nokを見つけるための番号。最小公倍数、2 つ以上の数値の nok を見つける方法

NOC を見つける

見つけるために 共通点 分母が異なる分数の足し算や引き算をする場合、計算を理解し、実行できなければなりません。 最小公倍数 (LCM)。

a の倍数は、それ自体が余りを残さずに a で割り切れる数です。
8 の倍数である数値 (つまり、これらの数値は余りを除いて 8 で割り切れます): これらは数値 16、24、32... です。
9の倍数: 18、27、36、45...

同じ数の約数とは対照的に、与えられた数 a の倍数は無限にあります。約数の数は有限です。

2 つの自然数の公倍数は、これらの両方の数で割り切れる数です。

2 つ以上の自然数の最小公倍数 (LCM) は、それ自体がこれらの数のそれぞれで割り切れる最小の自然数です。

NOCの見つけ方
LCM は 2 つの方法で検索して書き込むことができます。

LOC を見つける最初の方法
この方法は通常、数値が小さい場合に使用されます。
1. 両方の数値で同じ倍数が見つかるまで、各数値の倍数を 1 行に書き留めます。
2. a の倍数は大文字の「K」で表されます。

K(a) = (...,...)
例。 LOC 6 と 8 を見つけます。
K (6) = (12, 18, 24, 30, ...)

K(8) = (8, 16, 24, 32, ...)

LCM(6, 8) = 24

LOC を見つける 2 番目の方法
この方法は、3 つ以上の数値の最小公倍数を見つけるのに使用すると便利です。
1. 指定された数値を次のように分割します。単純乗数素因数分解のルールの詳細については、最大公約数 (GCD) を見つける方法のトピックを参照してください。

2. 展開に含まれる要素を一行に書き出す 最大の 数値の分解、その下に残りの数値の分解があります。

数値の分解における同一の因数の数は異なる場合があります。

60 = 2 . 2 . 3 . 5

24 = 2 . 2 . 2 . 3
3. 分解で強調する 少ない大きい数の展開に含まれなかった数値 (小さい数) の係数 (この例では 2) を取得し、これらの係数を大きい数の展開に追加します。
LCM(24, 60) = 2。 2. 3. ５． 2
4. 結果として得られた結果を答えとして書き留めます。
答え: LCM (24, 60) = 120

次のように最小公倍数 (LCM) の求め方を形式化することもできます。 LOC (12、16、24) を見つけてみましょう。

24 = 2 . 2 . 2 . 3

16 = 2 . 2 . 2 . 2

12 = 2 . 2 . 3

数値の分解からわかるように、12 のすべての因数は 24 (数値の中で最大) の分解に含まれるため、数値 16 の分解から最小公倍数に 2 を 1 つだけ追加します。
LCM(12, 16, 24) = 2。 2. 2. 3. 2 = 48
答え: LCM (12, 16, 24) = 48

NOC を見つける特殊なケース
1. 数値の 1 つが他の数値で割り切れる場合、これらの数値の最小公倍数はこの数値に等しくなります。
たとえば、LCM (60, 15) = 60
2. 相対素数には共通の素因数がないため、最小公倍数はこれらの数の積に等しくなります。
例。
LCM(8, 9) = 72

次の問題を解くことを考えてみましょう。男の子の歩幅は 75 cm、女の子の歩幅は 60 cm で、両者が整数の歩数になる最小の距離を見つける必要があります。

解決。子はそれぞれ整数のステップを歩む必要があるため、子が通過するパス全体は 60 と 70 で割り切れる必要があります。つまり、答えは 75 と 60 の倍数でなければなりません。

まず、75 の倍数をすべて書き留めます。次の結果が得られます。

75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

ここで、60 の倍数となる数値を書き留めてみましょう。次のようになります。

60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

ここで、両方の行にある数字を見つけます。

数値の公倍数は 300、600 などになります。

それらの最小のものは数値 300 です。この場合、それは数値 75 と 60 の最小公倍数と呼ばれます。

問題の条件に戻ると、男の子が整数の歩数で移動する最小距離は 300 cm となり、男の子はこの道を 4 歩でカバーし、女の子は 5 歩歩く必要があります。

最小公倍数の決定

2 つの自然数 a と b の最小公倍数は、a と b の両方の倍数である最小の自然数です。

2 つの数値の最小公倍数を見つけるために、これらの数値の倍数をすべて連続して書き留める必要はありません。

次の方法を使用できます。

最小公倍数を見つける方法

まず、これらの数値を素因数に因数分解する必要があります。

60 = 2*2*3*5,
75=3*5*5.

