幾何光学の基本法則。 光波の光路長 光の屈折の法則

目で認識される光の波の長さは非常に短い（オーダー）。 したがって、可視光の伝播は、その波の性質を抽象化し、光が光線と呼ばれる特定の線に沿って伝播すると仮定した最初の近似として考えることができます。 限定的なケースでは、対応する光学法則を幾何学の言語で定式化できます。

これに従って、波長の有限性を無視した光学分野は幾何光学と呼ばれます。 このセクションの別名は光線光学です。

幾何光学の基礎は、次の 4 つの法則によって形成されます。1) 光の直線伝播の法則。 2) 光線の独立の法則。 3）光の反射の法則。 4) 光の屈折の法則。

直進伝播の法則は、均質な媒質中では光は直進することを示しています。 この法則は近似的なものです。光が非常に小さな穴を通過すると、真直さからのずれが観察され、穴が大きくなるほど穴は小さくなります。

光線の独立の法則は、ハリアーが交差するときに互いに邪魔をしないことを示しています。 光線が交差しても、それぞれの光線が互いに独立して伝播することは妨げられません。 この法則は、光の強度がそれほど高くない場合にのみ有効です。 レーザーで達成される強度では、光線の独立性はもはや尊重されません。

光の反射と屈折の法則は、§ 112 で定式化されます (式 (112.7) と (112.8) および次の本文を参照)。

幾何光学は、17 世紀半ばにフランスの数学者フェルマーによって確立された原理に基づくことができます。 この原理から、光の直進伝播、反射、屈折の法則が導き出されます。 フェルマー自身が定式化したように、この原理は、光は最小の移動時間を必要とする経路に沿って移動すると述べています。

パスの一部を通過するには (図 2)

115.1) 光には時間がかかります。ここで、v は媒体内の特定の点での光の速度です。

v を置き換えると ((110.2) を参照)、次のことが得られます。 したがって、光が点から点 2 まで移動するのに費やされる時間は次のようになります。

(115.1)

長さの次元を持つ量

光路長といいます。

均質な媒質では、光路長は幾何学的経路長 s と媒質の屈折率の積に等しくなります。

(115.1) および (115.2) によると

移動時間と光路長 L の比例関係により、フェルマーの原理を次のように定式化することができます。光は、光路長が最小となる経路に沿って伝播します。 より正確には、光路長は極端である必要があります。つまり、最小、最大、または静止のいずれかであり、考えられるすべての経路で同じである必要があります。 後者の場合、2 点間のすべての光路は互時性 (移動に同じ時間を必要とする) であることがわかります。

フェルマーの原理は、光線の可逆性を意味します。 実際、光路は、点 1 から点 2 への光の伝播の場合には最小になりますが、反対方向への光の伝播の場合にも最小になります。

その結果、ポイント 1 からポイント 2 に移動した光線に向かって発射された光線は、同じ経路をたどりますが、方向は逆になります。

フェルマーの原理を使用すると、光の反射と屈折の法則が得られます。 光が点 A から点 B に落ち、表面で反射されます (図 115.2; A から B への直接の経路は不透明なスクリーン E によってブロックされます)。 ビームが通過する媒体は均質です。 したがって、最小光路長はその幾何学的な長さの最小値まで短縮されます。 任意のパスの幾何学的な長さは、(補助点 A は点 A の鏡像です) に等しくなります。 図から、反射角が入射角と等しい点 O で反射された光線の経路が最短であることがわかります。 点 O が点 O から遠ざかるにつれて、パスの幾何学的な長さが無限に増加することに注意してください。したがって、この場合、極値は 1 つだけ、つまり最小値になります。

ここで、光路長が極端になるようにビームが屈折して A から B に伝播する必要がある点を見つけてみましょう (図 115.3)。 任意のビームの場合、光路長は次のようになります。

極値を見つけるには、L を x に関して微分し、微分値をゼロと同等にします)

