Come lavorare con il piano delle coordinate. "Piano delle coordinate" - video lezioni di matematica (voto 6)

I punti sono "registrati" - "residenti", ogni punto ha il suo "numero civico" - la sua coordinata. Se il punto viene preso in aereo, per la sua "registrazione" è necessario indicare non solo il "numero civico", ma anche il "numero dell'appartamento". Ricorda come questo è fatto.

Disegniamo due linee di coordinate reciprocamente perpendicolari e consideriamo il punto della loro intersezione, il punto O, come punto di partenza su entrambe le linee, quindi sul piano viene impostato un sistema di coordinate rettangolare (Fig. 20), che trasforma il solito aereo Coordinare. Il punto O è chiamato l'origine delle coordinate, le linee delle coordinate (asse x e y) sono chiamate assi delle coordinate e gli angoli retti formati dagli assi delle coordinate sono chiamati angoli delle coordinate. Gli angoli rettangolari delle coordinate sono numerati come mostrato nella Figura 20.

E ora passiamo alla Figura 21, che mostra un sistema di coordinate rettangolare e ha segnato il punto M. Tracciamo una linea retta attraverso di essa parallela all'asse y. La linea interseca l'asse x ad un certo punto, questo punto ha una coordinata - sull'asse x. Per il punto mostrato in Figura 21, questa coordinata è -1,5, è chiamata ascissa del punto M. Quindi, tracciamo una retta passante per il punto M parallela all'asse x. La linea interseca l'asse y ad un certo punto, questo punto ha una coordinata - sull'asse y.

Per il punto M, mostrato in Figura 21, questa coordinata è 2, si chiama ordinata del punto M. Si scrive brevemente così: M (-1.5; 2). L'ascissa è scritta in primo luogo, l'ordinata - nel secondo. Usano, se necessario, un'altra forma di notazione: x = -1.5; y = 2.

Nota 1 . In pratica, per trovare le coordinate del punto M, solitamente invece di rette parallele agli assi delle coordinate e passanti per il punto M, si costruiscono segmenti di queste linee dal punto M agli assi delle coordinate (Fig. 22).

Nota 2. Nella sezione precedente, abbiamo introdotto diverse notazioni per gli intervalli numerici. In particolare, come concordato, la notazione (3, 5) significa che sulla retta delle coordinate viene considerato un intervallo con estremità ai punti 3 e 5. In questa sezione, consideriamo una coppia di numeri come coordinate di un punto; per esempio, (3; 5) è un punto su piano delle coordinate con l'ascissa 3 e l'ordinata 5. Come è corretto determinare dalla notazione simbolica cosa c'è in gioco: sull'intervallo o sulle coordinate del punto? Il più delle volte questo è chiaro dal testo. E se non fosse chiaro? Presta attenzione a un dettaglio: abbiamo usato una virgola nella designazione dell'intervallo e un punto e virgola nella designazione delle coordinate. Questo, ovviamente, non è molto significativo, ma è comunque la differenza; lo applicheremo.

Dati i termini e la notazione introdotti, la linea di coordinate orizzontali è chiamata ascissa, o asse x, e la linea di coordinate verticale è chiamata asse y, o asse y. Le designazioni x, y vengono solitamente utilizzate quando si specifica un sistema di coordinate rettangolare sul piano (vedi Fig. 20) e spesso dicono questo: viene fornito il sistema di coordinate xOy. Tuttavia, ci sono altre designazioni: ad esempio, nella Figura 23, viene fornito il sistema di coordinate tOs.
Algoritmo per trovare le coordinate del punto M, dato nel sistema di coordinate rettangolare хОу

Questo è esattamente il modo in cui abbiamo agito, trovando le coordinate del punto M nella Figura 21. Se il punto M 1 (x; y) appartiene al primo angolo di coordinate, allora x\u003e 0, y\u003e 0; se il punto M 2 (x; y) appartiene al secondo angolo di coordinate, allora x< 0, у >0; se il punto M 3 (x; y) appartiene al terzo angolo di coordinate, allora x< О, у < 0; если точка М 4 (х; у) принадлежит четвертому координатному углу, то х >UO< 0 (рис. 24).

Ma cosa succede se il punto di cui devono essere trovate le coordinate si trova su uno degli assi delle coordinate? Sia il punto A sull'asse xe il punto B sull'asse y (Fig. 25). Non ha senso tracciare una linea retta parallela all'asse y attraverso il punto A e trovare il punto di intersezione di questa linea con l'asse x, poiché un tale punto di intersezione esiste già: questo è il punto A, la sua coordinata ( ascissa) è 3. Allo stesso modo, non è necessario disegnare attraverso il punto E la linea parallela all'asse x - questa linea è l'asse x stesso, che interseca l'asse y nel punto O con la coordinata ( ordinata) 0. Di conseguenza, per il punto A otteniamo A (3; 0). Allo stesso modo, per il punto B otteniamo B(0; - 1.5). E per il punto O abbiamo O(0; 0).

In generale, qualsiasi punto sull'asse x ha coordinate (x; 0) e qualsiasi punto sull'asse y ha coordinate (0; y)

Quindi, abbiamo discusso su come trovare le coordinate di un punto nel piano delle coordinate. Ma come risolvere il problema inverso, cioè come, date le coordinate, costruire il punto corrispondente? Per sviluppare un algoritmo, eseguiremo due argomenti ausiliari, ma allo stesso tempo importanti.

