Area di un triangolo - formule ed esempi di problem solving. Teorema dell'area del triangolo, teoremi seno e coseno Area del triangolo per coseno e due lati

Può essere trovato conoscendo la base e l'altezza. L'intera semplicità dello schema sta nel fatto che l'altezza divide la base a in due parti a 1 e a 2, e il triangolo stesso in due triangoli rettangoli, la cui area è ottenuta e. Quindi l'area dell'intero triangolo sarà la somma delle due aree indicate, e se togliamo metà dell'altezza dalla parentesi, in totale otteniamo la base:

Un metodo di calcolo più difficile è la formula di Heron, per la quale è necessario conoscere tutti e tre i lati. Per questa formula, devi prima calcolare il semiperimetro del triangolo: La stessa formula di Erone implica la radice quadrata del semiperimetro, moltiplicata a sua volta per la sua differenza su ciascun lato.

Il seguente metodo, rilevante anche per qualsiasi triangolo, consente di trovare l'area del triangolo passante per due lati e l'angolo tra di essi. La dimostrazione di ciò segue dalla formula con l'altezza: disegniamo l'altezza su uno qualsiasi dei lati noti e attraverso il seno dell'angolo α otteniamo che h=a⋅sinα . Per calcolare l'area, moltiplica metà dell'altezza per il secondo lato.

Un altro modo è trovare l'area di un triangolo dati 2 angoli e il lato tra di loro. La dimostrazione di questa formula è abbastanza semplice e può essere chiaramente vista dal diagramma.

Abbassiamo l'altezza dalla parte superiore del terzo angolo al lato noto e chiamiamo i segmenti risultanti x, rispettivamente. Si può vedere dai triangoli rettangoli che il primo segmento x è uguale al prodotto

In poche parole, si tratta di verdure cotte in acqua secondo una ricetta speciale. Prenderò in considerazione due componenti iniziali (insalata di verdure e acqua) e il risultato finale: il borscht. Geometricamente, questo può essere rappresentato come un rettangolo in cui un lato denota lattuga, l'altro denota acqua. La somma di questi due lati denoterà borscht. La diagonale e l'area di un tale rettangolo "borscht" sono concetti puramente matematici e non vengono mai utilizzate nelle ricette del borscht.

Non troverai nulla sulle funzioni angolari lineari nei libri di testo di matematica. Ma senza di loro non ci può essere matematica. Le leggi della matematica, come le leggi della natura, funzionano indipendentemente dal fatto che sappiamo che esistono o meno.

Le funzioni angolari lineari sono le leggi dell'addizione. Guarda come l'algebra si trasforma in geometria e la geometria si trasforma in trigonometria.

È possibile fare a meno delle funzioni angolari lineari? Puoi, perché i matematici riescono ancora a farne a meno. Il trucco dei matematici sta nel fatto che ci parlano sempre solo di quei problemi che loro stessi possono risolvere, e non ci parlano mai di quei problemi che non possono risolvere. Vedere. Se conosciamo il risultato dell'addizione e di un termine, usiamo la sottrazione per trovare l'altro termine. Tutto. Non conosciamo altri problemi e non siamo in grado di risolverli. Cosa fare se conosciamo solo il risultato dell'addizione e non conosciamo entrambi i termini? In questo caso, il risultato dell'addizione deve essere scomposto in due termini utilizzando funzioni angolari lineari. Inoltre, scegliamo noi stessi quale può essere un termine e le funzioni angolari lineari mostrano quale dovrebbe essere il secondo termine affinché il risultato dell'addizione sia esattamente ciò di cui abbiamo bisogno. Ci può essere un numero infinito di tali coppie di termini. Nella vita di tutti i giorni facciamo molto bene senza scomporre la somma, ci basta la sottrazione. Ma negli studi scientifici sulle leggi della natura, l'espansione della somma in termini può essere molto utile.

Un'altra legge dell'addizione di cui i matematici non amano parlare (un altro loro trucco) richiede che i termini abbiano la stessa unità di misura. Per lattuga, acqua e borscht, queste possono essere unità di peso, volume, costo o unità di misura.

La figura mostra due livelli di differenza per la matematica. Il primo livello sono le differenze nel campo dei numeri, che sono indicati UN, B, C. Questo è ciò che fanno i matematici. Il secondo livello sono le differenze nell'area delle unità di misura, che sono mostrate tra parentesi quadre e sono indicate dalla lettera U. Questo è ciò che fanno i fisici. Possiamo comprendere il terzo livello: le differenze nell'ambito degli oggetti descritti. Oggetti diversi possono avere lo stesso numero delle stesse unità di misura. Quanto sia importante, possiamo vedere sull'esempio della trigonometria borscht. Se aggiungiamo pedici alla stessa notazione per le unità di misura di oggetti diversi, possiamo dire esattamente quale quantità matematica descrive un particolare oggetto e come cambia nel tempo o in relazione alle nostre azioni. lettera W Segnerò l'acqua con la lettera S Segnerò l'insalata con la lettera B- borsch. Ecco come sarebbero le funzioni dell'angolo lineare per il borscht.

