Conversione di espressioni contenenti potenze. Conversione di espressioni

L'operazione aritmetica eseguita per ultima quando si calcola il valore di un'espressione è l'operazione “principale”.

Cioè, se sostituisci alcuni (qualsiasi) numero invece di lettere e provi a calcolare il valore dell'espressione, se l'ultima azione è la moltiplicazione, allora abbiamo un prodotto (l'espressione viene fattorizzata).

Se l'ultima azione è un'addizione o una sottrazione, significa che l'espressione non è fattorizzata (e quindi non può essere ridotta).

Per rafforzare questo, risolvi tu stesso alcuni esempi:

Esempi:

Soluzioni:

1. Spero che tu non ti sia affrettato a tagliare subito e? Non bastava ancora “ridurre” unità come questa:

Il primo passo dovrebbe essere la fattorizzazione:

4. Addizione e sottrazione di frazioni. Ridurre le frazioni a un denominatore comune.

L'addizione e la sottrazione delle frazioni ordinarie è un'operazione familiare: cerchiamo un denominatore comune, moltiplichiamo ogni frazione per il fattore mancante e addizioniamo/sottraiamo i numeratori.

Ricordiamo:

Risposte:

1. I denominatori e sono relativamente primi, cioè non hanno fattori comuni. Pertanto, il LCM di questi numeri è uguale al loro prodotto. Questo sarà il denominatore comune:

2. Qui il denominatore comune è:

3. Qui, prima di tutto, convertiamo le frazioni miste in frazioni improprie, e poi secondo il solito schema:

La questione è completamente diversa se le frazioni contengono lettere, ad esempio:

Cominciamo con qualcosa di semplice:

a) I denominatori non contengono lettere

Qui tutto è uguale a quello delle frazioni numeriche ordinarie: troviamo il denominatore comune, moltiplichiamo ogni frazione per il fattore mancante e aggiungiamo/sottraiamo i numeratori:

Ora nel numeratore puoi fornire quelli simili, se presenti, e fattorizzarli:

Prova tu stesso:

Risposte:

b) I denominatori contengono lettere

Ricordiamo il principio di trovare un denominatore comune senza lettere:

· innanzitutto determiniamo i fattori comuni;

· poi scriviamo uno alla volta tutti i fattori comuni;

· e moltiplicarli per tutti gli altri fattori non comuni.

Per determinare i fattori comuni dei denominatori, li scomponiamo prima in fattori primi:

Sottolineiamo i fattori comuni:

Ora scriviamo uno alla volta i fattori comuni e aggiungiamo ad essi tutti i fattori non comuni (non sottolineati):

Questo è il denominatore comune.

Torniamo alle lettere. I denominatori sono dati esattamente nello stesso modo:

· fattorizzare i denominatori;

· determinare fattori comuni (identici);

· scrivere tutti i fattori comuni una volta;

· moltiplicarli per tutti gli altri fattori non comuni.

Quindi, in ordine:

1) fattorizzare i denominatori:

2) determinare fattori comuni (identici):

3) scrivi una volta tutti i fattori comuni e moltiplicali per tutti gli altri fattori (non sottolineati):

Quindi qui c'è un denominatore comune. La prima frazione deve essere moltiplicata per, la seconda per:

A proposito, c'è un trucco:

Per esempio: .

Vediamo gli stessi fattori nei denominatori, solo che tutti con indicatori diversi. Il denominatore comune sarà:

in una certa misura

in una certa misura

in una certa misura

in una certa misura.

Complichiamo il compito:

Come fare in modo che le frazioni abbiano lo stesso denominatore?

Ricordiamo la proprietà base di una frazione:

Da nessuna parte viene detto che lo stesso numero può essere sottratto (o aggiunto) dal numeratore e dal denominatore di una frazione. Perché non è vero!

Guarda tu stesso: prendi qualsiasi frazione, ad esempio, e aggiungi un numero al numeratore e al denominatore, ad esempio, . Cos'hai imparato?

Quindi, un'altra regola irremovibile:

Quando riduci le frazioni a un denominatore comune, usa solo l'operazione di moltiplicazione!

Ma per cosa bisogna moltiplicare per ottenere?

Quindi moltiplica per. E moltiplicare per:

Chiameremo “fattori elementari” le espressioni che non possono essere fattorizzate.

Ad esempio, questo è un fattore elementare. - Stesso. Ma no: può essere fattorizzato.

E l'espressione? È elementare?

No, perché può essere fattorizzato:

(hai già letto della fattorizzazione nell'argomento "").

Quindi, i fattori elementari in cui scomponi un'espressione con lettere sono analoghi ai fattori semplici in cui scomponi i numeri. E li tratteremo allo stesso modo.

Vediamo che entrambi i denominatori hanno un moltiplicatore. Andrà al denominatore comune del grado (ricordate perché?).

Il fattore è elementare e non hanno un fattore comune, il che significa che la prima frazione dovrà semplicemente essere moltiplicata per esso:

Un altro esempio:

Soluzione:

Prima di moltiplicare questi denominatori in preda al panico, devi pensare a come fattorizzarli? Entrambi rappresentano:

Grande! Poi:

Un altro esempio:

Soluzione:

Come al solito fattorizziamo i denominatori. Nel primo denominatore lo mettiamo semplicemente tra parentesi; nel secondo - la differenza dei quadrati:

Sembrerebbe che non ci siano fattori comuni. Ma se guardi da vicino, sono simili... Ed è vero:

Quindi scriviamo:

Cioè, è risultato così: all'interno della parentesi abbiamo scambiato i termini e allo stesso tempo il segno davanti alla frazione è cambiato al contrario. Prendi nota, dovrai farlo spesso.

Ora portiamolo ad un denominatore comune:

Fatto? Controlliamolo ora.

Compiti per una soluzione indipendente:

Risposte:

Qui dobbiamo ricordare un'altra cosa: la differenza dei cubi:

Tieni presente che il denominatore della seconda frazione non contiene la formula “quadrato della somma”! Il quadrato della somma sarebbe simile a questo: .

A è il cosiddetto quadrato incompleto della somma: il secondo termine in esso contenuto è il prodotto del primo e dell'ultimo, e non il loro doppio prodotto. Il quadrato parziale della somma è uno dei fattori nell'espansione della differenza dei cubi:

Cosa fare se ci sono già tre frazioni?

Sì, la stessa cosa! Innanzitutto assicuriamoci che il numero massimo di fattori ai denominatori sia lo stesso:

Nota: se si cambiano i segni all'interno di una parentesi, il segno davanti alla frazione cambia nel segno opposto. Quando si cambiano i segni nella seconda parentesi, il segno davanti alla frazione cambia nuovamente nel segno opposto. Di conseguenza, esso (il segno davanti alla frazione) non è cambiato.

Scriviamo l'intero primo denominatore nel denominatore comune, quindi aggiungiamo tutti i fattori che non sono stati ancora scritti, dal secondo e poi dal terzo (e così via, se ci sono più frazioni). Cioè, risulta così:

Hmm... È chiaro cosa fare con le frazioni. Ma che dire dei due?

È semplice: sai come sommare le frazioni, vero? Quindi dobbiamo far sì che due diventino una frazione! Ricordiamo: una frazione è un'operazione di divisione (il numeratore è diviso per il denominatore, nel caso te lo fossi dimenticato). E non c'è niente di più semplice che dividere un numero per. In questo caso, il numero stesso non cambierà, ma si trasformerà in una frazione:

Esattamente ciò che serve!