Prima discussione. Sia disegnato I nel sistema di coordinate xOy, parallelo all'asse y e intersecante l'asse x in un punto di coordinata (ascissa) 4

(Fig. 26). Ogni punto che giace su questa linea ha un'ascissa 4. Quindi, per i punti M 1, M 2, M 3 abbiamo M 1 (4; 3), M 2 (4; 6), M 3 (4; - 2). In altre parole, l'ascissa di qualsiasi punto M della retta soddisfa la condizione x \u003d 4. Dicono che x \u003d 4 - l'equazione la riga l o quella riga I soddisfa l'equazione x = 4.

La Figura 27 mostra le linee che soddisfano le equazioni x = - 4 (linea I 1), x = - 1
(retta I 2) x = 3,5 (retta I 3). E quale riga soddisfa l'equazione x = 0? Indovinato? asse y

Seconda discussione. Traccia una retta I nel sistema di coordinate xOy, parallela all'asse x e intersecante l'asse y in un punto di coordinata (ordinata) 3 (Fig. 28). Ogni punto che giace su questa retta ha un'ordinata di 3. Quindi, per i punti M 1, M 2, M 3 abbiamo: M 1 (0; 3), M 2 (4; 3), M 3 (- 2; 3 ). In altre parole, l'ordinata di qualsiasi punto M della linea I soddisfa la condizione y \u003d 3. Dicono che y \u003d 3 è l'equazione della linea I o che la linea I soddisfa l'equazione y \u003d 3.

La figura 29 mostra le linee che soddisfano le equazioni y \u003d - 4 (linea l 1), y \u003d - 1 (linea I 2), y \u003d 3.5 (linea I 3) - A quale linea soddisfa l'equazione y \u003d 01 Indovina? asse x.

Si noti che i matematici, cercando la brevità del discorso, dicono "una retta x = 4" e non "una retta che soddisfa l'equazione x = 4". Allo stesso modo, dicono "linea y = 3", non "linea che soddisfa y = 3". Faremo esattamente lo stesso. Torniamo ora alla Figura 21. Si noti che il punto M (- 1.5; 2), che è mostrato lì, è il punto di intersezione della linea x \u003d -1.5 e la linea y \u003d 2. Ora, a quanto pare , l'algoritmo per costruire il punto sarà chiaro in base alle coordinate date.

Algoritmo per costruire un punto M (a; b) in un sistema di coordinate rettangolare хОу

ESEMPIO Nel sistema di coordinate xOy, costruisci i punti: A (1; 3), B (- 2; 1), C (4; 0), D (0; - 3).

Soluzione. Il punto A è il punto di intersezione delle rette x = 1 e y = 3 (vedi Fig. 30).

Il punto B è il punto di intersezione delle rette x = - 2 e y = 1 (Fig. 30). Il punto C appartiene all'asse x e il punto D appartiene all'asse y (vedi Fig. 30).

In conclusione della sezione, notiamo che per la prima volta un sistema di coordinate rettangolare sul piano ha iniziato ad essere utilizzato attivamente per sostituire l'algebrico Modelli Il filosofo geometrico francese René Descartes (1596-1650). Pertanto, a volte si dice "sistema di coordinate cartesiane", "coordinate cartesiane".

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Un sistema di coordinate rettangolare su un piano è formato da due assi di coordinate tra loro perpendicolari X'X e Y'Y. Gli assi delle coordinate si intersecano nel punto O, chiamato origine delle coordinate, su ciascun asse viene scelta una direzione positiva La direzione positiva degli assi (nel sistema di coordinate destrorso) viene scelta in modo che quando l'asse X'X viene ruotato di 90° in senso antiorario, la sua direzione positiva coincide con la direzione positiva dell'asse Y'Y. I quattro angoli (I, II, III, IV) formati dagli assi delle coordinate X'X e Y'Y sono chiamati angoli delle coordinate (vedi Fig. 1).

La posizione del punto A sul piano è determinata da due coordinate xey. La coordinata x è uguale alla lunghezza del segmento OB, la coordinata y è la lunghezza del segmento OC nelle unità selezionate. I segmenti OB e OC sono definiti da linee tracciate dal punto A parallele rispettivamente agli assi Y'Y ​​e X'X. La coordinata x si chiama ascissa del punto A, la coordinata y si chiama ordinata del punto A. La scrivono in questo modo: A (x, y).

Se il punto A giace nell'angolo di coordinate I, allora il punto A ha ascissa e ordinata positive. Se il punto A giace nell'angolo di coordinate II, allora il punto A ha un'ascissa negativa e un'ordinata positiva. Se il punto A giace nell'angolo di coordinate III, allora il punto A ha ascissa e ordinata negative. Se il punto A giace nell'angolo di coordinate IV, allora il punto A ha un'ascissa positiva e un'ordinata negativa.

Sistema di coordinate rettangolari nello spazioè formato da tre assi coordinati tra loro perpendicolari OX, OY e OZ. Gli assi delle coordinate si intersecano nel punto O, che viene chiamato origine, su ogni asse viene scelta la direzione positiva indicata dalle frecce, e l'unità di misura dei segmenti sugli assi. Le unità di misura sono le stesse per tutti gli assi. OX - asse delle ascisse, OY - asse delle ordinate, OZ - asse applicato. La direzione positiva degli assi è scelta in modo che quando l'asse OX viene ruotato di 90° in senso antiorario, la sua direzione positiva coincida con la direzione positiva dell'asse OY, se questa rotazione è osservata dal lato della direzione positiva dell'asse OZ . Un tale sistema di coordinate è chiamato diritto. Se si prende il pollice della mano destra come direzione X, l'indice come direzione Y e il dito medio come direzione Z, allora si forma un sistema di coordinate destro. Dita simili della mano sinistra formano il sistema di coordinate sinistro. I sistemi di coordinate destro e sinistro non possono essere combinati in modo che gli assi corrispondenti coincidano (vedi Fig. 2).

