確率変数の値の数学的期待値を求めます。 EXCELの平均値と期待値

答えを確認できる独立したソリューションのタスクもあります。

数学的な期待値と分散は、確率変数の数値的特性として最も一般的に使用されます。 これらは、分布の最も重要な特徴、つまりその位置と分散度を特徴づけます。 数学的な期待値は、単に平均値と呼ばれることがよくあります。 確率変数。 確率変数の分散 - 分散の特性、確率変数の分散 その数学的期待について。

多くの実践問題では、確率変数 (分布の法則) の完全かつ網羅的な記述は取得できないか、まったく必要ありません。 このような場合、数値特性を使用した確率変数の近似的な記述に限定されます。

離散確率変数の数学的期待

数学的期待値の概念に戻ってみましょう。 ある物質の質量が x 軸の点間に分布するとします。 バツ1 , バツ 2 , ..., バツ n。 さらに、各物質点は、次の確率でそれに対応する質量を持ちます。 p1 , p 2 , ..., p n。 X 軸上の 1 つの点を選択する必要があります。これは、質量を考慮して、物質点系全体の位置を特徴づけます。 このような点として質点系の重心を考えるのが自然である。 これは確率変数の加重平均です バツ、各点の横座標は バツ私対応する確率に等しい「重み」でエントリーします。 こうして得られた確率変数の平均値 バツは数学的期待値と呼ばれます。

離散確率変数の数学的期待値は、すべての可能な値の積とこれらの値の確率の合計です。

例1当たる抽選会を開催しました。 賞金は 1000 件あり、そのうち 400 件はそれぞれ 10 ルーブルです。 各 300 ～ 20 ルーブル それぞれ200〜100ルーブル。 それぞれ100〜200ルーブル。 チケットを 1 枚購入した人の平均賞金はいくらですか?

解決。 賞金総額 (10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50,000 ルーブル) を 1000 (賞金総額) で割ると、平均賞金がわかります。 すると、50000/1000 = 50 ルーブルが得られます。 ただし、平均ゲインを計算する式は、次の形式で表すこともできます。

一方、これらの条件下では、賞金の額は10、20、100、200ルーブルの値をとる可能性があるランダム変数です。 確率はそれぞれ 0.4 です。 0.3; 0.2; 0.1。 したがって、期待される平均ペイオフは、ペイオフのサイズとそれを受け取る確率の積の合計に等しくなります。

例 2出版社は新しい本を出版することに決めました。 彼はその本を280ルーブルで売る予定で、そのうち200ルーブルが彼に、50ルーブルが書店に、30ルーブルが著者に与えられる予定だ。 この表には、本の出版にかかる費用と、その本の一定部数が売れる可能性に関する情報が示されています。

出版社の期待利益を求めます。

解決。 確率変数「利益」は、販売による収入と原価の差に等しくなります。 たとえば、書籍が 500 部販売された場合、販売収入は 200 * 500 = 100,000、出版コストは 225,000 ルーブルになります。 したがって、出版社は 125,000 ルーブルの損失に直面することになります。 次の表は、確率変数 - 利益の期待値をまとめたものです。

したがって、出版社の利益の数学的期待値が得られます。

.

例 3一撃でヒットするチャンス p= 0.2。 ヒット数が 5 に等しいという数学的期待値をもたらす砲弾の消費量を決定します。

解決。 これまでに使用したのと同じ期待公式から、次のように表されます。 バツ- 貝殻の消費:

.

例 4確率変数の数学的期待値を決定する バツ各ショットでヒットする確率の場合、3 ショットでのヒット数 p = 0,4 .

ヒント: 確率変数の値の確率を次のように求めます。 ベルヌーイの公式 .

期待値のプロパティ

数学的期待値の特性を考えてみましょう。

特性１．定数値の数学的期待値は、次の定数と等しくなります。

プロパティ 2。定数因数は期待値記号から取り出すことができます。

特性３．確率変数の合計 (差) の数学的期待値は、それらの数学的期待値の合計 (差) に等しくなります。

特性４．確率変数の積の数学的期待値は、それらの数学的期待値の積に等しいです。

特性５．確率変数のすべての値が バツ同じ数字だけ減らす（増やす） との場合、その数学的期待値は同じ数値だけ減少 (増加) します。

数学的な期待値だけに限定できない場合

ほとんどの場合、数学的な期待だけでは確率変数を適切に特徴付けることができません。

確率変数を使う バツそして Yは次の分配法則によって与えられます。

これらの量の数学的期待値は同じであり、ゼロに等しいです。

ただし、その分布は異なります。 ランダムな値 バツ数学的期待とわずかに異なる値のみを取ることができ、確率変数 Y数学的な期待から大きく逸脱した値をとる可能性があります。 同様の例: 平均賃金だけでは、高賃金労働者と低賃金労働者の割合を判断することはできません。 言い換えれば、数学的期待によっては、少なくとも平均的に、それからどのような逸脱が起こり得るかを判断することはできません。 これを行うには、確率変数の分散を見つける必要があります。

離散確率変数の分散

分散離散確率変数 バツは、数学的期待値からの偏差の 2 乗の数学的期待値と呼ばれます。

確率変数の標準偏差 バツは分散の平方根の算術値です。

.

例5確率変数の分散と標準偏差を計算する バツそして Y、その分配法則は上の表に示されています。

解決。 確率変数の数学的期待 バツそして Y、上記のように、ゼロに等しい。 の分散公式によれば、 E(バツ)=E(y)=0 を得ます:

次に、確率変数の標準偏差 バツそして Y構成する

.

したがって、同じ数学的期待のもとで、確率変数の分散は バツ非常に小さくてランダム Y- 重要な。 これは、それらの分布の違いの結果です。

例6この投資家は 4 つのオルタナティブ投資プロジェクトを持っています。 表は、これらのプロジェクトの予想利益に関するデータを対応する確率とともにまとめたものです。

それぞれの選択肢について、数学的な期待値、分散、標準偏差を求めます。

解決。 3 番目の選択肢についてこれらの量がどのように計算されるかを示します。

表には、すべての代替案について見つかった値がまとめられています。

すべての選択肢は同じ数学的期待値を持ちます。 これは、長期的には誰もが同じ収入を得られることを意味します。 標準偏差はリスクの尺度として解釈できます。標準偏差が大きいほど、投資のリスクが高くなります。 あまりリスクを望まない投資家は、標準偏差が最小 (0) であるプロジェクト 1 を選択します。 投資家が短期間でのリスクと高いリターンを好む場合、標準偏差が最も大きいプロジェクト、つまりプロジェクト 4 を選択します。

分散特性

分散液の性質を示しましょう。

特性１．定数値の分散はゼロです。

プロパティ 2。定数係数は、分散符号を二乗することで分散符号から取り出すことができます。

.