5. Moltiplicazione e divisione delle frazioni.

Bene, la parte più difficile è ormai passata. E davanti a noi c'è il più semplice, ma allo stesso tempo il più importante:

Procedura

Qual è la procedura per calcolare un'espressione numerica? Ricorda calcolando il significato di questa espressione:

Hai contato?

Dovrebbe funzionare.

Quindi, lascia che te lo ricordi.

Il primo passo è calcolare la laurea.

Il secondo è la moltiplicazione e la divisione. Se si effettuano più moltiplicazioni e divisioni contemporaneamente, è possibile eseguirle in qualsiasi ordine.

E infine, eseguiamo addizioni e sottrazioni. Ancora una volta, in qualsiasi ordine.

Ma: l'espressione tra parentesi viene valutata a sproposito!

Se più parentesi vengono moltiplicate o divise tra loro, prima calcoliamo l'espressione in ciascuna parentesi, quindi le moltiplichiamo o dividiamo.

Cosa succede se ci sono più parentesi all'interno delle parentesi? Bene, pensiamo: qualche espressione è scritta tra parentesi. Quando calcoli un'espressione, cosa dovresti fare prima? Esatto, calcola le parentesi. Bene, l'abbiamo capito: prima calcoliamo le parentesi interne, poi tutto il resto.

Quindi, la procedura per l'espressione di cui sopra è la seguente (l'azione corrente è evidenziata in rosso, cioè l'azione che sto eseguendo in questo momento):

Ok, è tutto semplice.

Ma questa non è la stessa cosa di un'espressione con lettere?

No, è lo stesso! Solo che invece delle operazioni aritmetiche, devi eseguire quelle algebriche, ovvero le azioni descritte nella sezione precedente: portando simili, sommando frazioni, riducendo frazioni e così via. L'unica differenza sarà l'azione di fattorizzazione dei polinomi (lo usiamo spesso quando lavoriamo con le frazioni). Molto spesso, per fattorizzare, è necessario utilizzare I o semplicemente mettere il fattore comune tra parentesi.

Di solito il nostro obiettivo è rappresentare l'espressione come prodotto o quoziente.

Per esempio:

Semplifichiamo l'espressione.

1) Per prima cosa semplifichiamo l'espressione tra parentesi. In questo caso abbiamo una differenza di frazioni e il nostro obiettivo è presentarla come prodotto o quoziente. Quindi portiamo le frazioni a un denominatore comune e aggiungiamo:

È impossibile semplificare ulteriormente questa espressione; qui tutti i fattori sono elementari (ricordi ancora cosa significa?).

2) Otteniamo:

Moltiplicare le frazioni: cosa potrebbe essere più semplice.

3) Ora puoi abbreviare:

OK, è tutto finito adesso. Niente di complicato, vero?

Un altro esempio:

Semplifica l'espressione.

Per prima cosa, prova a risolverlo da solo e solo dopo guarda la soluzione.

Soluzione:

Prima di tutto, determiniamo l'ordine delle azioni.

Per prima cosa aggiungiamo le frazioni tra parentesi, così invece di due frazioni ne otteniamo una.

Poi faremo la divisione delle frazioni. Bene, aggiungiamo il risultato con l'ultima frazione.

Numererò schematicamente i passaggi:

Ora ti mostrerò il procedimento, colorando di rosso l’azione corrente:

1. Se ce ne sono di simili, devono essere portati immediatamente. Qualunque sia il momento in cui si presentano casi simili nel nostro Paese, è opportuno segnalarli immediatamente.

2. Lo stesso vale per la riduzione delle frazioni: non appena si presenta l'opportunità di ridurre, bisogna sfruttarla. L'eccezione riguarda le frazioni che aggiungi o sottrai: se ora hanno gli stessi denominatori, la riduzione dovrebbe essere lasciata per dopo.

Ecco alcuni compiti che puoi risolvere da solo:

E ciò che è stato promesso all'inizio:

Risposte:

Soluzioni (brevi):

Se hai affrontato almeno i primi tre esempi, hai padroneggiato l'argomento.

Ora passiamo all'apprendimento!

CONVERTIRE LE ESPRESSIONI. FORMULE RIASSUNTIVE E BASE

Operazioni di semplificazione di base:

• Portare simili: per aggiungere (ridurre) termini simili è necessario sommare i loro coefficienti e assegnare la parte letterale.
• Fattorizzazione: mettendo il fattore comune tra parentesi, applicandolo, ecc.
• Ridurre una frazione: Il numeratore e il denominatore di una frazione possono essere moltiplicati o divisi per lo stesso numero diverso da zero, il che non modifica il valore della frazione.
  1) numeratore e denominatore fattorizzare
  2) se numeratore e denominatore hanno fattori comuni, possono essere cancellati.

  IMPORTANTE: solo i moltiplicatori possono essere ridotti!

• Addizione e sottrazione di frazioni:
  ;
• Moltiplicare e dividere le frazioni:
  ;

Espressioni, conversione di espressioni

Espressioni di potere (espressioni con poteri) e loro trasformazione

In questo articolo parleremo della conversione delle espressioni con poteri. Innanzitutto, ci concentreremo sulle trasformazioni eseguite con espressioni di qualsiasi tipo, comprese le espressioni di potere, come l'apertura di parentesi e l'inserimento di termini simili. E poi analizzeremo le trasformazioni inerenti specificamente alle espressioni con gradi: lavorare con la base e l'esponente, utilizzare le proprietà dei gradi, ecc.

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Cosa sono le espressioni di potere?

Il termine “espressioni di potere” praticamente non compare nei libri di testo scolastici di matematica, ma appare abbastanza spesso nelle raccolte di problemi, in particolare in quelle destinate alla preparazione all'Esame di Stato Unificato e all'Esame di Stato Unificato, per esempio. Dopo aver analizzato i compiti in cui è necessario eseguire azioni con espressioni di potere, diventa chiaro che le espressioni di potere sono intese come espressioni contenenti poteri nelle loro voci. Pertanto, puoi accettare tu stesso la seguente definizione:

Definizione.

Espressioni di potere sono espressioni contenenti gradi.

Diamo esempi di espressioni di potere. Inoltre le presenteremo secondo come avviene lo sviluppo delle opinioni da un grado con esponente naturale a un grado con esponente reale.

Come è noto, prima si fa conoscenza con la potenza di un numero con esponente naturale; in questa fase si ottengono le prime espressioni di potenza più semplici del tipo 3 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0.1) 4, 3 a 2 appaiono −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 ecc.

Poco dopo, viene studiata la potenza di un numero con esponente intero, il che porta alla comparsa di espressioni di potenza con potenze intere negative, come le seguenti: 3 −2, , un −2 +2 b −3 +c 2 .

Al liceo tornano ai gradi. Viene introdotto un grado con esponente razionale, che comporta la comparsa delle corrispondenti espressioni di potenza: , , e così via. Vengono infine considerati i gradi con esponenti irrazionali e le espressioni che li contengono: , .

