三角形の面積 - 公式と問題解決の例。 三角形の面積定理、サインとコサインの定理 コサインと二辺による三角形の面積

底辺と高さがわかればわかります。 スキーム全体の単純さは、高さによって底面aが2つの部分a 1とa 2に分割され、三角形自体が2つの直角三角形に分割され、その面積が得られるという事実にあります。 次に、三角形全体の面積は、指定された2つの面積の合計となり、括弧から高さの半分を取り出すと、合計で底辺が戻ります。

より難しい計算方法はヘロンの公式で、これを行うには 3 つの辺をすべて知っている必要があります。 この式では、まず三角形の半周長を計算する必要があります。 Heron の公式自体は、半周長の平方根に各辺の差を乗算したものを意味します。

次の方法は、任意の三角形にも関連しており、2 つの辺を通る三角形の面積とそれらの間の角度を見つけることができます。 この証明は、高さの公式から得られます。既知の辺のいずれかに高さを引き、角度 α の正弦を通して、 h=a⋅sinα が得られます。 面積を計算するには、高さの半分に 2 番目の辺を掛けます。

別の方法は、2 つの角度とそれらの間の辺を与えられた三角形の面積を見つけることです。 この式の証明は非常に簡単で、図からはっきりとわかります。

3 番目のコーナーの上部から既知の辺までの高さを下げ、結果として得られるセグメントをそれぞれ x と呼びます。 直角三角形から、最初のセグメント x が積に等しいことがわかります。

簡単に言えば、特別なレシピに従って水で調理された野菜です。 最初の 2 つのコンポーネント (野菜サラダと水) と最終結果であるボルシチを検討します。 幾何学的には、これは一方の辺がレタスを表し、もう一方の辺が水を表す長方形として表すことができます。 これら 2 つの辺の合計はボルシチを表します。 このような「ボルシチ」長方形の対角線と面積は純粋に数学的な概念であり、ボルシチのレシピでは決して使用されません。

数学の教科書には線形の角度関数については何も載っていません。 しかし、それらがなければ数学はあり得ません。 数学の法則は、自然法則と同様、その存在を私たちが知っているかどうかに関係なく機能します。

線形角関数は加算の法則です。代数が幾何学に、幾何学が三角法にどのように変化するかを見てみましょう。

線形角関数なしで行うことは可能ですか? 数学者はそれらがなくてもなんとかやっていけるので、それは可能です。 数学者のトリックは、彼らが常に自分たち自身で解決できる問題についてのみ教えてくれて、自分たちに解決できない問題については決して教えてくれないという事実にあります。 見る。 加算と 1 つの項の結果がわかっている場合は、減算を使用してもう 1 つの項を見つけます。 全て。 私たちは他の問題を知りませんし、解決することもできません。 足し算の結果だけがわかっていて、両方の項がわからない場合はどうすればよいでしょうか? この場合、加算の結果は線形角関数を使用して 2 つの項に分解する必要があります。 さらに、私たち自身が 1 つの項が何になるかを選択します。線形角関数は、加算の結果が正確に必要なものになるために 2 番目の項がどうあるべきかを示します。 このような用語のペアは無限に存在する可能性があります。 日常生活では、和を分解することなく、引き算だけで十分です。 しかし、自然法則の科学的研究では、合計を用語に拡張することが非常に役立ちます。

数学者が話したくないもう 1 つの加算の法則 (彼らのもう 1 つのトリック) では、項が同じ測定単位を持つ必要があります。 レタス、水、ボルシチの場合、これらは重量、体積、コスト、または測定単位の場合があります。

この図は、数学における 2 つのレベルの違いを示しています。 最初のレベルは数値フィールドの違いであり、それが示されています。 ある, b, c。 これは数学者がやっていることです。 2 番目のレベルは、角括弧内に示され、文字で示される測定単位の領域の違いです。 U。 これが物理学者のやっていることです。 第 3 レベル、つまり記述されたオブジェクトの範囲の違いを理解できます。 異なるオブジェクトは、同じ数の同じ測定単位を持つことができます。 これがどれほど重要であるかは、ボルシチ三角法の例でわかります。 さまざまな物体の測定単位の同じ表記に下付き文字を追加すると、特定の物体を表す数学的量と、それが時間の経過とともに、または私たちの行動に関連してどのように変化するかを正確に言うことができます。 手紙 W水に文字で印を付けます Sサラダに文字を付けます B- ボルシチ。 ボルシチの線形角度関数は次のようになります。