特性３．確率変数の分散は、この値の二乗の数学的期待値に等しく、そこから値自体の数学的期待値の二乗が減算されます。

,

どこ .

特性４．確率変数の合計 (差) の分散は、それらの分散の合計 (差) に等しくなります。

例 7離散確率変数は バツは、-3 と 7 の 2 つの値のみを取ります。さらに、数学的な期待値もわかっています。 E(バツ) = 4 。 離散確率変数の分散を求めます。

解決。 で示す p確率変数がある値を取る確率 バツ1 = −3 。 次に、値の確率 バツ2 = 7 1 −になります p。 数学的な期待値の方程式を導いてみましょう。

E(バツ) = バツ 1 p + バツ 2 (1 − p) = −3p + 7(1 − p) = 4 ,

ここで確率を取得します。 p= 0.3 および 1 − p = 0,7 .

確率変数の分布の法則:

分散のプロパティ 3 の式を使用して、この確率変数の分散を計算します。

D(バツ) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .

確率変数の数学的期待値を自分で見つけて、解決策を確認します。

例8離散確率変数 バツは 2 つの値のみを取ります。 3 の大きい方の値が 0.4 の確率で採用されます。 さらに、確率変数の分散は既知です D(バツ) = 6 。 確率変数の数学的期待値を求めます。

例9壺には白玉が6個、黒玉が4個入っています。 壺から3つのボールが取り出されます。 描かれたボールのうち白ボールの数は離散確率変数です バツ。 この確率変数の数学的な期待値と分散を求めます。

解決。 ランダムな値 バツ値は 0、1、2、3 を取ることができます。対応する確率は次から計算できます。 確率の乗算の法則。 確率変数の分布の法則:

したがって、この確率変数の数学的期待値は次のようになります。

M(バツ) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .

与えられた確率変数の分散は次のとおりです。

D(バツ) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .

連続確率変数の数学的期待値と分散

連続確率変数の場合、数学的期待値の機械的解釈は同じ意味を保持します。単位質量の質量中心が密度とともに x 軸上に連続的に分布します。 f(バツ）。 離散確率変数とは対照的に、関数の引数は バツ私突然変化する場合、連続確率変数の場合、引数は連続的に変化します。 ただし、連続確率変数の数学的期待は、その平均値にも関係します。

連続確率変数の数学的期待値と分散を求めるには、定積分を求める必要があります。 。 連続確率変数の密度関数が与えられると、それは被積分関数に直接入ります。 確率分布関数が与えられた場合、それを微分して密度関数を見つける必要があります。

連続確率変数のすべての可能な値の算術平均は、その値と呼ばれます。 数学的期待、または で示されます。

数学的期待値は確率変数の確率分布です

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数学的な期待値は、次のとおりです。

数理統計と確率論における最も重要な概念の 1 つで、確率変数の値または確率の分布を特徴づけます。 通常、確率変数のすべての可能なパラメータの加重平均として表現されます。 テクニカル分析、数値系列の研究、継続的かつ長期的なプロセスの研究に広く使用されています。 これはリスクを評価したり、金融市場で取引する際の価格指標を予測したりする際に重要であり、ギャンブル理論における戦略やゲーム戦術の開発に使用されます。

数学的な期待値は次のとおりです。確率変数の平均値、確率変数の確率分布は確率理論で考慮されます。

数学的な期待値は次のとおりです。確率論における確率変数の平均値の尺度。 確率変数の数学的期待 バツ示される M(x).

数学的な期待値は次のとおりです。

数学的な期待値は次のとおりです。確率論では、この確率変数が取り得るすべての値の加重平均。

数学的な期待値は次のとおりです。確率変数のすべての可能な値とこれらの値の確率との積の合計。

数学的な期待値は次のとおりです。特定の決定から得られる平均利益。ただし、そのような決定が大数と長距離の理論の枠組みで考慮できる場合に限ります。

数学的な期待値は次のとおりです。ギャンブル理論において、プレーヤーが各賭けごとに平均して獲得または失う可能性のある賞金の額。 ギャンブラーの言葉では、これは「ゲーマーズ エッジ」(プレイヤーにとってプラスの場合) または「ハウス エッジ」(プレイヤーにとってマイナスの場合) と呼ばれることもあります。

数学的な期待値は次のとおりです。勝利あたりの利益のパーセンテージと平均利益を乗じて、損失の確率を乗じて平均損失を引いたもの。

数学理論における確率変数の数学的期待

確率変数の重要な数値特性の 1 つは数学的期待値です。 確率変数システムの概念を紹介しましょう。 同じランダム実験の結果である一連の確率変数を考えてみましょう。 がシステムの可能な値の 1 つである場合、イベントはコルモゴロフの公理を満たす特定の確率に対応します。 確率変数のあらゆる可能な値に対して定義された関数は、同時分布則と呼ばれます。 この関数を使用すると、あらゆるイベントの確率を計算できます。 特に、集合から値を取得する確率変数 and の分布の結合法則は、確率によって与えられます。

「期待」という用語は、ピエール・シモン・マルキ・ド・ラプラスによって導入され（1795 年）、「利得の期待値」という概念に由来します。この概念は、17 世紀にブレーズ・パスカルとクリスチャン・ホイヘンスの著作におけるギャンブル理論で初めて登場しました。 。 しかし、この概念の最初の完全な理論的理解と評価は、パフヌティ・リヴォヴィッチ・チェビシェフ（19世紀半ば）によって与えられました。

確率数値変数の分布法則 (分布関数と分布系列または確率密度) は、確率変数の動作を完全に記述します。 しかし、多くの問題では、提起された質問に答えるには、調査対象の量の数値的特性 (平均値とそこからの考えられる偏差など) を知るだけで十分です。 確率変数の主な数値的特徴は、数学的期待値、分散、最頻値、中央値です。

離散確率変数の数学的期待値は、その可能な値とそれに対応する確率の積の合計です。 数学的期待値は、多数の実験にわたる確率変数の観測値の算術平均にほぼ等しいため、加重平均と呼ばれることもあります。 数学的期待値の定義から、その値は確率変数の可能な最小値以上、最大値以下であることがわかります。 確率変数の数学的期待値は非ランダム (定数) 変数です。

数学的期待には単純な物理的意味があります。単位質量が直線上に配置される場合、いくつかの質量をいくつかの点に配置する場合 (離散分布の場合)、またはそれを特定の密度で「塗りつぶす」場合 (絶対連続分布の場合)、その場合、数学的期待に対応する点は、直線の「重心」座標になります。