La posizione del punto A nello spazio è determinata da tre coordinate x, yez. La coordinata x è uguale alla lunghezza del segmento OB, la coordinata y è uguale alla lunghezza del segmento OC, la coordinata z è la lunghezza del segmento OD nelle unità selezionate. I segmenti OB, OC e OD sono definiti da piani tracciati dal punto A paralleli rispettivamente ai piani YOZ, XOZ e XOY. La coordinata x si chiama ascissa del punto A, la coordinata y si chiama ordinata del punto A, la coordinata z si chiama applicata del punto A. La scrivono così: A (a, b, c).

Horts

Un sistema di coordinate rettangolare (di qualsiasi dimensione) è descritto anche da un insieme di orts , co-diretto con gli assi delle coordinate. Il numero di ort è uguale alla dimensione del sistema di coordinate e sono tutti perpendicolari tra loro.

Nel caso tridimensionale, tali vettori sono generalmente indicati io j K o e X e y e z. In questo caso, nel caso del sistema di coordinate corretto, valgono le seguenti formule con il prodotto vettoriale dei vettori:

• [io j]=K ;
• [j K]=io ;
• [K io]=j .

Storia

René Descartes è stato il primo a introdurre un sistema di coordinate rettangolare nel suo Discorso sul metodo nel 1637. Pertanto, il sistema di coordinate rettangolare è anche chiamato - Sistema di coordinate cartesiano. Il metodo delle coordinate per descrivere gli oggetti geometrici ha gettato le basi per la geometria analitica. Anche Pierre Fermat ha contribuito allo sviluppo del metodo delle coordinate, ma il suo lavoro è stato pubblicato per la prima volta dopo la sua morte. Cartesio e Fermat usavano il metodo delle coordinate solo sul piano.

Il metodo delle coordinate per lo spazio tridimensionale fu applicato per la prima volta da Leonhard Euler già nel 18° secolo.

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Se costruiamo due assi numerici tra loro perpendicolari su un piano: BUE e OY, quindi verranno chiamati assi coordinati. Asse orizzontale BUE chiamato asse x(asse X), Asse verticale OY - asse y(asse y).

Punto o, che sta all'intersezione degli assi, è chiamato origine. È il punto zero per entrambi gli assi. I numeri positivi vengono visualizzati sull'asse delle ascisse con punti a destra e sull'asse delle ordinate - punti in alto rispetto al punto zero. I numeri negativi sono rappresentati da punti a sinistra e in basso rispetto all'origine (punti o). Viene chiamato il piano su cui giacciono gli assi delle coordinate piano delle coordinate.

Gli assi delle coordinate dividono il piano in quattro parti chiamate quarti o quadranti. È consuetudine numerare questi quarti con numeri romani nell'ordine in cui sono numerati sul disegno.

Coordinate del punto sul piano

Se prendiamo un punto arbitrario sul piano delle coordinate UN e disegna perpendicolari da esso agli assi delle coordinate, quindi le basi delle perpendicolari giaceranno su due numeri. Viene chiamato il numero indicato dalla perpendicolare verticale punto delle ascisse UN. Il numero a cui punta la perpendicolare orizzontale è - ordinata del punto UN.

Sul disegno dell'ascissa del punto UNè 3 e l'ordinata è 5.

L'ascissa e l'ordinata sono dette coordinate di un dato punto sul piano.

Le coordinate del punto sono scritte tra parentesi a destra della designazione del punto. Si scrive prima l'ascissa, seguita dall'ordinata. Quindi registra UN(3; 5) significa che l'ascissa del punto UNè uguale a tre e l'ordinata è cinque.

Le coordinate di un punto sono numeri che ne determinano la posizione sul piano.

Se il punto giace sull'asse x, la sua ordinata è zero (ad esempio, il punto B con le coordinate -2 e 0). Se il punto giace sull'asse y, la sua ascissa è zero (ad esempio, il punto C con coordinate 0 e -4).

Origine - punto o- ha sia l'ascissa che l'ordinata uguali a zero: o (0; 0).

Questo sistema di coordinate viene chiamato rettangolare o cartesiano.

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introduzione

Nel discorso degli adulti, potresti sentire la seguente frase: "Lasciami le tue coordinate". Questa espressione significa che l'interlocutore deve lasciare il suo indirizzo o numero di telefono attraverso il quale può essere trovato. Quelli di voi che hanno giocato a "battaglia navale" hanno usato il sistema di coordinate appropriato. Un sistema di coordinate simile viene utilizzato negli scacchi. I posti nell'auditorium del cinema sono dati da due numeri: il primo numero indica il numero della fila, il secondo è il numero del posto in questa fila. L'idea di specificare la posizione di un punto su un piano usando i numeri è nata nell'antichità. Il sistema di coordinate permea l'intera vita pratica di una persona e ha un'enorme applicazione pratica. Pertanto, abbiamo deciso di creare questo progetto per ampliare le nostre conoscenze sull'argomento "Piano delle coordinate"

Obiettivi di progetto:

conoscere la storia dell'emergere di un sistema di coordinate rettangolari su un piano;

personalità di spicco che si occupano di questo argomento;

trovare fatti storici interessanti;

percepire bene le coordinate a orecchio; eseguire le costruzioni in modo chiaro e preciso;

preparare una presentazione.

