過する任意の線。
指定された 2 点を通過する直線。

3. コンパスを使用して円を作成できます。

平面上の任意の円。
与えられた点を中心とする任意の円。
指定された 2 点間の距離に等しい半径を持つ任意の円。
指定された点を中心とし、指定された 2 つの点の間の距離に等しい半径を持つ円。

建物の問題を解決します。構築問題の解決策には、次の 3 つの重要な部分が含まれます。

目的のオブジェクトを構築する方法の説明。
説明した方法で構築されたオブジェクトが本当に望ましいものであることの証明。
初期条件のさまざまなバリエーションへの適用可能性、および記載された方法によって得られた解の一意性または非一意性について、記載された構築方法を分析します。

指定されたセグメントと等しいセグメントの構築。点 $O$ を原点とし、線分 $AB$ を持つ光線が与えられるとします。線分 $OP = AB$ を構築するには、半径 $AB$ の点 $O$ を中心とする円を構築する必要があります。光線と円の交点が目的の点 $P$ になります。

指定された角度に等しい角度を構築します。点 $O$ を原点とし、角度 $ABC$ を持つ光線が与えられるとします。点 $B$ を中心として、任意の半径 $r$ の円を作成します。円と光線 $BA$ および $BC$ $A"$ および $C"$ の交点をそれぞれ示します。

点 $O$ を中心とし、半径 $r$ の円を作成しましょう。円と光線の交点を $P$ で示します。点 $P$ を中心とし、半径 $A"B"$ の円を作成しましょう。円の交点を $Q$ で示します。光線$OQ$を描いてみましょう。

三角形 $POQ$ と $ABC$ は 3 つの辺が等しいため、角度 $POQ$ は角度 $ABC$ に等しいことがわかります。

セグメントに対する垂直二等分線の構築。セグメントの端を中心とする任意の半径の 2 つの交差する円を構築します。それらの交点の 2 点を結ぶと、垂直二等分線が得られます。

角の二等分線の作成。角の頂点を中心とした任意の半径の円を描いてみましょう。最初の円と角の辺の交点を中心とする、任意の半径の 2 つの交差する円を作成しましょう。角の頂点をこれら 2 つの円の交点のいずれかに接続すると、角の二等分線が得られます。

2 つのセグメントの合計の構築。与えられた 2 つのセグメントの合計に等しい、与えられた光線上にセグメントを構築するには、与えられた 1 に等しいセグメントを構築する方法を 2 回適用する必要があります。

2 つの角度の和の作成。与えられた光線から与えられた 2 つの角度の合計に等しい角度を遅らせるには、与えられた 1 に等しい角度を構築する方法を 2 回適用する必要があります。

セグメントの中点を見つける。特定のセグメントの中央をマークするには、セグメントに垂直二等分線を作成し、その垂線とセグメント自体の交点をマークする必要があります。

指定された点を通る垂線の作成。指定された点に垂直で、指定された点を通過する線を作成する必要があるとします。与えられた点 (直線上にあるかどうかに関係なく) を中心とし、2 点で直線と交わる任意の半径の円を描きます。円と線の交点を端とするセグメントに対して垂直二等分線を作成します。これが目的の垂線になります。

指定された点を通る平行線を作成します。指定された線に平行で、線の外側の指定された点を通過する線を構築する必要があるとします。指定された点を通り、指定された線に垂直な線を作成します。次に、この点を通過し、構築された垂線に垂直な直線を構築します。このようにして得られた直線が必要な直線になります。

木製部品の製造または加工では、場合によっては、その幾何学的中心がどこに位置するかを決定する必要があります。パーツの形状が正方形または長方形の場合、これを行うのは難しくありません。対角線を対角線で接続し、同時に図の中心で正確に交差するだけで十分です。
円形の製品の場合、角がないため対角線がないため、この解決策は機能しません。この場合、他の原則に基づいた別のアプローチが必要になります。

そしてそれらは多くのバリエーションで存在します。それらの中には、非常に複雑でいくつかのツールが必要なものもあれば、実装が簡単で実装にデバイスのセット全体を必要としないものもあります。
次に、通常の定規と鉛筆だけを使って円の中心を見つける最も簡単な方法の 1 つを見てみましょう。

円の中心を見つける手順は次のとおりです。

1. まず、弦とは円の 2 点を結ぶ直線であり、円の中心を通らないことを覚えておく必要があります。再現するのはまったく難しくなく、任意の円上に定規を当てて円と2か所で交わるようにして鉛筆で直線を引くだけです。円の内側の部分がコードになります。
原則として、1 つのコードを省略できますが、円の中心を確立する精度を高めるために、少なくとも 1 組、さらに望ましいのは、長さの異なる 3、4、または 5 つのコードを描きます。これにより、構築のエラーを平準化し、より正確にタスクに対処できるようになります。

