Se 2 sono paralleli. Rette parallele, segni e condizioni per le rette parallele

Segni di parallelismo di due rette

Teorema 1. Se, quando due rette si intersecano con una secante:

gli angoli incrociati sono uguali, o

gli angoli corrispondenti sono uguali, o

la somma degli angoli unilaterali è quindi 180°

le linee sono parallele(Fig. 1).

Prova. Ci limitiamo a dimostrare il caso 1.

Le rette che si intersecano a e b siano trasversali e gli angoli AB siano uguali. Ad esempio, ∠ 4 = ∠ 6. Dimostriamo che a || B.

Supponiamo che le linee a e b non siano parallele. Poi si intersecano in un punto M e, quindi, uno degli angoli 4 o 6 sarà l'angolo esterno del triangolo ABM. Per chiarezza, sia ∠ 4 l'angolo esterno del triangolo ABM, e ∠ 6 quello interno. Dal teorema sull'angolo esterno di un triangolo segue che ∠ 4 è maggiore di ∠ 6, e questo contraddice la condizione, il che significa che le rette a e 6 non possono intersecarsi, quindi sono parallele.

Corollario 1. Due rette diverse su un piano perpendicolare alla stessa retta sono parallele(Fig. 2).

Commento. Il modo in cui abbiamo appena dimostrato il caso 1 del Teorema 1 è chiamato metodo di dimostrazione per contraddizione o riduzione all'assurdo. Questo metodo ha ricevuto il suo nome perché all'inizio dell'argomentazione si fa un presupposto contrario a ciò che deve essere dimostrato. Si chiama portare all'assurdo per il fatto che, ragionando sulla base del presupposto fatto, si arriva ad una conclusione assurda (all'assurdo). Ricevere una simile conclusione ci costringe a rifiutare l'ipotesi fatta all'inizio e ad accettare quella che doveva essere dimostrata.

Compito 1. Costruisci una retta passante per un dato punto M e parallela ad una data retta a, non passante per il punto M.

Soluzione. Tracciamo una linea retta p attraverso il punto M perpendicolare alla linea retta a (Fig. 3).

Quindi tracciamo una linea b passante per il punto M perpendicolare alla linea p. La linea b è parallela alla linea a secondo il corollario del Teorema 1.

Dal problema considerato consegue un’importante conclusione:
per un punto che non giace su una retta data è sempre possibile tracciare una retta parallela a quella data.

La proprietà principale delle rette parallele è la seguente.

Assioma delle rette parallele. Per un punto dato che non giace su una retta data passa una sola retta parallela a quella data.

Consideriamo alcune proprietà delle rette parallele che seguono da questo assioma.

1) Se una linea interseca una di due linee parallele, allora interseca anche l'altra (Fig. 4).

2) Se due linee diverse sono parallele ad una terza linea, allora sono parallele (Fig. 5).

Vale anche il seguente teorema.

Teorema 2. Se due rette parallele sono intersecate da una trasversale, allora:

gli angoli trasversali sono uguali;

gli angoli corrispondenti sono uguali;

la somma degli angoli unilaterali è 180°.

Corollario 2. Se una retta è perpendicolare ad una delle due rette parallele allora è perpendicolare anche all'altra(vedi Fig. 2).

Commento. Il Teorema 2 è chiamato l'inverso del Teorema 1. La conclusione del Teorema 1 è la condizione del Teorema 2. E la condizione del Teorema 1 è la conclusione del Teorema 2. Non tutti i teoremi hanno un inverso, cioè se un dato teorema è vero, allora il teorema inverso potrebbe essere falso.

Spieghiamolo usando l'esempio del teorema sugli angoli verticali. Questo teorema può essere formulato come segue: se due angoli sono verticali, allora sono uguali. Il teorema inverso sarebbe: se due angoli sono uguali, allora sono verticali. E questo, ovviamente, non è vero. Due angoli uguali non devono essere verticali.

Esempio 1. Due rette parallele sono intersecate da una terza. È noto che la differenza tra due angoli interni unilaterali è 30°. Trova questi angoli.

Soluzione. Lascia che la Figura 6 soddisfi la condizione.

CAPITOLO III.
PARALLELO DIRETTO

§ 38. DIPENDENZA TRA ANGOLI,
FORMATO DA DUE LINEE PARALLELE ED UNA SECONDARIA.