La questione non si limita alle espressioni di potenza elencate: inoltre la variabile penetra nell'esponente e, ad esempio, sorgono le seguenti espressioni: 2 x 2 +1 o . E dopo aver preso confidenza con , iniziano ad apparire espressioni con potenze e logaritmi, ad esempio x 2·lgx −5·x lgx.

Quindi, abbiamo affrontato la questione di cosa rappresentano le espressioni di potere. Successivamente impareremo a convertirli.

Principali tipologie di trasformazioni delle espressioni del potere

Con le espressioni di potere è possibile eseguire qualsiasi trasformazione di identità di base delle espressioni. Ad esempio, puoi aprire parentesi, sostituire espressioni numeriche con i loro valori, aggiungere termini simili, ecc. Naturalmente, in questo caso è necessario seguire la procedura accettata per eseguire le azioni. Facciamo degli esempi.

Esempio.

Calcolare il valore dell'espressione di potenza 2 3 ·(4 2 −12) .

Soluzione.

Secondo l'ordine di esecuzione delle azioni, esegui prima le azioni tra parentesi. Lì, in primo luogo, sostituiamo la potenza 4 2 con il suo valore 16 (se necessario, vedi), e in secondo luogo, calcoliamo la differenza 16−12=4. Abbiamo 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.

Nell'espressione risultante sostituiamo la potenza 2 3 con il suo valore 8, dopodiché calcoliamo il prodotto 8·4=32. Questo è il valore desiderato.

COSÌ, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.

Risposta:

2 3 ·(4 2 −12)=32.

Esempio.

Semplificare le espressioni con le potenze 3 un 4 b −7 −1+2 un 4 b −7.

Soluzione.

Ovviamente questa espressione contiene termini simili 3·a 4 ·b −7 e 2·a 4 ·b −7 , e possiamo presentarli: .

Risposta:

3 un 4 b −7 −1+2 un 4 b −7 =5 un 4 b −7 −1.

Esempio.

Esprimere un'espressione con poteri come prodotto.

Soluzione.

Puoi affrontare il compito rappresentando il numero 9 come potenza di 3 2 e quindi utilizzando la formula per la moltiplicazione abbreviata - differenza dei quadrati:

Risposta:

Ci sono anche una serie di trasformazioni identiche inerenti specificamente alle espressioni di potere. Li analizzeremo ulteriormente.

Lavorare con base ed esponente

Esistono gradi la cui base e/o esponente non sono solo numeri o variabili, ma alcune espressioni. Ad esempio, diamo gli elementi (2+0.3·7) 5−3.7 e (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) .

Quando si lavora con tali espressioni, è possibile sostituire sia l'espressione nella base del grado che l'espressione nell'esponente con un'espressione identicamente uguale nell'ODZ delle sue variabili. In altre parole, secondo le regole a noi note, possiamo trasformare separatamente la base del grado e separatamente l'esponente. È chiaro che come risultato di questa trasformazione si otterrà un'espressione identicamente uguale a quella originale.

Tali trasformazioni ci consentono di semplificare le espressioni con poteri o raggiungere altri obiettivi di cui abbiamo bisogno. Ad esempio, nell'espressione di potenza menzionata sopra (2+0,3 7) 5−3,7, puoi eseguire operazioni con i numeri in base ed esponente, che ti permetteranno di passare alla potenza 4,1 1,3. E dopo aver aperto le parentesi e portato termini simili alla base del grado (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1), otteniamo un'espressione di potenza della forma più semplice a 2·(x+ 1).

Utilizzo delle proprietà dei gradi

Uno dei principali strumenti per trasformare le espressioni con poteri sono le uguaglianze che riflettono. Ricordiamo i principali. Per ogni numero positivo a e b e numero reale arbitrario r e s, sono vere le seguenti proprietà delle potenze:

• a r ·a s =a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (a·b) r =a r ·b r ;
• (a:b) r =a r:b r ;
• (a r) s =a r·s .

Si noti che per gli esponenti naturali, interi e positivi le restrizioni sui numeri a e b potrebbero non essere così rigide. Ad esempio, per i numeri naturali m en l'uguaglianza a m · a n = a m+n è vera non solo per a positivo, ma anche per a negativo e per a=0.

A scuola, l’obiettivo principale nella trasformazione delle espressioni del potere è la capacità di scegliere la proprietà appropriata e applicarla correttamente. In questo caso, le basi dei gradi sono generalmente positive, il che consente di utilizzare le proprietà dei gradi senza restrizioni. Lo stesso vale per la trasformazione di espressioni contenenti variabili nelle basi delle potenze: l'intervallo dei valori consentiti delle variabili è solitamente tale che le basi assumono solo valori positivi, il che consente di utilizzare liberamente le proprietà delle potenze . In generale, è necessario chiedersi costantemente se in questo caso sia possibile utilizzare qualsiasi proprietà dei titoli di studio, poiché un uso impreciso delle proprietà può portare a una riduzione del valore educativo e ad altri problemi. Questi punti sono discussi in dettaglio e con esempi nell'articolo trasformazione di espressioni utilizzando le proprietà delle potenze. Qui ci limiteremo a considerare alcuni semplici esempi.

Esempio.

Esprimere l'espressione a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 come potenza di base a.

Soluzione.

Per prima cosa trasformiamo il secondo fattore (a 2) −3 sfruttando la proprietà di elevare una potenza a potenza: (a2)−3 =a2·(−3) =a−6. L'espressione di potenza originaria assumerà la forma a 2.5 ·a −6:a −5.5. Resta ovviamente da utilizzare le proprietà di moltiplicazione e divisione delle potenze con la stessa base che abbiamo
un 2,5 ·un −6:un −5,5 =
un 2,5−6:un −5,5 =un −3,5:un −5,5 =
un −3,5−(−5,5) =un 2 .

Risposta:

a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 =a 2.

Le proprietà dei poteri durante la trasformazione delle espressioni di potere vengono utilizzate sia da sinistra a destra che da destra a sinistra.

Esempio.

Trova il valore dell'espressione di potenza.

Soluzione.

L'uguaglianza (a·b) r =a r ·b r, applicata da destra a sinistra, permette di passare dall'espressione originaria ad un prodotto della forma e oltre. E quando si moltiplicano le potenze con le stesse basi, gli esponenti si sommano: .

Era possibile trasformare l'espressione originale in altro modo:

Risposta:

.

Esempio.

Data l’espressione di potenza a 1.5 −a 0.5 −6, introdurre una nuova variabile t=a 0.5.

Soluzione.

Il grado a 1.5 può essere rappresentato come a 0.5 3 e poi, in base alla proprietà del grado al grado (a r) s =a r s, applicata da destra a sinistra, trasformarlo nella forma (a 0.5) 3. Così, a 1,5 −a 0,5 −6=(a 0,5) 3 −a 0,5 −6. Ora è facile introdurre una nuova variabile t=a 0.5, otteniamo t 3 −t−6.

Risposta:

t3 −t−6 .

Conversione di frazioni contenenti potenze

Le espressioni di potenza possono contenere o rappresentare frazioni con potenze. Qualsiasi trasformazione di base delle frazioni inerente alle frazioni di qualsiasi tipo è pienamente applicabile a tali frazioni. Cioè, le frazioni che contengono potenze possono essere ridotte, ridotte a un nuovo denominatore, lavorate separatamente con il loro numeratore e separatamente con il denominatore, ecc. Per illustrare queste parole, considera le soluzioni di diversi esempi.