水の一部とサラダの一部を摂取すると、一緒に1食分のボルシチになります。 ここで、ボルシチから少し休憩して、遠い子供時代を思い出してみることをお勧めします。 私たちがウサギとアヒルを組み合わせる方法をどのように教えられたかを覚えていますか? 何匹の動物が現れるかを知る必要がありました。 では、私たちは何をするように教えられたのでしょうか？ 私たちは単位と数字を分けて、数字を足し算することを教えられました。 はい、任意の数値を他の数値に加算できます。 これは現代数学の自閉症への直接的な道筋です。私たちは何を理解していません、なぜなのかも明らかではありません。また、これが現実とどのように関係しているのかもほとんど理解していません。なぜなら、3 つのレベルの違いがあるため、数学者は 1 つのレベルだけを操作しているからです。 ある測定単位から別の測定単位に移動する方法を学ぶ方がより正確です。

そしてウサギ、アヒル、そして小動物は細かく数えることができます。 さまざまな物体に共通の 1 つの測定単位を使用することで、それらを合計することができます。 これは子供向けの問題です。 大人向けの同様の問題を見てみましょう。 ウサギとお金を加えると何が得られますか? ここで考えられる解決策は 2 つあります。

最初のオプション。 私たちはウサギの市場価値を決定し、それを利用可能な現金に加えます。 私たちは財産の総額をお金で計算しました。

2 番目のオプション。 私たちが持っている紙幣の枚数にウサギの数を追加することができます。 動産の金額を分割して取得いたします。

ご覧のとおり、同じ加算法則でも異なる結果が得られます。 それはすべて、私たちが正確に何を知りたいかによって異なります。

さて、ボルシチの話に戻ります。 これで、線形角度関数の角度のさまざまな値で何が起こるかを確認できます。

角度はゼロです。 サラダはありますが、水はありません。 ボルシチは作れません。 ボルシチの量もゼロです。 これは、ボルシチゼロが水ゼロと等しいという意味ではまったくありません。 ゼロボルシチはゼロサラダ（直角）にすることもできます。

私個人にとって、これは、 という事実の主な数学的証明です。 ゼロを追加しても数値は変わりません。 項が 1 つしかなく、第 2 項が欠けていると足し算自体が不可能だからです。 これに好きなように関連付けることができますが、覚えておいてください。ゼロを使ったすべての数学演算は数学者自身によって発明されたものであるため、論理を捨てて、愚かにも数学者によって発明された定義を詰め込むことです。「ゼロによる除算は不可能である」「任意の数にゼロを掛ける」 「ゼロに等しい」、「ゼロ点の後ろ」などのナンセンス。 ゼロは数ではないということを一度覚えておくだけで十分です。そして、ゼロが自然数であるかどうかという質問は決して起こらないでしょう。なぜなら、そのような質問は一般にまったく意味を失うからです。なぜなら、ある数を数ではないと考えることができるのです。 。 それは、目に見えない色をどの色に帰属させるかを尋ねるようなものです。 数値にゼロを加えるのは、存在しない絵の具で絵を描くようなものです。 彼らは乾いた筆を振って、みんなに「絵を描きました」と言いました。 しかし、少し脱線します。

角度は 0 度より大きく 45 度未満です。 レタスはたくさんありますが、水はほとんどありません。 その結果、濃厚なボルシチが出来上がります。

角度は45度です。 同量の水とレタスがあります。 これは完璧なボルシチです（料理人はお許しください、これは単なる計算です）。

角度は 45 度より大きく 90 度より小さいです。 水はたくさんありますが、レタスはほとんどありません。 液体ボルシチを入手します。

直角。 水はあります。 かつてレタスをマークしていた線からの角度を測定し続けると、レタスの記憶だけが残ります。 ボルシチは作れません。 ボルシチの量はゼロです。 その場合は、水を飲めるうちに我慢して水を飲んでください)))

ここ。 このようなもの。 ここで適切以上の他の話をすることもできます。

二人の友人は共通のビジネスに携わっていました。 そのうちの一人が殺害された後、すべてはもう一方に移った。

私たちの地球上での数学の出現。

これらすべての物語は、線形角関数を使用した数学の言語で語られます。 数学の構造におけるこれらの関数の実際の位置については、また別の機会に説明します。 それまでの間、ボルシチの三角法に戻り、射影について考えてみましょう。