Capitolo I. Piano delle coordinate

L'idea di impostare la posizione di un punto su un piano utilizzando i numeri è nata nell'antichità, principalmente tra astronomi e geografi durante la compilazione di mappe stellari e geografiche, calendari.

§uno. Origine delle coordinate. Sistema di coordinate in geografia

Per 200 anni aC, lo scienziato greco Ipparco introdusse le coordinate geografiche. Suggerì di tracciare paralleli e meridiani su una carta geografica e di contrassegnare la latitudine e la longitudine con numeri. Usando questi due numeri, puoi determinare con precisione la posizione di un'isola, un villaggio, una montagna o un pozzo nel deserto e metterli su una mappa o un globo.Imparando a determinare la latitudine e la longitudine della posizione della nave nel mondo aperto , i marinai potevano scegliere la direzione di cui avevano bisogno.

La longitudine est e la latitudine nord sono indicate da numeri con un segno più e la longitudine ovest e la latitudine sud sono indicate da segni meno. Pertanto, una coppia di numeri con segni definisce in modo univoco un punto sul globo.

Latitudine geografica? - l'angolo tra il filo a piombo in un dato punto e il piano dell'equatore, contato da 0 a 90 in entrambe le direzioni dall'equatore. Longitudine geografica? - l'angolo tra il piano del meridiano passante per il punto dato e il piano di inizio del meridiano (vedi meridiano di Greenwich). Le longitudini da 0 a 180 a est dell'inizio del meridiano sono chiamate orientali, a ovest - occidentali.

Per trovare qualche oggetto in città, nella maggior parte dei casi è sufficiente conoscerne l'indirizzo. Sorgono difficoltà se è necessario spiegare dove si trova, ad esempio, un cottage estivo, un posto nella foresta. Le coordinate geografiche servono come mezzo universale per specificare una posizione.

Quando si entra in un'emergenza, una persona deve prima di tutto essere in grado di navigare sul terreno. A volte è necessario determinare le coordinate geografiche della propria posizione, ad esempio per il trasferimento al servizio di soccorso o per altri scopi.

Nella navigazione moderna, il sistema di coordinate mondiali WGS-84 viene utilizzato come standard. Tutti i navigatori GPS e i principali progetti di mappatura su Internet funzionano in questo sistema di coordinate. Le coordinate nel sistema WGS-84 sono comunemente usate e comprese da tutti come il tempo universale. La precisione generalmente disponibile quando si lavora con le coordinate geografiche è di 5 - 10 metri a terra.

Le coordinate geografiche sono numeri con segno (latitudine da -90° a +90°, longitudine da -180° a +180°) e possono essere scritte in varie forme: in gradi (ddd.ddddd°); gradi e minuti (ddd° mm.mmm"); gradi, minuti e secondi (ddd° mm" ss.s"). I moduli di registrazione possono essere facilmente convertiti l'uno nell'altro (1 grado = 60 minuti, 1 minuto = 60 secondi) Per indicare il segno delle coordinate si usano spesso lettere, dal nome dei punti cardinali: N ed E - latitudine nord e longitudine est - numeri positivi, S e W - latitudine sud e longitudine ovest - numeri negativi.

La forma di scrittura delle coordinate in GRADI è la più comoda per l'inserimento manuale e coincide con la notazione matematica di un numero. La forma delle coordinate GRADI E MINUTI è il formato preferito in molti casi, è il formato predefinito nella maggior parte dei navigatori GPS ed è lo standard utilizzato in aviazione e in mare. La forma classica di scrittura delle coordinate in GRADI, MINUTI E SECONDI non trova molto utilità pratica.

§2. Sistema di coordinate in astronomia. Miti sulle costellazioni

Come accennato in precedenza, l'idea di impostare la posizione di un punto su un piano utilizzando i numeri è nata in tempi antichi tra gli astronomi durante la compilazione di mappe stellari. Le persone avevano bisogno di contare il tempo, prevedere i fenomeni stagionali (maree, maree, piogge stagionali, inondazioni), dovevano navigare il terreno durante il viaggio.

L'astronomia è la scienza delle stelle, dei pianeti, dei corpi celesti, della loro struttura e del loro sviluppo.

Sono passati migliaia di anni, la scienza è andata molto avanti e una persona non riesce ancora a strappare il suo sguardo ammirato dalla bellezza del cielo notturno.

Le costellazioni sono sezioni del cielo stellato, figure caratteristiche formate da stelle luminose. L'intero cielo è diviso in 88 costellazioni, che facilitano la navigazione tra le stelle. La maggior parte dei nomi delle costellazioni provengono dall'antichità.

La costellazione più famosa è l'Orsa Maggiore. Nell'antico Egitto era chiamato "ippopotamo" e i kazaki lo chiamavano "cavallo al guinzaglio", sebbene esternamente la costellazione non assomigli a nessuno oa un altro animale. Che cos'è?

Gli antichi greci avevano una leggenda sulle costellazioni dell'Orsa Maggiore e dell'Orsa Minore. L'onnipotente dio Zeus decise di sposare la bella ninfa Calisto, una delle serva della dea Afrodite, contro la volontà di quest'ultima. Per salvare Calisto dalla persecuzione della dea, Zeus trasformò Calisto nell'Orsa Maggiore, il suo amato cane nell'Orsa Minore e li portò in paradiso. Trasferisci le costellazioni dell'Orsa Maggiore e dell'Orsa Minore dal cielo stellato al piano delle coordinate. . Ciascuna delle stelle dell'Orsa Maggiore Bucket ha il suo nome.