の因数はそれぞれ等しいため、次の関係が得られます。

屈折の法則を表します (式 (112.10) を参照)。

回転楕円体の内面からの反射を考えてみましょう (図 115.4; - 楕円体の焦点)。 楕円の定義によれば、パスなどの長さは同じになります。

したがって、焦点を出て反射後に焦点に到着するすべての光線は互時性です。 この場合、光路長は一定である。 楕円体の表面を、曲率が小さく、MM からの反射後にその点から出てくる光線が点に当たるように方向付けられた MM 曲面に置き換えると、経路は最小になります。 楕円体の曲率より大きい曲率を持つ表面の場合、パスは最大になります。

光路の定常性は、光線がレンズを通過するときにも発生します (図 115.5)。 ビームは空気中では最短の経路を持ち（屈折率がほぼ 1 に等しい）、ガラス中では最長の経路を持ちます（ビームの経路は空気中では長くなりますが、ガラス中では短くなります。その結果、光路長はすべての光線は同じであるため、光線は互時的であり、光路長は静止しています。

不均質な等方性媒質中を光線 1、2、3 などに沿って伝播する波を考えてみましょう (図 115.6)。 不均一性が十分に小さいため、長さ X の光線のセグメント上で屈折率が一定であるとみなせると考えます。

光路長

光路長透明な媒体の点 A と B の間は、光 (光放射) が A から B に通過する間に真空中を伝播する距離です。均質媒体内の光路長は、光が通過する距離の積です。屈折率n×屈折率を持つ媒質：

不均質な媒質の場合、幾何学的な長さを非常に小さな間隔に分割し、この間隔にわたって屈折率が一定であるとみなせるようにする必要があります。

合計の光路長は積分によって求められます。

ウィキメディア財団。 2010年。

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(4) から、2 つのコヒーレント光線を加算した結果は、光路差と光の波長の両方に依存することがわかります。 真空中の波長は次の量によって決まります。 と=3×10 8 m/s は真空中の光の速度であり、 – 光の振動の周波数。 光学的に透明な媒体中の光の速度 v は常に真空中の光の速度より小さく、
呼ばれた 光学密度環境。 この値は、数値的には媒体の絶対屈折率と同じです。

光の振動の周波数によって決まります。 色光波。 ある環境から別の環境に移動しても、色は変わりません。 これは、すべての媒体の光振動の周波数が同じであることを意味します。 しかしその後、光が、たとえば真空から屈折率のある媒質に入るとき、 n波長が変わらなければならない
これは次のように変換できます。

,

ここで、 0 は真空中の波長です。 つまり、光が真空から光学的に密度の高い媒体に入るとき、光の波長は次のようになります。 減少する V n一度。 幾何学的なパス上で
光学濃度のある環境で n適合します

波 (5)

マグニチュード
呼ばれた 光路長物質の中の光:

光路長
物質内の光は、この媒体内の幾何学的経路長と媒体の光学密度の積です。

.

言い換えれば (関係 (5) を参照):

物質内の光の光路長は、真空内の光路長に数値的に等しく、物質内の幾何学的な長さと同じ数の光波が当てはまります。

なぜなら 干渉の結果はによって決まります 位相シフト干渉する光波間の干渉の場合は、干渉の結果を評価する必要があります。 光学的 2本の光線間の経路差

,

同じ数の波が含まれています 関係なく媒体の光学濃度について。

2.1.3.薄膜の干渉

光線が「半分」に分割され、干渉縞が現れることは、自然条件下でも可能です。 光線を「半分」に分割する自然な「装置」は、たとえば薄膜です。 図 5 は、厚さのある薄い透明フィルムを示しています。 、それに対して斜めに 平行光線が降り注ぐ（平面電磁波）。 ビーム 1 はフィルムの上面で部分的に反射され (ビーム 1)、部分的にフィルム内に屈折します。

屈折角のki 。 屈折したビームは下面で部分的に反射し、ビーム 1 (ビーム 2) と平行にフィルムから出射します。 これらの光線が集光レンズに向けられた場合 L、その後、スクリーンE（レンズの焦点面）上で干渉します。 干渉の結果は以下によって異なります。 光学的「分割」点からのこれらの光線の経路の違い
集合場所へ
。 図から明らかなように、 幾何学的なこれらの光線の経路の差は、差に等しい ジオム . =ABC-AD.