2019年10月26日土曜日

についての興味深いビデオを見ました グランディの行列 ワン マイナス 1 プラス 1 マイナス 1 - Numberphile。 数学者は嘘をつく。 彼らは推論において平等性テストを実行しませんでした。

これは、 についての私の推論と共鳴します。

数学者が私たちを騙している兆候を詳しく見てみましょう。 数学者は、推論の最初に、数列の合計はその中の要素の数が偶数か偶数かによって決まると述べています。 これは客観的に確立された事実です。 次は何が起こる？

次に、数学者はその数列を 1 から減算します。 これは何をもたらすのでしょうか? これにより、シーケンス内の要素の数が変化します。偶数は奇数に、奇数は偶数に変わります。 結局、シーケンスに 1 に等しい 1 つの要素を追加しました。 外部の類似性にもかかわらず、変換前のシーケンスは変換後のシーケンスと等しくありません。 無限シーケンスについて話している場合でも、要素数が奇数の無限シーケンスは要素数が偶数の無限シーケンスと等しくないことを覚えておく必要があります。

数学者は、要素数が異なる 2 つの数列の間に等号を置き、数列の合計は数列内の要素数に依存しないと主張しており、これは客観的に確立された事実に矛盾します。 無限シーケンスの和に関するこれ以上の推論は、偽の等価性に基づいているため、偽となります。

数学者が証明の過程で括弧を置いたり、数式の要素を並べ替えたり、何かを追加または削除したりしているのを見た場合は、十分に注意してください。おそらく彼らはあなたをだまそうとしているでしょう。 カード手品師と同じように、数学者も式をさまざまに操作して注意をそらし、最終的には誤った結果を導き出します。 不正行為の秘密を知らずにカードのトリックを繰り返すことができない場合、数学ではすべてがはるかに単純です。不正行為について何も疑うことさえありませんが、数式を使用してすべての操作を繰り返すことで、他の人に不正行為を納得させることができます。結果の正しさを、あなたが納得したときと同じように。

聴衆からの質問: 無限大 (シーケンス S の要素の数) は偶数ですか、それとも奇数ですか? パリティのないもののパリティを変更するにはどうすればよいでしょうか?

数学者にとっての無限は、僧侶にとっての天国のようなものです - 誰もそこに行ったことはありませんが、誰もがそこですべてがどのように機能するかを正確に知っています）））私も同意します、死後、あなたが偶数の日数を生きたか奇数の日数を生きたかはまったく気にならないでしょう、しかし...あなたの人生の始まりにほんの1日を追加すると、まったく別の人が得られます。彼の姓、名、父称はまったく同じで、生年月日だけが完全に異なります-彼は生まれましたあなたの前の日。

そして本題へ))) パリティを持つ有限シーケンスが無限に進むとこのパリティを失うと仮定します。 その場合、無限シーケンスの有限セグメントもパリティを失う必要があります。 私たちはこれを遵守していません。 無限シーケンスの要素の数が偶数であるか奇数であるかを確実に言えないという事実は、パリティが消滅したことを意味するものではありません。 パリティが存在するとしても、カードのスリーブのように、跡形もなく無限に消えることはありません。 このケースには非常に良い例えがあります。

時計の中に座っているカッコーに、時計の針がどの方向に回転するか尋ねたことがありますか? 彼女の場合、矢印はいわゆる「時計回り」とは逆の方向に回転します。 逆説的に聞こえるかもしれませんが、回転の方向は回転をどの側から観察するかによってのみ決まります。 それで、回転する車輪が 1 つあります。 回転面の一方の側ともう一方の側の両方から回転を観察できるため、回転がどちらの方向に発生するかを言うことはできません。 私たちが証言できるのは、回転があるという事実だけです。 無限シーケンスのパリティとの完全な類似性 S.