Esempio.

Semplifica l'espressione del potere .

Soluzione.

Questa espressione di potere è una frazione. Lavoriamo con il suo numeratore e denominatore. Al numeratore apriamo le parentesi e semplifichiamo l'espressione risultante utilizzando le proprietà delle potenze, e al denominatore presentiamo termini simili:

E cambiamo anche il segno del denominatore ponendo un meno davanti alla frazione: .

Risposta:

.

La riduzione delle frazioni contenenti potenze a un nuovo denominatore viene eseguita in modo simile alla riduzione delle frazioni razionali a un nuovo denominatore. In questo caso viene trovato anche un fattore aggiuntivo e per esso vengono moltiplicati il ​​numeratore e il denominatore della frazione. Quando si esegue questa azione, vale la pena ricordare che la riduzione a un nuovo denominatore può portare a un restringimento del VA. Per evitare che ciò accada è necessario che il fattore aggiuntivo non vada a zero per nessun valore delle variabili delle variabili ODZ dell'espressione originale.

Esempio.

Riduci le frazioni a un nuovo denominatore: a) al denominatore a, b) al denominatore.

Soluzione.

a) In questo caso è abbastanza semplice capire quale moltiplicatore aggiuntivo aiuta a raggiungere il risultato desiderato. Questo è un moltiplicatore di a 0,3, poiché a 0,7 ·a 0,3 =a 0,7+0,3 =a. Si noti che nell'intervallo dei valori consentiti della variabile a (questo è l'insieme di tutti i numeri reali positivi), la potenza di a 0,3 non svanisce, quindi abbiamo il diritto di moltiplicare il numeratore e il denominatore di un dato frazione per questo fattore aggiuntivo:

b) Osservando più da vicino il denominatore, lo troverai

e moltiplicando questa espressione per si otterrà la somma dei cubi e , cioè . E questo è il nuovo denominatore a cui dobbiamo ridurre la frazione originaria.

È così che abbiamo trovato un ulteriore fattore. Nell'intervallo dei valori accettabili delle variabili x e y, l'espressione non svanisce, quindi possiamo moltiplicare per essa il numeratore e il denominatore della frazione:

Risposta:

UN) , B) .

Non c'è nulla di nuovo nemmeno nella riduzione delle frazioni contenenti potenze: il numeratore e il denominatore sono rappresentati come un numero di fattori, e gli stessi fattori del numeratore e del denominatore vengono ridotti.

Esempio.

Ridurre la frazione: a) , B) .

Soluzione.

a) Innanzitutto, il numeratore e il denominatore possono essere ridotti dei numeri 30 e 45, che è uguale a 15. Ovviamente è anche possibile effettuare una riduzione di x 0,5 +1 e di . Ecco cosa abbiamo:

b) In questo caso, fattori identici nel numeratore e nel denominatore non sono immediatamente visibili. Per ottenerli dovrai eseguire delle trasformazioni preliminari. In questo caso, consistono nel fattorizzare il denominatore utilizzando la formula della differenza dei quadrati:

Risposta:

UN)

B) .

La conversione delle frazioni in un nuovo denominatore e la riduzione delle frazioni vengono utilizzate principalmente per fare cose con le frazioni. Le azioni vengono eseguite secondo regole conosciute. Quando si aggiungono (sottraggono) le frazioni, vengono ridotte a un denominatore comune, dopo di che i numeratori vengono aggiunti (sottratti), ma il denominatore rimane lo stesso. Il risultato è una frazione il cui numeratore è il prodotto dei numeratori e il denominatore è il prodotto dei denominatori. La divisione per una frazione è la moltiplicazione per il suo inverso.

Esempio.

Segui i passi .

Soluzione.

Per prima cosa sottraiamo le frazioni tra parentesi. Per fare questo, li portiamo a un denominatore comune, ovvero , dopodiché sottraiamo i numeratori:

Ora moltiplichiamo le frazioni:

Ovviamente è possibile ridurre di una potenza di x 1/2, dopodiché abbiamo .

Puoi anche semplificare l'espressione della potenza al denominatore utilizzando la formula della differenza dei quadrati: .

Risposta:

Esempio.

Semplifica l'espressione del potere .

Soluzione.

Ovviamente, questa frazione può essere ridotta di (x 2,7 +1) 2, questo dà la frazione . È chiaro che occorre fare qualcos'altro con i poteri di X. Per fare ciò, trasformiamo la frazione risultante in un prodotto. Questo ci dà l’opportunità di sfruttare la proprietà di dividere le potenze con le stesse basi: . E alla fine del processo si passa dall'ultimo prodotto alla frazione.

Risposta:

.

E aggiungiamo anche che è possibile, e in molti casi auspicabile, trasferire fattori con esponente negativo dal numeratore al denominatore o dal denominatore al numeratore, cambiando il segno dell'esponente. Tali trasformazioni spesso semplificano ulteriori azioni. Ad esempio, un'espressione di potere può essere sostituita da .

Conversione di espressioni con radici e potenze

Spesso, nelle espressioni in cui sono richieste alcune trasformazioni, insieme alle potenze sono presenti anche radici con esponenti frazionari. Per trasformare tale espressione nella forma desiderata, nella maggior parte dei casi è sufficiente andare solo alle radici o solo alle potenze. Ma poiché è più conveniente lavorare con i poteri, di solito si passa dalle radici ai poteri. Tuttavia, è consigliabile effettuare tale transizione quando l'ODZ delle variabili dell'espressione originale consente di sostituire le radici con potenze senza la necessità di fare riferimento al modulo o dividere l'ODZ in più intervalli (ne abbiamo parlato in dettaglio in l'articolo transizione dalle radici alle potenze e ritorno Dopo aver conosciuto la laurea con esponente razionale viene introdotta la laurea con esponente irrazionale, che ci permette di parlare di una laurea con esponente reale arbitrario. In questa fase la scuola comincia a studio funzione esponenziale, che è analiticamente dato da una potenza, la cui base è un numero e l'esponente è una variabile. Quindi ci troviamo di fronte a espressioni di potenza contenenti numeri nella base della potenza e nell'esponente - espressioni con variabili, e naturalmente sorge la necessità di eseguire trasformazioni di tali espressioni.

Va detto che la trasformazione delle espressioni del tipo indicato di solito deve essere eseguita durante la risoluzione equazioni esponenziali E disuguaglianze esponenziali e queste conversioni sono abbastanza semplici. Nella stragrande maggioranza dei casi si basano sulle proprietà del titolo di studio e mirano, nella maggior parte dei casi, a introdurre una nuova variabile in futuro. L'equazione ci permetterà di dimostrarli 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

In primo luogo, le potenze, nei cui esponenti è la somma di una determinata variabile (o espressione con variabili) e un numero, vengono sostituite dai prodotti. Questo vale per il primo e l'ultimo termine dell'espressione a sinistra:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

Successivamente, entrambi i lati dell'uguaglianza vengono divisi per l'espressione 7 2 x, che sull'ODZ della variabile x per l'equazione originale assume solo valori positivi (questa è una tecnica standard per risolvere equazioni di questo tipo, non lo siamo ne parliamo adesso, quindi concentriamoci sulle successive trasformazioni delle espressioni con poteri):

Ora possiamo cancellare le frazioni con le potenze, il che dà .