IL GRANDE ORSO

Lo riconosco dal SECCHIO!

Sette stelle brillano qui

Ed ecco come si chiamano:

DUBHE illumina le tenebre,

MERAK brucia accanto a lui,

A lato c'è FEKDA con MEGRETS,

Un giovane sfacciato.

Da Megrets per la partenza

ALIOT si trova,

E dietro di lui - MITSAR con ALCOR

(Questi due brillano in coro).

Chiude il nostro secchio

BENETNASH incomparabile.

Indica l'occhio

Il percorso verso la costellazione STIVALI,

Dove brilla il bellissimo ARCTUR,

Tutti lo noteranno ora!

Non meno bella leggenda sulle costellazioni di Cefeo, Cassiopea e Andromeda.

L'Etiopia era una volta governata dal re Cefeo. Un tempo sua moglie, la regina Cassiopea, ebbe l'imprudenza di vantarsi della sua bellezza davanti agli abitanti del mare: le Nereidi. Quest'ultimo, offeso, si lamentò con il dio del mare, Poseidone, e il sovrano dei mari, infuriato dall'audacia di Cassiopea, liberò un mostro marino, Kita, sulle coste dell'Etiopia. Per salvare il suo regno dalla distruzione, Cefeo, su consiglio dell'oracolo, decise di sacrificare al mostro e di dargli da mangiare la sua amata figlia Andromeda. Incatenò Andromeda a una roccia costiera e la lasciò in attesa della decisione del suo destino.

Nel frattempo, dall'altra parte del mondo, il mitico eroe Perseo ha compiuto un'impresa audace. È penetrato in un'isola appartata dove vivevano le gorgoni: incredibili mostri sotto forma di donne con serpenti sulla testa invece dei capelli. Lo sguardo delle gorgoni era così terribile che tutti quelli che guardavano si trasformarono all'istante in pietra.

Approfittando del sonno di questi mostri, Perseo tagliò la testa a uno di loro, la Gorgone Medusa. In quel momento, il cavallo Pegaso svolazzò fuori dal corpo mozzato di Medusa. Perseo afferrò la testa di una medusa, saltò su Pegaso e si precipitò in aria verso la sua terra natale. Quando ha sorvolato l'Etiopia, ha visto Andromeda incatenato a una roccia. In questo momento la Balena è già emersa dalle profondità del mare, preparandosi a ingoiare la sua preda. Ma Perseo, precipitandosi in una battaglia mortale con Keith, sconfisse il mostro. Mostrò a Keith la testa di una medusa che non aveva ancora perso la sua forza, e il mostro pietrificato, trasformandosi in un'isola. Quanto a Perseo, dopo aver liberato Andromeda, la restituì a suo padre, e Cefeo, commosso dalla felicità, diede Andromeda in moglie a Perseo. Quindi questa storia finì felicemente, i cui personaggi principali furono collocati dagli antichi greci in paradiso.

Sulla mappa stellare puoi trovare non solo Andromeda con suo padre, sua madre e suo marito, ma anche il cavallo magico Pegasus e il colpevole di tutti i problemi: il mostro Kita.

La costellazione del Ceto si trova sotto Pegaso e Andromeda. Purtroppo non è contrassegnata da nessuna caratteristica stella luminosa e quindi appartiene al numero delle costellazioni minori.

§3. Utilizzando l'idea delle coordinate rettangolari nella pittura.

Tracce dell'applicazione dell'idea di coordinate rettangolari sotto forma di una griglia quadrata (pallet) sono raffigurate sul muro di una delle camere funerarie dell'antico Egitto. Nella camera funeraria della piramide del padre di Ramses, c'è una rete di quadrati sul muro. Con il loro aiuto, l'immagine è stata trasferita in una forma ingrandita. Le griglie rettangolari furono utilizzate anche dagli artisti del Rinascimento.

La parola "prospettiva" in latino significa "vedere chiaramente". Nelle arti visive, la prospettiva lineare è la rappresentazione di oggetti su un piano secondo apparenti cambiamenti nella loro dimensione. Le basi della moderna teoria della prospettiva furono poste dai grandi artisti del Rinascimento: Leonardo da Vinci, Albrecht Dürer e altri. Una delle incisioni di Dürer (Fig. 3) mostra un metodo per disegnare dal vero attraverso il vetro con una griglia quadrata applicata su di esso. Questo processo può essere descritto come segue: se ti trovi davanti alla finestra e, senza cambiare il tuo punto di vista, cerchi tutto ciò che è visibile dietro di essa sul vetro, il disegno risultante sarà un'immagine prospettica dello spazio.

Metodi di progettazione egiziani che sembrano essere stati basati su schemi a griglia quadrata. Ci sono numerosi esempi nell'arte egizia che mostrano che pittori e scultori disegnarono prima una griglia sul muro, che doveva essere dipinta o scolpita per mantenere le proporzioni stabilite. Le semplici relazioni numeriche di queste griglie sono al centro di tutte le grandi opere artistiche degli egizi.

Lo stesso metodo è stato utilizzato da molti artisti del Rinascimento, tra cui Leonardo da Vinci. Nell'antico Egitto, questo era incarnato nella Grande Piramide, che è rafforzata dalla sua stretta connessione con il modello su Marlborough Down.

