確率変数の積分確率分布関数。

確率変数の積分確率分布関数

TZR-3。 CBの積分確率分布関数

これは、分配法則を設定する最も普遍的な方法です。 離散 SW と連続 SW の両方に使用できます。 多くの場合、この方法について話すとき、「積分」と「確率」という言葉は捨てられ、「」という用語が使用されます。 分布関数 CBʼʼ 。

累積確率分布関数は、ある確率変数 X が現在の x より小さい値を取る確率です。

F(x) = P(X< х) (20)

たとえば、電力線の電流などの SW の分布関数 F(90) = 0.3 の場合、これは電力線の電流が 90 A 未満の値をとる確率が 0.3 であることを意味します。

ネットワーク内の電圧の分布関数 F(215) = 0.4 の場合、0.4 はネットワーク内の電圧が 215 V 未満である確率です。

確率分布関数は、分析的に、表形式またはグラフ形式で指定する必要があります。

例 27

試験における生徒の得点の所定の一連の分布 (表 8、1 行目と 2 行目) に従って、積分分布関数 (表 8 の 3 行目) を書き留め、そのグラフを作成します。

表8

分布関数の値を見つけるには、その定義 (20) を使用することが非常に重要であると言う価値があります。

・ のために バツ = 2 F(2)=P(バツ< 2) = 0 (試験には 2 未満の点数がないため)。

・ のために バツ= 3 F(3)=P(バツ< 3）\u003d P（X \u003d 2）\u003d 0.1、なぜなら 3 未満の場合はスコア 2 のみです。

・ のために バツ = 4 F(4)=P(バツ< 4) = P( バツ= 2) + R(バツ= 3) = 0.1 + 0.5 = 0.6、なぜなら 4 未満の場合は 2 または 3 の 2 つのグレードがあります (4 未満のグレードを取得することは、 または 2年生 またはスコア 3 と検索用 F(4) 互換性のないイベントの確率を加算するための公式を使用できます)。

・ のために バツ = 5 F(5)=P(バツ< 5) = R(バツ< 4) + R(バツ= 4) = 0.6 + 0.3 = 0.9、つまり、 F(4) スコアが 4 になる確率を加算します。

F(x) の値を見つける順序を分析すると、CV の最小値の確率が最初に 2 番目の値の確率に加算され、次に 3 番目の値というように追加されることがわかります。 つまり、確率は累積されていくようです。 このため、積分分布関数とも呼ばれます。 「累積確率の関数」。

統計に関する文献では、累積確率の関数はよく呼ばれます。 累積的な。

データテーブルに基づく。 8 積分関数のグラフをプロットする必要があります 離散 確率変数 (図 29)。 この機能は 不連続な。 ジャンプフィット個別のディスクリート 価値観×、a ハイツ「ステップ」 - 適切 確率。 ブレークの場所では、関数 (図 29) はドットで示された値 ᴛ.ᴇ をとります。 左連続。 一般的に、ディスクリート SW の場合、次のように書くことができます。 F(x) = P(X< х) = . (21)

連続 CV の積分分布関数のグラフがどのようになるかを理解するには、次の推論に頼ることができます。 離散 SW 値の数が増えると想像すると、ギャップが増え、ステップの高さが低くなります。 極限において、取り得る値の数が無限になると (これが連続 CV です)、ステップ グラフは連続グラフに変わります (図 30)。

なぜなら CB の積分確率分布関数非常に重要なので、さらに詳しく考えてみましょう プロパティ:

特性１． このような分配法則の設定方法 普遍的な離散 SW と連続 SW の両方の分布則を設定するのに適しているためです。

財産 2 。 積分分布関数は ϶ᴛᴏ 確率であるため、 その値は 0 から 1 までのセグメント上にあります。

財産 3 。 分布関数 無次元、あらゆる確率と同様に。

財産 4 。 分布関数は 非減少関数つまり、引数のより大きな値は、関数の同じかそれ以上の値に対応します。 ×2 > × 1 F(× 2) ≧ F(× 1)。

この特性は、より大きなセグメント (-∞ から x 2 まで) にヒットする確率は、より小さなセグメント (-∞ から x 1 まで) にヒットする確率より決して小さくならないという事実 (図 31) から導かれます。