Sappiamo che due rette sono parallele se, quando intersecano una terza retta, gli angoli corrispondenti sono uguali, oppure gli angoli interni o esterni giacenti trasversalmente sono uguali, oppure la somma degli angoli interni, oppure la somma degli angoli unilaterali esterni è uguale a 2 D. Dimostriamo che sono veri anche i teoremi inversi e cioè:

Se due rette parallele sono intersecate da una terza, allora:

1) gli angoli corrispondenti sono uguali;
2) gli angoli trasversali interni sono uguali;
3) gli angoli trasversali esterni sono uguali;
4) la somma degli angoli interni unilaterali è uguale a 2 D ;
5) la somma degli angoli esterni unilaterali è uguale a 2 D .

Dimostriamo, ad esempio, che se due rette parallele sono intersecate da una terza retta, allora gli angoli corrispondenti sono uguali.

Siano parallele le rette AB e CD, e MN la loro secante (fig. 202). Dimostriamo che i corrispondenti angoli 1 e 2 sono uguali tra loro.

Supponiamolo / 1 e / 2 non sono uguali. Allora nel punto O possiamo costruire / CIO, corrispondente e uguale / 2 (disegno 203).

Ma se / MOQ = / 2, la linea retta OK sarà parallela a CD (§ 35).

Abbiamo trovato che per il punto O, parallelo alla retta CD, passano due rette AB e OK. Ma ciò non può essere (§ 37).

Siamo arrivati ​​a una contraddizione perché lo abbiamo presupposto / 1 e / 2 non sono uguali. Pertanto, la nostra ipotesi è errata e / 1 deve essere uguale / 2, cioè gli angoli corrispondenti sono uguali.

Stabiliamo le relazioni tra gli angoli rimanenti. Siano parallele le rette AB e CD, e la loro secante MN (fig. 204).

Abbiamo appena dimostrato che in questo caso gli angoli corrispondenti sono uguali. Supponiamo che due di essi abbiano 119° ciascuno. Calcoliamo la dimensione di ciascuno degli altri sei angoli. Basandosi sulle proprietà degli angoli adiacenti e verticali, troviamo che quattro degli otto angoli avranno 119° ciascuno, e il resto avrà 61° ciascuno.

Si è scoperto che sia gli angoli trasversali interni che quelli esterni sono uguali a coppie e la somma degli angoli unilaterali interni o esterni è uguale a 180° (o 2 D).

Lo stesso avverrà per qualunque altro valore di angoli corrispondenti uguali.

Corollario 1. Se ciascuna delle due rette AB e CD è parallela alla stessa terza retta MN, allora le prime due rette sono parallele tra loro (disegno 205).

Infatti, tracciando la secante EF (Fig. 206), otteniamo:
UN) / 1 = / 3, poiché AB || MN; B) / 2 = / 3, poiché CO || MN.

Significa, / 1 = / 2, e questi sono gli angoli corrispondenti alle rette AB e CD e alla secante EF, quindi le rette AB e CD sono parallele.

Corollario 2. Se una retta è perpendicolare ad una delle due rette parallele allora è perpendicolare anche all'altra (disegno 207).

Infatti, se EF _|_ AB, allora / 1 = D; se AB || CD, quindi / 1 = / 2.

Quindi, / 2 = D cioè EF _|_ CD .

1) Se, quando due rette si intersecano con una trasversale, gli angoli di giacitura sono uguali, allora le rette sono parallele.

2) Se, quando due rette si intersecano con una trasversale, gli angoli corrispondenti sono uguali, allora le rette sono parallele.

3) Se, quando due rette si intersecano con una trasversale, la somma degli angoli unilaterali è pari a 180°, allora le rette sono parallele.

3. Per un punto che non giace su una retta data passa una sola retta parallela a quella data.

4 Se una linea interseca una di due rette parallele, allora interseca anche l'altra.

5. Se due rette sono parallele ad una terza retta allora sono parallele.

Proprietà delle rette parallele

1) Se due rette parallele sono intersecate da una trasversale, gli angoli che si intersecano sono uguali.

2) Se due rette parallele vengono intersecate da una trasversale allora gli angoli corrispondenti sono uguali.

3) Se due rette parallele vengono intersecate da una trasversale, la somma degli angoli unilaterali è 180°.