空気中の光の速度は真空中の光の速度とほぼ同じです。 したがって、空気の光学密度は 1 とみなすことができます。 フィルム素材の光学濃度の場合 n、フィルム内の屈折光線の光路長 ABCn。 さらに、ビーム 1 が光学的に密度の高い媒体から反射されると、波の位相は反対に変化します。つまり、半波が失われます (またはその逆が得られます)。 したがって、これらの光線の光路差は次の形式で記述される必要があります。

 卸売 . = ABCn – 広告  /  . (6)

図から明らかなように、 ABC = 2d/cos r、A

AD = 交流罪 私 = 2dtg r罪 私.

空気の光学密度を置くと n V=1、学校のコースから判明 スネルの法則屈折率（フィルムの光学密度）の依存性を与えます。

。 (6a)

これをすべて (6) に代入すると、変換後に干渉光の光路差について次の関係が得られます。

なぜなら ビーム 1 がフィルムから反射されると、波の位相が反対に変化し、最大干渉と最小干渉の条件 (4) が逆転します。

- 状態 最大

- 状態 分. (8)

いつであるかを示すことができます 通過薄膜を通過する光も干渉パターンを生成します。 この場合、半波の損失はなくなり、条件(4)が満たされます。

したがって、条件は、 最大そして 分薄膜から反射された光線の干渉により、4 つのパラメータ間の関係 (7) によって決定されます。
したがって、次のようになります。

1) 「複雑な」 (非単色) 光では、フィルムはその波長の色でペイントされます。 条件を満たします 最大;

2) 光線の傾きを変更する ( )、条件を変更できます 最大、フィルムを暗くしたり明るくしたり、発散する光線でフィルムを照らすことで、次のことが得られます。 ストライプ« 等しい傾き」の条件に該当します 最大入射角による ;

3) フィルムの厚さが場所によって異なる場合 ( )、そうすると表示されます 等しい厚さのストリップ、条件が満たされた場合 最大厚さによる ;

4) 特定の条件下で (条件 分光線がフィルムに垂直に入射した場合）、フィルムの表面から反射された光は互いに打ち消し合い、 反射映画からは何もありません。

光路長は、光ビームの経路長と媒体の屈折率（真空中を伝播する光が同時に進む経路）の積です。

2 つのソースからの干渉パターンの計算。

2 つのコヒーレント発生源からの干渉パターンの計算。

光源 u から放射される 2 つのコヒーレント光波を考えてみましょう (図 1.11.)。

干渉縞（明暗が交互に現れる縞模様）を観察するためのスクリーンを両スリットと平行に等距離に置き、干渉縞の中心からスクリーン上の観察対象点Pまでの距離をxとします。

音源間の距離を次のように表します。 d。 発生源は、干渉パターンの中心に対して対称的に配置されます。 図から明らかなように、

したがって、

光路差は次のようになります。

経路差は数波長分あり、常に大幅に小さいため、次のように仮定できます。 この場合、光路差の式は次の形式になります。

光源からスクリーンまでの距離は、干渉パターンの中心から観測点までの距離よりも何倍も大きいため、それが推測できます。 e.

