2 平行四辺形の面積を求めます。 平行四辺形の面積はどうやって求めますか? 平行四辺形の面積を求める公式

タスク4。

長さ 4√6 の平行四辺形の対角線の 1 つは底辺に対して 60° の角度を作り、2 番目の対角線は同じ底辺に対して 45° の角度を作ります。 2 番目の対角線を見つけます。

解決。

1. AO = 2√6。

2. 正弦定理を三角形 AOD に適用します。

AO/sin D = OD/sin A。

2√6/sin 45° = OD/sin 60°

OD = (2√6sin 60 o) / sin 45 o = (2√6 √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6。

答え: 12.

タスク5。

辺が 5√2 と 7√2 の平行四辺形の場合、対角線の間の小さい角度は、平行四辺形の小さい角度と等しくなります。 対角線の長さの合計を求めます。

解決。

ｄ １ 、ｄ ２ を平行四辺形の対角線とし、対角線と平行四辺形の小さい方の角との間の角度をφとする。

1. 異なる 2 つを数えてみましょう
その地域のやり方。

S ABCD \u003d AB AD sin A \u003d 5√2 7√2 sin f、

S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin f。

等式 5√2 7√2 sin f = 1/2d 1 d 2 sin f または

2 5√2 7√2 = d 1 d 2 ;

2. 平行四辺形の辺と対角線の比を使用して、等式を書きます。

(AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2。

((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2 。

d 1 2 + d 2 2 = 296。

3. システムを作りましょう:

(d 1 2 + d 2 2 = 296、
(d 1 + d 2 = 140.

システムの 2 番目の方程式に 2 を掛けて、最初の方程式に加算します。

(d 1 + d 2) 2 = 576 が得られます。したがって、Id 1 + d 2 I = 24 となります。

d 1 、d 2 は平行四辺形の対角線の長さなので、d 1 + d 2 = 24 となります。

答え：24。

タスク6。

平行四辺形の辺は 4 と 6 です。対角線の間の鋭角は 45 度です。 平行四辺形の面積を求めます。

解決。

1. 三角形 AOB からコサイン定理を使って、平行四辺形の辺と対角線の関係を書きます。

AB 2 \u003d AO 2 + VO 2 2 AO VO cos AOB。

4 2 \u003d (d 1 / 2) 2 + (d 2 / 2) 2 - 2 (d 1 / 2) (d 2 / 2) cos 45 o;

d 1 2/4 + d 2 2/4 - 2 (d 1/2) (d 2/2)√2/2 = 16。

d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64。

2. 同様に、三角形 AOD の関係を書きます。

私たちはそれを考慮しています<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2.

方程式 d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144 が得られます。

3. 私たちはシステムを持っています
(d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64、
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144.

2 番目の方程式から最初の式を減算すると、2d 1 d 2 √2 = 80 または

d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2

4.S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin α \u003d 1/2 20√2 √2/2 \u003d 10.

ノート：この問題と前の問題では、この問題では面積を計算するために対角線の積が必要であることが予想されるため、システムを完全に解く必要はありません。

答え: 10.

タスク7。

平行四辺形の面積は96、辺は8と15です。小さい方の対角線の正方形を求めます。

解決。

1. S ABCD \u003d AB AD sin VAD。 式に代入してみましょう。

96 = 8 15 sin VAD が得られます。 したがって、sin VAD = 4/5 となります。

2. cos BAD を見つけます。 sin 2 VAD + cos 2 VAD = 1。

(4/5) 2 + cos 2 BAD = 1。cos 2 BAD = 9/25。

問題の状況に応じて、小さい方の対角線の長さを求めます。 角度 BAD が鋭角であれば、対角 BD は小さくなります。 したがって、cos BAD = 3 / 5 となります。