確率変数の平均値は特定の数値であり、いわばその「代表値」であり、大まかな近似計算に置き換えられます。 「ランプの平均動作時間は 100 時間である」または「平均の衝突点はターゲットに対して右に 2 m シフトしている」と言うとき、これによって、そのパラメータを説明する確率変数の特定の数値特性が示されます。数値軸上の位置、つまり 職位記述書。

確率論におけるポジションの特性のうち、最も重要な役割は、確率変数の数学的期待によって演じられます。確率変数は、単に確率変数の平均値と呼ばれることもあります。

確率変数を考えてみましょう バツ、可能な値があります x1、x2、…、xn確率的に p1、p2、…、pn。 これらの値の確率が異なるという事実を考慮して、X 軸上の確率変数の値の位置を何らかの数値で特徴付ける必要があります。 この目的のためには、値のいわゆる「加重平均」を使用するのが自然です。 西、平均化中の各値 xi は、この値の確率に比例する「重み」を考慮に入れる必要があります。 したがって、確率変数の平均を計算します。 バツと表記します。 M|X|:

この加重平均は、確率変数の数学的期待値と呼ばれます。 そこで、確率論の最も重要な概念の 1 つである数学的期待の概念を考慮して導入しました。 確率変数の数学的期待値は、確率変数のすべての可能な値とこれらの値の確率の積の合計です。

生産させてください N独立した実験。それぞれの値は バツある値をとる。 値を仮定します ×1現れた m1回数、値 ×2現れた 平方メートル回、一般的な意味 西何度か登場しました。 X の観測値の算術平均を計算してみましょう。これは数学的期待とは対照的に、 M|X|私たちは表記します M*|X|:

実験回数が増えると N周波数 円周率対応する確率に近づく（確率が収束する）ことになります。 したがって、確率変数の観測値の算術平均は、 M|X|実験の数が増えると、数学的期待に近づきます（確率が収束します）。 上記で定式化された算術平均と数学的期待値との関係は、大数の法則の形式の 1 つを構成します。

あらゆる形式の大数の法則が、多数の実験にわたって特定の平均値が安定しているという事実を述べていることはすでにわかっています。 ここでは、同じ値の一連の観測値からの算術平均の安定性について話しています。 実験の数が少ない場合、結果の算術平均はランダムになります。 実験の数が十分に増加すると、それは「ほとんどランダムではなくなり」、安定して一定値、つまり数学的期待値に近づきます。

多数の実験の平均の安定性の特性は、実験的に検証するのが簡単です。 たとえば、実験室で正確な秤で体の重さを量ると、毎回新しい値が得られます。 観察の誤差を減らすために、体の重量を数回測定し、得られた値の算術平均を使用します。 実験 (重み付け) の数がさらに増加すると、この増加に対する算術平均の反応がますます小さくなり、実験の数が十分に多くなると、算術平均は実質的に変化しなくなることが容易にわかります。

確率変数の位置の最も重要な特性である数学的期待値は、すべての確率変数に存在するわけではないことに注意してください。 対応する合計または積分が発散するため、数学的期待が存在しないような確率変数の例を構成することが可能です。 ただし、実際には、このようなケースはあまり重要ではありません。 通常、私たちが扱う確率変数には取り得る値の範囲が限られており、当然のことながら期待値があります。

確率変数の位置の最も重要な特性である数学的期待に加えて、他の位置特性、特に確率変数の最頻値と中央値が実際に使用されることがあります。

確率変数の最頻値は、その最も可能性の高い値です。 「最も可能性の高い値」という用語は、厳密に言えば、不連続な量にのみ適用されます。 連続量の場合、最頻値は確率密度が最大になる値です。 図はそれぞれ、不連続および連続の確率変数のモードを示しています。

分布多角形 (分布​​曲線) に複数の極大値がある場合、その分布は「多峰性」であると言われます。

場合によっては、中央に最大値ではなく最小値が含まれる分布があります。 このような分布は「アンチモーダル」と呼ばれます。

一般的なケースでは、確率変数のモードと数学的期待値は一致しません。 特定のケースでは、分布が対称かつモーダルであり (つまり、モードがある)、数学的な期待がある場合、その分布はモードおよび分布の対称中心と一致します。

位置の別の特性、いわゆる確率変数の中央値がよく使用されます。 この特性は通常、連続確率変数に対してのみ使用されますが、不連続変数に対しても正式に定​​義することができます。 幾何学的には、中央値は、分布曲線で囲まれた領域が二等分される点の横座標です。

対称最頻値分布の場合、中央値は平均値および最頻値と一致します。

数学的期待値は確率変数の平均値、つまり確率変数の確率分布の数値的特性です。 最も一般的な方法では、確率変数の数学的期待値は X(w)確率測度に関するルベーグ積分として定義されます R元の確率空間では:

数学的期待値は、次のルベーグ積分としても計算できます。 バツ確率分布による ピクセル量 バツ:

自然な方法で、無限の数学的期待を持つ確率変数の概念を定義できます。 典型的な例は、いくつかのランダム ウォークの戻り時間です。

数学的期待値の助けを借りて、分布の多くの数値的および関数的特性 (確率変数の対応する関数の数学的期待値として)、たとえば、母関数、特性関数、任意の次数のモーメント、特に分散が決定されます。 、共分散。

数学的期待値は、確率変数の値の位置 (その分布の平均値) の特性です。 この能力において、数学的期待値は「典型的な」分布パラメータとして機能し、その役割は力学における静的モーメント (質量分布の重心の座標) の役割に似ています。 分布が一般的な用語 (中央値、最頻値) で記述される他の位置特性とは、数学的期待値と、対応する散乱特性 (分散) が確率論の極限定理に持つ大きな値の点で異なります。 数学的期待の意味は、大数の法則 (チェビシェフの不等式) と強化された大数の法則によって最も完全に明らかにされます。

離散確率変数の数学的期待

いくつかの数値のうちの 1 つを取ることができる確率変数があるとします (たとえば、サイコロの目の数は 1、2、3、4、5、または 6 になります)。 実際には、そのような値について、多数のテストで「平均して」どのような値になるのかという疑問が生じることがよくあります。 リスクの高い各操作からの平均収益 (または損失) はいくらになるでしょうか?