値 (1.95) を条件 (1.92) に代入して x を表すと、強度の最大値が値で観察されることがわかります。

, (1.96)

ここで、 は媒質内の波長、そして メートルは干渉の順序であり、 バツ 最大 - 強度最大値の座標。

(1.95) を条件 (1.93) に代入すると、強度最小値の座標が得られます。

, (1.97)

画面上には、明るい縞と暗い縞が交互に現れる干渉縞が表示されます。 ライトストライプの色は、設置に使用されるフィルターによって決まります。

隣接する最小値（または最大値）間の距離は干渉縞幅と呼ばれます。 (1.96) と (1.97) から、これらの距離は同じ値を持つことがわかります。 干渉縞の幅を計算するには、1 つの最大値の座標値から隣接する最大値の座標を減算する必要があります。

これらの目的のために、任意の 2 つの隣接する最小値の座標値を使用することもできます。

強度の最小値と最大値の座標。

光線経路の光学長。 干渉の最大値と最小値を取得するための条件。

真空中では光の速度は に等しく、屈折率 n の媒質中では光の速度 v は小さくなり、式 (1.52) によって決まります。

真空中および媒質中の波長は、真空中の波長よりも n 分の 1 (1.54) 小さくなります。

ある媒体から別の媒体に移動しても、媒体内の荷電粒子によって放出される二次電磁波は、入射波の周波数で発生する強制振動の結果であるため、光の周波数は変化しません。

2 つの点コヒーレント光源から単色光を放射します (図 1.11)。 これらの場合、次のコヒーレンス条件が満たされる必要があります。 点 P まで、最初の光線は屈折率のある媒体 (パス) を進み、2 番目の光線は屈折率のある媒体 (パス) を通過します。 光源から観測点までの距離は、光線経路の幾何学的長さと呼ばれます。 媒質の屈折率と幾何学的経路長の積は、光路長 L=ns と呼ばれます。 Ｌ １ ＝およびＬ １ ＝は、それぞれ第１および第２の経路の光学長である。

u を波の位相速度としましょう。

最初の光線は点 P で振動を励起します。

, (1.87)

2番目の光線は振動です

, (1.88)

点 P における光線によって励起される振動間の位相差は次のようになります。

, (1.89)

乗数は (- 真空中の波長) に等しく、位相差の式は次の形式で与えられます。

光路差と呼ばれる量があります。 干渉パターンを計算する場合、考慮すべきは光線の経路における光学的な差、つまり光線が伝播する媒体の屈折率です。

式 (1.90) から、光路差が真空中の波長の整数倍に等しい場合は明らかです。

その場合、位相差が生じ、同位相で発振が発生します。 番号 メートルを干渉次数といいます。 したがって、条件（１．９２）は干渉最大値の条件となる。

真空中の波長の整数の半分に等しい場合、

, (1.93)

それ 、その結果、点 P での振動は逆位相になります。 条件（１．９３）は干渉最小の条件である。

したがって、光線の光路差に等しい長さで偶数の半波長が適合する場合、スクリーン上の特定の点で最大強度が観察されます。 光線経路差の長さに沿って半波長の数が奇数である場合、スクリーン上の特定の点で最小照度が観察されます。

2 つの光線経路が光学的に同等である場合、それらは互時性と呼ばれることを思い出してください。 光学系（レンズ、ミラー）は互時性の条件を満たします。

幾何光学の基本法則は古くから知られています。 したがって、プラトン (紀元前 430 年) は光の直進の法則を確立しました。 ユークリッドの論文は、光の直線伝播の法則と、入射角と反射角の等しい法則を定式化しました。 アリストテレスとプトレマイオスは光の屈折を研究しました。 しかし、これらの正確な文言は、 幾何光学の法則 ギリシャの哲学者たちはそれを見つけることができませんでした。 幾何光学 は波動光学の限定的なケースです。 光の波長はゼロに近づく傾向があります。 光学機器における影の出現や画像の生成などの最も単純な光学現象は、幾何光学の枠組みの中で理解できます。

幾何光学の正式な構築は以下に基づいています。 四つの法則 実験的に確立された: · 光の直進の法則; · 光線の独立の法則; · 反射の法則; · 光の屈折の法則 これらの法則を分析するために、H. ホイヘンスは単純で視覚的な方法を提案しました。後で呼ばれる ホイヘンスの原理 .光励起が到達する各点は、 ,その順番で、 二次波の中心;ある瞬間にこれらの二次波を包む表面は、その瞬間に実際に伝播する波の前の位置を示します。