Infine, il rapporto tra potenze con gli stessi esponenti viene sostituito da potenze di relazioni, risultando nell'equazione , che è equivalente . Le trasformazioni effettuate permettono di introdurre una nuova variabile, che riduce la soluzione dell'equazione esponenziale originaria alla soluzione di un'equazione quadratica

Istituzione educativa statale municipale

scuola secondaria di base n. 25

Lezione di algebra

Soggetto:

« Conversione di espressioni contenenti potenze con esponenti frazionari"

Sviluppato da:

,

insegnante di matematica

superiore acategoria di qualificazione

Nodale

2013

Argomento della lezione: Conversione di espressioni contenenti esponenti con esponenti frazionari

Lo scopo della lezione:

1. Ulteriore sviluppo di competenze, conoscenze e abilità nella conversione di espressioni contenenti gradi con esponenti frazionari

2. Sviluppo della capacità di trovare errori, sviluppo del pensiero, creatività, parola, capacità informatiche

3. Promuovere l'indipendenza, l'interesse per l'argomento, l'attenzione, l'accuratezza.

TCO: lavagna magnetica, schede di prova, tabelle, schede individuali, gli scolari hanno sul tavolo fogli bianchi firmati per il lavoro individuale, un cruciverba, tabelle per il riscaldamento matematico, un proiettore multimediale.

Tipo di lezione: mettere in sicurezza ZUN.

Piano delle lezioni nel tempo

1. Aspetti organizzativi (2 min)

2. Controllare i compiti (5 min)

3. Cruciverba (3 minuti)

4. Riscaldamento matematico (5 min)

5. Risolvere esercizi di rafforzamento frontale (7 min)

6. Lavoro individuale (10 min)

7. Soluzione di esercizi di ripetizione (5 min)

8. Riepilogo della lezione (2 minuti)

9. Compiti a casa (1 min)

Durante le lezioni

1) Controllo dei compiti sotto forma di peer review . I bravi studenti controllano i quaderni dei bambini deboli. E i deboli controllano con quelli forti usando una carta di controllo campione. I compiti vengono assegnati in due versioni.

IO opzione il compito non è difficile

II opzione il compito è difficile

A seguito del controllo, i ragazzi evidenziano gli errori con una semplice matita e danno una valutazione. Alla fine controllo il lavoro dopo che i bambini hanno consegnato i quaderni dopo la lezione. Chiedo ai ragazzi i risultati del loro test e inserisco i voti per questo tipo di lavoro nella mia tabella riassuntiva.

2) Per testare il materiale teorico, viene offerto un cruciverba.

Verticalmente:

1. Proprietà di moltiplicazione utilizzata quando si moltiplica un monomio per un polinomio?

2. L'effetto degli esponenti quando si eleva una potenza a potenza?

3. Una laurea con indice zero?

4. Un prodotto composto da fattori identici?

Orizzontalmente:

5. Radice n – oh grado di un numero non negativo?

6. L'azione degli esponenti nella moltiplicazione delle potenze?

7. L’effetto degli esponenti nella divisione dei poteri?

8. Il numero di tutti i fattori identici?

3) Riscaldamento matematico

a) eseguire il calcolo e utilizzare il codice per leggere la parola nascosta nel problema.

C'è un tavolo sul tabellone di fronte a te. La tabella nella colonna 1 contiene esempi che devono essere calcolati.

Chiave a tavola

E scrivi la risposta nella colonna II e nella colonna III metti la lettera corrispondente a questa risposta.

Insegnante: Quindi la parola criptata è “laurea”. Nel compito successivo lavoreremo con il 2° e 3° grado

b) Gioco “Attenzione a non sbagliare”

Invece dei punti, metti un numero

a) x=(x...)2; b) a3/2 = (a1/2)…; c) a=(a1/3)…; d) 5... = (51/4)2; e) 34/3=(34/9)…; e) 74/5 = (7...)2; g) x1/2=(x...)2; h) y1/2=(y...)2

Troviamo l'errore:

A1/4 – 2a1/2 + 1 = (a1/

Quindi, ragazzi, cosa doveva essere utilizzato per completare questa attività:

Proprietà dei gradi: quando si eleva un grado a potenza si moltiplicano gli esponenti;

4) Ora iniziamo con il lavoro scritto front-end. , utilizzando i risultati del lavoro precedente. Apri i quaderni e scrivi la data e l'argomento della lezione.

№ 000

a) a – b = (a1/2)2 – (b1/2)2 = (a1/2 – b1/2)*(a1/2 + b1/2)

b) a – c = (a1/3)3 – (b1/3)3 = (a1/3 – c1/3)*(a2/3 + a1/3 b1/3 + b2/3)

N. 000 (a, c, d, e)

UN ) m2 – 5 = m2 – (m1/2)2 = (m – 51/2)*(m+51/2)

c) a3 – 4 = (a3/2)2 – 22 = (a3/2 – 2)*(a3/2 +2)

d) x2/5 – y4/5 = (x1/5)2 – (y2/5)2 = (x1/5 – y2/5)*(x1/5 + y2/5)

e) 4 – a = 22 – (a1/2)2 = (2 – a1/2)*(2+a1/2)

N. 000 (a, d, f)

a) x3 – 2 = x3 – (21/3)3 = (x – 21/3)*(x2 + 21/3 x + 22/3)

d) a6/5 + 27 = (a2/5)3 + 33 = (a2/5 + 3)*(a4/3 – 3 a2/5 + 9)

e) 4 + y = (41/3)3 + (y1/3)3 = (41/3 + y1/3)*(42/3 + 41/3 y1/3 + y2/3)

Grado

5) Lavora su singole carte utilizzando quattro opzioni su fogli separati

I compiti con vari gradi di difficoltà vengono completati senza alcun suggerimento da parte dell'insegnante.

Controllo subito il lavoro e metto i voti nella mia tabella e sui fogli dei ragazzi.

N. 000 (a, c, d, h)

a) 4*31/2/(31/2 – 3) = 4*31/2 /31/2*(1 – 31/2) = 4 / (1 – 31/2)

c) x + x1/2 /2x = x1/2*(x1/2+1)/ 2*(x1/2)2 = (x1/2+1)/ 2x1/2

e) (a2/3 – b2/3)/(a1/3 +b1/3) = (a1/3)2 – (b1/3)2/(a1/3 +b1/3) = (a1/3 + b1/3)*(a1/3 – b1/3)/(a1/3 + b1/3) = a1/3 – b1/3

h) (x2/3 - x1/3 y1/3 + y2/3)/(x + y) = ((x1/3)2 – x1/3 y1/3 + (y1/3)2)/(( x1/3)3 +(y1/3)3) = ((x1/3)2 – x1/3 y1/3 +(y1/3)2)/(x1/3 +y1/3)*((x1 /3)2 – x1/3 y1/3 + (y1/3)2) = 1/ (x1/3 + y1/3)

7) Lavorare su singole carte con vari gradi di complessità. In alcuni esercizi ci sono raccomandazioni dell'insegnante, poiché il materiale è complicato ed è difficile per i bambini deboli far fronte al lavoro

Sono inoltre disponibili quattro opzioni. La valutazione avviene immediatamente. Ho messo tutti i voti in un foglio di calcolo.