ここで、最初の数 (2,2,3,5) の展開に含まれるすべての因数を書き留めて、2 番目の数 (5) の展開で不足しているすべての因数をそれに追加しましょう。

その結果、一連の素数 2、2、3、5、5 が得られます。これらの数値の積は、これらの数値の最小公倍数になります。 2*2*3*5*5 = 300。

最小公倍数を見つけるための一般的なスキーム

1. 数値を素因数に分割します。
2. そのうちの 1 つに含まれる素因数を書き留めます。
3. これらの因子に、他の因子の展開には含まれるが、選択した因子には含まれない因子をすべて追加します。
4. 書かれたすべての因子の積を求めます。

この方法は普遍的です。任意の数の自然数の最小公倍数を見つけるために使用できます。

2 つの数値の最小公倍数は、それらの数値の最大公約数に直接関係します。これ GCDとNOC間の接続は次の定理によって決まります。

定理。

2 つの正の整数 a と b の最小公倍数は、a と b の積を a と b の最大公約数で割ったものに等しくなります。つまり、 LCM(a, b)=a b:GCD(a, b).

証拠。

させて M は数値 a と b の倍数です。つまり、M は a で割り切れます。割り切れるという定義により、M=a・k という等式が成り立つような整数 k が存在します。しかし、M も b で割り切れるので、a・k は b で割り切れます。

gcd(a, b) を d と表します。次に、等式 a=a 1 ·d と b=b 1 ·d を書くことができ、a 1 =a:d と b 1 =b:d は互いに素な数になります。したがって、前の段落で得られた、a · k が b で割り切れるという条件は、次のように再定式化できます。 a 1 · d · k は b 1 · d で割られ、これは割り切れる性質により、次の条件と等価です。 a 1 · k は b 1 で割り切れます。

また、検討した定理から得られる 2 つの重要な帰結も書き留める必要があります。

2 つの数の公倍数は、その最小公倍数の倍数と同じです。

これは実際に当てはまります。数値 a と b の M の公倍数は、ある整数値 t に対する等式 M=LMK(a, b)・t によって決定されるからです。

互いに素な正の数 a と b の最小公倍数は、それらの積に等しい。

この事実の根拠は非常に明白です。 a と b は互いに素であるため、 gcd(a, b)=1 となり、次のようになります。 GCD(a, b)=a b: GCD(a, b)=a b:1=a b.

3 つ以上の数値の最小公倍数

3 つ以上の数値の最小公倍数を見つけることは、2 つの数値の最小公倍数を順番に見つけることに帰着できます。これがどのように行われるかは、次の定理に示されています。a 1 、a 2 、…、a k は数値 m k-1 および a k の公倍数と一致し、したがって、数値 m k の公倍数と一致します。そして、数 m k の最小の正の倍数は数 m k そのものであるため、数 a 1、a 2、...、a k の最小公倍数は m k になります。

参考文献。

ビレンキン N.Ya. その他、数学。 6年生：一般教育機関向けの教科書。
ヴィノグラドフ I.M. 整数論の基礎。
ミケロヴィチ Sh.H. 数論。
クリコフL.Ya。代数・数論問題集：物理・数学を学ぶ人のための教科書。教育機関の専門分野。

倍数とは、剰余なしで指定された数で割り切れる数です。数値グループの最小公倍数 (LCM) は、そのグループ内の各数値で余りを残さずに割り切れる最小の数値です。最小公倍数を見つけるには、指定された数値の素因数を見つける必要があります。 LCM は、2 つ以上の数値のグループに適用される他の多くの方法を使用して計算することもできます。