7. Se una retta è perpendicolare ad una delle due rette parallele allora è perpendicolare anche all'altra.

8. Risolvere un sistema di due equazioni con due Una tale coppia di numeri è detta sconosciuta X E A , che, quando sostituite in questo sistema, trasformano ciascuna delle sue equazioni in un'uguaglianza numerica corretta.

9.Risolvere il sistema di equazioni- significa trovare tutte le sue soluzioni o constatare che non ce ne sono.

1. Metodi per risolvere un sistema di equazioni:

a) sostituzione

b) addizione;

c) grafico.

10. La somma degli angoli di un triangolo è 180°.

11.Angolo esterno di un triangolo è un angolo adiacente a un angolo di questo triangolo.

Un angolo esterno di un triangolo è uguale alla somma di due angoli del triangolo non adiacenti ad esso.

12. In ogni triangolo, o tutti gli angoli sono acuti, oppure due angoli sono acuti e il terzo è ottuso o dritto.

13Se tutti e tre gli angoli di un triangolo sono acuti, allora si chiama triangolo ad angolo acuto.

14.Se uno degli angoli di un triangolo è ottuso, allora si chiama triangolo ad angolo ottuso.

15. Se uno degli angoli di un triangolo è retto, allora si chiama triangolo rettangolare.

16. Si chiama il lato di un triangolo rettangolo opposto all'angolo retto ipotenusa, e gli altri due lati lo sono gambe.

17. In un triangolo: 1) l'angolo maggiore è opposto al lato maggiore; 2) dietro, il lato più grande è opposto all'angolo più grande.

18. In un triangolo rettangolo, l'ipotenusa è più lunga della gamba.

19. Se due angoli di un triangolo sono uguali, allora il triangolo è isoscele (segno di un triangolo isoscele).

20. Ciascun lato di un triangolo è minore della somma degli altri due lati.

21 La somma di due angoli acuti di un triangolo rettangolo è 90°.

22. Un cateto di un triangolo rettangolo opposto ad un angolo di 30° è uguale alla metà dell'ipotenusa.

Segni di uguaglianza dei triangoli rettangoli: 1) su due lati; 2) lungo l'ipotenusa e l'angolo acuto; 3) lungo l'ipotenusa e la gamba; 4) lungo la gamba e l'angolo acuto

La lunghezza di una perpendicolare tracciata da un punto a una linea si chiama distanza da questo punto alla linea.

In questo articolo parleremo di rette parallele, forniremo definizioni e delineeremo i segni e le condizioni del parallelismo. Per rendere più chiaro il materiale teorico, utilizzeremo illustrazioni e soluzioni di esempi tipici.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definizione 1

Rette parallele su un piano– due rette su un piano che non hanno punti in comune.

Definizione 2

Rette parallele nello spazio tridimensionale– due rette nello spazio tridimensionale, che giacciono sullo stesso piano e non hanno punti in comune.

È necessario notare che per determinare le rette parallele nello spazio è estremamente importante la precisazione “giacenti sullo stesso piano”: due rette nello spazio tridimensionale che non hanno punti in comune e non giacciono sullo stesso piano non sono parallele , ma intersecanti.

Per indicare linee parallele è uso comune utilizzare il simbolo ∥. Cioè, se le linee aeb sono parallele, questa condizione dovrebbe essere scritta brevemente come segue: a ‖ b. Verbalmente, il parallelismo delle linee è indicato come segue: le linee aeb sono parallele, oppure la linea a è parallela alla linea b, oppure la linea b è parallela alla linea a.

Formuliamo un'affermazione che gioca un ruolo importante nell'argomento in studio.

Assioma

Per un punto non appartenente ad una retta data passa l'unica retta parallela a quella data. Questa affermazione non può essere dimostrata sulla base dei noti assiomi della planimetria.

Nel caso in cui parliamo di spazio, il teorema è vero:

Teorema 1

Per ogni punto dello spazio che non appartiene ad una linea data passa un'unica linea retta parallela a quella data.

Questo teorema è facile da dimostrare sulla base dell'assioma di cui sopra (programma di geometria per le classi 10 - 11).

Il criterio del parallelismo è una condizione sufficiente, il cui adempimento garantisce il parallelismo delle rette. In altre parole, l'adempimento di questa condizione è sufficiente per confermare il fatto del parallelismo.