Entrando al lavoro, l'artista egiziano ha disegnato una griglia di linee rette sulla parete e poi ha trasferito con cura le figure su di essa. Ma l'ordine geometrico non gli ha impedito di ricreare la natura con precisione dettagliata. L'aspetto di ogni pesce, ogni uccello è trasmesso con tale veridicità che gli zoologi moderni possono facilmente determinare la loro specie. La figura 4 mostra un dettaglio della composizione dell'illustrazione: un albero con uccelli catturati nella rete di Khnumhotep. Il movimento della mano dell'artista era guidato non solo dalle riserve delle sue abilità, ma anche da un occhio sensibile ai contorni della natura.

Fig.4 Uccelli su acacia

Capitolo II. Metodo delle coordinate in matematica

§uno. Applicazione delle coordinate in matematica. Meriti

Il matematico francese René Descartes

Per molto tempo solo la "descrizione del terreno" della geografia ha utilizzato questa meravigliosa invenzione e solo nel XIV secolo il matematico francese Nicolas Orem (1323-1382) ha cercato di applicarla alla "misurazione del terreno" - la geometria. Propose di coprire il piano con una griglia rettangolare e di chiamare latitudine e longitudine ciò che ora chiamiamo ascissa e ordinata.

Sulla base di questa innovazione di successo, è nato il metodo delle coordinate, che collega la geometria con l'algebra. Il merito principale nella creazione di questo metodo appartiene al grande matematico francese René Descartes (1596 - 1650). In suo onore, un tale sistema di coordinate è chiamato cartesiano, indicando la posizione di qualsiasi punto nel piano in base alle distanze da questo punto alla "latitudine zero" - l'asse delle ascisse "e al "meridiano zero" - l'asse delle ordinate.

Tuttavia, questo brillante scienziato e pensatore francese del XVII secolo (1596 - 1650) non trovò immediatamente il suo posto nella vita. Nato in una famiglia nobile, Cartesio ricevette una buona educazione. Nel 1606 suo padre lo mandò al Collegio dei Gesuiti di La Fleche. Data la salute non molto buona di Cartesio, gli furono fatte alcune indulgenze nel rigido regime di questa istituzione educativa, ad esempio gli fu permesso di alzarsi più tardi degli altri. Avendo acquisito molte conoscenze nel collegio, Cartesio allo stesso tempo fu intriso di un'antipatia per la filosofia scolastica, che mantenne per tutta la vita.

Dopo essersi diplomato al college, Cartesio ha continuato la sua formazione. Nel 1616, all'Università di Poitiers, conseguì la laurea in giurisprudenza. Nel 1617 Cartesio si arruolò nell'esercito e viaggiò molto in Europa.

Il 1619 si rivelò scientificamente un anno chiave per Cartesio.

Fu in questo momento, come scrisse lui stesso nel suo diario, che gli furono rivelate le basi di una nuova “scienza sorprendente”. Molto probabilmente, Cartesio aveva in mente la scoperta di un metodo scientifico universale, che in seguito applicò fruttuosamente in una varietà di discipline.

Negli anni '20 del Seicento Cartesio incontrò il matematico M. Mersenne, attraverso il quale “mantenne per molti anni i contatti” con l'intera comunità scientifica europea.

Nel 1628 Cartesio si stabilì nei Paesi Bassi per più di 15 anni, ma non si stabilì in nessun luogo, ma cambiò il suo luogo di residenza circa due dozzine di volte.

Nel 1633, avendo appreso della condanna di Galileo da parte della chiesa, Descartes rifiuta di pubblicare l'opera filosofica naturale Il mondo, che delineava le idee dell'origine naturale dell'universo secondo le leggi meccaniche della materia.

Nel 1637 fu pubblicato in francese il Discorso sul metodo di Cartesio, con il quale, come molti credono, iniziò la moderna filosofia europea.

Anche l'ultima opera filosofica di Cartesio, Le passioni dell'anima, pubblicata nel 1649, ebbe una grande influenza sul pensiero europeo. Nello stesso anno, su invito della regina di Svezia Cristina, Cartesio si recò in Svezia. Il clima rigido e il regime insolito (la regina costrinse Descartes ad alzarsi alle 5 del mattino per darle lezioni e svolgere altri compiti) minano la salute di Descartes e, preso un raffreddore,

morto di polmonite.

Secondo la tradizione introdotta da Cartesio, la "latitudine" di un punto è indicata dalla lettera x, "longitudine" - dalla lettera y

Molti modi per specificare un luogo si basano su questo sistema.

Ad esempio, ci sono due numeri su un biglietto per un cinema: una fila e un posto - possono essere considerati come le coordinate di un posto in sala.

Coordinate simili sono accettate negli scacchi. Invece di uno dei numeri, viene presa una lettera: le file verticali di celle sono indicate da lettere dell'alfabeto latino e le righe orizzontali da numeri. Pertanto, a ciascuna cella della scacchiera viene assegnata una coppia di lettere e numeri e i giocatori di scacchi hanno l'opportunità di annotare le loro partite. Konstantin Simonov scrive dell'uso delle coordinate nella sua poesia "Il figlio di un artigliere".

Tutta la notte, camminando come un pendolo

Il maggiore non chiuse gli occhi,

Mentre alla radio al mattino

Il primo segnale è arrivato:

"Va tutto bene, capito,

I tedeschi mi hanno lasciato

Coordinate (3;10),

Piuttosto, diamo fuoco!

Le pistole erano cariche

Il maggiore ha calcolato tutto da solo.

E con un ruggito le prime raffiche

Hanno colpito le montagne.