Se prendiamo una parte dell'acqua e una parte dell'insalata, insieme si trasformeranno in una porzione di borscht. Qui ti suggerisco di prenderti una piccola pausa dal borscht e ricordare la tua infanzia lontana. Ricordi come ci hanno insegnato a mettere insieme coniglietti e anatre? Era necessario scoprire quanti animali sarebbero usciti. Allora cosa ci è stato insegnato a fare? Ci è stato insegnato a separare le unità dai numeri e ad aggiungere numeri. Sì, qualsiasi numero può essere aggiunto a qualsiasi altro numero. Questo è un percorso diretto verso l'autismo della matematica moderna: non capiamo cosa, non è chiaro perché, e capiamo molto male come questo si riferisca alla realtà, a causa dei tre livelli di differenza, i matematici operano solo su uno. Sarà più corretto imparare a passare da un'unità di misura all'altra.

E coniglietti, anatre e animaletti possono essere contati a pezzi. Un'unità di misura comune per oggetti diversi ci consente di sommarli insieme. Questa è una versione per bambini del problema. Diamo un'occhiata a un problema simile per gli adulti. Cosa ottieni quando aggiungi coniglietti e denaro? Ci sono due possibili soluzioni qui.

Prima opzione. Determiniamo il valore di mercato dei coniglietti e lo aggiungiamo al denaro disponibile. Abbiamo ottenuto il valore totale della nostra ricchezza in termini di denaro.

Seconda opzione. Puoi aggiungere il numero di coniglietti al numero di banconote che abbiamo. Otterremo la quantità di beni mobili in pezzi.

Come puoi vedere, la stessa legge di addizione ti consente di ottenere risultati diversi. Tutto dipende da cosa esattamente vogliamo sapere.

Ma torniamo al nostro borscht. Ora possiamo vedere cosa accadrà per diversi valori dell'angolo delle funzioni angolari lineari.

L'angolo è zero. Abbiamo insalata ma niente acqua. Non possiamo cucinare il borscht. Anche la quantità di borscht è zero. Ciò non significa affatto che zero borscht sia uguale a zero acqua. Zero borsch può anche essere a zero insalata (angolo retto).

Per me personalmente, questa è la principale prova matematica del fatto che . Zero non cambia il numero quando aggiunto. Questo perché l'addizione stessa è impossibile se c'è un solo termine e manca il secondo termine. Puoi relazionarti a questo come preferisci, ma ricorda: tutte le operazioni matematiche con zero sono state inventate dai matematici stessi, quindi scarta la tua logica e riempi stupidamente le definizioni inventate dai matematici: "la divisione per zero è impossibile", "qualsiasi numero moltiplicato per zero uguale a zero", "dietro il punto zero" e altre sciocchezze. Basta ricordare una volta che zero non è un numero, e non avrai mai una domanda se zero sia un numero naturale o no, perché una domanda del genere generalmente perde ogni significato: come si può considerare un numero ciò che non è un numero . È come chiedere a quale colore attribuire un colore invisibile. Aggiungere zero a un numero è come dipingere con una vernice che non esiste. Hanno agitato un pennello asciutto e hanno detto a tutti che "abbiamo dipinto". Ma sto divagando un po'.

L'angolo è maggiore di zero ma minore di quarantacinque gradi. Abbiamo molta lattuga, ma poca acqua. Di conseguenza, otteniamo un denso borscht.

L'angolo è di quarantacinque gradi. Abbiamo uguali quantità di acqua e lattuga. Questo è il borscht perfetto (che i cuochi mi perdonino, è solo matematica).

L'angolo è maggiore di quarantacinque gradi ma minore di novanta gradi. Abbiamo molta acqua e poca lattuga. Prendi il borscht liquido.

Angolo retto. Abbiamo l'acqua. Rimangono solo i ricordi della lattuga, mentre continuiamo a misurare l'angolo dalla linea che un tempo segnava la lattuga. Non possiamo cucinare il borscht. La quantità di borscht è zero. In tal caso, aspetta e bevi acqua finché è disponibile)))

Qui. Qualcosa come questo. Posso raccontare qui altre storie che qui saranno più che appropriate.

I due amici avevano le loro quote nell'attività comune. Dopo l'omicidio di uno di loro, tutto è andato all'altro.

L'emergere della matematica sul nostro pianeta.