万が一、その地域から ×2前に ×1(図 32) 可能な SW 値はありません (これは離散 SW の場合に可能です)。 F(×2) = F(×1)。

連続SWの分配関数の場合（図33） F(×2)いつももっと F(×1)。

プロパティ 4 には 2 つの結果があります。

結果 1

で X の値が区間 (x 1; x 2) 内の値をとる確率は、区間の境界における積分関数の値の差に等しくなります。

P(x 1 ≤ X< х 2) = F(х 2) – F(х 1). (15)

この結果は次のように説明できます (図 31)。

F (x 2) \u003d P (X< х 2) –

SWがポイントの左側の値を取る確率 ×2 .

F (x 1) \u003d P (X< х 1) SWが点の左側の値を取る確率です ×1。

したがって、違いは

P(X< х 2) - Р(Х < х 1) SW値はからの領域にある可能性があります ×1 前に ×2 (図34) .

確率変数の積分確率分布関数 - 概念と種類。 カテゴリ「確率変数の確率分布の積分関数」の分類と特徴 2017、2018。

局所的なモアブル・ラプラス公式の条件下で、成功回数 m が m 1 と m 2 の間にある確率は、モアブル・ラプラスの積分公式によって近似的に求めることができます。

ここで、x 1 =
、× 2 =
,
はラプラス関数です。

これらの関数の値は、確率論の教科書の付録に記載されています。

分配則のグラフィカルな割り当て図に示されています。 1

米。 1 離散確率変数の分布多角形。

確率変数の分布を表の形式、式の形式、またはグラフで記述する方法は、離散確率変数にのみ適用できます。

1.5. 累積分布関数

積分分布関数を使用すると、離散確率変数と連続確率変数の両方を指定できます。

累積分布関数 (IDF) は、考えられる値 x ごとに、確率変数 X が x より小さい値を取る確率、つまり を決定する関数 F(x) です。

積分分布関数の幾何学的意味は、確率変数 X が実軸上の点 x の左側にある値をとる確率です。

離散確率変数の場合 バツ、値を受け取ることができます バツ 1 , バツ 2 , …,バツ n、分布関数の形式は次のとおりです。 ここで、和記号の下の不等号は、合計がそれらすべての値に関係することを意味します バツ 私の値は小さくなります バツ。 この式を関数の定義に基づいて説明しましょう F(x）。 引数 x が何らかの明確な値をとったが、不等式が満たされると仮定します。 バツ 私 <バツ≤バツ 私+1 。 次に、数値軸上の数値 x の左側には、インデックス 1、2、3、... を持つ確率変数の値のみが表示されます。 私。 したがって、不等式は、 バツ<バツ値が指定されている場合に実行されます バツ価値観を引き受けるだろう バツ に、 どこ k = 1, 2, …, 私。 こうしてイベントは バツ<バツ何かイベントがあれば、それが起こるかどうかは関係なく、 バツ = バツ 1 , バツ=バツ 2 , バツ=バツ 3 , …, バツ=バツ 私。 これらの事象は互換性がないので、確率加算定理により次のようになります。

累積分布関数の性質:

1. 積分分布関数の値はセグメントに属します

:
.

2. 確率変数 X が区間 (a, b) に含まれる値をとる確率は、この区間の積分分布関数の増分に等しい

3. 確率変数のすべての可能な値 x が区間 (a, b) に属する場合、

、 もし

、 もし

連続確率変数の IGF のグラフを図に示します。 2

米。 2 連続確率変数の IGF のグラフ

離散確率変数の IGF のグラフを図に示します。 3

米。 3 離散確率変数の IGF のグラフ

1.6. 微分分布関数

微分分布関数は、連続確率変数の確率分布を記述するために使用されます。

微分分布関数 (DDF)(または確率密度) は、積分関数の一次導関数です。

累積分布関数は、微分分布関数の逆導関数です。 それから

連続確率変数 X が区間 (a, b) に属する値をとる確率は、a から b までの微分関数の定積分に等しくなります。

DFR の幾何学的意味は次のとおりです。連続確率変数 X が区間 (a, b) に属する値をとる確率は、x 軸で囲まれた曲線台形の面積、分布曲線に等しいです。 f(x) と直線 x = a および x = b (図 4)。

米。 4 微分分布関数のグラフは一般に分布曲線と呼ばれます。

微分分布関数のプロパティ:

1. 微分分布関数は非負です。つまり、

2. 確率変数のすべての可能な値が区間 (a, b) に属する場合、

微分分布関数は、連続確率変数の確率分布の法則と呼ばれることがよくあります。

応用問題を解くとき、連続確率変数の確率分布に関するさまざまな法則に遭遇します。 よく見つかる 一様分布と正規分布の法則.