E ancora il segnale alla radio:

"I tedeschi mi danno ragione,

Coordinate (5; 10),

Più fuoco!

Terra e rocce volarono

Si alzò una colonna di fumo.

Sembrava che ora da lì

Nessuno ne esce vivo.

Il terzo segnale alla radio:

"Tedeschi intorno a me,

Coordinate (4; 10),

Non risparmiare il fuoco.

Il maggiore impallidì quando sentì:

(4;10) - giusto

Il luogo dove la sua Lyonka

Devo sedermi ora.

Konstantin Simonov "Figlio di un artigliere"

§2. Leggende sull'invenzione del sistema di coordinate

Esistono diverse leggende sull'invenzione del sistema di coordinate che porta il nome di Cartesio.

Legenda 1

Una storia del genere è giunta ai nostri giorni.

Visitando i teatri parigini, Cartesio non si stancava mai di essere sorpreso dalla confusione, dai litigi e talvolta dalle sfide a duello causate dalla mancanza di un elementare ordine di distribuzione del pubblico nell'auditorium. Il sistema di numerazione da lui proposto, in cui ogni luogo riceveva un numero di riga e un numero di serie dal bordo, rimosse immediatamente tutte le occasioni di contesa e fece colpo nell'alta società parigina.

Legend2. Una volta René Descartes rimase a letto tutto il giorno, pensando a qualcosa, e una mosca ronzava intorno e non gli permetteva di concentrarsi. Cominciò a pensare a come descrivere matematicamente la posizione della mosca in un dato momento in modo da poterla schiacciare senza sbagliare. E... escogitò le coordinate cartesiane, una delle più grandi invenzioni nella storia dell'umanità.

Markovev Yu.

C'era una volta in una città sconosciuta

Arrivò il giovane Cartesio.

Era terribilmente affamato.

Era un freddo mese di marzo.

Ha deciso di rivolgersi a un passante

Descartes, cercando di calmare il tremore:

Dov'è l'hotel, per favore?

E la signora cominciò a spiegare:

- Vai al caseificio

Poi alla panetteria, dietro

Gypsy vende spille

E veleno per topi e topi,

Trovali di sicuro

Formaggi, biscotti, frutta

E sete colorate...

Ho ascoltato tutte queste spiegazioni

Cartesio, tremante per il freddo.

Voleva davvero mangiare

- Dietro i negozi c'è una farmacia

(il farmacista è uno svedese baffuto),

E la chiesa, dove all'inizio del sec

Sposato, a quanto pare, mio ​​nonno...

Quando la signora tacque per un momento,

Improvvisamente il suo servo disse:

- Cammina per tre isolati dritto

E due a destra. Ingresso dall'angolo.

Questa è la terza grande storia sull'evento che ha dato a Cartesio l'idea delle coordinate.

Conclusione

Durante la creazione del nostro progetto, abbiamo appreso l'uso del piano delle coordinate in vari campi della scienza e della vita quotidiana, alcune informazioni dalla storia dell'origine del piano delle coordinate e dai matematici che hanno dato un grande contributo a questa invenzione. Il materiale che abbiamo raccolto nel corso della stesura del lavoro può essere utilizzato in aula come materiale aggiuntivo per le lezioni. Tutto ciò può interessare gli studenti e illuminare il processo di apprendimento.

E vorremmo concludere con queste parole:

“Immagina la tua vita come un piano di coordinate. L'asse y è la tua posizione nella società. L'asse x si sta muovendo in avanti, verso l'obiettivo, verso il tuo sogno. E come sappiamo, è infinito... possiamo cadere, andando sempre più in profondità nel meno, possiamo rimanere a zero e non fare niente, assolutamente niente. Possiamo alzarci, possiamo cadere, possiamo andare avanti o tornare indietro, e tutto perché tutta la nostra vita è un piano di coordinate e la cosa più importante qui è qual è la tua coordinata ... "

Bibliografia

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Lyatker Ya. A. Cartesio. M.: Il pensiero, 1975. - (Pensatori del passato)

Matvievskaya GP René Descartes, 1596-1650. Mosca: Nauka, 1976.

A. Savin. Coordinate quantistico. 1977. N. 9

Matematica - supplemento al quotidiano "Il primo di settembre", n. 7, n. 20, n. 17, 2003, n. 11, 2000.

Siegel F.Yu. Alfabeto stellato: una guida per gli studenti. - M.: Illuminismo, 1981. - 191 p., Illus.

Steve Parker, Nicholas Harris. Enciclopedia illustrata per bambini. Segreti dell'universo. Kharkov Belgorod. 2008

Materiali dal sito http://istina.rin.ru/

L'argomento di questa video lezione: Piano delle coordinate.

Obiettivi e obiettivi della lezione:

Conoscenza sistema di coordinate rettangolari sul piano
- impara a navigare liberamente sul piano delle coordinate
- costruire punti in base alle coordinate date
- determinare le coordinate di un punto segnato sul piano delle coordinate
- percepire bene le coordinate a orecchio
- eseguire in modo accurato e accurato costruzioni geometriche
- sviluppo delle capacità creative
- aumentare l'interesse per l'argomento

Il termine " coordinate"Derivato dalla parola latina -" ordinato "

Per indicare la posizione di un punto su un piano si prendono due rette perpendicolari X e Y.

Asse X - ascissa
Asse Y asse y
Punto O - origine

Viene chiamato il piano su cui è dato il sistema di coordinate piano delle coordinate.