ステップ

一連の倍数

これらの数字を見てください。ここで説明する方法は、それぞれ 10 未満の 2 つの数値が与えられた場合に最適です。より大きな数値が与えられた場合は、別の方法を使用してください。

たとえば、5 と 8 の最小公倍数を見つけます。これらは小さい数値であるため、この方法を使用できます。

倍数とは、剰余なしで指定された数で割り切れる数です。倍数は九九で見つけることができます。
- たとえば、5 の倍数の数値は、5、10、15、20、25、30、35、40 です。
最初の数値の倍数である一連の数値を書き留めます。 2 つの数値セットを比較するには、最初の数値の倍数でこれを実行します。
- たとえば、8 の倍数となる数値は、8、16、24、32、40、48、56、64 です。
両方の倍数セットに存在する最小の数値を見つけます。合計数を求めるには、長い一連の倍数を記述する必要がある場合があります。両方の倍数セットに存在する最小の数が最小公倍数です。
- たとえば、5 と 8 の一連の倍数に現れる最小の数字は 40 です。したがって、40 は 5 と 8 の最小公倍数です。
素因数分解
1. これらの数字を見てください。ここで説明する方法は、それぞれ 10 より大きい 2 つの数値を指定する場合に最適です。より小さい数値を指定する場合は、別の方法を使用してください。
  - たとえば、数値 20 と 84 の最小公倍数を見つけます。それぞれの数値は 10 より大きいため、この方法を使用できます。
2. 素因数分解 最初の番号。つまり、乗算すると特定の数値になるような素数を見つける必要があります。素因数を見つけたら、それを等式として書きます。
  
  2 番目の数値を素因数分解します。最初の数値を因数分解したのと同じ方法でこれを実行します。つまり、乗算すると指定された数値が得られる素数を見つけます。
  
  両方の数値に共通する係数を書き留めます。このような係数を乗算演算として記述します。各因数を記述するときは、両方の式 (素因数への数値の因数分解を記述する式) でその因数に取り消し線を付けます。
  
  残りの因数を乗算演算に追加します。これらは、両方の式で取り消し線が引かれていない係数、つまり、両方の数値に共通ではない係数です。
  
  最小公倍数を計算します。これを行うには、書かれた乗算演算で数値を乗算します。
共通因子を見つける
1. 両方の数値に共通する約数を求めます。それを最初の行と最初の列に書き留めます。素因数を探す方が良いですが、これは必須ではありません。
  - たとえば、18 と 30 は偶数なので、公約数は 2 です。したがって、最初の行、最初の列に 2 を書き込みます。
2. 各数値を最初の約数で割ります。それぞれの商を適切な数字の下に書きます。商は 2 つの数値を除算した結果です。
  
  両方の商に共通する約数を求めます。そのような約数がない場合は、次の 2 つの手順をスキップします。それ以外の場合は、2 行目の 1 列目に除数を書き込みます。
  - たとえば、9 と 15 は 3 で割り切れるので、2 行目の 1 列目に 3 と書き込みます。
3. 各商を 2 番目の約数で割ります。各除算結果を対応する商の下に書き込みます。
  
  必要に応じて、グリッドにセルを追加します。商が公約数になるまで、上記の手順を繰り返します。
  
  グリッドの最初の列と最後の行の数字を丸で囲みます。次に、選択した数値を乗算演算として書き込みます。
ユークリッドのアルゴリズム

「LCM - 最小公倍数、定義、例」のセクションで始めた最小公倍数についての話を続けましょう。このトピックでは、3 つ以上の数値の最小公倍数を求める方法と、負の数の最小公倍数を求める方法について説明します。

GCD による最小公倍数 (LCM) の計算

最小公倍数と最大公約数の関係はすでに確立しています。次に、GCD を通じて最小公倍数を決定する方法を学びましょう。まず、正の数に対してこれを行う方法を考えてみましょう。

定義 1

式 LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) を使用して、最大公約数による最小公倍数を見つけることができます。

例1

数値 126 と 70 の最小公倍数を見つける必要があります。

解決

a = 126、b = 70 としましょう。最大公約数 LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) による最小公倍数を計算する式に値を代入してみましょう。

数値 70 と 126 の gcd を求めます。このためにはユークリッドアルゴリズムが必要です: 126 = 70 1 + 56、70 = 56 1 + 14、56 = 14 4、したがって GCD (126 , 70) = 14 .