私たちは、分布系列が離散確率変数を完全に特徴付けることを確立しました。 ただし、この特性は普遍的なものではありません。 それは離散量に対してのみ存在します。 連続量の場合、分布系列を構築することはできません。 実際、連続確率変数には、特定のギャップを完全に埋める数え切れない一連の可能な値があります。 この量の考えられる値をすべてリストした表を作成することは不可能です。 したがって、連続確率変数には、離散変数のような分布系列は存在しません。 ただし、確率変数の取り得る値の異なる範囲は同じ確率ではなく、離散変数と同じ意味ではありませんが、連続変数にも依然として「確率分布」が存在します。

この確率分布を定量化するには、イベントの非確率を使用すると便利です。 R(バツ= バツ)、確率変数が特定の値を取るという事実から成ります バツ、およびイベントの確率 R(バツ<バツ)、確率変数が以下の値をとるという事実から成ります。 バツ。 明らかに、このイベントの確率は次の条件に依存します。 バツ、つまり の何らかの機能です バツ.

意味。 分布関数 確率変数 バツ関数と呼ばれる F(バツ) 各値を表す バツ確率変数が バツより小さい値を取る バツ:

分布関数とも呼ばれます 累積分布関数 または 積分分布則 .

分布関数は、確率変数の最も普遍的な特性です。 これは、離散型と連続型の両方のすべての確率変数に対して存在します。 分布関数は、確率的な観点から確率変数を完全に特徴付けます。 分配法の一形態です。

分布関数により、単純な幾何学的解釈が可能になります。 確率変数を考えてみましょう バツ車軸上 おお(図 4.2)、実験の結果、ある位置または別の位置を取ることができます。 値を持つ点を軸上で選択します。 バツ。 そして、実験の結果、確率変数は バツポイントの左側または右側にある可能性があります バツ。 明らかに、確率変数が バツポイントの左側になります バツ、点の位置によって異なります バツ、つまり 引数の関数になる バツ.

離散確率変数の場合 バツ、値を受け取ることができます バツ 1 , バツ 2 , …, ×n、分布関数の形式は次のとおりです。

その分布関数を見つけてグラフで表します。

解決。 異なる値を設定します バツそして彼らのために見つけてください F(バツ) = = P(バツ < バツ).

1. もし バツ≤ 0 の場合 F(バツ) = P(バツ < バツ) = 0.

2. 0の場合< バツ≤ 1 の場合 F(バツ) = P(バツ < バツ) = P(バツ = 0) = 0,08.

3. 1の場合< バツ≤ 2 の場合 F(バツ) = P(バツ < バツ) = P(バツ = 0) + P(バツ = 1) = 0,08 + 0,44 = 0,52.

4. もし バツ> 2 では、 F(バツ) = P(バツ < バツ) = P(バツ = 0) + P(バツ = 1) + P(バツ = 2) = 0,08 + 0,44 + + 0,48 = 1.

分布関数を書いてみましょう。

分布関数をグラフで描いてみましょう (図 4.3)。 左から不連続点に近づくと、関数はその値を保持することに注意してください (このような関数は左から連続であると言われます)。 これらの点はグラフ上で強調表示されます。 ◄

この例から次のような主張が導き出されます。 離散確率変数の分布関数は不連続ステップ関数であり、そのジャンプは確率変数の可能な値に対応する点で発生し、これらの値の確率に等しい.