2. 次に、同じ定規を使用して、再現したコードの中点を見つけます。たとえば、1 つの弦の全長が 28 cm の場合、その中心は弦と円の交点から直線で 14 cm の点になります。
このようにしてすべての弦の中心を決定したら、たとえば直角三角形を使用して、それらを通る垂直線を引きます。

3. これらの線を弦に垂直に円の中心に向かう方向に続けると、ほぼ 1 点で交差し、そこが円の望ましい中心になります。

4. 特定の円の中心の位置を確立したら、この事実をさまざまな目的に使用できます。したがって、この点に大工のコンパスの足を置くと、理想的な円を描くことができ、適切な刃物と決定した円の中心点を使用して円を切り抜くことができます。

特定の表現や名前の意味を説明する文は、意味。たとえば、角度、隣接する角度、二等辺三角形などの定義についてはすでに説明しました。別の幾何学的図形である円の定義を与えてみましょう。

意味

この点はと呼ばれます 円の中心、中心と円の任意の点を結ぶ線分は次のようになります。 円の半径(図77)。円の定義から、すべての半径は同じ長さを持つことがわかります。

米。 77

円上の 2 点を結ぶ線分を弦と呼びます。円の中心を通る弦をその弦といいます。直径.

図 78 では、線分 AB と EF は円の弦であり、線分 CD は円の直径です。明らかに、円の直径は半径の2倍です。円の中心は、直径の中点です。

米。 78

円上の 2 つの点は円を 2 つの部分に分割します。これらの各部分は円弧と呼ばれます。図 79 では、ALB と AMB は点 A と B で囲まれた円弧です。

米。 79

図面内で円を描くには、次を使用します。 方位磁針(図80)。

米。 80

地面に円を描くには、ロープを使用します (図 81)。

米。 81

円で囲まれた平面の部分を円と呼びます (図 82)。

米。 82

コンパスと定規を使った作図

私たちはすでに幾何学的構造を扱いました。直線を描き、指定された線分と等しい線分を脇に置き、角度、三角形、その他の図形を描きました。同時に、スケール定規、コンパス、分度器、製図用正方形を使用しました。

多くの作図は、スケールを分割せずにコンパスと直定規だけを使用して実行できることがわかりました。したがって、幾何学では、これらの構築タスクは特別に区別され、これら 2 つのツールのみを使用して解決されます。

彼らに対して何ができるでしょうか？定規を使用すると、任意の線を引くことができるだけでなく、指定された 2 つの点を通る線を作成できることは明らかです。コンパスを使用すると、任意の半径の円を描くことができます。また、特定の点を中心とし、半径が特定のセグメントに等しい円を描くこともできます。これらの単純な操作を実行することで、多くの興味深い建築上の問題を解決できます。

与えられた角度に等しい角度を構築します。
指定された点を通り、指定された線に垂直な線を引きます。
このセグメントを半分に分割し、他のタスクを実行します。

簡単なタスクから始めましょう。

タスク

指定された光線の先頭から、指定された光線と等しいセグメントを確保します。

解決

問題の条件で与えられた図、つまり光線 OS とセグメント AB (図 83、a) を描いてみましょう。次に、コンパスを使用して、中心Oを持つ半径ABの円を作成します（図83、b）。この円は、ある点 D で光線 OS と交差します。セグメント OD は必須のものです。

米。 83

タスクの構築例

指定された角度に等しい角度を構築する

タスク

指定された光線から、指定された角度と等しい角度を確保します。

解決

頂点 A と光線 OM とのこの角度を図 84 に示します。角度 A と等しい角度を構築し、その辺の 1 つが光線 OM と一致するようにする必要があります。

米。 84

与えられた角度の頂点Aを中心とする任意の半径の円を描いてみましょう。この円は点 B と点 C で角の側面と交差します (図 85、a)。次に、指定された光線 OM の始点を中心とする同じ半径の円を描きます。それは点 D でビームと交差します (図 85、b)。その後、中心 D を持ち、半径が BC に等しい円を作成します。中心OとDを持つ円は2点で交差します。これらの点の 1 つを文字 E で示しましょう。角度 MOE が必要な角度であることを証明しましょう。

米。 85

三角形ABCとODEを考えてみましょう。線分 AB および AC は中心 A を持つ円の半径であり、線分 OD および OE は中心 O を持つ円の半径です (図 85、b を参照)。構造上、これらの円の半径は等しいため、AB = OD、AC = OE となります。また、構造上、BC = DEとなります。

したがって、3 辺では Δ ABC = Δ ODE となります。したがって、∠DOE = ∠BAC、つまり、構築された角度 MOE は指定された角度 A に等しくなります。