In particolare esistono condizioni necessarie e sufficienti per il parallelismo delle rette nel piano e nello spazio. Spieghiamo: per necessaria si intende la condizione il cui adempimento è necessario per le rette parallele; se non è soddisfatto, le linee non sono parallele.

Riassumendo, condizione necessaria e sufficiente per il parallelismo delle rette è una condizione il cui rispetto è necessario e sufficiente affinché le rette siano parallele tra loro. Da un lato, questo è un segno di parallelismo, dall'altro è una proprietà inerente alle linee parallele.

Prima di dare la formulazione esatta di una condizione necessaria e sufficiente, ricordiamo alcuni concetti aggiuntivi.

Definizione 3

Linea secante– una retta che interseca ciascuna di due rette date non coincidenti.

Intersecando due rette, una trasversale forma otto angoli non sviluppati. Per formulare una condizione necessaria e sufficiente, utilizzeremo tipi di angoli come incrociati, corrispondenti e unilaterali. Mostriamoli nell'illustrazione:

Teorema 2

Se in un piano due rette sono intersecate da una trasversale, allora affinché le rette date siano parallele è necessario e sufficiente che gli angoli che si intersecano siano uguali, oppure che gli angoli corrispondenti siano uguali, oppure che la somma degli angoli unilaterali sia uguale a 180 gradi.

Illustriamo graficamente la condizione necessaria e sufficiente per il parallelismo delle rette su un piano:

La prova di queste condizioni è presente nel programma di geometria per i gradi 7 - 9.

In generale queste condizioni valgono anche per lo spazio tridimensionale, a condizione che due rette e una secante appartengano allo stesso piano.

Indichiamo alcuni altri teoremi che vengono spesso utilizzati per dimostrare il fatto che le rette sono parallele.

Teorema 3

Su un piano due rette parallele ad una terza sono parallele tra loro. Questa caratteristica è dimostrata sulla base dell'assioma del parallelismo sopra indicato.

Teorema 4

Nello spazio tridimensionale, due linee parallele ad una terza sono parallele tra loro.

La dimostrazione di un segno viene studiata nel curriculum di geometria della 10a elementare.

Diamo un'illustrazione di questi teoremi:

Indichiamo un'altra coppia di teoremi che dimostrano il parallelismo delle rette.

Teorema 5

Su un piano due rette perpendicolari ad una terza sono parallele tra loro.

Formuliamo una cosa simile per lo spazio tridimensionale.

Teorema 6

Nello spazio tridimensionale, due linee perpendicolari ad una terza sono parallele tra loro.

Illustriamo:

Tutti i teoremi, i segni e le condizioni di cui sopra consentono di dimostrare comodamente il parallelismo delle linee utilizzando i metodi della geometria. Cioè, per dimostrare il parallelismo delle rette, si può dimostrare che gli angoli corrispondenti sono uguali, oppure dimostrare il fatto che due rette date sono perpendicolari alla terza, ecc. Ma tieni presente che spesso è più conveniente utilizzare il metodo delle coordinate per dimostrare il parallelismo delle linee su un piano o nello spazio tridimensionale.

Parallelismo delle rette in un sistema di coordinate rettangolari

In un dato sistema di coordinate rettangolari, una linea retta è determinata dall'equazione di una linea retta su un piano di uno dei tipi possibili. Allo stesso modo, una linea retta definita in un sistema di coordinate rettangolari nello spazio tridimensionale corrisponde ad alcune equazioni di una linea retta nello spazio.

Scriviamo le condizioni necessarie e sufficienti per il parallelismo delle linee in un sistema di coordinate rettangolari a seconda del tipo di equazione che descrive le linee date.

Cominciamo con la condizione di parallelismo delle linee su un piano. Si basa sulle definizioni del vettore direzione di una linea e del vettore normale di una linea su un piano.

Teorema 7

Affinché due rette non coincidenti siano parallele su un piano, è necessario e sufficiente che i vettori direzione delle rette date siano collineari, oppure i vettori normali delle rette date siano collineari, oppure il vettore direzione di una retta sia perpendicolare a il vettore normale dell'altra retta.