ある種の宝くじがあるとします。 私たちは、それに参加する (または定期的に繰り返し参加する) ことが有益であるかどうかを理解したいと考えています。 4 枚ごとにチケットが当たり、賞金は 300 ルーブルとなり、チケットの価格は 100 ルーブルになるとします。 参加者が無限に増えると、こういうことが起こります。 4分の3のケースで負けることになり、3敗するごとに300ルーブルの費用がかかります。 4件ごとに200ルーブルを獲得します。 （賞金から費用を差し引いたもの）、つまり、4 回の参加では平均 100 ルーブル、1 回の参加では平均 25 ルーブルを失います。 合計すると、私たちの遺跡の平均料金はチケット1枚あたり25ルーブルになります。

サイコロを投げます。 不正行為をしていない場合（重心移動などを行わず）、一度に平均何点くらい取れるでしょうか？ 各オプションの可能性は等しいため、愚かな算術平均を取得し、3.5 を取得します。 これは平均であるため、特定のスローで 3.5 ポイントが得られないことに憤慨する必要はありません。まあ、このキューブにはそのような数値のフェイスはありません。

ここで例をまとめてみましょう。

すぐ上の写真を見てみましょう。 左側は確率変数の分布の表です。 X の値は、n 個の可能な値 (一番上の行に示されています) の 1 つを取ることができます。 他の値は存在できません。 それぞれの可能な値の下で、その確率は以下で符号付けされます。 右側は式で、M(X) は数学的期待値と呼ばれます。 この値の意味は、試行回数が多い (サンプルが大きい) 場合、平均値はこの非常に数学的な期待に従う傾向があるということです。

同じプレイキューブに戻りましょう。 投げの得点数の数学的期待値は 3.5 です (信じられない場合は、公式を使用して自分で計算してください)。 数回投げたとします。 4 と 6 は外れましたが、平均すると 5 となり、3.5 には程遠い結果となりました。 彼らはもう一度投げました、3が落ちました、つまり、平均して（4 + 6 + 3）/ 3 = 4.3333 ...どういうわけか数学的期待からは程遠いです。 さあ、クレイジーな実験をしてみましょう - 立方体を 1000 回転がしてみましょう! 平均がちょうど 3.5 でなくても、それに近い値になります。

上記の宝くじに対する数学的期待値を計算してみましょう。 テーブルは次のようになります。

この場合、上で確立したように、数学的な期待値は次のようになります。

もう一つは、これも「指にかかる」ということで、公式がなければ、選択肢が増えると難しいでしょう。 さて、75% の負けチケット、20% の勝ちチケット、5% の勝ちチケットがあったとします。

ここで数学的期待値のいくつかの性質を説明します。

それを証明するのは簡単です。

定数乗数は期待値記号から取り出すことができます。つまり、次のようになります。

これは、数学的期待値の線形性特性の特殊なケースです。

数学的期待の線形性のもう 1 つの結果:

つまり、確率変数の合計の数学的期待値は、確率変数の数学的期待値の合計に等しいということです。

X、Yを独立した確率変数とする、 それから：

これも証明は簡単です） XYそれ自体は確率変数ですが、初期値がかかる可能性がある場合は、 nそして メートルそれぞれの値、その後 XY nm 値を取ることができます。 各値の確率は、独立したイベントの確率が乗算されるという事実に基づいて計算されます。 その結果、次のようになります。

連続確率変数の数学的期待

連続確率変数には分布密度（確率密度）という性質があります。 実際、これは、確率変数が実数のセットからいくつかの値をより頻繁に取得する状況と、一部の値を取得する頻度が低い状況を特徴づけます。 たとえば、次のグラフを考えてみましょう。

ここ バツ- 実際には確率変数、 f(x)- 分布密度。 このグラフから判断すると、実験中の値は バツ多くの場合、ゼロに近い数値になります。 超える可能性 3 あるいはそれ以下になる -3 むしろ純粋に理論的です。

たとえば、一様分布があるとします。

これは直感的な理解と非常に一致しています。 一様分布を持つ多数のランダムな実数を取得した場合、各セグメントは |0; 1| の場合、算術平均は約 0.5 になるはずです。

離散確率変数に適用できる数学的期待値の特性 (線形性など) は、ここにも適用できます。

数学的期待と他の統計指標との関係

統計分析では、数学的期待とともに、現象の均一性とプロセスの安定性を反映する相互依存指標のシステムが存在します。 多くの場合、変動インジケーターには独立した意味はなく、さらなるデータ分析に使用されます。 例外は、データの均質性を特徴付ける変動係数であり、貴重な統計的特性です。

統計科学におけるプロセスの変動性または安定性の程度は、いくつかの指標を使用して測定できます。

確率変数の変動性を特徴付ける最も重要な指標は次のとおりです。 分散、これは数学的期待に最も密接かつ直接関係しています。 このパラメーターは、他の種類の統計分析 (仮説検定、因果関係の分析など) で積極的に使用されます。 平均線形偏差と同様に、分散も平均の周囲にデータがどの程度広がっているかを反映します。

手話の言語を言葉の言語に翻訳すると便利です。 分散は偏差の二乗平均であることがわかります。 つまり、最初に平均値が計算され、次にそれぞれの元の値と平均値の差が取得され、二乗され、合計されて、この母集団内の値の数で除算されます。 個々の値と平均の差は、偏差の尺度を反映します。 これは、すべての偏差が正の数値のみになることを保証し、合計するときに正と負の偏差が相互にキャンセルされるのを避けるために 2 乗されます。 次に、二乗偏差が与えられると、単純に算術平均を計算します。 平均 - 二乗 - 偏差。 偏差は二乗され、平均が考慮されます。 「分散」という魔法の言葉に対する答えは、たったの 3 語です。

ただし、算術平均や指数などの純粋な形式では、分散は使用されません。 これはむしろ、他のタイプの統計分析に使用される補助的および中間的な指標です。 彼女には通常の測定単位さえありません。 式から判断すると、これは元のデータ単位の 2 乗です。

確率変数を測定してみよう Nたとえば、風速を 10 回測定し、その平均値を求めたいとします。 平均値は分布関数とどのように関係するのでしょうか?