コンパスの代わりにロープを使用すれば、同じ建設を地上でも実行できます。

角の二等分線の作成

タスク

指定された角度の二等分線を作成します。

解決

この角度 BAC を図 86 に示します。頂点 A を中心とする任意の半径の円を描きましょう。この円は点 B と点 C で角度の辺と交差します。

米。 86

次に、点 B と点 C を中心とする同じ半径 BC の 2 つの円を描きます (図にはこれらの円の一部のみが示されています)。それらは 2 つの点で交差しており、そのうちの少なくとも 1 つはコーナーの内側にあります。それを文字 E で表します。光線 AE が指定された角度 BAC の二等分線であることを証明しましょう。

三角形 ACE と ABE を考えてみましょう。それらは三辺において等しい。実際、AE は共通の側面です。 AC と AB は同じ円の半径として等しい。 CE = BE 構造上。

三角形 ACE と ABE が等しいことから、∠CAE = ∠BAE、つまり光線 AE は指定された角度 BAC の二等分線になります。

コメント

コンパスと直定規を使用して、指定された角度を 2 つの等しい角度に分割できますか? それが可能であることは明らかです。そのためには、この角度の二等分線を描く必要があります。

この角度は 4 つの等しい角度に分割することもできます。これを行うには、それを半分に分割し、さらにそれぞれの半分をさらに半分に分割する必要があります。

コンパスと直定規を使用して、指定された角度を 3 つの等しい角度に分割することは可能ですか? このタスクは、 角の三等分問題、何世紀にもわたって数学者の注目を集めてきました。このような構築が任意の角度に対して不可能であることが証明されたのは 19 世紀に入ってからです。

垂直線の作成

タスク

線とその上に点が与えられます。指定された点を通り、指定された線に垂直な線を作成します。

解決

与えられた直線 a とこの直線に属する与えられた点 M を図 87 に示します。

米。 87

点 M から出る直線 a の光線上に、等しいセグメント MA と MB を確保します。次に、中心 A と B が半径 AB である 2 つの円を作成します。それらは 2 つの点、P と Q で交差します。

点 M とこれらの点の 1 つ、たとえば線 MP (図 87 を参照) を通る線を引き、この線が望ましい線であること、つまり、指定された線 a に垂直であることを証明しましょう。。

実際、二等辺三角形 PAB の中央値 PM も高度であるため、PM ⊥ a となります。

セグメント中間部の構築

タスク

このセグメントの中点を作成します。

解決

AB を指定されたセグメントとします。中心 A と B が半径 AB である 2 つの円を作成します。これらは点 P と Q で交差します。線 PQ を描きます。この線と線分 AB の交点 O が線分 AB の望ましい中点です。

確かに、三角形 APQ と BPQ は 3 つの辺が等しいので、∠1 = ∠2 (図 89) です。

米。 89

したがって、線分ＲＯは二等辺三角形ＡＲＶの二等分線であるため、中央値、つまり点Ｏは線分ＡＢの中点となる。

タスク

143. 図 90 に示されているセグメントはどれですか: a) 円の弦。 b) 円の直径。 c) 円の半径は?

米。 90

144. 線分 AB および CD は円の直径です。次のことを証明します。 a) コード BD と AC は等しい。 b) コード AD と BC は等しい。 c) ∠BAD = ∠BCD。

145. セグメント MK は中心 O を持つ円の直径であり、MR と RK はこの円の等しい弦です。 ∠POMを見つけてください。

146. 線分 AB と CD は、中心 O を持つ円の直径です。CB = 13 cm、AB = 16 cm であることがわかっている場合、三角形 AOD の周囲長を求めます。

147. 角度 AOB が直角になるように、点 A と B を中心 O の円上にマークします。線分 BC は円の直径です。コードABとACが等しいことを証明してください。

148.直線上に2つの点AとBが与えられ、ビームBAの延長上で、BC \u003d 2ABになるようにセグメントBCを脇に置きます。

149. 直線 a、その上にない点 B、および線分 PQ が与えられるとします。 BM = PQ となるように、直線 a 上に点 M を作成します。問題には常に解決策があるのでしょうか?

150. 円、その上にない点 A、および線分 PQ が与えられます。 AM = PQ となるように円上に点 M を作成します。問題には常に解決策があるのでしょうか?

151. 鋭角 BAC と光線 XY が与えられます。 ∠YXZ = 2∠BAC となるように角度 YXZ を構築します。

152. 鈍角 AOB が与えられます。角度 XOA と XOB が等しい鈍角になるように光線 OX を構築します。

153. 直線 a とその上にない点 M が与えられます。点 M を通り、線 a に垂直な線を作成します。

解決

与えられた点 M を中心とし、与えられた直線 a と 2 点で交差する円を作成しましょう。これを文字 A と B で示します (図 91)。次に、点 M を通る中心 A と B を持つ 2 つの円を作成します。これらの円は、点 M と、文字 N で示すもう 1 つの点で交差します。線 MN を引いて、この線が目的の線であることを証明しましょう。 1 つ、つまり直線 a に垂直です。