Diventa ovvio che la condizione di parallelismo delle linee su un piano si basa sulla condizione di collinearità dei vettori o sulla condizione di perpendicolarità di due vettori. Cioè, se a → = (a x , a y) e b → = (b x , b y) sono vettori di direzione delle linee a e b ;

e n b → = (n b x , n b y) sono vettori normali delle rette a e b, allora scriviamo la condizione necessaria e sufficiente di cui sopra come segue: a → = t · b → ⇔ a x = t · b x a y = t · b y oppure n a → = t · n b → ⇔ n a x = t · n b x n a y = t · n b y oppure a → , n b → = 0 ⇔ a x · n b x + a y · n b y = 0 , dove t è un numero reale. Le coordinate delle guide o dei vettori retti sono determinate dalle equazioni date delle rette. Diamo un'occhiata agli esempi principali.

1. La linea a in un sistema di coordinate rettangolari è determinata dall'equazione generale della linea: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0; retta b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Allora i vettori normali delle linee date avranno coordinate rispettivamente (A 1, B 1) e (A 2, B 2). Scriviamo la condizione di parallelismo come segue:

UN 1 = t UN 2 B 1 = t B 2

1. La linea a è descritta dall'equazione di una linea con pendenza della forma y = k 1 x + b 1 . Retta b - y = k 2 x + b 2. Allora i vettori normali delle linee date avranno coordinate (k 1, - 1) e (k 2, - 1), rispettivamente, e scriveremo la condizione di parallelismo come segue:

k 1 = t k 2 - 1 = t (- 1) ⇔ k 1 = t k 2 t = 1 ⇔ k 1 = k 2

Pertanto, se le linee parallele su un piano in un sistema di coordinate rettangolari sono date da equazioni con coefficienti angolari, allora i coefficienti angolari delle linee date saranno uguali. E è vera l'affermazione opposta: se le linee non coincidenti su un piano in un sistema di coordinate rettangolari sono determinate dalle equazioni di una linea con coefficienti angolari identici, allora queste linee date sono parallele.

1. Le linee a e b in un sistema di coordinate rettangolari sono specificate dalle equazioni canoniche di una linea su un piano: x - x 1 a x = y - y 1 a y e x - x 2 b x = y - y 2 b y o da equazioni parametriche di una linea su un piano: x = x 1 + λ · a x y = y 1 + λ · a y e x = x 2 + λ · b x y = y 2 + λ · b y .

Allora i vettori di direzione delle linee date saranno rispettivamente: a x, a y e b x, by y, e scriveremo la condizione di parallelismo come segue:

a x = t b x a y = t b y

Diamo un'occhiata agli esempi.

Esempio 1

Sono date due linee: 2 x - 3 y + 1 = 0 e x 1 2 + y 5 = 1. È necessario determinare se sono paralleli.

Soluzione

Scriviamo l'equazione di una retta in segmenti sotto forma di equazione generale:

x 1 2 + y 5 = 1 ⇔ 2 x + 1 5 y - 1 = 0

Vediamo che n a → = (2, - 3) è il vettore normale della linea 2 x - 3 y + 1 = 0, e n b → = 2, 1 5 è il vettore normale della linea x 1 2 + y 5 = 1.

I vettori risultanti non sono collineari, perché non esiste un valore di tat tale per cui l'uguaglianza sarà vera:

2 = t 2 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = 1 5

Pertanto, la condizione necessaria e sufficiente per il parallelismo delle rette su un piano non è soddisfatta, il che significa che le rette date non sono parallele.

Risposta: le linee indicate non sono parallele.

Esempio 2

Sono date le linee y = 2 x + 1 e x 1 = y - 4 2. Sono paralleli?

Soluzione

Trasformiamo l'equazione canonica della retta x 1 = y - 4 2 nell'equazione della retta con la pendenza:

x 1 = y - 4 2 ⇔ 1 · (y - 4) = 2 x ⇔ y = 2 x + 4

Vediamo che le equazioni delle rette y = 2 x + 1 e y = 2 x + 4 non sono le stesse (se fosse altrimenti le rette sarebbero coincidenti) e i coefficienti angolari delle rette sono uguali, il che significa che le rette date sono parallele.

Proviamo a risolvere il problema in modo diverso. Per prima cosa controlliamo se le linee indicate coincidono. Usiamo qualsiasi punto sulla linea y = 2 x + 1, ad esempio (0, 1), le coordinate di questo punto non corrispondono all'equazione della linea x 1 = y - 4 2, il che significa che le linee lo fanno non coincidere.