LCM を計算してみましょう。 LCD (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630。

答え： LCM(126, 70) = 630。

例 2

68 と 34 という数字を見つけます。

解決

この場合の GCD は、68 が 34 で割り切れるため、見つけるのは難しくありません。次の公式を使用して最小公倍数を計算しましょう: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68。

答え： LCM(68, 34) = 68。

この例では、正の整数 a と b の最小公倍数を見つけるためのルールを使用しました。最初の数値が 2 番目の数値で割り切れる場合、それらの数値の最小公倍数は最初の数値に等しくなります。

数値を素因数分解して最小公倍数を求める

次に、数値を素因数に因数分解することに基づく最小公倍数を求める方法を見てみましょう。

定義 2

最小公倍数を見つけるには、いくつかの簡単な手順を実行する必要があります。

LCM を見つける必要がある数値のすべての素因数の積を構成します。
結果の積からすべての素因数を除外します。
共通素因数を除去した後に得られる積は、指定された数値の最小公倍数と等しくなります。

最小公倍数を見つけるこの方法は、等式 LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) に基づいています。式を見ると明らかになるでしょう。数値 a と b の積は、これら 2 つの数値の分解に関与するすべての因子の積に等しいです。この場合、2 つの数値の gcd は、これら 2 つの数値の因数分解で同時に存在するすべての素因数の積に等しくなります。

例 3

75 と 210 という 2 つの番号があります。それらは次のように因数分解できます。 75 = 3 5 5そして 210 = 2 3 5 7。元の 2 つの数値のすべての因数の積を合成すると、次のようになります。 2 3 3 5 5 5 7.

数値 3 と数値 5 の両方に共通する因子を除外すると、次の形式の積が得られます。 2 3 5 5 7 = 1050。この商品は75番と210番のLCMとなります。

例 4

数値の最小公倍数を求める 441 そして 700 、両方の数値を素因数に因数分解します。

解決

条件で指定された数値のすべての素因数を見つけてみましょう。

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

441 = 3 3 7 7 と 700 = 2 2 5 5 7 という 2 つの数値の連鎖が得られます。

これらの数値の分解に関与したすべての要素の積は、次の形式になります。 2 2 3 3 5 5 7 7 7。共通因子を見つけてみましょう。これは7番です。これを製品全体から除外しましょう。 2 2 3 3 5 5 7 7。 NOCであることが判明しました (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

答え： LOC(441, 700) = 44,100。

数値を素因数に分解して最小公倍数を求める方法を別の定式化してみましょう。

定義 3

以前は、両方の数値に共通する因子の合計数から除外していました。ここでは、別の方法で実行します。

両方の数値を素因数に因数分解してみましょう。
最初の数の素因数の積に、2 番目の数の欠損因数を加算します。
積を取得します。これは、2 つの数値の目的の最小公倍数になります。

例5

数値 75 と 210 に戻りましょう。前の例の 1 つで LCM をすでに検索しました。それらを単純な要因に分解してみましょう。 75 = 3 5 5そして 210 = 2 3 5 7。係数 3、5、および 5 数値 75 は欠落している因数を追加します 2 そして 7 数字は210。我々が得る： 2・3・5・5・7。これは、75 と 210 という数字の最小公倍数です。

例6

数値 84 と 648 の最小公倍数を計算する必要があります。

解決

条件からの数値を単純な因数に因数分解してみましょう。 84 = 2 2 3 7そして 648 = 2 2 2 3 3 3 3。積に係数 2、2、3、およびを追加しましょう。 7 数値 84 欠損因子 2、3、3、および
3 数字は648。製品を受け取ります 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536。これは 84 と 648 の最小公倍数です。

答え： LCM(84, 648) = 4,536。

3 つ以上の数値の最小公倍数を求める

扱う数値の数に関係なく、アクションのアルゴリズムは常に同じです。つまり、2 つの数値の最小公倍数を順番に見つけます。この場合には定理があります。

定理1

整数があると仮定しましょう a 1 、 a 2 、 … 、 a k。 NOC mkこれらの数値は、m 2 = LCM (a 1, a 2)、m 3 = LCM (m 2, a 3)、...、m k = LCM (m k − 1, a k) を順番に計算することによって求められます。

次に、定理を適用して特定の問題を解決する方法を見てみましょう。

例 7

4 つの数値 140、9、54 の最小公倍数を計算する必要があります。 250 .