3. 三角形 ABD から、コサイン定理を使用して、対角線 BD の 2 乗を求めます。

BD 2 \u003d AB 2 + AD 2 - 2 AB BD cos BAD。

ВD 2 \u003d 8 2 + 15 2 - 2 8 15 3 / 5 \u003d 145。

答え：145。

何か質問がありますか？ 幾何学の問題の解決方法がわかりませんか?
家庭教師のサポートを受けるには、登録してください。
初回レッスンは無料です！

サイトにコンテンツを完全または部分的にコピーする場合は、ソースへのリンクが必要です。

平行四辺形の面積を求める方法を学ぶ前に、平行四辺形とは何か、そしてその高さと呼ばれるものを覚えておく必要があります。 平行四辺形は、対辺がペアごとに平行である (平行線上にある) 四辺形です。 この辺を含む直線と反対側の任意の点から引いた垂線を平行四辺形の高さといいます。

正方形、長方形、ひし形は、平行四辺形の特殊なケースです。

平行四辺形の面積を(S)と表記します。

平行四辺形の面積を求める公式

S=a*h、a は底辺、h は底辺までの高さです。

S=a*b*sinα、ここで、a および b は底面であり、α は底面 a と b の間の角度です。

S \u003d p * r、pは半周長、rは平行四辺形に内接する円の半径です。

ベクトル a と b によって形成される平行四辺形の面積は、指定されたベクトルの積の係数に等しくなります。つまり、次のようになります。

例 No. 1 を考えてみましょう: 辺が 7 cm、高さが 3 cm の平行四辺形が与えられています。平行四辺形の面積を求める方法には、解くための公式が必要です。

したがって、S= 7x3 となります。 S=21。 答え：21cm2です。

例 2 を考えてみましょう。底面は 6 および 7 cm、底面間の角度は 60 度です。 平行四辺形の面積はどうやって求めますか? 解くために使用される公式:

したがって、最初に角度の正弦を求めます。 サイン60 \u003d 0.5、それぞれS \u003d 6 * 7 * 0.5 \u003d 21 答え：21 cm 2。

これらの例が問題解決に役立つことを願っています。 そして、重要なのは公式の知識と注意力であることを忘れないでください。

平行四辺形とは何ですか? 平行四辺形は、対辺がペアごとに平行である四角形です。

1. 平行四辺形の面積は次の式で計算されます。

\[ \LARGE S = a \cdot h_(a)\]

どこ：
a は平行四辺形の辺、
h a は手前に描かれた高さです。

2. 平行四辺形の隣接する 2 つの辺の長さとそれらの間の角度がわかっている場合、平行四辺形の面積は次の式で計算されます。

\[ \LARGE S = a \cdot b \cdot sin(\alpha) \]

3. 平行四辺形の対角線が与えられ、それらの間の角度がわかっている場合、平行四辺形の面積は次の式で計算されます。

\[ \LARGE S = \frac(1)(2) \cdot d_(1) \cdot d_(2) \cdot sin(\alpha) \]

平行四辺形のプロパティ

平行四辺形では、対辺は等しい: \(AB = CD \) 、 \(BC = AD \)

平行四辺形では、対角は \(\angle A = \angle C \) 、 \(\angle B = \angle D \) になります。

交差する点での平行四辺形の対角線は \(AO = OC \) 、 \(BO = OD \) で二等分されます。

平行四辺形の対角線は、それを 2 つの等しい三角形に分割します。

1つの辺に隣接する平行四辺形の角度の合計は180°です。

\(\角度 A + \角度 B = 180^(o) \)、\(\角度 B + \角度 C = 180^(o)\)

\(\角度 C + \角度 D = 180^(o) \)、\(\角度 D + \角度 A = 180^(o)\)

平行四辺形の対角線と辺は、次の関係によって関連付けられます。

\(d_(1)^(2) + d_(2)^2 = 2a^(2) + 2b^(2) \)