Il passo successivo è determinare se la condizione di parallelismo delle linee indicate è soddisfatta.

Il vettore normale della linea y = 2 x + 1 è il vettore n a → = (2 , - 1) , e il vettore di direzione della seconda linea data è b → = (1 , 2) . Il prodotto scalare di questi vettori è uguale a zero:

n un → , b → = 2 1 + (- 1) 2 = 0

Quindi i vettori sono perpendicolari: questo ci dimostra l'avveramento della condizione necessaria e sufficiente per il parallelismo delle rette originarie. Quelli. le rette indicate sono parallele.

Risposta: queste linee sono parallele.

Per dimostrare il parallelismo delle linee in un sistema di coordinate rettangolari di spazio tridimensionale, viene utilizzata la seguente condizione necessaria e sufficiente.

Teorema 8

Affinché due linee non coincidenti nello spazio tridimensionale siano parallele, è necessario e sufficiente che i vettori di direzione di queste linee siano collineari.

Quelli. date le equazioni delle linee nello spazio tridimensionale, la risposta alla domanda: sono parallele o no, si trova determinando le coordinate dei vettori di direzione delle linee date, nonché verificando la condizione della loro collinearità. In altre parole, se a → = (a x, a y, a z) e b → = (b x, b y, b z) sono i vettori di direzione delle rette a e b, rispettivamente, allora affinché siano parallele, l'esistenza di tale numero reale t è necessario, affinché valga l'uguaglianza:

a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y a z = t b z

Esempio 3

Sono date le linee x 1 = y - 2 0 = z + 1 - 3 e x = 2 + 2 λ y = 1 z = - 3 - 6 λ. È necessario dimostrare il parallelismo di queste rette.

Soluzione

Le condizioni del problema sono date dalle equazioni canoniche di una linea nello spazio e dalle equazioni parametriche di un'altra linea nello spazio. Vettori guida a → e b → le linee indicate hanno coordinate: (1, 0, - 3) e (2, 0, - 6).

1 = t · 2 0 = t · 0 - 3 = t · - 6 ⇔ t = 1 2 , quindi a → = 1 2 · b → .

Di conseguenza è soddisfatta la condizione necessaria e sufficiente per il parallelismo delle linee nello spazio.

Risposta: si dimostra il parallelismo delle rette indicate.

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angoli corrispondenti: 1 e 5, 4 e 8, 2 e 6, 3 e 7;

angoli trasversali interni: 3 e 5, 4 e 6;

angoli trasversali esterni: 1 e 7, 2 e 8;

angoli interni unilaterali: 3 e 6, 4 e 5;

angoli esterni unilaterali: 1 e 8, 2 e 7.

Quindi, ∠ 2 = ∠ 4 e ∠ 8 = ∠ 6, ma secondo quanto dimostrato, ∠ 4 = ∠ 6.

Pertanto, ∠ 2 = ∠ 8.

3. Angoli corrispondenti 2 e 6 sono uguali, poiché ∠ 2 = ∠ 4, e ∠ 4 = ∠ 6. Assicuriamoci anche che gli altri angoli corrispondenti siano uguali.

4. Somma angoli interni unilaterali 3 e 6 saranno 2d perché la somma angoli adiacenti 3 e 4 è uguale a 2d = 180 0, e ∠ 4 può essere sostituito dall'identico ∠ 6. Ci assicuriamo inoltre che somma degli angoli 4 e 5 è uguale a 2d.

5. Somma angoli esterni unilaterali sarà 2d perché questi angoli sono rispettivamente uguali angoli interni unilaterali come gli angoli verticale.

Dalla giustificazione sopra dimostrata otteniamo teoremi inversi.

Quando, all'intersezione di due linee con una terza linea arbitraria, otteniamo che:

1. Gli angoli trasversali interni sono gli stessi;

o 2. Gli angoli trasversali esterni sono identici;

o 3. Gli angoli corrispondenti sono uguali;

o 4. La somma degli angoli interni unilaterali è 2d = 180 0;

o 5. La somma di quelli unilaterali esterni è 2d = 180 0 ,

allora le prime due rette sono parallele.