分布関数の一般的な特性を考慮してください。

1. 確率変数の分布関数は、0 から 1 までの非負の関数です。:

3. マイナス無限大では分布関数は 0 に等しく、プラス無限大では 1 に等しくなります。、つまり

例4.3。確率変数の分布関数 バツ次のようになります:

確率変数が次の確率になる確率を求めます。 バツ区間内の値をとり、確率はゼロです。

ただし、確率がゼロではないが、確率がゼロのイベントで構成されるイベントという概念は、セグメントの単一の点が存在しない一方で、一定の長さを持つセグメントという概念と同様に逆説的ではありません。ゼロ以外の長さ。 セグメントはそのような点で構成されますが、その長さはそれらの長さの合計と等しくなりません。

この性質から次の結果が得られます。

結果。 X が連続確率変数の場合、この変数が区間 (x 1, x 2) に該当する確率は、この区間が開いているか閉じているかには依存しません。:

P(バツ 1 < バツ < バツ 2) = P(バツ 1 ≤ バツ < バツ 2) = P(バツ 1 < バツ ≤ バツ 2) = P(バツ 1 ≤ バツ ≤ バツ 2).

微分および積分の分布法則

確率変数の分布法則は、この数量の可能な値と、これらの値に対応するそれらの発生確率との間の関係を確立します。 確率変数の分布の法則を記述するには 2 つの形式があります。 微分と積分 。 さらに、計測学では主に微分形式、つまり分布則が使用されます。 確率密度 確率変数。
差分分布の法則 特徴的な 分布密度 確率変数の分布密度 この場合の確率は P～の間隔で確率変数をヒットする ×1前に ×2 :

グラフで表すと、この確率は曲線の下の面積の比率です。 f(x)からの合間に ×1前に ×2分布曲線全体で囲まれた総面積に換算します。

この場合の分布は、 継続的な 確率変数。 それらに加えて、 離散 番号を付けることができるいくつかの特定の値を取る確率変数。

確率変数の積分分布則関数です F(x)、式で定義される

確率変数が小さくなる確率 ×1関数値で与えられる F(x)で x = x 1:

F(X)は非減少関数であり、X → ∞ となります。 F(X)→1

X→-∞の場合 F(X)→0

F(x) -関数は連続なので、 特定の間隔での観測結果は任意の値を取ることができます

ただし、4 番目のプロパティは通常、実際には実装されません。 これは、使用される SI の分解能が有限であるという事実によるものです。ポインタ デバイスの場合、これはスケールの 1 分割の価格 (量子 FV)、デジタル デバイスの場合、これは最小コード桁の価格です。 したがって、実際には誤差の分布関数は階段状になります。

それにもかかわらず、計測学の実践では、積分関数は連続であると見なされ、誤差の処理が簡素化されます。

連続確率変数の一様分布法則。

連続確率変数は、その可能な値が特定の一定の間隔内にあり、その範囲内ではすべての値が等しい確率である、つまり同じ確率密度を持っている場合、一様分布則に従います。 言い換えれば、確率変数のすべての可能な値が属する区間上で、微分関数が一定の値を持つ場合、確率分布は均一であると呼ばれます。

一様な確率分布を持つ確率変数、<<встречаются на практике. Например, при снятии показаний измерительных приборов. Ошибка при округлении отсчёта до ближайшего целого деления шкалы является случайной величиной, которая может с постоянной плотностью вероятности принимать любые значения между двумя соседними делениями. Таким образом, данная случайная величина имеет равномерное распределение.

確率変数のすべての可能な値を仮定して、一様分布の微分関数 (密度) を求めてみましょう。 バツ 間に閉じ込められた 、微分関数は一定のままです、つまり

f(x) = C

条件別 バツ 範囲外の値は取りません 、 それが理由です f(x) = 0すべてのために バツ< a そして バツ< b.

定数の値を求めてみましょう と 。 確率変数のすべての可能な値は区間に属するため、 であれば、それは真実です:

つまり、区間上の確率変数の一様分布の法則 （ここ ある< b ) は次のように分析的に書くことができます。

ここで、連続確率変数の一様分布の積分関数を求めてみましょう。 これを行うには、次の式を使用します。

もし バツ< a それ f(x) = 0それゆえ F(x) = 0

もし a ≤ x ≤ bそれ したがって

もし x˃bそれ

したがって、目的の積分分布関数は次のように分析的に書くことができます。

x の場合、F(x) = 0< a

a ≤ x ≤ b の場合

x ˃ b の場合、F(x) = 1

一様連続分布の特性:

1. 最初の瞬間（期待）

2.中央値: M = M(X)