Tutte queste storie sono raccontate nel linguaggio della matematica usando funzioni angolari lineari. Un'altra volta ti mostrerò il vero posto di queste funzioni nella struttura della matematica. Nel frattempo, torniamo alla trigonometria del borscht e consideriamo le proiezioni.

Sabato 26 ottobre 2019

Ho visto un video interessante su La lite di Grandi Uno meno uno più uno meno uno - Numberphile. I matematici mentono. Non hanno eseguito un test di uguaglianza nel loro ragionamento.

Questo risuona con il mio ragionamento su .

Diamo un'occhiata più da vicino ai segni che i matematici ci stanno ingannando. All'inizio del ragionamento, i matematici affermano che la somma della sequenza DIPENDE dal fatto che il numero di elementi in essa contenuti sia pari o meno. Questo è un FATTO OBIETTIVAMENTE ACCERTATO. Cosa succede dopo?

Successivamente, i matematici sottraggono la sequenza dall'unità. A cosa porta questo? Ciò porta a un cambiamento nel numero di elementi nella sequenza: un numero pari si trasforma in un numero dispari, un numero dispari si trasforma in un numero pari. Dopotutto, abbiamo aggiunto un elemento uguale a uno alla sequenza. Nonostante tutta la somiglianza esterna, la sequenza prima della trasformazione non è uguale alla sequenza dopo la trasformazione. Anche se stiamo parlando di una sequenza infinita, dobbiamo ricordare che una sequenza infinita con un numero dispari di elementi non è uguale a una sequenza infinita con un numero pari di elementi.

Mettendo un segno di uguale tra due sequenze diverse nel numero di elementi, i matematici affermano che la somma della sequenza NON DIPENDE dal numero di elementi della sequenza, il che contraddice un FATTO OGGETTIVAMENTE STABILITO. Un ulteriore ragionamento sulla somma di una sequenza infinita è falso, perché si basa su una falsa uguaglianza.

Se vedi che i matematici mettono parentesi nel corso delle dimostrazioni, riorganizzano gli elementi di un'espressione matematica, aggiungono o rimuovono qualcosa, stai molto attento, molto probabilmente stanno cercando di ingannarti. Come i prestigiatori di carte, i matematici distolgono la tua attenzione con varie manipolazioni dell'espressione per darti alla fine un risultato falso. Se non puoi ripetere il trucco con le carte senza conoscere il segreto dell'imbroglio, allora in matematica tutto è molto più semplice: non sospetti nemmeno nulla dell'imbroglio, ma ripetere tutte le manipolazioni con un'espressione matematica ti permette di convincere gli altri del correttezza del risultato, proprio come quando ti hanno convinto.

Domanda del pubblico: E l'infinito (come il numero di elementi nella sequenza S), è pari o dispari? Come puoi cambiare la parità di qualcosa che non ha parità?

L'infinito per i matematici è come il Regno dei Cieli per i sacerdoti: nessuno è mai stato lì, ma tutti sanno esattamente come funziona tutto lì))) Sono d'accordo, dopo la morte sarai assolutamente indifferente se hai vissuto un numero pari o dispari di giorni , ma ... Aggiungendo solo un giorno all'inizio della tua vita, otterremo una persona completamente diversa: il suo cognome, nome e patronimico sono esattamente gli stessi, solo la data di nascita è completamente diversa - è nato uno giorno prima di te.

E ora al punto))) Supponiamo che una sequenza finita che ha parità perda questa parità quando va all'infinito. Quindi anche qualsiasi segmento finito di una sequenza infinita deve perdere la parità. Non lo osserviamo. Il fatto che non si possa dire con certezza se il numero di elementi in una sequenza infinita sia pari o dispari non significa affatto che la parità sia scomparsa. La parità, se esiste, non può scomparire nell'infinito senza lasciare traccia, come nella manica di una carta più appuntita. C'è un'ottima analogia per questo caso.

Hai mai chiesto a un cuculo seduto in un orologio in quale direzione ruota la lancetta dell'orologio? Per lei, la freccia ruota nella direzione opposta a quella che noi chiamiamo "in senso orario". Può sembrare paradossale, ma il senso di rotazione dipende esclusivamente da quale lato osserviamo la rotazione. E così, abbiamo una ruota che gira. Non possiamo dire in quale direzione avviene la rotazione, poiché possiamo osservarla sia da un lato del piano di rotazione che dall'altro. Possiamo solo testimoniare il fatto che c'è rotazione. Analogia completa con la parità di una successione infinita S.

Ora aggiungiamo una seconda ruota rotante, il cui piano di rotazione è parallelo al piano di rotazione della prima ruota rotante. Non possiamo ancora dire esattamente in quale direzione girano queste ruote, ma possiamo dire con assoluta certezza se entrambe le ruote girano nella stessa direzione o in direzioni opposte. Confronto di due sequenze infinite S E 1-S, ho mostrato con l'aiuto della matematica che queste sequenze hanno parità diverse e mettere un segno di uguale tra di loro è un errore. Personalmente credo nella matematica, non mi fido dei matematici))) A proposito, per comprendere appieno la geometria delle trasformazioni di sequenze infinite, è necessario introdurre il concetto "simultaneità". Questo dovrà essere disegnato.