次に、2 番目の回転ホイールを追加しましょう。その回転平面は、最初の回転ホイールの回転平面と平行です。 これらの車輪がどちらの方向に回転しているかを正確に判断することはまだできませんが、両方の車輪が同じ方向に回転しているか、それとも反対方向に回転しているかを完全に確実に知ることができます。 2 つの無限シーケンスの比較 Sそして 1-S, 私は数学の助けを借りて、これらのシーケンスには異なるパリティがあり、それらの間に等号を置くのは間違いであることを示しました。 個人的に、私は数学を信じていますが、数学者は信じていません）））ところで、無限シーケンスの変換の幾何学を完全に理解するには、次の概念を導入する必要があります 「同時性」。 これを描く必要があります。

2019年8月7日水曜日

に関する会話の結論として、無限集合を考える必要があります。 「無限」の概念は、ウサギのボアコンストリクターのように数学者に作用するということを認めます。 震える無限の恐怖は数学者から常識を奪います。 以下に例を示します。

オリジナルのソースが見つかりました。 アルファは実数を表します。 上記の式の等号は、無限大に数値または無限大を加算しても何も変化せず、結果は同じ無限大になることを示します。 自然数の無限集合を例として取り上げると、考慮された例は次のように表すことができます。

自分たちの主張を視覚的に証明するために、数学者はさまざまな方法を考案してきました。 私個人としては、これらすべての手法を、タンバリンを持ったシャーマンの踊りだと考えています。 本質的に、それらはすべて、部屋の一部が占有されておらず、新しいゲストがそこに定住しているか、ゲストのためのスペースを作るために訪問者の一部が廊下に放り出されているかのどちらかであるという事実に帰着します（非常に人間的です）。 私はそのような決定についての私の見解を、ブロンドについての素晴らしい物語の形で表現しました。 私の推論は何に基づいているのでしょうか？ 無限の数の訪問者を移動するには無限の時間がかかります。 私たちが最初の客室を空けた後、訪問者の一人は必ず時間が終わるまで自分の部屋から次の部屋まで廊下を歩きます。 もちろん、時間的要因は愚かにも無視することができますが、これはすでに「法律は愚か者のために書かれていない」の範疇に入るでしょう。 それはすべて、私たちが何をしているか、つまり現実を数学理論に合わせて調整するか、その逆に調整するかによって決まります。

「無限ホテル」とは何ですか？ インフィニティインとは、部屋が何室埋まっていても、常に空室がある宿のことです。 無限の廊下の「訪問者用」の部屋がすべて占有されている場合、「ゲスト用」の部屋のある別の無限の廊下が存在します。 そのような回廊は無数に存在するでしょう。 同時に、「無限のホテル」は、無数の神が創造した無数の宇宙の無数の惑星に無数の建物の無数の階数を持っています。 一方、数学者は平凡な日常の問題から離れることができません。神、アッラー、仏陀は常に 1 つだけであり、ホテルも 1 つ、廊下も 1 つだけです。 そこで数学者たちはホテルの部屋の通し番号をうまく使いこなし、「押しのけられないものを押しのける」ことが可能であると私たちに納得させようとしている。

自然数の無限集合の例を使用して、私の推論の論理を説明します。 まず、非常に単純な質問に答える必要があります。自然数のセットは何組存在しますか? 1 つですか、それとも多数ですか? 私たち自身が数字を発明したので、この質問に対する正しい答えはありません。自然界には数字はありません。 はい、自然は完璧に数を数える方法を知っていますが、そのために私たちにはなじみのない他の数学的ツールを使用します。 自然が考えることは、また別の機会にお話します。 私たちは数字を発明したので、自然数の組が何組存在するかを私たち自身が決定します。 本物の科学者らしく、両方の選択肢を検討してください。

オプション 1。 棚の上に静かに置かれている 1 組の自然数を「与えてみましょう」。 このセットを棚から取り出します。 それだけです。他の自然数は棚に残っておらず、それらを持っていく場所もありません。 すでに持っているため、このセットに追加することはできません。 本当にそうしたい場合はどうしますか？ 問題ない。 すでに取得したセットからユニットを取り出して棚に戻すことができます。 その後、棚からユニットを取り出して、残っているユニットに追加できます。 その結果、再び自然数の無限の集合が得られます。 すべての操作は次のように記述できます。

私は代数表記と集合論表記で演算を書き留め、集合の要素を詳細にリストしました。 下付き文字は、自然数のセットが 1 つだけあることを示します。 自然数の集合は、そこから 1 を引いて同じものを足した場合にのみ変化しないことがわかります。