ホイヘンス氏は自身の手法に基づいて次のように説明した。 光の伝播の直進性 そして持ち出された 反射の法則 そして 屈折 .光の直進の法則 :· 光は光学的に均質な媒体中を直進します。この法則の証拠は、小さな光源で照らされたときに、不透明な物体からの鋭い境界を持つ影が存在することです。しかし、慎重な実験によると、光が非常に小さな穴を通過すると、この法則に違反し、伝播の直線性からの逸脱が発生します。大きいほど、穴は小さくなります。

オブジェクトによって投影される影は次のように決定されます。 光線の直進性 図 7.1 天体図 光の直進 そして特に、本影と半影の形成は、いくつかの惑星が他の惑星によって影になることによって引き起こされる可能性があります。 月食 , 月が地球の影に入るとき (図 7.1)。 月と地球の相互運動により、地球の影が月の表面を移動し、月食はいくつかの部分的な段階を経ます（図7.2）。

光線の独立の法則 :· 個々のビームによって生じる効果は、,他のバンドルが同時に動作するか、それとも削除されるか。光束を個別の光ビームに分割することにより (たとえば、絞りを使用して)、選択した光ビームの作用が独立していることを示すことができます。 反射の法則 (図 7.3): 反射光線は入射光線と同じ平面上にあり、その垂直線は,衝撃点で 2 つのメディア間の境界面に引き寄せられる;· 入射角α 反射角に等しいγ: α = γ

反射の法則を導き出すには ホイヘンスの原理を使ってみましょう。 平面波（波面）を仮定します。 AB と、2つのメディア間の境界面に位置します(図7.4)。 波面のとき AB点で反射面に到達します あ、この点は放射され始めます 二次波 .・波が遠くまで伝わるためには 太陽所要時間Δ t = 紀元前/ υ . 同時に、二次波の前線は半球の半径の点に到達します。 広告これは次と等しい: υ Δ t= 太陽。現時点での反射波面の位置は、ホイヘンスの原理に従って、次の平面によって与えられます。 直流, この波の伝播方向は光線 II です。 三角形の等式から ABCそして ADC流出する 反射の法則: 入射角α 反射角に等しい γ . 屈折の法則 (スネルの法則) (図 7.5): 入射光線、屈折光線、および入射点で界面に引いた垂線は同じ平面内にあります。· 入射角の正弦と屈折角の正弦の比は、特定の媒体に対して一定の値です。.

屈折の法則の導出。 平面波（波面）を仮定します。 AB)、真空中を方向 I に沿って高速で伝播します。 と、その伝播速度が等しい媒体との界面に落ちます。 あなた(図 7.6) 波が経路を移動するのにかかる時間を考えます。 太陽、Dに等しい t。 それから BC = 秒 D t. 同時に、点によって励起される波の前面 あスピードのある環境で あなた, 半径が次の半球の点に到達します 広告 = あなた D t. 現時点での屈折波面の位置は、ホイヘンスの原理に従って、次の平面によって与えられます。 直流, およびその伝播方向 - 光線 III による . 図より 7.6 それは明らかです。すなわち、 .これは意味します スネルの法則 : 光の伝播の法則のわずかに異なる公式は、フランスの数学者で物理学者の P. フェルマーによって与えられました。

物理研究は主に光学に関連しており、彼は 1662 年に幾何光学の基本原理 (フェルマーの原理) を確立しました。 フェルマーの原理と力学の変分原理の類似性は、現代の力学と光学機器の理論の発展に重要な役割を果たしました。 フェルマーの原理 、光はパスに沿って 2 点間を伝播します。 最短時間. この原理を適用して、同じ光の屈折の問題を解決する方法を示しましょう。 S真空の中にあるものが点に到達する で、界面を越えた何らかの媒体に位置します（図7.7）。