Mercoledì 7 agosto 2019

Concludendo la conversazione su , dobbiamo considerare un insieme infinito. Dato che il concetto di "infinito" agisce sui matematici, come un boa constrictor su un coniglio. Il tremante orrore dell'infinito priva i matematici del buon senso. Ecco un esempio:

La fonte originale si trova. Alpha denota un numero reale. Il segno di uguale nelle espressioni precedenti indica che se aggiungi un numero o infinito all'infinito, non cambierà nulla, il risultato sarà lo stesso infinito. Se prendiamo come esempio un insieme infinito di numeri naturali, gli esempi considerati possono essere rappresentati come segue:

Per dimostrare visivamente il loro caso, i matematici hanno escogitato molti metodi diversi. Personalmente, considero tutti questi metodi come le danze degli sciamani con i tamburelli. In sostanza, si riducono tutti al fatto che o alcune stanze non sono occupate e vi si sistemano nuovi ospiti, oppure che alcuni dei visitatori vengono buttati fuori nel corridoio per fare spazio agli ospiti (molto umanamente). Ho presentato il mio punto di vista su tali decisioni sotto forma di una fantastica storia sulla bionda. Su cosa si basa il mio ragionamento? Lo spostamento di un numero infinito di visitatori richiede un tempo infinito. Dopo che avremo lasciato la prima stanza degli ospiti, uno dei visitatori percorrerà sempre il corridoio dalla sua stanza a quella successiva fino alla fine dei tempi. Certo, il fattore tempo può essere stupidamente ignorato, ma questo sarà già dalla categoria "la legge non è scritta per gli sciocchi". Tutto dipende da cosa stiamo facendo: adattare la realtà alle teorie matematiche o viceversa.

Cos'è un "hotel infinito"? Una locanda a sfioro è una locanda che ha sempre un numero qualsiasi di posti liberi, indipendentemente dal numero di stanze occupate. Se tutte le stanze del corridoio infinito "per i visitatori" sono occupate, c'è un altro corridoio infinito con stanze per "ospiti". Ci sarà un numero infinito di tali corridoi. Allo stesso tempo, "l'hotel infinito" ha un numero infinito di piani in un numero infinito di edifici su un numero infinito di pianeti in un numero infinito di universi creati da un numero infinito di Dei. I matematici, invece, non sanno allontanarsi dai banali problemi quotidiani: Dio-Allah-Buddha è sempre uno solo, l'albergo è uno, il corridoio è uno solo. Quindi i matematici stanno cercando di destreggiarsi tra i numeri di serie delle camere d'albergo, convincendoci che è possibile "spingere chi non è spinto".

Ti dimostrerò la logica del mio ragionamento usando l'esempio di un insieme infinito di numeri naturali. Per prima cosa devi rispondere a una domanda molto semplice: quanti insiemi di numeri naturali esistono - uno o molti? Non esiste una risposta corretta a questa domanda, poiché noi stessi abbiamo inventato i numeri, non ci sono numeri in Natura. Sì, la Natura sa contare perfettamente, ma per questo usa altri strumenti matematici che non ci sono familiari. Come pensa la Natura, te lo dirò un'altra volta. Da quando abbiamo inventato i numeri, decideremo noi stessi quanti insiemi di numeri naturali esistono. Considera entrambe le opzioni, come si addice a un vero scienziato.

Opzione uno. "Facciamoci dare" un unico insieme di numeri naturali, che giace serenamente su uno scaffale. Prendiamo questo set dallo scaffale. Ecco fatto, non ci sono altri numeri naturali rimasti sullo scaffale e non c'è nessun posto dove prenderli. Non possiamo aggiungerne uno a questo set, poiché lo abbiamo già. E se lo volessi davvero? Nessun problema. Possiamo prendere un'unità dal set che abbiamo già preso e rimetterla sullo scaffale. Successivamente, possiamo prendere un'unità dallo scaffale e aggiungerla a ciò che ci è rimasto. Di conseguenza, otteniamo di nuovo un insieme infinito di numeri naturali. Puoi scrivere tutte le nostre manipolazioni in questo modo:

Ho scritto le operazioni in notazione algebrica e in notazione insiemistica, elencando dettagliatamente gli elementi dell'insieme. Il pedice indica che abbiamo un unico insieme di numeri naturali. Si scopre che l'insieme dei numeri naturali rimarrà invariato solo se ne viene sottratto uno e lo stesso viene aggiunto.