オプション 2。 棚にはさまざまな自然数の無限集合がたくさんあります。 事実上区別がつかないにもかかわらず、私は強調したいと思います。 これらのセットのうちの 1 つを取り上げます。 次に、別の自然数のセットから 1 つを取り出し、それをすでに取り出したセットに追加します。 2 組の自然数を加算することもできます。 得られるものは次のとおりです。

下付き文字「one」と「two」は、これらの要素が異なるセットに属していることを示します。 はい、無限セットに 1 を追加すると、結果も無限セットになりますが、元のセットと同じにはなりません。 1 つの無限セットに別の無限セットを追加すると、結果は最初の 2 つのセットの要素で構成される新しい無限セットになります。

自然数の集合は、測定用の定規と同じように数えるために使用されます。 ここで、定規に 1 センチメートルを加えたと想像してください。 これはすでに別の行になり、元の行と同等ではなくなります。

私の推論を受け入れるか受け入れないかはあなた次第です。これはあなた自身の仕事です。 しかし、数学的な問題に遭遇した場合は、何世代にもわたる数学者が歩んできた誤った推論の道に自分が陥っていないか考えてください。 結局のところ、数学の授業は、まず第一に、私たちの中に安定した思考の固定観念を形成し、それから初めて私たちに精神的能力を追加します（または逆に、私たちから自由な思考を奪います）。

ポズグル

2019年8月4日（日）

に関する記事の追記を書いていたところ、ウィキペディアで次のような素晴らしい文章を見つけました。

「…バビロンの数学の豊かな理論的基礎は、全体的な性格を持たず、共通のシステムや証拠基盤を欠いた、一連の異種技術に還元された。」

おお！ 私たちはどれほど賢く、他人の欠点をどれほどよく見ることができるか。 現代数学を同じ文脈で見ることは私たちにとって弱いのでしょうか？ 上記の文章を少し言い換えると、個人的には次のように感じました。

現代数学の豊かな理論的基礎は全体的な性格を持たず、共通のシステムや証拠基盤を持たず、一連の異なるセクションに縮小されています。

私の言葉を確認するためにそこまではしませんが、数学には他の多くの分野の言語や慣例とは異なる言語や慣例があります。 数学の異なる分野では同じ名前が異なる意味をもつ場合があります。 私は出版サイクル全体を現代数学の最も明白な間違いに費やしたいと考えています。 また近いうちにお会いしましょう。

2019年8月3日土曜日

セットをサブセットに分割するにはどうすればよいでしょうか? これを行うには、選択したセットの一部の要素に存在する新しい測定単位を入力する必要があります。 例を考えてみましょう。

たくさんありますように あ 4人で構成されています。 このセットは「人」をベースに構成されています このセットの要素を文字で指定しましょう あ、数字の付いた下付き文字は、このセット内の各人物の序数を示します。 新しい測定単位「性的特性」を導入し、文字で表しましょう b。 性的特徴はすべての人に生まれつき備わっているため、セットの各要素を掛け合わせます。 あ性別について b。 「人」セットが「性別を持つ人」セットになっていることに注目してください。 その後、性的特徴を男性に分けることができます。 BMそして女性用 モノクロ性別の特徴。 ここで数学的フィルターを適用できます。これらの性的特徴の 1 つを選択します。どちらが男性か女性かは関係ありません。 それが人に存在する場合は1を掛け、そのような兆候がない場合は0を掛けます。 そして、通常の学校数学を適用します。 何が起こったか見てみましょう。

乗算、削減、再配置の後、2 つのサブセットが得られました。男性のサブセットです。 BMそして一部の女性 モノクロ。 数学者が実際に集合論を適用するときの推論方法とほぼ同じです。 しかし、彼らは私たちに詳細を教えてくれず、最終的な結果、つまり「多くの人は男性の一部と女性の一部で構成されている」ということだけを教えてくれる。 当然のことながら、上記の変換に数学がどのように正しく適用されているのかという疑問が生じるかもしれません。 実際、変換は正しく行われており、算術、ブール代数、および数学の他のセクションの数学的正当性を知っていれば十分であることをあえて保証します。 それは何ですか？ それについてはまた別の機会にお話します。