あるいはサイコロを何度も振ることもあります。 各スロー中にサイコロに落ちる点の数は確率変数であり、1 から 6 までの任意の自然値を取ることができます。 Nそれは非常に具体的な数値、つまり数学的な期待値に向かう傾向があります。 MX。 この場合、Mx = 3.5 となります。

この値はどのようにして生まれたのでしょうか? 中に入れます N試練 n1 1点を落とすと、 n2回 - 2 ポイントなど。 次に、1 ポイントが該当する結果の数は次のようになります。

2、3、4、5、6 点が外れた場合の結果も同様です。

ここで、確率変数 x の分布法則を知っていると仮定します。つまり、確率変数 x が確率 p1、p2、... で値 x1、x2、...、xk を取ることができることがわかっていると仮定します。 、PK。

確率変数 x の数学的期待値 Mx は次のとおりです。

数学的な期待値は、必ずしも何らかの確率変数の合理的な推定値であるとは限りません。 したがって、平均賃金を推定するには、中央値の概念を使用する方が合理的です。つまり、中央値よりも低い給与を受け取る人の数と、それ以上の給与を受け取る人の数が同じになるような値です。

確率変数 x が x1/2 未満である確率 p1 と確率変数 x が x1/2 より大きい確率 p2 は同じであり、1/2 に等しい。 中央値はすべての分布に対して一意に決定されるわけではありません。

標準または標準偏差統計学では、観測データまたはセットの平均値からの逸脱の度合いと呼ばれます。 文字 s または s で示されます。 標準偏差が小さい場合は、データが平均値の周囲にグループ化されていることを示し、標準偏差が大きい場合は、初期データが平均値から離れていることを示します。 標準偏差は、分散と呼ばれる量の平方根に等しくなります。 これは、平均から逸脱した初期データの差の二乗の合計の平均です。 確率変数の標準偏差は分散の平方根です。

例。 ターゲットに向けて射撃するときのテスト条件下で、確率変数の分散と標準偏差を計算します。

変化- 人口単位での属性値の変動、ばらつき。 研究対象集団に発生する属性の個別の数値は、値のバリアントと呼ばれます。 集団の完全な特徴付けには平均値が不十分であるため、研究対象の形質の変動（変動）を測定することによってこれらの平均の典型性を評価できるようにする指標で平均値を補う必要があります。 変動係数は次の式で計算されます。

スパン変化(R) は、研究対象集団における形質の最大値と最小値の差です。 この指標は、オプションの極値間の差のみを示すため、研究中の特性の変動についての最も一般的なアイデアを提供します。 属性の極値への依存により、変動の範囲が不安定でランダムな特性になります。

平均線形偏差は、分析された母集団のすべての値の平均値からの絶対 (モジュロ) 偏差の算術平均です。

ギャンブル理論における数学的期待値

数学的な期待値は次のとおりです。ギャンブラーが特定の賭けで勝つか負けるかの平均金額。 これは、ほとんどのゲーム状況の評価の基礎となるため、プレーヤーにとって非常に重要な概念です。 数学的期待値は、基本的なカード レイアウトやゲーム状況を分析するための最良のツールでもあります。

あなたが友人とコインでプレイし、何が起こっても毎回同じ 1 ドルを賭けているとします。 裏 - あなたは勝ち、表 - あなたは負けます。 裏が出る確率は 1 対 1 で、1 対 1 ドルを賭けることになります。 したがって、数学的な期待値はゼロになります。 数学的に言えば、2 ロール後、または 200 ロール後、勝つか負けるかはわかりません。

時間当たりの利益はゼロです。 時間当たりのペイアウトは、1 時間で獲得すると予想される金額です。 1 時間以内にコインを 500 回投げることができますが、勝ち負けはありません。 あなたのオッズはプラスでもマイナスでもありません。 真剣なプレイヤーの観点から見ると、このような賭けシステムは悪くありません。 しかし、それは単なる時間の無駄です。

しかし、誰かが同じゲームであなたの 1 ドルに対して 2 ドルを賭けたいと考えているとします。 すると、すぐに各ベットから 50 セントのプラスの期待値が得られます。 なぜ50セントなのか？ 平均すると、1 回目の賭けで勝ち、2 回目で負けます。 最初の 1 ドルを賭けて 1 ドルを失い、2 番目に賭けて 2 ドルを勝ちます。 あなたは 1 ドルを 2 回賭けており、1 ドルリードしています。 つまり、1 ドルの賭けごとに 50 セントが得られます。

コインが 1 時間に 500 回落ちた場合、1 時間あたりの利益はすでに 250 ドルになります。 平均すると、1 ドルを失ったのが 250 回、2 ドルを獲得したのが 250 回です。 $500 マイナス $250 は $250 に等しく、これが合計の勝利となります。 期待値 (1 回の賭けで平均して獲得できる額) は 50 セントであることに注意してください。 1 ドルを 500 回賭けて 250 ドルを獲得しました。これは賭け金の 50 セントに相当します。

数学的な期待は短期的な結果とは何の関係もありません。 あなたに対して 2 ドルを賭けることに決めた対戦相手は、最初の 10 回連続のトスであなたに勝つ可能性がありますが、他のすべてが等しい場合、2 対 1 の賭けのアドバンテージがあるあなたは、どの条件でも 1 ドルの賭けごとに 50 セントを稼ぐことになります。状況。 1 回の賭けで勝つか負けるかは関係ありませんが、費用を簡単に補える十分な現金を持っていることが条件となります。 同じ方法で賭け続けた場合、長期にわたって賞金は個々のロールの期待値の合計に達します。

オッズが自分に有利なときに、より良い賭け (長期的には利益が得られる賭け) をするたびに、特定のハンドで負けるかどうかに関係なく、必ず何かを勝ち取ることができます。 逆に、オッズが有利ではないときに、より悪い結果の賭け (長期的には利益が得られない賭け) を行った場合、このハンドで勝ったか負けたかに関係なく、何かを失います。

期待がプラスであれば、最高の結果に賭けることになります。オッズが有利であれば、それはプラスです。 最悪の結果に賭けることで、マイナスの期待を抱くことになり、それは勝算が不利な場合に起こります。 真剣なプレイヤーは最高の結果にのみ賭けますが、最悪の結果にはフォールドします。 あなたに有利なオッズとは何を意味しますか? 実際のオッズよりも多くの勝利を収めることになる可能性があります。 裏が出る実際の確率は 1 対 1 ですが、賭け率により 2 対 1 になります。 この場合、勝算はあなたに有利です。 1 回の賭けにつき 50 セントというプラスの期待があれば、間違いなく最高の結果が得られます。

ここでは、数学的期待値のより複雑な例を示します。 友人は 1 から 5 までの数字を書き留め、あなたがその数字を選ばないように、あなたの 1 ドルに対して 5 ドルを賭けます。 あなたはそのような賭けに同意しますか？ ここでの期待は何でしょうか？

平均すると、4 回は間違います。 これに基づくと、数字を推測するオッズは 4 対 1 です。オッズは、1 回の試行で 1 ドルを失うことになります。 ただし、5 対 1 で勝ちますが、4 対 1 で負ける可能性もあります。したがって、オッズはあなたに有利なので、賭けに参加して最良の結果を期待できます。 この賭けを 5 回行うと、平均して 4 回 1 ドルを失い、1 回は 5 ドルを獲得します。 これに基づくと、5 回の試行すべてで、賭けごとに 20 セントというプラスの数学的期待値で 1 ドルを獲得することになります。