平行四辺形では、高さの間の角度はその鋭角に等しくなります: \(\angle K B H =\angle A \) 。

平行四辺形の一辺に隣接する角の二等分線は互いに垂直です。

平行四辺形の対向する 2 つの角の二等分線は平行です。

平行四辺形の特徴

次の場合、四角形は平行四辺形です。

\(AB = CD \) および \(AB || CD \)

\(AB = CD \) および \(BC = AD \)

\(AO = OC \) および \(BO = OD \)

\(\角度 A = \角度 C \) および \(\角度 B = \角度 D \)

平行四辺形の面積の公式

平行四辺形の面積は、その辺と手前まで下がった高さの積に等しい。

証拠

平行四辺形が長方形の場合、長方形の面積定理によって等式が満たされます。 さらに、平行四辺形の角が正しくないと仮定します。

$\angle BAD$ を、平行四辺形 $ABCD$ および $AD > AB$ の鋭角とする。 それ以外の場合は、頂点の名前を変更します。 次に、頂点 $B$ から線 $AD$ までの高さ $BH$ は、脚 $AH$ が斜辺 $AB$ より短いため、辺 $AD$ に当たります。また、$AB< AD$. Основание $K$ высоты $CK$ из точки $C$ на прямую $AB$ лежит на продолжении отрезка $AD$ за точку $D$, так как угол $\angle BAD$ острый, а значит $\angle CDA$ тупой. Вследствие параллельности прямых $BA$ и $CD$ $\angle BAH = \angle CDK$. В параллелограмме противоположные стороны равны, следовательно, по стороне и двум углам, треугольники $\triangle ABH = \triangle DCK$ равны.

平行四辺形$ABCD$の面積と長方形$HBCK$の面積を比べてみましょう。 平行四辺形の面積は、面積 $\triangle ABH$ だけ大きくなりますが、面積 $\triangle DCK$ だけ小さくなります。 これらの三角形は合同であるため、その面積も合同です。 これは、平行四辺形の面積が、辺が辺に長く、平行四辺形の高さが長い長方形の面積に等しいことを意味します。

辺と正弦に関する平行四辺形の面積の公式

平行四辺形の面積は、隣接する辺とそれらの間の角度の正弦の積に等しくなります。

証拠

辺 $AB$ に下がった平行四辺形 $ABCD$ の高さは、線分 $BC$ と角度 $\angle ABC$ の正弦の積に等しくなります。 前の主張を適用する必要があります。

対角線から見た平行四辺形の面積の公式

平行四辺形の面積は、対角線と対角線の間の角度の正弦の積の半分に等しくなります。

証拠

平行四辺形 $ABCD$ の対角線が点 $O$ で角度 $\alpha$ で交差するとします。 次に、平行四辺形プロパティによる $AO=OC$ と $BO=OD$ を示します。 $180^\circ$ になる角度の正弦は $\angle AOB = \angle COD = 180^\circ - \angle BOC = 180^\circ - \angle AOD$ です。 したがって、対角線の交点における角度のサインは $\sin \alpha$ に等しくなります。

$S_(ABCD)=S_(\三角AOB) + S_(\三角BOC) + S_(\三角COD) + S_(\三角AOD)$

面積測定の公理によると。 これらの三角形と対角線が交差するときの角度に、三角形の面積公式 $S_(ABC) = \dfrac(1)(2) \cdot AB \cdot BC \sin \angle ABC$ を適用します。 それぞれの辺は対角線の半分に等しく、正弦も等しいです。 したがって、4 つの三角形すべての面積は $S = \dfrac(1)(2) \cdot \dfrac(AC)(2) \cdot \dfrac(BD)(2) \cdot \sin \alpha = \dfrac( AC \ cdot BD)(8) \sin \alpha$。 上記をすべてまとめると、次のようになります。

$S_(ABCD) = 4S = 4 \cdot \dfrac(AC \cdot BD)(8) \sin \alpha = \dfrac(AC \cdot BD \cdot \sin \alpha)(2)$