Problema n. dalla raccolta

L'insegnante pone domande:

1. Cosa si dovrebbe trovare nel problema?

2. Cosa devi sapere per questo?

3. Come esprimere il tempo di 1 pedone e di 2 pedoni?

4. Confronta i tempi dei pedoni 1 e 2 in base alle condizioni del problema e crea un'equazione.

La soluzione del problema:

Sia x (km/h) la velocità di 1 pedone

X +1 (km/h) – velocità di 2 pedoni

4/х (h) – tempo pedonale

4/(x +1) (h) – tempo del secondo pedone

Secondo le condizioni del problema 4/x >4/ (x +1) per 12 minuti

12 minuti = 12 /60 ore = 1/5 ore

Facciamo un'equazione

X/4 – 4/ (x +1) = 1/5

NOZ: 5x(x +1) ≠ 0

5*4*(x+1) – 5*4x = x*(x+1)

20x + 20 – 20x – x2 – x = 0

X2 +x –20 = 0

D=1 – 4*(-20) = 81, 81>0, 2 k

x1 = (-1 -√81)/(-2) = 5 km/h – velocità di 1 pedone

x2 = (-1 + √81)/(-2) = 4 – non corrisponde al significato del problema, poiché x>0

Risposta: 5 km/h – velocità di 2 pedoni

9) Riepilogo della lezione: Quindi, ragazzi, oggi nella lezione abbiamo consolidato conoscenze, abilità e capacità di trasformare le espressioni contenenti gradi, applicato formule di moltiplicazione abbreviate, spostato il fattore comune fuori parentesi e ripetuto il materiale trattato. Ne sottolineo vantaggi e svantaggi.

Riassumere la lezione in una tabella.

10) Annuncio i voti. Assegnazione dei compiti

Carte individuali K – 1 e K – 2

cambio B – 1 e B – 2; B – 3 e B – 4, poiché sono equivalenti

Applicazioni alla lezione.

1) Carte per i compiti

1. semplificare

a) (x1/2 – y1/2)2 + 2x1/2 y1/2

b) (a3/2 + 5a1\2)2 – 10a2

2. presente come somma

a) a1/3 c1\4*(b2/3 + c3/4)

b) (a1/2 – b1/2)*(a + a1/2 b1\2 + c)

3. eliminare il moltiplicatore complessivo

c) 151/3 +201/3

1. semplificare

a) √m + √n – (m1/4 – n1/4)2

b) (a1/4 + b1/4)*(a1/8 + b1/8)*(a1\8 – b1/8)

2. presente come somma

a) x0,5 y0,5*(x-0,5 – y1,5)

b) (x1/3 + y1/3)*(x2\3 – x1/3 y1\3 + y2/3)

3. Togli il fattore comune tra parentesi

b) c1\3 – c

c) (2a)1/3 – (5a)1\3

2) carta di controllo per B – 2

a) √m + √n – (m 1|4 – n 1|4)2 = m 1|2 + n 1|2 – ((m 1|2)2 – 2 m 1/4 n 1/4 + (n 1/2)2) = m 1/2 + n 1/2 – m 1/2 + 2 m 1/4 n 1/4 – n 1/2 = 2 m 1/4 n 1/4

b) (a1/4 + b1/4)*(a1/8 + b1/8)*(a1/8 – b1/8) = (a1/4 + b1/4)*(a1/8)2 – ( ·1/8)2 = (1/4 + ·1/4)*(1/4 – ·1/4) = (1/4)2 – (1/4)2 = 1/2 – ·1/2

a) x0,5 y0,5* (x-0,5-y1,5) = x0,5 y0,5 x-0,5 – x0,5 y0,5y1,5 = x0 y0,5 – x0,5 y2 = y0. 5 – x0,5y2

b) (x1/3 + y1/3)*(x2/3 – x1/3 y1\3 + y2/3) = (x1\3 + y1/3)*((x1/3)2 – x1/3 y1\3 + (y1/3)2) = (x1/3)2 + (y1/3)2 = x + y

a) 3 – 31/2 = 31/2 * (31/2 - 1)

b) v1/3 – v = v1/3 *(1 – v2/3)

c) (2a)1/3 – (5a)1/3 = a1/3*(21/3 – 51/3)

3) Schede per la prima opera individuale

a) a – y, x ≥ 0, y ≥ 0

b) a – e a ≥ 0

1. Fattorizzare come differenza di quadrati

a) a1/2 – b1/2

2. Fattorizzare come differenza o somma di cubi

a) c1/3 + d1/3

1. Fattorizzare come differenza di quadrati

a) X1/2 + Y1/2

b) X1/4 – U1/4

2. Fattorizzare come differenza o somma di cubi

4) schede per la seconda opera individuale

a) (x – x1/2)/ (x1/2 – 1)

Istruzioni: x1/2, rimuovere i numeratori dalle parentesi

b) (a - c)/(a1/2 – b1/2)

Nota: a – b = (a1/2)2 – (b1/2)2

Ridurre la frazione

a) (21/4 – 2)/ 5*21/4

Istruzioni: rimuovere 21/4 dalle parentesi

b) (a – c)/(5а1/2 – 5×1/2)

Nota: a – b = (a1/2)2 – (b1/2)2

Opzione 3

1. Ridurre la frazione

a) (x1/2 – x1/4)/x3/4

Istruzioni: posizionare x1/4 tra parentesi

b) (a1/2 – b1/2)/(4a1/4 – 4b1/4)

Opzione 4

Ridurre la frazione

a) 10/ (10 – 101/2)

b) (a - c)/(a2/3 + a1\3b1/3+ B 1/3)

Soggetto: " Conversione di espressioni contenenti potenze con esponente frazionario"

“Che qualcuno provi a eliminare le lauree dalla matematica, e vedrà che senza di esse non si va lontano”. (MV Lomonosov)

Obiettivi della lezione:

educativo: riassumere e sistematizzare le conoscenze degli studenti sull'argomento "Laurea con un indicatore razionale"; monitorare il livello di padronanza del materiale; eliminare le lacune nelle conoscenze e nelle competenze degli studenti;

sviluppando: sviluppare le capacità di autocontrollo degli studenti; creare un'atmosfera di interesse per ogni studente nel proprio lavoro, sviluppare l'attività cognitiva degli studenti;

educativo: coltivare l'interesse per la materia, per la storia della matematica.

Tipo di lezione: lezione di generalizzazione e sistematizzazione della conoscenza

Attrezzatura: fogli di valutazione, schede con compiti, decodificatori, cruciverba per ogni studente.

Preparazione preliminare: la classe è divisa in gruppi, in ogni gruppo il leader è un consulente.

DURANTE LE LEZIONI

I. Momento organizzativo.

Insegnante: Abbiamo terminato di studiare l'argomento “Una potenza con esponente razionale e le sue proprietà”. Il tuo compito in questa lezione è mostrare come hai padroneggiato il materiale che hai studiato e come puoi applicare le conoscenze acquisite per risolvere problemi specifici. Ognuno di voi ha un foglio dei punteggi sulla scrivania. In esso inserirai la tua valutazione per ogni fase della lezione. Alla fine della lezione darai un punteggio medio per la lezione.

Documento di valutazione

II. Controllo dei compiti.

Controllo tra pari con una matita in mano, le risposte vengono lette dagli studenti.