上の例のように、賭けた以上に勝ちそうなプレイヤーは、オッズを掴んでいます。 逆に、賭け金よりも勝つ見込みが低い場合、彼はチャンスを台無しにしてしまいます。 ベッターは、オッズを掴むか台無しにするかに応じて、プラスまたはマイナスの期待を抱くことができます。

4 対 1 の勝ち確率で 10 ドルを獲得するために 50 ドルを賭けた場合、マイナスの期待値は 2 ドルになります。 平均すると、$10 を 4 回勝ち、$50 を失うのが 1 回になります。これは、賭けごとの損失が $10 であることを示しています。 しかし、4 対 1 で勝つ確率が同じで、10 ドルを獲得するために 30 ドルを賭けた場合、この場合、2 ドルというプラスの期待値が得られます。 再び 10 ドルを 4 回勝ち、30 ドルを 1 回失うと、10 ドルの利益が得られます。 これらの例は、最初の賭けは悪く、2 番目の賭けは良いことを示しています。

数学的な予想は、あらゆるゲーム状況の中心となります。 ブックメーカーがサッカーファンに 10 ドルを獲得するために 11 ドルを賭けることを奨励すると、彼らは 10 ドルごとに 50 セントというプラスの期待を抱くことになります。 カジノがクラップスのパスラインから均等な金額を支払う場合、ハウスのプラスの期待値は 100 ドルごとに約 1.40 ドルになります。 このゲームは、このラインに賭けた全員が平均 50.7% 負け、49.3% の確率で勝つように構成されています。 間違いなく、この一見最小限の前向きな期待こそが、世界中のカジノ所有者に莫大な利益をもたらしているのです。 ベガス・ワールド・カジノのオーナーであるボブ・ストゥパック氏は、「十分に長い距離で1000分の1パーセントのマイナスの確率があれば、世界で最も裕福な人は破産してしまうだろう」と述べています。

ポーカーをプレイする際の数学的期待

ポーカー ゲームは、数学的期待の理論と特性を使用するという点で最も具体的で説明的な例です。

ポーカーにおける期待値は、特定の決定が大数と長距離の理論の枠組みで考慮できる場合、その決定から得られる平均利益です。 ポーカーで成功するには、常にプラスの数学的期待を持って手を受け入れることが重要です。

ポーカーをプレイする際の数学的期待の数学的意味は、意思決定をするときにしばしば確率変数に遭遇するということです (対戦相手がどのカードを手札に持っているか、その後のベッティング ラウンドでどのカードが出てくるかはわかりません)。 大数理論の観点からそれぞれの解決策を検討する必要があります。大数理論では、サンプルが十分に大きければ、確率変数の平均値は数学的期待値に従う傾向があるとされています。

数学的期待値を計算するための特定の公式のうち、次のものがポーカーに最もよく当てはまります。

ポーカーをプレイする場合、ベットとコールの両方について数学的な期待値を計算できます。 前者の場合はフォールド エクイティを考慮する必要があり、後者の場合はポット自体のオッズを考慮する必要があります。 特定の動きの数学的期待値を評価する場合、フォールドの数学的期待値は常にゼロであることに留意する必要があります。 したがって、カードを捨てることは、いかなる否定的な動きよりも常に有益な決定となります。

期待値は、リスクを負う 1 ドルごとに何が期待できるか (利益または損失) を示します。 カジノが儲かるのは、そこで行われるすべてのゲームの数学的期待がカジノに有利になるためです。 十分に長い一連のゲームでは、「確率」がカジノに有利であるため、クライアントがお金を失うことが予想されます。 ただし、プロのカジノプレーヤーはゲームを短時間に制限するため、自分に有利なオッズが高まります。 投資も同様です。 期待がプラスであれば、短期間に多くの取引を行うことでより多くのお金を稼ぐことができます。 期待値は、勝利ごとの利益のパーセンテージと平均利益を乗じて、損失の確率と平均損失を乗算したものです。

ポーカーは数学的期待の観点から考えることもできます。 特定の動きは利益があると想定できますが、場合によっては、別の動きの方が収益性が高いため、それが最適な動きではない可能性があります。 5 枚カード ドロー ポーカーでフルハウスに当たったとします。 相手が賭けます。 あなたが賭け金を上げれば、彼は電話してくれることを知っています。 したがって、レイズが最善の戦術のように見えます。 しかし、レイズした場合、残りの 2 人のプレイヤーは確実にフォールドします。 しかし、あなたがベットをコールした場合、あなたの後の他の 2 人のプレイヤーも同じことをするだろうと完全に確信するでしょう。 ベットを上げると 1 ユニットを獲得でき、コールするだけで 2 ユニットを獲得できます。 したがって、コールすることはより高いプラスの期待値をもたらし、最良の戦術となります。

数学的期待値から、どのポーカー戦術が利益が少なく、どれがより利益があるかを知ることもできます。 たとえば、特定のハンドをプレイし、アンティを含めた平均損失が 75 セントであると考えられる場合、そのハンドをプレイする必要があります。 これは、アンティが 1 ドルのときにフォールドするよりも優れています。

期待値を理解するもう 1 つの重要な理由は、賭けに勝つかどうかに関係なく、期待値によって安心感が得られるということです。うまく賭けたり、時間を守ったりすれば、一定量の利益を獲得または節約したことがわかります。弱いプレイヤーには節約できないお金。 相手の方がドローで優れたハンドを持っていることにイライラしている場合、フォールドするのははるかに困難です。 とはいえ、賭けの代わりにプレイしないことで節約したお金は、一晩または毎月の賞金に追加されます。

ハンドを交換すると、対戦相手があなたにコールすることを覚えておいてください。ポーカーの基本定理の記事でわかるように、これはあなたの利点の 1 つにすぎません。 それが起こったとき、あなたは喜ぶべきです。 自分と同じ立場の他のプレイヤーがもっと負けることがわかっているので、ハンドに負けることを楽しむことも学ぶことができます。

冒頭のコイン ゲームの例で説明したように、時間当たりの収益率は数学的な期待値に関連しており、この概念はプロ プレーヤーにとって特に重要です。 ポーカーをプレイする場合は、1 時間のプレイでいくら勝てるかを頭の中で見積もる必要があります。 ほとんどの場合、直感と経験に頼る必要がありますが、数学的な計算を使用することもできます。 たとえば、ドロー ローボールをプレイしていて、3 人のプレイヤーが 10 ドルを賭けてカードを 2 枚引くのを見た場合、これは非常に悪い戦術ですが、10 ドルを賭けるたびに約 2 ドルを失うことを自分で計算できます。 それぞれがこれを 1 時間に 8 回行うため、3 人全員が 1 時間あたり約 48 ドルを損失することになります。 あなたは残りの 4 人のプレイヤーのうちの 1 人であり、その人数はほぼ等しいため、これら 4 人のプレイヤー (およびその中のあなた) は 48 ドルを共有する必要があり、それぞれが 1 時間あたり 12 ドルの利益を得ることができます。 この場合のあなたの時給は、1 時間あたり 3 人の悪いプレイヤーが失った金額のあなたの取り分です。