Opzione due. Abbiamo molti diversi insiemi infiniti di numeri naturali sullo scaffale. Sottolineo - DIVERSI, nonostante siano praticamente indistinguibili. Prendiamo uno di questi set. Quindi ne prendiamo uno da un altro insieme di numeri naturali e lo aggiungiamo all'insieme che abbiamo già preso. Possiamo anche sommare due insiemi di numeri naturali. Ecco cosa otteniamo:

I pedici "uno" e "due" indicano che questi elementi appartenevano a insiemi diversi. Sì, se ne aggiungi uno a un insieme infinito, anche il risultato sarà un insieme infinito, ma non sarà lo stesso dell'insieme originale. Se un altro insieme infinito viene aggiunto a un insieme infinito, il risultato è un nuovo insieme infinito costituito dagli elementi dei primi due insiemi.

L'insieme dei numeri naturali viene utilizzato per contare allo stesso modo di un righello per le misurazioni. Ora immagina di aver aggiunto un centimetro al righello. Questa sarà già una linea diversa, non uguale all'originale.

Puoi accettare o non accettare il mio ragionamento: sono affari tuoi. Ma se ti imbatti mai in problemi matematici, considera se sei sulla strada del falso ragionamento, percorso da generazioni di matematici. Dopotutto, le lezioni di matematica, prima di tutto, formano in noi uno stereotipo stabile del pensiero, e solo allora ci aggiungono capacità mentali (o viceversa, ci privano del libero pensiero).

pozg.ru

domenica 4 agosto 2019

Stavo scrivendo un poscritto a un articolo su e ho visto questo meraviglioso testo su Wikipedia:

Leggiamo: "... la ricca base teorica della matematica babilonese non aveva un carattere olistico ed era ridotta a un insieme di tecniche disparate, prive di un sistema comune e di una base di prove".

Oh! Quanto siamo intelligenti e quanto bene riusciamo a vedere i difetti degli altri. È debole per noi guardare alla matematica moderna nello stesso contesto? Parafrasando leggermente il testo sopra, personalmente ho ottenuto quanto segue:

La ricca base teorica della matematica moderna non ha un carattere olistico ed è ridotta a un insieme di sezioni disparate, prive di un sistema comune e di una base di prove.

Non andrò lontano per confermare le mie parole: ha un linguaggio e convenzioni diversi dal linguaggio e dalle convenzioni di molti altri rami della matematica. Gli stessi nomi in diversi rami della matematica possono avere significati diversi. Voglio dedicare un intero ciclo di pubblicazioni agli errori più evidenti della matematica moderna. Arrivederci.

sabato 3 agosto 2019

Come dividere un insieme in sottoinsiemi? Per fare ciò è necessario inserire una nuova unità di misura, che è presente in alcuni degli elementi dell'insieme selezionato. Considera un esempio.

Possiamo averne molti UN composta da quattro persone. Questo insieme è formato sulla base di "persone" Designiamo gli elementi di questo insieme attraverso la lettera UN, il pedice con un numero indicherà il numero ordinale di ogni persona in questo insieme. Introduciamo una nuova unità di misura "caratteristica sessuale" e denotiamola con la lettera B. Poiché le caratteristiche sessuali sono inerenti a tutte le persone, moltiplichiamo ogni elemento del set UN sul genere B. Si noti che il nostro insieme "persone" è ora diventato l'insieme "persone con genere". Successivamente, possiamo dividere le caratteristiche sessuali in maschio bm e delle donne peso corporeo caratteristiche di genere. Ora possiamo applicare un filtro matematico: selezioniamo una di queste caratteristiche sessuali, non importa quale sia maschio o femmina. Se è presente in una persona, lo moltiplichiamo per uno, se non esiste tale segno, lo moltiplichiamo per zero. E poi applichiamo la solita matematica scolastica. Guarda cosa è successo.

Dopo moltiplicazioni, riduzioni e riarrangiamenti, abbiamo ottenuto due sottoinsiemi: il sottoinsieme maschile bm e un sottoinsieme di donne peso corporeo. Più o meno allo stesso modo in cui ragionano i matematici quando applicano la teoria degli insiemi nella pratica. Ma non ci lasciano entrare nei dettagli, ma ci danno il risultato finale: "molte persone sono costituite da un sottoinsieme di uomini e un sottoinsieme di donne". Naturalmente, potresti avere una domanda, come ha applicato correttamente la matematica nelle trasformazioni di cui sopra? Oserei assicurarti che in effetti le trasformazioni vengono eseguite correttamente, è sufficiente conoscere la giustificazione matematica dell'aritmetica, dell'algebra booleana e di altre sezioni della matematica. Cos'è? Un'altra volta te ne parlerò.

Per quanto riguarda i superset, è possibile combinare due set in un superset scegliendo un'unità di misura presente negli elementi di questi due set.