III. Aggiornamento delle conoscenze degli studenti.

Insegnante: Il famoso scrittore francese Anatole France una volta disse: “L’apprendimento deve essere divertente... Per assorbire la conoscenza, devi assorbirla con appetito”.

Ripetiamo le informazioni teoriche necessarie mentre risolviamo il cruciverba.

Orizzontalmente:

1. L'azione mediante la quale viene calcolato il valore del titolo (costruzione).

2. Prodotto composto da fattori identici (grado).

3. L'azione degli esponenti quando si eleva una potenza a potenza (lavoro).

4. L'azione dei gradi alla quale vengono sottratti gli esponenti dei gradi (divisione).

Verticalmente:

5. Numero di tutti i fattori identici (indice).

6. Laurea con indice zero (unità).

7. Moltiplicatore ripetuto (base).

8. Valore di 10 5: (2 3 5 5) (quattro).

9. Un esponente che di solito non viene scritto (unità).

IV. Riscaldamento matematico.

Insegnante. Ripetiamo la definizione di grado con esponente razionale e le sue proprietà e completiamo i seguenti compiti.

1. Presentare l'espressione x 22 come prodotto di due potenze con base x, se uno dei fattori è uguale a: x 2, x 5,5, x 1\3, x 17,5, x 0

2. Semplifica:

b) y5\8 y1\4: y1\8 = y

c) da 1,4 a -0,3 da 2,9

3. Calcola e componi la parola utilizzando un decodificatore.

Dopo aver completato questo compito, imparerete il nome del matematico tedesco che ha introdotto il termine “esponente”.

1) (-8) 1\3 2) 81 1\2 3) (3\5) -1 4) (5\7) 0 5) 27 -1\3 6) (2\3) -2 7) 16 1\2 * 125 1\3

Parola: 1234567 (Stifel)

V. Lavoro scritto su quaderni (le risposte vengono aperte alla lavagna) .

Compiti:

1. Semplifica l'espressione:

(x-2): (x 1\2 -2 1\2) (y-3): (y 1\2 – 3 1\2) (x-1): (x 2\3 - x 1\3 +1)

2. Trova il valore dell'espressione:

(x 3\8 x 1\4:) 4 in x=81

VI. Lavorare in gruppi.

Esercizio. Risolvi equazioni e forma parole utilizzando un decodificatore.

Carta n. 1

Parola: 1234567 (Diofanto)

Carta n. 2

Carta n.3

Parola: 123451 (Newton)

Decodificatore

Insegnante. Tutti questi scienziati hanno contribuito allo sviluppo del concetto di “laurea”.

VII. Informazioni storiche sullo sviluppo del concetto di laurea (messaggio allo studente).

Il concetto di laurea con indicatore naturale si è formato tra i popoli antichi. I numeri quadrati e cubici venivano utilizzati per calcolare aree e volumi. I poteri di alcuni numeri venivano usati per risolvere alcuni problemi dagli scienziati dell'antico Egitto e di Babilonia.

Nel 3 ° secolo fu pubblicato il libro "Aritmetica" dello scienziato greco Diofanto, che gettò le basi per l'introduzione dei simboli delle lettere. Diofanto introduce i simboli per i primi sei poteri dell'ignoto e i loro reciproci. In questo libro, un quadrato è indicato con un segno con un pedice r; cubo – segno k con indice r, ecc.

Dalla pratica di risolvere problemi algebrici più complessi e di operare con i gradi, è nata l'esigenza di generalizzare il concetto di grado ed espanderlo introducendo come esponente i numeri zero, negativi e frazionari. I matematici arrivarono gradualmente all'idea di generalizzare il concetto di grado a un grado con esponente non naturale.

Gli esponenti frazionari e le regole più semplici per operare potenze con esponenti frazionari si trovano nel matematico francese Nicholas Oresme (1323–1382) nella sua opera “Algoritmo delle proporzioni”.

L'uguaglianza, 0 = 1 (per e non uguale a 0) fu usata nelle sue opere all'inizio del XV secolo dallo scienziato di Samarcanda Giyasaddin Kashi Dzhemshid. Indipendentemente, l'indicatore zero fu introdotto da Nikolai Schuke nel XV secolo. È noto che Nicholas Shuquet (1445–1500) considerava i gradi con esponente negativo e zero.

Successivamente, esponenti frazionari e negativi si trovano in “Aritmetica completa” (1544) del matematico tedesco M. Stiefel e in Simon Stevin. Simon Stevin ha suggerito che 1/n debba essere una radice.

Il matematico tedesco M. Stiefel (1487–1567) diede la definizione di a 0 = 1 e introdusse il nome esponente (questa è una traduzione letterale dal tedesco esponente). Il tedesco potenzieren significa elevare a potenza.

Alla fine del XVI secolo, François Viète introdusse le lettere per designare non solo le variabili, ma anche i loro coefficienti. Ha usato le abbreviazioni: N, Q, C - per il primo, secondo e terzo grado. Ma le notazioni moderne (come 4, 5) furono introdotte nel XVII secolo da René Descartes.

Le definizioni e le notazioni moderne per potenze con esponenti zero, negativi e frazionari provengono dal lavoro dei matematici inglesi John Wallis (1616–1703) e Isaac Newton (1643–1727).

L'opportunità di introdurre esponenti zero, negativi e frazionari e simboli moderni fu scritta per la prima volta in dettaglio nel 1665 dal matematico inglese John Wallis. Il suo lavoro fu completato da Isaac Newton, che iniziò ad applicare sistematicamente nuovi simboli, dopo di che entrarono in uso generale.

L'introduzione di un grado con esponente razionale è uno dei tanti esempi di generalizzazione dei concetti di azione matematica. Un grado con esponente zero, negativo e frazionario è definito in modo tale che ad esso si applicano le stesse regole di azione di un grado con esponente naturale, cioè in modo che le proprietà fondamentali del concetto originario di grado siano preservate.

La nuova definizione di grado con esponente razionale non contraddice la vecchia definizione di grado con esponente naturale, cioè il significato della nuova definizione di grado con esponente razionale rimane lo stesso per il caso particolare di grado con esponente naturale. Questo principio, osservato quando si generalizzano i concetti matematici, è chiamato principio di permanenza (conservazione della costanza). Fu espressa in forma imperfetta nel 1830 dal matematico inglese J. Peacock, e fu stabilita pienamente e chiaramente dal matematico tedesco G. Hankel nel 1867.

VIII. Controllati.

Lavoro indipendente utilizzando le carte (le risposte vengono rivelate alla lavagna) .

opzione 1

1. Calcola: (1 punto)

(a + 3a 1\2): (a 1\2 +3)

opzione 2

1. Calcola: (1 punto)

2. Semplifica l'espressione: 1 punto ciascuno

a) x 1,6 x 0,4 b)(x 3\8) -5\6

3. Risolvi l'equazione: (2 punti)

4. Semplifica l'espressione: (2 punti)

5. Trova il valore dell'espressione: (3 punti)

IX. Riassumendo la lezione.

Quali formule e regole hai ricordato in classe?

Analizza il tuo lavoro in classe.

Viene valutato il lavoro svolto in classe dagli studenti.