長期間にわたって、プレーヤーの合計賞金は、個別の分布における数学的期待の合計となります。 プラスの期待を持ってプレイするほど勝ちが増え、逆にマイナスの期待を持ってプレイするハンドが多いほど負けが多くなります。 その結果、時間当たりの利益を最大化できるように、ポジティブな期待を最大化するか、ネガティブな期待を打ち消すことができるゲームを優先する必要があります。

ゲーム戦略における正の数学的期待

カードの数え方を知っていれば、カジノに気づかれずに追い出されても、カジノに対して有利になる可能性があります。 カジノは酔ったギャンブラーが大好きで、カードを数えるのが我慢できません。 この利点により、時間の経過とともに負ける回数よりも勝つ回数が多くなります。 期待値の計算を使用した適切な資金管理は、優位性を活かして損失を削減するのに役立ちます。 メリットがなければ、そのお金を慈善団体に寄付したほうが良いでしょう。 証券取引所でのゲームでは、損失、価格差、手数料よりも多くの利益を生み出すゲームのシステムによって優位性が与えられます。 どんなにお金を管理しても、悪いゲーム システムを救うことはできません。

正の期待値は、ゼロより大きい値によって定義されます。 この数値が大きいほど、統計的な期待が強くなります。 値がゼロより小さい場合、数学的期待値も負になります。 負の値の係数が大きいほど、状況は悪化します。 結果がゼロの場合、期待値は損益分岐点になります。 数学的にポジティブな期待があり、合理的なゲーム システムがある場合にのみ勝つことができます。 直感に基づいて行動すると、災難につながります。

数学的期待と株式取引

数学的期待値は、金融市場の為替取引においてかなり広く需要があり、人気のある統計指標です。 まず第一に、このパラメータは取引の成功を分析するために使用されます。 この値が大きければ大きいほど、調査対象の取引が成功したとみなされる理由が大きくなるのは推測するのが難しくありません。 もちろん、トレーダーの仕事の分析は、このパラメーターの助けだけを使って実行することはできません。 ただし、計算された値を作業の品質を評価する他の方法と組み合わせると、分析の精度が大幅に向上します。

数学的期待値は取引口座監視サービスで計算されることが多く、これにより入金に対して実行された作業を迅速に評価できます。 例外として、負けトレードの「オーバーステイ」を利用した戦略が挙げられます。 トレーダーはしばらくの間は幸運に恵まれる可能性があるため、彼の仕事ではまったく損失が発生しない可能性があります。 この場合、作業に伴うリスクが考慮されていないため、期待だけでナビゲートすることはできません。

市場での取引では、取引戦略の収益性を予測するとき、または以前の取引の統計に基づいてトレーダーの収入を予測するときに、数学的期待値が最もよく使用されます。

資金管理に関しては、マイナスの期待を持って取引を行う場合、確実に高い利益をもたらす資金管理スキームは存在しないことを理解することが非常に重要です。 このような状況で取引所をプレイし続けると、資金の管理方法に関係なく、最初にどれだけ大きな資金があったとしても、アカウント全体を失うことになります。

この公理は、マイナスの期待値のゲームやトレードに当てはまるだけでなく、偶数オッズのゲームにも当てはまります。 したがって、長期的に利益を得るチャンスがある唯一のケースは、数学的にプラスの期待を持って取引を行う場合です。

ネガティブな期待とポジティブな期待の違いは、生と死の違いです。 期待がどれほどポジティブかネガティブかは関係ありません。 重要なのはそれがポジティブかネガティブかです。 したがって、資金管理を検討する前に、ポジティブな期待ができるゲームを見つける必要があります。

そのゲームを持っていない場合は、世界中のお金を管理してもあなたを救うことはできません。 一方、ポジティブな期待がある場合は、適切な資金管理を通じて、それを指数関数的な成長関数に変えることが可能です。 ポジティブな期待がどれほど小さいかは関係ありません。 言い換えれば、1つの契約に基づく取引システムがどれだけ利益を上げるかは重要ではありません。 1 回の取引で契約ごとに 10 ドルを獲得するシステム (手数料とスリッページを除いた後) がある場合、資金管理テクニックを使用すると、取引ごとに平均 1,000 ドルの利益を示すシステム (手数料とスリッページを差し引いた後) よりも利益を高めることができます。滑り）。

重要なのは、システムがどれだけ利益を上げたかではなく、システムが将来少なくとも最小限の利益を示すとどれだけ確実に言えるかです。 したがって、トレーダーができる最も重要な準備は、システムが将来的にプラスの期待値を示すことを確認することです。

将来的にプラスの期待値を得るためには、システムの自由度を制限しないことが非常に重要です。 これは、最適化するパラメータの数を削除または削減するだけでなく、可能な限り多くのシステム ルールを削減することによっても達成されます。 パラメータを追加するたび、ルールを作成するたび、システムに小さな変更を加えるたびに、自由度の数が減少します。 理想的には、ほぼすべての市場で常に少額の利益をもたらす、かなり原始的でシンプルなシステムを構築したいと考えます。 繰り返しになりますが、収益性が高い限り、システムの収益性は問題ではないことを理解することが重要です。 トレードで得たお金は、効果的な資金管理によって得られます。

トレーディング システムは、資金管理を可能にするために、数学的にプラスの期待を与えるツールにすぎません。 1 つまたは少数の市場でのみ機能する (少なくとも最小限の利益を示す) システム、または市場ごとに異なるルールやパラメータを持つシステムは、おそらく長期間リアルタイムで機能しないでしょう。 ほとんどのテクニカル指向のトレーダーの問題は、取引システムのさまざまなルールやパラメーターの最適化に多大な時間と労力を費やしすぎることです。 これにより、まったく逆の結果が得られます。 取引システムの利益を増やすためにエネルギーとコンピュータ時間を浪費するのではなく、最小限の利益を得る信頼性のレベルを高めることにエネルギーを注ぎます。

資金管理は、ポジティブな期待を使用する必要がある単なる数字のゲームであることがわかれば、トレーダーは株式取引という「聖杯」を探すのをやめることができます。 代わりに、彼は自分の取引方法のテストを開始し、この方法が論理的にどのように健全であるか、前向きな期待を与えるかどうかを確認できます。 たとえ非常に平凡な取引方法であっても、適切な資金管理方法を適用すれば、残りの作業はうまくいきます。