Come puoi vedere, le unità di misura e la matematica comune rendono la teoria degli insiemi una cosa del passato. Un segno che non tutto va bene con la teoria degli insiemi è che i matematici hanno escogitato il proprio linguaggio e la propria notazione per la teoria degli insiemi. I matematici facevano quello che una volta facevano gli sciamani. Solo gli sciamani sanno applicare "correttamente" la loro "conoscenza". Questa "conoscenza" ci insegnano.

In conclusione, voglio mostrarvi come manipolano i matematici
Diciamo che Achille corre dieci volte più veloce della tartaruga ed è mille passi dietro di essa. Durante il tempo in cui Achille percorre questa distanza, la tartaruga fa cento passi nella stessa direzione. Quando Achille avrà percorso cento passi, la tartaruga ne farà altri dieci, e così via. Il processo continuerà all'infinito, Achille non raggiungerà mai la tartaruga.

Questo ragionamento è diventato uno shock logico per tutte le generazioni successive. Aristotele, Diogene, Kant, Hegel, Gilbert... Tutti, in un modo o nell'altro, consideravano le aporie di Zenone. Lo shock è stato così forte che " ... le discussioni continuano attualmente, la comunità scientifica non è ancora riuscita a raggiungere un'opinione comune sull'essenza dei paradossi ... analisi matematica, teoria degli insiemi, nuovi approcci fisici e filosofici sono stati coinvolti nello studio della questione ; nessuno di loro è diventato una soluzione universalmente accettata al problema ..."[Wikipedia," Aporie di Zenone "]. Tutti capiscono di essere stati ingannati, ma nessuno capisce quale sia l'inganno.

Dal punto di vista della matematica, Zenone nella sua aporia dimostrò chiaramente il passaggio dal valore a. Questa transizione implica l'applicazione invece di costanti. Per quanto ho capito, l'apparato matematico per l'applicazione di unità di misura variabili o non è stato ancora sviluppato, oppure non è stato applicato all'aporia di Zenone. L'applicazione della nostra logica abituale ci conduce in una trappola. Noi, per inerzia del pensiero, applichiamo costanti unità di tempo al reciproco. Da un punto di vista fisico, sembra che il tempo rallenti fino a fermarsi completamente nel momento in cui Achille raggiunge la tartaruga. Se il tempo si ferma, Achille non può più superare la tartaruga.

Se capovolgiamo la logica a cui siamo abituati, tutto va a posto. Achille corre a velocità costante. Ogni segmento successivo del suo percorso è dieci volte più breve del precedente. Di conseguenza, il tempo impiegato per superarlo è dieci volte inferiore al precedente. Se applichiamo il concetto di "infinito" in questa situazione, sarebbe corretto dire "Achille supererà infinitamente rapidamente la tartaruga".

Come evitare questa trappola logica? Rimani in unità di tempo costanti e non passare a valori reciproci. Nella lingua di Zenone, sembra così:

Nel tempo che impiega Achille a fare mille passi, la tartaruga striscia cento passi nella stessa direzione. Durante il prossimo intervallo di tempo, uguale al primo, Achille percorrerà altri mille passi e la tartaruga ne farà cento passi. Ora Achille è ottocento passi avanti alla tartaruga.

Questo approccio descrive adeguatamente la realtà senza paradossi logici. Ma questa non è una soluzione completa al problema. L'affermazione di Einstein sull'insormontabilità della velocità della luce è molto simile all'aporia di Zenone "Achille e la tartaruga". Dobbiamo ancora studiare, ripensare e risolvere questo problema. E la soluzione va cercata non in numeri infinitamente grandi, ma in unità di misura.

Un'altra interessante aporia di Zenone racconta di una freccia volante:

Una freccia volante è immobile, poiché in ogni momento è ferma, e poiché è ferma in ogni momento, è sempre ferma.

In questa aporia il paradosso logico viene superato in modo molto semplice: basta chiarire che in ogni momento la freccia volante è ferma in diversi punti dello spazio, che, appunto, è movimento. C'è un altro punto da notare qui. Da una fotografia di un'auto sulla strada, è impossibile determinare né il fatto del suo movimento né la distanza da essa. Per determinare il fatto del movimento dell'auto, sono necessarie due fotografie scattate dallo stesso punto in momenti diversi, ma non possono essere utilizzate per determinare la distanza. Per determinare la distanza dall'auto, hai bisogno di due fotografie scattate contemporaneamente da diversi punti nello spazio, ma non puoi determinare il fatto del movimento da esse (naturalmente, hai ancora bisogno di dati aggiuntivi per i calcoli, la trigonometria ti aiuterà). Quello che voglio sottolineare in particolare è che due punti nel tempo e due punti nello spazio sono due cose diverse che non devono essere confuse in quanto offrono diverse opportunità di esplorazione.
Mostrerò il processo con un esempio. Selezioniamo "solido rosso in un brufolo": questo è il nostro "intero". Allo stesso tempo, vediamo che queste cose sono con un arco e ci sono senza arco. Successivamente, selezioniamo una parte del "tutto" e formiamo un set "con un arco". Questo è il modo in cui gli sciamani si nutrono legando la loro teoria degli insiemi alla realtà.