Ogni punto M sul piano delle coordinate corrisponde a una coppia di numeri: la sua ascissa e l'ordinata. Al contrario, ogni coppia di numeri corrisponde a un punto del piano per il quale questi numeri sono coordinate.

Esempi considerati:

• costruendo un punto in base alle sue coordinate
• trovare le coordinate di un punto situato sul piano delle coordinate

Alcune informazioni aggiuntive:

L'idea di fissare la posizione di un punto su un piano è nata nell'antichità, principalmente tra gli astronomi. Nel II sec. L'antico astronomo greco Claudio Tolomeo usava la latitudine e la longitudine come coordinate. Una descrizione dell'uso delle coordinate è stata data nel libro "Geometria" nel 1637.

La descrizione dell'uso delle coordinate è stata data nel libro "Geometria" nel 1637 dal matematico francese René Descartes, quindi il sistema di coordinate rettangolare è spesso chiamato cartesiano.

Le parole " ascissa», « ordinato», « coordinate» iniziò ad utilizzare per la prima volta alla fine del XVII.

Per una migliore comprensione del piano delle coordinate, immaginiamo che ci venga dato: un globo geografico, una scacchiera, un biglietto del teatro.

Per determinare la posizione di un punto sulla superficie terrestre, è necessario conoscere la longitudine e la latitudine.
Per determinare la posizione di un pezzo su una scacchiera, è necessario conoscere due coordinate, ad esempio: e3.
I posti nell'auditorium sono determinati da due coordinate: fila e posto.

Compito aggiuntivo.

Dopo aver studiato la videolezione, per consolidare il materiale, ti consiglio di prendere una penna e un pezzo di carta in una scatola, disegnare un piano di coordinate e costruire delle forme secondo le coordinate date:

Fungo
1) (6; 0), (6; 2), (5; 1,5), (4; 3), (2; 1), (0; 2,5), (- 1,5; 1,5), (- 2; 5), (- 3; 0,5), (- 4; 2), (- 4; 0).
2) (2; 1), (2,2; 2), (2,3; 4), (2,5; 6), (2,3; 8), (2; 10), (6; 10), (4,8; 12), (3; 13,3), (1; 14),
(0; 14), (- 2; 13,3), (- 3,8; 12), (- 5; 10), (2; 10).
3) (- 1; 10), (- 1,3; 8), (- 1,5; 6), (- 1,2; 4), (- 0,8;2).
piccolo topo 1) (3; - 4), (3; - 1), (2; 3), (2; 5), (3; 6), (3; 8), (2; 9), (1; 9), (- 1; 7), (- 1; 6),
(- 4; 4), (- 2; 3), (- 1; 3), (- 1; 1), (- 2; 1), (-2; - 1), (- 1; 0), (- 1; - 4), (- 2; - 4),
(- 2; - 6), (- 3; - 6), (- 3; - 7), (- 1; - 7), (- 1; - 5), (1; - 5), (1; - 6), (3; - 6), (3; - 7),
(4; - 7), (4; - 5), (2; - 5), (3; - 4).
2) Coda: (3; - 3), (5; - 3), (5; 3).
3) Occhio: (- 1; 5).
cigno
1) (2; 7), (0; 5), (- 2; 7), (0; 8), (2; 7), (- 4; - 3), (4; 0), (11; - 2), (9; - 2), (11; - 3),
(9; - 3), (5; - 7), (- 4; - 3).
2) Becco: (- 4; 8), (- 2; 7), (- 4; 6).
3) Ala: (1; - 3), (4; - 2), (7; - 3), (4; - 5), (1; - 3).
4) Occhio: (0; 7).
Cammello
1) (- 9; 6), (- 5; 9), (- 5; 10), (- 4; 10), (- 4; 4), (- 3; 4), (0; 7), (2; 4), (4; 7), (7; 4),
(9; 3), (9; 1), (8; - 1), (8; 1), (7; 1), (7; - 7), (6; - 7), (6; - 2), (4; - 1), (- 5; - 1), (- 5; - 7),
(- 6; - 7), (- 6; 5), (- 7;5), (- 8; 4), (- 9; 4), (- 9; 6).
2) Occhio: (- 6; 7).
Elefante
1) (2; - 3), (2; - 2), (4; - 2), (4; - 1), (3; 1), (2; 1), (1; 2), (0; 0), (- 3; 2), (- 4; 5),
(0; 8), (2; 7), (6; 7), (8; 8), (10; 6), (10; 2), (7; 0), (6; 2), (6; - 2), (5; - 3), (2; - 3).
2) (4; - 3), (4; - 5), (3; - 9), (0; - 8), (1; - 5), (1; - 4), (0; - 4), (0; - 9), (- 3; - 9),
(- 3; - 3), (- 7; - 3), (- 7; - 7), (- 8; - 7), (- 8; - 8), (- 11; - 8), (- 10; - 4), (- 11; - 1),
(- 14; - 3), (- 12; - 1), (- 11;2), (- 8;4), (- 4;5).
3) Occhi: (2; 4), (6; 4).
Cavallo
1) (14; - 3), (6,5; 0), (4; 7), (2; 9), (3; 11), (3; 13), (0; 10), (- 2; 10), (- 8; 5,5),
(- 8; 3), (- 7; 2), (- 5; 3), (- 5; 4,5), (0; 4), (- 2; 0), (- 2; - 3), (- 5; - 1), (- 7; - 2),
(- 5; - 10), (- 2; - 11), (- 2; - 8,5), (- 4; - 8), (- 4; - 4), (0; - 7,5), (3; - 5).
2) Occhio: (- 2; 7).