スーパーセットに関しては、これら 2 つのセットの要素に存在する測定単位を選択することで、2 つのセットを 1 つのスーパーセットに結合することができます。

ご覧のとおり、測定単位と一般的な数学により、集合論は過去のものになりました。 集合論ですべてがうまくいっていないことの兆候は、数学者が集合論用の独自の言語と表記法を考え出したことです。 かつてシャーマンがやったことを数学者もやった。 シャーマンだけが、自分の「知識」を「正しく」適用する方法を知っています。 この「知識」は彼らが私たちに教えてくれます。

結論として、数学者がどのように操作するかを示したいと思います。
アキレスが亀よりも 10 倍速く走り、亀より 1,000 歩遅れているとします。 アキレスがこの距離を走る間に、亀は同じ方向に百歩這うことになります。 アキレスが 100 歩走ると、亀はさらに 10 歩を這うようになります。 このプロセスは無限に続き、アキレスは決して亀に追いつきません。

この推論は、その後のすべての世代にとって論理的な衝撃となりました。 アリストテレス、ディオゲネス、カント、ヘーゲル、ギルベルト...彼らは皆、何らかの形でゼノンのアポリアを考えていました。 あまりにも衝撃が強かったので」 ... 現在も議論は続いているが、科学界はパラドックスの本質についてまだ共通の意見に達していない ... この問題の研究には数学的分析、集合論、新しい物理的および哲学的アプローチが関与した; それらはどれも、問題に対して広く受け入れられる解決策にはなりませんでした...「[ウィキペディア、『ゼノンのアポリアス』]。騙されているということは誰もが理解していますが、その欺瞞が何なのかは誰も理解していません。

数学の観点から見ると、ゼノンはアポリアの中で、価値から価値への移行を明確に示しました。 この移行は、定数の代わりに適用することを意味します。 私の理解する限り、可変の測定単位を適用するための数学的装置はまだ開発されていない、あるいはゼノンのアポリアには適用されていない。 通常の論理を適用すると、私たちは罠に陥ります。 私たちは思考の慣性によって、一定の時間単位を逆数に適用します。 物理的な観点から見ると、これはアキレスが亀に追いついた瞬間に完全に停止するまでの時間の減速のように見えます。 時間が止まったら、アキレスは亀を追い越せなくなります。

私たちが慣れ親しんでいる論理を変えると、すべてがうまくいきます。 アキレスは一定の速度で走ります。 パスの後続の各セグメントは、前のセグメントよりも 10 倍短くなります。 したがって、それを克服するのに費やされる時間は、以前のものよりも10倍少なくなります。 この状況に「無限」の概念を当てはめると、「アキレスは無限に速く亀を追い越す」というのが正しいでしょう。

この論理的な罠を回避するにはどうすればよいでしょうか? 一定の時間単位を維持し、逆数値に切り替えません。 Zeno の言語では次のようになります。

アキレスが千歩走る間に、亀は同じ方向に百歩這う。 最初と同じ次の時間間隔で、アキレスはさらに 1000 歩を走り、亀は 100 歩を這います。 今、アキレスは亀より800歩進んでいます。

このアプローチは、論理的な矛盾なしに現実を適切に説明します。 しかし、これは問題の完全な解決策ではありません。 光の速さの克服不可能性についてのアインシュタインの発言は、ゼノンのアポリア「アキレスと亀」と非常によく似ています。 私たちはまだこの問題を研究し、再考し、解決する必要があります。 そして、解決策は無限大の数ではなく、測定単位で求められなければなりません。

ゼノンのもう一つの興味深いアポリア​​は、飛んでいく矢について語っています。

飛んでいる矢は、どの瞬間にも静止しているので動かず、どの瞬間にも静止しているので、常に静止している。

このアポリアでは、論理的パラドックスは非常に簡単に克服されます。飛んでいる矢が各瞬間に空間の異なる点で静止しており、実際にはそれが運動であることを明確にするだけで十分です。 ここでもう一つ注意すべき点があります。 道路上の車の 1 枚の写真からは、車が移動した事実も車までの距離も判断することはできません。 車が動いたという事実を判断するには、同じ場所から異なる時間に撮影された2枚の写真が必要ですが、それらの写真を使用して距離を判断することはできません。 車までの距離を決定するには、空間内の異なる点から同時に撮影した2枚の写真が必要ですが、それらから移動の事実を判断することはできません（当然のことながら、計算には追加のデータが必要です。三角法が役立ちます）。 特に指摘したいのは、時間上の 2 点と空間上の 2 点は、異なる探索の機会を提供するため、混同すべきではない 2 つの異なるものであるということです。
例を挙げてプロセスを説明します。 私たちは「ニキビの中の赤い固体」を選択します - これが私たちの「全体」です。 同時に、これらのものには弓があるものもあれば、弓のないものもあることがわかります。 その後、「全体」の一部を選択し、「弓付き」のセットを形成します。 これがシャーマンが自分たちの定説を現実に結びつけることで自分自身を養う方法です。