Ora facciamo un piccolo trucco. Prendiamo "solido in un brufolo con un fiocco" e uniamo questi "interi" per colore, selezionando elementi rossi. Abbiamo molto "rosso". Ora una domanda delicata: i set ricevuti "con un arco" e "rosso" sono lo stesso set o due set diversi? Solo gli sciamani conoscono la risposta. Più precisamente, loro stessi non sanno nulla, ma come si suol dire, così sia.

Questo semplice esempio mostra che la teoria degli insiemi è completamente inutile quando si tratta di realtà. Qual è il segreto? Abbiamo formato un set di "brufolosi solidi rossi con un fiocco". La formazione avveniva secondo quattro diverse unità di misura: colore (rosso), robustezza (solido), rugosità (a gobba), decorazioni (a fiocco). Solo un insieme di unità di misura consente di descrivere adeguatamente oggetti reali nel linguaggio della matematica. Ecco come appare.

La lettera "a" con indici diversi denota diverse unità di misura. Tra parentesi sono evidenziate le unità di misura, secondo le quali il "tutto" viene assegnato in fase preliminare. L'unità di misura, in base alla quale è formato l'insieme, è tolta dalle parentesi. L'ultima riga mostra il risultato finale: un elemento del set. Come puoi vedere, se usiamo le unità per formare un insieme, il risultato non dipende dall'ordine delle nostre azioni. E questa è matematica, e non le danze degli sciamani con i tamburelli. Gli sciamani possono "intuitivamente" arrivare allo stesso risultato, argomentandolo con "ovvietà", perché le unità di misura non sono incluse nel loro arsenale "scientifico".

Con l'aiuto delle unità di misura, è molto facile spezzarne uno o combinare più set in un superset. Diamo un'occhiata più da vicino all'algebra di questo processo.

Teorema dell'area del triangolo

Teorema 1

L'area di un triangolo è la metà del prodotto di due lati per il seno dell'angolo tra quei lati.

Prova.

Diamoci un triangolo arbitrario $ABC$. Indichiamo le lunghezze dei lati di questo triangolo come $BC=a$, $AC=b$. Introduciamo un sistema di coordinate cartesiane, in modo che il punto $C=(0,0)$, il punto $B$ giacciano sul semiasse destro $Ox$, e il punto $A$ giaccia nel primo quadrante di coordinate. Disegna l'altezza $h$ dal punto $A$ (Fig. 1).

Figura 1. Illustrazione del Teorema 1

L'altezza $h$ è quindi uguale all'ordinata del punto $A$

Teorema del seno

Teorema 2

I lati di un triangolo sono proporzionali ai seni degli angoli opposti.

Prova.

Diamoci un triangolo arbitrario $ABC$. Indichiamo le lunghezze dei lati di questo triangolo come $BC=a$, $AC=b,$ $AC=c$ (Fig. 2).

Figura 2.

Dimostriamolo

Per il Teorema 1, abbiamo

Equiparandoli a coppie, lo otteniamo

Teorema del coseno

Teorema 3

Il quadrato di un lato di un triangolo è uguale alla somma dei quadrati degli altri due lati del triangolo senza raddoppiare il prodotto di quei lati per il coseno dell'angolo tra quei lati.

Prova.

Diamoci un triangolo arbitrario $ABC$. Indica le lunghezze dei suoi lati come $BC=a$, $AC=b,$ $AB=c$. Introduciamo un sistema di coordinate cartesiane in modo che il punto $A=(0,0)$, il punto $B$ giacciano sul semiasse positivo $Ox$ e il punto $C$ giaccia nel primo quadrante di coordinate (Fig. 3).

Figura 3

Dimostriamolo

In questo sistema di coordinate, lo otteniamo

Trova la lunghezza del lato $BC$ utilizzando la formula per la distanza tra i punti

Un esempio di un problema utilizzando questi teoremi

Esempio 1

Dimostra che il diametro del cerchio circoscritto di un triangolo arbitrario è uguale al rapporto tra un lato qualsiasi del triangolo e il seno dell'angolo opposto a questo lato.

Soluzione.

Diamoci un triangolo arbitrario $ABC$. $R$ - raggio del cerchio circoscritto. Disegna il diametro $BD$ (Fig. 4).