どんな環境でも最短距離は真っ直ぐ SAそして AB。 終点 あ距離によって特徴づける バツソースから界面まで降下した垂線からの距離。 パスの移動に費やした時間を決定しましょう SAB:最小値を見つけるには、次に関する τ の一次導関数を求めます。 バツここから、ホイヘンスの原理に基づいて得られたのと同じ式にたどり着きます。フェルマーの原理は今日に至るまでその重要性を保持しており、力学法則の一般的な定式化の基礎として機能しています。相対性理論と量子力学) フェルマーの原理から、いくつかの結果が得られます。 光線の可逆性 : ビームを逆にすると III (図 7.7)、 界面に斜めに落ちてしまうβ, その場合、最初の媒質内の屈折光線はある角度で伝播します。 α, つまり、ビームに沿って反対方向に進みます。私 . もう一つの例は蜃気楼です 、これは暑い道路を走行する旅行者によく観察されます。 前方にオアシスが見えますが、そこに着くと周りは砂だらけです。 重要なのは、この場合、砂の上を光が通過しているのが見えるということです。 道路の上の空気は非常に熱く、上層ではより冷たくなります。 膨張する熱い空気はより希薄になり、その中の光速は冷たい空気よりも速くなります。 したがって、光は直進せずに最短時間の軌道を描き、暖かい空気の層となります。 光がそこから出てくるなら 高屈折率媒体 (光学的により高密度) より低い屈折率を持つ媒体へ (光学的に密度が低い) ( > ) , たとえば、ガラスから空気への場合、屈折の法則に従って、 屈折した光線は法線から遠ざかります そして、屈折角 β は入射角 α よりも大きくなります (図 7.8) あ).

入射角が増加すると、屈折角も増加します (図 7.8) b, V)、特定の入射角 () で屈折角が π/2 に等しくなるまで、その角度は次のように呼ばれます。 限界角度 。 入射角αで > すべての入射光は完全に反射されます (図 7.8) G). · 入射角が限界に近づくと、屈折光線の強度は減少し、反射光線は増加します · の場合、屈折光線の強度はゼロになり、反射光線の強度は の強度に等しくなります事件 1 の様子 (図 7.8) G). · したがって,から π/2 の範囲の入射角で,ビームは屈折しない,第 1 水曜日に完全に反映されます,さらに、反射光線と入射光線の強度は同じです。 この現象はと呼ばれます 完全な反省。 限界角度は次の式で求められます。 ; .全反射プリズムは全反射現象を利用したものです。 (図7.9)。

ガラスの屈折率は n » 1.5 であるため、ガラスと空気の界面の限界角度が決まります。 = arcsin (1/1.5) = 42° 光がαのガラスと空気の境界に当たるとき > 42°では常に全反射が発生します。 図 7.9 は、a) ビームを 90°回転する、b) 画像を回転する、c) 光線を包み込むことを可能にする全反射プリズムを示しています。 全反射プリズムは光学機器に使用されています （たとえば、双眼鏡、潜望鏡）、物体の屈折率を測定できる屈折計（屈折の法則に従って、 を測定することで、2 つの媒質の相対屈折率を決定します。また、 2 番目の媒質の屈折率がわかっている場合は、媒質の 1 つの絶対屈折率)。

全反射現象はこんなところでも使われています。 ライトガイド 、光学的に透明な材料で作られた細くてランダムに湾曲した糸 (繊維) です。 7.10 ファイバー部品にはガラスファイバーが使用され、その導光コア（コア）はガラス、つまり屈折率の低い別のガラスで作られたシェルで囲まれています。 ライトガイドの端に入射する光 限界を超える角度で 、コアシェルインターフェースで行われます。 全反射 ライトガイドのコアに沿ってのみ伝播します。 大容量電信電話ケーブル 。 ケーブルは人間の髪の毛ほどの細さの何百、何千もの光ファイバーで構成されています。 このような通常の鉛筆の太さのケーブルを介して、最大 8 万の通話を同時に送信できます。さらに、ライト ガイドは、光ファイバー陰極線管、電子計数機、情報の符号化、医療などに使用されています。胃の診断など)、統合光学の目的。