では、ちょっとしたトリックをやってみましょう。 「リボン付きのニキビの固体」を取り出し、赤い要素を選択して、これらの「全体」を色で結合しましょう。 たくさんの「赤」をいただきました。 ここで難しい質問です。受け取った「弓付き」セットと「赤」セットは同じセットですか、それとも 2 つの異なるセットですか? 答えはシャーマンだけが知っています。 より正確には、彼ら自身は何も知りませんが、彼らが言うように、それはそれでいいのです。

この簡単な例は、集合論が現実になるとまったく役に立たないことを示しています。 秘密は何ですか？ 「リボン付き赤ベタピンプル」のセットを結成しました。 形成は、色 (赤)、強度 (固体)、粗さ (ニキビの場合)、装飾 (リボン付き) の 4 つの異なる測定単位に従って行われました。 数学の言語で現実の物体を適切に記述することができるのは、一連の測定単位のみです。。 外観は次のとおりです。

異なる指数を持つ文字「a」は、異なる測定単位を表します。 括弧内には測定単位が強調表示されており、それに応じて準備段階で「全体」が割り当てられます。 セットの形成に使用される測定単位が括弧内に表示されます。 最後の行は、最終結果、つまりセットの要素を示します。 ご覧のとおり、単位を使用してセットを形成する場合、結果はアクションの順序に依存しません。 そしてこれは数学であり、タンバリンを持ったシャーマンの踊りではありません。 シャーマンは、測定単位が彼らの「科学的」武器に含まれていないため、「直感的に」同じ結果に達し、それを「明白」と主張することができます。

測定単位を使用すると、1 つのセットを分割したり、複数のセットを 1 つのスーパーセットに結合したりすることが非常に簡単になります。 このプロセスの代数を詳しく見てみましょう。

三角形の面積定理

定理1

三角形の面積は、2 つの辺とそれらの辺の間の角度の正弦の積の半分です。

証拠。

任意の三角形 $ABC$ が与えられるとします。 この三角形の辺の長さを $BC=a$、$AC=b$ と表します。 デカルト座標系を導入して、点 $C=(0,0)$、点 $B$ が右半軸 $Ox$ 上にあり、点 $A$ が第 1 座標象限内にあるようにします。 点$A$から高さ$h$を描きます(図1)。

図 1. 定理 1 の図

高さ $h$ は点 $A$ の縦座標に等しいので、

正弦定理

定理2

三角形の辺は、反対角の正弦に比例します。

証拠。

任意の三角形 $ABC$ が与えられるとします。 この三角形の辺の長さを $BC=a$, $AC=b,$ $AC=c$ と表します (図 2)。

図2.

それを証明しましょう

定理 1 により、次のようになります。

それらをペアで等価すると、次のことがわかります

コサイン定理

定理3

三角形の 1 辺の 2 乗は、三角形の他の 2 つの辺の 2 乗の和と、それらの辺と辺の間の角度の余弦の積を 2 倍にしないと等しくなります。

証拠。

任意の三角形 $ABC$ が与えられるとします。 その辺の長さを $BC=a$, $AC=b,$ $AB=c$ と表します。 点 $A=(0,0)$ 、点 $B$ が正の半軸 $Ox$ 上にあり、点 $C$ が第 1 座標象限に位置するようにデカルト座標系を導入しましょう (図 2)。 3)。

図3

それを証明しましょう

この座標系では、次のことがわかります。

点間の距離の公式を使用して、辺 $BC$ の長さを求めます。

これらの定理を使用した問題の例

例1

任意の三角形の外接円の直径が、三角形の任意の辺と、この辺の反対側の角度の正弦との比に等しいことを証明してください。

解決。

任意の三角形 $ABC$ が与えられるとします。 $R$ - 外接円の半径。 直径 $BD$ を描きます (図 4)。

三角形の面積は、その辺と辺の間の角度の正弦の積の半分に等しくなります。

証拠：

任意の三角形ABCを考えてみましょう。 その中の辺BC = a、辺CA = bとし、Sをこの三角形の面積とします。 それを証明する必要がある S = (1/2)*a*b*sin(C).