解決

表記法を導入しましょう: a 1 = 140、a 2 = 9、a 3 = 54、a 4 = 250。

m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9) を計算することから始めましょう。ユークリッドアルゴリズムを適用して、数値 140 と 9 の GCD を計算してみましょう: 140 = 9 15 + 5、9 = 5 1 + 4、5 = 4 1 + 1、4 = 1 4。 GCD (140, 9) = 1、GCD (140, 9) = 140 9: GCD (140, 9) = 140 9: 1 = 1,260 が得られます。したがって、m 2 = 1,260となります。

次に、同じアルゴリズム m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54) を使用して計算してみましょう。計算中に、m 3 = 3 780 が得られます。

m 4 = LCM (m 3 , a 4) = LCM (3 780, 250) を計算するだけです。同じアルゴリズムに従います。 m 4 = 94 500 が得られます。

条件例の 4 つの数値の最小公倍数は 94500 です。

答え： NOC (140、9、54、250) = 94,500。

ご覧のとおり、計算は単純ですが、非常に手間がかかります。時間を節約するには、別の方法を使用することもできます。

定義 4

次のアクションのアルゴリズムを提供します。

すべての数値を素因数に分解します。
最初の数値の因数の積に、2 番目の数値の積から不足している因数を追加します。
前の段階で得られた積に、3 番目の数などの欠落因子を追加します。
結果の積は、条件からのすべての数値の最小公倍数になります。

例8

5 つの数字 84、6、48、7、143 の最小公倍数を見つける必要があります。

解決

5 つの数値すべてを素因数分解してみましょう: 84 = 2 2 3 7、6 = 2 3、48 = 2 2 2 2 3、7、143 = 11 13。素数、つまり数字の 7 は素因数に因数分解できません。このような数は、素因数への分解と一致します。

ここで、数値 84 の素因数 2、2、3、7 の積をとり、それらに 2 番目の数値の欠損因数を加えてみましょう。数字の6を2と3に分解しました。これらの係数は、最初の数値の積にすでに含まれています。したがって、それらを省略します。

不足している乗数を追加し続けます。素因数の積 2 と 2 から 48 という数字に移りましょう。次に、4 番目の数の素因数 7 と、5 番目の数の素因数 11 と 13 を加算します。 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48,048 が得られます。これは、元の 5 つの数値の最小公倍数です。

答え： LCM(84, 6, 48, 7, 143) = 48,048。

負の数の最小公倍数を見つける

負の数値の最小公倍数を見つけるには、まずこれらの数値を反対の符号を持つ数値に置き換えてから、上記のアルゴリズムを使用して計算を実行する必要があります。

例9

LCM (54, − 34) = LCM (54, 34) および LCM (− 622, − 46, − 54, − 888) = LCM (622, 46, 54, 888)

当社がそれを認める場合には、そのような行為は許容されます。あるそして −– 反対の数字、
次に、数値の倍数の集合ある数値の倍数のセットと一致します −.

例 10

負の数の最小公倍数を計算する必要があります − 145 そして − 45 .

解決

数字を置き換えてみましょう − 145 そして − 45 反対の数字に 145 そして 45 。ここで、アルゴリズムを使用して、LCM (145, 45) = 145 · 45: GCD (145, 45) = 145 · 45: 5 = 1,305 を計算します。ユークリッドアルゴリズムを使用して GCD を事前に決定しました。

数値の最小公倍数は - 145 であることがわかります。 − 45 等しい 1 305 .

答え： LCM (− 145、− 45) = 1,305。

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nokを見つけるための番号。 最小公倍数、2 つ以上の数値の nok を見つける方法