トレーダーが仕事で成功するには、次の 3 つの最も重要なタスクを解決する必要があります。 成功したトランザクションの数が避けられない間違いや誤算を確実に上回るようにするため。 できるだけ頻繁にお金を稼ぐ機会が得られるように取引システムを設定します。 運用で安定したプラスの結果を達成します。

そしてここで、私たち現役トレーダーにとって、数学的期待は良い助けとなります。 確率論におけるこの用語は鍵の 1 つです。 これを使用すると、ランダムな値の平均推定値を与えることができます。 確率変数の数学的期待は、考えられるすべての確率を異なる質量を持つ点として想像する場合、重心のようなものです。

トレーディング戦略に関連して、その有効性を評価するために、利益 (または損失) の数学的期待が最もよく使用されます。 このパラメータは、所定のレベルの利益と損失の積と、それらの発生確率の合計として定義されます。 たとえば、開発されたトレーディング戦略では、全オペレーションの 37% が利益をもたらし、残りの部分 (63%) は利益が出ないと想定しています。 同時に、成功した取引による平均収入は 7 ドル、平均損失は 1.4 ドルになります。 次のシステムを使用して、取引の数学的期待値を計算してみましょう。

この数字は何を意味するのでしょうか? このシステムのルールに従って、完了した取引ごとに平均 1.708 ドルを受け取ることになると書かれています。 結果として得られる効率スコアはゼロより大きいため、このようなシステムは実際の作業に使用できます。 計算の結果、数学的期待がマイナスであることが判明した場合、これはすでに平均損失を示しており、そのような取引は破滅につながります。

取引ごとの利益額は、% の形式で相対値として表すこともできます。 例えば：

– 1取引あたりの収入の割合 - 5%;

– 成功した取引操作の割合 - 62%。

– 1取引あたりの損失率 - 3%;

- 失敗したトランザクションの割合 - 38%;

つまり、平均取引では 1.96% が得られます。

MO>0 であるため、損失トレードが優勢であるにもかかわらず、プラスの結果をもたらすシステムを開発することは可能です。

ただし、待っているだけでは十分ではありません。 システムが取引シグナルをほとんど発しない場合、お金を稼ぐことは困難です。 この場合、その収益性は銀行金利に匹敵します。 各操作の収益が平均 0.5 ドルだけだとしますが、システムが年間 1000 件のトランザクションを想定している場合はどうなるでしょうか? これは比較的短期間に非常に大きな金額になるでしょう。 このことから、論理的には、優れた取引システムのもう 1 つの特徴は保有期間が短いと考えられることがわかります。

ソースとリンク

dic.academic.ru - 学術オンライン辞書

math.ru - 数学に関する教育サイト

nsu.ru – ノボシビルスク州立大学の教育ウェブサイト

webmath.ru は、学生、志願者、学童向けの教育ポータルです。

exponenta.ru 教育数学ウェブサイト

ru.tradimo.com - 無料のオンライントレーディングスクール

crypto.hut2.ru - 学際的な情報リソース

poker-wiki.ru - ポーカーの無料百科事典

sernam.ru - 厳選された自然科学出版物の科学ライブラリー

reshim.su - Web サイト SOLVE タスク管理コースワーク

unfx.ru – UNFX の外国為替: 教育、取引シグナル、信頼管理

slovopedia.com - 大百科事典

pokermansion.3dn.ru - ポーカーの世界へのガイド

statanaliz.info - 情報ブログ「統計データ分析」

forex-trader.rf - 外国為替トレーダーのポータル

megafx.ru - 最新の外国為替分析

fx-by.com - トレーダーのためのすべて

確率理論とその応用の多くでは、確率変数のさまざまな数値的特性が非常に重要です。 主なものは数学的な期待値と分散です。

1. 確率変数とそのプロパティの数学的期待。

まず次の例を考えてみましょう。 工場に次のバッチを受け取らせます。 Nベアリング。 ここで:

メートル1 ×1,
平方メートル- 外径のベアリングの数 ×2,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ん- 外径のベアリングの数 ×n,

ここ m 1 +m 2 +...+m n =N。 算術平均を求める × cfベアリングの外径。 明らかに、
ランダムに取り出したベアリングの外径は、次の値をとる確率変数と考えることができます。 ×1, ×2, ..., ×n、対応する確率 p1\u003dm1/N, p 2 \u003d m 2 /N, ..., p n =m n /N、確率があるので、 円周率外径のあるベアリングの外観 x iに等しい m i/N。 したがって、算術平均は × cfベアリングの外径は次の関係を使用して決定できます。
与えられた確率分布則を持つ離散確率変数とする

数学的期待 離散確率変数確率変数のすべての可能な値とそれに対応する確率のペアごとの積の合計が呼び出されます。 *
式 (40) の右辺に不適切な積分が存在すると仮定します。

数学的期待値の特性を考えてみましょう。 その際、最初の 2 つの特性のみを証明することに限定し、これを離散確率変数に対して実行します。

1°。 定数 C の数学的期待値はこの定数と等しい.
証拠。永続 C 1 つの値のみを取ることができる確率変数と考えることができます C確率は 1 に等しい。 それが理由です

2°。 定数要素は期待値記号から取り出すことができます、つまり
証拠。関係式 (39) を使用すると、次のようになります。

3°。 いくつかの確率変数の合計の数学的期待値は、これらの変数の数学的期待値の合計に等しい:

分散連続確率変数 X (その可能な値は軸 Ox 全体に属します) は次の等式によって決定されます。

サービスの割り当て。 オンライン計算機は、次のような問題を解決するように設計されています。 分布密度 f(x) 、または分布関数 F(x) (例を参照)。 通常、このようなタスクでは、次のことを見つける必要があります。 数学的期待値、標準偏差、関数 f(x) と F(x) をプロットする.

命令。 入力データのタイプを選択します: 分布密度 f(x) または分布関数 F(x) 。

分布密度 f(x) は次のように与えられます。

分布関数 F(x) は次のように与えられます。

連続確率変数は確率密度によって定義されます。
(レイリー分布則 - 無線工学で使用されます)。 M(x) 、 D(x) を求めます。

確率変数 X は次のように呼ばれます。 継続的な 、分布関数 F(X)=P(X の場合< x) непрерывна и имеет производную.
連続確率変数の分布関数は、与えられた区間に該当する確率変数の確率を計算するために使用されます。
P(α< X < β)=F(β) - F(α)
さらに、連続確率変数の場合、その境界がこの区間に含まれるかどうかは関係ありません。
P(α< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
分布密度 連続確率変数は関数と呼ばれます
f(x)=F'(x) 、分布関数の導関数。

分布密度の特性