まず、直交座標系を導入し、原点を点 C に置きます。点 B が Cx 軸の正の方向に位置し、点 A が正の縦座標を持つように座標系を配置しましょう。

すべてが正しく行われると、次の図が表示されるはずです。

特定の三角形の面積は、次の式を使用して計算できます。 S = (1/2)*a*hここで、h は三角形の高さです。 私たちの場合、三角形 h の高さは点 A の縦座標、つまり h \u003d b * sin (C) に等しくなります。

得られた結果を考慮すると、三角形の面積の公式は次のように書き換えることができます: S = (1/2)*a*b*sin(C)。 Q.E.D.

問題解決

タスク 1. 三角形 ABC の面積を求めます。 a) AB = 6*√8 cm、AC = 4 cm、角度 A = 60 度 b) BC = 3 cm、AB = 18*√2 cm、角度 B= 45 度 c ) AC = 14 cm、CB = 7 cm、角度 C = 48 度。

上記で証明された定理によれば、三角形 ABC の面積 S は次と等しくなります。

S = (1/2)*AB*AC*sin(A)。

計算してみましょう:

a) S = ((1/2) *6*√8*4*sin(60˚)) = 12*√6 cm^2。

b) S = (1/2)*BC*BA*sin(B)=((1/2)* 3*18*√2 *(√2/2)) = 27 cm^2。

c) S = (1/2)*CA*CB*sin(C) = 1/2*14*7*sin48˚ cm^2。

計算機で角度の正弦の値を計算するか、三角関数の角度の値の表からの値を使用します。 答え：

a) 12*√6 cm^2。

c) 約 36.41 cm^2。

問題2. 三角形ABCの​​面積は60cm^2です。 AC = 15 cm、角度 A = 30°の場合、辺 AB を求めます。

三角形ABCの​​面積をSとします。 三角形の面積定理により、次のようになります。

S = (1/2)*AB*AC*sin(A)。

持っている値をそれに代入します。

60 = (1/2)*AB*15*sin30˚ = (1/2)*15*(1/2)*AB=(15/4)*AB。

ここから辺ABの長さを表します：AB = (60*4)/15 = 16。

問題に三角形の 2 つの辺の長さとそれらの間の角度が与えられている場合は、サインを介して三角形の面積の公式を適用できます。

サインを使用して三角形の面積を計算する例。 辺 a = 3、b = 4、角度 γ = 30°とします。 角度 30°の正弦は 0.5

三角形の面積は3平方メートルになります。 cm。

面積は、辺の正方形の半分に分数を掛けたものと等しくなります。 分子には隣接する角度の正弦の積が、分母には反対の角度の正弦が入ります。 ここで、次の式を使用して面積を計算します。

たとえば、辺 a=3、角度 γ=60°、β=60°の三角形があるとします。 3 番目の角度を計算します。
データを式に代入する
三角形の面積は3.87平方メートルであることがわかります。 cm。

II. コサインで表した三角形の面積

三角形の面積を求めるには、すべての辺の長さを知る必要があります。 コサイン定理により、未知の辺を見つけることができ、その場合にのみ を使用できます。
余弦の法則によれば、三角形の未知の辺の二乗は、残りの辺の二乗の合計から、これらの辺と辺の間の角度の余弦の積の 2 倍を引いたものに等しくなります。

定理から、未知の辺の長さを求める公式を導き出します。

欠けている辺、2 つの辺とそれらの間の角度を見つける方法を知っていれば、面積を簡単に計算できます。 コサインに関する三角形の面積の公式は、さまざまな問題の解決策を迅速かつ簡単に見つけるのに役立ちます。

コサインから三角形の面積を計算する式の例
既知の辺 a = 3、b = 4、および角度 γ = 45° を持つ三角形が与えられているとします。 まずは足りない部分を探しましょう。 と。 コサイン45°=0.7より。 これを行うには、コサイン定理から導出された方程式にデータを代入します。
ここで公式を使用すると、次のようになります。