3. モード - セグメント上の任意の数値 (モード - 分布の最も可能性の高い値)。

確率変数 x が x の積分分布関数と呼ばれる関数より小さい値を取る確率で表します。 確率は 1 と 1 の間にある必要があるため、すべての値について次のようになります。 確率がその確率以上になるような場合、つまり、関数は増加とともに減少することはできません。

積分分布関数の典型的な形式を図に示します。 1、横軸がプロットされ、縦軸は関数

積分分布関数を知っていると、与えられた確率について簡単に決定できます。実際には、イベントは互換性がないため、これらのイベントのいずれかが発生する確率は、各イベントの確率の合計に等しくなります。

(スキャンを参照)

これら 2 つのイベントのいずれかの発生確率は、イベントの発生確率と一致するため、関係 (1.1) に従って、次のようになります。

したがって、イベントが発生する望ましい確率は次のようになります。

確率変数 x がオブジェクトのグループからランダムに選択されたオブジェクトの何らかの特性を測定した結果である場合、積分分布関数の簡単な解釈を与えることが可能です。観測値 x が何らかの等式または不等号である確率 (たとえば、 または が、値 x が対応する等式または不等号を満たすようなオブジェクトの (特定のオブジェクトのグループ内) の相対比率に等しい) である確率。したがって、単にこの確率の解釈により、関係 (1.2 ) が明らかになります。実際には、次のオブジェクトの相対数は、次のオブジェクトの相対数に、次のオブジェクトの相対数を加えたものに等しいことがわかります。オブジェクトのグループはしばしば母集団と呼ばれますが、これまでは有限数のオブジェクトを含む母集団だけを考えてきました。 このような母集団は有限と呼ばれます。

特定の関係 (等式または不平等) が満たされる事象の確率を、x の値がこの関係を満たす要素の特定の一般集団における相対的な割合として解釈することは、多くの場合に非常に有用であることがわかります。 、よく使います。 ただし、有限の母集団に限定されない場合、このような確率の解釈は常に可能であるとは限りません。 実際、有限の一般集団に関連付けられた積分分布関数には独自の特性があります。

一般集団が要素で構成されていると仮定しましょう。 この場合、確率変数 x は異なる値しか取ることができません。 x が取り得るさまざまな値を考え、これらの値を昇順に並べると、x の値が複数の要素で同じである場合、この累積分布関数は次のようになります。この場合、図のような階段状の曲線になります。 2.

分布関数には正確なジャンプがあり、各ジャンプの大きさは、図の連続曲線で表される累積分布関数のいずれかまたはその整数を乗算した値に等しくなります。 1は明らかにこのタイプではありません。

したがって、累積分布関数が連続曲線である場合、有限の一般集団の特定の要素の相対比率として確率を解釈することは不可能です。 ただし、任意の連続累積分布関数は、有限母集団に関連付けられた段階的累積分布関数によって任意の精度で近似できます (ただし、後者の要素の数が十分に大きい場合)。 したがって、任意の連続累積分布関数は、有限母集団に関連付けられた累積分布関数の限定形式と考えることができます。 この一般的な要素の数が無限に増加すると、限界に達します。

骨材。 これは、無限の母集団 (無限の数の要素を持つ母集団) の存在を許可する場合、この母集団に関連付けられた確率は常に、母集団の対応する要素の相対的な割合として解釈できることを意味します。 もちろん、無限の母集団という概念は、理論を単純化するためにのみ導入された有用な抽象概念にすぎません。

無限の一般集団の例として、特定の棒の長さを測定することからなる実験を考えてみましょう。 各測定の結果は、積分分布関数によって特徴付けられる確率変数と考えることができます。その場合、無限の一般集団は、ロッドの長さの反復測定の無限のシーケンスとなるため、実際に行われた各測定は、次の要素とみなすことができます。この人口。 場合によっては、一般母集団は有限ですが、この母集団の要素の数が非常に多いため、この母集団に関連する問題をあたかも無限であるかのように、つまり一般母集団が無限であるかのように考える方が都合がよいことがわかります。 。 たとえば、米国に住む 20 歳以上の女性全員の身長の分布に興味があるとします。 明らかに、そのような個人の数は非常に多いため、そのような個人の一般集団が無限であると考えると、大幅な数学的単純化が期待できます。