X. Compiti a casa. K: R IV (ripeto) artt.156-157 N.4 (a-c), N.7 (a-c),

Supplementare: N. 16

Applicazione

Documento di valutazione

Nome/nome/studente____________________________________________________________

Carta n. 1

1) X1\3 =4; 2) y -1 =3\5; 3) un 1\2 = 2\3; 4)x-0,5x1,5 = 1; 5) y1\3 =2; 6) a 2\7 a 12\7 = 25; 7) a 1\2: a = 1\3

Decodificatore

Carta n. 2

1) X1\3 =4; 2) y -1 = 3; 3) (x+6) 1\2 = 3; 4) y1\3 =2; 5) (y-3) 1\3 =2; 6) a 1\2: a = 1\3

Decodificatore

Carta n.3

1) a 2\7 a 12\7 = 25; 2) (x-12) 1\3 =2; 3)x-0,7x3,7 = 8; 4) a 1\2: a = 1\3; 5) e 1\2 = 2\3

Decodificatore

Carta n. 1

1) X1\3 =4; 2) y -1 =3\5; 3) un 1\2 = 2\3; 4)x-0,5x1,5 = 1; 5) y1\3 =2; 6) a 2\7 a 12\7 = 25; 7) a 1\2: a = 1\3

Decodificatore

Carta n. 2

1) X1\3 =4; 2) y -1 = 3; 3) (x+6) 1\2 = 3; 4) y1\3 =2; 5) (y-3) 1\3 =2; 6) a 1\2: a = 1\3

Decodificatore

Carta n.3

1) a 2\7 a 12\7 = 25; 2) (x-12) 1\3 =2; 3)x-0,7x3,7 = 8; 4) a 1\2: a = 1\3; 5) e 1\2 = 2\3

Decodificatore

Carta n. 1

1) X1\3 =4; 2) y -1 =3\5; 3) un 1\2 = 2\3; 4)x-0,5x1,5 = 1; 5) y1\3 =2; 6) a 2\7 a 12\7 = 25; 7) a 1\2: a = 1\3

Decodificatore

Carta n. 2

1) X1\3 =4; 2) y -1 = 3; 3) (x+6) 1\2 = 3; 4) y1\3 =2; 5) (y-3) 1\3 =2; 6) a 1\2: a = 1\3

Decodificatore

Carta n.3

1) a 2\7 a 12\7 = 25; 2) (x-12) 1\3 =2; 3)x-0,7x3,7 = 8; 4) a 1\2: a = 1\3; 5) e 1\2 = 2\3

Decodificatore

Sezioni: Matematica

Classe: 9

OBIETTIVO: Consolidare e migliorare le capacità di applicare le proprietà di una laurea con esponente razionale; sviluppare abilità nell'eseguire semplici trasformazioni di espressioni contenenti potenze con esponente frazionario.

TIPO DI LEZIONE: lezione di consolidamento e applicazione delle conoscenze su questo argomento.

LIBRO DI TESTO: Algebra 9 ed. SA Teljakovskij.

DURANTE LE LEZIONI

Discorso di apertura dell'insegnante

"Le persone che non hanno familiarità con l'algebra non possono immaginare le cose straordinarie che si possono ottenere... con l'aiuto di questa scienza." G.V. Leibniz

Algebra ci apre le porte del complesso del laboratorio “Una laurea con esponente razionale.”

1. Rilievo frontale

1) Dare la definizione di grado con esponente frazionario.

2) Per quale esponente frazionario è definito un grado con base uguale a zero?

3) Il grado sarà determinato con un esponente frazionario per una base negativa?

Compito: Immagina il numero 64 come una potenza con base - 2; 2; 8.

Il cubo di quale numero è 64?

Esiste un altro modo per rappresentare il numero 64 come una potenza con esponente razionale?

2. Lavorare in gruppi

1 gruppo. Dimostrare che le espressioni (-2) 3/4 ; 0 -2 non ha senso.

2° gruppo. Immagina una potenza con un esponente frazionario sotto forma di radice: 2 2/3; 3 -1|3 ; -in 1,5; 5a 1/2; (xy) 2/3 .

3° gruppo. Presente come potenza con esponente frazionario: v3; 8 e 4; 3v2-2; v(x+y) 2/3 ; vvv.

3. Passiamo al laboratorio “Azione sui poteri”

Ospiti frequenti del laboratorio sono gli astronomi. Portano i loro “numeri astronomici”, li sottopongono a elaborazioni algebriche e ottengono risultati utili

Ad esempio, la distanza dalla Terra alla nebulosa di Andromeda è espressa dal numero

95000000000000000000 = 95 10 18 km;

è chiamato quintilione.

La massa del sole in grammi è espressa dal numero 1983 10 30 g - nonnazionale.

Inoltre, il laboratorio deve affrontare altri compiti seri. Ad esempio, il problema del calcolo di espressioni come:

UN) ; B) ; V).

Il personale di laboratorio esegue tali calcoli nel modo più conveniente.

Puoi connetterti al lavoro. Per fare ciò, ripetiamo le proprietà delle potenze con esponenti razionali:

Ora calcola o semplifica l'espressione utilizzando le proprietà delle potenze con esponenti razionali:

1° gruppo:

Gruppo 2:

Gruppo 3:

Controllo: una persona del gruppo al tabellone.

4. Compito di confronto

Come possiamo confrontare le espressioni 2 100 e 10 30 utilizzando le proprietà delle potenze?

Risposta:

2 100 =(2 10) 10 =1024 10 .

10 30 =(10 3) 10 =1000 10

1024 10 >1000 10

2 100 >10 30

5. Ed ora vi invito al laboratorio “Ricerca dei titoli”.

Quali trasformazioni possiamo eseguire sui poteri?

1) Immagina il numero 3 come una potenza con esponente 2; 3; -1.

2) Come si possono fattorizzare le espressioni a-c? dentro+in 1/2; a-2a 1/2; 2 è 2?

3) Ridurre la frazione seguita da verifica reciproca:

4) Spiegare le trasformazioni eseguite e trovare il significato dell'espressione:

6. Lavorare con il libro di testo. N. 611(g, d, f).

Gruppo 1: (d).

Gruppo 2: (e).

Gruppo 3: (f).

N. 629 (a, b).

Revisione tra pari.

7. Svolgiamo un workshop (lavoro indipendente).

Date le espressioni:

Quando si riducono, quali frazioni sono formule di moltiplicazione abbreviate e si mette il fattore comune tra parentesi?

Gruppo 1: N. 1, 2, 3.

Gruppo 2: N. 4, 5, 6.

Gruppo 3: N. 7, 8, 9.

Quando completi l'attività, puoi utilizzare i consigli.

1. Se la notazione dell'esempio contiene entrambe le potenze con esponente razionale e radici dell'ennesimo grado, scrivi le radici dell'ennesimo grado sotto forma di potenze con esponente razionale.
2. Prova a semplificare l'espressione su cui vengono eseguite le azioni: aprendo parentesi, utilizzando la formula di moltiplicazione abbreviata, passando da una potenza con esponente negativo a un'espressione contenente potenze con esponente positivo.
3. Determinare l'ordine in cui devono essere eseguite le azioni.
4. Completare i passaggi nell'ordine in cui vengono eseguiti.

L'insegnante valuta dopo aver ritirato i quaderni.

8. Compiti a casa: n. 624, 623.