L'area di un triangolo è uguale alla metà del prodotto dei suoi lati e il seno dell'angolo tra di loro.

Prova:

Considera un triangolo arbitrario ABC. Lascia che il lato BC = a in esso, il lato CA = b e S sia l'area di questo triangolo. È necessario dimostrarlo S = (1/2)*a*b*sin(C).

Per cominciare, introduciamo un sistema di coordinate rettangolare e posizioniamo l'origine nel punto C. Posizioniamo il nostro sistema di coordinate in modo che il punto B si trovi sulla direzione positiva dell'asse Cx e il punto A abbia un'ordinata positiva.

Se tutto è fatto correttamente, dovresti ottenere la seguente figura.

L'area di un dato triangolo può essere calcolata utilizzando la seguente formula: S = (1/2)*a*a, dove h è l'altezza del triangolo. Nel nostro caso, l'altezza del triangolo h è uguale all'ordinata del punto A, ovvero h \u003d b * sin (C).

Dati i risultati ottenuti, la formula per l'area di un triangolo può essere riscritta come segue: S = (1/2)*a*b*sin(C). Q.E.D.

Risoluzione dei problemi

Attività 1. Trova l'area del triangolo ABC se a) AB = 6*√8 cm, AC = 4 cm, angolo A = 60 gradi b) BC = 3 cm, AB = 18*√2 cm, angolo B= 45 gradi c ) AC = 14 cm, CB = 7 cm, angolo C = 48 gradi.

Secondo il teorema sopra dimostrato, l'area S del triangolo ABC è uguale a:

S = (1/2)*AB*AC*sin(A).

Facciamo i calcoli:

a) S = ((1/2) *6*√8*4*sin(60˚)) = 12*√6 cm^2.

b) S = (1/2)*BC*BA*sin(B)=((1/2)* 3*18*√2 *(√2/2)) = 27 cm^2.

c) S = (1/2)*CA*CB*sin(C) = ½*14*7*sin48˚ cm^2.

Calcoliamo il valore del seno dell'angolo su una calcolatrice o utilizziamo i valori dalla tabella dei valori degli angoli trigonometrici. Risposta:

a) 12*√6cm^2.

c) circa 36,41 cm^2.

Problema 2. L'area del triangolo ABC è di 60 cm^2. Trova il lato AB se AC = 15 cm, angolo A = 30˚.

Sia S l'area del triangolo ABC. Per il teorema dell'area del triangolo, abbiamo:

S = (1/2)*AB*AC*sin(A).

Sostituisci i valori che abbiamo in esso:

60 = (1/2)*AB*15*sin30˚ = (1/2)*15*(1/2)*AB=(15/4)*AB.

Da qui esprimiamo la lunghezza del lato AB: AB = (60*4)/15 = 16.

Se al problema vengono date le lunghezze di due lati di un triangolo e l'angolo tra di loro, puoi applicare la formula per l'area del triangolo attraverso il seno.

Un esempio di calcolo dell'area di un triangolo usando il seno. Dati lati a = 3, b = 4 e angolo γ= 30°. Il seno di un angolo di 30° è 0,5

L'area del triangolo sarà di 3 mq. cm.

L'area sarà uguale alla metà del quadrato del lato moltiplicato per la frazione. Nel suo numeratore c'è il prodotto dei seni degli angoli adiacenti, e nel denominatore c'è il seno dell'angolo opposto. Ora calcoliamo l'area usando le seguenti formule:

Ad esempio, dato un triangolo di lato a=3 e angoli γ=60°, β=60°. Calcola il terzo angolo:
Sostituendo i dati nella formula
Otteniamo che l'area del triangolo è di 3,87 metri quadrati. cm.

II. Area di un triangolo in termini di coseno

Per trovare l'area di un triangolo, devi conoscere le lunghezze di tutti i lati. Con il teorema del coseno, puoi trovare lati sconosciuti e solo allora usare .
Secondo la legge dei coseni, il quadrato del lato sconosciuto di un triangolo è uguale alla somma dei quadrati dei restanti lati meno il doppio del prodotto di questi lati per il coseno dell'angolo compreso tra loro.

Dal teorema deriviamo formule per trovare la lunghezza del lato sconosciuto:

Sapendo come trovare il lato mancante, avendo due lati e l'angolo tra loro, puoi facilmente calcolare l'area. La formula per l'area di un triangolo in termini di coseno ti aiuta a trovare rapidamente e facilmente una soluzione a vari problemi.

Un esempio di calcolo della formula per l'area di un triangolo attraverso il coseno
Dato un triangolo di lati noti a = 3, b = 4 e angolo γ= 45°. Troviamo prima la parte mancante. Con. Per coseno 45°=0.7. Per fare ciò, sostituiamo i dati nell'equazione derivata dal teorema del coseno.
Ora usando la formula, troviamo